第一章 非线性动力学分析方法
机械结构的非线性动力学分析与控制
机械结构的非线性动力学分析与控制机械结构的非线性动力学是一门重要的学科，研究机械系统在非线性力学条件下的运动规律、特性和稳定性。
在实际应用中，许多机械装置都存在着非线性特性，如齿轮传动系统、弹簧系统和摩擦系统等。
因此，理解和控制机械结构的非线性动力学对于提高系统的性能和稳定性至关重要。
要分析机械结构的非线性动力学，首先需要建立适当的数学模型。
对于复杂的机械系统，可以采用多体动力学方法建立其运动方程。
多体动力学方法将机械系统看作是由多个刚体和弹簧等元件组成的复杂系统，通过求解刚体的运动方程和弹簧力学方程等来描述机械系统的运动。
在建立数学模型的基础上，可以使用数值方法求解非线性动力学问题。
常用的数值方法包括有限元方法、辛方法和能量变分方法等。
这些方法可以有效地求解非线性动力学问题，并得到系统的稳定解和震荡特性等。
在控制机械结构的非线性动力学方面，最常用的方法是反馈控制。
反馈控制通过不断测量和调整系统状态来使系统稳定，并实现期望的运动要求。
在实际应用中，可以使用PID控制器、自适应控制器和模糊控制器等来实现对机械系统的控制。
此外，为了更好地分析和控制机械结构的非线性动力学，还可以采用一些先进的技术手段。
例如，非线性动力学的混沌现象可以通过分岔图和Lyapunov指数等来描述和分析；系统的鲁棒控制性能可以通过H∞控制和滑模控制等来实现。
需要注意的是，在进行非线性动力学分析与控制时，还需考虑实际应用中的各种不确定性和干扰。
例如，由于机械结构的制造和装配误差，系统参数的变化会导致非线性动力学的不确定性。
因此，需要采用鲁棒和自适应控制方法来应对这些不确定性并保证系统的性能和稳定性。
综上所述，机械结构的非线性动力学分析与控制是一门重要的学科，对于提高机械系统的性能和稳定性具有重要意义。
通过建立适当的数学模型，并配合合适的数值方法和控制策略，可以有效地分析和控制机械系统的非线性动力学特性。
未来，随着科学技术的不断进步和发展，相信在机械结构的非线性动力学分析与控制领域将会有更多的新进展和新应用的出现。
非线性动力学定性理论方法
非线性动力学定性理论方法非线性动力学定性理论方法是一种研究动力系统行为的方法，用于研究非线性动力系统的稳定性、周期性、混沌性等特性。
在非线性动力学定性理论中，主要有相图分析法、频谱分析法、Lyapunov指数法、Poincaré截面法等多种方法。
相图分析法是研究非线性动力系统的最常用方法之一。
相图是描述动力系统状态变化规律的图形，其中横坐标表示系统的状态变量，纵坐标表示状态变量的导数或变化率。
相图可以通过绘制状态变量和导数之间的关系曲线得到。
相图分析法通过分析相图的形状和特征，可以判断系统的稳定性、周期运动和混沌运动等特性。
频谱分析法是一种通过分析系统输出信号的频谱特性来研究非线性动力系统的方法。
在频谱分析中，通过将系统的输出信号用傅立叶变换或小波变换等方法，将信号分解成一系列的频谱分量。
通过分析频谱的峰值位置、能量分布等特征，可以判断系统是否存在周期运动或混沌运动等特性。
Lyapunov指数法是研究非线性动力系统稳定性的一种方法。
Lyapunov指数可以用来描述系统状态的指数变化率，即用来刻画系统状态的稳定性或者混沌性。
通过计算Lyapunov指数，可以得到系统状态的变化趋势，从而判断系统是否稳定或者出现混沌行为。
Poincaré截面法是一种通过截取动力系统的轨迹与特定平面的交点，来研究非线性动力系统行为的方法。
在Poincaré截面法中，通过选择合适的截面，可以将系统的运动轨迹转化为一系列的离散点。
通过分析离散点的分布和变化规律，可以判断系统是否存在周期运动或混沌运动等特性。
以上介绍的是非线性动力学定性理论的一部分方法，这些方法在研究非线性动力系统的行为特性方面具有重要的应用价值。
通过相图分析、频谱分析、Lyapunov 指数计算和Poincaré截面分析等方法，可以全面地了解非线性动力系统的稳定性、周期性和混沌性等特性，为非线性动力系统的建模、控制和应用提供了重要的理论基础。
机械结构的非线性动力学分析与优化设计
机械结构的非线性动力学分析与优化设计随着科技的进步和工业的发展，机械结构的非线性动力学分析与优化设计成为了工程领域的一个重要课题。
机械结构的非线性动力学分析与优化设计旨在研究机械结构在非线性条件下的动力学行为，并通过相应的优化方法来改善结构的性能。
一、非线性动力学分析在非线性动力学分析中，我们需要考虑诸多因素，包括物体的刚度、质量、摩擦、失效以及材料的非线性特性等。
首先，我们需要建立机械结构的数学模型，并通过相应的数学方法求解结构的运动方程。
在求解过程中，我们需要考虑结构系统的非线性特性，并进行适当的近似处理。
非线性动力学的主要挑战之一是模型的复杂性和求解过程的困难性。
机械结构往往具有复杂的几何形状和材料特性，导致其模型的方程变得复杂。
此外，在非线性条件下，结构系统的运动方程往往是非线性的，需要采用迭代算法求解。
因此，在非线性动力学分析中，我们需要应用一系列的数学工具和数值算法，如有限元方法、迭代法和优化算法等。
二、优化设计方法优化设计方法是非线性动力学分析的重要工具。
它的目标是通过改变结构的设计参数，使得结构在满足特定要求的前提下达到最优性能。
在优化设计中，我们需要考虑多个参数，如结构的几何形状、材料特性和加载条件等。
优化设计方法可以分为两类：基于解析模型的优化方法和基于数值模型的优化方法。
基于解析模型的优化方法通常假设结构的数学模型是已知的，并通过对模型进行分析和求解来得到最优解。
而基于数值模型的优化方法则通过构建结构的有限元模型，利用数值方法求解结构的动力学行为，从而实现对结构的优化设计。
在优化设计中，我们需要建立合适的目标函数和约束条件。
目标函数是用来评估结构性能的指标，如结构的刚度、振动特性、疲劳寿命等。
约束条件则用来限制优化方案的可行空间，如结构的尺寸、材料的应力允许值等。
三、应用与展望机械结构的非线性动力学分析与优化设计在工程中具有广泛的应用。
例如，通过优化设计可以改善机械结构的刚度和振动特性，提高结构的工作性能和使用寿命。
第一章 非线性动力学分析方法
第一章非线性动力学分析方法（6学时）一、教学目标1、理解动力系统、相空间、稳定性的概念；2、掌握线性稳定性的分析方法；3、掌握奇点的分类及判别条件；4、理解结构稳定性及分支现象；5、能分析简单动力系统的奇点类型及分支现象。
二、教学重点1、线性稳定性的分析方法；2、奇点的判别。
三、教学难点线性稳定性的分析方法四、教学方法讲授并适当运用课件辅助教学五、教学建议学习本章内容之前，学生要复习常微分方程的内容。
六、教学过程本章只介绍一些非常初步的动力学分析方法，但这些方法在应用上是十分有效的。
1.1相空间和稳定性一、动力系统在物理学中，首先根据我们面对要解决的问题划定系统，即系统由哪些要素组成。
再根据研究对象和研究目的，按一定原则从众多的要素中选出最本质要素作为状态变量。
然后再根据一些原理或定律建立控制这些状态变量的微分方程，这些微分方程构成的方程组通常称为动力系统。
研究这些微分方程的解及其稳定性以及其他性质的学问称为动力学。
假定一个系统由n 个状态变量1x ，2x ，…n x 来描述。
有时，每个状态变量不但是时间t 的函数而且也是空间位置r的函数。
如果状态变量与时空变量都有关，那么控制它们变化的方程组称为偏微分方程组。
这里假定状态变量只与时间t 有关，即X i ＝X i (t)，则控制它们的方程组为常微分方程组。
),,,(2111n X X X f dtdX ⋅⋅⋅=λ ),,,(2122n X X X f dtdX ⋅⋅⋅=λ (1.1.1)…),,,(21n n nX X X f dtdX ⋅⋅⋅=λ 其中λ代表某一控制参数。
对于较复杂的问题来说，i f (i ＝l ，2，…n)一般是{}i X 的非线性函数，这时方程(1.1.1)就称为非线性动力系统。
由于{}i f 不明显地依赖时间t ，故称方程组(1.1.1)为自治动力系统。
若{}i f 明显地依赖时间t ，则称方程组(1.1.1)为非自治动力系统。
非线性动力分析方法课件
反馈线性化控制
优点
能够处理非线性问题，提高系统的控制精度 和稳定性。
缺点
实现较为复杂，需要精确的系统模型和参数。
自适应控制
通过不断调整控制参数，以适应系统参数的变化。
优点：能够适应系统参数的变化，提高系统的鲁 棒性和适应性。
自适应控制是一种能够自动调整控制参数，以适 应系统参数变化的控制方法。这种方法通过实时 测量系统参数的变化，不断更新控制参数，以保 证系统性能的稳定性和最优性。
机构运动
在机构运动中，非线性动 力系统可以用于描述机构 的运动规律，如连杆机构、 凸轮机构等。
弹性力学
非线性动力系统在弹性力 学中可以用于描述材料的 非线性行为，如材料的弹 塑性、断裂等。
电力系统中的应用实例
电力系统的稳定性分析
非线性动力系统可以用于分析电力系统的稳定性，如电压波动、 频率稳定等。
谱方法的基本思想是将原问题转化为求解特征值或特征向量 的问题，通过选取适当的正交变换，将原问题转化为易于求 解的数值问题。该方法广泛应用于数值计算、流体动力学等 领域。
边界元法
边界元法是一种只对边界进行离散化 的数值方法，通过求解边界上的离散 方程来近似求解原问题的数值方法。
边界元法的基本思想是将问题只离散 化边界上的点，通过求解边界上的离 散方程来近似求解原问题的数值方法。 该方法广泛应用于流体动力学、电磁 学等领域。
缺点：可能会产生抖振现象， 需要精确的系统模型和参数。
05
非性力系的
欧拉方法
总结词
欧拉方法是数值计算中最基础的方法 之一，适用于求解初值问题。
详细描述
欧拉方法基于差分思想，通过已知的 初值和微分方程，逐步计算出未知的 函数值。该方法简单易懂，但精度较 低，适用于求解简单问题。
非线性动力分析方法
二 经典非线性测量方法
4.K熵 K熵（柯尔莫哥洛夫熵） S熵（香农熵，信息论） 一个吸引子的K熵是它（吸引子）所表示
的动态系统的信息损失率。 等于该系统具有的所有正Lyapunov指数
之和。
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艺术认知与计算实验室 Mind Art Computation
二 经典非线性测量方法
四 小结
• 小结 采用何种方法 非线性分析
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艺术认知与计算实验室 Mind Art Computation
一 非线性动力系统
3.吸引子及其特性 c.Torus 准周期 不可通约
现在您浏览到是十三页，共二十九页。
艺术认知与计算实验室 Mind Art Computation
一 非线性动力系统
• 奇怪吸引子 相对于平庸吸引子而言，它 们的特点之一是终态值与初始值密切相关 ，或者说对初始值具有极端敏感性；初始 取值的细微差别可能会导致完全不同的结 果，这时的吸引子毫无周期可言，即所谓 混沌。
非线性动力分析方法
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Outline
一、非线性动力系统
二、经典非线性测量方法
三、例子
四、小结
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艺术认知与计算实验室 Mind Art Computation
一 非线性动力系统
1.线性与非线性 线性方程： y(t)=a*t+b1 非线性方程： Y(t)=cos(t)+b2; Y(t)=t^2+b3
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艺术认知与计算实验室 Mind Art Computation
吸引子可存在于高维相空间内。在这相空间中大于零的李雅普诺夫指数可能不止一个，
复杂系统的非线性动力学分析
复杂系统的非线性动力学分析复杂系统是指由许多相互作用的要素构成的系统，在很多领域都有广泛的应用，例如生物、天气、社会和经济等。
复杂系统具有许多特点，其中一个重要的特点就是非线性。
在非线性系统中，当系统受到外部扰动或内部变化时，系统的响应是不可预测的，因此非线性动力学的研究受到越来越多的关注。
非线性动力学研究的重点是在非线性系统中探索混沌、周期和奇异吸引子等动力学现象。
为了更好地理解这些现象，我们需要掌握一些基本的概念和数学工具。
1. 相空间和相轨道相空间是指由系统的所有可能状态组成的空间，在非线性系统中，相空间通常是高维的。
在相空间中，一个状态可以用一个点来表示。
当系统的初始状态确定后，系统将按照一定的动力学规律在相空间中运动，这条轨道就是相轨道。
2. 相平面和自由度相平面是相空间的一个子空间，它只包含与某个变量有关的状态。
在非线性系统中，自由度指的是系统中独立的有意义的变量的个数。
3. 动力学方程动力学方程是描述系统运动规律的数学公式。
在非线性系统中，由于存在相互作用和非线性效应，动力学方程通常是高阶的、非线性的微分方程组。
4. 混沌吸引子混沌吸引子是非线性系统中的一种特殊的吸引子，指的是在相空间中具有分维的奇异吸引子。
混沌吸引子的出现是混沌现象的重要特征，它是一种长期的、不可预测的振荡行为。
5. 可控性和可观测性可控性和可观测性是非线性动力学研究中的重要概念。
可控性指的是系统是否能被外部控制，可观测性指的是系统是否能被观测。
这两个概念对于控制和预测非线性系统的行为至关重要。
6. 分岔理论分岔理论是非线性动力学的重要分支之一，它研究的是系统在参数变化时的运动规律。
在分岔理论中，分岔点是一个重要的概念，指的是当系统的参数变化到一定程度时，系统的运动规律发生突然变化。
总之，非线性动力学是一门重要而复杂的学科，它涉及到数学、物理、化学、生物和工程等多个领域。
随着科技的不断发展，非线性动力学的研究将在许多领域发挥重要的作用。
机械系统的非线性动力学分析与控制
机械系统的非线性动力学分析与控制一、引言机械系统的非线性动力学分析与控制是工程领域的重要研究方向。
随着科技的不断发展，机械系统的复杂性与非线性特性日益凸显，传统的线性分析和控制方法已经无法满足对系统性能和稳定性的要求。
因此，对机械系统的非线性动力学特性进行深入研究，并开发相应的控制策略，具有重要的理论和实际意义。
二、非线性动力学分析非线性动力学是机械系统中普遍存在的动力学行为，指的是系统在作用力的驱动下产生的非线性响应。
非线性动力学的分析是理解机械系统行为的基础。
常见的非线性现象包括周期性振动、混沌现象和共振现象等。
对于非线性系统，研究者通常运用数学工具和计算机模拟的方法来分析和解释其动力学特性。
其中，最常见的方法是利用微分方程和非线性微分方程来描述非线性系统的运动。
通过选择适当的控制参数和计算分析，可以获得系统的解析解或数值解。
通过对非线性动力学特性进行分析，可以深入理解机械系统的振动、稳定性和能量传递等方面的行为。
三、非线性动力学控制非线性动力学的控制是指通过设计控制策略和系统参数来影响和改善机械系统的非线性振动和行为。
控制是机械系统中重要的环节，旨在实现对系统运动和行为的精确调控。
传统的线性控制方法往往不能有效解决非线性动力学问题，因此非线性控制方法应运而生。
常见的非线性控制方法包括滑模控制、自适应控制和神经网络控制等。
滑模控制方法通过引入滑模面和滑模控制律，实现对系统状态的精确控制。
自适应控制方法则是根据系统的非线性特性和环境变化，动态地调整控制参数，提高控制系统的适应性和鲁棒性。
神经网络控制则通过模拟人脑神经元的连接方式和学习机制，实现复杂非线性系统的控制。
四、非线性系统应用实例非线性动力学分析与控制方法在实际工程中得到了广泛应用。
以飞机为例，飞机的非线性振动和控制问题是航空工程领域的重要研究方向。
非线性动力学分析方法可以揭示飞机结构和气动的耦合特性，从而为飞机结构的安全性和稳定性提供理论基础。
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第一章非线性动力学分析方法(6学时）一、教学目标1、理解动力系统、相空间、稳定性得概念;2、掌握线性稳定性得分析方法;ﻩ3、掌握奇点得分类及判别条件;ﻩ4、理解结构稳定性及分支现象;5、能分析简单动力系统得奇点类型及分支现象.二、教学重点1、线性稳定性得分析方法；ﻩ２、奇点得判别。
三、教学难点ﻩ线性稳定性得分析方法四、教学方法讲授并适当运用课件辅助教学五、教学建议ﻩ学习本章内容之前，学生要复习常微分方程得内容。
六、教学过程本章只介绍一些非常初步得动力学分析方法，但这些方法在应用上就是十分有效得。
1、1相空间与稳定性ﻩ一、动力系统在物理学中,首先根据我们面对要解决得问题划定系统，即系统由哪些要素组成。
再根据研究对象与研究目得，按一定原则从众多得要素中选出最本质要素作为状态变量。
然后再根据一些原理或定律建立控制这些状态变量得微分方程,这些微分方程构成得方程组通常称为动力系统。
研究这些微分方程得解及其稳定性以及其她性质得学问称为动力学.假定一个系统由n个状态变量，,…来描述。
有时,每个状态变量不但就是时间t得函数而且也就是空间位置得函数。
如果状态变量与时空变量都有关,那么控制它们变化得方程组称为偏微分方程组.这里假定状态变量只与时间t有关，即X＝X i（t),则控制它们ｉ得方程组为常微分方程组。
ﻩﻩﻩﻩﻩ（１。
1．1)…其中代表某一控制参数.对于较复杂得问题来说，(i＝l，2，…n)一般就是得非线性函数，这时方程（1．1.1）就称为非线性动力系统。
由于不明显地依赖时间ｔ，故称方程组（1。
1．１)为自治动力系统。
若明显地依赖时间t，则称方程组（1、１、1）为非自治动力系统.非自治动力系统可化为自治动力系统.对于非自治动力系统，总可以化成自治动力系统。
例如：令,,上式化为上式则就是一个三维自治动力系统。
又如:令,则化为它就就是三微自治动力系统、对于常微分方程来说,只要给定初始条件方程就能求解。
对于偏微分方程,不但要给定初始条件而且还要给定边界条件方程才能求解。
能严格求出解析解得非线性微分方程组就是极少得,大多数只能求数值解或近似解析解。
二、相空间,X2,…Ｘn）描述得系统，可以用这n个状态变量为坐标轴支由n个状态变量＝(Ｘ１起一个n维空间，这个n维空间就称为系统得相空间。
在ｔ时刻，每个状态变量都有一个确定得值，这些值决定了相空间得一个点，这个点称为系统状态得代表点(相点），即它代表了系统t时刻得状态。
随着时间得流逝,代表点在相空间划出一条曲线，这样曲线称为相轨道或轨线.它代表了系统状态得演化过程。
三、稳定性把方程组（1。
1．1)简写如下，ｉ＝l，2,…n (1.1.2)设方程组（1。
1.2)在初始条件下得解为，如果用与原来略有差别得初始条件,就是一个小扰动,就会得到方程组得新解。
如果对于任意给定得〉0,存在＞0,并且，当时也满足,ｉ=l,2,…n ﻩﻩﻩﻩﻩ（1．1.3）则称方程组（1．１.2)得解就是稳定得，否则它就就是不稳定得.这样定义得稳定性称为Ｌｙaｐunov稳定性。
如果就是稳定得，并且满足极限条件,i=l，2,…ｎﻩﻩﻩﻩﻩ（１.１.4）则称就是惭近稳定得。
上述抽象得数学定义可以直观理解为：方程组(1、２)对于不同得初始条件有不同得解,如果原初始条件与受扰动后得初始条件之差限定在一定得范围内，即,未扰动解与扰动解之差也不超出一定得范围，即，则末扰动解就就是稳定得；如果渐渐趋近于，最终变得与一致,则称就是渐近稳定得;如果与之差不存在一个有限范围,即远离，则称就是不稳定得。
由上述Ｌyapunｏｖ稳定性得定义可以瞧到,要对动力系统得解得稳定性做出判断,必须对动力学方程组求解，然而对于非线性动力系统就是很难获得解析解得，即使获得近似解析解也就是如此。
那么，我们能否象最小熵产生原理那样,不用对方程组具体求解就能对系统得稳定性作出判断。
Ｌyａpunov发展了这种判断方法，通常称为Lyapuｎo ｖ第二方法。
这种方法主要就是寻找(或构造）一个Lyａｐunov函数，利用这个函数得性质对系统得稳定性作出判断.１、2线性稳定性分析通过上节对稳定性得定义我们知道,要对非线性微分方程组得解得稳定性作出判断，最好就是求出它得解析解。
然而,对于大多数非线性微分方程组很难得到它们得解析解，甚至求近似解析解都就是不可能得。
虽然Ｌyapunov方法避开了这一困难，但寻找一个Lyapｕnov函数仍存在着相当得困难.那么我们能否不去对非线性方程组去求解,而采取一种既简单又有效得方法对非线性方程组定态解得稳定性作出定性得判断.这样得方法就是存在得,那就就是线性稳定性分析方法.它得主要思想就是,在非线性微分方程组定态解得小邻域，把非线性微分方程组线性化，用线性微分方程组来研究定态解对小扰动得稳定性。
因为线性微分方程组就是容易求解得，而且在定态解得小邻域，用线性微分方程组近似取代非线性微分方程组就是合理，所以线性稳定性分析方法既简单又有效，就是一种常用得稳定性分析方法。
首先通过一个简单得例子来了解线性稳定性分析得思路。
设有一非线性微分方程ﻩﻩﻩﻩ（1.2.1)在定态X，，有０ﻩﻩﻩﻩ(1.２.2）由此得到定态解ﻩ,ﻩﻩﻩ(1．2。
3)设就是定态附近得小扰动,即ﻩ(１。
2．4）ﻩﻩﻩﻩﻩ（１．2．5)把方程（１.2。
4)代入方程（1、2、1），有ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ(1。
2．6）ﻩﻩ考虑到定态方程（1.2.2），并忽略小扰动得二次项,得ﻩﻩ（1.2.7)其中ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ（1。
2。
8)就是线性化系数.方程（１．2．7)就是非线性方程（１、2、1）得线性化方程,容易求出它得解为ﻩ其中就是初始扰动。
讨论：定态解得稳定性取决于得符号。
（1）如果〈０，定态解附近得扰动会随时间指数衰减，最后回到该定态,说明这个定态就是稳定得;(2)如果〉0，定态附近得扰动会随时间指数增加，最后离开这个定态，表明该定态就是不稳定得。
对于定态，，就是稳定得；对于定态，，就是不稳定得。
图１、1 方程(1.２.2）得定态解得稳定性我们可以很容易求得方程（1．２.１)得精确解析解（为一双曲函数），ﻩﻩﻩﻩﻩ (１．2．９）对于不同得初始条件，可以得到一系列得曲线,它们随时间得演化行为如图1、1所示,曲线族趋于X0１=1,离开Ｘ０2=－１。
这证明我们采用线化方程得到得定性结论就是正确得。
上述例子虽然简单，但具有一般性，数学家对此作了证明,并形成线性稳定性定理.设有非线性方程组, ﻩﻩﻩ（１。
2．１0）并设就是定态解附近得小扰动，即，ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ（１。
２。
1１）非线性方程组(１。
２.10)在定态解附近得线性化方程为ﻩﻩﻩﻩ（1。
2.12)定理如果线性化方程组(1。
２.12)得零解(）就是渐近稳定得，则非线性方程组（1、2、10）得定态解也就是渐近稳定得；如果零解就是不稳定得，则定态解也就是不稳定得。
线性稳定性定理保证了利用线性得方法来研究非线性方程定态解稳定性得有效性。
利用线性稳定性定理来研究非线性方程定态解稳定性得过程称为线性稳定性分析。
这种分析方法在处理实际问题中经常被用到。
值得提及得就是，线性稳定性定理只就是对线性化方程得零解就是渐近稳定得或就是不稳定得情形给出了结论,而对于零解就是Ｌya ｐunｏｖ稳定得并不就是浙近稳定得情形没有给出任何信息。
这在下节会给予讨论。
1、3奇点分类与极限环现在我们考虑只有两个状态变量(X，Y）得非线性动力系统,即ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ(1。
3。
1)现在相空间变为分别以X与Y为坐标轴得二维相平面.如果方程（1。
3。
1）得解存在且唯一,那么它得解在相平面上就表现为一条线。
轨线得斜率就是ﻩﻩﻩﻩﻩ(1。
3．2）只要与不同时为零且连续可微，轨线得斜率就就是唯一得，它意味着轨线不相交。
如果轨线在相平面中某一点相交，则这一点得斜率就不就是唯一得。
换句话说，数学上得解得存在与唯一性定理要求相空间中得轨线不能相交。
如果与同时为零,即ﻩﻩﻩﻩﻩﻩ（１．3.3）则有ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ（1．3。
4)这表明轨线得斜率不唯一。
我们把在相平面中使与同时等于零得点称为奇点。
在相平面上除奇点之外得所有其她点都叫做正则点。
根据方程(1.3。
３）我们知道，奇点就就是非线性方程组（１、３、１)得定态解。
因此,我们通过研究相空间中奇点得稳定性就可以知道定态解得稳定性.只要我们弄清楚奇点附近轨线得分布及其流向,就能对奇点得稳定性作出判断。
为此我们设x（t）与y(ｔ）就是奇点附近得小扰动，即ﻩﻩﻩﻩﻩ（１。
３。
５），把非线性方程组(1。
3.1)得右边在奇点附近按Tａytor级数展开,并保留线性项，有,ﻩ（1。
3。
６）根据定态方程(1.3.3),方程(１、3、６)式变为ﻩ，ﻩﻩﻩﻩﻩ（1.3。
7)其中, ﻩ（1.3．8）下标0表示在定态取值.方程(1。
3。
７)可以方便地写为矩阵形式ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ（1。
３。
9）由方程（1.3.9）得线性结构，它允许有如下得形式解，ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ（１．3．１０）这样得解称为简正模。
把方程（1.3。
10）代入(1、3、9）可以得到对()为一阶得齐次代数方程组ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ(1．3。
１１) 这个方程组具有非零解得条件为ﻩﻩﻩ(1．3．12) 即ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ（１。
3。
１3）其中，ﻩﻩﻩﻩﻩﻩ（1．３．14) 方程（1。
3.13)称为线性化方程组（1、3、９)得特征方程,称为线性化方程组得特征值。
特征方程（１.3。
1３)就是一个一元二次方程，它允许有两个不同得特征根与,即ﻩﻩﻩﻩﻩ（１．3.１5）这时线性化方程组（1.3.9）有两组如下形式得线性无关解ﻩﻩ，,ﻩﻩﻩﻩﻩ(1.３．１6）其中与分别就是方程组（1。
3.１1）系数矩阵（)得特征值与对应得特征向量.这样,线性化方程组（1、3、９）得一般解应就是两个线性无关解得线性组合，即ﻩﻩﻩﻩﻩ(1．3。
17) 其中与由初始条件确定。
从方程（1．3。
1５）可以瞧到，特征值（ｉ=1，２）可能为复数，而奇点（Ｘ0，Y0）得稳定性只取决于特征值实部得符号。
由此可以根据方程（1、3、１7）直观地得到如下稳定性判据:（ａ)如果两个（i=l,2),则奇点（X0,Ｙ0)就是渐近稳定得;(b)如果至少有一个（=１或２),则奇点(Ｘ0，Y0）就是不稳定得；（ｃ）如果至少有一个(=1或2)，而另一个(=２或１）,则奇点（X0,Y0）就是Lya ｐuｎｏｖ稳定得,而不就是渐近稳定得。
我们称这种情况为临界稳定性。
所谓奇点就就是行为异常得点。
虽然这样得点在相空间得分布就是极为稀少得，但它们却就是人们关注得热点。
通常按奇点得性质把它分为四类：结点；鞍点；焦点；中心点。
现在分别对它们加以介绍。
（１）结点当与时，对应得奇点称为结点。
此时两个特征根不但都就是实得,而且同号（，），即与T同号也与T同号因此，可以根据T得符号来判断结点得稳定性:T<0,渐近稳定结点T＞0,不稳定结点例若线性化方程（1。