第一章非线性动力学分析方法
机械系统的非线性动力学行为分析
机械系统的非线性动力学行为分析引言机械系统是由各种机械元件组成的复杂系统，其运动不仅受到外界力的影响，还受到内部结构和材料特性的制约。
在实际应用中，了解机械系统的运动特性对设计和控制具有重要意义。
本文将重点讨论机械系统的非线性动力学行为分析，从非线性动力学的基本定义开始，分析机械系统的动力学模型、稳定性和混沌行为，最后探讨非线性动力学行为对机械系统的应用和挑战。
一、非线性动力学的基本概念1.1 非线性动力学的定义非线性动力学是研究复杂系统中相互作用和反馈导致的非线性行为的学科。
与线性动力学不同，非线性动力学中的运动方程不具备线性叠加性质，系统的行为呈现出多样性和复杂性。
1.2 非线性动力学的重要性非线性动力学的研究对于分析和预测复杂系统的运动行为至关重要。
在机械系统中，非线性因素可能导致系统的稳定性失效、共振现象、混沌行为等。
因此，了解非线性动力学行为对机械系统的设计和控制具有重要意义。
二、机械系统的动力学模型2.1 刚体模型刚体是机械系统的基本组成元素之一。
在非线性动力学分析中，刚体模型可以通过牛顿力学和拉格朗日力学建立。
通过考虑刚体的运动学条件和动力学方程，可以得到刚体的运动规律和稳定性条件。
2.2 柔性系统模型柔性系统是由悬挂实体和刚性杆件组成的复杂结构。
在非线性动力学分析中，柔性系统的动力学建模通常需要考虑杆件的位移、应力和刚度变化等非线性因素。
通过有限元法等数值方法，可以对柔性系统的动力学行为进行分析。
三、机械系统的稳定性分析3.1 平衡态和稳定性定义机械系统的平衡态是指系统在某个时间点处于相对平衡状态，不受外界力的干扰。
系统的稳定性则是指系统在微小扰动下是否能够返回到平衡态。
3.2 稳定性判据和方法稳定性判据通常包括雅可比矩阵法、李雅普诺夫稳定性判据和幂法等。
这些方法可以用于判断机械系统的平衡态是否稳定，并提供稳定性边界。
四、机械系统的混沌行为分析4.1 混沌行为的定义混沌行为是指系统在非线性动力学条件下呈现出的复杂和随机的运动特性，表现为对初始条件的极度敏感性和无法预测性。
非线性动力学中的非线性动力响应分析
非线性动力学中的非线性动力响应分析在非线性动力学研究中，非线性动力响应分析是一种重要的方法，用于描述和解释系统在非线性情况下的动态行为。
非线性动力学研究系统内在的非线性相互作用和复杂的动力学行为，并通过非线性动力响应分析来揭示这些行为的性质和规律。
1. 动力学系统的基本概念在开始分析非线性动力系统的非线性动力响应之前，我们首先需要了解一些动力学系统的基本概念。
动力学系统是指由多个相互作用的部分组成的系统，这些部分之间存在着物理或数学上的关系。
动力学系统的行为可以用一组微分方程或差分方程来描述。
其中，非线性项则表示系统内各种相互作用的非线性特性。
2. 非线性动力响应的概念与研究方法非线性动力响应是指系统对于外界扰动或变化的非线性反应。
与线性系统相比，非线性系统在响应上表现出更为丰富和复杂的行为。
为了研究非线性动力响应，可以采用多种方法，其中最常用的方法是波形分析法、频谱分析法和相图分析法。
波形分析法是通过观察系统的时域波形来分析非线性响应，可以直观地展示出系统的动力学行为。
而频谱分析法则是通过对系统的频谱进行分析，来研究不同频率下系统的特性和响应规律。
相图分析法则是通过绘制系统的相图，揭示系统在相空间中的运动轨迹和稳定性。
3. 非线性动力响应的典型现象在非线性动力学中，存在许多典型的非线性动力响应现象，其中一些典型现象包括：分岔现象、混沌现象、周期倍增等。
分岔是指当某个参数值变化时，系统的解发生了突变，从而导致系统行为发生明显的变化。
分岔现象常常伴随着系统的稳定性突变和动态态变化。
混沌是非线性动力系统中最为复杂和难以预测的一种动力学行为。
混沌现象体现为系统的解在相空间中呈现出无规律的运动轨迹，具有高度的灵敏性和依赖初始条件的特点。
周期倍增是指当某个参数值逐渐变化时，系统的周期解逐渐增加，从而导致系统呈现出周期加倍的现象。
周期倍增是非线性动力学中一种典型的周期性动力响应。
4. 非线性动力响应的应用领域非线性动力响应的研究在许多领域都具有重要的应用价值。
非线性系统动力学的研究与分析
非线性系统动力学的研究与分析随着科技的进步和社会的发展，非线性系统动力学的研究与应用逐渐受到广泛关注。
非线性系统动力学是指在系统中包含非线性成分，且系统的演化过程不仅受到外部环境的影响，还受到系统内部动力学过程的调控与变化。
本文将探讨非线性系统动力学的研究与分析方法，介绍其在各个领域的应用，并展望未来的发展趋势。
一、非线性系统动力学的基本概念与原理非线性系统动力学的研究是基于系统的复杂性与非线性的特点展开的。
与线性系统不同，非线性系统的输入与输出之间的关系不具备比例关系，而是呈现出非线性的特征。
非线性系统动力学研究的基本概念主要包括：相空间、吸引子、分岔现象等。
相空间是非线性系统动力学中的重要概念，其描述了系统状态随时间演化的轨迹。
相空间中的每个点代表系统的一个具体状态，通过描述系统在相空间中的运动轨线，可以揭示系统的动力学特性。
吸引子是非线性系统动力学中的一个重要现象，指的是系统在长时间演化过程中，稳定地趋向于某个状态的集合。
吸引子可以是一个点、一条线或者一个空间区域，它揭示了系统从无序到有序、从混沌到稳定的过渡过程。
分岔现象是非线性系统动力学中的另一个重要现象，指的是系统参数发生微小变化时，系统演化过程发生根本性改变的现象。
分岔现象揭示了系统演化过程中的多样性和复杂性，对于理解和分析非线性系统的行为具有重要意义。
二、非线性系统动力学的研究方法与分析工具为了研究和分析非线性系统动力学，学者们提出了许多方法和工具。
其中，数值模拟方法、符号计算方法和实验观测方法是应用最广泛的研究手段。
数值模拟方法是基于计算机技术，通过数值计算的方式模拟非线性系统的演化过程。
这种方法可以模拟较为复杂的非线性系统，并通过分析系统的特性参数，揭示系统动力学的行为。
符号计算方法是利用数学符号运算的方式，推导和分析非线性系统的动力学行为。
通过建立系统的数学模型，使用符号计算软件进行求解和分析，可以得到系统的稳定性、周期性、分岔等动力学特征。
非线性动力学系统的建模与分析
非线性动力学系统的建模与分析深入探究非线性动力学系统的建模与分析在科学研究中，许多系统都具有非线性特征，只有对这些系统进行深入的研究和建模，才能更好地了解其规律和特性。
非线性动力学系统的建模与分析，便是其中重要的一个方面。
一、非线性动力学系统的基本概念非线性动力学系统是由一个或多个非线性微分方程组成的系统，其特点在于其响应不随着输入信号呈线性变化。
这种系统一般存在着混沌现象、周期现象或者其他的非线性现象，因此其建模和分析具有很大的挑战性。
二、非线性动力学系统的建模方法1. 全局建模法全局建模法是一种直接把原系统转化为通用数学形式的建模方法，其核心是准确地描述系统的动力学状态，并且建立一个合适的数学模型以描述其动态行为。
2. 基于神经网络的建模法基于神经网络的建模法通过构建一种可以学习的算法，来从实验数据中获取非线性系统的内在结构和动态特征。
3. 非线性滤波法非线性滤波法是以基本的线性和非线性滤波器为基础来建立非线性动力学系统模型的方法。
三、非线性动力学系统的分析方法1. 稳态分析法稳态分析法主要是通过计算系统的稳定点、特征值和特征向量等指标来研究非线性系统的稳定性和性态。
2. 线性化分析法线性化分析法是将非线性系统模型线性化后，研究其内在特征，例如特征值和特征向量。
3. 数值分析法数值分析法是通过计算机模拟和数值解析方法，来研究非线性系统的动态特性和性态。
其中最为常用的方法包括Euler法和Runge-Kutta法等。
四、实例分析以一个简单的非线性动力学系统为例，假设其状态方程如下：$$\begin{cases} \dot{x}=y \\ \dot{y}=-\sin{x}-\cos{y}\end{cases}$$应用数值分析法，我们可以通过Euler法进行模拟仿真。
在t=10时，得出系统的稳定点位于(x,y)=(nπ,nπ/2)，n为整数。
此外，我们还可以通过计算特征值和特征向量等指标，来研究该系统的特性。
非线性动力分析方法课件
反馈线性化控制
优点
能够处理非线性问题，提高系统的控制精度 和稳定性。
缺点
实现较为复杂，需要精确的系统模型和参数。
自适应控制
通过不断调整控制参数，以适应系统参数的变化。
优点：能够适应系统参数的变化，提高系统的鲁 棒性和适应性。
自适应控制是一种能够自动调整控制参数，以适 应系统参数变化的控制方法。这种方法通过实时 测量系统参数的变化，不断更新控制参数，以保 证系统性能的稳定性和最优性。
机构运动
在机构运动中，非线性动 力系统可以用于描述机构 的运动规律，如连杆机构、 凸轮机构等。
弹性力学
非线性动力系统在弹性力 学中可以用于描述材料的 非线性行为，如材料的弹 塑性、断裂等。
电力系统中的应用实例
电力系统的稳定性分析
非线性动力系统可以用于分析电力系统的稳定性，如电压波动、 频率稳定等。
谱方法的基本思想是将原问题转化为求解特征值或特征向量 的问题，通过选取适当的正交变换，将原问题转化为易于求 解的数值问题。该方法广泛应用于数值计算、流体动力学等 领域。
边界元法
边界元法是一种只对边界进行离散化 的数值方法，通过求解边界上的离散 方程来近似求解原问题的数值方法。
边界元法的基本思想是将问题只离散 化边界上的点，通过求解边界上的离 散方程来近似求解原问题的数值方法。 该方法广泛应用于流体动力学、电磁 学等领域。
缺点：可能会产生抖振现象， 需要精确的系统模型和参数。
05
非性力系的
欧拉方法
总结词
欧拉方法是数值计算中最基础的方法 之一，适用于求解初值问题。
详细描述
欧拉方法基于差分思想，通过已知的 初值和微分方程，逐步计算出未知的 函数值。该方法简单易懂，但精度较 低，适用于求解简单问题。
非线性系统的动力学分析及控制研究
非线性系统的动力学分析及控制研究随着科学技术的快速发展，对于动力学分析和控制研究的需求和重视也逐渐增加。
其中一种非常重要的研究对象就是非线性系统。
1.非线性系统概述非线性系统，简单来说就是不能被描述为线性关系的系统。
由于其比线性系统更复杂，因此难以进行精确的分析和控制，但非线性系统却可以描述许多自然界中的现象以及工程技术实践中的问题。
我们知道，线性系统的特性是“比例性”和“叠加性”，其输入和输出之间存在着数量上的线性关系。
但是，非线性系统在不同的输入下会产生系统响应的非线性变化。
其系统行为可能表现出变化多样、复杂、不可预知等特征。
这些性质决定了非线性系统的动力学不规则和不稳定性，对动力学的分析和控制构成了巨大的困难。
2.非线性系统的控制在非线性系统的控制领域中，最基本的方法就是通过反馈控制的方式，尽量减少系统的误差和稳态误差。
但对于非线性系统来说，它需要一些更为高级和复杂的控制策略，如模糊控制、神经网络控制、自适应控制等。
以自适应控制为例。
自适应控制方法是通过不断对过程进行监控，并改变控制器或控制算法的参数来实现快速、准确和自适应的控制。
这种方法的基本思想是根据系统的现实状况，进行实时修正和调整，使系统能更加灵活和稳定地运行。
但是，由于非线性系统的动力学特性，自适应控制系统设计也会面临很大的挑战。
这主要包括控制算法的设计、系统模型的定位和优化等一系列困难。
3.非线性系统的动力学分析非线性系统的动力学分析是非线性控制领域研究的核心问题之一。
涉及到非线性系统的稳定性、运动轨迹、系统响应等多个方面。
这里简单介绍一些非线性动力学分析方法。
首先是Lyapunov方法。
Lyapunov方法是通过构造Lyapunov函数，来判断非线性系统的稳定性。
主要思想就是找到一个函数，使得对于给定的初值，系统的状态必定会趋近于稳定。
通过求出Lyapunov函数的导数，然后判断其正负性，就能得出系统的稳定性。
另外还有基于相平面分析的方法。
第一章 非线性动力学分析方法
第一章非线性动力学分析方法(6学时）一、教学目标1、理解动力系统、相空间、稳定性得概念;2、掌握线性稳定性得分析方法;ﻩ3、掌握奇点得分类及判别条件;ﻩ4、理解结构稳定性及分支现象;5、能分析简单动力系统得奇点类型及分支现象.二、教学重点1、线性稳定性得分析方法；ﻩ２、奇点得判别。
三、教学难点ﻩ线性稳定性得分析方法四、教学方法讲授并适当运用课件辅助教学五、教学建议ﻩ学习本章内容之前，学生要复习常微分方程得内容。
六、教学过程本章只介绍一些非常初步得动力学分析方法，但这些方法在应用上就是十分有效得。
1、1相空间与稳定性ﻩ一、动力系统在物理学中,首先根据我们面对要解决得问题划定系统，即系统由哪些要素组成。
再根据研究对象与研究目得，按一定原则从众多得要素中选出最本质要素作为状态变量。
然后再根据一些原理或定律建立控制这些状态变量得微分方程,这些微分方程构成得方程组通常称为动力系统。
研究这些微分方程得解及其稳定性以及其她性质得学问称为动力学.假定一个系统由n个状态变量，,…来描述。
有时,每个状态变量不但就是时间t得函数而且也就是空间位置得函数。
如果状态变量与时空变量都有关,那么控制它们变化得方程组称为偏微分方程组.这里假定状态变量只与时间t有关，即X＝X i（t),则控制它们ｉ得方程组为常微分方程组。
ﻩﻩﻩﻩﻩ（１。
1．1)…其中代表某一控制参数.对于较复杂得问题来说，(i＝l，2，…n)一般就是得非线性函数，这时方程（1．1.1）就称为非线性动力系统。
由于不明显地依赖时间ｔ，故称方程组（1。
1．１)为自治动力系统。
若明显地依赖时间t，则称方程组（1、１、1）为非自治动力系统.非自治动力系统可化为自治动力系统.对于非自治动力系统，总可以化成自治动力系统。
例如：令,,上式化为上式则就是一个三维自治动力系统。
又如:令,则化为它就就是三微自治动力系统、对于常微分方程来说,只要给定初始条件方程就能求解。
对于偏微分方程,不但要给定初始条件而且还要给定边界条件方程才能求解。
非线性动力学系统的分析与控制
非线性动力学系统的分析与控制随着科学技术的不断发展，人们对复杂系统的研究日益深入。
非线性系统时常出现在自然界和工程技术中，例如气象系统、化学反应、电路、生物系统、机械系统等等。
非线性系统具有极其丰富的动态行为，不同的系统之间存在着很大的差异性。
面对这些复杂多样的非线性系统，如何进行分析与控制是非常重要的。
一、非线性动力学系统的定义及特点非线性动力学系统是指在时间和空间上均发生动态行为的系统，其系统关系不是线性关系。
由于非线性因素的存在导致了系统的复杂性和不可预测性，系统可能表现出各种奇异的动态行为。
这些动态行为包括周期性运动、混沌、周期倍增等等。
一个非线性系统通常由多个部分组成，每个部分之间有相互作用，这种相互作用可以是线性的，也可以是非线性的。
与线性系统不同的是，非线性系统的各种状态和运动是非简单叠加的，微小的扰动可能会导致系统出现完全不同的行为，所以非线性系统的行为很难被准确地预测和控制。
二、非线性动力学系统的分析方法1. 数值方法数值方法是研究非线性系统的基本工具之一。
数值方法的核心是计算机程序，基本思路就是用计算机模拟系统的行为，通过计算机的演算，得出系统的动态变化。
在数值模拟中，巨大的数据量和模拟误差可能导致计算结果的不确定性。
为了解决这个问题，可以采用随机性和模糊性来描述不确定性，将非确定性的信息融入到模型和模拟中。
2. 动力学分析动力学分析是利用动力学知识进行对非线性系统的分析和研究。
通过对系统的本质特性进行分析，了解系统的发展趋势和行为特征。
动力学分析主要通过相空间画图、稳定性分析、流形理论等方法对非线性系统进行分析。
其中，相空间画图是研究非线性系统最常用的方法之一。
它可以将非线性系统的状态表示为相空间中的一点，通过画出系统在相空间中的运动轨迹，了解系统在不同初态下的动态行为。
3. 控制方法控制方法是为了改变非线性系统的行为，使其达到预期目标或保持稳定状态。
非线性系统的控制可以分为开环控制和反馈控制。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一章非线性动力学分析方法（6学时）一、教学目标1、理解动力系统、相空间、稳定性的概念；2、掌握线性稳定性的分析方法；3、掌握奇点的分类及判别条件；4、理解结构稳定性及分支现象；5、能分析简单动力系统的奇点类型及分支现象。
二、教学重点1、线性稳定性的分析方法；2、奇点的判别。
三、教学难点线性稳定性的分析方法四、教学方法讲授并适当运用课件辅助教学五、教学建议学习本章内容之前，学生要复习常微分方程的内容。
六、教学过程本章只介绍一些非常初步的动力学分析方法，但这些方法在应用上是十分有效的。
相空间和稳定性一、动力系统在物理学中，首先根据我们面对要解决的问题划定系统，即系统由哪些要素组成。
再根据研究对象和研究目的，按一定原则从众多的要素中选出最本质要素作为状态变量。
然后再根据一些原理或定律建立控制这些状态变量的微分方程，这些微分方程构成的方程组通常称为动力系统。
研究这些微分方程的解及其稳定性以及其他性质的学问称为动力学。
假定一个系统由n 个状态变量1x ，2x ，…n x 来描述。
有时，每个状态变量不但是时间t 的函数而且也是空间位置r的函数。
如果状态变量与时空变量都有关，那么控制它们变化的方程组称为偏微分方程组。
这里假定状态变量只与时间t 有关，即X i ＝X i (t)，则控制它们的方程组为常微分方程组。
),,,(2111n X X X f dtdX ⋅⋅⋅=λ ),,,(2122n X X X f dtdX ⋅⋅⋅=λ (1.1.1)…),,,(21n n nX X X f dtdX ⋅⋅⋅=λ 其中λ代表某一控制参数。
对于较复杂的问题来说，i f (i ＝l ，2，…n)一般是{}i X 的非线性函数，这时方程(1.1.1)就称为非线性动力系统。
由于{}i f 不明显地依赖时间t ，故称方程组(1.1.1)为自治动力系统。
若{}i f 明显地依赖时间t ，则称方程组为非自治动力系统。
非自治动力系统可化为自治动力系统。
对于非自治动力系统，总可以化成自治动力系统。
例如:)cos(t A x xω=+ 令y x= ，t z ω=，上式化为 ⎪⎩⎪⎨⎧=+-==.cos ,ωzz A x y y x上式则是一个三维自治动力系统。
又如：⎩⎨⎧==).,,(),,,(t v u g v t v u f u令t w =，则化为⎪⎩⎪⎨⎧===.1),,,(),,,(w w v u g v w v u f u它就是三微自治动力系统.对于常微分方程来说，只要给定初始条件方程就能求解。
对于偏微分方程，不但要给定初始条件而且还要给定边界条件方程才能求解。
能严格求出解析解的非线性微分方程组是极少的，大多数只能求数值解或近似解析解。
二、相空间由n 个状态变量{}i X ＝(X 1，X 2，…X n )描述的系统，可以用这n 个状态变量为坐标轴支起一个n 维空间，这个n 维空间就称为系统的相空间。
在t 时刻，每个状态变量都有一个确定的值，这些值决定了相空间的一个点，这个点称为系统状态的代表点(相点)，即它代表了系统t 时刻的状态。
随着时间的流逝，代表点在相空间划出一条曲线，这样曲线称为相轨道或轨线。
它代表了系统状态的演化过程。
三、稳定性把方程组(1.1.1)简写如下),,,(21n i iX X X f dtdX ⋅⋅⋅=λ， i ＝l ，2，…n (1.1.2) 设方程组(1.1.2)在初始条件00)(i i X t X =下的解为)(t X i ，如果用与原来略有差别的初始条件i i i X t X η+='00)(，i η是一个小扰动，就会得到方程组的新解)(t X i '。
如果对于任意给定的ε＞0，存在δ＞0，并且δη≤i ，当0t t ≥时也满足 ε<-')()(t X t X i i ，i ＝l ，2，…n(1.1.3)则称方程组(1.1.2)的解)(t X i 是稳定的，否则它就是不稳定的。
这样定义的稳定性称为Lyapunov 稳定性。
如果)(t X i 是稳定的，并且满足极限条件 0)()(lim ='-∞→t X t X i i t ，i ＝l ，2，…n(1.1.4)则称)(t X i 是惭近稳定的。
上述抽象的数学定义可以直观理解为：方程组对于不同的初始条件有不同的解，如果原初始条件)(0t X i 和受扰动后的初始条件)(0t X i '之差限定在一定的范围内，即δ<-')()(00t X t X i i ，未扰动解)(t X i 和扰动解)(t X i '之差也不超出一定的范围，即ε<-')()(t X t X i i ，则末扰动解)(t X i 就是稳定的；如果)(t X i '渐渐趋近于)(t X i ，最终变得和)(t X i 一致，则称)(t X i 是渐近稳定的；如果)(t X i '与)(t X i 之差不存在一个有限范围，即)(t X i '远离)(t X i ，则称)(t X i 是不稳定的。
由上述Lyapunov 稳定性的定义可以看到，要对动力系统的解的稳定性做出判断，必须对动力学方程组求解，然而对于非线性动力系统是很难获得解析解的，即使获得近似解析解也是如此。
那么，我们能否象最小熵产生原理那样，不用对方程组具体求解就能对系统的稳定性作出判断。
Lyapunov 发展了这种判断方法，通常称为Lyapunov 第二方法。
这种方法主要是寻找(或构造)一个Lyapunov 函数，利用这个函数的性质对系统的稳定性作出判断。
线性稳定性分析通过上节对稳定性的定义我们知道，要对非线性微分方程组的解的稳定性作出判断，最好是求出它的解析解。
然而，对于大多数非线性微分方程组很难得到它们的解析解，甚至求近似解析解都是不可能的。
虽然Lyapunov 方法避开了这一困难，但寻找一个Lyapunov 函数仍存在着相当的困难。
那么我们能否不去对非线性方程组去求解，而采取一种既简单又有效的方法对非线性方程组定态解的稳定性作出定性的判断。
这样的方法是存在的，那就是线性稳定性分析方法。
它的主要思想是，在非线性微分方程组定态解的小邻域，把非线性微分方程组线性化，用线性微分方程组来研究定态解对小扰动的稳定性。
因为线性微分方程组是容易求解的，而且在定态解的小邻域，用线性微分方程组近似取代非线性微分方程组是合理，所以线性稳定性分析方法既简单又有效，是一种常用的稳定性分析方法。
首先通过一个简单的例子来了解线性稳定性分析的思路。
设有一非线性微分方程 )(12X f X dtdX=-= (1.2.1)在定态X 0，00=dtdX ，有01)(200=-=X X f(1.2.2)由此得到定态解101=X ，102-=X(1.2.3)设)(t x 是定态附近的小扰动，即)()(0t x X t X +=(1.2.4) 10<<X x(1.2.5)把方程(1.2.4)代入方程，有202021x x X X dtdx ---= (1.2.6)考虑到定态方程(1.2.2)，并忽略小扰动x 的二次项，得x x Xfx X dt dx ω=∂∂=-=00)(2 (1.2.7)其中002)(X Xf-=∂∂=ω （1.2.8）v1.0 可编辑可修改是线性化系数。
方程(1.2.7)是非线性方程的线性化方程，容易求出它的解为t e x t x ω0)(=其中)0(0x x =是初始扰动。
讨论：定态解的稳定性取决于ω的符号。
（1）如果ω<0，定态解附近的扰动会随时间指数衰减，最后回到该定态，说明这个定态是稳定的；（2）如果ω>0，定态附近的扰动会随时间指数增加，最后离开这个定态，表明该定态是不稳定的。
对于定态101=X ，0220<-=-=X ω，01X 是稳定的；对于定态102-=X ，0220>=-=X ω，02X 是不稳定的。
图 方程(1.2.2)的定态解的稳定性我们可以很容易求得方程(1.2.1)的精确解析解(为一双曲函数))()(k t th t X +=)0(1X th k -=，1)0(±≠X(1.2.9)对于不同的初始条件)0(X ，可以得到一系列的)(t X 曲线，它们随时间的演化行为如图所示，曲线族趋于X 01＝1，离开X 02＝-1。
这证明我们采用线化方程得到的定性结论是正确的。
上述例子虽然简单，但具有一般性，数学家对此作了证明，并形成线性稳定性定理。
设有非线性方程组{}),(j i iX f dtdX λ=，n j i ,,2,1,⋅⋅⋅= (1.2.10)并设)(t x i 是定态解{}0i X 附近的小扰动，即)()(0t x X t X i i i +=10<<i iX x ，n i ,,2,1⋅⋅⋅= (1.2.11)非线性方程组(1.2.10)在定态解{}0i X 附近的线性化方程为∑=∂∂=nj j ji i x x f dt dx 10)((1.2.12)定理 如果线性化方程组(1.2.12)的零解(021==⋅⋅⋅=n x x x )是渐近稳定的，则非线性方程组的定态解{}0i X 也是渐近稳定的；如果零解是不稳定的，则定态解{}0i X 也是不稳定的。
线性稳定性定理保证了利用线性的方法来研究非线性方程定态解稳定性的有效性。
利用线性稳定性定理来研究非线性方程定态解稳定性的过程称为线性稳定性分析。
这种分析方法在处理实际问题中经常被用到。
值得提及的是，线性稳定性定理只是对线性化方程的零解是渐近稳定的或是不稳定的情形给出了结论，而对于零解是Lyapunov 稳定的并不是浙近稳定的情形没有给出任何信息。
这在下节会给予讨论。
奇点分类和极限环现在我们考虑只有两个状态变量(X ，Y)的非线性动力系统，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==),(),(21Y X f dtdY Y X f dtdX(1.3.1)现在相空间变为分别以X 和Y 为坐标轴的二维相平面。
如果方程(1.3.1)的解存在且唯一，那么它的解在相平面上就表现为一条线。
轨线的斜率是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠=≠=)0(,),(),()0(,),(),(221112f Y X f Y X f dYdX f Y X f Y X f dX dY (1.3.2)只要),(1Y X f 和),(2Y X f 不同时为零且连续可微，轨线的斜率就是唯一的，它意味着轨线不相交。
如果轨线在相平面中某一点相交，则这一点的斜率就不是唯一的。
换句话说，数学上的解的存在与唯一性定理要求相空间中的轨线不能相交。
如果),(1Y X f 和),(2Y X f 同时为零，即⎩⎨⎧==0),(0),(002001Y X f Y X f (1.3.3)则有=dX dY (1.3.4)这表明轨线的斜率不唯一。