数学建模(工件加工排序)
【经典】建模-组合优化模型-排序
分析：
加工工件在机床A上有加工顺序问题，在机
排序问题
排序问题
排序问题指n 种零件经过不同设备加工时 的顺序问题。其目的是使加工周期为最短。
分类：
单台机器的排序问题
单件作业（Job-shop）排序问题： 工件的加工路线不同
多台机器的排序问题
流水作业（Flow-shop）排序问题： 所有工件的加工路线完全相同
n × 2 排序问题
即n 种零件经过2 种设备进行加工，如何 安排？
床B上也有加工顺序问题。可以证明：最优 排序方案可以只在机床A、B上加工顺 序相同的排序中寻找。即使如此，所有
可能的方案仍有n!个，这是一个不小的数， 用穷举法是不现实的。
问题：
如何用动态规划方法来研究同 顺序两台机床加工N个工件的 排序问题？
动态规划求解
最优排序方案：尽量减少在B上等待加工的 时间，使总加工时间最短。
最优化原理：作为整个过程的最优策略具有这样的 性质：无论过去的状态和决策如何，相对于前面的决 策所形成的状态而言，余下的决策序列必然构成最优 子策略。”也就是说，一个最优策略的子策略也是最 优的。
n × 1 排序问题
即n 种零件经过1 种设备进行加工，如何安排？
例一、
零件代号
j1
加工时间（t） 3
动态规划中能 处理的状态转移 方程的形式。
动态规划方法的关键在于正确地写出基本的递推 关系式和恰当的边界条件（简称基本方程）。要 做到这一点，就必须将问题的过程分成几个相互 联系的阶段，恰当的选取状态变量和决策变量及 定义最优值函数，从而把一个大问题转化成一组 同类型子问题的求解中， 均利用了它前面的子问题的最优化结果，依次进 行，最后一个子问题所得的最优解，就是整个问 题的最优解。
工件加工排序问题
工件加工排序问题2009-01-09 17:36工件加工排序问题问题摘要：本文是经典计划排序问题中的车间作业问题，研究n个工件在m台机器上有序的加工问题。
根据所提的问题及文中所给的有关数据表，我们分别采用了不同的解法。
（1）第一问为n(在此为12)个工件在一台设备（车床）上加工问题，（1.1）这里我们使用lingo8.0求解（源代码见附录1）得最优工件加工的顺序为：6每个工件在车床上加工的结束时间分别为：车床 2.5 5.8 9.0 12.6 13.5 16.3 20.3 22.0 23.2 25.9 28.4 33.1等待和加工的总时间为：171.9000（1.2）这问工件要在它们要求的时间内完工，选择加工工件的种类及加工的次序，使得整个选择加工的工件价值最大。
我们采用贪心算法（源代码见附录）求得结果：选择的加工工件和加工次序为：整个选择的加工价值为：117总的加工时间为P=27.2（2）第二问为12个工件在两台设备上加工问题，我们使用johnson算法，（源代码见附录2）求得最优工件加工的次序为：每个工件在车床，钻床机上加工的结束时间分别为：0.9 2.1 3.8 6.3 9.0 11.8 15.4 18.7 22.7 27.4 29.9 33.15.4 7.2 11.7 14.2 17.2 21.2 25.0 27.5 29.7 31.6 33.3 34.6最小时间为：34.6（3）第三问为n（在此为12）个工件在三台设备（分别为车床，钻床和铣床）上加工，我们使用CDS算法（源代码见附录2），求得最优工件加工的次序为：每个工件在车床，钻床，机上加工的结束时间分别为：车床 1.2 3.7 4.6 7.4 9.1 11.8 14.3 18.3 21.6 26.3 29.5 33.1钻床 3.0 5.4 9.9 13.9 18.4 21.4 23.9 26.1 28.6 30.5 31.8 34.0铣床 5.5 9.1 11.9 16.9 19.4 23.2 25.0 27.4 29.4 31.2 32.8 35.3加工过程状态图，其中黑色表示等待：最小时间为：35.3关键字：Johnson算法 CDS算法（启发式算法）贪心算法工件加工排序问题重述：（一）12种工件都在车床上加工，车床一次只能加工一种工件，根据文中所给表（1）求：1）在不考虑工件的完工时间和工件的价值的条件下，使得完成这批工件加工任务所需的总时间最省的工件加工的次序。
关于零件加工排序问题的数学模型、
零件的加工排序的最优模型摘要：根据问题“建立模型求出使总加工时间最短的加工顺序”可知，本题为建立最优化模型，求出零件加工时间最短的加工顺序。
本题根据已知数据，结合问题中的具体要求，我们引入0/1变量建立工件排序的数学规划模型。
借助Lingo软件进行求解运算，得出其中的最优排序方案。
使得完成这批工件加工任务所需要的总时间最省。
在这里，我们通过对各个工件（排序后）完成某项特定工序所需总时间进行求和得到整个加工任务所需要的总时间。
而各工件的总时间包括其机床加工时间和加工其他零件时的等待时间。
最后，根据我们建立的模型求解得出某塑料厂加工十个零件模型所需最短总加工时间为943分钟，总加工时间最短的加工顺序为：4－5－10－7－8－2－9－1－6－3，具体结果如表6-1，6-2。
一、问题重述某塑料厂要加工十个零件模型(编号为1，2，…，10),这些零件模型必须依次通过3个设备C1,C2,C3，每个设备一次只能加工一个零件，其加工时间如下表(单位：分钟)。
二、问题分析零件在C1工序上的总加工时间是固定的。
关键是在C2及C3工序上会出现等待。
如果采用不同序加工,那么在C1上已加工好的零件,在C2上加工的时间会落到在C1上比其后加工的零件的后面,则其在C2上等待的时间更长,同样在C2与C3工序上也是这样，要求加工时间最短的加工顺序，就必须尽量减少工件在C2及C3工序上的等待时间，由于工件必须在它们要求的时间内完工，即某工件在任务开始起到该工件加工完毕之间所用的总时间应少于该工件的规定完工时间。
所以要使整个加工任务的工件总价值最大，必须合理选择加工工件的种类及其加工的次序。
三、模型假设假设一：在后面的模型中，我们都假定了忽略工件在转换工序时的运输时间。
即将整个工件加工过程简化为一个连续的过程，只考虑机床在加工工件时其他工件的等待时间。
假设二：零件之间是相互独立的,从生产的角度看,先加工一个零件并不影响对后面零件的加工。
数模工件排序问题
工件排序问题摘要本文对于实际生产中工件的优化排序问题进行了探讨。
问题一要求给n种零件在两台设备上加工进行最佳的排序，并且使得加工顺序相同。
我们采用了较为成熟的约翰逊算法，得到对20个工件排序的结果：总的加工延续时间为206s，工件加工顺序为：17→19→18→8→15→6→7→3→5→1→16→12→11→20→13→2→10→9→14→4问题二针对三台机器的情况，我们使用了Palmer法以及C D-法两种启发式算法，计算复杂度较小的情况下得到了近优解。
然后，我们又采用优化模型，找到各工件在加工过程中加工时间和总时间之间的联系，求得各工件的加工总时间。
最后建立目标函数，得到最优解：当15n=时，总的加工时间为184s，工件加工顺序为：2→3→1→4→5→6→12→7→8→9→10→11→15→13→14 当20n=时，总的加工时间为197s，工件加工顺序为：5→8→11→1→2→6→12→3→14→16→15→17→4→18→19→10→20→13→9→7关键词：工件排序约翰逊法Palmer法C-D法优化模型一、 问题重述（略）二、 问题分析针对问题一，给n 种加工顺序相同的零件在两台设备上加工进行排序。
我们找到了一种解决相应问题的约翰逊算法，可以得到最优的排序方案以及总加工时间的最小值。
问题二中，我们针对实际生产中的工件排序问题，并且考虑到经济效益，即使不能给出最优解，得出算法小、效果较好的近优解也是不错的选择。
于是我们采用了多种启发式算法，分析比较其优缺点。
同时，考虑到此题完全可以转化为优化问题来解决，因此我们希望根据各工件在加工过程中加工时间和总时间之间的联系，寻求各工件加工总时间的具体算法。
再利用Lingo 软件进行求解模型，得出工件的最优排序。
三、符号说明()i M 第i 台机器n工件数ij t 第i 个工件在第j 台机器上的加工时间：()j iX i 工件在()j M上加工所需时间j iMi 工件从任务开始时刻起到完成()j M道工序为止所需要的总时间四、模型建立及求解问题一4．1 约翰逊（Johnson ）算法如何安排工件的加工顺序，使总的加工延续时间最短，解决这类优化排序问题的方法，是首先在全部额定工时中找出额定工时最小者。
数学建模工件的加工次序问题
? 最终求解模型，结果如下： ? (1) 加工顺序为
4→10→9→7→11→5→3→8→6→1→2→14→12→13 时， 各工件的完工时间和最小，为 2588。
? (2) 加工顺序为 4→7→11→10→9→5→3→8→6→2→1→14→12→13 时， 机床花费的总时间最小，为 114。
? (3) 加工顺序为 4→7→11→10→5→9→3→8→6→1→2→14→12→13 时， 总补偿费最小，为 142.42。
问题重述与分析
? 现有14件工件等待在一台机床上加工，某些工件的加工必 须安排在另一些工件加工完工以后才能开始，第j号工件的 加工时间tj及先期必须完工的工件号i由下表给出。
工
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
件号 j
tj
20
28
25
16
42
12
32
10
24
20
40
24
36
16
前
5,7,
10,1 3,8,
Z
—机床花费的总时间
2
?
Z
—加工时的总补偿费
3
? wij —表示从节点 i(表示加工工件i)到节点j(表示加工工件 j)的准备
时间。
? xij—是0-1变量，表示是否选取直接从加工第 i号工件接替到加 工第j号工件这一顺序
?
0 ，表示选取了从加工 i号工件到加工 j号工件的顺序
?
x ij ?
{ 1
，表示不选取从加工 i号工件到加工 j号工件的顺序
j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
数学建模 - 第九章 排序问题
第九章 排序问题
Definition 1 对于一个可行排序，如果有准备好被加
工的任务或工序，不准有空闲的处理机，称这种可行排
序为无耽搁排序（nondelay schedule）；否则称为耽搁排 序（delay schedule）。 无耽搁排序相当于有工作可做就不能闲着. 对于 大多数排序问题，包括所有的可中断排序，最优排序
而从事这一领域研究的人与日俱增，其内容也越来越
丰富，应用也越来越广泛.
第九章 排序问题
确定性排序 (Deterministic Scheduling) 所有数据在进行决策前都是已知的 随机性排序 （Stochastic Scheduling） 有的数据在进行决策前是未知的，是随机变量,
但它们的分布是已知的
如果每道工序的加工时间减少1，最优时间表会
小于 31 吗？是 26 吗？
工 序 紧前工序 加工时间 工 序 紧前工序 加工时间
A B C D E
P1 P2
—— A A，E —— D
A
D E FG 0 1 3 4 5 7
7 6 6 1 2
B
C 13
F G H I J
J H
20
D F
E，G E，G B，C
的机床上加工，但每个零件在每个机床上的加工时间
可能不同 . 如何按排加工顺序才能以最短的时间加工
完所有的零件 .
这是一个流水线排序问题 .
第九章 排序问题
Example 2 进程调度
在计算机多道程序操作系统中，并发执行多个进 程，任何时刻CPU只能执行一个进程，进程的到达时 间是不同的，怎样调度这些进程才能使CPU的利用率
B C J
0 2 456
1415
数学建模-圆盘内零件排序
圆盘内零件排序问题摘要：1957年，人类第一颗人造地球卫星在拜科努尔发射场被发射上地球轨道，苏联于1961年4月12日实现了首次载人航天.从此人类便开始了漫长的太空探索。
在中国第一颗人造地球卫星“东方红”一号上天之后，当时的国防部五院院长钱学森就提出，中国要搞载人航天。
1999年11月20日，中国第一艘无人试验飞船“神舟”一号起飞，并成功着陆，接着“神舟”二号，三号，四号相继发射成功.在2003年10月15日9时，我国自行研制的“神舟”五号载人飞船也顺利完成任务。
航天技术被广泛应用于军事侦察和地球资源勘测，以及进行临时性的天文观测和发展航太医学。
航天飞船一般是由轨道舱、返回舱和推进舱三部分组成，推进舱位于飞船的尾部，形状像一个圆筒，主要用于飞船的姿态控制、变轨和制动，因此，在零件的生产和组装过程中对工艺的要求非常高.飞船尾部中一套设备由不同的由24个零件组成，设备的24个零件均匀分布在等分成六个扇形区域的一个金属圆盘的边缘上，零件的排序不仅要是每个区域内的质量之差尽可能小，以保持整个尾部的平衡，而且相邻零件之间体积差距越大越好.本文对此问题建立了三个优化模型，并给出了相应算法，首先由质量约束，以相邻区域质量差最小为目标得出最优方案，再加以各零件的体积约束进行修正，最后对零件质量体积进行灵敏性分析.模型Ⅰ：针对问题一，建立了模型，采用0-1规划模型，引入0-1变量：若第i号（i=1,2,…,24）零件装在第j号区域则C ij=1，否则C ij=0.由于每个零件只能放入一个区域，一个区域只能放4个零件，再结合相邻区域质量差小于4这三个约束条件，再以相邻区域间质量差的总和最小为目标函数，然后用lingo8.0无限制版解出这些变量。
.模型Ⅱ：针对问题二，考虑到不光对区域间质量有约束，而且相邻零件之间体积也有约束，所以问题转化为一个圆盘上24个零件的排序问题，所以将圆盘划分为24个区域，沿用模型Ⅰ的思想，再加上体积约束进行修正，得到模型Ⅱ.即在保证质量最优的前提下加入对各零件的体积约束，限定大于3，用Lingo软件实现.模型Ⅲ：建立方差分析模型，根据给出的数据，分析分布特征，分成两组，用方差分析对数据进行调整，并求出调整范围。
高教社杯数学建模竞赛车间生产机械零件的排版优化
高教社杯数学建模竞赛车间生产机械零件的排版优化在当今工业制造领域，机械零件的排版优化是一个至关重要的问题，特别是在车间生产环境中。
高教社杯数学建模竞赛就是一个为学生提供锻炼机会的评台，而其中关于车间生产机械零件排版优化的题目更是贴近实际，有着广泛的应用场景。
本文将从深度和广度的角度出发，探讨车间生产机械零件排版优化的相关问题，并给出一些个人观点和理解。
1. 车间生产机械零件排版优化的意义车间生产机械零件排版优化是指在有限的空间内，合理布置机床和工件，以达到生产效率的最大化。
优化排版能够有效利用空间，节约生产成本，提高生产效率，减少生产浪费，对实际生产具有重要意义。
2. 理论基础和数学模型在车间生产机械零件排版优化中，数学建模是至关重要的。
可以利用数学方法对车间布局、工序安排和机械零件的排版进行建模和优化。
可以借助图论、线性规划、整数规划等数学工具，对车间布局进行优化；可以利用动态规划、贪心算法等技术，对工序安排进行最优化；还可以运用集合覆盖、遗传算法等方法，对机械零件排版进行优化。
3. 实际应用和挑战在实际应用中，车间生产机械零件排版优化面临着诸多挑战。
车间空间有限，机床种类繁多，零件尺寸各异，工艺要求复杂等因素都会增加优化的难度。
排版优化需要考虑到生产环境的实际情况，如交通流线、物流通道、安全防护等因素，这也增加了优化的复杂性。
4. 个人观点和理解对于车间生产机械零件排版优化，我认为应该综合考虑空间利用率、生产效率、成本控制和安全性等多个因素，采用多种数学建模和优化方法，寻找最优的排版方案。
还应结合实际生产情况，制定相应的管理策略和技术方案，确保排版优化能够落地生根，为企业的生产提供更大的价值。
总结回顾：在本文中，我们从深度和广度的角度对高教社杯数学建模竞赛中关于车间生产机械零件排版优化的问题进行了探讨。
我们首先阐述了排版优化的意义，指出了其在实际生产中的重要作用；其次介绍了理论基础和数学模型，指出了数学建模在排版优化中的重要性；然后探讨了实际应用和挑战，指出了排版优化面临的诸多挑战；最后共享了个人观点和理解，提出了采用综合考虑和多种优化方法的建议。
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A
i 1 j 1
j
定义 x 1 ，x 2 ……x 144 为 0/1 变量， a1 ， a2 ，… a12 为原始工件序列下 i 工件的车床加工 时间；所以
-3-
A 1 =x 1 a 1 +x 2 a 2 +……..+x 12 a 12 A 2 =x 13 a 1 +x 14 a 2 +……..+x 24 a 12 . .
-6-
fin_value(I)=@sum(gongjian(J):gj_value(J)*note(I,J)); ); !每个顺序位只能有一个工件或者没有工件; @for(shunxu(I): @sum(gongjian(J): note(I,J))<=1); !每个工件只能排在一个顺序位上; @for(gongjian(J): @sum(shunxu(I): note(I,J))<=1); !各工件的完工时间约束; @for(shunxu(I): @sum(shunxu(J)|J#le#I:time(J))<=overtime(I); ); !定义 0/1 变量; @for(links:@bin(note)); data: !原始排序下各个工件的机床加工时间; shijian= 2.8,3.2,1.2,4,2.7,0.9,2.5,3.3,1.7,2.5,3.6,4.7; !原始排序下各个工件的完工时间; endtime=9,7.5,15,23,10,22,17,33,7,18,25,11; !原始排序下各个工件的工件价值; gj_value=8,4,16,3,7,20,17,11,7,12,5,18; enddata end
设 Ti 为 i 工 件 实 际 完 工 时 间 ， 所 以 完 成 这 批 工 件 的 总 时 间 为 T=
i
T , 而
i1 i
12
Ti =A i 1 +A i =A i 2 +A i 1 +A i =A 1 +A 2 +………+ Ai = A j
j 1 12 i
因此: 建立问题（1）的目标函数即数学模型为 Min=
解题正文：
-2-
C 题：工件加工排序
（建模小组成员： AP0308306 陈运标 AP0308307 邓风仪 AP0206311 黄深泉）
摘要
本题根据已知数据，结合问题中的具体要求，我们引入 0/1 变量建立工件排 序的数学规划模型。借助 Lingo 软件进行求解运算，得出其中的最优排序方案。 使得完成这批工件加工任务所需要的总时间最省。在这里，我们通过对各个工件 （排序后） 完成某项特定工序所需总时间进行求和得到整个加工任务所需要的总 时间。而各工件的总时间包括其机床加工时间和加工其他零件时的等待时间。
Lingo 程序： （wenti(2).lg4 文件） model: !考虑完工时间和工件价值的排序问题; sets: gongjian/g1..g12/:shijian,endtime,gj_value; ! 属性为原始排序下各个工件的机床加工时间， 完工时间，工件价值; shunxu/s1..s12/:time,overtime,fin_value; ! 属性为重新排序后各个工件的机床加工时间，完 工时间，工件价值; links(shunxu,gongjian): note; endsets !目标函数; max=@sum(shunxu(I):fin_value(I)); !从新排序后各工件的机床加工时间（可能为零，即表示未选中工件）; @for(shunxu(I): time(I)=@sum(gongjian(J):shijian(J)*note(I,J))); !从新排序后各工件的完工时间（可能为零，即表示未选中工件）; @for(shunxu(I): overtime(I)=@sum(gongjian(J):endtime(J)*note(I,J)); ); !从新排序后各工件的工件价值（可能为零，即表示未选中工件）; @for(shunxu(I):
A 12 =x 133 a 1 +x 134 a 2 +……..+x 144 a 12 x 1 +x 2 +…….+x 12 =1 x 13 +x 14 +…….+x 24 =1 . . . x 133 +x 134 +…….+x 144 =1 x 1 +x 13 +x 25 +……+x 121 +x 133 =1 x 2 +x 14 +x 26 +……+x 122 +x 134 =1 . . . x 12 +x 24 +x 36 +……+x 132 +x 144 =1 （附 wenti(1).lg4 文件） Lingo 程序： model: !不考虑完工时间和工件价值的排序问题; sets: gongjian/g1..g12/:shijian; !属性为原始排序下各个工件的机床加工时间; shunxu/s1..s12/:time,fin_time; !属性为重新排序后各工件的机床加工时间和完成车工序的 时间; links(shunxu,gongjian): note; endsets !目标函数：求各个工件的加工总时间和最小; min=@sum(shunxu(I):fin_time(I)); !重新排序后各工件的机床加工时间; @for(shunxu(J): time(J)=@sum(gongjian(I):shijian(I)*note(I,J)); ); !排序后各个工件的加工总时间; @for(shunxu(I):
-1-
完工时间(h) 9 7.5 15 23 10 22 17 33 7 18 25 11
工件价值 8 4 16 3 7 20 17 11 7 12 5 18
工件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
车床加工时间（h） 2.8 3.2 1.2 4 2.7 0.9 2.5 3.3 1.7 2.5 3.6 4.7 表（2）
问题（一）题目要求：12 种工件都要求在车床上加工，车床一次只能加工一种工件。设
工件车床加工时间为 A i ,规定完工时间为 B i ,工件价值为 C i
i
1） 不考虑工件的完工时间和工件的价值，安排工件加工的次序，使得完成这批工件加工任 务所需的总时间最省。 分析：引入 0/1 变量，利用目标函数最优化工件排序。
钻床加工时间(h) 4 1.3 1.8 2.2 3 4.5 1.7 2.5 4.5 2.5 3.8 1.9
为该工厂安排工件加工的次序， 使得完成这批工件加工任务所需的总时间最省。 建立数 学模型并给出相应的算法。 (三) 如果这 12 种工件都要求先在车床上加工，然后再在钻床上加工，最后再在铣床上加 工，每种机器一次只能加工一种工件，这 12 种工件加工所需时间如表（三）所示： 工件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 车床加工时间（h） 2.8 3.2 1.2 4 2.7 0.9 2.5 3.3 1.7 2.5 3.6 4.7 表（3） 为该工厂安排工件加工的次序， 使得完成这批工件加工任务所需的总时间最省。 建立数 学模型并给出相应的算法。 (四) 对于上述问题你做出的数学模型和相应的算法给出评价。并将模型推广到 n 个工件 在 m 台机器上加工的一般的工件排序问题，给出你的想法和解决问题的思路。 钻床加工时间(h) 4 1.3 1.8 2.2 3 4.5 1.7 2.5 4.5 2.5 0.9 1.9 铣床加工时间(h) 3 1 2.5 1.3 1.8 2 3.6 0.8 1 1.1 1.3 0.7
数学建模竞赛试题：
C 题：工件加工排序
计划排序问题中的车间作业问题，研究 n 个工件在 m 台机器上有序的加工问题，每个 工件都有完工的日期（DD，Due date）, 加工的时间（PT，Processing time）和工件的价值 （VAL，Value if job is selected）. 现研究一个工厂生产工序的计划和安排，需要计划与合理 安排各个工件在这些机器上加工的先后次序， 即拟订加工工序， 通过各个工件在各种机器上 加工次序的合理安排，使得完成这批工件加工任务所需的总时间最省（注：总时间即为各个 零件的加工时间和加工其他零件时它们等待时间之和）或要求整个选择加工的工件价值最 大。 有一个工厂现在有 12 种工件（编号为工件 1，工件 2，…，工件 12）需要在车床，钻 床，铣床几种不同的设备上加工。考虑下面的工件加工的排序问题： (一) 这 12 种工件都要求在车床上加工，车床一次只能加工一种工件，这 12 种工件加工 所需时间，每个工件的完工时间和每个工件的价值如表（1）所示： 工件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 加工时间（h） 2.8 3.2 1.2 4 2.7 0.9 2.5 3.3 1.7 2.5 3.6 4.7 表（1） 1) 不考虑工件的完工时间和工件的价值，为该工厂安排工件加工的次序，使得完成这批 工件加工任务所需的总时间最省。建立数学模型并给出相应的算法。 2) 由于工件必须在它们要求的时间内完工，按照表（1）的数据，为该工厂安排选择加 工工件的种类及加工的次序，使得整个选择加工的工件价值最大。建立数学模型并给 出相应的算法。 (二) 如果这 12 种工件都要必须先在车床上加工过） ， 每种机器一次只能加工一种工件， 这 12 种工件加工所需 时间如表（2）所示：
X
i 1
12
j ,i
0 ( j =1, 2, ….12)，
且
X
j 1
12
i, j
0 ( i =1, 2, ….12)， X i , j 为 0-1 变量。用 Lingo 进行编程，工件集加入原始排序
下车床加工时间，完工时间和工件价值属性；顺序集加入重新排序后车床加工时间，完工时 间和工件价值属性；因此该模型为： 目标函数: Max=