非线性力学和混沌简介
现代物理概论-第四章-非线性力学和混沌
（1）一方面从可积系统的一端，即从研究多自由度的非线 性偏微分方程的一端获得重大进展。如在浅水波方程中发现 了“孤子”，发展起一套系统的数学方法，如反散射法，贝 克隆变换等，对一些类型的非线性方程给出了解法；
现代物理概论
第一章 非线性力学和混沌
（2）另一方面，从不可积系统的极端，如在天文学、生态 学等领域对一些看起来相当简单的不可积系统的研究，都 发现了确定性系统中存在着对初值极为敏感的复杂运动。 促成这种变化的一个重要原因十计算机的出现和广泛应用。 科学家们以计算机为手段，勇敢地探索那些过去不能用解 析方法处理的非线性问题，从中发掘出规律性的认识，并 打破了原有的学科界限，从共性、普适性方面来探讨非线 性系统的行为。
对混沌的研究是从对微分方程求解开始的。二十世纪初， 著名的法国数学家和理论天文学家庞加莱发现某些特殊的微 分方程的可解性与解值对其初始条件极为敏感，初始条件的 细微差别可导致其解值的巨大偏差，甚至产生无解现象。但 他的发现没有引起数学家和物理学家的重视。1963年，美国 气象学家洛仑兹在计算机上用他建立的微分方程模拟气象变 化的时候，偶然发现输入的初始条件的极细微的差别，可以 引起模拟结果的巨大变化。洛仑兹打了个比喻说，在南半球 某地一只蝴蝶的翅膀的偶然扇动所引起的微小气流几星期后 可能变成席卷北半球某地的一场龙卷风，这就是天气的“蝴 蝶效应”。它的本质仍然是非现性耦合。洛仑兹的发现意味 着混沌理论的诞生。
现代物理概论
第一章 非线性力学和混沌
第四章 非线性力学和混沌简介
非线性科学是一门研究非线性现象共性的基础学科。 它是自本世纪六十年代以来，在各门以非线性为特征的分 支学科的基础上逐步发展起来的综合性学科，被誉为本世 纪自然科学的“第三次革命”。非线性科学几乎涉及了自 然科学和社会科学的各个领域，并正在改变人们对现实世 界的传统看法。科学界认为：非线性科学的研究不仅具有 重大的科学意义，而且对国计民生的决策和人类生存环境 的利用也具有实际意义。由非线性科学所引起的对确定论 和随机论、有序与无序、偶然性与必然性等范畴和概念的 重新认识，形成了一种新的自然观，将深刻地影响人类的 思维方法，并涉及现代科学的逻辑体系的根本性问题。
物理学中的非线性现象和混沌理论
物理学中的非线性现象和混沌理论物理学是一门探究自然界的科学，它致力于研究万物运动规律及其本质。
而非线性现象和混沌理论则是物理学中的一个分支，它研究的是那些难以用线性方程描述和预测的现象。
下面我们就来谈谈物理学中的非线性现象和混沌理论。
一、非线性现象的概念和特点非线性现象是指现象的变化与作用于自身或其他物理对象的力的关系存在非线性，即呈现出非比例的关系。
例如，当振幅过大时，简单的弹簧系统会出现非线性现象。
这种现象并不是简单的加权平均，它的规律往往十分复杂，无法用线性方程描述。
非线性现象通常具有以下特点：1. 非线性现象是不可预测的。
由于存在着种种未知因素的干扰，非线性系统的运动是具有不确定性的，而且往往需要借助大量的计算才能求出其运动规律。
2. 非线性现象通常表现出现象的对称性破缺。
这种破缺是由于非线性系统中不同方向的势场不同，导致运动轨迹并不是呈现均匀性的。
3. 非线性现象具有自相似性。
例如，树枝的形状与分形具有自相似性的特点。
这种自相似性很容易让人联想到自然界中的许多现象，如云朵的形状、山的轮廓等。
4. 非线性现象是不稳定的。
这就是为什么冲天火箭在发射之后会发生电力黑出的原因。
在非线性系统中，稍有差池也会导致系统整体崩溃。
二、混沌理论的概念和应用混沌理论是一种研究非线性系统中产生的混沌现象的数学理论。
混沌现象在非线性系统中十分常见，它们往往表现为无规律、不可预测的运动。
混沌系统的随机性是由输入信号的微小变化而产生的。
在计算机模拟中，微小的误差往往会导致系统的输出结果与输入信号产生大幅度的偏差。
这导致混沌系统无法预测，任何误差都会导致其无法准确的预测结果，这种情况在天气预报中经常见到。
本质上，混沌现象是一种以相对稳定的方式存在的随机现象，它呈现出周期性、复杂性和非常的特性。
由于混沌现象具有这些独特的特性，因此混沌理论被应用于生态学、金融、天气预报以及神经科学等领域，并在这些领域取得了很大的成功。
混沌理论与非线性系统
混沌理论与非线性系统混沌理论是一种描述复杂系统行为的数学理论，它与非线性系统密切相关。
非线性系统是指系统的输出不是线性的，即输出与输入之间的关系无法用简单的线性函数描述。
混沌理论从科学的角度揭示了非线性系统内部的复杂性和不可预测性。
混沌理论最早由美国数学家Edward Lorenz在20世纪六、七十年代提出，他在研究天气预报时意外发现了混沌现象。
他发现即使微小的初始条件的微小改变，也会导致模型结果的巨大变化。
这就是混沌现象的本质，也是非线性系统的核心特征。
混沌现象的一个重要特征是系统的行为对初始条件非常敏感。
换句话说，稍微改变系统的初始状态，系统的行为就会发生显著的变化。
这被称为“蝴蝶效应”，意味着一个小小的初始扰动可能在未来产生巨大的影响。
这使得长期天气预测变得极其困难，因为任何微小的测量误差都会导致预测结果的巨大误差。
混沌系统还具有不可预测性。
尽管初始条件对系统的行为产生重要影响，但混沌系统中的行为是随机的、不可预测的。
这意味着我们无法准确地预测混沌系统的未来状态，只能通过统计方法来描述其可能的行为。
虽然混沌系统的行为复杂难以预测，但它们仍然存在一定的规律性。
混沌系统的行为可以通过分形几何来描述，分形几何是一种用于描述不规则形状和复杂结构的数学工具。
混沌系统的分形特征表现为自相似性和尺度不变性，这意味着系统的局部结构与整体结构具有相似性，并且系统在不同尺度上的行为是相似的。
混沌理论在许多领域有着重要的应用。
在物理学中，混沌理论被用于研究粒子运动、流体流动等复杂系统的行为。
在生物学中，混沌理论被用于研究生物体内部的非线性动力学和分子交互作用。
在经济学和社会学中，混沌理论被应用于研究市场波动、人群行为等复杂系统的演化。
混沌理论的发展也促进了对非线性系统的研究。
非线性系统广泛存在于自然界和人类社会中，它们的行为往往更加复杂和多样。
非线性系统的研究不仅帮助我们理解和解释现实世界中的复杂现象，还为我们掌握和预测系统行为提供了新的方法和工具。
物理学中的非线性和混沌现象
物理学中的非线性和混沌现象在自然界中，很多现象都具有非线性和难以预测的混沌特性。
而在物理学中，研究非线性和混沌现象也成为一门重要的学科。
本文将对非线性和混沌现象进行介绍和讨论。
一、什么是非线性？所谓非线性，就是指物理系统的变化不遵循线性关系。
简单来说，就是当输入变化时，输出不是简单地按比例变化。
举个例子，我们可以拿弹簧来说明。
在弹簧的弹性范围内，当我们给它施加一个力时，它的伸长量就是线性关系。
但是，当受力超过了弹性范围，弹簧就会变形。
这时，伸长量和受力之间的关系就不再是线性的了。
也就是说，非线性就是指当系统受到的输入越来越大时，输出会出现不同的反应，而且这种反应不是线性的。
二、什么是混沌？所谓混沌，就是指物理系统表现出的不规则、难以预测的运动。
混沌系统的特征是微小输入的差异可能导致系统演化发生巨大的变化，不同初始条件下的演化轨迹可能发生分叉，最终导致输出完全不同。
混沌系统看似无序，但实际上却有一定的规律性可循。
三、非线性和混沌的联系非线性和混沌之间有着紧密的联系。
在物理学中，混沌现象往往与非线性密切相关。
当系统呈现出非线性的特征时，它很容易出现混沌现象。
在一些物理系统中，只要其非线性程度足够高，就会出现混沌现象。
三个著名的混沌系统被称为洛伦兹吸引子、哈特曼-赫劳-曼吸引子和拉蒙诺夫吸引子。
这些吸引子的形状都很奇特，非常像一些有趣的图形。
四、物理系统中的非线性和混沌现象现在我们将介绍一些常见的物理系统中存在的非线性和混沌现象。
1.非线性振动非线性振动是指振动系统中存在的非线性项所导致的现象。
在简单振动中，振动的周期只依赖于振动系统的特性，而与振幅无关。
但是，当振幅超过一定范围时，振动系统就会呈现出非线性特性，出现倍周期振动、基频振幅受限振动、合频振动等现象。
2.混沌系统混沌系统是指那些表现出混沌特性的物理系统，比如双摆、电路、混沌发生器等。
混沌系统中往往会存在大量的非线性和未知因素，使得它们产生不可复制的运动轨迹。
物理学中的非线性动力学和混沌理论
物理学中的非线性动力学和混沌理论物理学中的非线性动力学和混沌理论是近年来备受关注的研究领域，其中包括了混沌现象、复杂性和非线性动力学的研究，以及分形和复杂网络的研究等方向。
这些研究领域为我们认识自然界中的各种现象提供了新的视角和思路。
一、非线性动力学传统的物理学研究的是线性系统，即系统在受到外界作用时只会产生与外力大小成比例的反应，这种响应也被称为线性响应。
然而，在实际的自然界中，很多系统的响应并不是线性的，而是出现了非线性现象。
非线性动力学就是研究非线性系统行为的一门科学。
与线性系统不同，非线性系统的行为往往会因为多种因素的复杂作用而产生不稳定、不规律、激烈或混乱的现象。
非线性动力学的研究内容包括了相变现象、自激振荡、混沌现象等。
以相变现象为例：当一个系统受到一个连续性的变化时，它可能发生相变，出现新的状态。
而这个过程不是线性的，相反，它往往是突变的，不能用连续函数来描述。
非线性动力学提供了研究这些相变现象的工具和方法。
二、混沌理论混沌理论是研究非线性系统行为的一个分支，主要研究的是混沌现象。
混沌现象的最重要特征是灵敏依赖初值，也就是说，初始条件的微小变化可能会导致系统最终出现完全不同的行为状态。
这一性质被称为“蝴蝶效应”。
在混沌理论中，研究的核心是混沌现象的产生机制和控制方法。
混沌现象的产生通常是由于非线性系统中的复杂相互作用导致系统行为出现无序、不可预测的特点，而混沌控制则是通过外部控制手段，通过稳定系统的特定状态来达到对混沌现象的控制。
混沌控制的研究对于现代工程、物理和生物学方面的技术应用都非常重要，例如，通过对人工心脏的非线性动力学行为的深入认识和控制，可以有效提高人工心脏的工作效率和稳定性。
三、非线性动力学在物理学中的应用非线性动力学的研究成果在物理学中的应用非常广泛，例如，在统计物理学中，非线性动力学的方法被成功地应用于研究非平衡态的物理行为。
在材料科学中，非线性动力学的研究可以帮助我们更好地理解材料的形变和变形行为。
非线性振动力学中的混沌分析
非线性振动力学中的混沌分析近年来，混沌理论被广泛应用于非线性动力学领域，并在科学研究以及实际应用中发挥了重要作用。
在非线性振动力学中，混沌分析是一种非常有效的方法，旨在研究非线性动力学系统中的混沌现象。
1. 混沌现象简介混沌现象是指那些表现出一定规律性却又极其复杂、几乎无法预测的动态系统。
不像线性系统那样稳定、可预测和规律可循，混沌现象总是会呈现出一定的随机性。
具体而言，混沌现象常会出现于非线性振动力学系统中，这类系统的特征是运动既有局部稳定性，也存在不稳定性。
因此，很难用传统的数学方法来对这些非线性系统进行分析，在这种情况下，混沌分析成为了一种解决方案。
2. 混沌分析的基本原理混沌分析的基本原理是对非线性动力学系统的演变行为进行分析，从而揭示其混沌现象的本质规律。
具体而言，混沌分析常用的方法包括洛伦茨方程、延迟反馈系统、相空间重构等，其中相空间重构也是混沌分析的核心。
该方法将系统的多维状态空间重构成一个简化的流形空间，并进一步将这个流形空间划分成若干个相空间。
这样做的目的在于，将复杂的系统状态转化为易于分析的几何结构，从而分析系统的演变特征以及混沌行为。
3. 混沌分析的实际应用混沌分析的实际应用范围非常广泛，包括通信、控制、金融、生态、化学以及物理等领域。
在通信领域，混沌分析可以用于实现安全的数据传输。
由于混沌系统的不可预测性，使得数据传输更加安全可靠。
在控制领域，混沌分析可以用于实现高效的控制系统。
通过对一些复杂的控制系统进行混沌分析，可以有效地提高控制效率，进而优化生产效益。
在金融领域，混沌分析可以用于预测股市变化。
通过混沌分析，可以揭示出股市变化的本质规律，帮助投资者更好地做出投资决策。
在生态领域，混沌分析可以用于研究气候、生态系统的变化机理。
通过混沌分析，可以揭示出这些生态系统背后的混沌规律，从而采取更加合理的保护措施。
在化学领域，混沌分析可以用于研究化学反应动力学。
通过混沌分析，可以揭示出化学反应背后的混沌规律，有助于优化化学反应过程。
非线性动力学中的混沌现象及其应用
非线性动力学中的混沌现象及其应用混沌，是指在某种程度上具有确定性的系统，但其长期演化的结果却十分难以预测，极度敏感于初值条件的不规则、随机行为。
在非线性动力学中，混沌现象一直是研究的热点，它的性质和应用也备受关注。
本文将从混沌现象的定义、特性与图像展示、混沌对噪声抑制和混沌通信三个方面来介绍混沌。
一、混沌的定义与特性混沌现象源自于流体力学中的"洛伦兹方程"，经过40多年的发展，已经家喻户晓了。
混沌是一种无序的动力学行为，表现为明显的随机性，但又有可能呈现各种规则的形式。
混沌的行为具有以下特点：1. 非周期性混沌的行为不像周期性运动那样具有周期性。
混沌的状态不断发生变化，几乎无法重复，且不再出现规律性的模式。
2. 灵敏依赖初值混沌动力学系统对初始条件有极高的敏感性，即使两个系统在初值上仅有微小的偏差，也会随时间的流逝而出现大的不同。
3. 塞逊定理塞逊定理指的是混沌系统概率密度变化的特性，即系统中相邻的状态点的距离，在不断演化过程中往往成倍增长，混沌的标记是大规模的分岔。
二、图像展示混沌现象不仅以数学方程表示，还以图像、音乐甚至语言等多维度方式进行表现。
下面就是一组展示混沌的图像：通过这些图像，我们可以更直观的了解混沌现象的特征和行为。
三、混沌对噪声抑制的应用随着科学技术的发展，我们生活中出现了很多噪声，它们都会给人们的生活带来很多不便。
因此，在工程技术中，如何对这些噪声进行抑制是一个很重要的问题。
混沌抑制理论可以在一定程度上克服线性系统抑制效果不佳的问题，达到噪声抑制的目的。
混沌抑制的主要思路是控制非线性系统的混沌状态，通过改变混沌吸引子来获得不同的响应。
混沌抑制通过非线性反馈也能控制力学结构或电气电路的状态。
四、混沌通信的应用混沌通信是一种通过混沌技术实现信息传递的通信方式。
相比于传统通信方式，它的优势在于具有隐蔽性、抗干扰性、高速和多用户性等特点，尤其在无线通信、宽带通信以及高阶调制等领域得到了广泛的应用。
流体力学中的非线性问题和混沌现象
流体力学中的非线性问题和混沌现象流体力学是研究流体运动行为和性质的学科，涉及广泛的物理现象和工程应用。
在流体力学中，非线性问题和混沌现象引起了研究学者的广泛关注。
本文将探讨流体力学中的非线性问题和混沌现象，并讨论其在科学研究和工程应用中的重要性。
一、非线性问题的定义与特点在流体力学中，非线性问题指的是流体运动方程存在非线性项的情况。
一般来说，非线性问题的解析解难以得到，需要借助数值模拟等方法进行研究和求解。
非线性问题的特点主要包括以下几个方面：1. 非线性项引起的混合效应：流体运动方程中的非线性项会引起不同物理量之间的相互作用和耦合效应，使得流体运动的预测变得更加困难。
2. 非线性项的不可忽略性：在某些情况下，非线性项对流体运动行为的影响是不可忽略的，对于精确预测和分析流体运动具有重要意义。
3. 非线性问题的复杂性：非线性问题的求解往往需要借助高级的数值方法和计算技术，涉及到大规模的计算和复杂的数值求解算法。
二、非线性问题的研究与应用非线性问题在流体力学研究和应用中起着重要的作用。
例如，在天气预报、气候模拟和自然界环境研究中，非线性问题的研究可以帮助我们更好地理解大气运动和涡旋的形成机制，提高天气预报的准确性和精度。
此外，非线性问题的研究还在航空航天、海洋工程和环境科学等领域具有广泛的应用价值。
通过研究非线性问题，我们可以深入探究流体运动的特性和规律，为工程设计和科学研究提供有力的支持和指导。
三、混沌现象的出现和原理混沌现象指的是在动力系统中出现随机、不可预测、复杂甚至混乱的运动行为。
在流体力学中，混沌现象是由于非线性项引起流体运动方程无法用简单的数学公式来描述和解析的情况。
混沌现象的出现主要由以下几个原理解释：1. 灵敏依赖于初值条件：在动力系统中，初始条件的微小变化会导致系统演化出完全不同的轨迹，这种现象被称为灵敏依赖于初值条件。
2. 神经网络的局部性质：由于流体力学系统的复杂性和非线性特点，局部扰动可以导致整个系统的混沌行为。
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非线性力学和混沌简介
非线性科学是一门研究非线性现象共性的基础学科。
它是自本世纪六十年代以来，在各门以非线性为特征的分支学科的基础上逐步发展起来的综合性学科，被誉为本世纪自然科学的“第三次革命”。
非线性科学几乎涉及了自然科学和社会科学的各个领域，并正在改变人们对现实世界的传统看法。
科学界认为：非线性科学的研究不仅具有重大的科学意义，而且对国计民生的决策和人类生存环境的利用也具有实际意义。
由非线性科学所引起的对确定论和随机论、有序与无序、偶然性与必然性等范畴和概念的重新认识，形成了一种新的自然观，将深刻地影响人类的思维方法，并涉及现代科学的逻辑体系的根本性问题。
一线性与非线性的意义
线性”与“非线性”是两个数学名词。
所谓“线性”是指两个量之间所存在的正比关系。
若在直角坐标系上画出来，则是一条直线。
由线性函数关系描述的系统叫线性系统。
在线性系统中，部分之和等于整体。
描述线性系统的方程遵从叠加原理，即方程的不同解加起来仍然是原方程的解。
这是线性系统最本质的特征之一。
“非线性”是指两个量之间的关系不是“直线”关系，在直角坐标系中呈一条曲。
最简单的非线性函数是一元二次方程即抛物线方程。
简单地说，一切不是一次的函数关系，如一切高于一次方的多项式函数关系，
都是非线性的。
由非线性函数关系描述的系统称为非线性系统。
线性与非线性的区别
定性地说，线性关系只有一种，而非线性关系则千变万化，不胜枚举。
线性是非线性的特例，它是简单的比例关系，各部分的贡献是相互独立的；而非线性是对这种简单关系的偏离，各部分之间彼此影响，发生偶合作用，这是产生非线性问题的复杂性和多样性的根本原因。
正因为如此，非线性系统中各种因素的独立性就丧失了：整体不等于部分之和，叠加原理失效，非线性方程的两个解之和不再是原方程的解。
因此，对于非线性问题只能具体问题具体分析。
线性与非线性现象的区别一般还有以下特征：
(1)在运动形式上，线性现象一般表现为时空中的平滑运动，并可
用性能良好的函数关系表示，而非线性现象则表现为从规则运动向不规则运动的转化和跃变；
（2）线性系统对外界影响的响应平缓、光滑，而非线性系统中参数的极微小变动，在一些关节点上，可以引起系统运动形式的定性改变。
在自然界和人类社会中大量存在的相互作用都是非线性的，线性作用只不过是非线性作用在一定条件下的近似。
非线性问题研究的历史概况
非线性问题的“个性”很强，处理起来十分棘手。
历史上曾有过一些解非线性方程的“精品”，但与大量存在的非线性方程相比，只能算是“凤毛麟角”。
因此，长期以来，对非线性问题的研究一直分散在自然科学和技术科学的各个领域。
本世纪六十年代以来，情况发生了变化。
人们几乎同时从非线性系统的两个极端方向取得了突破：
（1）一方面从可积系统的一端，即从研究多自由度的非线性偏微分方程的一端获得重大进展。
如在浅水波方程中发现了“孤子”，发展起一套系统的数学方法，如反散射法，贝克隆变换等，对一些类型的非线性方程给出了解法；
（2）另一方面，从不可积系统的极端，如在天文学、生态学等领域对一些看起来相当简单的不可积系统的研究，都发现了确定性系统中存在着对初值极为敏感的复杂运动。
促成这种变化的一个重要原因十计算机的出现和广泛应用。
科学家们以计算机为手段，勇敢地探索那些过去不能用解析方法处理的非线性问题，从中发掘出规律性的认识，并打破了原有的学科界限，从共性、普适性方面来探讨非线性系统的行为。
非线性科学研究的范围
非线性科学的研究范围究竟有多大？目前尚无定论。
有人主张，非线性科学应包括那些可以定量分析、精确计算、有数学理论或实验研究的领域。
也有人认为，耗散结构、协同学、突变论等应划归非线性科学，因为这“三论”中的许多定量分析，有些概念和方法
（如分岔、自组织、图形、分维等——是和非线性科学相同的。
值
得注意的是，这“三论”中有些内容是带有哲理性或思辩色彩的。
但非线性科学的主体是明确的，这就是混沌（Chaos）、分形（Fractral）、孤子（Soliton）。
）——孤立波与孤立子孤子或孤波为一种特殊的相
干结构，是由于系统中的色散与非线性两种作用相互平衡的结果。
事实上，虽然孤立子或孤立波一词常在广泛的范围内被引用，但无一般形式的定义，因为它还在发展中，给它下个严格的定义比
较困难，且为时尚早。
通常孤立波也叫定域行波，也就是“前无古人，后无来着”，一个孤零零的波在传播。
而在应用数学和工程中，孤立子被理解为非线性演化方程局部化的行波解，经过互相碰撞后
不改变波形和速度（或许相位发生变化）。
在粒子物理等领域内，孤立子被看做是具有某个“安全系数”的特殊孤立波，在相互作用时，波形与速度只有微弱改变的孤立波，或被理解为：非线性演化方程
能量有限的解，这些能量集中在空间有限区域，不随时间扩散到无
限区域中去。
可见，不是所有的孤立波都是孤立子，但有时人们并
不严格区分二者。
孤立子的特点是，有出奇的稳定性，如同刚性粒子一样。
在空间上局域，在时间上长寿。
除孤立子外，自然界还存在大量的
其他相干结构。
它们与孤立子的不同之处在于，它们在相互作用时
并不严格保持形状不变，而是汇合、分裂。
最引人注目的是各种尺
度的涡旋。
几个流体涡旋可集合成一个大斡，一个大涡可被强大的
外力作用打碎。
对这些结构形成机理的认识和它们之间的相互作用
的研究仍是非线性科学的前沿。
混沌
混沌是确定性系统中由于内禀随机性而产生的一种外在复杂的、貌似无规的运动。
混沌并不是无序和紊乱，更像是没有周期的秩序。
在理想模型中，它可能包含着无穷的内在层次，层次间存在着“自相似性”。
混沌的行为归宿就是奇怪吸引子，即分形。
对混沌的研究是从对微分方程求解开始的。
二十世纪初，著名的法国数学家和理论天文学家庞加莱发现某些特殊的微分方程的可解性与解值对其初始条件极为敏感，初始条件的细微差别可导致其解值的巨大偏差，甚至产生无解现象。
但他的发现没有引起数学家和物理学家的重视。
1963年，美国气象学家洛仑兹在计算机上用他建立的微分方程模拟气象变化的时候，偶然发现输入的初始条件的极细微的差别，可以引起模拟结果的巨大变化。
洛仑兹打了个比喻说，在南半球某地一只蝴蝶的翅膀的偶然扇动所引起的微小气流几星期后可能变成席卷北半球某地的一场龙卷风，这就是天气的“蝴蝶效应”。
它的本质仍然是非现性耦合。
洛仑兹的发现意味着混沌理论的诞生。
分形
分形是不能用通常的长度、面积、体积表示的几何形体，其内部存在着无穷层次，具有见微知著、由点及面的自相似结构。
自相似即局部与整体的相似性。
适当放大或缩小几何尺寸，分形的真个结
构并不改变，这就是标度不变性。
海岸线，闪电，松花蛋或数枝等，就具有分形特征。
换言之，分形是局部以某种方式与整体相似的形态。
分形可分多种类型，如简单分形、自仿射分形、多分形、随机分形、胖分形及复平面上的分形等。
描述分形特征的参数叫分维。
据称，分形理论开创了20世纪数学的新阶段，是刻画混沌运动的直观的几何语言，是更接近于现实生活的数学。
它是美籍法国数学家罗德尔布罗特在本世纪70年代中期创立的。
小波
小波（Wavelet）分析技术是揭示分形局域标度性质的有力工具。
可以说，分形概念的出现为人们认识事物的局部与整体的关系提供了以种辨证的思维方式，为描述自然和社会的复杂现象提供了以种简洁有力的几何语言。
而小波分析，则是在工具和方法上的重大突破，以成功地应用于许多非线性问题的研究中。
小波，也叫子波，从数学上说，小波是满足一定条件的函授（母小波）通过平移和伸缩得到的函授族。
这一方法是从傅立叶变换中发展起来的，其核心是多分辨分析。
它不仅可以实现信号的时频局部化，而且与加窗傅氏变换相比，具有局部化格式随频率高低变化的优点。
通过小波变换，可以看到分析的丰富细节，为推测动力学根源提供了方便。