洛伦兹模型和混沌
力学系统的混沌现象分析
力学系统的混沌现象分析力学系统是物理学中重要的研究对象之一，涉及到物体的运动和力的作用。
在力学系统中，存在着一种有趣而复杂的现象，即混沌现象。
混沌现象表现为系统在微小的初始条件下，其演化轨迹变得极其敏感，结果呈现出无法预测的、随机的和周期性的特征。
在本文中，我们将对力学系统的混沌现象进行详细分析。
首先，我们来看经典的混沌系统之一——洛伦兹系统。
洛伦兹系统是由爱德华·洛伦兹于1963年提出的一个简化的大气环流模型，用来研究大气中的气流等现象。
洛伦兹系统由三个微分方程描述，分别表示了空间特定位置上流体粒子的速度和位置。
当某些参数取特定值时，洛伦兹系统表现出典型的混沌行为。
在混沌状态下，系统的演化轨迹在相空间中呈现出奇特的“蝴蝶状”结构，且无法准确预测未来的状态。
混沌现象的产生源于力学系统的非线性性质。
在线性系统中，初始条件对于系统的演化并没有明显的影响。
然而，在非线性系统中，微小的初始条件差异会导致系统演化结果的巨大不同。
这种敏感依赖于初始条件的特性，被称为“蝴蝶效应”。
蝴蝶效应的一个典型例子是“蝴蝶效应理论”，即一只蝴蝶在亚洲扇动翅膀所产生的微小气流变动，可能会引起数周后在美洲的龙卷风形成。
混沌现象的另一个重要特征是演化轨迹的不可周期性。
在混沌系统中，虽然可以看到某些模式的出现，但这些模式并不会重复出现。
与之相反，系统轨迹呈现出无序无规的变化。
这种无序的特性为混沌系统带来了一定的随机性，使得其演化结果无法完全确定。
这也是为何混沌系统很难被模拟和预测的原因之一。
混沌现象的研究对于理解自然界的复杂性和不确定性具有重要意义。
通过对力学系统的混沌现象进行研究，我们可以更好地理解自然界中的非线性系统、大气环流、天体运动等现象。
此外，混沌现象还有着广泛的应用价值，例如在信息加密、密码学和随机数生成等领域。
然而，尽管混沌现象在理论上提供了对系统行为的新视角，但在应用中也带来了一定的挑战。
由于混沌系统的非确定性和不可预测性，利用混沌现象进行控制和优化等工程应用依然是一个复杂的问题。
fxd3-1洛伦茨方程和混沌
2.洛伦兹方程
洛伦兹方程
洛伦兹利用流体力学中的纳维叶-斯托克斯(Navier-Stokes)方程、热传导方程 和连续性方程，处理贝耐特对流，推导出描述大气对流的微分方程，即著名 的洛伦兹方程。
dx
d
dy
d
-s (x - y)
rx - y - xz
dz
d
-bz
当上下温差加大时，为什么 对流不积微渐著，而是突然从 无到有地产生?
1.流体中的不稳定性
贝耐特对流实验
理想装置：两块平行平板中间充满液体，y方向无限伸展，下底加热。 现象：实验时，下面板均匀缓慢地加热，上下平板之间出现温差。平板间 的液体开始是静止的，当加热到一定程度时，液体开始翻动，出现对流现象。 发生翻动对流时会形成一种象蛋卷一样很规则的图形，温差进一步增加时， 规则的对流图形将受到破坏，进入到了湍流状态。 分析：随温度上升，流体经历由稳定到不稳定再到新的稳定态的分岔过程。
奇怪吸引子
李雅普诺夫指数公式
在相空间里混沌系统的两个轨道相邻点之间的距离是随时间分离的，而分 离程度是按指数增加的。
两个轨道： xn1 f ( xn ),
yn1 f ( yn )
设其初始值微小误差 x0 - y0 ，经过一次迭代以后有：
x1 - y1
f (x0 ) - f (y0 )
r rc 时共轭复根的实部为正值， C1与C2成了不稳定的焦点。定态对流失
稳，是不稳定的。这时将出现一次新分岔－霍普夫分岔，平衡点C1与C2失稳 发展成为奇怪吸引子。
洛伦兹吸引子
rc
s(s b 3) s - (b 1)
24.7368 ,(s
洛伦兹系统的混沌区间
洛伦兹系统的混沌区间
洛伦兹系统是一种描述流体动力学中对流现象的数学模型。
它包含三个非线性微分方程，描述了三个变量（速度、温度和密度）随时间的变化。
这个系统的一个显著特征是混沌现象，即微小的扰动会导致系统进入不可预测的状态。
通过数值模拟和理论分析，研究者们发现洛伦兹系统的混沌区间是由两个分别称为“鞍点”和“极限环”的不稳定结构组成的。
在这个区间内，系统的状态会随时间不断变化，但又不会无限趋向于某一特定状态。
这种不可预测的行为在气象学、物理学和工程学等领域都具有重要的应用价值。
除了理论分析，实验研究也对洛伦兹系统的混沌现象进行了深入探究。
在实验室中，研究者们使用了各种方法来模拟和控制洛伦兹系统，包括电路模拟、光学实验等。
这些实验结果不仅验证了理论模型中的混沌现象，还为进一步研究天气预测、流体控制等应用提供了重要的实验基础。
总之，洛伦兹系统的混沌现象是一个具有重要理论和实际应用价值的研究领域，它不仅挑战了传统物理学对于“确定性”的理解，也为我们深入了解自然界的复杂性提供了新的视角和思路。
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两类混沌系统的定性分析
摘要自气象学家洛伦兹首次发现了混沌模型-洛伦兹系统，混沌系统成为众多专家学者研究的热点之一. 众所周知，混沌系统蕴含着极其复杂的动力学行为. 而对混沌系统的定性分析可以帮助我们了解其丰富复杂的动力学行为. 因此，本文对两个混沌系统进行了定性分析，其中一个系统为双翼洛仑兹类混沌系统，另一个为金融混沌系统.分析过程主要包括以下几点：（1）求解各参数范围内的平衡点及其稳定性；（2）分析平衡点的局部动力学行为；（3）平衡点的分支分析；（4）庞加莱紧致法分析系统在无穷远处的动力学行为；（5）分析系统的特殊轨道.通过以上分析，得到了系统的全局动力学行为.关键词：混沌系统，定性分析，平衡点，无穷远分析，分支AbstractMore authors devoted them themselves to the chaotic system since the first chaotic system-Lorenz system was found by Lorenz. It is well-known that chaotic system poses more complicated and plentiful dynamic behaviors. And the qualitative analysis of the chaotic system can help us to reveal the complicated dynamic behaviors.So in this paper, we make qualitative analysis for two chaotic systems. One is the double wing Lorenz-like chaotic system, and the other is a financial chaotic system. And the work in this paper include:（1）the equilibrium points and its stability;（2）the local dynamic behavior of the equilibrium points;（3）the bifurcation analysis of the equilibrium points;（4）the dynamics at infinity using Poincare compact;(5）the special orbits of the system.By the above analysis, the global dynamics are obtained.Keywords: Chaotic system, Qualitative analysis, Equilibrium point, Dynamics at infinity, Bifurcation目录第一章 引言 (1)1.1研究背景和意义 (1)1.2 国内外研究现状 (2)1.3 本文的主要工作及安排 (4)第二章 研究混沌系统的理论和方法 (5)2.1奇点类型 (5)2.2稳定性理论 (6)2.2.1 线性稳定性理论 (6)2.2.2 非线性稳定性理论 (7)2.3三维系统中的无穷远分析-庞加莱紧致化方法 (8)2.4 分支理论 (10)2.4.1 鞍结点分支 (10)2.4.2 超临界分支 (11)2.4.3 草叉分支 (11)2.4.4 Hopf分支 (11)第三章 一个双翼混沌系统的动力学行为 (14)3.1 系统的提出 (14)3.2 系统的局部动力学特性 (14)3.2.1 系统的平衡点 (14)3.2.2 平衡点0E的局部动力学行为 (15)E的局部动力学行为 (18)3.2.3 平衡线z3.2.4 平衡点±E 的局部动力学行为 (19)3.3 无穷远动力学行为 (22)3.3.1 在坐标卡11,V U 中 (22)3.3.2 在坐标卡22,V U 中 (24)3.3.3 在坐标卡33,V U 中 (25)3.4 无穷异宿轨 (27)第四章 一类金融混沌系统的动力学行为 (28)4.1系统的局部动力学行为 (28)4.1.1 系统的平衡点 (29)4.1.2 0E 点的局部动力学行为 (29)4.1.3 ±E 点的局部动力学行为 (31)4.1.4 ±E 点的局部动力学行为 (32)4.2系统在无穷远处的动力学行为 (33)4.2.1 在坐标卡11,V U 中 (33)4.2.2在坐标卡22,V U 中 (34)4.2.3在坐标卡33,V U 中 (35)第五章 结论 (38)致谢 (39)参考文献 (40)第一章 引言·1.1研究背景和意义众所周知，常微分方程的实际作用是从17世纪末诞生之际就显现出来的.随着科技的不断发展，常微分方程已经在气象、工程、生物、物理、化学、经济金融等众多应用领域中发挥着重要作用.常微分方程在17世纪末诞生之时还并未单独成为一门分支学科，18世纪才成为有自己的方法和目标的新的分支学科，这段时期，众多专家学者把注意力放在如何求解微分方程上.而微分方程作为应用的重大意义就是很多实际问题可以化归为微分方程的求解问题.因此求微分方程的解析解是数学家们讨论微分方程解的任务之一.但实际上，很多微分方程的解析解很难求出，于是有了对解的数值模拟.直到现在，随着计算机的飞速发展，求微分方程的数值解仍然是一热点话题.然而，数值解只是一种模拟，而且在实际应用中（如物理、工程、天文学）并非一定要找到解，要想了解的性态，我们还可以不求解微分方程而只根据方程本身的特性直接研究解的性质，这就是微分方程解的定性分析.早在19世纪，数学家庞加莱开创了微分方程解的定性理论（讨论微分方程相空间的几何特征，如平衡解的拓扑类型，稳定性，周期轨的存在性等），李雅谱诺夫则开创了微分方程解的稳定性理论的研究.到了20世纪，微分方程进入了定性理论研究的阶段.关于定性理论的研究，目前已经取得了很多卓越的成果.可以说常微分方程定性理论已经构成近代非线性分析中重要的组成部分，对于其他学科分支的研究有宝贵的参考价值.1963 年，美国的气象学家洛仑兹在研究大气现象时构造了一个确定的三维自治常微分方程系统——洛仑兹系统⎪⎩⎪⎨⎧+−=−−=−=,,),(xy bz z xz y cx yx y a x 其中()⎪⎭⎫ ⎝⎛=28,38,10,,c b a .并以题目为《决定性非周期流》的论文发表了所得结果，开辟了混沌学的研究新里程.洛仑兹系统是第一个混沌模型.1975年，美国数学家Yorke 和Tien-Yien Li 首次给出混沌的正确表述，并发表了著名的论文-《周期3 意味着混沌》. 1976年，Logistic 映射的混沌学行为首次出现在《Nature 》杂志上的《具有复杂动力学行为的简单数学模型》一文中. 1976年Rossler 在研究化学反映时发现了一个混沌系统，后来被人们称为Rossler 系统（Rössler O E ，1976）.1983年，美国伯克利分校Chua 在研究电路时发明“蔡氏电路”震动了学术界，蔡氏电路模型如下：⎪⎩⎪⎨⎧−=+−=−=，，，y z z y x yx f y x βα ))(( 其中0,,>γβα，)(x f 为连续奇对称函数（Messias M ，2009）.当)(x f 为分段线性函数时，尽管系统非常简单，它却可以表现出标准的混沌理论行为.常期以来洛仑兹系统和蔡氏电路系统成为众多专家学者研究混沌系统的主要对象.Chua 电路的发现不仅促进了混沌的发展，也推进了混沌理论在工程中的应用.随着对混沌学研究的不断渗入，更多的新混沌系统如陈系统（Chen ，1999）、吕系统（吕金虎，2002）等被专家学者研究.由于混沌系统表现出的丰富的动力学行为，利用微分方程中定性理论方法对混沌系统的复杂动力学行为进行定性分析成为对混沌系统进行理论研究的重要组成部分.主要包括对混沌系统的平衡点类型及稳定性研究，奇点分支、Hopf 分支研究，同宿、异宿轨道的存在性，退化异宿轨的存在性等.系统在无穷远的性态也是系统定性分析的重要内容.但在2008年之前，很少有人对三维系统中的无穷远性态进行分析.2008年， Llibre, Messias 和Silva （Llibre J ，2008）对 Rabinovich 系统的全局动力学进行了分析，包括利用庞加莱紧致化方法对该系统的无穷远动力学行为进行了详细的分析.从而推动了混沌系统无穷远动力学行为的研究.1.2 国内外研究现状近年来关于混沌系统的定性分析的论文硕果累累.尤其是对经典的洛仑兹系统，Chua 电路系统等的研究.2008年， Llibre, Messias 和Silva （Llibre J ，2008）对如下Rabinovich 系统⎪⎩⎪⎨⎧+−=−−=+−=,,,321xy z v z xz y v hx yyz x v hy x4321),,,(R v v v h ∈进行了全局动力学分析，并利用庞加莱紧致化方法对该系统的无穷远动力学进行了分析.次年，Messias （Messias M ，2009）又研究了洛仑兹系统的无穷远动力学分析及其无穷远异宿轨道等，并且在该文献中，详细介绍了庞加莱紧致化方法.同年，Llibre ，Messias （Llibre J ，2009）对 Rikitake 系统⎪⎩⎪⎨⎧−=−+−=+−=,1)(,xy z x a z y yyz x x μμ的全局动力学进行了分析，其中主要的一项工作是利用庞加莱紧致化方法对无穷远动力学进行研究.2011年，Messias （Messias M ，2011）利用庞加莱紧致化方法对经典 Chua 系统利用无穷远动力学做了分析，同时作者在文献（Messias M ，2012）中对Shimizu-Morioka 方程做了无穷远动力学和全局动力学分析. 此后，众多关于混沌系统的动力学行为分析都加入了关于无穷远动力学行为分析（Liu Y ，2012）（Wang H ，2014）.2011年，文献（Kuzenetsov Y.A ，2004）研究了如下新洛伦兹系统()⎪⎩⎪⎨⎧++−=−=−=，2,,ex xy bz z xz cx y x y a x 其中R c b e a ∈≥>,,0,0,讨论了该系统的不同参数区域内不变流形的局部特性，Hopf 分支，退化的草叉分支，同宿、异宿轨道的存在性等.2014年，文献（Wang H ，2014）研究了如下系统()()⎪⎩⎪⎨⎧+−=−+−=−=,,,xy bz z axz cy x a c yx y a x 其中a , b, c 为不等于零的实数, 揭示了更多该系统隐藏的动力学行为，如平衡点的分 布及稳定性，同宿、异宿轨道的存在性及退化异宿轨的存在性，无穷远动力学分析等. 更多关于混沌系统的文献可参看（Li X ，2012）（Liu Y ，2010）（Liu C ，2006）（LiuY，2013）（马红光，2006）（Sprott J.C，2000）（Yang Q，2010）（Wang H，2015）.1.3 本文的主要工作及安排受以上文献研究结果的启发，本文对一类双翼洛仑兹类混沌系统和一类金融混沌系统进行了全局动力学分析，主要包括平衡点及其稳定性，平衡点的特征，Hopf分支分析，无穷异宿轨分析和利用庞加莱紧致化方法进行无穷远动力学分析等.尤其本文给出了系统各平衡点在各参数范围内的稳定性.在已有文献中，很多平衡点处稳定性研究比较复杂，一般情况下作者会采取将参数取特殊值再做研究. 本文则克服困难给出了各参数值范围内平衡点的稳定性，这样，可不用代数参数值即可看出平衡点的稳定性，也便于寻找混沌吸引子. 具体安排如下第一章介绍混沌系统的相关知识背景，以及混沌系统定性分析国内外的一些研究现状.第二章介绍了本文定性分析所要用到的一系列基本的定义定理，包括平衡点的相关知识，稳定性相关知识，庞加莱紧致化方法在三维空间的转换方法，分支的相关知识等.第三章研究了一个双翼洛仑兹类混沌系统的动力学行为，主要从平衡点及其稳定性，无穷远动力学行为，无穷远异宿轨和奇点即Hopf分支几方面进行研究讨论.第四章讨论了一个金融混沌系统的动力学行为，主要包括平衡点及其稳定性，无穷远动力学行为，奇点分支等.第五章给出了本文研究的主要结论，并且指出了自己文章中的不足和对未来的展望.第二章 研究混沌系统的理论和方法本章介绍文中用到的基础理论和知识. 本部分内容可参看文献（马知恩，2015）（张锦炎，1997）（张祥，2015）（张芷芬，2003）.2.1奇点类型考虑常系数n 维线性自治微分系统如下)12(),(−=x f x这里n R x ∈，令其解空间为G . 定义2.1.1 若点G x ∈，使得0)(≠x f ，则称x x =为系统(2-1)的常点；若G x ∈∗，使得0)(=∗x f ，则称∗=x x 为系统(2-1)的奇点，奇点也称为平衡点.若∗x 为系统(2-1)的奇点，则()∗=x t x 必为系统的解，这个解是平行于时间t 轴的直线，它在相空间的投影就是奇点∗x .对于非线性系统的奇点类型分析，我们可借助于线性系统来考虑，线性系统的奇点类型有鞍点、结点、焦点、中心.对平面非线性系统，分离线性项后为)22(),,(),,(−⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=y x Y dy cx dt dy y x X by ax dt dx其中)(,r o Y X =且连续可微，22y x r +=.定理2.1.1 设系统(2-2)中的Y X ,满足（i ）在奇点)0,0(O 的邻域内有有连续的一阶偏导数；（ii ）)(),(r o y x X =，)(),(r o y x Y =，22y x r +=.则如果)0,0(O 是对应线性系统⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=dy cx dt dy by ax dt dx的一个奇点，那么无论是焦点、结点或是鞍点，)0,0(O 都是相应的非线性系统(2-2)的一个同类型奇点.2.2稳定性理论2.2.1 线性稳定性理论考虑常系数n 维线性自治微分系统如下)32(,−=Ax dtdx这里阶实常数矩阵是n A R x n ,∈.定理2.2.1 若A 的所有特征值的实部均小于零，则系统(2-3)的零解是渐进稳定；若A 的所有特征值的实部都不大于零，并且实部为零的特征值仅对应单重初等因子，则系统(2-3)的零解是稳定的；若A 的特征值中存在实部大于零的根，则系统(2-3)的零解是不稳定的.定理2.2.2（Routh 判据）对于一个已知的三维动力系统，其雅克比行列式的特征方程为.0322130=+++a a a a λλλ设0>n a ，各项系数均为正数.按特征方程系数列写Routh 阵表：000111230123a a cb a a λλλλ 其中010********,)(a b a bc a a a a a b ==−=. 如果此阵表中第一列系数均为正数，则该系统是稳定的，即特征方程所有根均有负实部.假如第一列的系数有负数，那么系统是不稳定的，不稳定的平衡点个数等于第一列系数符号改变的次数.定理2.2.3（Hurwitz 判据）考虑一元三次代数方程，032213=+++a a a λλλ此方程所有的根的实部均为负数的充要条件是,0013142531>=a a a a a a a H k此式中3,2,1=k ，同时规定当3>j 时，0=j a .2.2.2 非线性稳定性理论定理2.2.4 非线性系统)42(.0)0,(),,(−=+=t f x t f Ax dtdx若),(x t f 连续，关于x 满足Lipschitz 条件，且对t 一致的有，0),(lim=→xx t f x 则当A 没有零实部特征值时，系统（2.2.2）与其去掉扰动项的线性系统Ax dtdx= 的零解有相同的稳定性.定理2.2.5 （稳定流形定理）对于系统，n R x x f dtdx∈=),( 设)(,0)0(x f f =在0的一个邻域G 内连续可微，)(0x t ϕ是系统的解所确定的流，)0(Df A =有k 个负实部的特征值和k n −个正实部的特征值，则存在一个k 维可微流形S ，它与该系统的稳定子空间s E 在原点0相切，且对所有S x ∈0和0≥t 有，0)(lim ,)(0=⊂+∞→x S S t t t ϕϕS 称为该系统的稳定流形.也存在一个k n −维可微流形U ，它与该系统的不稳定流形U E 在原点0相切，且对所有U x ∈0和0≤t 有，0)(lim ,)(0=⊂−∞→x U U t t t ϕϕU 称为该系统的不稳定流形.2.3三维系统中的无穷远分析-庞加莱紧致化方法平面系统无穷远奇点是平面有限奇点的一种推广，用于研究平面系统的轨线在平面上无穷远处的性态，参看文献（马知恩，2015）.N 维系统中的多项式向量场X 可以扩展到球体n S 上的解析向量场, 进行这种扩展的方法称为庞加莱紧致化方法. 并且通过该方法我们可研究多项式向量场无穷远处的动力学，其对应于球体n S 的赤道1−n S . 文献（Messias M ，2009）详细介绍了将该方法.考虑多项式微分系统⎪⎩⎪⎨⎧===，，，)()()(321z y x P z z y x P y z y x P x 上式也可以等价的写成多项式向量场)(321P P P X =，X 的度定义为{}3,2,1:)deg(max ==i P n i .令{}1||:||),,,(443213=∈==y R y y y y y S 为4R 中的单位球，{}0>: =43+y S y S 是北半球，{}0:3〈∈=−y S y S 是南半球.在点y 处S 的切线空间由3S T y 表示.则有切面}),,(:),,,{(3321443213)01,0,0(R x x x R x x x x S T ∈∈=.考虑中心投影++→=S S T R f 3)1,0,0,0(3:;−−→=S S T R f 3)1,0,0,0(3:，x x x x x f Δ±=±/)1,,,()(321，其中2/1312)1(∑=+=Δi i x x . 3S 的赤道为}0=: {=432y S y S .显然，2S 可以通过3R 的无穷大来识别.+f 和−f 为3S 上定义的两个映射，在北半球定义一个X Df −，南半球定义另一个X Df −.用X 表示−+∪=S S S S 23/上的向量场，向量场限制在+S 与−S 上分别与X Df +和X Df −一致.)y X 在−+∪S S 上有如下表达式：，⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−−−−−−−−−−−=3214342412332312322211312214111)(P P P y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y X 其中|)|/|,|/|,|/(434241y y y y y y P P ii =.通过这种方式，)(y X 是与球3S 相切的4维空间中的向量场.现在我们可以通过)())((14y X y y X P n −=将向量场)y X 解析地延拓到整个球体3S .该扩展向量场)(X P 称为庞加莱紧致.由于3S 是一个可微流形，为了计算)(X P 的表达式，我们可以考虑八个局部坐标卡),(),,(i i i i G V F U ，其中)4,3,2,1=(}0<: {=},0>: {=33i y S y V y S y U i i i i ；微分同胚3:R U F i i →和3:R V G i i →，4,3,2,1=i 是分别从原点到切空间的中心投影在()0,0,0,1±，()0,0,1,0±，()0,1,0,0±和()1000±，，，的逆映射.首先在1U 中进行计算.假设原点()0,0,0,0，点34321),,,(R y y y y ∈和3S 的切线平面中的点)0,0,0,1(),,,,1(321z z z 共线，则有43322111y zy z y z y ===. 则 ),,()/,/,/()(3211413121z z z y y y y y y y F ==.如，⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−=1214121312121/100/0/10/00/1/)(y y y y y y y y y y DF和1314)/(−−Δ=n n z z y ，解析向量场)(X P 变为，),,}()/({1331221113P z P P z P P z z z n n−+−+−Δ− 其中)/,//1(3231,3z z z z z P P ii =，以类似的方式我们可以推导出2U 和3U 中)(X P 的表达式分别为在2U 中，),,}()/({2332212113P z P P z P P z z z n n−+−+−Δ− 其中)./,/1,/(3233122z z z z z P P =在3U 中，),,}()/({3323213113P z P P z P P z z z n n−+−+Δ− 其中)/1,/,/(3323133z z z z z P P =.把i U 中的表达式乘以1)1(−−n 即可得到)(X P 在i V 中的表达式.当在局部坐标卡中使用压缩向量场)(X P 的表达式时，我们通常省略因子1)/(1−Δn z . 我们可以通过重新调整时间变量来做到这一点. 接下来，我们将使用从封闭的北半球的)(X P 的正交投影到04=y ，我们继续通过)(X P 表示该投影向量场.注意，封闭北半球的投影是半径为1的封闭球B ，其内部与3R 不同，其边界2S 对应于3R 的无穷远.当然，在整个闭合球B 中定义了)(X P ，使得边界上的流是不变的.B 上的这个新的x 向量场被称为庞加莱紧致化，B 将被称为庞加莱球.2.4 分支理论分支是非线性动力系统的参数变化导致其拓扑相图不等价的现象.分支主要包括局部分支和全局分支两大部分，其中局部分支是集中研究相轨迹在系统平衡点或闭轨的邻域内发生的变化，然而全局分支是要研究动力系统的相轨迹拓扑结构在整个相空间内的变化情况.动力系统的分支又可以进一步细分为动态和静态分支，动态分支是研究其相轨迹的拓扑结构的变化情况，突出的是系统的运动情况，而静态分析是研究平衡点的数目及其稳定性的变化，突出的是系统的性质问题.动力系统厂家爱你的分支主要有超临界分支，鞍结分支，草叉分支和Hopf 分支等.首先以一维单参数非线性微分方程为例介绍奇点分支.此部分结果选自（张祥，2015）.2.4.1 鞍结点分支考虑一个只有单一参数的一维非线性动力系统.,,),(2R x x x f dtdf∈+==μμμ当0>μ时，系统不存在平衡点；当0=μ时，系统只有一个二重平衡点00=x ；当0<μ时，二重奇点分裂成两个平衡点μ−±=21，x ，此时可以看出μ−=1x 是一个不稳定的鞍点，而μ−−=2x 则为稳定的结点，这种两个奇点重合最后消失的现象称为鞍结点分支.2.4.2 超临界分支考虑一个只有单一参数的一维非线性动力系统.,,),(2R x x x x f dtdf∈−==μμμ可以得到系统有两个平衡点μ==21,0x x .当0<μ时1x 是不稳定的，2x 是稳定的；当0=μ时两个平衡点在重合成半稳定的二重奇点，当0>μ时，上述二重平衡点又分裂成两个平衡点，1x 是稳定的，2x 是不稳定的，这类两个奇点重合交换稳定性的现象称为超临界分支.2.4.3 草叉分支考虑一个只有单一参数的一维非线性动力系统.,,),(3R x x x x f dtdf∈+==μμμ当0>μ时，系统只有唯一的不稳定平衡点0=x .当0=μ时，系统有唯一的三重平衡点0=x ，它仍是不稳定的；当0<μ时，三重平衡点分裂成三个平衡点： 不稳定平衡点0=x 和稳定平衡点μ−±=21，x .这种在参数变化的某个过程中保持一个奇点，然后突然分裂成三个奇点的现象称为草叉分支.2.4.4 Hopf 分支首先我们考虑如下平面系统：)52(),,,(),,,(−⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==μμy x g dtdy y x f dt dx其中R ∈μ为参数，下面先以系统（2-5）为出发点给出Hopf 分岔的定义和Hopf 分岔定理.定义2.4.1 Hopf 分支是指由于平衡点突然改变了稳定性，进而系统因此产生了孤立的周期解（平面系统中为极限环）的现象.定理2.4.1（平面Hopf 分支定理1）设),(μμμy x O 是系统（2-5）对应的线性系统的一个中心型奇点，当0=μ时，)0,0(μO 是系统（2-5）的一个稳定（不稳定）的焦点，当0>μ)0(<时，μO 变成了一个不稳定（稳定）的焦点，则当)0(0><μ，且μ充分小时，在μO 点附近系统（2-5）有至少一个稳定(不稳定)的极限环存在.通过定理（2-5）发现如果需要确定周期接的存在性，可以用奇点的稳定性的判定作为依据.而当系统的线性部分是非奇异的, 则有如下结论： 定理2.4.2（Hopf 分支定理2）设在系统()()()62,,:12−∈∈=C f R x x f xI μμ中，()0,0O 是()0I 的奇点，即()00,0=f .又设()()()μμμO x x f D A |,=，其中()μO 是()μI /的奇点，()0det ≠μA ，()μA det 的特征根为()()μβμαi ±.如果： （1）()00=α，()00>β； （2）()0|0≠=μμμαd d . 则当μ充分小时，系统（2-6）在0=μ的某一侧邻域中至少存在一个闭轨，且当0μμ≤时，参数的分岔值0=μ是唯一的.然而在本文中包括在实践中，我们更多遇到的是三维的动力系统，定性分析也都是围绕着三维系统展开.而在寻找三维非线性动力系统的Hopf 分支的时候还是可以借鉴平面系统的方法，只是对三阶特征方程进行分析而已.同时对于三维混沌系统的Hopf 分支，我们有下面这个定理.定理2.4.3 （三维空间中的Hopf 分支定理） 考虑系统()()72,,3−∈=R x x F dtdxλ设()λ,x F 在R R ×3包含原点的一个邻域U 内解析，()0,0=λF ,()()λλ,0DF A =有特征值()()λβλαi ±和()λδ，()00=α，()00>β，()00<δ，()00'>α.则有下列结论：（1）若系统（2-7）的原点当0=λ时是稳定而不渐近稳定的平衡点时，则系统（2-7）的解在原点邻域内的某一区面上全是闭轨；（2）若系统（2-7）的原点当0=λ时是渐近稳定（不稳定）的平衡点，则对充分小的()00<>λλ，系统（2-7）在原点的邻域内有渐近稳定的闭轨.第三章 一个双翼混沌系统的动力学行为3.1 系统的提出文献（Zhang C ，2012）研究了一个双翼混沌系统)13(2−⎪⎩⎪⎨⎧+=+−=+−=，，，ky bz z cy x y yz ax x其中R k c b a ∈,,,均为实系数.并说明当时7,10,5,20====k c b a ，该系统呈现双翼轨线图，如下图（3-1）（a ）在y x −平面上的双翼轨线图 （b ）在z y −平面上的双翼轨线图图3-1 系统（3-1）轨线图然而文献（Zhang C ，2012）只是对该系统的数值仿真模拟相图进行讨论，并没有进行定性分析.本文将再次深入讨论该系统，对其做定性分析.包括平衡点、平衡点类型、流形情况、奇点分支情况、Hopf 分支、无穷远奇点、无穷异宿轨等.3.2 系统的局部动力学特性在这一部分中，我们将针对系统（3-1）的局部动力学行为进行研究，主要包括系统的平衡点分布情况，孤立与非孤立平衡点的稳定性与分支.3.2.1 系统的平衡点求解如下代数方程组可以得到系统（3-1）的平衡点⎪⎩⎪⎨⎧=+=+−=+−.0,0,02ky bz cy x yz ax 解此方程组后，下面讨论该系统平衡点.（1）当0=k 时，0===z y x ，系统有唯一平衡点()0,0,00=E ； （2）当0>k 时，有如下四种情况（i ）当b=0时，R z y x ∈==,0此时z 轴为系统一条平衡线()z E z ,0,0=； （ii ）当0,0=≠ac b 时，系统有唯一平衡点()0,0,00=E ； （iii ）当0>abc 时，系统有唯一平衡点()0,0,00=E ；（iv ）当0<abc 时，系统有三个平衡点分别为()0,0,00=E ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−±=±ac k abc k abc c E ,,. （3）当0<k 时，有如下四种情况（i ）当0=b 时，R z y x ∈==,0，z 轴为系统一条平衡线()z E z ,0,0=； （ii ）当0,0=≠ac b 时，系统有唯一平衡点()0,0,00=E ； （iii ）当0<abc 时，系统有唯一平衡点()0,0,00=E ；（iv ）当0>abc 时，系统有三个平衡点分别为()0,0,00=E ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−±=±ac k abc k abc c E ,,.由如上讨论不难看出，当0≠b 时，如果0≥abck 系统有唯一平衡点()0,0,00=E ，然而如果0≤abck 则系统有三个平衡点()0,0,00=E ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−±=±ac k abc k abc c E ,,，由此可知在abck 由正变到负的过程中，系统（3-1）从一个三重平衡点分裂为三个单重平衡点，这种现象被称为草叉分支.3.2.2 平衡点0E 的局部动力学行为首先系统（3-1）在平衡点()000,,z y x 处的雅克比行列式为，bky c y z a J 002001−−= 因此可知在0E 处的雅克比行列式为，bc a J 0001000−−=其特征方程()()()()0=−−+=c b a f λλλλ，由此可得三个特征值分别为，，，c b a ==−=321λλλ根据稳定流形定理，可知系统（3-1）在平衡点0E 处具有如下稳定性，为方便表达，在接下来的部分中统一用Sloc W 表示稳定流形，Uloc W 表示不稳定流形，Cloc W 表示中心流行：（1）当0>a 时，平衡点0E 处的动力学特性如下表3-2:表3-2 当0>a 时系统（3-1）零点处的动力学行为参数范围0E 的奇点类型0E 附近的流形0<b0<c渐近稳定的结点 Sloc DW 30=c 非双曲的 S loc DW 2和Cloc DW 1 0>c 鞍结点 S loc DW 2和U loc DW 1 0=b0<c非双曲的 S loc DW 2和C loc DW 10=c非双曲的 S loc DW 1和C loc DW 2 0>c非双曲的S loc DW 1，C loc DW 1，Uloc DW 1续表3-20>b0<c鞍结点 S loc DW 2和Uloc DW 1 0=c 非双曲的 S loc DW 1，C loc DW 1，Uloc DW 10>c鞍结点S loc DW 1和Uloc DW 2当0=a 时，平衡点0E 处的动力学特性如下表3-3:表3-3 当0=a 时系统（3-1）零点处的动力学行为参数范围0E 的奇点类型 0E 附近的流形0<b0<c非双曲的S loc DW 2和C loc DW 1 0=c S loc DW 1和C loc DW 2 0>c S loc DW 1，C loc DW 1，Uloc DW 10=b0<cS loc DW 1和Cloc DW 20=c Cloc DW 3 0>c C loc DW 1和Uloc DW 20>b0<cS loc DW 1，C loc DW 1，Uloc DW 10=c C loc DW 2和Uloc DW 1 0>cC loc DW 1和U loc DW 2当0<a 时，平衡点0E 处的动力学特性如下表3-4:表3-4 当0<a 时系统（3-1）零点处的动力学行为参数范围0E 的奇点类型 0E 附近的流形0<b0<c鞍结点 Sloc DW 2和U locDW 10=c 非双曲的 S loc DW 1，C loc DW 1，Uloc DW 10>c 鞍结点 S loc DW 1和Uloc DW 2 0=b0<c非双曲的 S loc DW 1，C loc DW 1，Uloc DW 10=c 非双曲的 C loc DW 2和Uloc DW 1 0>c 非双曲的 C loc DW 1和U loc DW 2 0>b0<c鞍结点 S loc DW 1和U loc DW 20=c 非双曲的 C loc DW 1和U loc DW 20>c结点Uloc DW 33.2.3 平衡线z E 的局部动力学行为当0,0≠=k b 时，系统有平衡线()z E z ,0,0=，此时的雅克比行列式为，bc z aJ z 00010−−=此时的特征方程()，0])()[(2=+−−+−=z ac c a b f λλλλ 可解得特征值为.0,24)()(3221=−+±−=λλzc a a c ，在此处有ac z a c −=−=+2121,λλλλ，因此z E 处的动力学行为可由如下表3-5:表3-5 系统（3-1）在z E 处的动力学行为3.2.4 平衡点±E 的局部动力学行为当参数范围为0,0<≠abck b 时，系统有三个平衡点，现讨论±E 两个平衡点处的动力学行为，由于两个点的对称性，所以仅以+E 为例进行详细讨论. 此时系统在平衡点+E 的雅克比行列式为，bkabc kc kabc ac a J −−−−=+2001容易得特征方程为02)()()(23=−−+−−+=abc ab bc c b a f λλλλ. 设参数所在集合为{}0|),,,(4<∈=abck R k c b a W ，此集合又可分为参数范围z E 附近的流形a c >ac z >C loc DW 1和Uloc DW 2ac z = C loc DW 2和U loc DW 1 ac z < S loc DW 1，C loc DW 1，Uloc DW 1a c =ac z >发生Fold-Hopf 分支ac z = Cloc DW 3ac z < S loc DW 1，C loc DW 1，Uloc DW 1a c < ac z >S loc DW 2和Uloc DW 1ac z = S loc DW 1和C loc DW 2 ac z <S loc DW 1，C loc DW 1，Uloc DW 1{}{}{}，，，0,0,0|),,,(0,0,0|),,,(0,0|),,,(321><>∈=<>>∈=><∈=ac b k W k c b a W ac b k W k c b a W abc k W k c b a W 这其中3W 集合又可分为{}{}，，a c W k cb a W ac W k c b a W <∈=≥∈=|),,,(|),,,(332331 再进一步将32W 划分为.02|),,,(02|),,,(2|),,,(2|),,,(32432323323223232132⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−−−∈=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<−−−<∈=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−−=∈=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−−>∈=c a ac c a W k c b a W c a ac c a b W k c b a W c a ac c a b W k c b a W c a ac c a b W k c b a W ，，，根据Routh-Hurwitz 判别准则结合韦达定理可以得出如下结论:定理 3.2.1 当参数1323121),,,(W W W W k c b a ∪∪∪∈时，±E 是不稳定的；而当参数432332),,,(W W k c b a ∪∈时，±E 是局部渐近稳定的.证明：由+J 的特征方程结合Hurwitz 判据可以得到，c b a H −−=1 ，abc a c b H a c b abcc b a H 2)()(1212+−=−−−−= .2200)(10223abcH abcc b a a c b abcc b a H −=−−−−−−−=当1),,,(W k c b a ∈时，有02<−abc ，容易知道32H H 和符号相反，不可能同时为正，因此±E 是不稳定的；当2),,,(W k c b a ∈时，有0,0<>ac b .若0,0><c a ，则01<−−=c b a H ，±E 是不稳定的；若0,0<>c a ，此时1H 正负未知，若1H 为负则±E 显然是不稳定的，若1H 为正，此时0,0,0<><−abc b a c ，可知02)(12<+−=abc a c b H H ，±E 是不稳定的. 当31),,,(W k c b a ∈时，有a c ac b ≥><,0,0.此时1H 正负未知，若1H 为负则±E 显然是不稳定的，若1H 为正，此时0,0,0<<>−abc b a c ，可知02)(12<+−=abc a c b H H ，±E 是不稳定的.当131),,,(W k c b a ∈时，此时ca acc a b abc b c a −−−><<>−2,0,0,0，我们将2H 展开可得0)]2()[(2<−−−−−=ca acc a b c a b H ，±E 是不稳定的. 当432332),,,(W W k c b a ∪∈时，此时ca acc a b abc b c a −−−<<<>−2,0,0,0，可以得到01>−−=c b a H ，02()[(2>−−−−−=ca acc a b c a b H ，0223>−=abcH H ，此时±E 是渐近稳定的. 证毕.由定理3.2.1也不难看出，当参数232),,,(W k c b a ∈时，系统（3-1）会发生分支行为，具体情形如下所述.定理3.2.2 当参数232),,,(W k c b a ∈，系统（3-1）会在+E 处经历Hopf 分支. 证明：当232),,,(W k c b a ∈时，易知系统（3-1）的特征方程有一个负实根ca ac−−=21λ 和一对共轭的纯虚根i ωλ±=32，，其中2)(2c a ac −−=ω.事实上，若参数满足ca acc a b −−−=2，那么()0Re 2=λ，进而 ().024)(1616]2)[()(4Re 2222222≠−−−+−−+−=ca acc a c a ac c a c a dbd ωωωωλ因此当232),,,(W k c b a ∈时，发生Hopf 分支的横截性条件成立.同时，()0Re 1<λ和i ωλ±=32，，其中0>ω，从而发生Hopf 分支的所有条件都成立.综上所述系统在+E 处发生Hopf 分支.证毕.。
浅谈混沌理论
浅谈混沌与世间种种巨大的力量相比，扇动着翅膀的蝴蝶似乎没多大力量。
然而有一句谚语却说：“中国上空的一只蝴蝶振动双翅，美国某处便下起了大雨。
”混沌理论可以证明这一谚语。
对蝴蝶力量的科学洞察始于洛伦兹的工作。
洛伦兹是一位气象学家，也被尊称为混沌理论的缔造者之一。
当时，洛伦兹正在检验一个简单的气象预测模型。
洛伦兹完成了冗长的计算后，需要对结果进行复核，他将 0. 506而不是初始的精确值 0.506127作为初值输入计算机。
他知道这样做将产生千分之一的误差，并预计在其气象预测中和原来的计算将有同等大小的差异。
然而，令他大为吃惊的是，新的天气预报和原先的结果几乎没有什么相似之处，他立即意识到了问题的症结所在：当计算机反馈出每一步的结果并作为原数据重新输入时，两组数据开始时的细微差别被迅速放大为巨大的差异。
这万分之一的误差——这种误差大约相当于多了一阵轻柔的微风——很快就使天气预报变成了一片混乱。
他用图像来模拟气候的变化 ，最后他发现，图像是混沌的，而且十分像一只蝴蝶张开的双翅。
这就是我们今天所熟知的 “蝴蝶效应“， 从科学的角度来看，蝴蝶效应反映了混沌运动的一个重要特征：系统的长期行为对初始条件的敏感依赖性。
混沌理论认为：在混沌系统中，初始条件十分微小的变化经过不断放大，对其未来状态会造成极其巨大的差别。
正所谓失之毫厘，谬以千里。
对气象工作者来说，那一天是黑暗的日子。
洛伦兹意识到：“如果大气层真是这样活动的话， 那么要想做出长期气象预报几乎是不可能了。
”但这一天的经历并非只对气象工作者有意义。
他冲破了束缚人们思想的堤坝，并为新的研究领域的开辟奠定了基石，由此引入了混沌这一理论。
我们再来看看一个简单的物理系统-单摆。
在一根不能伸缩的长度为 Z 的细线下端悬挂一个小球，微微移动后，就可以在一竖直面内来回摆动，这种装置称为单摆。
只要有一定物理常识就知道，在一定的条件下(忽略细线质量、空气阻力及系统内的摩擦力，且摆角) ，回复力 F=一k x ，单摆振动的回复力跟位移成正比而方向相反，单摆做简谐振动。
经典力学中的混沌现象研究
经典力学中的混沌现象研究混沌现象是指在经典力学中的一类非线性动力学系统中展现出的高度敏感依赖于初始条件的现象。
它起初被误认为是系统运动的不可预测性，但随着对混沌现象的深入研究，科学家们逐渐认识到混沌是一种具有内在规律性的现象。
经典力学中的混沌现象研究对于科学的发展和理论的构建具有重要的意义。
一、混沌现象的起源混沌现象的起源可以追溯到1887年霍普夫提出的迭代逃逸现象。
他在研究一个简单的力学系统时发现，该系统在经过多次迭代后产生了无规则的运动。
这一发现引起了科学家们的兴趣，随后，洛伦兹在20世纪60年代提出了著名的洛伦兹方程，揭示了混沌现象的基本特征。
二、混沌现象的基本特征混沌现象的基本特征包括：敏感依赖于初始条件、确定性、自组织、非周期性等。
敏感依赖于初始条件是混沌现象最引人注目的特征，它意味着微小的初始条件变化会导致系统演化出完全不同的轨迹。
确定性表示混沌现象的演化过程是可以通过确定的数学方程描述和预测的。
三、混沌现象的数学模型混沌现象可以通过一系列的数学模型来描述。
其中最经典的混沌模型之一是洛伦兹方程。
洛伦兹方程是一个三维非线性系统，它描述了大气运动中的流体对流现象。
洛伦兹方程的解具有非常复杂的轨迹，即使微小的初始条件变化也会导致系统行为的剧烈改变。
四、混沌现象的应用混沌现象的研究在许多领域都有广泛的应用。
在天体力学中，混沌现象的研究可以用于描述行星轨道的演化和宇宙运动的复杂性。
在气候学中，混沌现象的研究可以用于分析气候系统的变化和周期性。
在信息加密中，混沌现象的应用可以用于生成随机数和保护数据安全。
五、混沌现象的研究挑战与展望尽管经典力学中的混沌现象已经取得了许多重要的研究成果，但仍然存在许多挑战和未解之谜。
例如，尚未找到一种通用的方法来确定混沌系统的初始条件，这限制了对混沌现象的深入研究。
此外，混沌现象在理论上的解释和数学模型的构建仍然需要更多的理论探索和实验验证。
总之，经典力学中的混沌现象是一门极富挑战性的研究领域。
洛伦兹模型与混沌
洛伦兹模型与混沌—————《蝴蝶效应》混沌理论：混沌理论（（Chaos theory）是关于非线性系统在一定参数条件下展现分岔（bifurcation）、周期运动与非周期运动相互纠缠，以至于通向某种非周期有序运动的理论。
在耗散系统和保守系统中，混沌运动有不同表现，前者有吸引子，后者无（也称含混吸引子）。
从20世纪80年代中期到20世纪末，混沌理论迅速吸引了数学、物理、工程、生态学、经济学、气象学、情报学等诸多领域学者有关注，引发了全球混沌热。
混沌，也写作浑沌（比如《庄子》）。
自然科学中讲的混沌运动指确定性系统中展示的一种貌似随机的行为或性态。
确定性（deterministic）是指方程不含随机项的系统，也称动力系统（dynamical system）。
典型的模型有单峰映象（logistic map）迭代系统，洛伦兹微分方程系统，若斯叻吸引子，杜芬方程，蔡氏电路，Chen 吸引子等。
为浑沌理论做出重要贡献的学者有庞加莱、洛伦兹、上田睆亮（Y. Ueda）、费根堡姆、约克、李天岩、斯美尔、芒德勃罗和郝柏林等。
混沌理论向前可追溯到19世纪庞加莱等人对天体力学的研究，他提出了同宿轨道、异宿轨道的概念，他也被称为浑沌学之父。
混沌行为可以在许多自然系统中被观测到，例如天气和气候。
[1]对于这个行为的研究，可以通过分析混沌数学模型，或者通过诸如递归图和庞加莱映射等分析技术。
定义混沌理论是一种兼具质性思考与量化分析的方法，用以探讨动态系统中无法用单一的数据关系，而必须用整体，连续的数据关系才能加以解释及预测之行为。
“一切事物的原始状态，都是一堆看似毫不关联的碎片，但是这种混沌状态结束后，这些无机的碎片会有机地汇集成一个整体。
”混沌一词原指发现宇宙混乱状态的描述,古希腊哲学家对于宇宙之源起即持混沌论，主张宇宙是由混沌之初逐渐形成现今有条不紊的世界。
在井然有序的宇宙中，西方自然科学家经过长期的探讨，逐一发现众多自然界中的规律，如大家熟知的地心引力、杠杆原理、相对论等。
混沌实验报告
混沌实验报告混沌实验报告引言：混沌，这个词充满了神秘和魅力，它是一种看似无序却又包含着某种规律的现象。
混沌理论的提出，为我们解开了一些自然界中看似混乱的现象背后隐藏的规律。
为了更好地了解混沌现象，我们进行了一系列混沌实验。
实验一：双摆实验我们首先进行了双摆实验，这是一种经典的混沌系统。
通过调整摆的初始条件，我们观察到了摆的运动呈现出了混沌现象。
在初始条件微小变化的情况下，摆的运动轨迹产生了巨大的差异。
这说明了混沌系统对初始条件的极端敏感性。
实验二：洛伦兹系统实验接下来，我们进行了洛伦兹系统实验。
洛伦兹系统是混沌理论的经典案例之一。
通过调整系统的参数，我们观察到了系统状态的变化。
当参数处于某个特定范围时，系统呈现出混沌状态。
这种混沌状态的特点是系统状态在相空间中呈现出复杂的轨迹，即“蝴蝶效应”。
实验三：分形实验分形是混沌理论的重要组成部分。
我们进行了一系列分形实验，包括分形图形的绘制和分形维度的计算。
通过这些实验，我们发现分形具有自相似性和无穷细节的特点。
无论是在自然界中的山脉、云朵，还是在人造的分形图形中，我们都能够看到这种无穷细节的美妙。
实验四：混沌与控制混沌现象的存在给控制系统设计带来了挑战，但同时也为我们提供了新的思路。
我们进行了一系列混沌与控制相关的实验，探索如何利用混沌现象来设计更有效的控制系统。
通过混沌系统的反馈和调节，我们成功地实现了对系统状态的控制。
结论：通过一系列混沌实验，我们深入了解了混沌现象的特点和规律。
混沌系统对初始条件的敏感性、复杂的轨迹和无穷细节的特点给我们带来了许多启示。
混沌现象不仅存在于自然界中，也可以在人工系统中得到应用。
混沌理论的研究对于我们认识世界的深入，以及在控制系统设计中的创新具有重要意义。
未来，我们将继续深入研究混沌现象，探索更多的应用领域，为科学和技术的发展做出贡献。
参考文献：1. Strogatz, S. H. (2014). Nonlinear dynamics and chaos: with applications to physics, biology, chemistry, and engineering. CRC press.2. Ott, E., Grebogi, C., & Yorke, J. A. (1990). Controlling chaos. Physical review letters, 64(11), 1196-1199.3. Mandelbrot, B. B. (1982). The fractal geometry of nature. WH freeman.。
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洛伦兹模型与混沌
—————《蝴蝶效应》混沌理论：
混沌理论（（Chaos theory）是关于非线性系统在一定参数条件下展现分岔（bifurcation）、周期运动与非周期运动相互纠缠，以至于通向某种非周期有序运动的理论。
在耗散系统和保守系统中，混沌运动有不同表现，前者有吸引子，后者无（也称含混吸引子）。
从20世纪80年代中期到20世纪末，混沌理论迅速吸引了数学、物理、工程、生态学、经济学、气象学、情报学等诸多领域学者有关注，引发了全球混沌热。
混沌，也写作浑沌（比如《庄子》）。
自然科学中讲的混沌运动指确定性系统中展示的一种貌似随机的行为或性态。
确定性（deterministic）是指方程不含随机项的系统，也称动力系统（dynamical system）。
典型的模型有单峰映象（logistic map）迭代系统，洛伦兹微分方程系统，若斯叻吸引子，杜芬方程，蔡氏电路，Chen 吸引子等。
为浑沌理论做出重要贡献的学者有庞加莱、洛伦兹、上田睆亮（Y. Ueda）、费根堡姆、约克、天岩、斯美尔、芒德勃罗和郝柏林等。
混沌理论向前可追溯到19世纪庞加莱等人对天体力学的研究，他提出了同宿轨道、异宿轨道的概念，他也被称为浑沌学之父。
混沌行为可以在许多自然系统中被观测到，例如天气和气候。
[1]对于这个行为的研究，可以通过分析混沌数学模型，或者通过诸如递归图和庞加莱映射等分析技术。
定义
混沌理论是一种兼具质性思考与量化分析的方法，用以探讨动态系统中无法用单一的数据关系，而必须用整体，连续的数据关系才能加以解释及预测之行为。
“一切事物的原始状态，都是一堆看似毫不关联的碎片，但是这种混沌状态结束后，这些无机的碎片会有机地汇集成一个整体。
”
混沌一词原指发现宇宙混乱状态的描述,古希腊哲学家对于宇宙之源起即持混沌论，主宇宙是由混沌之初逐渐形成现今有条不紊的世界。
在井然有序的宇宙中，西方自然科学家经过长期的探讨，逐一发现众多自然界中的规律，如大家熟知的地心引力、杠杆原理、相对论等。
这些自然规律都能用单一的数学公式加以描述，并可以依据此公式准确预测物体的行径。
近半世纪以来，科学家发现许多自然现象即使可以化为单纯的数学公式，但是其行径却无法加以预测。
如气象学家爱德华··劳仑次（Edward Lorenz）发现简单的热对流现象居然能引起令人无法想象的气象变化，产生所谓的“蝴蝶效应”。
60年代，美国数学家史蒂芬·斯梅尔（Stephen Smale）发现某些物体的行径经过某种规则性变化之后，随后的发展并无一定的轨迹可循，呈现失序的混沌状态。
背景
1963年美国气象学家爱德华·劳仑次提出混沌理论（Chaos），非线性系统具有的多样性和多尺度性。
混沌理论解释了决定系统可能产生随机结果。
理论的最大的贡献是用简单的模型获得明确的非周期结果。
在气象、航空及航天等领域的研究里有重大的作用。
应用
混沌理论在许多科学学科中得到广泛应用，包括：数学、生物学、信息技术、经济学、工程学、金融学、哲学、物理学、政治学、人口学、心理学和机器人学。
多种系统的浑沌状态在实验室中得到观察，包括电路、激光、流体的动态，以及机械和电磁装置。
在自然中进行的有对天气、卫星运动、天体磁场、生态学中的种群增长、神经元中的动作电位和分子振动的观察。
浑沌理论最成功的应用之一在于生态学中的雷克动态综合模型，在其中显示了受密度制约之下的种群增长如何引致混沌状态。
混沌控制
混沌控制由狄透（William Ditto）、贾芬卡（Alan Garfinkel）、约克（Jim Yorke），将此想法化为实用技术，用微小的变化开始，造成希望所想的巨大改变。
混沌动力学
混沌系统有三种性质：
1.受初始状态影响的敏感性，初始条件非常微小的变动也可以导致最终状态的巨大差
别。
2.具有拓扑混合性；不严格地来说，就是系统会将初始空间的拓扑性质彻底打乱，使
得任何初始状态变换到其他任何位置。
3.周期轨道稠密，即在任何初始值附近都可以找到具有周期轨道的值。
蝴蝶效应产生背景：
在1972年12月29日，美国麻省理工教授、混沌学开创人之一E.N.洛仑兹在美国科学发展学会第139次会议上发表了题为《蝴蝶效应》的论文，提出一个貌似荒谬的论断：在巴西一只蝴蝶翅膀的拍打能在美国得克萨斯州产生一个龙卷风，并由此提出了天气的不可确预报性。
至此以后，人们对于混沌学研究的兴趣十分浓厚。
混沌蝴蝶——洛伦兹吸引子
混沌蝴蝶——洛伦兹吸引子
美国气象学家洛伦兹（E.N.Lorenz，不要和提出洛伦兹变换的那位搞混）是混沌理论的奠基者之一。
20世纪50年代末到60年代初，他的主要工作目标是从理论上进行长期天气预报研究。
他在使用计算机模拟天气时意外发现，对于天气系统，哪怕初始条件的微小改变也会显著影响运算结果。
随后，他在同事工作的基础上化简了自己先前的模型，得到了有3个变量的一阶微分方程组，由它描述的运动中存在一个奇异吸引子，即洛伦兹吸引子。
洛伦兹的工作结果最初在1963年发表，论文题目为Deterministic Nonperiodic Flow，发表在Journal of the Atmospheric Sciences杂志上。
如今，这一方程组已成为混沌理论的经典，也是“巴西蝴蝶扇动翅膀在美国引起德克萨斯的飓风”一说的肇始。
它的形式看起来很简单：
洛伦兹方程组是基于流体力学中的Navier-Stokes方程、热传导方程和连续性方程构建的，属于耗散系统。
相空间中，耗散系统的终态都将收缩到吸引子的状态上。
但对平庸吸引子来说，无论初值如何，终值只有一个，而奇异吸引子却是无数个点的集合，对初值极端敏感。
如洛伦兹当年只是忽略了小数点4位以后的数值，得到的结果就有了相当大的偏差，甚至是完全相反。
在洛仑兹原始的工作中，x 表示的是对流的翻动速率，y 正比于上流与下流液体温差，z 是垂直方向的温度梯度。
式中三个参数（Prandtl 数）、和（Rayleigh 数）可任取大于0的数值。
常用的组合是，，而令取不同数值。
28=β时有混沌现象，奇异吸引子出现，此时系统的演化轨迹如下图所示：
这一图案颇似蝴蝶展翅，所谓混沌理论的“蝴蝶效应”之得名据说也与此吸引子的形状有关。
该系统中x 、y 、z 这3个方向数值随时间的演化如下图，其中黑线为x 轴变化情况，红线为y 轴变化情况，蓝线是z 轴变化情况（积分步长）。
固定另2个参数，的不同取值则决定了系统的不同性质。
下面四图分别为该参数取值1、10、14与99.6时的演化轨迹：
ρ
1=
ρ
10
=
ρ
=
14。