第七章 非线性动力学与混沌 讲义
动力系统与混沌理论综述
动力系统与混沌理论综述动力系统与混沌理论是现代非线性科学中的两个重要研究领域。
本文将综述动力系统与混沌理论的基本概念、研究方法以及在不同领域的应用。
通过对动力系统与混沌理论的综述，我们可以更好地理解和应用这些理论，推动非线性科学的发展。
一、动力系统的基本概念及研究方法动力系统是描述物体运动变化的数学模型。
在动力系统研究中，常用的描述方法包括微分方程、差分方程和递推关系等。
动力系统的基本概念包括相空间、相轨道和吸引子等。
相空间是描述动力系统状态的集合，每个点代表系统的一个状态。
相轨道是系统在相空间中的轨迹，揭示了系统状态随时间变化的过程。
吸引子是相轨道的稳定部分，能够吸引其他轨道接近于它自身。
研究动力系统的方法主要有数值模拟、数学分析和实验观测等。
数值模拟通过计算机模拟动力系统的行为，可以得到系统的演化规律。
数学分析通过解析方法研究动力系统的特性，如稳定性、周期性和混沌性等。
实验观测通过实验手段获取动力系统的数据，验证和探索动力系统行为的规律。
二、混沌理论的基本概念及研究方法混沌理论是研究动力系统中混乱、不可预测行为的一门学科。
混沌理论的基本概念包括敏感依赖性、确定性和随机性等。
敏感依赖性是指动力系统初始条件的微小变化会导致系统演化的巨大不同。
确定性是指动力系统的演化规律是确定的，不存在随机因素。
随机性是指在混沌系统中存在无法预测的随机行为。
研究混沌的方法主要有分析、数值模拟和实验观测等。
通过分析混沌系统的特性，如李雅普诺夫指数、分岔现象和分形特性等，可以揭示混沌系统的行为规律。
数值模拟可以通过计算机模拟混沌系统的演化，揭示其动力学特性。
实验观测通过实验手段获取混沌系统的数据，验证和探索混沌系统的行为规律。
三、动力系统与混沌理论的应用动力系统与混沌理论在许多领域中都有广泛的应用。
在物理学领域，动力系统与混沌理论可以用于研究天体运动、分子动力学和流体力学等问题。
在生物学领域，动力系统与混沌理论可以用于研究生物进化、群体行为和神经系统等现象。
非线性动力学中的混沌与分岔现象
非线性动力学中的混沌与分岔现象混沌现象的介绍混沌现象是非线性动力学中一个重要的研究课题，它描述了一种似乎随机的、无规律可循的运动状态。
在混沌现象的研究中，人们发现了一些特征，如灵敏依赖于初始条件、无周期运动和封闭轨道等。
混沌现象的研究对于理解自然界中的复杂系统行为具有重要的意义。
混沌现象最早是由美国数学家Edward Lorenz于20世纪60年代发现的。
他在研究气象学中的大气运动方程时，意外地发现了不确定性的现象。
这个发现被称为“蝴蝶效应”，即当一个蝴蝶在巴西振动翅膀时，可能引发一系列的气流变化，最终导致美国得克萨斯州的一个龙卷风的形成。
这个例子说明了混沌现象中初始条件的微小变化可能引起系统运动的巨大变化。
混沌现象的数学表示混沌现象可以用一些非线性动力学方程描述。
这些方程通常包含了一些非线性项，使得系统的演化不再是简单的线性叠加。
一个经典的混沌系统方程是Lorenz方程：\\frac{{dx}}{{dt}} = \\sigma(y - x),\\frac{{dy}}{{dt}} = x(\\rho - z) - y,\\frac{{dz}}{{dt}} = xy - \\beta z其中，x、y和z是系统的状态变量，t是时间。
σ、ρ和β是一些常数，它们决定了系统的性质。
这个方程描述了一个三维空间中的运动，这种运动就是混沌现象。
分岔现象的介绍分岔现象是混沌现象的一个重要特征，它描述了系统参数发生微小变化时，系统行为的剧烈变化。
简单来说，分岔现象就是系统从一个稳定的演化状态变成多个稳定状态的过程。
分岔现象的经典例子是Logistic映射。
Logistic映射是一种常用的非线性映射，它用于描述生物种群的增长。
Logistic映射的公式为：x_{n+1} = r \\cdot x_n \\cdot (1 - x_n)其中，x_n是第n个时刻的种群密度，x_{n+1}是下一个时刻的种群密度，r是系统的参数，它决定了种群的增长速度。
详解非线性动力学的混沌和复杂性
详解非线性动力学的混沌和复杂性非线性动力学是一门研究非线性系统行为的学科，在这门学科中，混沌和复杂性是两个习惯性使用的术语。
混沌指的是非线性系统的表现极其高度不稳定和难以预测，而复杂性则指的是系统中的各个部分之间相互影响并产生的多种自组织现象。
这篇文章将更加详细地解释混沌和复杂性的概念以及它们在非线性动力学中的应用。
一、混沌的概念在非线性动力学研究中，混沌通常用于描述非线性系统的性质。
混沌行为的表现形式很多，其中最常见的现象是所谓的“无限迭代”。
在数学上，无限迭代意味着函数值的变化是在一个短时间内不断变化，并且难以预测。
某些非线性系统的动力学方程式就是无限迭代的。
一个经典的例子是“洛伦兹吸引子”（Lorenz attractor）。
该吸引子是由爱德华·洛伦兹在20世纪60年代概括出来的，他以一种简单的三维微分方程作为基础。
虽然该方程式在形式上非常简单，但它却表现出了高度不稳定、难以预测的行为表现形式。
也就是说，任何初始状态的微小变化都会导致最终结果完全不同的结论，因此在实际应用中非常难以精确预测。
二、复杂性的概念除了混沌之外，非线性动力学还以其复杂性而著名。
复杂性的概念可以追溯到20世纪40年代，但其实质在于多个元素之间的相互作用和组织。
例如，一个降雨系统可能会受到多个独立的天气系统的影响，它需要在这些不同的系统中寻找一条路径，以便让雨水流向正确的方向。
这个过程需要同时考虑外部环境、降雨规律、地形和土地使用等多方面因素。
在非线性动力学中，一个复杂系统的行为不仅受到其各个组成部分的属性所决定，还受到它们之间的相互作用和反馈机制所影响。
更进一步，这种相互作用可以导致系统一些非常有趣的自组织现象出现。
例如，人工神经网络可以通过逐层逼近降低误差来学习和识别各种类型的信息，而无需显式编程或指令。
三、非线性动力学和实际应用混沌和复杂性的理论虽然很有趣，但是它们在实际的应用中也具有非常广泛的应用价值。
非线性动力学中的混沌与分岔现象研究
非线性动力学中的混沌与分岔现象研究在物理学和自然科学领域里，非线性动力学是一个十分重要的研究领域。
非线性动力学理论的出现使得我们对自然界中不规则的复杂现象有了更深的认识。
混沌和分岔现象的出现是非线性动力学的一个重要研究方向。
在本文中，我们将讨论非线性动力学中混沌和分岔现象的基本概念和研究现状。
一、混沌现象混沌现象是一种表现为无规律、无周期、既不平凡又不完全随机的复杂动力学现象。
混沌出现的背景通常是一组非线性微分方程，因此它的发生与目标系统的非线性特性有关。
混沌作为物理学发现的一个新现象，引起了科学家们的广泛关注。
通常情况下，混沌现象是由一组微小的变化引起的，因此混沌现象也被称为蝴蝶效应。
经典的三体问题就是一个混沌的例子。
对于混沌现象，其最主要的特征是对初始条件的依赖，也就是所谓的敏感依赖性。
这意味着如果我们的实验或者计算开始时的初值稍有 variations，结果可能会相差很大。
在混沌理论中，不同的初始条件可以导致截然不同的运动的形态，这种敏感依赖性表现得深入人心，深刻地提示我们要了解物理世界中的微小变化是多么的重要。
此外，混沌现象还表现在期望不规律性上，也就是说，目标系统的演化不能用周期性或规则性过程去描述。
混沌经常被认为是对确定性的“不确定性”的表现。
混沌现象的研究可以将我们的认识推向新的领域，对于深入理解天文学、流体物理、生物学等领域都有重要的意义。
二、分岔现象分岔现象通常被认为是从一个稳定平衡状态到另一个稳定平衡状态过程中的一个突变性变化。
发生分岔的原因通常是由非线性动力学系统结构的变化所引起的。
分岔现象是非线性动力学系统中的一种普遍现象，在分岔研究领域有着极为重要的地位。
分岔的一个重要性质是其可以导致同样初始条件下发生系统演化的不同结果，与混沌现象类似。
分岔现象最早的研究源自于对恒星爆发的研究，目前这项研究产生的成果对于预测和防范太阳风暴等等事件都有很重要的意义。
此外，分岔现象在复杂系统和混沌理论中也有广泛的应用，是现代科学研究的一个重要组成部分。
[经济学]非线性动力学浑沌说课讲解
![[经济学]非线性动力学浑沌说课讲解](https://img.taocdn.com/s3/m/fc77ec380812a21614791711cc7931b765ce7b48.png)
朱照宣,1987年,牛顿《原理》三百年祭
• “《原理》发表以来的三百年，牛顿力学经历了两 个阶段。前280年是一阶段。那时认为由运动微 分方程所确定的动态总是确定性的。……后20年 则是另一个阶段。以卡姆定理(KAM)为代表的浑 沌理论提示了决定论和随机论之间、牛顿力学和 统计力学之间没有不可逾越的界线。 ……不仅大 量粒子的系统要用统计力学，两个自由度的保守 系统运动也得用统计力学，连掷骰子本身也既是 决定论的又是概率论的。它从根本上为牛顿力学 摘除了‘机械论’的帽子。”(朱照宣 1987, 第12页)
费格尔
（Herbert Feigl,1902-1988）说
“A causes B” or “A is the cause of B” means that wherever and whenever A occurs it is followed (or attended) by B. Since a precise repetition of A may not be feasible (or discoverable), a less stringent formulation would use something like a mathematical limit process: The more the actual condition A' approximates the conceived (ideal) condition A, the more actual effect B' will approximate the (ideal) effect B.
• There are systems whose trajectories do not monotonically approximate any ideal state. They are sensitive dependence to initial conditions.
非线性微分方程的分岔和混沌现象
非线性微分方程的分岔和混沌现象非线性微分方程是自然科学中经典的研究对象之一。
在广泛的自然现象和实验研究时，非线性微分方程都是用来描述这些现象的数学工具。
但是，非线性微分方程的动力学特性非常复杂，包括分岔、混沌等现象。
这些现象对于科学家而言是非常重要而且有很多有趣的数学理论成果与实际应用。
在本文中，我们将探讨非线性微分方程的分岔和混沌现象的一些基本概念与数学理论。
一、非线性微分方程的分岔现象分岔现象是指一个系统中的某些参数发生变化时，该系统的稳定性质发生变化。
特别是当这些参数逐渐变化到一定的“临界点”时，系统的稳定性质突然发生改变，这种现象叫做分岔。
通常，这个临界点称为临界参数值。
分岔现象是非线性微分方程的一个根本动力学现象，在自然科学中有着广泛的应用。
1. 常见的分岔类型非线性微分方程的分岔有许多类型，其中比较常见的有：鞍点分岔、极小极大分岔、超过阈值分岔、分支分岔等。
鞍点分岔是指由一个稳定的状态发生分裂从而出现两个不同状态的现象。
这种分岔是由一个简单稳定节点与一个鞍点相遇时产生的。
极小极大分岔是指当参数发生微小的变化时，极小值点和极大值点突然出现的现象。
超过阈值分岔是指当参数超过某些阈值时，系统从一个极限环突变到一个新的解的现象。
分支分岔是指在参数空间中出现分支条件，这通常在响应系统行为的外部变量出现周期性变化时会发生。
2. 分岔的重要性分岔现象对于非线性微分方程而言是非常重要的，因为它可以揭示系统的稳定性和动力学性质。
而且，正是由于分岔现象才使得非线性微分方程在自然科学领域中有着广泛的应用。
例如，在物理领域中，分岔现象可以帮助我们研究光学、空气动力学、气象学等领域中的不同系统。
在生物学领域中，分岔现象可以帮助我们研究細胞過程中的周期性行为、神经行为、化學反應等。
在经济学领域中，分岔现象可以帮助我们理解市場泡沫、动态平衡等问题。
二、非线性微分方程的混沌现象混沌现象是指某些动力学系统（如非线性微分方程）的随时间演化的状态具有无限的、不可预测的细节。
利用非线性动力学系统研究混沌现象
混沌是指发生在确定性系统中的看似随机的
不规则 ％ —
性理论描述的
为却表现
ห้องสมุดไป่ตู้
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复、不可预
现象山％
线性 的 特性 IE
线性 普
的现象％目前，，
学已经
成为复杂性科学的一 要分支，混沌运动的动力
学特性已经被证明在描述和量化大量的复杂现象
中非常有用⑵。但是，E 输岀对状态初值的敏感性
的： 现
的复杂性和奇异性，使
部分，如图1所示。其中摆轮部 半
4.75cm
的 圆盘和安装
的一
块
，圆
盘安装
传感器上，并在圆盘后侧安装一个
磁阻，来改变圆盘转动的 。圆盘
的恢复
两根弹簧提供，弹簧通 线缠绕在圆盘后
侧的 杆上。两根弹簧下端，一
，另一根
的转臂上，这样圆盘的
到
驱
期外力的作用。同
臂的一
侧加装
，
的。
传感器、
驱
通过850通用接口连接计算
，实验时打开PASCO Capstone 采
软件，可控制驱
，并实时显示
传
感器的角度
度的 ，同 用
采集
到的驱
期信息在实时相图上绘制庞加莱点。
设 圆盘的半
R，
M，则 惯
（a）混沌摆实验装置；（b）铝质圆盘侧视图 图中（0）钱磁铁；（1）转动传感器；（2）三角支架；（3） 850通用数据 采集；（4）电机；（5）圆柱体质块；（6）铝盘；（7）弹簧；（8）光电门 ［注：实验装置图引自PASCO公司2016物理和工程目录一书中 第324页:
wilappearalternatelyintheperiodicandchaoticstates"andthischangeisalmostabrupt At
混沌理论与非线性动力学的应用
混沌理论与非线性动力学的应用引言混沌理论和非线性动力学作为现代科学中的重要分支，已经在许多领域展现出了广泛的应用价值。
本文将从理论和实际应用两个方面，对混沌理论和非线性动力学的应用进行探讨。
首先，我们将介绍混沌理论和非线性动力学的基本概念和原理，随后，我们将列举一些重要的应用案例，包括天气预测、金融市场分析、生物学研究等。
混沌理论的基本概念和原理混沌理论是20世纪60年代末期以来发展起来的一门交叉学科，它研究的是非线性动力学系统中的混沌现象。
混沌现象是指在非线性系统中出现的非周期、非随机但又有规律的运动。
混沌系统具有极为敏感的初始条件依赖性和指数级散射性，这使得混沌系统的运动态变得异常复杂。
非线性动力学是研究非线性系统行为和性质的一门学科，它利用微分方程和动力学理论来描述和预测系统的演化。
非线性系统是指系统的响应和输入之间存在非线性关系的系统。
与线性系统相比，非线性系统的行为更加丰富多样，可以出现混沌、周期、稳定等多种运动态。
混沌理论和非线性动力学的应用，主要基于以下几个原理：1.敏感依赖性：混沌系统对初始条件极其敏感，微小扰动可能引起系统演化的巨大变化。
2.嵌套结构：混沌系统的各种轨道在相空间中具有特征的嵌套结构，这种结构对于系统的运动态起到了重要作用。
3.混沌控制：通过适当的控制手段，可以实现对混沌系统的控制和稳定。
混沌理论和非线性动力学的应用案例天气预测天气预测是混沌理论和非线性动力学在气象学中的一个重要应用领域。
天气系统是一个具有复杂非线性动力学行为的系统，受到许多不确定性因素的影响，因此传统的天气预测方法往往难以准确预测。
通过引入混沌理论和非线性动力学的方法，可以更好地理解和模拟天气系统的演化过程，提高天气预测的准确性。
金融市场分析金融市场是混沌理论和非线性动力学的又一个重要应用领域。
金融市场的价格变动通常具有随机性和非线性性，传统的金融模型往往无法准确描述市场的行为。
通过引入混沌理论和非线性动力学的方法，可以对金融市场的价格变动进行建模和预测，为投资者提供更准确的决策依据。
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2. 线性化方程组的解及其稳定性
12
111 21 1
122 222
试探解：1 Aet ,2 Bet
11
21
12
22
A B
0
ij
( fi x j
)0
11 12 0 21 22
2 T 0
T 11 22
系数矩阵的迹
11 22 12 21 系数行列式的值
特征根
❖ 刘式达，刘式适，《非线性动力学和复杂 现象》，气象出版社，1989
§7.1 引言
一. “非线性动力学”的表观含义
数学上：
f (x) ax b
f
(x)
ax2
bx
c
线性 非线性
定义：力或微分方程含有坐标或速度的非线性项的系 统，称为非线性动力学系统，反之称为线性动力学系统。
例：
mx kx 2x2
1. 定态解 xi 0 i 1,2, , n
x2
平衡点，奇点
x1
2. 发散解
xi 之一或几个随时间无限地偏离初值 x2
爆炸，散射
x1
3. 振荡解
既不趋于无穷大，也不终止于某一点，而是在一定区域内不断变化。
❖ 周期振荡
❖ 准周期振荡
x2 闭合曲线
x1
x2 非闭合曲线
x1
❖ 混沌
相轨迹没有确定的形状周 期、貌似随机的运动。
1,2 T
T 2 4 2
特征矩阵
A1 B1
A2 B2
1 c1 A1e1t c2 A2e2t
2
c1B1e1t
c2 B2e2t
渐进稳定
临界情况 不稳定
1,2 T
T 2 4 2
T
不稳定
不稳定
❖ (1) 两特征根实部都是负的
lim
t
i
0
原点 i 0 是渐进稳定的
❖ (2) 两特征根中至少有一个实部为正
mx
k x2
二. 决定性系统与不可预测性
1. 力学决定论及其伟大成就
mx F(x, x,t)
x x0, x x0
t t0
x(t ), x(t )
存在且唯一， 可预测性
❖ 1757年，哈雷慧星（Hally comet）按预测回归。 ❖ 1846年，海王星在预言的位置被发现。 ❖ 今天，日月蚀的准确预测，宇宙探测器的成功发射与回收。
2. 在奇点 ( ,0) 处线性化方程组为
1
f1 x1
1
f1 x2
2
0
2
2
f2 x1
1
f2 x2
2
0
021
-
22
a11 a21
a12 a22
0
02
1
2
T 2 , 02 0 奇点 ( ,0) 为鞍点
线性稳定性定理只适用于分析非线性方程奇点及其附近的解的性质，离奇点越远， 线性化误差越大。
设想一位智者在某一瞬间得知激励大自然所有力及组成它的物体 的相互位置，如果这位智者又能对众多的数据进行分析，把宇宙间最 庞大的物体和最轻微的原子的运动凝聚在一个公式中，没有什么事物 是不确定的，将来就像过去一样清晰地展现在眼前。
——拉普拉斯（Laplace，法国数学家，1749-1827）
2. 力学决定论不断受到挑战
§7.3 极限环——渐进稳定的周期振荡
一. 定义
相空间里孤立的闭曲线，称为极限环
x2
此轨道极小邻域内
x2
不出现其它闭轨道
与初始条件无关
x1
x1
守恒的（与初始条件有关的） 周期振荡不是极限环
极限环
例：Van der Pol 方程（电子管振荡）
x x2 1 x 2x
演示 Van Der Pol
——非线性方程组在参考态 xi0 (t)
附近的线性化方程组
xi (t) xi0 (t)
i 0
若线性化方程的原点i 0 是渐进稳定的，则原非线性方程的参考态xi0 (t)是渐进稳定的； 若线性化方程的原点i 0 是不稳定的， 则原非线性方程的参考态xi0 (t)是不稳定的。
——Lyapunov间接法
x0 (0) 1
c2
x0 (t) t 1 2et
x(0) x0(0) 1 c 1 2 c 2
x(t) x0 (t) t 1 cet 1 2et c 2 et
lim
t
x(t)
x0 (t)
lim
t
c 2 et
0
渐进稳定的
三. 线性稳定性分析
1. 线性稳定性定理
xi fi (x1, x2 , , xn ) i 1,2, , n 设 xi0 (t) 为方程的一个解(参考解)， 为研究该解的稳定性，
中心
鞍点
(4) 0 两根都是实数，一正一负，此时奇点称为鞍点。
稳 定 焦 稳定结点 点
不 T 2 4 0 中稳 心焦
点 不稳结点
T
鞍点
1,2 T
T 2 4 2
例： 分析阻尼单摆定态的稳定性
解：
2 02 sin 0
令 x1 , x2
x1 f1x1, x2 x2
x2 f2 (x1, x2 ) 02 sin x1 2x2
❖ 数值计算 优点： ❖ 系统的状态
❖ 相空间
四. 相空间（相图）的概念
相空间，也就是状态空间，是由广义坐标和广义动量（速度） 张成的空间，也称相宇。相空间中运动状态的变化轨迹称为相图。
弹簧振子 x 02 x 0
x1 x2
x2
02
x1
通解 x Acos(0t ) x1 x A0 sin(0t ) x2
二. 解的稳定性
Lyapunov稳定性定义：
x f (x)
x (x1, x2 , , xn ) f ( f1, f2 , , fn )
❖(1) 设t=t0时方程的解为x0 (t0 )，t时为 x0 (t) ，另一受扰动而偏离它的
解t0时为x(t0 ) ， t时为x(t)。如果对于任意小的数 0，总有一小数 0 存在，使得当 x(t0) x0(t0) 时，必有 x(t) x0(t) ,t0 t
第七章 非线性动力学与混沌 Chapter 7 Nonlinear Dynamics and Chaos
宋若龙 songrl@ 吉林大学物理学院
参考书
❖ 刘秉正， 《非线性动力学与混沌基础》， 东北师范大学出版社，1994
❖ 林振山，《非线性力学与大气科学》，南 京大学出版社，1993
2
的极限环性解及其稳定性，c为参数。
lim
t
i
原点 i 0 是不稳定的
参考态 xi0 也是渐进稳定的。 参考态 xi0 也是不稳定的。
❖ (3) 两特征根中至少有一个实部为零，另一个实部为负
原点 i 0 是Lyapunov稳定的
参考态 xi0 处于临界情况。
3. 奇点的分类 （取非线性方程的奇点为参考态）
1,2 T
T 2 4 2
n+1维自治
Duffing方程
mx x kx x3 F cos t
x1 x, x2 x x3 cos t, x4 x3
x1 x2
x2
k m
x1
m
x13
m
x2
F m
x3
x3 x4 x4 2 x3
一阶常微分方程组 xi fi (x1, x2 , , xn )
i 1,2, , n
1. 自治方程与非自治方程
mx F(x, x)
不显含时间，自治的
mx F(x, x,t) 显含时间，非自治的
2. 常微分方程一般形式
（1）自治的 x f (x, x)
2阶，1维
x1 x x2 x x1
x1 x2 x2 f (x1, x2 )
1阶，2维
（2）非自治的 n维非自治
xi t, xi 1
0
x 1
x2 1 0
阻尼力与速度同向，负阻尼，对系统供能， 振幅逐渐增大，振幅终将大于1。
x 1
x2 1 0
阻尼力与速度反向，正阻尼，消耗能量， 振幅逐渐减小。
二. 极限环存在的判据
庞伽莱-班狄克生判据 (Poincare-Bendixson theorem):
如果方程
x1 f1(x1, x2 ) x2 f2 (x1, x2 )
x12 A2
x22
( A0 )2
1
x
x2
t
时空轨迹
x1
相图
阻尼弹簧振子 x 2x 02 x 0 通解 x Aet
x1 x2
x2
02
x1
2x2
代入方程
2 2 02 0
2 02
当阻尼为正阻尼且很小时 0 0 i, 02 2 x1 x Aet cos(t ) x2 x Aet[ cos(t ) sin(t )]
❖ 1883年，英国流体力学家雷诺(Reynolds)的湍流实验。 （香烟）
❖ 1903年，法国数学家昂利•庞伽莱（Henri Poincare）从动力系统 和拓扑学的全局思想出发，指出动力学系统可能存在混沌特征。
❖ 1963，美国气象学家洛仑兹（Lorenz）在研究天气预报中大气流 动问题时发现了天气“对初始条件的极端敏感性”，将使长时间 的预测无法进行。后被形象地称为“蝴蝶效应” ：一只蝴蝶在巴 西扇一下翅膀，就可能在美国得克萨斯州引起龙卷风。
例1. x 2 t
x0 (0) 1
解： x(t) 2t 1 t 2 c 2
x0 (0) c 1
x0 (t)
2t
1 2
t2
1
x(0) x0(0) c 1