PPT精品文档---非线性动力学浑沌与因果律 刘华杰北京大学哲学系
现代物理概论-第四章-非线性力学和混沌
（1）一方面从可积系统的一端，即从研究多自由度的非线 性偏微分方程的一端获得重大进展。如在浅水波方程中发现 了“孤子”，发展起一套系统的数学方法，如反散射法，贝 克隆变换等，对一些类型的非线性方程给出了解法；
现代物理概论
第一章 非线性力学和混沌
（2）另一方面，从不可积系统的极端，如在天文学、生态 学等领域对一些看起来相当简单的不可积系统的研究，都 发现了确定性系统中存在着对初值极为敏感的复杂运动。 促成这种变化的一个重要原因十计算机的出现和广泛应用。 科学家们以计算机为手段，勇敢地探索那些过去不能用解 析方法处理的非线性问题，从中发掘出规律性的认识，并 打破了原有的学科界限，从共性、普适性方面来探讨非线 性系统的行为。
对混沌的研究是从对微分方程求解开始的。二十世纪初， 著名的法国数学家和理论天文学家庞加莱发现某些特殊的微 分方程的可解性与解值对其初始条件极为敏感，初始条件的 细微差别可导致其解值的巨大偏差，甚至产生无解现象。但 他的发现没有引起数学家和物理学家的重视。1963年，美国 气象学家洛仑兹在计算机上用他建立的微分方程模拟气象变 化的时候，偶然发现输入的初始条件的极细微的差别，可以 引起模拟结果的巨大变化。洛仑兹打了个比喻说，在南半球 某地一只蝴蝶的翅膀的偶然扇动所引起的微小气流几星期后 可能变成席卷北半球某地的一场龙卷风，这就是天气的“蝴 蝶效应”。它的本质仍然是非现性耦合。洛仑兹的发现意味 着混沌理论的诞生。
现代物理概论
第一章 非线性力学和混沌
第四章 非线性力学和混沌简介
非线性科学是一门研究非线性现象共性的基础学科。 它是自本世纪六十年代以来，在各门以非线性为特征的分 支学科的基础上逐步发展起来的综合性学科，被誉为本世 纪自然科学的“第三次革命”。非线性科学几乎涉及了自 然科学和社会科学的各个领域，并正在改变人们对现实世 界的传统看法。科学界认为：非线性科学的研究不仅具有 重大的科学意义，而且对国计民生的决策和人类生存环境 的利用也具有实际意义。由非线性科学所引起的对确定论 和随机论、有序与无序、偶然性与必然性等范畴和概念的 重新认识，形成了一种新的自然观，将深刻地影响人类的 思维方法，并涉及现代科学的逻辑体系的根本性问题。
第七章 非线性动力学与混沌 讲义
2. 线性化方程组的解及其稳定性
12
111 21 1
122 222
试探解：1 Aet ,2 Bet
11
21
12
22
A B
0
ij
( fi x j
)0
11 12 0 21 22
2 T 0
T 11 22
系数矩阵的迹
11 22 12 21 系数行列式的值
特征根
❖ 刘式达，刘式适，《非线性动力学和复杂 现象》，气象出版社，1989
§7.1 引言
一. “非线性动力学”的表观含义
数学上：
f (x) ax b
f
(x)
ax2
bx
c
线性 非线性
定义：力或微分方程含有坐标或速度的非线性项的系 统，称为非线性动力学系统，反之称为线性动力学系统。
例：
mx kx 2x2
1. 定态解 xi 0 i 1,2, , n
x2
平衡点，奇点
x1
2. 发散解
xi 之一或几个随时间无限地偏离初值 x2
爆炸，散射
x1
3. 振荡解
既不趋于无穷大，也不终止于某一点，而是在一定区域内不断变化。
❖ 周期振荡
❖ 准周期振荡
x2 闭合曲线
x1
x2 非闭合曲线
x1
❖ 混沌
相轨迹没有确定的形状周 期、貌似随机的运动。
1,2 T
T 2 4 2
特征矩阵
A1 B1
A2 B2
1 c1 A1e1t c2 A2e2t
2
c1B1e1t
c2 B2e2t
渐进稳定
临界情况 不稳定
1,2 T
T 2 4 2
走向混沌的道路第三四节
一个动力学系统运动的充分发展是进入混 沌状态。进入混沌状态有哪些方式呢？ 沌状态。进入混沌状态有哪些方式呢？这是非 线性动力学研究中的一个重要问题。 线性动力学研究中的一个重要问题。
同步、 第三节 同步、锁模与混沌
1. 同步与锁模 2. 魔梯与混沌 3. 受驱贝耐特对流实验 4. 受驱单摆的混沌道路
θ i +1 = θ i + Ω − ( K / 2π ) sin 2πθ i
2. 魔梯与混沌
标准映射迭代运算
θ i+1 = θ i + Ω
θ + 0.4 θ i+1 = i θ i + 0.4 − 1 当θ i < 0.6时 当θ i > 0.6时
2. 魔梯与混沌
标准映射迭代运算
θ i+1 = θ i + Ω
x = A sin(ωt + φ )
三个特征量：振幅A、频率ω与相位φ，频率是固有的，振幅与相位决 定于初始条件。 非线性振子，如范德玻耳振子，达芬振子等. 非线性振子 三个特征量：振幅、频率与相位都与系统紧密相关的，并且最终达到的振 动状态与初始条件无关。
1. 同步与锁模
同步与锁模的概念
如果两个非线性振子 间发生耦合，就会发生： 一个振子的状态依赖于 另一个振子的振幅； 或者 一个振子的振动频率锁 定在另一个振子的振动频 率上； 或者 两个振子同步地以一个 共同的频率振动。
1. 同步与锁模
圆周映射
由图可给出以下关系：
BC = τ/T + f (θ i+1 ) = µ + f (θ i+1 ) + 某整数
AB = 1 − θ i + θ i+1 + 某整数
2.3非线性系统的混沌运动与因果性的识别
1、什么是非线性？“非线性”是指两个变量之间没有象正比例那样的“直线”关系科学上的“非线性” 相比“线性”应该至少存在这样的两个差别：1）体系状态不满足均匀性和叠加性；2）对不同的初始状态条件，体系可有完全不同类型的运动或完全不同的运动结局。
2、乌拉姆：非大象动物3、蝴蝶效应：非线性动力系统中对初始条件的敏感依赖性lorenz蝴蝶效应现象，是指事物发展的结果对初始条件具有极为敏感的依赖性。
初始条件极小的偏差将会引起结果的巨大差异。
“蝴蝶效应”说的是：一只南美洲亚马孙河边热带雨林中的蝴蝶，偶尔扇几下翅膀，就有可能在两周后引起美国得克萨斯的一场龙卷风。
原因在于：蝴蝶翅膀的运动，导致其身边的空气系统发生变化，并引起微弱气流的产生，而微弱气流的产生又会引起它四周空气或其他系统产生相应变化，由此引起连锁反应，最终导致其他系统的极大变化。
4、Logistic映射与洛仑兹系统Logistic映射的方程X n + 1 = (1 + r) X n这一迭代关系常被称做logistic 映射(map) ,这里的“logistic”源于希腊文“logistikos”,与“逻辑”毫无关系(“逻辑”在希腊文是“logike”) ,意为“工于计算”洛伦兹系统是洛伦兹从纳维- 斯托克斯(Navier - Stokes) 定理出发,大胆简化了描述二维对流的方程组,只剩下三个关键变量,得到有名的罗伦兹方程组:d x/dt= - 10x + 10yd y/dt= 28 x - y - xzdz/dt= -8/3 z + xy其中x 、y 、z 均为无量纲量,分别表征对流强度、对流中升流与降流之间的温差和铅直方向上温度分布的非线性度。
有限的确定性非线性常微分方程系统可被设计成表示受迫耗散流体动力学流. 这些方程的解可以等同于相空间φ的轨线. 对于那些有有界解的系统, 非周期解对初始值的小修正而言通常是不稳定的, 以致略微不同的初始状态会演变为显著不同的状态。
第七章 非线性动力学与混沌 讲义
二. 决定性系统与不可预测性
1. 力学决定论及其伟大成就
x m F (x, x, t ) x x 0 , x x 0
t t0
x(t ), x(t )
存在且唯一， 可预测性
1757年，哈雷慧星（Hally comet）按预测回归。 1846年，海王星在预言的位置被发现。 今天，日月蚀的准确预测，宇宙探测器的成功发射与回收。
ij (
f i )0 x j
11 12 0 21 22
T 11 22 系数矩阵的迹 11 22 12 21 系数行列式的值
A1 B 1 A2 B2
T 0
2
特征根
1, 2
T T 2 4 2
xi f i ( x1 , x2 ,, xn )
i 1,2,, n
优点：
四. 相空间（相图）的概念
相空间，也就是状态空间，是由广义坐标和广义动量（速度） 张成的空间，也称相宇。相空间中运动状态的变化轨迹称为相图。
弹簧振子 通解
x 0 x
2 0
x A cos( 0t ) x1 x A0 sin(0t ) x2
设想一位智者在某一瞬间得知激励大自然所有力及组成它的物体 的相互位置，如果这位智者又能对众多的数据进行分析，把宇宙间最 庞大的物体和最轻微的原子的运动凝聚在一个公式中，没有什么事物 是不确定的，将来就像过去一样清晰地展现在眼前。
——拉普拉斯（Laplace，法国数学家，1749-1827）
2. 力学决定论不断受到挑战
x1 x, x2 x
x3 cos t , x4 x3
非线性动力学培训课件
粒子群优化算法具有简单、易于实现、全局搜索能力强等优点，但可能存在局部最优解的问题，且对于大规模问题的求解效率可能较低。
粒子群优化算法
03
非线性动力系统的混沌现象
混沌是一种具有高度不确定性、非周期性、非线性、非稳定性的自然现象。
混沌现象的定义
混沌具有敏感的初始条件、拓扑混沌、统计的均匀性、普适性等特征。
非线性动力学在物理、生…
研究非线性动力学在物理、化学、生物、工程等领域的应用，深入探索非线性科学在解决实际问题中的潜力。
高维非线性动力学的数值…
针对高维非线性动力学问题，研究高效的数值模拟方法和算法设计技巧，以提高计算效率和准确性。
非线性动力学的研究前沿和挑战
智能制造与机器人技术的非线性动…
非线性动力学在未来的应用前景和发展趋势
电力工程
研究飞行器的非线性动态行为，如航天器姿态动力学和控制、空间碎片的动力学行为等。
航天工程
社会动力学
研究社会系统的演化和行为，如人口动力学、社会网络分析和人类行为等。
经济动力学
探究经济系统的非线性动态演化，如经济周期、金融危机和国际经济等。
决策科学
探究决策过程中的非线性现象和规律，如群体决策、风险评估和非线性思维等。
非线性动力学涉及到许多基本概念，如平衡点、稳定性、分岔点、混沌等，这些概念在研究非线性系统时具有重要的意义。
基本概念
非线性动力学的定义和基本概念
研究内容
非线性动力学的研究内容包括研究非线性微分方程的定性理论、研究非线性系统的稳定性、分岔、混沌等动力学行为，以及研究非线性动力学的数值方法和计算技术。
非线性动力学方法和思想在其他领域的应用
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[经济学]非线性动力学浑沌说课讲解
朱照宣,1987年,牛顿《原理》三百年祭
• “《原理》发表以来的三百年，牛顿力学经历了两 个阶段。前280年是一阶段。那时认为由运动微 分方程所确定的动态总是确定性的。……后20年 则是另一个阶段。以卡姆定理(KAM)为代表的浑 沌理论提示了决定论和随机论之间、牛顿力学和 统计力学之间没有不可逾越的界线。 ……不仅大 量粒子的系统要用统计力学，两个自由度的保守 系统运动也得用统计力学，连掷骰子本身也既是 决定论的又是概率论的。它从根本上为牛顿力学 摘除了‘机械论’的帽子。”(朱照宣 1987, 第12页)
费格尔
（Herbert Feigl,1902-1988）说
“A causes B” or “A is the cause of B” means that wherever and whenever A occurs it is followed (or attended) by B. Since a precise repetition of A may not be feasible (or discoverable), a less stringent formulation would use something like a mathematical limit process: The more the actual condition A' approximates the conceived (ideal) condition A, the more actual effect B' will approximate the (ideal) effect B.
• There are systems whose trajectories do not monotonically approximate any ideal state. They are sensitive dependence to initial conditions.
非线性动力学与混沌理论
非线性动力学和混沌理论非线性动力学随着科学技术的发展，非线性问题出现在许多学科之中，传统的线性化方法已不能满足解决非线性问题的要求，非线性动力学也就由此产生。
非线性动力学联系到许多学科，如力学、数学、物理学、化学，甚至某些社会科学等。
非线性动力学的三个主要方面：分叉、混沌和孤立子。
事实上，这不是三个孤立的方面。
混沌是一种分叉过程，孤立子有时也可以和同宿轨或异宿轨相联系，同宿轨和异宿轨是分叉研究中的两种主要对象。
经过多年的发展，非线性动力学已发展出了许多分支。
如分叉、混沌、孤立子和符号动力学等。
然而，不同的分支之间又不是完全孤立的。
非线性动力学问题的解析解是很难求出的。
因此，直接分析非线性动力学问题解的行为(尤其是长时期行为)成为研究非线性动力学问题的一种必然手段。
混沌理论是谁提出的？混沌理论，是系统从有序突然变为无序状态的一种演化理论，是对确定性系统中出现的内在“随机过程”形成的途径、机制的研讨。
美国数学家约克与他的研究生李天岩在1975年的论文“周期3则乱七八糟(Chaos)”中首先引入了“混沌”这个名称。
美国气象学家洛伦茨在2O世纪 6O年代初研究天气预报中大气流动问题时，揭示出混沌现象具有不可预言性和对初始条件的极端敏感依赖性这两个基本特点，同时他还发现表面上看起来杂乱无章的混沌，仍然有某种条理性。
1971年法国科学家罗尔和托根斯从数学观点提出纳维-斯托克司方程出现湍流解的机制，揭示了准周期进入湍流的道路，首次揭示了相空间中存在奇异吸引子，这是现代科学最有力的发现之一。
1976年美国生物学家梅在对季节性繁殖的昆虫的年虫口的模拟研究中首次揭示了通过倍周期分岔达到混沌这一途径。
1978年，美国物理学家费根鲍姆重新对梅的虫口模型进行计算机数值实验时，发现了称之为费根鲍姆常数的两个常数。
这就引起了数学物理界的广泛关注。
与此同时，曼德尔布罗特用分形几何来描述一大类复杂无规则的几何对象，使奇异吸引子具有分数维，推进了混沌理论的研究。
混沌理论综述很全课件ppt
❖ 对此，洛伦兹作了个形象的比喻：一只蝴蝶在巴西扇动一下翅膀会在美国 的得克萨斯州引起一场龙卷风，这就是蝴蝶效应。
混沌现象举例--昆虫繁衍
❖ 假定有某种昆虫，在不存在世代交叠的情况下，即每年夏天成虫产卵 后全部死亡，第二年春天每个虫卵孵化为虫。很显然，若产卵数大于 1，则虫口就会迅速增加，“虫满为患”。但在虫口数目增大的同时 又由于争夺有限的食物和生存空间而不断发生咬斗事件，也可能因接 触感染而导致疾病蔓延，这些又会使虫口减少。综合考虑正增长和负 增长，即鼓励和抑制这两种因素的作用，经过一定的数学抽象和变换 后，在1976年生物学家罗伯特.梅最终得到虫口方程如下：Xn+1=λXn (1—Xn) 式中各量的取值范围为
❖ 有一次，洛伦兹为了检验上一次的计算结果，决定再算一遍。但他不是从 上一次计算时的最初输入的数据开始验算，而是以一个中间结果作为验算 的输入数据。他发现，经过一段重复过程后，计算开始偏离上次的结果， 甚至大相径庭。就好比一个计算结果预报几个月后的某天是晴空万里，另 一个计算结果则告诉你这一天将电闪雷鸣！后来洛伦兹发现两次计算的差 别只是第二次输入中间数据时将原来的0.506127省略为0.506。洛伦兹意 识到，因为他的方程是非线性的，非线性方程不同于线性方程，线性方程 对初值的依赖不敏感，而非线性方程对初值的依赖极其敏感。正是初始条 件的微小误差导致了计算结果的巨大偏离。由此洛伦兹断言：准确地作出 长期天气预报是不可能的。
非线性电路混沌实验ppt课件
例如：
当=
31 3
时，0.7是周期一点。现用0.669去
迭代，就会出现周期二。迭代情况如下：
0.669---0.738---0.644---0.764---0.601---03 .799---
0.545---0.829---0.472---0.830---0.469---0.830---
0.470---0.830---0.470……
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实验仪器介绍
LC组成 的振荡电 路
有源非线 性电阻
20
实验内容
1. 连接电路，并将示波器打到合成档。 2. 通过调节电位器W1（粗调）和W2（细调），
在示波器上观察一倍周期李萨茹图、并记录之，
并分别观看1,2通道波形图并记录之。
3.
逐步减小
1 G
，李萨茹图开始出现分叉，即由1倍
周 期变为2倍周期，记录之，并分别记录1,2通道
波形图。
4.逐步减小
1 G
，出现四倍周期，8倍周期，期与阵发混沌相
应图形。
21
实验内容
5.
再减小
1 G
，出现三倍周期，图像十分清楚稳定，
并记录相应图形。根据Yorke的著名论断“周期3意
味着混沌”，这说明电路即将出现混沌。
6.
继续减小
1 G
，则出现单个吸引子，并记录相应图
通信在我们的生活中的作用越来越重要,尤其是电子商务 的兴起，对保密通信提出了更高的要求。利用混沌进行保密 通信是现在十分热门的研究课题。混沌信号最本质的特征是 对初始条件极为敏感，并导致了混沌信号的类随机特性。用 它作为载波调制出来的信号当然也具有类随机特性。因而， 调制混沌信号即使被敌方截获，也很难被破译，这就为混沌 应用于保密通信提供了有利条件。因此利用混沌进行保密通 信是目前十分热门的研究课题。混沌信号最本质的特征是对 初始条件极为敏感，并由此信号又具有整体稳定性,当我们用 同一个混沌信号去驱动两个相同的系统时，两个系统的某些 部分将产生同步化的行为，这就为混沌应用于保密通信提供 了可行性。