工件加工的排序优化问答
流水线作业排序问题
流水线作业排序问题/productioncontrol/200908091604.html流水作业排序问题的基本特征是每个工件的加工路线都一致。
在流水生产线上制造不同的零件，遇到的就是流水作业排序问题。
我们说加工路线一致，是指工件的流向一致，并不要求每个工件必须经过加工路线上每台机器加工。
如果某些工件不经某些机器加工，则设相应的加工时间为零。
一般说来，对于流水作业排序问题，工件在不同机器上的加工顺序不尽一致。
但本节要讨论的是一种特殊情况，即所有工件在各台机器上的加工顺序都相同的情况。
这就是排列排序问题。
流水作业排列排序问题常被称作“同顺序”排序问题。
对于一般情形，排列排序问题的最优解不一定是相应的流水作业排序问题的最优解，但一般是比较好的解；对于仅有2台和3台机器的特殊情况，可以证明，排列排序问题下的最优解一定是相应流水作业排序问题的最优解。
这里只讨论排列排序问题。
但对于2台机器的排序问题，实际上不限于排列排序问题。
一、最长流程时间Fmax的计算这里所讨论的是n／m／P /Fmax，问题，其中n为工件数，m为机器数，P表示流水线作业排列排序问题，Fmax为目标函数。
目标函数是使最长流程时间最短，最长流程时间又称作加工周期，它是从第一个工件在第一台机器开始加工时算起，到最后一个工件在最后一台机器上完成加工时为止所经过的时间。
由于假设所有工件的到达时间都为零(ri=0，i= 1，2，…，n)，所以Fmax等于排在末位加工的工件在车间的停留时间，也等于一批工件的最长完工时间Cmax。
设n个工件的加工顺序为S＝(S1，S2，S3，…，Sn)，其中Si为第i位加工的工件的代号。
以表示工件Si在机器M k上的完工时间, 表示工件Si在Mk上的加工时间，k= 1，2，…，m；i=1，2，…，n，则可按以下公式计算：在熟悉以上计算公式之后，可直接在加工时间矩阵上从左向右计算完工时间。
下面以一例说明。
例9．4 有一个6／4／p／F max问题，其加工时间如表9—6所示。
机械加工工序顺序的安排原则
机械加工工序顺序的安排原则1.先粗加工后精加工原则：在机械加工过程中，通常将零件形状和尺寸的粗加工与表面质量和尺寸的精加工分开进行。
先进行粗加工，可以快速将材料切削掉，然后再进行精加工，可以确保零件表面光洁度和尺寸精度。
2.先外形再内部原则：在进行机械加工时，通常先进行外形加工，再进行内孔、内腔等内部加工。
这样可以避免外形因内孔、内腔等内部加工而发生变形，保证加工精度，提高产品质量。
3.先主要面后次要面原则：在进行机械加工时，通常先加工主要的工作面，再加工次要的工作面。
主要工作面的加工质量直接影响产品的功能和外观，因此应首先加工，从而确定产品的基准面。
4.先大件再小件原则：在进行机械加工时，通常先加工大件，再加工小件。
这样可以降低加工途中零件的变形，提高产品质量。
同时，机械加工大件的材料消耗量较大，而小件的材料消耗量较小，因此应优先考虑加工大件。
5.先硬加工后软加工原则：硬加工和软加工是机械加工中常用的两种加工方式。
硬加工通常用于去除材料，如切削、镗削等；而软加工通常用于提高产品表面质量，如研磨、抛光等。
因此，应先进行硬加工，再进行软加工，从而提高产品的表面质量和精度。
6.先单件再批量原则：在进行机械加工时，通常先进行单件加工，然后进行批量加工。
单件加工可以用于试验和调整工艺；而批量加工可以提高生产效率和降低成本。
因此，应先进行单件加工，确定合适的工艺参数和加工工具，然后进行批量加工。
7.先简单后复杂原则：在进行机械加工时，通常先加工简单的零件，再加工复杂的零件。
这样可以逐步掌握加工技术，提高生产效率和加工质量。
总之，机械加工工序顺序的安排原则是一个相对固定但也随具体情况而变化的问题，需要根据具体的产品和加工工艺来进行分析和确定。
合理的顺序安排可以提高加工效率、降低生产成本，并确保产品质量和交货期。
生产作业排序
)
华中科技大学管理学院
一、基本概念
4、排序问题的假设条件
• 一个工件不能同时在几台不同的机器上加工。 • 工件在加工过程中采取平行移动方式。 • 不允许中断。 • 每道工序只在一台机器上完成。 • 每台机器同时只能加工一个工件。 • 工件数、机器数和加工时间已知，加工时间与加工
顺序无关。
)
华中科技大学管理学院
一个实例： D=
2,1,3 2,2,1 2,3,2
241
T= 345
i {Ot} Tk
T’k
T*
M*
Oj
1 1,1,1 0
2
0
M1 1,1,1
2,1,3 0
3
0
M3
2 1,2,3 2
6
2,1,3 0
3
0
M3 2,1,3
3 1,2,3
3
7
3
M3 1,2,3
2,2,1 3
7
3
M1
4 1,3,2 7 2,2,1 3
四、一般n/m/P/ Fmax问题的 启发式算法
2、关键工件法：
• 计算Pi= Pij ，找出Pi最长的工件，将之作为 关键工件C。
• 对其余工件，若Pi1≤Pim ，则按Pi1由小到大排 成序列SA。若Pi1> Pim ，则按Pim由大到小排成 序列SB。
• 顺序（SA，C，SB）即为近优解。
)
四、一般n/m/P/ Fmax问题的 启发式算法
1、Palmer法
m
• 计算工件斜度指标i ： i [k (m 1) / 2]pik
m : 机器数
k 1
pik ：工件i在机器k上的加工时间。 i=1,2, ,n
车间生产作业排序
车间生产作业排序
二、最长流程时间
车间生产作业排序
二、最长流程时间
•i •6 •1 •5 •2 •4 •3
•p •2•2
i1
•4•6
•4•10 •2•12 •1•13
•3•16
•p •5•7 •4•11 •4•15 •5•20 •7•27 •6•33
二、最长流程时间
• 最长流程时间（加工周期）：从第一个工件 在第一台机器上加工起到最后一个工件在最 后一台机器上加工完毕为止所经过的时间。
• 假定所有工件的到达时间都为0，则Fmax等 于排在末位加工的工件在车间的停留时间。
车间生产作业排序
二、最长流程时间
计算Fmax的几个假定条件： • 机器M1不会发生空闲； • 对其它机器，能对某一工件加工必须具备2个
车间生产作业排序
一、基本概念
2、作业计划（Scheduling） • 作业计划与排序不是一回事，它不仅要确定
工件的加工顺序，而且还要确定每台机器加 工每个工件的开工时间和完工时间。 • 如果按最早可能开（完）工时间来编排作业 计划，则排序完后，作业计划也就确定了。
车间生产作业排序
一、基本概念
3、排序问题的分类与表示 1）单台机器与多台机器的排序问题。 2）流水车间与单件车间排序问题。
• 排序方法: 按i从大到小的顺序排列。 • 按排序的顺序计算Fmax
车间生产作业排序
四、一般n/m/P/ Fmax问题的 启发式算法
2、关键工件法：
• 计算Pi= Pij ，找出Pi最长的工件，将之作为 关键工件C。
• 对其余工件，若Pi1≤Pim ，则按Pi1由小到大排 成序列SA。若Pi1> Pim ，则按Pim由大到小排成 序列SB。
机械加工顺序的安排原则
机械加工顺序的安排原则
机械加工顺序的安排原则主要有以下几点：
1. 减小机械加工顺序的总长度：通过综合考虑各道工序的切削用量、工作台的变动以及切削间隙等因素，尽量减小机械加工顺序的总长度，提高机械加工的效率。
2. 合理划分优先顺序：根据工序的复杂程度、刀具的磨损情况、零件的尺寸精度要求等，合理划分工序的优先顺序，确保先进行重要的工序，提高产品质量。
3. 考虑刀具的容量和维护：在安排机械加工顺序时，要考虑刀具的容量，尽量避免出现无法容纳更大工序的情况。
同时还要考虑刀具的维护周期，合理安排机械加工顺序，减少刀具的磨损。
4. 优化切削路径：合理设计切削路径，尽量减少长距离的切削移动和切削的空转，提高机械加工的效率和精度。
5. 提前沟通和协调：在安排机械加工顺序时，要提前与相关的部门和人员沟通，协调各方的需求和资源，确保加工顺序的安排与生产计划的配合。
总之，机械加工顺序的安排原则是要综合考虑各种因素，以确保机械加工的效率、质量和安全性。
作业排序(优制材料)
λi =- P i1 + P i3
λ1 = - P 11 + P 13= -1+4 = 3 λ2 = -P21 + P23= -2 + 5= 3 λ3 =- P31 + P33 = -6 + 8 = 2 λ4 =-P 41+P43 = -3 + 2 = -1
按λi不增的顺序排列，得到加工顺序 （1，2，3，4）和（2，1，3，4）， 两者均为最优顺序，Fmax=28。
i 1
i 1
工序中单件工时之
较小者
第三节 单件作业排序问题
1、问题描述
用（i，j，k）表示工件i 的第j道工序在机器k上进行。其中i 表示工件代号，j表示工序号，k表示完成任务的机器代号。 如加工描述矩阵D。
1，1，1
D
2，1，3
1，2，3 2，2，1
1，3，2
2，3，2
二、一般n/m/G/Fmax问题的算法
n——加工批量； m——工序数目； ti——工件在第i工序的单 件工时；
1、顺序移动方式:
一批零件在上道工序全部加工完毕后,才整批转移 到下道工序加工。
工序
M1
M2
t1
M3 M4
t2 t3 t4
T顺序
n——加工批量； m——工序数目； ti——工件在第i工序的单件工时；
时间
顺序移动方式下的加工周期计算
43
将零件1排第4位 2 5 6 1 4 3
最优加工顺序为S=（2，5，6，1，4，3）。最优顺序下的 Fmax=28
课堂作业： Johnson法则，最优排序！ 以及计算Fmax
（二）算法步骤的改进
把Johnson算法作些改变，改变后的算法 按以下步骤进行： 的顺序①排成将一所个有序ai列≤Ab。i的零件按ai值不减
动态规划法_工件排序
4
经研究发现，一批工件中品种的多少不是主要 的，所以为方便起见，可将每个工件看作一个品种， 对原属同一品种的两个工件，则可由它们各道工序 时间对应相同这一事实来反映。但是，机器的多少 （等价于工序的多少）却是决定问题能否求解的关 键。迄今为止，对三台及三台以上的机器加工问题， 尚无有效的求解方法，而两台机器的排序问题则已 于1954年由Johnson用动态规划的方法得到圆满解 决。
8
示例
【例4】 设有2×5排序问题，数据如下表所示，求最 优加工顺序。
1 2 3 4 5
A B
2 5
4 1
8 4
6 8
2 5
9
1
2
3
4
5
ห้องสมุดไป่ตู้
A B
2 5
4 1
8 4
6 8
2 5
【解】 按最优排序规则，可得两种最优顺序： 1→5→4→3→2 或 5→1→4→3→2。
10
练习题
1.设有2×5排序问题，数据如下表所示：
5
这里所讨论的就是n个工件在两台机器上加工的 排序问题，为简便起见，称为双机n件（记作2×n） 排序问题。
6
1. 2×n排序问题 设有n个工件，每个工件都要经过先A后B 两台机器加工。第i个工件在A与B 上的加工 时间各为ai与bi (i = 1, 2, …, n)，如下表所示：
1 A B a1 b1 2 a2 b2 … … … i ai bi … … … n an bn
第四章：动态规划法
工件排序问题
张惠珍
（上海理工大学 管理学院）
Email:zhzzywz@
1
提
纲
动态规划法
工件排序问题
机械加工顺序安排的原则
机械加工顺序安排的原则
机械加工顺序安排的原则有以下几点：
1.先易后难原则：机械加工通常是由简单到复杂，由粗加工到
精加工的顺序进行的。
先进行较粗略的加工，然后再进行较精细的加工，这样能够提高加工效率和质量。
2.先外后内原则：对于空腔或是内孔等需要较多次切削的工件，通常先进行外表面的加工，然后再进行内部的加工。
这样可以减少因内外孔差造成的误差累积。
3.先主要后次要原则：先对重要尺寸和形位公差要求较高的加
工特征进行加工，然后再对次要特征进行加工。
这样可以保证重要特征的精度和质量。
4.先粗后精原则：对于需要多道工序完成的工件，通常先进行
粗加工，然后再进行精加工。
通过粗加工先将厚度或是长度等进行调整，然后再通过精加工进行修整，以保证加工精度和表面质量。
5.工序紧凑原则：在安排机械加工顺序时，尽量将相同或相似
的工序在同一设备或同一加工中心上进行，以减少辅助时间和设备转换时间。
6.避免重复原则：在对工件进行加工时，尽量避免重复加工同
一特征或是相同的加工轮廓，以避免浪费和降低加工质量。
7.先刚后松原则：在进行切削加工时，通常先进行刚性加工，如铣削、钻削等，然后再进行松散加工，如螺纹加工等。
这样可以减小变形和提高加工精度。
总的来说，机械加工顺序安排的原则是根据工件的形状、尺寸要求、加工工艺和加工设备等因素综合考虑，以保证加工效率和质量。
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湖南工学院数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了第7届湖南工学院数学建模竞赛的竞赛规则。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与本队以外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们愿意承担由此引起的一切后果。
我们的参赛报名号为：参赛队员(签名)：队员1：***队员2：***队员3：***湖南工学院数学建模竞赛编号专用页
参赛队伍的参赛号码：（请各个参赛队提前填写好）：
竞赛统一编号（由竞赛组委会送至评委团前编号）：
竞赛评阅编号（由竞赛评委团评阅前进行编号）：-1-
湖南工学院数学建模竞赛工件加工的排序优化问题摘要众所周知，对于一个加工企业而言，如何在最短时间内完成加工任务，是一个企业提高竞争力和利润的关键。本文就是一篇关于工件加工的排序优化问题，即在给定的数据和做出符合实际生产的条件下，合理的安排工件的加工顺序，使加工的效率或所获得的利润等指标达到最大值。如：问题一第一问问在所有工件必须且只需加工一次，如何合理安排加工顺序，使得完成这批工件加工任务所需的总时间最省；第二问问如何安排加工顺序能使加工零件的总价值最大。因为工件加工只有顺序和加工与否，所以我们引入了一个0-1变量表示加工工件的顺序和工件的种类，运用lingo编程求出该变量，即可得到在不同情况下加工顺序。然后对结果进行分析，因为计算出的结果唯一的（实际可能不唯一，如，第一题第二问）。这是因为当前一个工件的完工时间大于排序后后一个工件的累计加工时间时，两者互换加工顺序均可行。问题二三四是在问题一上的推广,因此我们运用前面方法将模型符号化，再归纳出i种工件，每种工件需要j部机床的情况，在解决方法上只需要在lingo程序中的工件顺序集里加入相应的属性，便解出0-1变量，然后转换成顺序，问题就解决了。
关键词：0-1变量、lingo、排序问题-2-
1.问题重述计划排序问题中的车间作业问题，研究n个工件在m台机器上有序的加工问题，每个工件都有完工的日期（DD，Duedate）,加工的时间（PT，Processingtime）和工件的价值（VAL，Valueifjobisselected）.车间作业计划研究一个工厂生产工序的计划和安排，需要计划与合理安排各个工件在这些机器上加工的先后次序，即拟订加工工序，通过各个工件在各种机器上加工次序的合理安排，使得完成这批工件加工任务所需的总时间最省（注：总时间即为各个零件的加工时间和加工其他零件时它们等待时间之和）或要求整个选择加工的工件价值最大。
有一个工厂现在有12种工件（编号为工件1，工件2，…，工件12）需要在车床，钻床，铣床几种不同的设备上加工。考虑下面的工件加工的排序问题：
（一）这12种工件都要求在车床上加工，车床一次只能加工一种工件，这12种工件加工所需时间，每个工件的完工时间和每个工件的价值如表1所示：
工件加工时间（h）完工时间(h)工件价值12.89823.27.5431.215164423352.710760.9222072.5171783.3331191.777102.51812113.6255124.71118表1
1、不考虑工件的完工时间和工件的价值，为该工厂安排工件加工的次序，使得完成这批工件加工任务所需的总时间最省。建立数学模型并给出相应的算法。
2、由于工件必须在它们要求的时间内完工，按照表1的数据，为该工厂安排选择加工工件的种类及加工的次序，使得整个选择加工的工件价值最大。建立数学模型并给出相应的算法。
（二）如果这12种工件都要求先在车床上加工，然后再在钻床上加工（即工件在钻床加工之前必须先在车床上加工过），每种机器一次只能加工一种工件，这12种工件加工所需时间如表2所示：-3-
工件车床加工时间（h）钻床加工时间(h)12.8423.21.331.21.8442.252.7360.94.572.51.783.32.591.74.5102.52.5113.63.8124.71.9表2为该工厂安排工件加工的次序，使得完成这批工件加工任务所需的总时间最省。建立数学模型并给出相应的算法。
（三）如果这12种工件都要求先在车床上加工，然后再在钻床上加工，最后再在铣床上加工，每种机器一次只能加工一种工件，这12种工件加工所需时间如表3所示：
工件车床加工时间（h）钻床加工时间(h)铣床加工时间(h)12.84323.21.3131.21.82.5442.21.352.731.860.94.5272.51.73.683.32.50.891.74.51102.52.51.1113.60.91.3124.71.90.7表3
为该工厂安排工件加工的次序，使得完成这批工件加工任务所需的总时间最省。建立数学模型并给出相应的算法。
（四）对于上述问题你做出的数学模型和相应的算法给出评价。并将模型推广到n个工件在m台机器上加工的一般的工件排序问题，给出你的想法和解决问题的思路。-4-
2.问题分析问题一：第一问，题目只要求完成这批工件加工任务所需的总时间最省，不考虑完工时间和工件价值，为此引入一个12×12的0-1变量，下标分别表示工件序号和加工顺序序号。如：y(1,7)=1表示工件1加工顺序为7。利用约束条件和目标函数求出此变量，就能得到题目要求的工件加工次序。第二问，题目要求考虑完工时间并使利润最大，在第一问的基础上将目标函数中的总时间改为总利润，并加上完工时间的约束，将0-1变量解出，就能得到需要加工的工件序号和顺序。问题二：在问题一第一问的基础上，将加工次数增为两次，因为工件必须先经过车床加工，才能进行钻床的加工，所以只要求出工件车床的加工顺序就是整个加工顺序。因此仍然可以用一个12×12的0-1变量来解决此问题，然后用lingo编程解出此变量。问题三四：在问题一二基础上进一步推广，因此我们运用前面方法将模型符号化，然后归纳出一般的式子得到第三四问的解。
3.符号说明
ijy为0/1变量
ia为i工件的车床加工时间
jb在最优排列下第j次在车床加工的时间
im为i工件的钻床加工时间
jn在最优排列下第j次在钻床加工的时间
iq为i工件的铣床加工时间
jr在最优排列下第j次在铣床加工的时间
id第i种工件在车床的完工时间
jf在最优排列下第j种工件在车床工件的完工时间
js在最优排列下第j种工件在完成钻床序的总时间
ju在最优排列下第j种工件在完成铣床序的总时间
it为i工件在从最优排列下车床加工所用的总时间
W完成这批工件加工任务所需的总时间P工件总价值-5-
4.模型假设4.1.不考虑的完工时间和工件的价值，安排工件加工的次序，使得完成这批工件加工任务所需的总时间最省。4.2.工件在转换工序时所需的运输时间为零。4.3.机器加工完一种工件后，能及时另外一种零件。4.4.工件和机器在加工过程中不发生意外。
5.模型的建立与求解5.1.对于问题一
1）设it为i工件实际完工时间，所以完成这批工件的总时间为Z=121iit=∑
而加工i工件在最优排列下所用的总时间it=b1i−+bi=b2−i+b1−i+bi=b1+b2+…+ib
即1iijjtb==∑
共12工件，第i工件加工顺序在1到12之间，即1211ijiy==∑。加工顺序为j是，一定有一个工件i，即1211ijjy==∑。最优排列下第j次加工的时间121jijiibya==∑因此:问题1）的数学模型为目标函数:minZ=121iit=∑
约束条件:
1iijjtb==∑
1211ijiy==∑，1211ijjy==∑
121jijiibya==∑
对此数学模型用lingo编程，运行程序即得完成这批工件的总时间和加工顺序，程序见附件-程序一-6-
2）设P为工件的总价值，je在最优排列下第j种工件的价值，那么有：121maxjjPe==∑因为不要求每一种工件都加工，所以1211ijiy=≤∑，1211ijjy=≤∑因为第二问是在第一问的基础上，因此需要满足第一问的约束121jijiibya==∑，121jijiieyc==∑完工时间约束121jijiifyd==∑为i工件在从最优排列下加工所用的总时间需要小于完工时间，故ijtf≤（i=j）。综上所述可得问题2）的数学模型为目标函数：
121maxjjPe==∑
约束条件：1211ijiy=≤∑，1211ijjy=≤∑
121jijiibya==∑，121jijiieyc==∑
121jijiifyd==∑，ijtf≤(i=j)
对此数学模型用lingo编程，运行程序即得完成这批工件的总价值以及相应的总时间和加工顺序，程序见附录-程序二5.2.对于问题二问题二要求完成任务使总时间最少，根据题意总时间为加工时间加上等待时间，所以有如下式子
完成这批工件加工任务所需的总时间最少121minjjWs==∑
其中js最优排列下第j种工件在完成钻工序的总时间111{ijijjjjijtntsssnts−=−−
+≥+≤111
stn=+
it为i工件在从最优排列下车床加工所用的总时间1iijj
tb
==
∑