比赛项目排序的模型

00010000000000
00000000000100
00000001000000
00000000010000 B 14 ×14 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
00100000000000
01000000000010
00000000001000
00000100000000
j =1
40
∑Pij = 6 ( j = 1 ,3 ,9 ,11)
i =1
s. t . 40
∑Pij = 7 ( j = 5 ,7)
i =1
40
∑Pij = 8 ( j = 2 ,6 ,13)
i =1
40
∑Pij = 9 ( j = 4)
i =1
40
∑Pij = 10 ( j = 8 ,10 ,12 ,14)
m n- 1
∑∑ 问题就转化成要找到 B n ×n使之得到 min
x ik ,于是问题可以归结为下面的线性 0 —1 规划问题
i =1 j =1
m n- 1
∑∑ min
x ik
i =1 k =1
m n- 1
∑∑Pij = K ( K 为运动会所需比赛项目的总和)
i =1 j =1
n
∑Pij = m i ( m i 为第 i 个运动员报名项目的和 , i = 1 ,2 , …, m )
120
运 筹 与 管 理 2006 年第 15 卷
1. 2 符号说明
i :运动员序号 , ( i = 1 ,2 , …, m ) 其中 m 为运动员的数量 ;
j :项目序号 , ( j = 1 ,2 , …, n) 其中 n 为项目数 ;
k : ( k = 1 ,2 , …, n - 1) , 其中 n 为项目数 ;
(11 桂林电子科技大学 计算科学与数学系 ,广西 桂林 541004 ; 21 桂林电子科技大学 管理系 ,广西 桂林 541004)
摘 要 :本文将 2005 年“电工杯”B 题的最优化问题转化为独立的问题来讨论 。解决了在比赛项目排序过程中 尽可能使每个运动员不连续参加两项比赛问题 。即把运动员参加的项目记作 1 ,把未参加的项目记为 0 ,这样把 运动员报名表转化成为一个 021 矩阵 。问题转化成为 021 矩阵进行列交换顺序 ,使得每一行中两个 1 相邻出现 的次数和达到最小 。并对模型进行了推广 。最后指出了模型的优缺点 。 关键词 :运筹学 ;比赛项目排序 ;021 矩阵 ;整数规划 ;列交换初等矩阵 中图分类号 :0223 文章标识码 :A 文章编号 :100723221 (2006) 0420118205
第 15 卷 第 4 期 2006 年 8 月
运 筹 与 管 理
OPERA TIONS RESEARCH AND MANA GEM EN T SCIENCE
比赛项目排序的模型
Vol. 15 ,No . 4 Aug. 2006
王旭东1 , 李 锋2 , 刘丽华1 , 朱志斌1 , 丁宣浩1
的目标是为了使连续两项比赛的运动员人次尽可能的少 , 于是问题需要完成的任务是对表中的列进行重
新排序 ,使行向量中相邻为“1”出现的次数最少 。
2. 1. 2 约束条件
(1) 每个项目的参赛人数是确定的 ;
(2) 每个运动员的参赛项目是确定的 。
2. 1. 3 目标函数
尽可能使每个运动员不连续参加两项比赛 。
策变量 :
xik =
0 当 1 当
P′ik P′i ( k + 1) P′ik P′i ( k + 1)
=0 ( i = 1 ,2 ,
=1
…,40 ; k = 1 ,2 , …,13)
其中 , P′ik , P′i ( k + 1) 为调整项目次序后的参赛矩阵的元素 。此时 , 可以把 ( x ij ) 40 ×13 看成一个矩阵 。问题就
14
∑Pij = 4 ( i = 1 ,9 ,10 ,11 ,24 ,34 ,38 ,39 ,40)
j =1
14
∑Pij = 3 ( i = 2 ,3 ,4 ,5 ,13 ,15 ,16 ,25 ,29 ,31 ,35 ,37)
j =1
14
∑Pij = 2 ( i = 6 ,7 ,8 ,12 ,17 ,18 ,19 ,20 ,21 ,22 ,23 ,26 ,27 ,28 ,30 ,32)
2. 1. 4 模型建立与求解
最优的排序方案就是使得有连续参加两项比赛的总数最小 。
运动员的报名表为一个 40 ×14 的 0 21 矩阵 P40 ×14 , 我们要解决的问题是要右乘列交换矩阵 B 14 ×14 , 即
P′40 ×14 = P40 ×14 B 14 ×14
使交换行后的矩阵 P′40 ×14行相邻元素为 1 出现的对数达到最少 。为此对矩阵进行如下的设计 , 也就是决
对于大型的运动会 ,设报名人数为 m ,共有 n 个比赛项目 。那么运动员的报名表转化成一个 m ×n
的 0 21 矩阵 Pm ×n ,我们要解决的问题是要右乘列交换矩阵 B n ×n ,于是问题转变为求解列变换阵 Pn ×n使
得变换后的矩阵
A
′ i ×j
每一行出现相邻为“1”的次数最少
。最终使交换行后的矩阵行相邻元素为
0 ห้องสมุดไป่ตู้问题的提出
在各种运动比赛中 ,为了使比赛公平 、公正 、合理地举行 ,一个基本要求是 :在比赛项目排序过程中 ,尽 可能使每个运动员不连续参加两项比赛 ,以便运动员恢复体力 ,发挥正常水平 。
表 1 是某个小型运动会的比赛报名表 (见下页) 。有 14 个比赛项目 ,40 名运动员参加比赛 。表中第 1 行表示 14 个比赛项目 ,第 1 列表示 40 名运动员 ,表中“ # ”号位置表示运动员参加此项比赛 。建立此问题 的数学模型 ,并且合理安排比赛项目顺序 ,使连续参加两项比赛的运动员人次尽可能的少 。(第三届电工 杯数学模型比赛)
A i ×j :由报名表构成的 i ×j 矩阵 ;
B : j ×j 的换列初等矩阵 ,即单位矩阵互换两列 。
2 型的建立与求解
2. 1 表 1 的排序模型 2. 1. 1 问题分析
表 1 是某个小型运动会的比赛报名表 。有 14 个比赛项目 , 40 名运动员参加比赛 。其中每个人参加
项目数最多为 4 项 ,最少为 2 项 。将问题中的表 1 进行规范化 , 将“ # ”号改为“1”, 其他为“0”。建立模型
Mo del of Array Items of Game
WAN G Xu2dong1 , L I Feng2 , L IU Li2hua1 , ZHU Zhi2bin1 , D IN G Xuan2hao1 (11 Dept . of Com p . Sci . & M at h. , Guili n U ni versity of Elec. Tech . , Guili n 541004 , Chi2 na ; 21 Dept . of M anagement , Guili n U ni versit y . of Elec. Tech . , Guili n 541004 , Chi na)
j =1
s. t . m ∑Pij = nj ( nj 为第 j 个运动项目报名人数的和 , j = 1 ,2 , …, j = 1 ,2 , …, n) i =1
P′m ×m = Pm ×n ×B n ×n ( B n ×n为单位矩阵换行 (列) 所得到的初等矩阵的乘积)
转化成要找到 B 14 ×14使得
成立 。
40 13
∑∑ min
x ik
i =1 k=1
问题也可以归结为下面的线性 0 —1 规划问题 。
第 4 期 王旭东 ,等 :比赛项目排序的模型
121
40 13
∑∑ min
x ik
i =1 j =1
40 14
∑∑Pij = 111
i =1 j =1
#
37
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38
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39
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40
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119
10
11
12
13
14
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1 问题的假设与符号说明
1. 1 模型的假设 (1) 所谓的连续比赛排除了晚休等较长时间的休息的情况 ; (2) 天气情况良好 ,不出现因天气原因中断比赛项目 ; (3) 单纯比赛项目的早与迟不影响运动员的技能发挥 。
1 ,第 i 个人参加第 j 个项目 ; pij = 0 ,第 i 个人不参加第 j 个项目 ;
p′ij =
1 ,调整项目顺序后第 i 个人参加第 j 个项目 0 ,调整项目顺序后第 i 个人不参加第 j 个项目 ;
1 ,有两项项目连续 x ik = 0 ,没有两项项目连续 ;
z :连续参加两项项目的总数 ;
i =1
P′40 ×14 = P40 ×14 B 14 ×14
x ik = P′ik P′i ( k +1) ( i = 1 , 2 , …, 40 ; k = 1 , 2 , …, 13)
相应的初等列变换矩阵为 :
00000000000010