2018年秋季高中数学人教A版必修1第1章 阶段复习课 第2课 章末综合测评1集合与函数概念
人教版高中数学A版必修1课后习题及答案(全)
高中数学必修1课后习题答案第一章 集合与函数概念1．1集合1．1．1集合的含义与表示练习（第5页）1．（1）中国∈A ，美国∉A ，印度∈A ，英国∉A ；中国和印度是属于亚洲的国家，美国在北美洲，英国在欧洲．（2）1-∉A 2{|}{0,1}A x x x ===．（3）3∉B 2{|60}{3,2}B x x x =+-==-．（4）8∈C ，9.1∉C 9.1N ∉．2．解：（1）因为方程290x -=的实数根为123,3x x =-=，所以由方程290x -=的所有实数根组成的集合为{3,3}-；（2）因为小于8的素数为2,3,5,7，所以由小于8的所有素数组成的集合为{2,3,5,7}； （3）由326y x y x =+⎧⎨=-+⎩，得14x y =⎧⎨=⎩，即一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点为(1,4)，所以一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合为{(1,4)}；（4）由453x -<，得2x <，所以不等式453x -<的解集为{|2}x x <．1．1．2集合间的基本关系练习（第7页）1．解：按子集元素个数来分类，不取任何元素，得∅；取一个元素，得{},{},{}a b c ；取两个元素，得{,},{,},{,}a b a c b c ；取三个元素，得{,,}a b c ，即集合{,,}a b c 的所有子集为,{},{},{},{,},{,},{,},{,,}a b c a b a c b c a b c ∅．2．（1）{,,}a a b c ∈ a 是集合{,,}a b c 中的一个元素；（2）20{|0}x x ∈= 2{|0}{0}x x ==；（3）2{|10}x R x ∅=∈+= 方程210x +=无实数根，2{|10}x R x ∈+==∅；（4）{0,1}N （或{0,1}N ⊆） {0,1}是自然数集合N 的子集，也是真子集； （5）{0}2{|}x x x = （或2{0}{|}x x x ⊆=） 2{|}{0,1}x x x ==；（6）2{2,1}{|320}x x x =-+= 方程2320x x -+=两根为121,2x x ==．3．解：（1）因为{|8}{1,2,4,8}B x x ==是的约数，所以A B ；（2）当2k z =时，36k z =；当21k z =+时，363k z =+，即B 是A 的真子集，B A ；（3）因为4与10的最小公倍数是20，所以A B =．1．1．3集合的基本运算练习（第11页）1．解：{3,5,6,8}{4,5,7,8}{5,8}A B ==，{3,5,6,8}{4,5,7,8}{3,4,5,6,7,8}A B ==．2．解：方程2450x x --=的两根为121,5x x =-=，方程210x -=的两根为121,1x x =-=，得{1,5},{1,1}A B =-=-，即{1},{1,1,5}A B A B =-=-．3．解：{|}AB x x =是等腰直角三角形， {|}AB x x =是等腰三角形或直角三角形． 4．解：显然{2,4,6}U B =，{1,3,6,7}U A =， 则(){2,4}U A B =，()(){6}U U A B =．1．1集合习题1．1 （第11页） A 组1．（1）237Q ∈ 237是有理数； （2）23N ∈ 239=是个自然数； （3）Q π∉π是个无理数，不是有理数； （42R 2是实数； （59Z 93=是个整数； （6）25)N ∈ 2(5)5=是个自然数．2．（1）5A ∈； （2）7A ∉； （3）10A -∈．当2k =时，315k -=；当3k =-时，3110k -=-；3．解：（1）大于1且小于6的整数为2,3,4,5，即{2,3,4,5}为所求；（2）方程(1)(2)0x x -+=的两个实根为122,1x x =-=，即{2,1}-为所求；（3）由不等式3213x -<-≤，得12x -<≤，且x Z ∈，即{0,1,2}为所求．4．解：（1）显然有20x ≥，得244x -≥-，即4y ≥-，得二次函数24y x =-的函数值组成的集合为{|4}y y ≥-； （2）显然有0x ≠，得反比例函数2y x =的自变量的值组成的集合为{|0}x x ≠； （3）由不等式342x x ≥-，得45x ≥，即不等式342x x ≥-的解集为4{|}5x x ≥． 5．（1）4B -∉； 3A -∉； {2}B ； B A ；2333x x x -<⇒>-，即{|3},{|2}A x x B x x =>-=≥；（2）1A ∈； {1}-A ； ∅A ； {1,1}-=A ； 2{|10}{1,1}A x x =-==-；（3）{|}x x 是菱形{|}x x 是平行四边形；菱形一定是平行四边形，是特殊的平行四边形，但是平行四边形不一定是菱形；{|}x x 是等边三角形{|}x x 是等腰三角形． 等边三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等边三角形．6．解：3782x x -≥-，即3x ≥，得{|24},{|3}A x x B x x =≤<=≥， 则{|2}A B x x =≥，{|34}A B x x =≤<．7．解：{|9}{1,2,3,4,5,6,7,8}A x x ==是小于的正整数，则{1,2,3}AB =，{3,4,5,6}AC =， 而{1,2,3,4,5,6}BC =，{3}B C =， 则(){1,2,3,4,5,6}A B C =，(){1,2,3,4,5,6,7,8}A B C =．8．解：用集合的语言说明这项规定：每个参加上述的同学最多只能参加两项，即为()A B C =∅．（1）{|}A B x x =是参加一百米跑或参加二百米跑的同学； （2）{|}A C x x =是既参加一百米跑又参加四百米跑的同学．9．解：同时满足菱形和矩形特征的是正方形，即{|}BC x x =是正方形， 平行四边形按照邻边是否相等可以分为两类，而邻边相等的平行四边形就是菱形， 即{|}A B x x =是邻边不相等的平行四边形， {|}S A x x =是梯形．10．解：{|210}AB x x =<<，{|37}A B x x =≤<， {|3,7}R A x x x =<≥或，{|2,10}R B x x x =≤≥或，得(){|2,10}R A B x x x =≤≥或， (){|3,7}R A B x x x =<≥或，(){|23,710}R A B x x x =<<≤<或， (){|2,3710}R A B x x x x =≤≤<≥或或．B 组1．4 集合B 满足A B A =，则B A ⊆，即集合B 是集合A 的子集，得4个子集．2．解：集合21(,)|45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧=⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭表示两条直线21,45x y x y -=+=的交点的集合， 即21(,)|{(1,1)}45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭，点(1,1)D 显然在直线y x =上，得D C ．3．解：显然有集合{|(4)(1)0}{1,4}B x x x =--==，当3a =时，集合{3}A =，则{1,3,4},AB A B ==∅； 当1a =时，集合{1,3}A =，则{1,3,4},{1}AB A B ==； 当4a =时，集合{3,4}A =，则{1,3,4},{4}A B A B ==；当1a ≠，且3a ≠，且4a ≠时，集合{3,}A a =，则{1,3,4,},A B a A B ==∅．4．解：显然{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}U =，由U AB =， 得U B A ⊆，即()U U A B B =，而(){1,3,5,7}U A B =， 得{1,3,5,7}U B =，而()U U B B =，即{0,2,4,6,8.9,10}B =．第一章 集合与函数概念1．2函数及其表示1．2．1函数的概念练习（第19页）1．解：（1）要使原式有意义，则470x +≠，即74x ≠-， 得该函数的定义域为7{|}4x x ≠-； （2）要使原式有意义，则1030x x -≥⎧⎨+≥⎩，即31x -≤≤，得该函数的定义域为{|31}x x -≤≤． 2．解：（1）由2()32f x x x =+，得2(2)322218f =⨯+⨯=，同理得2(2)3(2)2(2)8f -=⨯-+⨯-=，则(2)(2)18826f f +-=+=，即(2)18,(2)8,(2)(2)26f f f f =-=+-=；（2）由2()32f x x x =+，得22()3232f a a a a a =⨯+⨯=+，同理得22()3()2()32f a a a a a -=⨯-+⨯-=-，则222()()(32)(32)6f a f a a a a a a +-=++-=，即222()32,()32,()()6f a a a f a a a f a f a a =+-=-+-=．3．解：（1）不相等，因为定义域不同，时间0t >；（2）不相等，因为定义域不同，0()(0)g x x x =≠．1．2．2函数的表示法练习（第23页） 1．解：显然矩形的另一边长为2250x cm -，222502500y x x x x =-=-，且050x <<，即22500(050)y x x x =-<<．2．解：图象（A ）对应事件（2），在途中遇到一次交通堵塞表示离开家的距离不发生变化； 图象（B ）对应事件（3），刚刚开始缓缓行进，后来为了赶时间开始加速； 图象（D ）对应事件（1），返回家里的时刻，离开家的距离又为零；图象（C ）我出发后，以为要迟到，赶时间开始加速，后来心情轻松，缓缓行进．2,2|2|2,2x x y x x x -≥⎧=-=⎨-+<⎩，图象如下所示． 3．解：4．解：因为3sin 602=，所以与A 中元素60相对应的B 中的元素是32； 因为2sin 452=，所以与B 中的元素22相对应的A 中元素是45． 1．2函数及其表示习题1．2（第23页） 1．解：（1）要使原式有意义，则40x -≠，即4x ≠，得该函数的定义域为{|4}x x ≠；（2）x R ∈，2()f x x =都有意义，即该函数的定义域为R ；（3）要使原式有意义，则2320x x -+≠，即1x ≠且2x ≠，得该函数的定义域为{|12}x x x ≠≠且；（4）要使原式有意义，则4010x x -≥⎧⎨-≠⎩，即4x ≤且1x ≠， 得该函数的定义域为{|41}x x x ≤≠且．2．解：（1）()1f x x =-的定义域为R ，而2()1x g x x=-的定义域为{|0}x x ≠， 即两函数的定义域不同，得函数()f x 与()g x 不相等；（2）2()f x x =的定义域为R ，而4()()g x x =的定义域为{|0}x x ≥，即两函数的定义域不同，得函数()f x 与()g x 不相等；（3）对于任何实数，都有362x x =，即这两函数的定义域相同，切对应法则相同，得函数()f x 与()g x 相等．3．解：（1）定义域是(,)-∞+∞，值域是(,)-∞+∞；（2）定义域是(,0)(0,)-∞+∞，值域是(,0)(0,)-∞+∞；（3）定义域是(,)-∞+∞，值域是(,)-∞+∞；（4）定义域是(,)-∞+∞，值域是[2,)-+∞．4．解：因为2()352f x x x =-+，所以2(2)3(2)5(2)2852f -=⨯--⨯-+=+，即(2)852f -=+；同理，22()3()5()2352f a a a a a -=⨯--⨯-+=++，即2()352f a a a -=++；22(3)3(3)5(3)231314f a a a a a +=⨯+-⨯++=++，即2(3)31314f a a a +=++；22()(3)352(3)3516f a f a a f a a +=-++=-+，即2()(3)3516f a f a a +=-+． 5．解：（1）当3x =时，325(3)14363f +==-≠-， 即点(3,14)不在()f x 的图象上；（2）当4x =时，42(4)346f +==--， 即当4x =时，求()f x 的值为3-；（3）2()26x f x x +==-，得22(6)x x +=-， 即14x =．6．解：由(1)0,(3)0f f ==，得1,3是方程20x bx c ++=的两个实数根，即13,13b c +=-⨯=，得4,3b c =-=，即2()43f x x x =-+，得2(1)(1)4(1)38f -=--⨯-+=，即(1)f -的值为8．7．图象如下：8．解：由矩形的面积为10，即10xy =，得10(0)y x x=>，10(0)x y y =>，由对角线为d，即d =(0)d x =>， 由周长为l ，即22l x y =+，得202(0)l x x x =+>， 另外2()l x y =+，而22210,xy d x y ==+，得0)l d ===>，即(0)l d =>．9．解：依题意，有2()2dx vt π=，即24v x t dπ=， 显然0x h ≤≤，即240v t h dπ≤≤，得204h d t v π≤≤， 得函数的定义域为2[0,]4h d vπ和值域为[0,]h ． 10．解：从A 到B 的映射共有8个．分别是()0()0()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()1()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()1()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩．Ｂ组1．解：（1）函数()r f p =的定义域是[5,0][2,6)-；（2）函数()r f p =的值域是[0,)+∞；（3）当5r >，或02r ≤<时，只有唯一的p 值与之对应．2．解：图象如下，（1）点(,0)x 和点(5,)y 不能在图象上；（2）省略．3．解：3, 2.522,211,10()[]0,011,122,233,3x x x f x x x x x x --<<-⎧⎪--≤<-⎪⎪--≤<⎪==≤<⎨⎪≤<⎪≤<⎪⎪=⎩图象如下4．解：（1）驾驶小船的路程为222x +，步行的路程为12x -，得2221235x xt +-=+，(012)x ≤≤， 即241235x xt +-=+，(012)x ≤≤． （2）当4x =时，2441242583()3535t h +-=+=+≈．第一章 集合与函数概念1．3函数的基本性质1．3．1单调性与最大（小）值练习（第32页）1．答：在一定的范围内，生产效率随着工人数量的增加而提高，当工人数量达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率随着工人数量的增加而降低．由此可见，并非是工人越多，生产效率就越高．2．解：图象如下[8,12]是递增区间，[12,13]是递减区间，[13,18]是递增区间，[18,20]是递减区间． 3．解：该函数在[1,0]-上是减函数，在[0,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数，在[4,5]上是增函数． 4．证明：设12,x x R ∈，且12x x <，因为121221()()2()2()0f x f x x x x x -=--=->， 即12()()f x f x >，所以函数()21f x x =-+在R 上是减函数. 5．最小值．1．3．2单调性与最大（小）值练习（第36页）1．解：（1）对于函数42()23f x x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有4242()2()3()23()f x x x x x f x -=-+-=+=， 所以函数42()23f x x x =+为偶函数；（2）对于函数3()2f x x x =-，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有33()()2()(2)()f x x x x x f x -=---=--=-， 所以函数3()2f x x x =-为奇函数；（3）对于函数21()x f x x+=，其定义域为(,0)(0,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有22()11()()x x f x f x x x -++-==-=--， 所以函数21()x f x x+=为奇函数；（4）对于函数2()1f x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有22()()11()f x x x f x -=-+=+=， 所以函数2()1f x x =+为偶函数.2．解：()f x 是偶函数，其图象是关于y 轴对称的； ()g x 是奇函数，其图象是关于原点对称的．习题1.3A 组1．解：（1）函数在5(,)2-∞上递减；函数在5[,)2+∞上递增； （2）函数在(,0)-∞上递增；函数在[0,)+∞上递减.2．证明：（1）设120x x <<，而2212121212()()()()f x f x x x x x x x -=-=+-，由12120,0x x x x +<-<，得12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，所以函数2()1f x x =+在(,0)-∞上是减函数；（2）设120x x <<，而1212211211()()x x f x f x x x x x --=-=， 由12120,0x x x x >-<，得12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，所以函数1()1f x x=-在(,0)-∞上是增函数. 3．解：当0m >时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数； 当0m <时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数， 令()f x mx b =+，设12x x <， 而1212()()()f x f x m x x -=-，当0m >时，12()0m x x -<，即12()()f x f x <， 得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数；当0m <时，12()0m x x ->，即12()()f x f x >，得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数. 4．解：自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象为5．解：对于函数21622100050x y x =-+-， 当162405012()50x =-=⨯-时，max 307050y =（元）， 即每辆车的月租金为4050元时，租赁公司最大月收益为307050元． 6．解：当0x <时，0x ->，而当0x ≥时，()(1)f x x x =+，即()(1)f x x x -=--，而由已知函数是奇函数，得()()f x f x -=-，得()(1)f x x x -=--，即()(1)f x x x =-， 所以函数的解析式为(1),0()(1),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩.B 组1．解：（1）二次函数2()2f x x x =-的对称轴为1x =，则函数()f x 的单调区间为(,1),[1,)-∞+∞，且函数()f x 在(,1)-∞上为减函数，在[1,)+∞上为增函数， 函数()g x 的单调区间为[2,4]， 且函数()g x 在[2,4]上为增函数； （2）当1x =时，min ()1f x =-， 因为函数()g x 在[2,4]上为增函数，所以2min ()(2)2220g x g ==-⨯=．2．解：由矩形的宽为x m ，得矩形的长为3032xm -，设矩形的面积为S ， 则23033(10)22x x x S x --==-，当5x =时，2max 37.5S m =，即宽5x =m 才能使建造的每间熊猫居室面积最大，且每间熊猫居室的最大面积是237.5m ． 3．判断()f x 在(,0)-∞上是增函数，证明如下： 设120x x <<，则120x x ->->，因为函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，得12()()f x f x -<-， 又因为函数()f x 是偶函数，得12()()f x f x <， 所以()f x 在(,0)-∞上是增函数．复习参考题A 组1．解：（1）方程29x =的解为123,3x x =-=，即集合{3,3}A =-； （2）12x ≤≤，且x N ∈，则1,2x =，即集合{1,2}B =；（3）方程2320x x -+=的解为121,2x x ==，即集合{1,2}C =． 2．解：（1）由PA PB =，得点P 到线段AB 的两个端点的距离相等， 即{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线；（2）{|3}P PO cm =表示的点组成以定点O 为圆心，半径为3cm 的圆． 3．解：集合{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线， 集合{|}P PA PC =表示的点组成线段AC 的垂直平分线，得{|}{|}P PA PB P PA PC ==的点是线段AB 的垂直平分线与线段AC 的 垂直平分线的交点，即ABC ∆的外心．4．解：显然集合{1,1}A =-，对于集合{|1}B x ax ==， 当0a =时，集合B =∅，满足B A ⊆，即0a =； 当0a ≠时，集合1{}B a =，而B A ⊆，则11a =-，或11a=， 得1a =-，或1a =， 综上得：实数a 的值为1,0-，或1． 5．解：集合20(,)|{(0,0)}30x y AB x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭，即{(0,0)}A B =；集合20(,)|23x y A C x y x y ⎧-=⎫⎧==∅⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭，即A C =∅；集合3039(,)|{(,)}2355x y BC x y x y ⎧+=⎫⎧==-⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭； 则39()(){(0,0),(,)}55AB BC =-.6．解：（1）要使原式有意义，则2050x x -≥⎧⎨+≥⎩，即2x ≥，得函数的定义域为[2,)+∞； （2）要使原式有意义，则40||50x x -≥⎧⎨-≠⎩，即4x ≥，且5x ≠，得函数的定义域为[4,5)(5,)+∞．7．解：（1）因为1()1x f x x -=+， 所以1()1a f a a -=+，得12()1111a f a a a -+=+=++， 即2()11f a a +=+；（2）因为1()1xf x x-=+，所以1(1)(1)112a af a a a -++==-+++， 即(1)2af a a +=-+．8．证明：（1）因为221()1x f x x +=-，所以22221()1()()1()1x x f x f x x x+-+-===---， 即()()f x f x -=；（2）因为221()1x f x x +=-，所以222211()11()()111()x x f f x x x x++===---， 即1()()f f x x=-.9．解：该二次函数的对称轴为8k x =， 函数2()48f x x kx =--在[5,20]上具有单调性，则208k ≥，或58k≤，得160k ≥，或40k ≤， 即实数k 的取值范围为160k ≥，或40k ≤．10．解：（1）令2()f x x -=，而22()()()f x x x f x ---=-==，即函数2y x -=是偶函数；（2）函数2y x -=的图象关于y 轴对称； （3）函数2y x -=在(0,)+∞上是减函数； （4）函数2y x -=在(,0)-∞上是增函数．B 组1．解：设同时参加田径和球类比赛的有x 人，则158143328x ++---=，得3x =，只参加游泳一项比赛的有15339--=（人），即同时参加田径和球类比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有9人． 2．解：因为集合A ≠∅，且20x ≥，所以0a ≥． 3．解：由(){1,3}UA B =，得{2,4,5,6,7,8,9}A B =，集合AB 里除去()U A B ，得集合B ，所以集合{5,6,7,8,9}B =.4．解：当0x ≥时，()(4)f x x x =+，得(1)1(14)5f =⨯+=； 当0x <时，()(4)f x x x =-，得(3)3(34)21f -=-⨯--=；(1)(5),1(1)(1)(3),1a a a f a a a a ++≥-⎧+=⎨+-<-⎩．5．证明：（1）因为()f x ax b =+，得121212()()222x x x x af a b x x b ++=+=++，121212()()()222f x f x ax b ax b ax x b ++++==++， 所以1212()()()22x x f x f x f ++=； （2）因为2()g x x ax b =++，得22121212121()(2)()242x x x x g x x x x a b ++=++++， 22121122()()1[()()]22g x g x x ax b x ax b +=+++++2212121()()22x x x x a b +=+++，因为2222212121212111(2)()()0424x x x x x x x x ++-+=--≤，即222212121211(2)()42x x x x x x ++≤+， 所以1212()()()22x x g x g x g ++≤. 6．解：（1）函数()f x 在[,]b a --上也是减函数，证明如下：设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<，因为函数()f x 在[,]a b 上是减函数，则21()()f x f x ->-，又因为函数()f x 是奇函数，则21()()f x f x ->-，即12()()f x f x >， 所以函数()f x 在[,]b a --上也是减函数；（2）函数()g x 在[,]b a --上是减函数，证明如下： 设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<，因为函数()g x 在[,]a b 上是增函数，则21()()g x g x -<-， 又因为函数()g x 是偶函数，则21()()g x g x <，即12()()g x g x >， 所以函数()g x 在[,]b a --上是减函数．7．解：设某人的全月工资、薪金所得为x 元，应纳此项税款为y 元，则0,02000(2000)5%,2000250025(2500)10%,25004000175(4000)15%,40005000x x x y x x x x ≤≤⎧⎪-⨯<≤⎪=⎨+-⨯<≤⎪⎪+-⨯<≤⎩由该人一月份应交纳此项税款为26.78元，得25004000x <≤， 25(2500)10%26.78x +-⨯=，得2517.8x =， 所以该人当月的工资、薪金所得是2517.8元．新课程标准数学必修1第二章课后习题解答第二章 基本初等函数（I ） 2．1指数函数 练习（P54）1. a 21=a ,a 43=43a ,a53-=531a,a32-=321a.2. (1)32x =x 32, (2)43)(b a +=(a +b )43, (3)32n)-(m =(m -n )32, (4)4n)-(m =(m -n )2,(5)56q p =p 3q 25,(6)mm 3=m213-=m 25.3. (1)(4936)23=［(76)2］23=(76)3=343216;(2)23×35.1×612=2×321×(23)31×(3×22)61=231311--×3613121++=2×3=6;(3)a 21a 41a 81-=a814121-+=a 85; (4)2x 31-(21x 31-2x 32-)=x 3131+--4x 3221--=1-4x -1=1x4-.练习（P58）1.如图图2-1-2-142.(1)要使函数有意义,需x -2≥0,即x ≥2,所以函数y =32-x 的定义域为｛x |x ≥2｝;(2)要使函数有意义,需x ≠0,即函数y =(21)x 1的定义域是｛x ∣x ≠0｝.3.y =2x (x ∈N *)习题2.1 A 组（P59）1.(1)100;(2)-0.1;(3)4-π;(4)x -y .2解：(1)623b a ab=212162122123)(⨯⨯⨯b a a b =23232121--⨯b a =a 0b 0=1. (2)a aa2121=212121a a a⨯=2121a a ⨯=a 21.(3)415643)(mm m m m •••=4165413121mm m m m ••=4165413121+++mm=m 0=1.点评：遇到多重根号的式子,可以由里向外依次去掉根号,也可根据幂的运算性质来进行.3.解：对于（1）,可先按底数5,再按键,再按12,最后按,即可求得它的值.答案：1.710 0; 对于（2）,先按底数8.31,再按键,再按12,最后按即可. 答案：2.881 0; 对于（3）这种无理指数幂,先按底数3,再按键,再按键,再按2,最后按即可.答案：4.728 8;对于（4）这种无理指数幂,可先按底数2,其次按键,再按π键,最后按即可.答案：8.825 0.4.解：(1)a 31a 43a127=a 1274331++=a 35; (2)a 32a 43÷a 65=a654332-+=a 127;(3)(x 31y43-)12=12431231⨯-⨯yx =x 4y -9;(4)4a 32b 31-÷(32-a 31-b 31-)=(32-×4)31313132+-+b a =-6ab 0=-6a ;(5))2516(462rt s -23-=)23(4)23(2)23(6)23(2)23(452-⨯-⨯-⨯--⨯-⨯rts=6393652----rt s =36964125s r r ; (6)(-2x 41y31-)(3x21-y 32)(-4x 41y 32)=［-2×3×(-4)］x 323231412141++-+-yx=24y ;(7)(2x 21+3y41-)(2x 21-3y41-)=(2x 21)2-(3y 41-)2=4x -9y 21-;(8)4x 41 (-3x 41y31-)÷(-6x21-y32-)=3231214141643+-++-⨯-y x =2xy 31. 点评：进行有理数指数幂的运算时,要严格按法则和运算顺序,同时注意运算结果的形式,但结果不能既有分数指数又有根式,也不能既有分母又有负指数.5.（1）要使函数有意义,需3-x ∈R ,即x ∈R ,所以函数y =23-x 的定义域为R . （2）要使函数有意义,需2x +1∈R ,即x ∈R ,所以函数y =32x +1的定义域为R . (3)要使函数有意义,需5x ∈R,即x ∈R,所以函数y =(21)5x的定义域为R . (4)要使函数有意义,需x ≠0,所以函数y =0.7x1的定义域为{x |x ≠0}.点评：求函数的定义域一是分式的分母不为零,二是偶次根号的被开方数大于零,0的0次幂没有意义.6.解：设经过x 年的产量为y ,一年内的产量是a (1+100p ),两年内产量是a (1+100p )2,…,x 年内的产量是a (1+100p )x ,则y =a (1+100p )x(x ∈N *,x ≤m ). 点评：根据实际问题,归纳是关键,注意x 的取值范围.7.(1)30.8与30.7的底数都是3,它们可以看成函数y =3x ,当x =0.8和0.7时的函数值；因为3>1,所以函数y =3x 在R 上是增函数.而0.7<0.8,所以30.7<30.8.(2)0.75-0.1与0.750.1的底数都是0.75,它们可以看成函数y =0.75x ,当x =-0.1和0.1时的函数值； 因为1>0.75,所以函数y =0.75x 在R 上是减函数.而-0.1<0.1,所以0.750.1<0.75-0.1.(3)1.012.7与1.013.5的底数都是1.01,它们可以看成函数y =1.01x ,当x =2.7和3.5时的函数值； 因为1.01>1,所以函数y =1.01x 在R 上是增函数.而2.7<3.5,所以1.012.7<1.013.5. (4)0.993.3与0.994.5的底数都是0.99,它们可以看成函数y =0.99x ,当x =3.3和4.5时的函数值； 因为0.99<1,所以函数y =0.99x 在R 上是减函数.而3.3<4.5,所以0.994.5<0.993.3.8.(1)2m ,2n 可以看成函数y =2x ,当x =m 和n 时的函数值;因为2>1,所以函数y =2x 在R 上是增函数.因为2m <2n ,所以m <n . (2)0.2m ,0.2n 可以看成函数y =0.2x ,当x =m 和n 时的函数值;因为0.2<1, 所以函数y =0.2x 在R 上是减函数.因为0.2m <0.2n ,所以m >n . (3)a m ,a n 可以看成函数y =a x ,当x =m 和n 时的函数值;因为0<a <1, 所以函数y =a x 在R 上是减函数.因为a m <a n ,所以m >n . (4)a m ,a n 可以看成函数y =a x ,当x =m 和n 时的函数值;因为a >1, 所以函数y =a x 在R 上是增函数.因为a m >a n ,所以m >n . 点评：利用指数函数的单调性是解题的关键.9.(1)死亡生物组织内碳14的剩余量P 与时间t 的函数解析式为P=(21)57301.当时间经过九个“半衰期”后,死亡生物组织内的碳14的含量为P=(21)573057309⨯=(21)9≈0.002. 答:当时间经过九个“半衰期”后,死亡生物组织内的碳14的含量约为死亡前含量的2‰, 因此,还能用一般的放射性探测器测到碳14的存在.(2)设大约经过t 万年后,用一般的放射性探测器测不到碳14,那么(21)537010000t <0.001,解得t >5.7.答:大约经过6万年后,用一般的放射性探测器是测不到碳14的. B 组1. 当0＜a ＜1时,a 2x -7＞a 4x -12⇒x -7＜4x －1⇒x ＞－3;当a ＞1时,a 2x -7＞a 4x -1⇒2x －7＞4x －1⇒x ＜－3. 综上,当0＜a ＜1时,不等式的解集是{x |x ＞－3}；当a ＞1时,不等式的解集是{x |x ＜－3}.2.分析:像这种条件求值,一般考虑整体的思想,同时观察指数的特点,要注重完全平方公式的运用. 解：(1)设y =x 21+x21-,那么y 2=(x 21+x21-)2=x +x -1+2.由于x +x -1=3,所以y =5.(2)设y =x 2+x -2,那么y =(x +x -1)2-2.由于x +x -1=3,所以y =7.(3)设y =x 2-x -2,那么y =(x +x -1)(x -x -1),而(x -x -1)2=x 2-2+x -2=5,所以y =±35. 点评：整体代入和平方差,完全平方公式的灵活运用是解题的突破口. 3.解：已知本金为a 元.1期后的本利和为y 1=a +a ×r =a (1+r ), 2期后的本利和为y 2=a (1+r )+a (1+r )×r =a (1+r )2, 3期后的本利和为y 3=a (1+r )3, …x 期后的本利和为y =a (1+r )x .将a =1 000,r =0.022 5,x =5代入上式得y =a (1+r )x =1 000×(1+0.022 5)5=1 000×1.02255≈1118. 答:本利和y 随存期x 变化的函数关系式为y =a (1+r )x ,5期后的本利和约为1 118元. 4.解：(1)因为y 1=y 2,所以a 3x +1=a -2x .所以3x +1=-2x .所以x =51-. (2)因为y 1>y 2,所以a 3x +1>a -2x . 所以当a >1时,3x +1>-2x .所以x >51-. 当0<a <1时,3x +1<-2x .所以x <51-.2．2对数函数 练习（P64）1.（1）2log 83=； （2）2log 325=； （3）21log 12=-； （4）2711log 33=-2.（1）239=； （2）35125=； （3）2124-=； （4）41381-=3.（1）设5log 25x =，则25255x ==，所以2x =； （2）设21log 16x =，则412216x -==，所以4x =-； （3）设lg1000x =，则310100010x ==，所以3x =； （4）设lg 0.001x =，则3100.00110x -==，所以3x =-；4.（1）1； （2）0； （3）2； （4）2； （5）3； （6）5.练习（P68）1.（1）lg()lg lg lg xyz x y z =++；（2）222lg lg()lg lg lg lg lg 2lg lg xy xy z x y z x y z z =-=++=++；（3）33311lg()lg lg lg lg 3lg lg22xy x y z x y z =-=+-=+-；（4）2211lg()lg (lg lg )lg 2lg lg 22y z x y z x y z ==-+=--. 2.（1）223433333log (279)log 27log 9log 3log 3347⨯=+=+=+=；（2）22lg1002lg1002lg104lg104====；（3）5lg 0.00001lg105lg105-==-=-; （4）11ln 22e ==3. (1)22226log 6log 3log log 213-===; (2)lg5lg 2lg101+==; (3)555511log 3log log (3)log 1033+=⨯==;(4)13333351log 5log 15log log log 31153--====-. 4.(1)1; (2)1; (3)54练习（P73）1.函数3log y x =及13log y x =的图象如右图所示.相同点：图象都在y 轴的右侧，都过点(1,0) 不同点：3log y x =的图象是上升的，13log y x =的图象是下降的关系：3log y x =和13log y x =的图象是关于x 轴对称的.2. (1)(,1)-∞； (2)(0,1)(1,)+∞; （3）1(,)3-∞； （4）[1,)+∞3. (1)1010log 6log 8< (2)0.50.5log 6log 4< (3)2233log 0.5log 0.6> (4) 1.5 1.5log 1.6log 1.4>习题2.2 A 组（P74） 1. (1)3log 1x =； (2)41log 6x =; （3）4log 2x =； （4）2log 0.5x = (5) lg 25x = (6)5log 6x =2. (1)527x = (2) 87x = (3) 43x = (4)173x= (5) 100.3x = (6) 3xe =3. (1)0; (2) 2; (3) 2-; (4)2; (5) 14-; (6) 2. 4. (1)lg 6lg 2lg3a b =+=+; (2) 3lg 42lg 22log 4lg3lg3ab===; (3) 2lg122lg 2lg3lg3log 1222lg 2lg 2lg 2b a +===+=+; (4)3lg lg3lg 22b a =-=- 5. (1)x ab =; (2) mx n=; (3) 3n x m =; (4)b x =.6. 设x 年后我国的GDP 在1999年的GDP 的基础上翻两番，则(10.073)4x+=解得 1.073log 420x =≈. 答：设20年后我国的GDP 在1999年的GDP 的基础上翻两番.7. (1)(0,)+∞; (2) 3(,1]4. 8. (1)m n <; (2) m n <; (3) m n >; (4)m n >.9. 若火箭的最大速度12000v =，那么62000ln 112000ln(1)61402M M M M e mm m m ⎛⎫+=⇒+=⇒+=⇒≈ ⎪⎝⎭答：当燃料质量约为火箭质量的402倍时，火箭的最大速度可达12km/s. 10. (1)当底数全大于1时，在1x =的右侧，底数越大的图象越在下方.所以，①对应函数lg y x =，②对应函数5log y x =，③对应函数2log y x =. (2)略. (3)与原函数关于x 轴对称. 11. (1)235lg 25lg 4lg92lg52lg 22lg3log 25log 4log 98lg 2lg3lg5lg 2lg3lg5⋅⋅=⨯⨯=⨯⨯= (2)lg lg lg log log log 1lg lg lg a b c b c a b c a a b c⋅⋅=⨯⨯= 12. (1)令2700O =，则312700log 2100v =，解得 1.5v =. 答：鲑鱼的游速为1.5米/秒. (2)令0v =，则31log 02100O=，解得100O =. 答：一条鱼静止时的耗氧量为100个单位.B 组1. 由3log 41x =得：143,43xx-==，于是11044333x x -+=+= 2. ①当1a >时，3log 14a<恒成立； ②当01a <<时，由3log 1log 4a a a <=，得34a <，所以304a <<.综上所述：实数a 的取值范围是3{04a a <<或1}a >3. (1)当1I = W/m 2时，112110lg 12010L -==；(2)当1210I -= W/m 2时，121121010lg 010L --==答：常人听觉的声强级范围为0120dB .4. (1)由10x +>，10x ->得11x -<<，∴函数()()f x g x +的定义域为(1,1)- (2)根据(1)知：函数()()f x g x +的定义域为(1,1)-∴ 函数()()f x g x +的定义域关于原点对称又∵ ()()log (1)log (1)()()a a f x g x x x f x g x -+-=-++=+ ∴()()f x g x +是(1,1)-上的偶函数.5. (1)2log y x =，0.3log y x =； (2)3xy =，0.1x y =.习题2.3 A 组（P79） 1.函数y =21x是幂函数.2.解析:设幂函数的解析式为f （x ）=x α,因为点（2,2）在图象上,所以2=2α.所以α=21,即幂函数的解析式为f （x ）=x 21,x ≥0.3.（1）因为流量速率v 与管道半径r 的四次方成正比,所以v =k ·r 4； （2）把r =3,v =400代入v =k ·r 4中,得k =43400＝81400,即v =81400r 4；（3）把r =5代入v =81400r 4,得v =81400×54≈3 086（cm 3/s ）, 即r =5 cm 时,该气体的流量速率为3 086 cm 3/s .第二章 复习参考题A 组（P82）1.（1）11； （2）87； （3）10001； （4）259. 2.（1）原式=))(()()(212121212212122121b a b a b a b a -+++-=b a b b a a b b a a -++++-2121212122=ba b a -+)(2;（2）原式=))(()(1121----+-a a a a a a =aa a a 11+-=1122+-a a .3.（1）因为lg 2=a ,lg 3=b ,log 125=12lg 5lg =32lg 210lg2•=3lg 2lg 22lg 1+-,所以log 125=ba a +-21. （2）因为2log 3a =，3log 7b =37147log 27log 56log 27⨯=⨯=2log 112log 377++=7log 2log 11)7log 2(log 33333÷++÷=b ab a ÷++÷111)1(3=13++ab ab . 4.（1）（-∞,21）∪（21,+∞）;（2）［0,+∞）.5.（32,1）∪（1,+∞）;（2）（-∞,2）;（3）（-∞,1）∪（1,+∞）.6.（1）因为log 67>log 66=1,所以log 67>1.又因为log 76<log 77=1,所以log 76<1.所以log 67>log 76. （2）因为log 3π>log 33=1,所以log 3π>1.又因为log 20.8<0,所以log 3π>log 20.8.7.证明：（1）因为f （x ）=3x ,所以f （x ）·f （y ）=3x ×3y =3x +y .又因为f （x +y ）=3x +y ,所以f （x ）·f （y ）=f （x +y ）.（2）因为f （x ）=3x ,所以f （x ）÷f （y ）=3x ÷3y =3x -y . 又因为f （x -y ）=3x -y ,所以f （x ）÷f （y ）=f （x -y ）.8.证明:因为f （x ）=lgxx+-11,a 、b ∈（-1,1）, 所以f （a ）+f （b ）=lgbb a a +-++-11lg11=lg )1)(1()1)(1(b a b a ++--, f （ab b a ++1）=lg （abb a ab ba +++++-1111）=lg b a ab b a ab +++--+11=lg )1)(1()1)(1(b a b a ++--. 所以f （a ）+f （b ）=f （abba ++1）. 9.（1）设保鲜时间y 关于储藏温度x 的函数解析式为y =k ·a x （a >0,且a ≠1）.因为点（0,192）、（22,42）在函数图象上,所以022192,42,k a k a ⎧=⋅⎪⎨=⋅⎪⎩解得⎪⎩⎪⎨⎧≈==.93.0327,19222a k 所以y =192×0.93x ,即所求函数解析式为y =192×0.93x . （2）当x =30 ℃时,y ≈22（小时）；当x =16 ℃时,y ≈60（小时）,即温度在30 ℃和16 ℃的保鲜时间约为22小时和60小时. （3）图象如图：图2-210.解析：设所求幂函数的解析式为f （x ）=x α,因为f （x ）的图象过点（2,22）, 所以22=2α,即221-=2α.所以α=21-.所以f （x ）=x 21-（x >0）.图略,f (x )为非奇非偶函数；同时它在（0,+∞）上是减函数.B 组1.A2.因为2a =5b =10,所以a =log 210,b =log 510,所以a 1+b 1=10log 12+10log 15=lg 2+lg 5=lg 10=1. 3.（1）f （x ）=a 122+-x 在x ∈（-∞,+∞）上是增函数. 证明：任取x 1,x 2∈（-∞,+∞）,且x 1<x 2.f （x 1）-f （x 2）=a 122+-x -a +1222+x =1222+x -1221+x =)12)(12()22(21221++-x x x x .因为x 1,x 2∈（-∞,+∞）,所以.012.01212>+>+x x 又因为x 1<x 2, 所以2122x x <即2122x x <<0.所以f （x 1）-f （x 2）<0,即f （x 1）<f （x 2）.所以函数f （x ）=a 122+-x 在（-∞,+∞）上是增函数. （2）假设存在实数a 使f （x ）为奇函数,则f （-x ）+f （x ）=0,即a 121+--x +a 122+-x =0⇒a =121+-x +121+x =122+x +121+x=1, 即存在实数a =1使f （x ）=121+--x 为奇函数.4.证明:（1）因为f （x ）=2x x e e --,g （x ）=2xx e e -+,所以［g （x ）］2-［f （x ）］2=［g （x ）+f （x ）］［g （x ）-f （x ）］=)22)(22(xx x x x x x x e e e e e e e e -----++++ =e x ·e -x =e x -x =e 0=1, 即原式得证.（2）因为f （x ）=2x x e e --,g （x ）=2xx e e -+,所以f （2x ）=222x x e e -+,2f （x ）·g （x ）=2·2x x e e --·2x x e e -+=222xx e e --.所以f （2x ）=2f （x ）·g （x ）.（3）因为f （x ）=2x x e e --,g （x ）=2xx e e -+,所以g （2x ）=222x x e e -+,［g （x ）］2+［f （x ）］2=（2x x ee -+）2+（2xx e e --）2=4222222x x x x e e e e --+-+++=222xx e e -+.所以g （2x ）=［f （x ）］2+［g （x ）］2.5.由题意可知,θ1=62,θ0=15,当t =1时,θ=52,于是52=15+(62-15)e -k ,解得k ≈0.24,那么θ=15+47e -0.24t . 所以,当θ=42时,t ≈2.3;当θ=32时,t ≈4.2.答:开始冷却2.3和4.2小时后,物体的温度分别为42 ℃和32 ℃.物体不会冷却到12 ℃. 6.(1)由P=P 0e -k t 可知,当t =0时,P=P 0;当t =5时,P=(1-10%）P 0.于是有(1-10%)P 0=P 0e -5k ,解得k =51-ln 0.9,那么P=P 0e t )9.0ln 51(.所以,当t =10时,P=P 0e 9.01051n I ⨯⨯=P 0e ln 0.81=81%P 0.答:10小时后还剩81%的污染物. (2)当P=50%P 0时,有50%P 0=P 0et )9.0ln 51(,解得t =9.0ln 515.0ln ≈33.答:污染减少50%需要花大约33h . (3)其图象大致如下:图2-3新课程标准数学必修1第三章课后习题解答第三章 函数的应用 3．1函数与方程 练习（P88）1.(1)令f (x )=-x 2+3x +5,作出函数f (x )的图象(图3-1-2-7(1))，它与x 轴有两个交点，所以方程-x 2+3x +5=0有两个不相等的实数根.(2)2x (x -2)=-3可化为2x 2-4x +3=0，令f (x )=2x 2-4x +3,作出函数f (x )的图象(图3-1-2-7(2))，它与x 轴没有交点，所以方程2x (x -2)=-3无实数根. (3)x 2=4x -4可化为x 2-4x +4=0,令f (x )=x 2-4x +4,作出函数f (x )的图象(图3-1-2-7(3))， 它与x 轴只有一个交点(相切)，所以方程x 2=4x -4有两个相等的实数根. (4)5x 2+2x =3x 2+5可化为2x 2+2x -5=0,令f (x )=2x 2+2x -5,作出函数f (x )的图象(图3-1-2-7(4))， 它与x 轴有两个交点，所以方程5x 2+2x =3x 2+5有两个不相等的实数根.图3-1-2-72.(1)作出函数图象(图3-1-2-8(1)),因为f(1)=1>0,f(1.5)=-2.875<0,所以f(x)=-x3-3x+5在区间(1,1.5)上有一个零点.又因为f(x)是(-∞,+∞)上的减函数，所以f(x)=-x3-3x+5在区间(1,1.5)上有且只有一个零点.(2)作出函数图象(图3-1-2-8(2)),因为f(3)<0,f(4)>0,所以f(x)=2x·ln(x-2)-3在区间(3,4)上有一个零点.又因为f(x)=2x·ln(x-2)-3在(2,+∞)上是增函数,所以f(x)在(3,4)上有且仅有一个零点. (3)作出函数图象(图3-1-2-8(3)),因为f(0)<0,f(1)>0,所以f(x)=e x-1+4x-4在区间(0,1)上有一个零点.又因为f(x)=e x-1+4x-4在(-∞,+∞)上是增函数,所以f(x)在(0,1)上有且仅有一个零点.(4)作出函数图象(图3-1-2-8(4)),因为f(-4)<0,f(-3)>0,f(-2)<0,f(2)<0,f(3)>0,所以f(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x在(-4,-3),(-3,-2),(2,3)上各有一个零点.图3-1-2-8练习（P91）1.由题设可知f(0)=-1.4<0,f(1)=1.6>0,于是f(0)·f(1)<0,所以函数f(x)在区间(0，1)内有一个零点x0.下面用二分法求函数f(x)=x3+1.1x2+0.9x-1.4在区间(0，1)内的零点.取区间(0，1)的中点x1=0.5,用计算器可算得f(0.5)=-0.55.因为f(0.5)·f(1)<0,所以x0∈(0.5,1).再取区间(0.5，1)的中点x2=0.75,用计算器可算得f(0.75)≈0.32.因为f(0.5)·f(0.75)<0,所以x0∈(0.5,0.75).同理,可得x0∈(0.625,0.75)，x0∈(0.625,0.687 5)，x0∈(0.656 25,0.687 5).由于|0.687 5-0.656 25|=0.031 25<0.1,所以原方程的近似解可取为0.656 25.2.原方程可化为x+lgx-3=0,令f(x)=x+lgx-3,用计算器可算得f(2)≈-0.70,f(3)≈0.48.于是f(2)·f(3)<0,所以这个方程在区间(2,3)内有一个解x0.下面用二分法求方程x=3-lgx在区间(2,3)的近似解.取区间(2,3)的中点x1=2.5,用计算器可算得f(2.5)≈-0.10.因为f(2.5)·f(3)<0,所以x0∈(2.5,3).再取区间(2.5,3)的中点x2=2.75,用计算器可算得f(2.75)≈0.19.因为f(2.5)·f(2.75)<0,所以x0∈(2.5,2.75).同理,可得x0∈(2.5,2.625),x0∈(2.562 5,2.625),x0∈(2.562 5,2.593 75),x0∈(2.578 125,2.593 75),x0∈(2.585 937 5,2.59 375).由于|2.585 937 5-2.593 75|=0.007 812 5<0.01,所以原方程的近似解可取为2.593 75.习题3.1 A组（P92）1.A,C 点评：需了解二分法求函数的近似零点的条件.2.由x,f(x)的对应值表可得f(2)·f(3)<0,f(3)·f(4)<0,f(4)·f(5)<0,又根据“如果函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.”可知函数f(x)分别在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)内有零点.3.原方程即(x+1)(x-2)(x-3)-1=0,令f(x)=(x+1)(x-2)(x-3)-1,可算得f(-1)=-1,f(0)=5.于是f(-1)·f(0)<0,所以这个方程在区间(-1,0)内有一个解.下面用二分法求方程(x+1)(x-2)(x-3)=1在区间(-1，0)内的近似解.取区间(-1，0)的中点x1=-0.5,用计算器可算得f(-0.5)=3.375.因为f(-1)·f(-0.5)<0,所以x0∈(-1,-0.5).再取(-1，-0.5)的中点x2=-0.75,用计算器可算得f(-0.75)≈1.58.因为f(-1)·f(-0.75)<0,所以x0∈(-1,-0.75).同理,可得x0∈(-1,-0.875)，x0∈(-0.937 5,-0.875).由于|(-0.875)-(-0.937 5)|=0.062 5<0.1,所以原方程的近似解可取为-0.937 5.4.原方程即0.8x-1-lnx=0,令f(x)=0.8x-1-lnx,f(0)没有意义，用计算器算得f(0.5)≈0.59,f(1)=-0.2.于是f(0.5)·f(1)<0,所以这个方程在区间(0.5,1)内有一个解.下面用二分法求方程0.8x-1=lnx在区间(0，1)内的近似解.取区间(0.5，1)的中点x1=0.75,用计算器可算得f(0.75)≈0.13.因为f(0.75)·f(1)<0,所以x0∈(0.75,1).再取(0.75,1)的中点x2=0.875,用计算器可算得f(0.875)≈-0.04.。
高中数学(人教版A版必修一)全册课时练习及期末测试题(含答案)
第一章集合与函数概念§1.1集合1．1.1集合的含义与表示第1课时集合的含义课时目标 1.通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性.2.体会元素与集合间的“从属关系”.3.记住常用数集的表示符号并会应用．1．元素与集合的概念(1)把________统称为元素，通常用__________________表示．(2)把________________________叫做集合(简称为集)，通常用____________________表示．2．集合中元素的特性：________、________、________.3．集合相等：只有构成两个集合的元素是______的，才说这两个集合是相等的．4．元素与集合的关系关系概念记法读法元素与集合的关系属于如果________的元素，就说a属于集合Aa∈A a属于集合A 不属于如果________中的元素，就说a不属于集合Aa∉A a不属于集合A名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号________________________一、选择题1．下列语句能确定是一个集合的是()A．著名的科学家B．留长发的女生C．2010年广州亚运会比赛项目D．视力差的男生2．集合A只含有元素a，则下列各式正确的是()A．0∈A B．a∉AC．a∈A D．a＝A3．已知M中有三个元素可以作为某一个三角形的边长，则此三角形一定不是()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形4．由a2,2－a,4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是()A．1B．－2C．6D．25．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为()A．2B．3C．0或3D．0,2,3均可6．由实数x、－x、|x|、x2及－3x3所组成的集合，最多含有()A．2个元素B．3个元素C．4个元素D．5个元素二、填空题7．由下列对象组成的集体属于集合的是______．(填序号)①不超过π的正整数；②本班中成绩好的同学；③高一数学课本中所有的简单题；④平方后等于自身的数．8．集合A中含有三个元素0,1，x，且x2∈A，则实数x的值为________．9．用符号“∈”或“∉”填空－2_______R，－3_______Q，－1_______N，π_______Z.三、解答题10．判断下列说法是否正确？并说明理由．(1)参加2010年广州亚运会的所有国家构成一个集合；(2)未来世界的高科技产品构成一个集合；(3)1,0.5，32，12组成的集合含有四个元素；(4)高一(三)班个子高的同学构成一个集合．11．已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求a.能力提升12．设P、Q为两个非空实数集合，P中含有0,2,5三个元素，Q中含有1,2,6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q 中元素的个数是多少？13．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则11－a∈A (a≠1)．求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集．1．考查对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，能确定一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合．2．集合中元素的三个性质(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合．这个性质通常用来判断两个集合的关系．第一章集合与函数概念§1.1集合1．1.1集合的含义与表示第1课时集合的含义知识梳理1．(1)研究对象小写拉丁字母a，b，c，…(2)一些元素组成的总体大写拉丁字母A，B，C，… 2.确定性互异性无序性3．一样 4.a是集合A a不是集合A 5.N N*或N＋Z Q R作业设计1．C[选项A、B、D都因无法确定其构成集合的标准而不能构成集合．] 2．C[由题意知A中只有一个元素a，∴0∉A，a∈A，元素a与集合A的关系不应用“＝”，故选C.]3．D[集合M的三个元素是互不相同的，所以作为某一个三角形的边长，三边是互不相等的，故选D.]4．C[因A中含有3个元素，即a2,2－a,4互不相等，将选项中的数值代入验证知答案选C.]5．B[由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，当m＝0时，与m≠0相矛盾，当m＝3时，此时集合A＝{0,3,2}，符合题意．]6．A[方法一因为|x|＝±x，x2＝|x|，－3x3＝－x，所以不论x取何值，最多只能写成两种形式：x、－x，故集合中最多含有2个元素．方法二令x＝2，则以上实数分别为：2，－2,2,2，－2，由元素互异性知集合最多含2个元素．] 7．①④解析①④中的标准明确，②③中的标准不明确．故答案为①④. 8．－1解析当x＝0,1，－1时，都有x2∈A，但考虑到集合元素的互异性，x≠0，x≠1，故答案为－1.9．∈∈∉∉10．解(1)正确．因为参加2010年广州亚运会的国家是确定的，明确的．(2)不正确．因为高科技产品的标准不确定．(3)不正确．对一个集合，它的元素必须是互异的，由于0.5＝12，在这个集合中只能作为一元素，故这个集合含有三个元素．(4)不正确．因为个子高没有明确的标准．11．解由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，∴a＝－1或a＝－3 2.则当a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a＝－1应舍去．当a＝－32时，a－2＝－72，2a2＋5a＝－3，∴a＝－3 2.12．解∵当a＝0时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为1,2,6；当a＝2时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为3,4,8；当a＝5时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为6,7,11.由集合元素的互异性知P＋Q中元素为1,2,3,4,6,7,8,11共8个．13．证明(1)若a∈A，则11－a∈A.又∵2∈A，∴11－2＝－1∈A.∵－1∈A，∴11－(－1)＝12∈A.∵12∈A，∴11－12＝2∈A.∴A中另外两个元素为－1，1 2.(2)若A为单元素集，则a＝11－a，即a2－a＋1＝0，方程无解．∴a≠11－a，∴A不可能为单元素集．第2课时集合的表示课时目标 1.掌握集合的两种表示方法(列举法、描述法).2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．1．列举法把集合的元素____________出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．2．描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为__________．不等式x－7<3的解集为__________．所有偶数的集合可表示为________________．一、选择题1．集合{x∈N＋|x－3<2}用列举法可表示为()A．{0,1,2,3,4}B．{1,2,3,4}C．{0,1,2,3,4,5}D．{1,2,3,4,5}2．集合{(x，y)|y＝2x－1}表示()A．方程y＝2x－1B．点(x，y)C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合D．函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合3表示成列举法，正确的是()A．{2,3}B．{(2,3)}C．{x＝2，y＝3}D．(2,3)4．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为()A．{1,1}B．{1}C．{x＝1}D．{x2－2x＋1＝0}5．已知集合A＝{x∈N|－3≤x≤3}，则有() A．－1∈A B．0∈AC.3∈A D．2∈A6()A．BC．{1,2}D．{(1,2)}二、填空题7．用列举法表示集合A＝{x|x∈Z，86－x∈N}＝______________.8．下列各组集合中，满足P＝Q的有________．(填序号)①P＝{(1,2)}，Q＝{(2,1)}；②P＝{1,2,3}，Q＝{3,1,2}；③P＝{(x，y)|y＝x－1，x∈R}，Q＝{y|y＝x－1，x∈R}．9．下列各组中的两个集合M和N，表示同一集合的是________．(填序号)①M＝{π}，N＝{3.14159}；②M＝{2,3}，N＝{(2,3)}；③M＝{x|－1<x≤1，x∈N}，N＝{1}；④M＝{1，3，π}，N＝{π，1，|－3|}．三、解答题10．用适当的方法表示下列集合①方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；②在自然数集内，小于1000的奇数构成的集合；③不等式x－2>6的解的集合；④大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合．11．已知集合A＝{x|y＝x2＋3}，B＝{y|y＝x2＋3}，C＝{(x，y)|y＝x2＋3}，它们三个集合相等吗？试说明理由．能力提升12．下列集合中，不同于另外三个集合的是()A．{x|x＝1}B．{y|(y－1)2＝0}C．{x＝1}D．{1}13．已知集合M＝{x|x＝k2＋14，k∈Z}，N＝{x|x＝k4＋12，k∈Z}，若x0∈M，则x0与N的关系是()A．x0∈NB．x0∉NC．x0∈N或x0∉ND．不能确定1．在用列举法表示集合时应注意：①元素间用分隔号“，”；②元素不重复；③元素无顺序；④列举法可表示有限集，也可以表示无限集，若元素个数比较少用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示．2．在用描述法表示集合时应注意：(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合、还是其他形式？(2)元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．第2课时 集合的表示知识梳理1．一一列举 2.描述法 {x |x <10} {x ∈Z |x ＝2k ，k ∈Z } 作业设计1．B [{x ∈N ＋|x －3<2}＝{x ∈N ＋|x <5}＝{1,2,3,4}．]2．D [集合{(x ，y )|y ＝2x －1}的代表元素是(x ，y )，x ，y 满足的关系式为y ＝2x －1，因此集合表示的是满足关系式y ＝2x －1的点组成的集合，故选D.]3．B [解方程组⎩⎨⎧ x ＋y ＝5，2x －y ＝1.得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3.所以答案为{(2,3)}．]4．B [方程x 2－2x ＋1＝0可化简为(x －1)2＝0， ∴x 1＝x 2＝1，故方程x 2－2x ＋1＝0的解集为{1}．] 5．B6．C [方程组的集合中最多含有一个元素，且元素是一对有序实数对，故C 不符合．]7．{5,4,2，－2} 解析 ∵x ∈Z ，86－x∈N ， ∴6－x ＝1,2,4,8.此时x ＝5,4,2，－2，即A ＝{5,4,2，－2}． 8．②解析 ①中P 、Q 表示的是不同的两点坐标； ②中P ＝Q ；③中P 表示的是点集，Q 表示的是数集． 9．④解析 只有④中M 和N 的元素相等，故答案为④. 10．解 ①∵方程x (x 2＋2x ＋1)＝0的解为0和－1， ∴解集为{0，－1}；②{x |x ＝2n ＋1，且x <1000，n ∈N }；③{x|x>8}；④{1,2,3,4,5,6}．11．解因为三个集合中代表的元素性质互不相同，所以它们是互不相同的集合．理由如下：集合A中代表的元素是x，满足条件y＝x2＋3中的x∈R，所以A＝R；集合B中代表的元素是y，满足条件y＝x2＋3中y的取值范围是y≥3，所以B＝{y|y≥3}．集合C中代表的元素是(x，y)，这是个点集，这些点在抛物线y＝x2＋3上，所以C＝{P|P是抛物线y＝x2＋3上的点}．12．C[由集合的含义知{x|x＝1}＝{y|(y－1)2＝0}＝{1}，而集合{x＝1}表示由方程x＝1组成的集合，故选C.]13．A[M＝{x|x＝2k＋14，k∈Z}，N＝{x|x＝k＋24，k∈Z}，∵2k＋1(k∈Z)是一个奇数，k＋2(k∈Z)是一个整数，∴x0∈M时，一定有x0∈N，故选A.]1.1.2集合间的基本关系课时目标 1.理解集合之间包含与相等的含义.2.能识别给定集合的子集、真子集，并能判断给定集合间的关系.3.在具体情境中，了解空集的含义．1．子集的概念一般地，对于两个集合A、B，如果集合A 中________元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作______(或______)，读作“__________”(或“__________”)．2．Venn图：用平面上______曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．3．集合相等与真子集的概念定义符号表示图形表示集合相等如果__________，就说集合A与B相等A＝B真子集如果集合A⊆B，但存在元素__________，称集合A是B的真子集A B(或B A)(1)定义：______________的集合叫做空集．(2)用符号表示为：____.(3)规定：空集是任何集合的______．5．子集的有关性质(1)任何一个集合是它本身的子集，即________．(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么___________________________．一、选择题1．集合P＝{x|y＝x＋1}，集合Q＝{y|y＝x－1}，则P与Q的关系是()A．P＝Q B．C．Q D．P∩Q＝∅2．满足条件M⊆{1,2,3,4,5}的集合M的个数是()A．3B．6C．7D．83．对于集合A、B，“A⊆B不成立”的含义是()A．B是A的子集B．A中的元素都不是B中的元素C．A中至少有一个元素不属于BD．B中至少有一个元素不属于A4．下列命题：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若A，则A≠∅.其中正确的个数是()A．0B．1C．2D．35．下列正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的Venn图是()6．集合M＝{x|x＝3k－2，k∈Z}，P＝{y|y＝3n＋1，n∈Z}，S＝{z|z＝6m＋1，m∈Z}之间的关系是()A．S P M B．S＝MC．S P＝M D．P＝S题号二、填空题7．已知M＝{x|x≥22，x∈R}，给定下列关系：①π∈M；②{π}M；③πM；④{π}∈M.其中正确的有________．(填序号)8．已知集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若B，则实数a的取值范围是________．9．已知集合{2,3,7}，且A中至多有1个奇数，则这样的集合共有________个．三、解答题10．若集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|x2＋x＋a＝0}，且B⊆A，求实数a 的取值范围．11．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．若B⊆A，求实数m的取值范围．能力提升12．已知集合A＝{x|1<ax<2}，B＝{x|－1<x<1}，求满足A⊆B的实数a的取值范围．13．已知集合{1,2,3}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合有________个.1．子集概念的多角度理解(1)“A是B的子集”的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即由任意x∈A能推出x∈B.(2)不能把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为当A＝∅时，A⊆B，但A中不含任何元素；又当A＝B时，也有A⊆B，但A中含有B中的所有元素，这两种情况都有A⊆B.拓展当A不是B的子集时，我们记作“A B”(或A)．2．对元素与集合、集合与集合关系的分析与拓展(1)元素与集合之间的关系是从属关系，这种关系用符号“∈”或“∉”表示．(2)集合与集合之间的关系有包含关系，相等关系，其中包含关系有：含于(⊆)、包含(⊇)、真包含于()、真包含)等，用这些符号时要注意方向，如A⊆B与B⊇A是相同的．1．1.2 集合间的基本关系知识梳理1．任意一个 A ⊆B B ⊇A A 含于B B 包含A 2.封闭 3．A ⊆B 且B ⊆A x ∈B ，且x ∉A 4.(1)不含任何元素 (2)∅ (3)子集 5.(1)A ⊆A (2)A ⊆C 作业设计1．B [∵P ＝{x |y ＝x ＋1}＝{x |x ≥－1}，Q ＝{y |y ≥0} ∴Q ，∴选B.]2．C [M 中含三个元素的个数为3，M 中含四个元素的个数也是3，M 中含5个元素的个数只有1个，因此符合题意的共7个．] 3．C4．B [只有④正确．] 5．B [由N ＝{－1,0}，知M ，故选B.]6．C [运用整数的性质方便求解．集合M 、P 表示成被3整除余1的整数集，集合S 表示成被6整除余1的整数集．] 7．①②解析 ①、②显然正确；③中π与M 的关系为元素与集合的关系，不应该用”符号；④中{π}与M 的关系是集合与集合的关系，不应该用“∈”符号． 8．a ≥2解析 在数轴上表示出两个集合，可得a ≥2. 9．6解析 (1)若A 中有且只有1个奇数， 则A ＝{2,3}或{2,7}或{3}或{7}； (2)若A 中没有奇数，则A ＝{2}或∅. 10．解 A ＝{－3,2}．对于x 2＋x ＋a ＝0， (1)当Δ＝1－4a <0，即a >14时，B ＝∅，B ⊆A 成立； (2)当Δ＝1－4a ＝0，即a ＝14时，B ＝{－12}，B ⊆A 不成立；(3)当Δ＝1－4a >0，即a <14时，若B ⊆A 成立， 则B ＝{－3,2}， ∴a ＝－3×2＝－6.综上：a 的取值范围为a >14或a ＝－6. 11．解 ∵B ⊆A ，∴①若B ＝∅， 则m ＋1>2m －1，∴m <2.②若B ≠∅，将两集合在数轴上表示，如图所示．要使B ⊆A ，则⎩⎨⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，解得⎩⎨⎧m ≥2，m ≥－3，m ≤3，∴2≤m ≤3.由①、②，可知m ≤3. ∴实数m 的取值范围是m ≤3.12．解 (1)当a ＝0时，A ＝∅，满足A ⊆B . (2)当a >0时，A ＝{x |1a <x <2a }． 又∵B ＝{x |－1<x <1}，A ⊆B ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1a ≥－1，2a ≤1，∴a ≥2.(3)当a <0时，A ＝{x |2a <x <1a }．∵A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥－1，1a ≤1，∴a ≤－2.综上所述，a ＝0或a ≥2或a ≤－2.13．5解析若A中有一个奇数，则A可能为{1}，{3}，{1,2}，{3,2}，若A中有2个奇数，则A＝{1,3}．1.1.3集合的基本运算第1课时并集与交集课时目标 1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.2.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．(1)定义：一般地，________________________的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作________．(2)并集的符号语言表示为A∪B＝_________________________________________________________________ _______.(3)并集的图形语言(即Venn图)表示为下图中的阴影部分：(4)性质：A∪B＝________，A____，A∪B＝A⇔________，A____A∪B.2．交集(1)定义：一般地，由________________________元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作________．(2)交集的符号语言表示为A∩B＝_________________________________________________________________ _______.(3)(4)性质：A∩B＝______，A∩____，A∩B＝A⇔________，1．若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，则集合A∪B等于()A．{0,1,2,3,4}B．{1,2,3,4}C．{1,2}D．{0}2．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∩B等于()A．{x|x<1}B．{x|－1≤x≤2}C．{x|－1≤x≤1}D．{x|－1≤x<1}3．若集合A＝{参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B＝{参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C＝{参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是()A．A⊆B B．B⊆CC．A∩B＝C D．B∪C＝A4．已知集合M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，那么集合M∩N 为()A．x＝3，y＝－1B．(3，－1)C．{3，－1}D．{(3，－1)}5．设集合A＝{5,2a}，集合B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，则a＋b等于() A．1B．2C．3D．46．集合M＝{1,2,3,4,5}，集合N＝{1,3,5}，则()A．N∈M B．M∪N＝MC．M∩N＝M D．M>N二、填空题7．设集合A＝{－3,0,1}，B＝{t2－t＋1}．若A∪B＝A，则t＝________.8．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________.9．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|－1<x≤4}，C＝{x|－3<x<2}且集合A∩(B ∪C)＝{x|a≤x≤b}，则a＝______，b＝______.三、解答题10．已知方程x2＋px＋q＝0的两个不相等实根分别为α，β，集合A＝{α，β}，B＝{2,4,5,6}，C＝{1,2,3,4}，A∩C＝A，A∩B＝∅.求p，q的值．11．设集合A＝{－2}，B＝{x|ax＋1＝0，a∈R}，若A∩B＝B，求a的值．能力提升12．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B的所有元素之和为()A．0B．2C．3D．613．设U＝{1,2,3}，M，N是U的子集，若M∩N＝{1,3}，则称(M，N)为一个“理想配集”，求符合此条件的“理想配集”的个数(规定(M，N)与(N，M)不同)．1．1.3 集合的基本运算 第1课时 并集与交集知识梳理一、1.由所有属于集合A 或属于集合B A ∪B 2.{x |x ∈A ，或x ∈B } 4.B ∪A A A B ⊆A ⊆ 二、1.属于集合A 且属于集合B 的所有 A ∩B 2.{x |x ∈A ，且x ∈B } 4.B ∩A A ∅ A ⊆B ⊆ 作业设计 1．A2．D [由交集定义得{x |－1≤x ≤2}∩{x |x <1}＝{x |－1≤x <1}．]3．D [参加北京奥运会比赛的男运动员与参加北京奥运会比赛的女运动员构成了参加北京奥运会比赛的所有运动员，因此A ＝B ∪C .] 4．D [M 、N 中的元素是平面上的点，M ∩N 是集合，并且其中元素也是点，解⎩⎨⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝4，得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－1.] 5．C [依题意，由A ∩B ＝{2}知2a ＝2， 所以，a ＝1，b ＝2，a ＋b ＝3，故选C.] 6．B [∵M ，∴M ∪N ＝M .] 7．0或1解析 由A ∪B ＝A 知B ⊆A ， ∴t 2－t ＋1＝－3① 或t 2－t ＋1＝0② 或t 2－t ＋1＝1③①无解；②无解；③t ＝0或t ＝1. 8．1解析 ∵3∈B ，由于a 2＋4≥4，∴a ＋2＝3，即a ＝1. 9．－1 2解析 ∵B ∪C ＝{x |－3<x ≤4}，∴ (B ∪C ) ∴A ∩(B ∪C )＝A ，由题意{x |a ≤x ≤b }＝{x |－1≤x ≤2}， ∴a ＝－1，b ＝2.10．解 由A ∩C ＝A ，A ∩B ＝∅，可得：A ＝{1,3}， 即方程x 2＋px ＋q ＝0的两个实根为1,3. ∴⎩⎨⎧ 1＋3＝－p 1×3＝q ，∴⎩⎨⎧p ＝－4q ＝3. 11．解 ∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A . ∵A ＝{－2}≠∅，∴B ＝∅或B ≠∅.当B ＝∅时，方程ax ＋1＝0无解，此时a ＝0.当B ≠∅时，此时a ≠0，则B ＝{－1a }，∴－1a ∈A ，即有－1a ＝－2，得a ＝12.综上，得a＝0或a＝1 2.12．D[x的取值为1,2，y的取值为0,2，∵z＝xy，∴z的取值为0,2,4，所以2＋4＝6，故选D.] 13．解符合条件的理想配集有①M＝{1,3}，N＝{1,3}．②M＝{1,3}，N＝{1,2,3}．③M＝{1,2,3}，N＝{1,3}．共3个．第2课时补集及综合应用课时目标 1.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.2.熟练掌握集合的基本运算．1．全集：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为________，通常记作________．2．补集自然语言对于一个集合A，由全集U中________________的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作________符号语言∁U A＝____________图形语言3.补集与全集的性质(1)∁U U＝____；(2)∁U∅＝____；(3)∁U(∁U A)＝____；(4)A∪(∁U A)＝____；(5)A∩(∁UA)＝____.一、选择题1．已知集合U＝{1,3,5,7,9}，A＝{1,5,7}，则∁U A等于()A．{1,3}B．{3,7,9}C．{3,5,9}D．{3,9}2．已知全集U＝R，集合M＝{x|x2－4≤0}，则∁U M等于()A．{x|－2<x<2}B．{x|－2≤x≤2}C．{x|x<－2或x>2}D．{x|x≤－2或x≥2}3．设全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3,5}，B＝{2,5}，则A∩(∁U B)等于() A．{2}B．{2,3}C．{3}D．{1,3}4．设全集U和集合A、B、P满足A＝∁U B，B＝∁U P，则A与P的关系是() A．A＝∁U P B．A＝PC．A P D．P5．如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是()A．(M∩P)∩S B．(M∩P)∪SC．(M∩P)∩∁I S D．(M∩P)∪∁I S6．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，那么集合{2,7}是()A．A∪B B．A∩BC．∁U(A∩B) D．∁U(A∪B)二、填空题7．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁U A＝{1,2}，则实数m＝________.8．设全集U＝{x|x<9且x∈N}，A＝{2,4,6}，B＝{0,1,2,3,4,5,6}，则∁U A＝____________________，∁U B＝________________，∁B A＝____________.9．已知全集U，B，则∁U A与∁U B的关系是____________________．三、解答题10．设全集是数集U＝{2,3，a2＋2a－3}，已知A＝{b,2}，∁U A＝{5}，求实数a，b的值．11．已知集合A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，设全集为U，若B∪(∁U B)＝A，求∁U B.能力提升12．已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁U B)∩A＝{9}，则A等于()A．{1,3}B．{3,7,9}C．{3,5,9}D．{3,9}13．学校开运动会，某班有30名学生，其中20人报名参加赛跑项目，11人报名参加跳跃项目，两项都没有报名的有4人，问两项都参加的有几人？1．全集与补集的互相依存关系(1)全集并非是包罗万象、含有任何元素的集合，它是对于研究问题而言的一个相对概念，它仅含有所研究问题中涉及的所有元素，如研究整数，Z就是全集，研究方程的实数解，R就是全集．因此，全集因研究问题而异．(2)补集是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．(3)∁U A的数学意义包括两个方面：首先必须具备A⊆U；其次是定义∁U A＝{x|x ∈U，且x∉A}，补集是集合间的运算关系．2．补集思想做题时“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求∁U A，再由∁U(∁U A)＝A求A.第2课时补集及综合应用知识梳理1．全集U 2.不属于集合A∁U A{x|x∈U，且x∉A}3．(1)∅(2)U(3)A(4)U(5)∅作业设计1．D[在集合U中，去掉1,5,7，剩下的元素构成∁U A.]2．C[∵M＝{x|－2≤x≤2}，∴∁U M＝{x|x<－2或x>2}．]3．D[由B＝{2,5}，知∁U B＝{1,3,4}．A∩(∁U B)＝{1,3,5}∩{1,3,4}＝{1,3}．]4．B[由A＝∁U B，得∁U A＝B.又∵B＝∁U P，∴∁U P＝∁U A.即P＝A，故选B.]5．C[依题意，由图知，阴影部分对应的元素a具有性质a∈M，a∈P，a ∈∁I S，所以阴影部分所表示的集合是(M∩P)∩∁I S，故选C.]6．D[由A∪B＝{1,3,4,5,6}，得∁U(A∪B)＝{2,7}，故选D.]7．－3解析∵∁U A＝{1,2}，∴A＝{0,3}，故m＝－3.8．{0,1,3,5,7,8}{7,8}{0,1,3,5}解析由题意得U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，用Venn图表示出U，A，B，易得∁A＝{0,1,3,5,7,8}，∁U B＝{7,8}，∁B A＝{0,1,3,5}．U9．∁U∁U A解析画Venn图，观察可知∁U∁U A.10．解∵∁U A＝{5}，∴5∈U且5∉A.又b ∈A ，∴b ∈U ，由此得⎩⎨⎧a 2＋2a －3＝5，b ＝3.解得⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝3或⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝3经检验都符合题意．11．解 因为B ∪(∁U B )＝A ，所以B ⊆A ，U ＝A ，因而x 2＝3或x 2＝x . ①若x 2＝3，则x ＝±3.当x ＝3时，A ＝{1,3，3}，B ＝{1,3}，U ＝A ＝{1,3，3}，此时∁U B ＝{3}； 当x ＝－3时，A ＝{1,3，－3}，B ＝{1,3}，U ＝A ＝{1,3，－3}，此时∁U B ＝{－3}．②若x 2＝x ，则x ＝0或x ＝1.当x ＝1时，A 中元素x 与1相同，B 中元素x 2与1也相同，不符合元素的互异性，故x ≠1；当x ＝0时，A ＝{1,3,0}，B ＝{1,0}， U ＝A ＝{1,3,0}，从而∁U B ＝{3}． 综上所述，∁U B ＝{3}或{－3}或{3}．12．D [借助于Venn 图解，因为A ∩B ＝{3}，所以3∈A ，又因为(∁U B )∩A ＝{9}，所以9∈A ，所以选D.]13.解 如图所示，设只参加赛跑、只参加跳跃、两项都参加的人数分别为a ，b ，x .根据题意有⎩⎨⎧a ＋x ＝20，b ＋x ＝11，a ＋b ＋x ＝30－4.解得x ＝5，即两项都参加的有5人．§1.1习题课课时目标 1.巩固和深化对基础知识的理解与掌握.2.重点掌握好集合间的关系与集合的基本运算．1．若A＝{x|x＋1>0}，B＝{x|x－3<0}，则A∩B等于()A．{x|x>－1}B．{x|x<3}C．{x|－1<x<3}D．{x|1<x<3}2．已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，则M∪N等于() A．{x|x<－5或x>－3}B．{x|－5<x<5}C．{x|－3<x<5}D．{x|x<－3或x>5}3．设集合A＝{x|x≤13}，a＝11，那么()A．A B．a∉AC．{a}∉A D．{a A4．设全集I＝{a，b，c，d，e}，集合M＝{a，b，c}，N＝{b，d，e}，那么(∁I M)∩(∁I N)等于()A．∅B．{d}C．{b，e}D．{a，c}5．设A＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝4k－3，k∈Z}，则集合A与B的关系为____________．6．设A＝{x∈Z|－6≤x≤6}，B＝{1,2,3}，C＝{3,4,5,6}，求：(1)A∪(B∩C)；(2)A∩(∁A(B∪C))．一、选择题1．设P＝{x|x<4}，Q＝{x|x2<4}，则()A．P⊆Q B．Q⊆PC．P⊆∁R Q D．Q⊆∁R P2．符合条件{a P⊆{a，b，c}的集合P的个数是()A．2B．3C．4D．53．设M＝{x|x＝a2＋1，a∈N*}，P＝{y|y＝b2－4b＋5，b∈N*}，则下列关系正确的是()A．M＝P B．PC．M D．M与P没有公共元素4．如图所示，M，P，S是V的三个子集，则阴影部分所表示的集合是()A．(M∩P)∩S B．(M∩P)∪SC．(M∩S)∩(∁S P) D．(M∩P)∪(∁V S)5．已知集合A＝{x|a－1≤x≤a＋2}，B＝{x|3<x<5}，则能使A⊇B成立的实数a的范围是()A．{a|3<a≤4}B．{a|3≤a≤4}C．{a|3<a<4}D．∅二、填空题6．已知集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|x>a}，如果A∪B＝R，那么a的取值范围是________．7．集合A＝{1,2,3,5}，当x∈A时，若x－1∉A，x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，则A中孤立元素的个数为____．8．已知全集U＝{3,7，a2－2a－3}，A＝{7，|a－7|}，∁U A＝{5}，则a＝________.9．设U＝R，M＝{x|x≥1}，N＝{x|0≤x<5}，则(∁U M)∪(∁U N)＝________________.三、解答题10．已知集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}．(1)求A∩B；(2)若集合C＝{x|2x＋a>0}，满足B∪C＝C，求实数a的取值范围．11．某班50名同学参加一次智力竞猜活动，对其中A，B，C三道知识题作答情况如下：答错A者17人，答错B者15人，答错C者11人，答错A，B 者5人，答错A，C者3人，答错B，C者4人，A，B，C都答错的有1人，问A，B，C都答对的有多少人？能力提升12．对于k∈A，如果k－1∉A且k＋1∉A，那么k是A的一个“孤立元”，给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有几个？13．设数集M＝{x|m≤x≤m＋34}，N＝{x|n－13≤x≤n}，且M，N都是集合U＝{x|0≤x≤1}的子集，定义b－a为集合{x|a≤x≤b}的“长度”，求集合M∩N的长度的最小值．1．在解决有关集合运算题目时，关键是准确理解交、并、补集的意义，并能将题目中符号语言准确转化为文字语言．2．集合运算的法则可借助于Venn图理解，无限集的交集、并集和补集运算可结合数轴，运用数形结合思想．3．熟记一些常用结论和性质，可以加快集合运算的速度．4．在有的集合题目中，如果直接去解可能比较麻烦，若用补集的思想解集合问题可变得更简单．§1.1习题课双基演练1．C[∵A＝{x|x>－1}，B＝{x|x<3}，∴A∩B＝{x|－1<x<3}，故选C.]2．A[画出数轴，将不等式－3<x≤5，x<－5，x>5在数轴上表示出来，不难看出M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．]3．D4．A[∵∁I M＝{d，e}，∁I N＝{a，c}，∴(∁I M)∩(∁I N)＝{d，e}∩{a，c}＝∅.]5．A＝B解析4k－3＝4(k－1)＋1，k∈Z，可见A＝B.6．解∵A＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6}(1)又∵B∩C＝{3}，∴A∪(B∩C)＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6}．(2)又∵B∪C＝{1,2,3,4,5,6}，∴∁A(B∪C)＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0}∴A∩(∁A(B∪C))＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0}．作业设计1．B[Q＝{x|－2<x<2}，可知B正确．]2．B[集合P内除了含有元素a外，还必须含b，c中至少一个，故P＝{a，b}，{a，c}，{a，b，c}共3个．]3．B[∵a∈N*，∴x＝a2＋1＝2,5,10，….∵b∈N*，∴y＝b2－4b＋5＝(b－2)2＋1＝1,2,5,10，….∴P.]4．C [阴影部分是M ∩S 的部分再去掉属于集合P 的一小部分，因此为(M ∩S )∩(∁S P )．]5．B [根据题意可画出下图．∵a ＋2>a －1，∴A ≠∅.有⎩⎨⎧a －1≤3，a ＋2≥5.解得3≤a ≤4.]6．a ≤2解析 如图中的数轴所示，要使A ∪B ＝R ，a ≤2. 7．1解析 当x ＝1时，x －1＝0∉A ，x ＋1＝2∈A ； 当x ＝2时，x －1＝1∈A ，x ＋1＝3∈A ； 当x ＝3时，x －1＝2∈A ，x ＋1＝4∉A ； 当x ＝5时，x －1＝4∉A ，x ＋1＝6∉A ； 综上可知，A 中只有一个孤立元素5. 8．4解析 ∵A ∪(∁U A )＝U ， 由∁U A ＝{5}知，a 2－2a －3＝5， ∴a ＝－2，或a ＝4.当a ＝－2时，|a －7|＝9,9∉U ，∴a ≠－2. a ＝4经验证，符合题意． 9．{x |x <1或x ≥5}解析 ∁U M ＝{x |x <1}，∁U N ＝{x |x <0或x ≥5}， 故(∁U M )∪(∁U N )＝{x |x <1或x ≥5}或由M ∩N ＝{x |1≤x <5}，(∁U M )∪(∁U N )＝∁U (M ∩N ) ＝{x |x <1或x ≥5}． 10．解 (1)∵B ＝{x |x ≥2}， ∴A ∩B ＝{x |2≤x <3}．(2)∵C＝{x|x>－a2}，B∪C＝C⇔B⊆C，∴－a2<2，∴a>－4.11.解由题意，设全班同学为全集U，画出Venn图，A表示答错A的集合，B 表示答错B的集合，C表示答错C的集合，将其集合中元素数目填入图中，自中心区域向四周的各区域数目分别为1,2,3,4,10,7,5，因此A∪B∪C中元素数目为32，从而至少错一题的共32人，因此A，B，C全对的有50－32＝18人．12．解依题意可知，“孤立元”必须是没有与k相邻的元素，因而无“孤立元”是指在集合中有与k相邻的元素．因此，符合题意的集合是：{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}共6个．13．解在数轴上表示出集合M与N，可知当m＝0且n＝1或n－13＝0且m＋34＝1时，M∩N的“长度”最小．当m＝0且n＝1时，M∩N＝{x|23≤x≤34}，长度为34－23＝112；当n＝13且m＝14时，M∩N＝{x|14≤x≤13}，长度为13－14＝112.综上，M∩N的长度的最小值为1 12.§1.2函数及其表示1．2.1 函数的概念课时目标 1.理解函数的概念，明确函数的三要素.2.能正确使用区间表示数集，表示简单函数的定义域、值域.3.会求一些简单函数的定义域、值域．1．函数(1)设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的__________，使对于集合A 中的____________，在集合B中都有________________和它对应，那么就称f：________为从集合A到集合B的一个函数，记作__________________．其中x叫做________，x的取值范围A叫做函数的________，与x的值相对应的y值叫做________，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的________．(2)值域是集合B的________．2．区间(1)设a，b是两个实数，且a<b，规定：①满足不等式__________的实数x的集合叫做闭区间，表示为________；②满足不等式__________的实数x的集合叫做开区间，表示为________；③满足不等式________或________的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为______________．(2)实数集R可以用区间表示为__________，“∞”读作“无穷大”，“＋∞”读作“__________”，“－∞”读作“________”．我们把满足x≥a，x>a，x≤b，x<b的实数x的集合分别表示为________，________，________，______.一、选择题1．对于函数y＝f(x)，以下说法正确的有()①y是x的函数②对于不同的x，y的值也不同③f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来A．1个B．2个C．3个D．4个2．设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有()A．①②③④B．①②③C．②③D．②3．下列各组函数中，表示同一个函数的是()A．y＝x－1和y＝x2－1 x＋1B．y＝x0和y＝1C．f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2D．f(x)＝(x)2x和g(x)＝x(x)24．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y＝2x2－1，值域为{1,7}的“孪生函数”共有()A．10个B．9个C．8个D．4个5．函数y＝1－x＋x的定义域为()A．{x|x≤1}B．{x|x≥0}C．{x|x≥1或x≤0}D．{x|0≤x≤1}6．函数y＝x＋1的值域为()A．[－1，＋∞) B．[0，＋∞)C．(－∞，0] D．(－∞，－1]二、填空题7．已知两个函数f (x )和g (x )的定义域和值域都是{1,2,3}，其定义如下表：8．如果函数f (x )满足：对任意实数a ，b 都有f (a ＋b )＝f (a )f (b )，且f (1)＝1，则f (2)f (1)＋f (3)f (2)＋f (4)f (3)＋f (5)f (4)＋…＋f (2011)f (2010)＝________. 9．已知函数f (x )＝2x －3，x ∈{x ∈N |1≤x ≤5}，则函数f (x )的值域为______________．10．若函数f (x )的定义域是[0,1]，则函数f (2x )＋f (x ＋23)的定义域为________． 三、解答题11．已知函数f (1－x 1＋x )＝x ，求f (2)的值．能力提升12．如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系．骑车者9时离开家，15时回家．根据这个曲线图，请你回答下列问题：(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？(2)何时开始第一次休息？休息多长时间？(3)第一次休息时，离家多远？(4)11∶00到12∶00他骑了多少千米？(5)他在9∶00～10∶00和10∶00～10∶30的平均速度分别是多少？(6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？13．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2m，渠深为1.8m，斜坡的倾斜角是45°.(临界状态不考虑)(1)试将横断面中水的面积A(m2)表示成水深h(m)的函数；(2)确定函数的定义域和值域；(3)画出函数的图象．1．函数的判定判定一个对应关系是否为函数，关键是看对于数集A中的任一个值，按照对应关系所对应数集B中的值是否唯一确定，如果唯一确定，就是一个函数，否则就不是一个函数．2．由函数式求函数值，及由函数值求x，只要认清楚对应关系，然后对号入座就可以解决问题．3．求函数定义域的原则：①当f (x )以表格形式给出时，其定义域指表格中的x 的集合；②当f (x )以图象形式给出时，由图象范围决定；③当f (x )以解析式给出时，其定义域由使解析式有意义的x 的集合构成；④在实际问题中，函数的定义域由实际问题的意义确定．§1.2 函数及其表示 1．2.1 函数的概念知识梳理1．(1)对应关系f 任意一个数x 唯一确定的数f (x ) A →B y ＝f (x )，x ∈A 自变量 定义域 函数值 值域 (2)子集2．(1)①a ≤x ≤b [a ，b ] ②a <x <b (a ，b ) ③a ≤x <b a <x ≤b [a ，b )，(a ，b ] (2)(－∞，＋∞) 正无穷大 负无穷大 [a ，＋∞) (a ，＋∞) (－∞，b ] (－∞，b ) 作业设计1．B [①、③正确；②不对，如f (x )＝x 2，当x ＝±1时y ＝1；④不对，f (x )不一定可以用一个具体的式子表示出来，如南极上空臭氧空洞的面积随时间的变化情况就不能用一个具体的式子来表示．]2．C [①的定义域不是集合M ；②能；③能；④与函数的定义矛盾．故选C.]3．D [A 中的函数定义域不同；B 中y ＝x 0的x 不能取0；C 中两函数的对应关系不同，故选D.]4．B [由2x 2－1＝1,2x 2－1＝7得x 的值为1，－1,2，－2，定义域为两个元素的集合有4个，定义域为3个元素的集合有4个，定义域为4个元素的集合有1个，因此共有9个“孪生函数”．] 5．D [由题意可知⎩⎨⎧1－x ≥0，x ≥0，解得0≤x ≤1.]6．B 7．3 2 1解析 g [f (1)]＝g (2)＝3，g [f (2)]＝g (3)＝2，g [f (3)]＝g (1)＝1. 8．2010解析 由f (a ＋b )＝f (a )f (b )，令b ＝1，∵f (1)＝1， ∴f (a ＋1)＝f (a )，即f (a ＋1)f (a )＝1，由a 是任意实数， 所以当a 取1,2,3，…，2010时，得f (2)f (1)＝f (3)f (2)＝…＝f (2011)f (2010)＝1.故答案为2010.9．{－1,1,3,5,7}解析 ∵x ＝1,2,3,4,5，∴f (x )＝2x －3＝－1,1,3,5,7. 10．[0，13]解析 由⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤1，0≤x ＋23≤1，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤12，－23≤x ≤13，即x ∈[0，13]．11．解 由1－x 1＋x＝2，解得x ＝－13，所以f (2)＝－13.12．解 (1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米． (2)10∶30开始第一次休息，休息了半小时． (3)第一次休息时，离家17千米． (4)11∶00至12∶00他骑了13千米．(5)9∶00～10∶00的平均速度是10千米/时；10∶00～10∶30的平均速度是14千米/时．(6)从12时到13时停止前进，并休息用午餐较为符合实际情形．13．解 (1)由已知，横断面为等腰梯形，下底为2m ，上底为(2＋2h )m ，高为h m ，∴水的面积A ＝[2＋(2＋2h )]h 2＝h 2＋2h (m 2)．。
2018学年高中数学新课标人教A版必修1同步学案：第一章
第一章 集合与函数概念与性质诊疗一．集合 1. 精要总结集合的有关概念是解决集合问题的基础，也是学习其他数学知识的语言工具，试题多以选择题或填空题的形式出现，主要应用集合的基本概念和元素的特征进行分析和检验. 集合中元素的“三性”是指集合中元素的确定性、元素的互异性和元素的无序性，抓住的集合中元素这三个特性就等于抓住了集合的本质特征，也就抓住了解决问题的理论依据 确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关； 集合与集合之间的关系问题，是我们解答数学问题过程中经常遇到，并且必须解决的问题，因此要予以重视.反映集合与集合关系的一系列概念，都是用元素与集合的关系来定义的。
因此，在证明（判断）两集合的关系时，应回到元素与集合的关系中去.当集合为有限集时，一般有列举法，当集合为无限集时，不宜采用列举法，这时，宜用描述法或图示法.对于同一集合，有时既可用列举法又可用描述法，这时应择优选用.集合中的参数问题，是指集合{|p p 适合的条件}中“p 适合的条件”里面含有参数的问题，解答这类问题类似于其他含有参数的问题，灵活性强，难度也较大.因此，解决此为问题要注意思维的严谨性. 2. 错例辨析例1:已知集合{|25}A x x =-≤≤，{|121}B x m x m =+≤≤-，若A B A ⋃=，求实数m 的取值范围.误解：∵A B A ⋃=，∴B A ⊆，得21215m m -≤+⎧⎨-≤⎩,得33m -≤≤.分析：忽视了空集的特性.A A ∅=.正解：⑴若B =∅，则m+1>2m-1，即2m <此时A B A ⋃= ⑵若B ≠∅，则2m ≥∵B A ⊆，∴21215m m -≤+⎧⎨-≤⎩，得33m -≤≤，则23m ≤≤由⑴⑵可知：m 的取值范围是(,3]-∞ 针对练习1已知集合{}260A x x x =+-=，{}10B x mx =+=，若B A Ü，求实数m 的值．例2已知集合{2,,}M a b =，2{2,2,}N a b =且有,M N M N M N ⋃=⋃=求a 、b 的值. 误解：因为,M N M N M N ⋃=⋃=,所以M=N⑴由题意可知：a+2=1或2(1)1a +=或2331a a ++=，解得：a=-1或a=-2或a=0.⑵由题意得：21a a b =⎧⎨=⎩或22a b b a ⎧=⎨=⎩，解得01a b =⎧⎨=⎩或00a b =⎧⎨=⎩或1412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩分析：集合中的元素具有三个特性：确定性、互异性、无序性.上述解法中忽视了元素的互异性原则.正解：⑴据元素的互异性可排除-1和2，∴a=0 ⑵据元素的互异性得01a b =⎧⎨=⎩或00a b =⎧⎨=⎩针对练习2若{}322427A a a a =--+，，， 223211122(38)372B a a a a a a a a ⎧⎫=+-+---+++⎨⎬⎩⎭，，，，，且{}25A B =，，试求实数a ．例3已知集合M={y|y=x 2+1，x ∈R}，N={y|y=x+1，x ∈R}，求M ∩N误解：由方程组211y x y x ⎧=+⎨=+⎩得抛物线和直线的交点为(0,0),(1,2).所以M ∩N={(0,0),(1,2)}分析：在集合运算之前，首先要认清集合中元素的特征，集合M={y|y=x 2+1，x ∈R}是数集，此集合与集合{（x ，y ）|y=x 2+1，x ∈R}是有本质差异的，后者是点集，属于图形范畴. 正解：M={y|y=x 2+1，x ∈R}={y|y ≥1}，N={y|y=x+1，x ∈R}={y|y ∈R} ∴ M ∩N=M={y|y ≥1} 针对练习3已知{}243A y y x x x ==-+∈R ，，{}222B y y x x x ==--+∈R ，，求A B ．二.函数概念与性质 1.精要总结函数是中学数学中最重要的一个基础概念，定义域、值域、对应法则是它的三个要素．函数实质上是表达定义域到值域的元素之间的一种对应关系，这种对应关系可以是一个元素对应一个元素，也可以是多个元素对应一个元素．函数定义中所涉及的两个集合必须是非空的实数集．由函数定义知，由于函数的值域由函数的定义域和对应关系完全确定，于是确定一个函数就只需两个要素：定义域和对应关系．因此，只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，才是同一函数．符号)(x f y =是“y 是x 的函数”的数学表示，应理解为：x 是自变量，它是对应关系f 所施加的对象；f 是对应关系，它可以是一个或几个解析式，也可以是图象或表格，还可以用文字描述；y 是自变量对应的函数值，当x 为允许的某一具体值时，相应的y 值为与该自变量对应的函数值．对函数奇偶性的学习注意以下几点:①要正确理解奇函数和偶函数的定义.定义是判断或讨论函数的奇偶性的依据，由定义知，若x 是定义域中的一个数值，则x -也必然在定义域中，因此，函数()y f x =是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是：定义域在数轴上所示的区间关于原点对称.换而言之，所给函数的定义域若不关于原点对称，则这个函数必不具有奇偶性.②奇偶性是函数在定义域上的对称性质.单调性反映函数在某一区间函数值的变化趋势. 函数的奇偶性与单调性是函数的两个重要性质，在解答数学问题时，要善于应用函数的观点，挖掘函数的奇偶性和单调性，并注意奇偶性与单调性的相关关系.③奇函数在0x =有定义，则(0)0f =.事实上(0)(0)f f -=-，所以(0)0f = 对函数单调性的学习注意以下几点:①函数的单调性是针对函数定义域内的某个子区间而言的．有些函数在整个定义域内可能是单调的，如一次函数；有些函数在定义域内的部分区间上是增函数，而在另一部分区间上可能是减函数，如二次函数.②函数单调性定义中的21,x x ，有三个特征：一是任意性，即“任意取21,x x ”，“任意”二字不能随便丢掉．证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是21,x x 之间有大小，通常规定21,x x ；三是同属一个单调区间．三者缺一不可．③若函数)(x f 在其定义域内的两个区间B A ,上都是增（减）函数，一般不能简单认为)(x f 在B A 上是增（减）函数．如xx f 1)(=在()0,∞-上是减函数，在()+∞,0上也是减函数，但不能说它在定义域()()+∞∞-,00, 上是减函数． 函数单调性的判断及单调区间的确定的常用方法有：①定义法：它是判断函数的单调性及确定函数单调区间的常用方法，一般地函数的单调性证明都是利用定义来完成的．②复合函数法：对于复合函数[])(x g f y =，若)(x g u =,)(x f y =在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则[])(x g f y =为增函数；若)(x g u =,)(x f y =在所讨论的区间上一个增函数，另一个是减函数，则y=[])(x g f y =是减函数．③利用课本习题的结论：在公共定义域上两个增函数的和仍然是增函数，两个减函数的和仍然是减函数. 2. 错例辨析例4:已知函数()f x 的定义域为，求函数(1)f x +的定义域 误解：由于函数()f x 的定义域为，即01x ≤≤，112x ∴≤+≤ ∴(1)f x +的定义域是分析：对函数定义域理解不透，不明白()f x 与(())f u x 定义域之间的区别与联系，其实在这里只要明白：()f x 中x 取值的范围与(())f u x 中式子()u x 的取值范围一致就好了. 正解：由于函数()f x 的定义域为，即01x ≤≤∴(1)f x +满足011x ∴≤+≤10x -≤≤，∴(1)f x +的定义域是针对练习4设函数)(x f 的定义域为]1,0[，求函数)0)(()()(>-++=m m x f m x f x g 的定义域. 例5:已知：*,x N ∈5(6)()(2)(6)x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，求(3)f .误解：∵ 5(6)()(2)(6)x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，∴(2)(2)53f x x x +=+-=-故5(6)()3(6)x x f x x x -≥⎧=⎨-<⎩，∴(3)f ＝3－3＝0.分析：没有理解分段函数的意义，(3)f 的自变量是3，应代入(2)f x +中去，而不是代入x －5中，只有将自变量化为不小于6的数才能代入解析式求解. 正解：∵ 5(6)()(2)(6)x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，针对练习5函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =-求))5((f . 例6：求函数2()46y f x x x ==-+，[1,5)x ∈的值域. 误解：22(1)14163,(5)545611f f =-⨯+==-⨯+=又[1,5)x ∈，()f x ∴的值域是[)311，分析:对函数定义中，输入定义域中每一个x 值都有唯一的y 值与之对应，错误地理解为x 的两端点时函数值就是y 的取值范围了.正解：配方，得22()46(2)2y f x x x x ==-+=-+∵[1,5)x ∈，对称轴是2x =∴当2x =时，函数取最小值为(2)f =2，()(5)11f x f <= ()f x ∴的值域是[)211，针对练习6求函数242(14)y x x x =-+-≤≤的值域.例7: 函数y=245x x --的单调增区间是_________.误解：因为函数2()54g x x x =--的对称轴是2x =-，图像是抛物线，开口向下，由图可知2()54g x x x =--在(,2]-∞-上是增函数，所以y=245x x --的增区间是(,2]-∞-误解分析：在求单调性的过程中注意到了复合函数的单调性研究方法，但没有考虑到函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，从而忽视了函数的定义域，导致了解题的错误. 正解：y=245x x --的定义域是[5,1]-，又2()54g x x x =--在区间[5,2]--上增函数，在区间[2,1]-是减函数，所以y=245x x --的增区间是[5,2]-- 针对练习7 求函数62-+=x x y 的单调区间.例8: 判断函数()(1f x x =+的奇偶性.误解：∵()(1f x x =+=∴()()f x f x -===， ∴()(1f x x =+ 分析：对函数奇偶性定义实质理解不全面.对定义域内任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件.正解：()(1f x x =+有意义时必须满足10111x x x -≥⇒-<≤+ 即函数的定义域是｛x ｜11x -<≤｝，由于定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数 针对练习8判断函数()f x ＝（x 答案及解析本章诊疗 针对练习:1. 由已知，易得 {}32A =-，，B A ∵Ü，{}3B =-∴或{}2或∅．若{}3B =-，由(3)10m -+=，得13m =； 若{}2B =，由210m +=，得12m =-； 若B =∅，由10mx +=无解，得0m =．13m =∴或12m =-或0m =． 2∵A ∩B=｛2，5｝，∴由32275a a a --+=， 解得 2a =或1a =±．当a=1时，2221a a -+=与元素的互异性矛盾，故舍去1a =； 当1a =-时，{}10524B =，，，，，此时{}245AB =，，，这与{}25A B =，矛盾，故又舍去1a =-；当2a =时，{}245A =，，，{}132525B =，，，，，此时{}25AB =，满足题意，故2a =为所求．3. 2243(2)11y x x x =-+=---∵≥，2222(1)33y x x x =--+=-++≤，{}1A y y =-∴≥，{}3B y y =≤， {}13AB y y =-∴≤≤．4. 由题意，得⎩⎨⎧≤-≤≤+≤,10,10m x m x 即⎩⎨⎧+≤≤-≤≤-,1,1m x m m x m ，解此不等式组，需讨论1-m 与m 的大小.（1）当m m <-1，即21>m 时，不等式组无解，此时函数关系不存在； （2）当m m =-1，即21=m 时，21==m x ； （3）当01>>-m m ，即210<<m 时，m ≤x ≤m -1综上，当0＜m ≤21时，函数)(x g 的定义域为{|x m ≤x ≤m -1}. 5．由()()12f x f x +=得()()14()2f x f x f x +==+， 所以(5)(1)5f f ==-，则()()115(5)(1)(12)5f f f f f =-=-==--+6．2(2)2y x =--+∵ 14x ≤≤，∴ 当2x =时，max 2y =，当4x =时，min 2y =- ∴ 所给函数的值域为[2,2]-．7. )(x f 的定义域为),2[]3,(+∞--∞ ，而62-+=x x y .可由u y =和62-+=x x u 复合而成，而u y =单调递增，42521622-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+=x x x u∴u 在]21,(--∞上是减函数，在),21[+∞-上是增函数， ∴所求的单调递增区间为),2[+∞，单调递减区间为]3,(--∞.8.由⎩⎨⎧>-≥+0101x x 或⎩⎨⎧<-≤+0101x x 得[)1,1-∈x ,定义域不关于原点对称,故)(x f 不是奇函数也不是偶函数.。
【同步汇编】2018年高一数学人教A版必修1 习题汇编 70页(含解析)
2018年高一数学人教A版必修1 习题汇编目录第一章集合与函数概念1.1.1.1 Word版含答案第一章集合与函数概念1.1.1.2 Word版含答案第一章集合与函数概念1.1.2 Word版含答案第一章集合与函数概念1.1.3.1 Word版含答案第一章集合与函数概念1.1.3.2 Word版含答案第一章集合与函数概念1.2.1 Word版含答案第一章集合与函数概念1.2.2.1 Word版含答案第一章集合与函数概念1.2.2.2 Word版含答案第一章集合与函数概念1 章末高效整合Word版含答案-第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1.1 Word版含答案-第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1.2.1 Word版含答案-第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1.2.2 Word版含答案-第二章基本初等函数（Ⅰ）2.2.1.1 Word版含答案-第二章基本初等函数（Ⅰ）2.2.1.2 Word版含答案-第二章基本初等函数（Ⅰ）2.2.2.1 Word版含答案-第二章基本初等函数（Ⅰ）2.2.2.2 Word版含答案-第二章基本初等函数（Ⅰ）2.3 Word版含答案-第二章基本初等函数（Ⅰ）2 章末高效整合Word版含答案第三章函数的应用3.1.1 Word版含答案第三章函数的应用3.1.2 Word版含答案第三章函数的应用3.2.1 Word版含答案第三章函数的应用3.2.2 Word版含答案第三章函数的应用3 章末高效整合Word版含答案2018年高一数学人教A版必修一模块质量评估试题模块质量评估A Word版含答案2018年高一数学人教A版必修一模块质量评估试题模块质量评估B Word版含答案一、选择题(每小题5分，共20分) 1．下列各组对象不能构成集合的是( ) A ．中国农业银行滨州支行的所有员工 B ．2016年里约热内卢奥运会所有的田径项目 C ．好心的人D ．所有小于18的既是奇数又是质数的正实数解析： A ，B ，D 中涉及的元素都是确定的，如D 中满足条件的正实数只有3,5,7,11,13,17，故它们都能构成集合，而C 中没有一个确定的标准来判断某个人是否是“好心的人”，所以不能组成集合．故选C. 答案： C2．已知集合A 中元素x 满足-5≤x ≤5，且x ∈N *，则必有( ) A ．-1∈A B ．0∈A C.3∈AD ．1∈A解析： x ∈N *，且-5≤x ≤5，所以x =1,2，所以1∈A . 答案： D3．由a 2,2-a,4组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是( ) A ．1 B ．-2 C ．6D ．2解析： 由题设知，a 2,2-a,4互不相等，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2≠2－a ，a 2≠4，2－a ≠4，解得a ≠-2，a ≠1，且a ≠2.当实数a 的取值是6时，三个数分别为36，-4,4，可以构成集合，故选C. 答案： C4．已知x ，y ，z 为非零实数，代数式x |x |＋y |y |＋z |z |＋|xyz |xyz 的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是( )A ．4∈MB ．2∈MC ．0∉MD ．-4∉M解析： 当x ，y ，z 都大于零时，代数式的值为4，所以4∈M ，故选A. 答案： A二、填空题(每小题5分，共15分) 5．下列说法中：①集合N 与集合N ＋是同一个集合；②集合N 中的元素都是集合Z 中的元素；③集合Q 中的元素都是集合 Z中的元素；④集合Q 中的元素都是集合R 中的元素． 其中正确的有________．解析： 因为集合N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确． 答案： ②④6．不等式x -a ≥0的解集为A ，若3∉A ，则实数a 的取值范围是________． 解析： 因为3∉A ，所以3是不等式x -a <0的解，所以3-a <0，解得a >3. 答案： a >37．(2016·浙江镇海检测)已知集合A 是由0，m ，m 2-3m ＋2三个元素构成的集合，且2∈A ，则实数m =________. 解析： 由题意知，m =2或m 2-3m ＋2=2，解得m =2或m =0或m =3，经验证， 当m =0或m =2时，不满足集合中元素的互异性，当m =3时，满足题意，故m =3. 答案： 3三、解答题(每小题10分，共20分)8．设x ∈R ，集合A 中含有三个元素3，x ，x 2-2x ， (1)求元素x 应满足的条件； (2)若-2∈A ，求实数x .解析： (1)由集合元素的互异性可得x ≠3，且x 2-2x ≠x ， x 2-2x ≠3，解得x ≠-1，且x ≠0，且x ≠3.(2)若-2∈A ，则x =-2或x 2-2x =-2.由于方程x 2-2x ＋2=0无解，所以x =-2. 经检验，知x =-2符合互异性．故x =-2.9．数集M 满足条件，若a ∈M ，则1＋a 1－a ∈M (a ≠±1且a ≠0)，已知3∈M ，试把由此确定的集合M 的元素全部求出来．解析： ∵a =3∈M ，∴1＋a 1－a =1＋31－3=-2∈M ，∴1－21＋2=-13∈M ，∴1－131＋13=12∈M ，∴1＋121－12=3∈M .再把3代入将重复上面的运算过程，由集合中元素的互异性可知M 中含有元素3，-2，-13，12.一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知集合A =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x ∈Z ，且32－x ∈Z，则集合A 中的元素个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析： ∵32－x∈Z ，∴2-x 的取值有-3，-1,1,3，又∵x ∈Z ，∴x 值分别为5,3,1，-1，故集合A 中的元素个数为4，故选C. 答案： C2．集合{(x ，y )|y =2x -1}表示( ) A ．方程y =2x -1 B ．点(x ，y )C ．平面直角坐标系中的所有点组成的集合D ．函数y =2x -1图象上的所有点组成的集合解析： 集合{(x ，y )|y =2x -1}的代表元素是(x ，y )，x ，y 满足的关系式为y =2x -1，因此集合表示的是满足关系式y =2x -1的点组成的集合，故选D. 答案： D3．将集合⎩⎨⎧ (x ，y )⎪⎪⎪⎭⎬⎫⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝52x －y ＝1用列举法表示，正确的是( )A ．{2,3}B ．{(2,3)}C ．{(3,2)}D ．(2,3)解析： 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，2x －y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3.所以答案为{(2,3)}． 答案： B4．已知集合A ={x |x =2m -1，m ∈Z }，B ={x |x =2n ，n ∈Z }，且x 1，x 2∈A ，x 3∈B ，则下列判断不正确的是( ) A ．x 1·x 2∈A B ．x 2·x 3∈B C ．x 1＋x 2∈BD ．x 1＋x 2＋x 3∈A解析： 集合A 表示奇数集，B 表示偶数集，∴x 1，x 2是奇数，x 3是偶数， ∴x 1＋x 2＋x 3应为偶数，即D 是错误的．答案： D 二、填空题(每小题5分，共15分)5．设集合A ={1，-2，a 2-1}，B ={1，a 2-3a,0}，若A ，B 相等，则实数a =________.解析： 由集合相等的概念得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a 2－3a ＝－2，解得a =1.答案： 16．已知集合A ={x |2x ＋a >0}，且1∉A ，则实数a 的取值范围是________． 解析： ∵1∉{x |2x ＋a >0}，∴2×1＋a ≤0，即a ≤-2. 答案： a ≤-27．已知-5∈{x |x 2-ax -5=0}，则集合{x |x 2-4x -a =0}中所有元素之和为________． 解析： 由-5∈{x |x 2-ax -5=0}得(-5)2-a ×(-5)-5=0，所以a =-4， 所以{x |x 2-4x ＋4=0}={2}，所以集合中所有元素之和为2. 答案： 2三、解答题(每小题10分，共20分)8．已知集合M ={-2,3x 2＋3x -4，x 2＋x -4}，若2∈M ，求x .解析： 当3x 2＋3x -4=2时，即x 2＋x -2=0，则x =-2或x =1.经检验，x =-2，x =1均不合题意． 当x 2＋x -4=2时，即x 2＋x -6=0，则x =-3或2.经检验，x =-3或x =2均合题意． ∴x =-3或x =2.9．(1)已知集合M =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈N ⎪⎪61＋x ∈Z，求M ； (2)已知集合C =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫⎪⎪61＋x ∈Z x ∈N ，求C .解析： (1)∵x ∈N ，61＋x∈Z .∴1＋x 应为6的正约数． ∴1＋x =1,2,3,6，即x =0,1,2,5.∴M ={0,1,2,5}． (2)∵61＋x∈Z ，且x ∈N ，∴1＋x 应为6的正约数， ∴1＋x =1,2,3,6，此时61＋x分别为6,3,2,1，∴C ={6,3,2,1}.一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知集合A ={x |x =3k ，k ∈Z }，B ={x |x =6k ，k ∈Z }，则A 与B 之间最适合的关系是( ) A ．A ⊆B B ．A ⊇B C ．ABD ．AB解析： 显然B 是A 的真子集，因为A 中元素是3的整数倍，而B 的元素是3的偶数倍．答案： D2．已知集合M={x|-5<x<3，x∈Z}，则下列集合是集合M的子集的为()A．P={-3,0,1} B．Q={-1,0,1,2}C．R={y|-π<y<-1，y∈Z} D．S={x||x|≤3，x∈N}解析：先用列举法表示集合，再观察元素与集合的关系．集合M={-2，-1,0,1}，集合R={-3，-2}，集合S={0,1}，不难发现集合P中的元素-3∉M，集合Q中的元素2∉M，集合R中的元素-3∉M，而集合S={0,1}中的任意一个元素都在集合M中，所以S⊆M，且S M.故选D.答案： D3．已知集合P={x|x2=1}，Q={x|ax=1}，若Q⊆P，则a的值是()A．1 B．-1C．1或-1 D．0,1或-1解析：由题意，当Q为空集时，a=0；当Q不是空集时，由Q⊆P，a=1或a=-1.答案： D4．已知集合A⊆{0,1,2}，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为()A．6 B．5C．4 D．3解析：集合{0,1,2}的子集为：∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，其中含有偶数的集合有6个．故选A.答案： A二、填空题(每小题5分，共15分)5．已知M={y|y=x2-2x-1，x∈R}，N={x|-2≤x≤4}，则集合M与N之间的关系是________．解析：∵y=(x-1)2-2≥-2，∴M={y|y≥-2}．∴N M.答案：N M6．图中反映的是“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”这四个文学概念之间的关系，请作适当的选择填入下面的空格：A为________；B为________；C为________；D为________．解析：由Venn图可得A B，C D B，A与D之间无包含关系，A与C之间无包含关系．由“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”四个文学概念之间的关系，可得A为小说，B为文学作品，C为叙事散文，D为散文．答案：小说文学作品叙事散文散文7．已知集合A ={x |ax 2＋2x ＋a =0，a ∈R }，若集合A 有且仅有2个子集，则a 的取值构成的集合为________． 解析：因为集合A 有且仅有2个子集，所以A 仅有一个元素，即方程ax 2＋2x ＋a =0(a ∈R )仅有一个根． 当a =0时，方程化为2x =0，∴x =0，此时A ={0}，符合题意． 当a ≠0时，Δ=22-4·a ·a =0，即a 2=1，∴a =±1. 此时A ={-1}，或A ={1}，符合题意．∴a =0或a =±1. 答案： {0,1，-1}三、解答题(每小题10分，共20分)8．已知A ={x |x 2-3x ＋2=0}，B ={x |ax -2=0}，且B ⊆A ，求实数a 组成的集合C . 解析： 由x 2-3x ＋2=0，得x =1，或x =2.∴A ={1,2}． ∵B ⊆A ，∴对B 分类讨论如下：(1)若B =∅，即方程ax -2=0无解，此时a =0.(2)若B ≠∅，则B ={1}或B ={2}．则B ={1}时，有a -2=0，即a =2； 当B ={2}时，有2a -2=0，即a =1.综上可知，符合题意的实数a 所组成的集合C ={0,1,2}．9．已知A ={x |x 2＋4x =0}，B ={x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2-1=0}，若B ⊆A ，求a 的取值范围． 解析： 集合A ={0，-4}，由于B ⊆A ，则(1)当B =A 时，即0，-4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2-1=0的两根，代入解得a =1. (2)当BA 时，①当B =∅时，则Δ=4(a ＋1)2-4(a 2-1)<0，解得a <-1；②当B ={0}或B ={-4}时，方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2-1=0应有两个相等的实数根0或-4，则Δ=4(a ＋1)2-4(a 2-1)=0，解得a =-1，此时B ={0}满足条件． 综上可知a =0或a ≤-1.一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A ．y =x 2－9x －3与y =x ＋3B ．y =x 2-1与y =x -1C ．y =x 0(x ≠0)与y =1(x ≠0)D ．y =2x ＋1，x ∈Z 与y =2x -1，x ∈Z解析： A 项中两函数的定义域不同；B 项，D 项中两函数的对应关系不同．故选C. 答案： C2．下列集合A 到集合B 的对应f 是函数的是( ) A ．A ={-1,0,1}，B ={0,1}，f ：A 中的数平方 B ．A ={0,1}，B ={-1,0,1}，f ：A 中的数开方 C ．A =Z ，B =Q ，f ：A 中的数取倒数D ．A =R ，B ={正实数}，f ：A 中的数取绝对值解析： 按照函数定义，选项B 中，集合A 中的元素1对应集合B 中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件；选项C 中，集合A 中的元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A 中任意元素都对应着唯一函数值的要求；选项D 中，集合A 中的元素0在集合B 中没有元素与其对应，也不符合函数定义．只有选项A 符合函数定义． 答案： A3．设f (x )=x 2－1x 2＋1，则f (2)f ⎝⎛⎭⎫12=( )A ．1B ．-1 C.35D ．-35解析： f (2)f ⎝⎛⎭⎫12=22－122＋1⎝⎛⎭⎫122－1⎝⎛⎭⎫122＋1=35－3454=35×⎝⎛⎭⎫－53=-1. 答案： B4．若函数y =f (x )的定义域M ={x |-2≤x ≤2}，值域为N ={y |0≤y ≤2}，则函数y =f (x )的图象可能是()解析： A 中定义域是{x |-2≤x ≤0}，不是M ={x |-2≤x ≤2}，C 中图象不表示函数关系，D 中值域不是N ={y |0≤y ≤2}． 答案： B二、填空题(每小题5分，共15分) 5．已知f (x )由下表表示则函数f (x )的定义域是________解析： 观察表格可知函数f (x )的定义域是{1,2,3}，值域是{1,2}． 答案： {1,2,3} {1,2}6．若[a,3a -1]为一确定区间，则a 的取值范围是________． 解析： 由题意知3a -1>a ，则a >12.答案： ⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 7．设f (x )=11－x，则f (f (a ))=________.解析： f (f (a ))=11－11－a =11－a －11－a =a －1a .答案： a －1a (a ≠0，且a ≠1)三、解答题(每小题10分，共20分) 8．求下列函数的定义域． (1)y =2x ＋1＋3－4x ； (2)y =1|x ＋2|－1.解析： (1)由已知得⎩⎨⎧2x ＋1≥0⇒x ≥－12，3－4x ≥0⇒x ≤34，∴函数的定义域为⎣⎡⎦⎤－12，34. (2)由已知得：∵|x ＋2|-1≠0，∴|x ＋2|≠1，得x ≠-3，x ≠-1. ∴函数的定义域为(-∞，-3)∪(-3，-1)∪(-1，＋∞)． 9．已知函数f (x )=6x －1-x ＋4，(1)求函数f (x )的定义域； (2)求f (-1), f (12)的值．解析： (1)根据题意知x -1≠0且x ＋4≥0，∴x ≥-4且x ≠1， 即函数f (x )的定义域为[-4,1)∪(1，＋∞)． (2)f (-1)=6－2-－1＋4=-3- 3.f (12)=612－1-12＋4=611-4=-3811.一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知函数f (x )的定义域A ={x |0≤x ≤2}，值域B ={y |1≤y ≤2}，下列选项中，能表示f (x )的图象的只可能是( )解析： 根据函数的定义，观察图象，对于选项A ，B ，值域为{y |0≤y ≤2}，不符合题意，而C 中当0<x <2时，一个自变量x 对应两个不同的y ，不是函数．故选D. 答案： D2．已知函数f (2x ＋1)=3x ＋2，且f (a )=2，则a 的值等于( ) A ．8 B ．1 C ．5D ．-1解析： 由f (2x ＋1)=3x ＋2，令2x ＋1=t ，∴x =t －12，∴f (t )=3·t －12＋2，∴f (x )=3(x －1)2＋2，∴f (a )=3(a －1)2＋2=2，∴a =1.答案： B3．已知函数f (x )由下表给出，则f (f (3))等于( )A.1 C ．3D ．4解析： ∵f (3)=4，∴f (f (3))=f (4)=1. 答案： A 4．已知f (x -1)=1x ＋1，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )=11＋xB ．f (x )=1＋xxC ．f (x )=1x ＋2D ．f (x )=1＋x解析： 令x -1=t ，则x =t ＋1，∴f (t )=1t ＋1＋1=12＋t ，∴f (x )=1x ＋2.答案： C二、填空题(每小题5分，共15分)5．已知函数f (x )=x -mx ，且此函数图象过点(5,4)，则实数m 的值为________．解析： 将点(5,4)代入f (x )=x -mx ，得m =5.答案： 56．如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中点A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(4,2)，则f (f (f (2)))=________.解析： ∵f (2)=0，∴f (f (2))=f (0)=4，∴f (f (f (2)))=f (4)=2. 答案： 27．已知a ，b 为常数，若f (x )=x 2＋4x ＋3，f (ax ＋b )=x 2＋10x ＋24，则5a -b =________.解析： 由f (x )=x 2＋4x ＋3，f (ax ＋b )=x 2＋10x ＋24，得(ax ＋b )2＋4(ax ＋b )＋3=x 2＋10x ＋24，即a 2x 2＋(2ab ＋4a )x ＋b 2＋4b ＋3=x 2＋10x ＋24，由系数相等得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，2ab ＋4a ＝10，b 2＋4b ＋3＝24.解得a =-1，b =-7或a =1，b =3.则5a -b =2.答案： 2三、解答题(每小题10分，共20分)8．某同学购买x (x ∈{1,2,3,4,5})张价格为20元的科技馆门票，需要y 元．试用函数的三种表示方法将y 表示成x 的函数． 解析： (1)列表法：(2)图象法：如图所示．(3)解析法：y =20x ，x ∈{1,2,3,4,5}． 9．求下列函数解析式：(1)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)-f (x )=2x ＋9，求f (x )； (2)已知f (x ＋1)=x 2＋4x ＋1，求f (x )的解析式． 解析：(1)由题意，设函数为f (x )=ax ＋b (a ≠0)，∵3f (x ＋1)-f (x )=2x ＋9，∴3a (x ＋1)＋3b -ax -b =2x ＋9，即2ax ＋3a ＋2b =2x ＋9，由恒等式性质，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，3a ＋2b ＝9，∴a =1，b =3.∴所求函数解析式为f (x )=x ＋3.(2)设x ＋1=t ，则x =t -1，f (t )=(t -1)2＋4(t -1)＋1，即f (t )=t 2＋2t -2. ∴所求函数为f (x )=x 2＋2x -2.一、选择题(每小题5分，共20分)1．函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x <2，f (x －1)，x ≥2，则f (2)=( )A ．-1B ．0C ．1D ．2解析： f (2)=f (2-1)=f (1)=1-2=-1. 答案： A2．函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ≤1，x 2－x －3，x >1，则f ⎝⎛⎭⎫1f (3)的值为( )A.1516 B ．-2716C.89D ．18解析： ∵x >1，∴f (3)=32-3-3=3，∵13<1，∴f ⎝⎛⎭⎫1f (3)=f ⎝⎛⎭⎫13=1-⎝⎛⎭⎫132=89. 答案： C3．函数y =x ＋|x |x的图象是( )解析： y =x ＋|x |x =⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >0，x －1，x <0.答案： D4．a ，b 为实数，集合M =⎩⎨⎧⎭⎬⎫b a ，1，N ={a,0}，f ：x →2x 表示把集合M 中的元素x 映射到集合N 中为2x ，则a ＋b =( ) A ．-2 B ．0 C ．2D ．±2解析： 由题意知M 中元素b a 只能对应0,1只能对应a ，所以2ba =0，a =2，所以b =0，a =2，因此a ＋b =2，故选C. 答案： C二、填空题(每小题5分，共15分)5．f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈[0，1]2－x ，x ∈(1，2]的定义域为________，值域为________________．解析： 函数定义域为[0,1]∪(1,2]=[0,2]．当x ∈(1,2]时，f (x )∈[0,1)，故函数值域为[0,1)∪[0,1]=[0,1]． 答案： [0,2] [0,1]6．已知A =B =R ，x ∈A ，y ∈B ，f ：x →y =ax ＋b,5→5且7→11.若x →20，则x =________.解析： 由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧ 5＝5a ＋b ，11＝7a ＋b ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－10.∴y =3x -10.由3x -10=20，得x =10.答案： 107．已知函数f (x )的图象如图，则f (x )的解析式为________．解析： ∵f (x )的图象由两条线段组成，由一次函数解析式求法可得f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0，－x ，0≤x ≤1.答案： f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0，－x ，0≤x ≤1.三、解答题(每小题10分，共20分)8．已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2(x <0)，x 2(0≤x <2)，12x (x ≥2).(1)求f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫－12的值； (2)若f (x )=2，求x 的值．解析： (1)f ⎝⎛⎭⎫－12=⎝⎛⎭⎫－12＋2=32，∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫－12=f ⎝⎛⎭⎫32=⎝⎛⎭⎫322=94，∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫－12=f ⎝⎛⎭⎫94=12×94=98. (2)当f (x )=x ＋2=2时，x =0，不符合x <0.当f (x )=x 2=2时，x =±2，其中x =2符合0≤x <2.当f (x )=12x =2时，x =4，符合x ≥2.综上，x 的值是2或4.9．已知A =B =R ，从集合A 到集合B 的映射f ：x →2x -1. (1)求与A 中元素3相对应的B 中的元素； (2)求与B 中元素3相对应的A 中的元素．解析： (1)将x =3代入对应关系f 可得2x -1=2×3-1=5，即与A 中元素3相对应的B 中的元素为5. (2)由题意可得2x -1=3，解得x =2，所以与B 中元素3相对应的A 中的元素为2.一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知集合M ={x |-3<x <1}，N ={-3，-2，-1,0,1}，则M ∩N =( ) A ．{-2，-1,0,1} B ．{-3，-2，-1,0} C ．{-2，-1,0}D ．{-3，-2，-1}解析： 运用集合的运算求解．M ∩N ={-2，-1,0}，故选C. 答案： C2．设集合A ={x |x ＋2=0}，集合B ={x |x 2-4=0}，则A ∩B =( ) A ．{-2} B ．{2} C ．{-2,2}D ．∅解析： 解出集合A ，B 后依据交集的概念求解．∵A ={x |x ＋2=0}，∴A ={-2}．∵B ={x |x 2-4=0}，∴B ={-2,2}． ∴A ∩B ={-2}．故选A. 答案： A3．设集合A ={x ∈Z |-10≤x ≤-1}，B ={ x ∈Z ||x |≤5}，则A ∪B 中的元素个数是( )A ．10B ．11C ．15D ．16解析： A ={-10，-9，-8，-7，-6，…，-1}，B ={-5，-4，-3，-2，-1,0,1,2,3,4,5}，∴A ∪B ={-10，-9，-8，…，-1,0,1,2,3,4,5}， A ∪B 中共16个元素． 答案： D4．已知集合A ={x |x 2-2x >0}，B ={x |-5<x <5}，则( ) A ．A ∩B =∅ B ．A ∪B =R C ．B ⊆AD ．A ⊆B解析： 先求解集合A ，再进行集合之间的运算．∵A ={x |x >2或x <0}，B ={x |-5<x <5}，∴A ∩B ={x |-5<x <0或2<x <5}，A ∪B =R .故选B. 答案： B二、填空题(每小题5分，共15分)5．设M ={0,1,2,4,5,7}，N ={1,4,6,8,9}，P ={4,7,9}，则(M ∩N )∪(M ∩P )=________. 解析： M ∩N ={1,4}，M ∩P ={4,7}，所以(M ∩N )∪(M ∩P )={1,4,7}． 答案： {1,4,7}6．设集合A ={x |x ≥0}，B ={x |x <1}，则A ∪B =________. 解析： 结合数轴分析得A ∪B =R .答案： R7．设集合A ={x |-1<x <2}，B ={x |x <a }，若A ∩B ≠∅，则a 的取值范围是________． 解析： 利用数轴分析可知，a >-1.答案： a >-1三、解答题(每小题10分，共20分)8．已知A ={x |a <x ≤a ＋8}，B ={x |x <-1，或x >5}．若A ∪B =R ，求a 的取值范围． 解析： 在数轴上标出集合A ，B ，如图．要使A ∪B =R ，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋8≥5，a <－1，解得-3≤a <-1.综上可知，a 的取值范围为-3≤a <-1. 9．集合A ={x |-1≤x <3}，B ={x |2x -4≥x -2}．(1)求A ∩B ；(2)若集合C ={x |2x ＋a >0}，满足B ∪C =C ，求实数a 的取值范围． 解析： (1)∵B ={x |x ≥2}，∴A ∩B ={x |2≤x <3}．(2)C =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >－a 2，B ∪C =C ⇒B ⊆C ，∴-a2<2，∴a >-4.即a 的取值范围为a >-4.一、选择题(每小题5分，共20分)1．设全集U ={1,2,3,4,5}，集合A ={1,2}，则∁U A =( ) A ．{1,2} B ．{3,4,5} C ．{1,2,3,4,5}D ．∅解析： 依据补集的定义计算．∵U ={1,2,3,4,5}，A ={1,2}，∴∁U A ={3,4,5}． 答案： B2．已知集合A ，B 均为全集U ={1,2,3,4}的子集，且∁U (A ∪B )={4}，B ={1,2}，则A ∩∁U B =( ) A ．{3} B ．{4} C ．{3,4}D ．∅解析： 利用所给条件计算出A 和∁U B ，进而求交集． ∵U ={1,2,3,4}，∁U (A ∪B )={4}，∴A ∪B ={1,2,3}．又∵B ={1,2}，∴{3}⊆A ⊆{1,2,3}．又∁U B ={3,4}，∴A ∩∁U B ={3}． 答案： A3．已知全集U =R ，集合A ={x |-2≤x ≤3}，B ={x |x <-2或x >4}，那么集合(∁U A )∩(∁U B )等于( ) A ．{x |3<x ≤4} B ．{x |x ≤3或x ≥4} C ．{x |3≤x <4}D ．{x |-1≤x ≤3}解析： ∵∁U A ={x |x <-2或x >3}，∁U B ={x |-2≤x ≤4}，如图．∴(∁U A )∩(∁U B )={x |3<x ≤4}，故选A.答案： A4．设全集U 是实数R ，M ={x |x <-2，或x >2}，N ={x |1≤x ≤3}．如图所示，则阴影部分所表示的集合为( )A ．{x |-2≤x <1}B ．{x |-2≤x ≤3}C ．{x |x ≤2，或x >3}D ．{x |-2≤x ≤2}解析：阴影部分所表示的集合为∁U(M∪N)=(∁U M)∩(∁U N)={x|-2≤x≤2}∩{x|x<1或x>3}={x|-2≤x<1}．故选A.答案： A二、填空题(每小题5分，共15分)5．设U={0,1,2,3}，A={x∈U|x2＋mx=0}，若∁U A={1,2}，则实数m=________.解析：∵∁U A={1,2}，∴A={0,3}，∴0,3是方程x2＋mx=0的两个根，∴m=-3.答案：-36．设全集U=R，集合A={x|x≥0}，B={y|y≥1}，则∁U A与∁U B的包含关系是________．解析：先求出∁U A={x|x<0}，∁U B={y|y<1}={x|x<1}．∴∁U A ∁U B.答案：∁U A ∁U B7．已知全集U=R，A={x|1≤x<b}，∁U A={x|x<1，或x≥2}，则实数b=________.解析：∵∁U A={x|x<1，或x≥2}，∴A={x|1≤x<2}．∴b=2.答案： 2三、解答题(每小题10分，共20分)8．已知集合A={x|2≤x<7}，B={x|3<x<10}，C={x|x<a}．(1)求A∪B，(∁R A)∩B；(2)若A∩C≠∅，求a的取值范围．解析：(1)因为A={x|2≤x<7}，B={x|3<x<10}，所以A∪B={x|2≤x<10}．因为A={x|2≤x<7}，所以∁R A={x|x<2，或x≥7}，则(∁R A)∩B={x|7≤x<10}．(2)因为A={x|2≤x<7}，C={x|x<a}，且A∩C≠∅，所以a>2.9．已知全集U={不大于20的素数}，M，N为U的两个子集，且满足M∩(∁U N)={3,5}，(∁U M)∩N={7,19}，(∁U M)∩(∁U N)={2,17}，求M，N.解析：法一：U={2,3,5,7,11,13,17,19}，如图，∴M={3,5,11,13}，N={7,11,13,19}．法二：∵M∪(∁U N)={3,5}，∴3∈M,5∈M且3∉N,5∉N.又∵(∁U M)∩N={7,19}，∴7∈N,19∈N且7∉M,19∉M.又∵(∁U M)∩(∁U N)={2,17}，∴∁U(M∪N)={2,17}，∴M={3,5,11,13}，N={7,11,13,19}．能力测评10．设全集U={x||x|<4，且x∈Z}，S={-2,1,3}．若∁U P⊆S，则这样的集合P共有()A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个解析：U ={-3，-2，-1,0,1,2,3}，∵∁U (∁U P )=P ，∴存在一个∁U P ，即有一个相应的P (如当∁U P ={-2,1,3}时，P ={-3，-1,0,2}，当∁U P ={-2,1}时，P ={-3，-1,0,2,3}等)，由于S 的子集共有8个， ∴P 也有8个，选D. 答案： D11．已知集合A ={x |x ≤a }，B ={x |1≤x ≤2}，且A ∪∁R B =R ，则实数a 的取值范围是________． 解析： ∵∁R B ={x |x <1或x >2}且A ∪∁R B =R ，∴{x |1≤x ≤2}⊆A ，∴a ≥2. 答案： a ≥212．已知集合A ={1,3，-x 3}，B ={1，x ＋2}，是否存在实数x ，使得B ∪(∁A B )=A ？实数x 若存在，求出集合A 和B ；若不存在，说明理由．解析： 假设存在x ，使B ∪(∁A B )=A ，∴B A . (1)若x ＋2=3，则x =1符合题意．(2)若x ＋2=-x 3，则x =-1不符合题意．∴存在x =1，使B ∪(∁A B )=A ， 此时A ={1,3，-1}，B ={1,3}．13．已知A ={x |-1<x ≤3}，B ={x |m ≤x <1＋3m }． (1)当m =1时，求A ∪B ；(2)若B ⊆∁R A ，求实数m 的取值范围．解析：(1)m =1时，B ={x |1≤x <4}，A ∪B ={x |-1<x <4}．(2)∁R A ={x |x ≤-1或x >3}．当B =∅，即m ≥1＋3m 时，得m ≤-12，满足B ⊆∁R A ，当B ≠∅时，要使B ⊆∁R A 成立，则⎩⎪⎨⎪⎧ m <1＋3m ，1＋3m ≤－1或⎩⎪⎨⎪⎧m <1＋3m ，m >3，解之得m >3.综上可知，实数m 的取值范围是m >3或m ≤-12.(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．给出以下五个对象，其中能构成集合的个数为( )①你所在班中身高超过1.75 m 的同学；②所有平行四边形；③人教A 版数学必修1教材中的所有习题；④所有有理数；⑤2012年高考试卷中的所有难题． A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析： 由于①②③④项中的对象具备确定性，故①②③④能构成集合．⑤项不符合集合中元素的确定性，故不能构成集合． 答案： D2．设全集U =Z ，集合A ={1,3,5,7,9}，B ={1,2,3,4,5}，则图中阴影部分表示的集合是( ) A ．{1,3,5} B ．{1,2,3,4,5} C ．{7,9}D ．{2,4}解析： 题图中所示阴影表示的集合是(∁U A )∩B ={2,4}． 答案： D3．如果全集U ={x |x 是小于9的正整数}，集合A ={1,2,3,4}，B ={3,4,5,6}，则(∁U A )∩(∁U B )为( ) A ．{1,2} B ．{3,4} C ．{5,6}D ．{7,8}解析： U ={1,2,3,4,5,6,7,8}，∁U A ={5,6,7,8}，∁U B ={1,2,7,8}，故(∁U A )∩(∁U B )={5,6,7,8}∩{1,2,7,8}={7,8}． 答案： D4．下列各组函数相等的是( )A ．f (x )=x 2，g (x )=(x )2B ．f (x )=1，g (x )=x 0C ．f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，g (t )=|t | D ．f (x )=x ＋1，g (x )=x 2－1x －1解析： 选项A ，B ，D 中两函数定义域不同，只有C 项符合． 答案： C5．已知函数f ⎝⎛⎭⎫x －1x =x 2＋1x 2，则f (3)=( ) A ．8 B ．9 C ．11D ．10解析： ∵f ⎝⎛⎭⎫x －1x =⎝⎛⎭⎫x －1x 2＋2，∴f (3)=9＋2=11. 答案： C6．下列函数中，值域是(0，＋∞)的是( )A ．y =x 2－2x ＋1B ．y =x ＋2x ＋1(x ∈(0，＋∞))C ．y =1x 2＋2x ＋1(x ∈N )D ．y =1|x ＋1|解析： 在选项A 中y 可等于零，选项B 中y 显然大于1，选项C 中x ∈N ，值域不是(0，＋∞)，选项D 中|x ＋1|>0，即y >0.答案： D7．函数f (x )=1－x 2＋91＋|x |是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数 解析： ∵函数f (x )的定义域是[-1,1]，且f (-x )=f (x )，∴该函数为偶函数． 答案： B8．已知f (x )为奇函数，g (x )=f (x )＋9，g (-2)=3，则f (2)=( ) A ．-3 B ．3 C ．-6D ．6解析： 由题意得g (-2)=f (-2)＋9=-f (2)＋9=3，∴f (2)=6. 答案： D9．已知函数f (x )=x 2＋mx ＋1在区间(-∞，-1]上是减函数，在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是( ) A ．[-2,2] B ．(-∞，-2] C ．[2，＋∞)D ．R解析： 二次函数的对称轴是直线x =-m 2，则由题意可得-1≤m2≤1，所以-2≤m ≤2.答案： A10．若函数f (x )和g (x )都是奇函数，且F (x )=af (x )＋bg (x )＋2在区间(0，＋∞)上有最大值5，则F (x )在区间(-∞，0)上( ) A ．有最小值-5 B ．有最大值-5 C ．有最小值-1D ．有最大值-3解析： ∵当x >0时，F (x )≤5，即af (x )＋bg (x )＋2≤5，∴af (x )＋bg (x )≤3.设x <0，则-x >0，∴af (-x )＋bg (-x )≤3，即af (x )＋bg (x )≥-3.∴F (x )=af (x )＋bg (x )＋2≥-1. 答案： C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)11．用列举法表示集合：M =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪10m ＋1∈Z ，m ∈Z=________. 解析： 由10m ＋1∈Z ，且m ∈Z ，知m ＋1是10的约数，故|m ＋1|=1,2,5,10，从而m 的值为-11，-6，-3，-2,0,1,4,9.答案： {-11，-6，-3，-2,0,1,4,9}12．已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)=0，则实数a 的值等于________．解析： 若a >0，则2a ＋2=0，得a =-1，与a >0矛盾，舍去；若a ≤0，则a ＋1＋2=0，得a =-3，所以实数a 的值等于-3.答案： -313．已知f (x )=ax 3＋bx -4，其中a ，b 为常数，若f (-2)=2，则f (2)的值等于________．解析： 设g (x )=ax 3＋bx ，显然g (x )为奇函数，则f (x )=ax 2＋bx -4=g (x )-4，于是f (-2)=g (-2)-4=-g (2)-4=2，所以g (2)=-6，所以f (2)=g (2)-4=-6-4=-10. 答案： -1014．若函数f (x )同时满足：①对于定义域上的任意x ，恒有f (x )＋f (-x )=0；②对于定义域上的任意x 1，x 2，当x 1≠x 2时，恒有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0.则称函数f (x )为“理想函数”．给出下列三个函数中：(1)f (x )=1x ；(2)f (x )=x 2；(3)f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧－x 2，x ≥0，x 2，x <0.能被称为“理想函数”的有________．(填相应的序号)解析： ①要求函数f (x )为奇函数，②要求函数f (x )为减函数．函数(1)是奇函数但在整个定义域上不是减函数，函数(2)是偶函数而且也不是减函数，只有函数(3)既是奇函数又是减函数． 答案： (3)三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)设A ={x |2x 2＋ax ＋2=0}，B ={x |x 2＋3x ＋2a =0}，且A ∩B ={2}． (1)求a 的值及集合A ，B ；(2)设全集U =A ∪B ，求(∁U A )∪(∁U B )．解析：(1)由交集的概念易得2是方程2x 2＋ax ＋2=0和x 2＋3x ＋2a =0的公共解，则a =-5，此时A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，B ={-5,2}．(2)由并集的概念易得U =A ∪B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12，2.由补集的概念易得∁U A ={-5}，∁U B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，所以(∁U A )∪(∁U B )=⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12.16．(本小题满分12分)已知奇函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，(x >0)0，(x ＝0)x 2＋mx .(x <0)(1)求实数m 的值； (2)画出函数图象；(3)若函数f (x )在区间[-1，|a |-2]上单调递增，试确定a 的取值范围． 解析： (1)当x <0时，-x >0，f (-x )=-(-x )2＋2(-x )=-x 2-2x .又∵f (x )为奇函数，所以f (-x )=-f (x )=-x 2-2x ，所以f (x )=x 2＋2x ，则m =2. (2)由(1)知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ， (x >0)0， (x ＝0)x 2＋2x ， (x <0)函数f (x )的图象如图所示．(3)由图象可知f (x )在[-1,1]上单调递增，要使f (x )在[-1，|a |-2]上单调递增，只需-1<|a |-2≤1，即1<|a |≤3， 解得-3≤a <-1或1<a ≤3.17．(本小题满分12分)已知二次函数f (x )的最小值为1，且f (0)=f (2)=3. (1)求f (x )的解析式；(2)若f (x )在区间[2a ，a ＋1]上不单调，求实数a 的取值范围；(3)在区间[-1,1]上，y =f (x )的图象恒在y =2x ＋2m ＋1的图象上方，试确定实数m 的取值范围． 解析： (1)由题意设f (x )=a (x -1)2＋1，代入(2,3)得a =2，所以f (x )=2(x -1)2＋1=2x 2-4x ＋3. (2)对称轴为x =1，所以2a <1<a ＋1，所以0<a <12.(3)f (x )-2x -2m -1=2x 2-6x -2m ＋2，由题意得2x 2-6x -2m ＋2>0对于任意x ∈[-1,1]恒成立， 所以x 2-3x ＋1>m 对于任意x ∈[-1,1]恒成立，令g (x )=x 2-3x ＋1，x ∈[-1,1]， 则g (x )min =-1，所以m <-1.18．(本小题满分14分)已知函数f (x )=ax ＋b x 2＋1是定义在(-1,1)上的奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫12=25. (1)确定函数f (x )的解析式；(2)当x ∈(-1,1)时判断函数f (x )的单调性，并证明； (3)解不等式f (2x -1)＋f (x )<0.解析： (1)由题意可知f (-x )=-f (x )，∴－ax ＋b 1＋x 2=-ax ＋b1＋x 2，∴b =0，∴f (x )=ax 1＋x 2.又∵f ⎝⎛⎭⎫12=25，∴a =1，∴f (x )=x 1＋x 2. (2)当x ∈(-1,1)时，函数f (x )是单调递增的．证明如下：设-1<x 1<x 2<1，则f (x 1)-f (x 2)=x 11＋x 21-x 21＋x 22=x 1＋x 1x 22－x 2－x 2x 21(1＋x 21)(1＋x 22)=(x 1－x 2)(1－x 1x 2)(1＋x 21)(1＋x 22). ∵-1<x 1<x 2<1，∴x 1-x 2<0,1-x 1x 2>0.又1＋x 21>0,1＋x 22>0，∴(x 1－x 2)(1－x 1x 2)(1＋x 21)(1＋x 22)<0，即f (x 1)-f (x 2)<0，∴函数f (x )为增函数． (3)∵f (2x -1)＋f (x )<0，∴f (2x -1)<-f (x )．又f (x )是定义在(-1,1)上的奇函数，∴f (2x -1)<f (-x )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<2x －1<1，－1<－x <1，2x －1<－x ，∴0<x <13，∴不等式f (2x -1)＋f (x )<0的解集为⎝⎛⎭⎫0，13.一、选择题(每小题5分，共20分) 1．下列运算结果中正确的为( )A ．a 2·a 3=a 6B ．(-a 2)3=(-a 3)2C ．(a-1)0=1D ．(-a 2)3=-a 6解析： a 2·a 3=a 5，(-a 2)3=(-1)3·(a 2)3=-a 6，而(-a 3)2=a 6，∴在a ≠0时(-a 2)3≠(-a 3)2；若a=1，则(a-1)0无意义，所以只有D 正确． 答案： D2.⎝⎛⎭⎫1120-(1-0.5-2)÷⎝⎛⎭⎫27823的值为( ) A ．-13 B.13 C.43 D.73解析： 原式=1-(1-22)÷⎝⎛⎭⎫322=1-(-3)×49=73. 答案： D 3．将⎝⎛⎭⎪⎫x 13·3x－2-85化成分数指数幂为( )A ．x-13B ．x 415C ．x-415D ．x 25解析： 原式=⎝⎛⎭⎫x 16·x －23×12-85=⎝⎛⎭⎫x 16－13-85=x-16×⎝⎛⎭⎫－85=x 415. 答案： B4．下列说法中，正确说法的个数为( )①na n =a ；②若a ∈R ，则(a 2-a ＋1)0=1；③3x 4＋y 3=x 43＋y ；④3－5=6(－5)2.A ．0B ．1C ．2D ．3解析： ①中，若n 为偶数，则不一定成立，故①是错误的；②中，因为a 2-a ＋1=⎝⎛⎭⎫a －122＋34≠0，所以(a 2-a ＋1)0=1是正确的；③是错误的；④左边为负数，而右边为正数，是错误的，故选B. 答案： B二、填空题(每小题5分，共15分) 5．[(-5)4]14-150的值是________．解析： [(-5)4]14-150=(54)14-150=5-1=4.答案： 46．设α、β为方程2x 2＋3x ＋1=0的两个根，则⎝⎛⎭⎫14α＋β=_______________________. 解析： 由根与系数关系得α＋β=-32，所以⎝⎛⎭⎫14α＋β=⎝⎛⎭⎫14-32=(2-2)-32=23=8. 答案： 87．已知x 2－4x ＋4＋y 2＋6y ＋9=0，则y x 的值为________．解析： 因为x 2－4x ＋4＋y 2＋6y ＋9=0，所以(x －2)2＋(y ＋3)2=0， 即|x-2|＋|y ＋3|=0，所以x=2，y=-3.即y x =(-3)2=9. 答案： 9三、解答题(每小题10分，共20分) 8．计算下列各式(式中字母都是正数)：(1)⎝⎛⎭⎫2a 23b 12⎝⎛⎭⎫－6a 12b 13÷⎝⎛⎭⎫－3a 16b 56； (2)⎝⎛⎭⎫m 14n －388. 解析：(1)⎝⎛⎭⎫2a 23b 12⎝⎛⎭⎫－6a 12b 13÷⎝⎛⎭⎫－3a 16b 56=[2×(-6)÷(-3)]a 23＋12-16b 12＋13-56=4ab 0=4a ； (2)⎝⎛⎭⎫m 14n －388=⎝⎛⎭⎫m 148⎝⎛⎭⎫n －388=m 2n -3=m 2n 3.(1)⎝⎛⎭⎫2140.5-0.752＋6-2×⎝⎛⎭⎫827-23； (2)823-(0.5)-3＋⎝⎛⎭⎫13-6×⎝⎛⎭⎫8116-34. 解析：(1)⎝⎛⎭⎫2140.5-0.752＋6-2×⎝⎛⎭⎫827-23=⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫32212-⎝⎛⎭⎫342＋136×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫233-23=32-⎝⎛⎭⎫342＋136×⎝⎛⎭⎫23-2=32-916＋136×94=1. (2)823-(0.5)-3＋⎝⎛⎭⎫13-6×⎝⎛⎭⎫8116-34=()2323-(2-1)-3＋⎝⎛⎭⎫3－12-6×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫324-34=22-23＋33×⎝⎛⎭⎫32-3=4-8＋27×827=4.一、选择题(每小题5分，共20分) 1．下列函数中，指数函数的个数为( )①y=⎝⎛⎭⎫12x-1；②y=a x (a>0，且a ≠1)；③y=1x ；④y=⎝⎛⎭⎫122x -1. A ．0个 B ．1个 C ．3个D ．4个解析： 由指数函数的定义可判定，只有②正确． 答案： B2．当a>0，且a ≠1时，函数f(x)=a x ＋1-1的图象一定过点( )A ．(0,1)B ．(0，-1)C ．(-1,0)D ．(1,0)解析： 当x=-1时，显然f(x)=0，因此图象必过点(-1,0)． 答案： C3．函数y=16－4x 的值域是( ) A ．[0，＋∞) B ．[0,4] C ．[0,4)D ．(0,4)解析： 要使函数有意义，则16-4x ≥0.又因为4x >0，∴0≤16-4x <16，即函数y=16－4x 的值域为[0,4)． 答案： C4．函数f(x)=πx 与g(x)=⎝⎛⎭⎫1πx的图象关于( ) A ．原点对称 B ．x 轴对称 C ．y 轴对称D ．直线y=-x 对称解析：设点(x ，y)为函数f(x)=πx 的图象上任意一点，则点(-x ，y)为g(x)=π-x =⎝⎛⎭⎫1πx 的图象上的点．因为点(x ，y)与点(-x ，y)关于y 轴对称，所以函数f(x)=πx 与g(x)=⎝⎛⎭⎫1πx 的图象关于y 轴对称，选C.二、填空题(每小题5分，共15分) 5．已知函数f(x)=2a x－1＋3(a>0且a ≠1)，若f(1)=4，则f(-1)=________. 解析： 由f(1)=4得a=3，把x=-1代入f(x)=23x －1＋3得到f(-1)=0，故答案为0.答案： 06．函数y=2a x-2＋1(a>0，且a ≠1)的图象过定点________． 解析： 令x-2=0，解得x=2，则y=3.所以过定点(2,3)． 答案： (2,3)7．已知f(x)=a x ＋b 的图象如图，则f(3)=________. 解析： 由题意知，f(x)的图象过点(0，-2)和(2,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 0＋b ＝－2，a 2＋b ＝0，∴⎩⎨⎧a ＝3(a>0)，b ＝－3.∴f(x)=(3)x -3.∴f(3)=(3)3-3=33-3. 答案： 33-3三、解答题(每小题10分，共20分) 8．设f(x)=3x ，g(x)=⎝⎛⎭⎫13x .(1)在同一坐标系中作出f(x)、g(x)的图象；(2)计算f(1)与g(-1)，f(π)与g(-π)，f(m)与g(-m)的值，从中你能得到什么结论？ 解析： (1)函数f(x)与g(x)的图象如图所示：(2)f(1)=31=3，g(-1)=⎝⎛⎭⎫13-1=3；f(π)=3π，g(-π)=⎝⎛⎭⎫13-π=3π；f(m)=3m ，g(-m)=⎝⎛⎭⎫13-m =3m . 从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y 轴对称．9．求下列函数的定义域和值域：(1)y=21x-1；(2)y=⎝⎛⎭⎫132x 2-2. 解析： (1)要使y=21x -1有意义，需x ≠0，则21x ≠1；故21x -1>-1且21x -1≠0，故函数y=21x -1的定义域为{x|x ≠0}，函数的值域为(-1,0)∪(0，＋∞)．(2)函数y=⎝⎛⎭⎫132x 2-2的定义域为实数集R ，由于2x 2≥0，则2x 2-2≥-2. 故0<⎝⎛⎭⎫132x 2-2≤9，所以函数y=⎝⎛⎭⎫132x 2-2的值域为(0,9]．一、选择题(每小题5分，共20分)1．若a=⎝⎛⎭⎫34-13，b=⎝⎛⎭⎫34-14，c=⎝⎛⎭⎫32-14，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．c<a<b B ．c<b<a C ．a<b<cD ．b<c<a解析： 由y=⎝⎛⎭⎫34x 在R 上单调递减，知⎝⎛⎭⎫34-14<⎝⎛⎭⎫34-13，而⎝⎛⎭⎫32-14<1<⎝⎛⎭⎫34-14，所以⎝⎛⎭⎫32-14<⎝⎛⎭⎫34-14<⎝⎛⎭⎫34-13.即c<b<a. 答案： B2．函数y=⎝⎛⎭⎫121-x的单调递增区间为( ) A ．(-∞，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．(1，＋∞)D ．(0,1)解析： 定义域为R .设u=1-x ，则y=⎝⎛⎭⎫12u .∵u=1-x 在R 上为减函数，又∵y=⎝⎛⎭⎫12u 在(-∞，＋∞)上为减函数，∴y=⎝⎛⎭⎫121-x 在(-∞，＋∞)上是增函数． 答案： A3．已知0<a<1，b<-1，则函数y=a x ＋b 的图象必定不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限 解析： ∵0<a<1，∴y=a x 的图象不经过三、四象限． ∵b<-1，∴y=a x ＋b 的图象不经过第一象限． 答案： A4．已知f(x)=a -x (a>0且a ≠1)，且f(-2)>f(-3)，则a 的取值范围是( ) A ．a>0B ．a>1C ．a<1D ．0<a<1解析： ∵f(-2)=a 2，f(-3)=a 3，f(-2)>f(-3)，即a 2>a 3，故0<a<1.选D. 答案： D二、填空题(每小题5分，共15分)5．已知函数y=f(x)的定义域为(1,2)，则函数y=f(2x )的定义域为________． 解析： 由函数的定义，得1<2x <2⇒0<x<1，所以应填(0,1)． 答案： (0,1)6．满足方程4x ＋2x -2=0的x 值为________．解析： 设t=2x (t>0)，则原方程化为t 2＋t-2=0，∴t=1或t=-2. ∵t>0，∴t=-2舍去．∴t=1，即2x =1，∴x=0. 答案： 07．定义运算a ⊗b=⎩⎪⎨⎪⎧b (a ≥b )，a (a<b )，则函数f(x)=3-x ⊗3x 的值域为________．解析：由题设可得f(x)=3-x ⊗3x=⎩⎪⎨⎪⎧3－x(x>0)，3x (x ≤0)，其图象如图实线所示，由图知函数f(x)的值域为(0,1]．答案： (0,1]三、解答题(每小题10分，共20分) 8．比较下列各组值的大小：(1)1.8-0.1,1.8-0.2；(2)1.90.3,0.73.1； (3)a 1.3，a 2.5(a>0，且a ≠1)．解析：(1)由于1.8>1，所以指数函数y=1.8x ，在R 上为增函数．所以1.8-0.1>1.8-0.2. (2)因为1.90.3>1,0.73.1<1，所以1.90.3>0.73.1. (3)当a>1时，函数y=a x 是增函数，此时a 1.3<a 2.5， 当0<a<1时，函数y=a x 是减函数，此时a 1.3>a 2.5， 故当0<a<1时，a 1.3>a 2.5，当a>1时，a 1.3<a 2.5.9．已知函数f(x)=a x 在x ∈[-2,2]上恒有f(x)<2，求a 的取值范围． 解析：当a>1时，函数f(x)=a x 在[-2,2]上单调递增，此时f(x)≤f(2)=a 2， 由题意可知a 2<2，即a<2，所以1<a< 2.当0<a<1时，函数f(x)=a x 在[-2,2]上单调递减，此时f(x)≤f(-2)=a -2， 由题意可知a -2<2，即a>22，所以22<a<1.综上所述，所求a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫22，1∪(1，2)． 能力测评10．函数y=a x 在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y=2ax-1在[0,1]上的最大值是( ) A ．6 B ．1 C ．3D.32解析：函数y=a x 在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a 0＋a 1=3，解得a=2.因此函数y=2ax-1=4x-1在[0,1]上是单调递增函数，当x=1时，y max =3. 答案： C11．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．解析：假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y 与生长时间的函数关系为y=2x-1，当x=20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半． 答案：1912．已知函数f(x)=ax 2-1(a>0且a ≠1)．(1)若函数f(x)的图象经过点P(3，4)，求a 的值； (2)判断并证明函数f(x)的奇偶性；(3)比较f(-2)与f(-2.1)的大小，并说明理由．解析： (1)∵函数f(x)的图象经过点P(3，4)，∴f(3)=a 2=4，∴a=2.(2)函数f(x)为偶函数．∵函数f(x)的定义域为R ，且f(-x)=a(-x)2-1=ax 2-1=f(x)，∴函数f(x)为偶函数． (3)∵y=x 2-1在(-∞，0)上单调递减，∴当a>1时，f(x)在(-∞，0)上单调递减，∴f(-2)<f(-2.1)； 当0<a<1时，f(x)在(-∞，0)上单调递增，∴f(-2)>f(-2.1)． 13．已知函数f(x)=1＋22x －1.(1)求函数f(x)的定义域；(2)证明函数f(x)在(-∞，0)上为减函数．解析：(1)由f(x)=1＋22x －1可得，2x -1≠0，所以x ≠0.所以函数f(x)的定义域为{x|x ∈R 且x ≠0}．(2)设x 1，x 2∈(-∞，0)且x 1<x 2.f(x 1)-f(x 2)=22x 1－1-22x 2－1=2(2x 2－2x 1)(2x 1－1)(2x 2－1)因为x 1，x 2∈(-∞，0)且x 1<x 2，所以2x 2>2x 1且2x 1<1,2x 2<1.所以f(x 1)-f(x 2)>0， 即f(x 1)>f(x 2)．以函数f(x)在(-∞，0)上为减函数．。
人教A版高中数学同步辅导与检测必修一第一章章末复习课
第一章章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．正确认识集合与元素的概念(1)解决集合问题的前提条件：认清集合中元素的属性(是点集、数集或是其他类型的集合)．(2)正确区分两种关系：元素与集合之间的从属关系，以及集合与集合之间的包含关系．2．处理集合问题的三个易错点(1)在写集合的子集或进行集合的运算时，易忽视集合是空集的情形，如A⊆B(B≠∅)中，要对A＝∅和A≠∅进行分类讨论．(2)运用数轴表示集合时，易忽视端点是否属于集合的情形，即表示为实心点还是空心点．(3)在解决含参数的集合问题时，易忽视检验而不满足元素的互异性致误．3．关注换元法中“新元”的范围在用换元法求函数解析式或求函数值域时，要注意“新元”的范围，“新元”的范围一般是由被替换的表达式的范围所确定．4．函数单调性定义应用中的两个易错点(1)忽视x1与x2是所给区间I上的任意两个值，而用该区间上的两个特殊值代替．(2)易出现循环论证的错误，即用所要证明的结论作为论证该问题的依据．5．判断函数奇偶性时的注意点一般不化简解析式，若要化简，应注意化简前后的等价性.(对应学生用书P39)专题一集合间的关系与运算集合的运算是指集合间的交、并、补集三种常见的运算，具体数集的运算一般采用数轴法，而抽象集合的运算采用Venn图法．在解含参数的集合问题时，一般要对参数进行讨论，分类时一定要标准统一，做到“不重不漏”．[例1](1)(2016·天津卷)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{y|y＝2x －1，x∈A}，则A∩B＝()A．{1，3}B．{1，2}C．{2，3} D．{1，2，3}(2)已知集合M＝{x|－1<x<2}，N＝{x|x<a}，若M⊆N，则实数a 的取值范围是()A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)C．(－∞，2) D．[－1，＋∞)解析：(1)因为A＝{1，2，3}，所以B＝{y|y＝2x－1，x∈A}＝{1，3，5}，所以A∩B＝{1，3}．(2)因为M⊆N，所以2≤a，即a≥2，所以实数a的取值范围是[2，＋∞)．答案：(1)A(2)B归纳升华1．集合是由元素构成的，从研究集合中元素的构成入手，是求解结合运算问题的前提．2．用不等式表示的集合问题，常用数轴的直观性求解，特别要注意不等式边界值的取舍，含参数时要注意对集合是否为空集进行讨论．[变式训练](1)(2016·浙江卷改编)已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x≤－2或x≥2}，则P∪(∁R Q)＝() A．[2，3] B．(－2，3]C．[1，2) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)(2)如图所示，U为全集，A，B为U的子集，则图中阴影部分表示的是()A．(∁U B)∪A B．A∩(∁U B)C．(∁U A)∩B D．A∩B解析：(1)因为Q＝{x∈R|x≤－2或x≥2}，所以∁R Q ＝{x ∈R|x 2<4}＝{x |－2<x <2}．因为P ＝{x ∈R|1≤x ≤3}，所以P U(∁R Q )＝{x |－2<x ≤3}＝(－2，3]．(2)阴影中的任意元素x 满足x ∈A 但x ∉B ，故x ∈A ∩(∁U B )．答案：(1)C (2)B专题二 函数的概念函数的概念是建立在两个非空数集上的，定义域、值域和对应法则是函数的三要素．其中，定义域是研究函数问题的前提条件，而求函数的解析式、定义域、值域(最值)问题是高考的重点和热点．[例2] (1)函数y ＝21－1－x的定义域为( ) A ．(－∞，1) B ．(－∞，0)∪(0，1]C ．(－∞，0)∪(0，1)D ．[1，＋∞)(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，4x ，x <0，若f (a )＝2，则实数a ＝________． 解析：(1)要使函数有意义，则⎩⎨⎧1－x ≥0，1－1－x ≠0，即x ≤1，且x ≠0.(2)因为当a ≥0时，f (a )＝a ＋1＝2，所以a ＝1.所以当a <0时，f (a )＝4a ＝2，所以a ＝12(舍去)． 答案：(1)B (2)1归纳升华1．函数的定义域，是使得每一个含自变量的式子有意义的自变量的取值集合，因此，求函数的定义域可转化为求不等式组的解集．2．分段函数f (x )在x 的不同取值范围内对应关系不同，求函数值或值域时要分段求解．[变式训练] (1)若函数f (x )的定义域是[0，1]，则函数f (2x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13的定义域为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，23 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13 (2)若函数y ＝f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，则函数F (x )＝f (x )＋1f （x ）的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，103 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3，103 解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤1，0≤x ＋13≤1，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤12，－13≤x ≤23， 所以x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12. (2)令t ＝f (x )，则12≤t ≤3，由函数g (t )＝t ＋1t 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上是减函数，在[1，3]上是增函数，且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝52，g (1)＝2，g (3)＝103，可得值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103.答案：(1)C (2)B专题三 函数的单调性与奇偶性函数的单调性是函数最重要的性质，函数的奇偶性是研究图象的有力工具．函数单调性与奇偶性的判定，利用奇偶性做函数的图象，利用单调性求函数的值域(最值)，求解不等式或参数的取值范围是学习的重点．[例3] 已知函数f (x )＝mx 2＋23x ＋n 是奇函数，求f (2)＝53.(1)求实数m 和n 的值；(2)求函数f (x )在区间[－2，－1]上的最值．解：(1)因为f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以mx 2＋2－3x ＋n ＝－mx 2＋23x ＋n ＝mx 2＋2－3x －n ，比较得n ＝－n ，即n ＝0.又f (2)＝53，所以4m ＋26＝53，解得m ＝2.因此，实数m 和n 的值分别为2和0.(2)由(1)知f (x )＝2x 2＋23x ＝2x 3＋23x ，任取x 1，x 2∈[－2，－1]，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝23(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 1x 2＝23(x 1－x 2)·x 1x 2－1x 1x 2.因为－2≤x 1<x 2≤－1时，所以x 1－x 2<0，x 1x 2>1，x 1x 2－1>0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．所以函数f (x )在[－2，－1]上为增函数，因此f (x )max ＝f (－1)＝－43， f (x )min ＝f (－2)＝－53. 归纳升华1．单调性是函数的重要性质，某些数学问题通过函数的单调性可将函数值间的关系转化为自变量之间的关系进行研究，从而达到化繁为简的目的，特别是在比较大小、证明不等式、求值域、求最值、解方程(组)等方面，应用十分广泛．2．奇偶性是函数的又一重要性质，利用奇偶函数图象的对称性，可缩小问题研究的范围，常能使求解的问题避免复杂的讨论．[变式训练] (1)已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)＝( )A ．4B ．3C ．2D ．1(2)函数y ＝x 2＋2x －3的单调递减区间是__________________． 解析：(1)f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，所以－f (1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (1)＝4，联立解得g (1)＝3.(2)由x 2＋2x －3≥0，得x ≥1或x ≤－3，所以函数减区间为(－∞，－3]．答案：(1)B (2)(－∞，－3]专题四 数形结合思想的应用数形结合思想是研究集合、函数的重要思想．本章中涉及数形结合的知识点：借助Venn 图、数轴研究集合的交集、并集、补集；借助函数图象研究函数的单调性、对称性、奇偶性等性质．[例4] 对于函数f (x )＝x 2－2|x |.(1)判断其奇偶性，并指出图象的对称性；(2)画此函数的图象，并指出单调区间和最小值．解：(1)函数的定义域为R ，关于原点对称，f (－x )＝(－x )2－2|－x |＝x 2－2|x |，则f (－x )＝f (x )，所以f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称．(2)f (x )＝x 2－|x |＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≥0，x 2＋2x ，x <0，即f (x )＝⎩⎨⎧（x －1）2－1，x ≥0，（x ＋1）2－1，x <0.画出图象如图所示，根据图象知，函数f (x )的最小值是－1.单调增区间是[－1，0]，[1，＋∞)；减区间是(－∞，－1]，[0，1]．归纳升华1．在画函数图象时，将函数解析式进行等价变形变为几种常见函数(一次函数、二次函数、反比例函数等)，再作出图象．2．根据函数的图象，借助几何直观图求函数的单调区间和最小值，体现了数形结合思想．[变式训练] (1)若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是递减，且f (－2)＝0，如图所示，则使得f (x )<0的x 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2，2)(2)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋4，x <－1，－2x ＋5，－1，≤x <1，3，x ≥1的值域是____________． 解析：(1)由图(图略)可得在(－∞，0]上，f (x )<0的解集为(－2，0]．因为f (x )为偶函数，所以x 的取值范围为(－2，2)．(2)作出函数图象如图所示，由图象知，函数的值域为[3，＋∞)．答案：(1)D (2)[3，＋∞)。
2018年秋高中数学人教A版必修一 模块综合测评B卷
(时间:120 分钟 满分:150 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
1.已知集合 U={1,3,5,7,9},A={1,5,7},则∁UA=
A.{1,3}
B.{3,7,9}
C.{3,5,9}
D.{3,9}
(
)
(
)
解析:∵U={1,3,5,7,9},A={1,5,7},
13.已知 A={y|y=3x},B={x|y=ln(2-x)},则 A∩B=
.
解析:A={y|y=3x}=(0,+∞),B={x|y=ln(2-x)}=(-∞,2),则 A∩B=(0,2).
答案:(0,2)
+
,x∈(-∞,b)∪(b+2,+∞)是奇函数,则
22 -1
导学号 03814075 若函数 f(x)=
所以-1<m≤-1.
2
答案: -1,- 1
2
16.已知定义域为 R 的奇函数 f(x)在(0,+∞)上是增函数,且 f - 1 =0,则不等式 f(log4x)>0 的解集
2
是
.
解析:定义域为 R 的奇函数 f(x)在(0,+∞)上是增函数,且 f - 1 =0,
2
可得 f(x)在(-∞,0)上是增函数,且 f 1 =-f - 1 =0,
故 C 不正确.D 选项,y=log3(-x),其图象与 y=log3x 的图象关于 y 轴对称,故 D 选项不正确.综上可知选
B.
答案:B
导学号 038140742016 年在云南昭通举行的翼装飞行世界杯总决赛中,某翼人空中
12.
高速飞行,如图反映了他从某时刻开始的 15 分钟内的速度 v(x)与时间 x 的关系,若定义“速度差函
2018年秋高中数学 模块综合测评 新人教A版必修1
模块综合测评(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，则下列结论中正确的是( )【导学号：37102419】A ．A ⊆B B ．A ∩B ＝{2}C ．A ∪B ＝{1,2,3,4,5}D ．A ∩(∁U B )＝{1}D [A 显然错误；A ∩B ＝{2,3}，B 错；A ∪B ＝{1,2,3,4}，C 错，故选D.]2．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x <2，log 3x－，x ≥2则f (f (2))等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3C [∵f (2)＝log 3(22－1)＝1.∴f (f (2))＝f (1)＝2e1－1＝2.]3．函数f (x )＝2x＋x 的零点所在的一个区间是( ) 【导学号：37102420】A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)B [∵f (－1)＝12－1＝－12<0，f (0)＝20＝1>0，且f (x )单调递增，故零点在(－1,0)内，选B.]4．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1xD [y ＝10lg x＝x ，定义域与值域均为(0，＋∞)．y ＝x 的定义域和值域均为R ；y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为R ； y ＝2x 的定义域为R ，值域为(0，＋∞)； y ＝1x的定义域与值域均为(0，＋∞)．故选D.]5．函数y ＝log 2|1－x |的图象是( )【导学号：37102421】A B C DD [函数y ＝log 2|1－x |可由下列变换得到：y ＝log 2x →y ＝log 2|x |→y ＝log 2|x －1|→y ＝log 2|1－x |.故选D.]6．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则log 2f (2)的值为( )A.12 B ．－12C ．2D ．－2A [设f (x )＝x α，则22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α，∴α＝12，f (2)＝212，所以log 2f (2)＝log 2212＝12.]7．下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上是增函数的是( )【导学号：37102422】A ．f (x )＝1x2B ．f (x )＝x 2＋1 C ．f (x )＝x 3D ．f (x )＝2－xA [由偶函数的定义知，A ，B 项均为偶函数．A 选项，令x 1<x 2<0，f (x 1)－f (x 2)＝1x 21－1x 22＝x 22－x 21x 21x 22，∵x 1<x 2<0，∴x 21>x 22>0，∴x 22－x 21<0. ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．∴f (x )＝1x2在(－∞，0)上单调递增，A 符合；B 选项，f (x )＝x 2＋1对称轴为x ＝0，开口向上， ∴f (x )＝x 2＋1在(－∞，0)上单调递减．] 8．设x >y >1,0<a <1，则下列关系正确的是( ) A ．x －a>y －a B ．ax <ay C ．a x<a yD ．log a x >log a yC [对于A ，由0<a <1，可知－1<－a <0，因此函数y ＝x －a为减函数，所以由x >y >1得到x －a<y －a，A 不正确；对于B ，由x >y >1,0<a <1，得ax >ay ，B 不正确；对于C 、D ，由于0<a <1，所以函数y ＝a x以及y ＝log a x 均为减函数，所以由x >y >1可得a x <a y及log a x <log a y ，所以C 正确，D 不正确．所以选C.] 9．已知函数f (x )＝1＋x21－x2，则有( )【导学号：37102423】A ．f (x )是奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－f (x ) B ．f (x )是奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝f (x ) C ．f (x )是偶函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x ) D ．f (x )是偶函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝f (x ) C [∵f (－x )＝f (x )， ∴f (x )是偶函数，排除A 、B.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＝1＋x 2x 2－1＝－f (x )，故选C.] 10．已知对数函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)在区间[2,4]上的最大值与最小值之积为2，则a 等于( ) A.12 B.12或2 C ．2 2D ．2B [对数函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)在区间[2,4]上的最大值与最小值之积为2， ①当0<a <1时，log a 2·log a 4＝2(log a 2)2＝2， 所以log a 2＝±1，当log a 2＝1时，a ＝2(舍)；当log a 2＝－1时，a ＝12.②当a >1时，log a 2·log a 4＝2(log a 2)2＝2， 所以log a 2＝±1，当log a 2＝1时，a ＝2；当log a 2＝－1时，a ＝12(舍)．综上，a 的值为12或2.]11．用二分法求函数f (x )＝3x－x －4的零点时，其参考数据如表所示．【导学号：37102424】A ．1.55B ．1.56C ．1.57D ．1.58B [由表可知，f (1.562 5)＝0.003>0，f (1.556 2)＝－0.002 9<0，所以函数f (x )＝3x－x －4的一个零点在区间(1.556 2,1.562 5)上， 故函数的一个零点的近似值(精确到0.01)为1.56.]12．已知当x ∈[0,1]时，函数y ＝(mx －1)2的图象与y ＝x ＋m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是( ) A ．(0,1]∪(23，＋∞) B ．(0,1]∪[3，＋∞) C ．(0，2]∪[23，＋∞)D ．(0，2]∪[3，＋∞)B [在同一直角坐标系中，分别作出函数f (x )＝(mx －1)2＝m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1m 2与g (x )＝x ＋m 的大致图象．分两种情形：。
2018-2019学年人教A版必修一 第一章集合 章末复习 课件(45张)
类型一
集合的综合运算
例1 已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}. (1)若(∁RA)∪B＝R，求a的取值范围； 解 ∵A＝{x|0≤x≤2}， ∴∁RA＝{x|x<0或x>2}. ∵(∁RA)∪B＝R.(如图)
a≤0， ∴ a＋3≥2，
∴－1≤a≤0.即a的取值范围是[－1,0].
3.数学四大思想：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合思想， 本章用到以下思想方法： (1)函数与方程思想体现在函数解析式部分，将实际问题中的条件转化为数 学模型，再通过研究函数性质解决诸如最大、最优等问题. (2)转化与化归主要体现在集合部分符号语言、文字语言、图形语言的转化， 函数中求定义域大多转化成解不等式，求值域大多可以化归为求二次函数 等基本函数的值域. (3)分类讨论主要体现在集合中对空集和区间端点的讨论，函数中主要是欲 去绝对值而正负不定，含参数的函数式的各种性质的探讨. (4)数形结合主要体现在用数轴求并交补集，借助函数图象研究函数性质.
[思考辨析 判断正误] 1.函数的定义域、值域都是集合.( √ ) 2.如果设全集U＝{映射}，A＝{函数}，B＝{奇函数}，C＝{偶函数}， 则AU，B∪C＝A.( × ) 3.直线x＝a与函数y＝f(x)至多有一个交点.( √ ) 4.直线y＝b与R上的增函数至多有一个交点.( √ )
题型探究
f(f(1))＝f
解答
1 (3)解不等式 f(x＋1)>4.
解答
反思与感悟
分段函数也是对应关系f的一种，在此对应f，仍整体上
构成一个函数，故分段函数的定义域、值域分别只有一个集合，但 在具体对应层面不论是由x求y，还是由y求x，都要按分段标准对号入 座各行其道.
2018版高中数学人教版A版必修一学案：第一单元 章末复习课 Word版含答案 (6)
§1.3 函数的基本性质1.3.1 单调性与最大(小值)第1课时 函数的单调性学习目标 1.理解单调区间、单调性等概念，会用定义证明函数的单调性(重点、难点).2.会求函数的单调区间，判断单调性(重点)．预习教材P27－P28，完成下面问题： 知识点1 增函数与减函数设函数f (x )的定义域为I ，D ⊆I ，对任意x 1，x 2∈D【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知f (x )＝1x，因为f (－1)<f (2)，所以函数f (x )是增函数．( )(2)增减函数定义中的“任意两个自变量的值x 1，x 2”可以改为“存在两个自变量的值x 1，x 2”．( )(3)若函数f (x )在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f (x )在区间(1,3)上为增函数．( ) 提示 (1)× 由函数单调性的定义可知，要证明一个函数是增函数，需对定义域内的任意的自变量都满足自变量越大，函数值也越大，而不是个别的自变量．(2)× 不能改为“存在两个自变量的值x 1、x 2”．(3)× 反例：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈(1，2]，x －4，x ∈(2，3).知识点2 函数的单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．【预习评价】(1)函数f (x )＝x 2＋2x －3的单调减区间是________． (2)函数y ＝|x |在区间[－2，－1]上( ) A ．递减B ．递增C ．先减后增D ．先增后减解析 (1)二次函数f (x )的图象开口向上，对称轴为x ＝－1，故其单调减区间是(－∞，－1)．(2)函数y ＝|x |的单减区间是(－∞，0)，又[－2，－1]⊆(－∞，0)，所以函数y ＝|x |在区间[－2，－1]上递减．答案 (1)(－∞，－1) (2)A题型一 求函数的单调区间【例1】 (1)如图所示的是定义在区间[－5,5]上的函数y ＝f (x )的图象，则函数的单调递减区间是________、________，在区间________、________上是增函数．(2)画出函数y ＝－x 2＋2|x |＋1的图象并写出函数的单调区间．(1)解析 观察图象可知，y ＝f (x )的单调区间有[－5，－2]，[－2,1]，[1,3]，[3,5]．其中y ＝f (x )在区间[－5，－2]，[1,3]上是增函数，在区间[－2,1]，[3,5]上是减函数．答案 [－2,1] [3,5] [－5，－2] [1,3](2)解 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x <0.函数的大致图象如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0,1]，单调减区间为[－1,0]，[1，＋∞)．规律方法 根据函数的图象求函数单调区间的方法 (1)作出函数图象；(2)把函数图象向x 轴作正投影；(3)图象上升对应增区间，图象下降对应减区间． 【训练1】 函数y ＝1x －1的单调减区间是________．解析 y ＝1x －1的图象可由函数y ＝1x 的图象向右平移一个单位得到，如图所示，其单调递减区间是(－∞，1)和(1，＋∞)．答案 (－∞，1)，(1，＋∞) 题型二 证明函数的单调性【例2】 证明函数f (x )＝x ＋4x 在区间(2，＋∞)上是增函数．证明 任取x 1，x 2∈(2，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋4x 1－x 2－4x 2＝(x 1－x 2)＋4(x 2－x 1)x 1x 2＝(x 1－x 2)x 1x 2－4x 1x 2.因为2<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，x 1x 2>4，x 1x 2－4>0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)．所以函数f (x )＝x ＋4x 在(2，＋∞)上是增函数．规律方法 利用定义证明函数单调性的步骤【训练2】 证明函数f (x )＝1x 2在(－∞，0)上是增函数．证明 设x 1，x 2是区间(－∞，0)上任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1x 21－1x 22＝x 22－x 21x 21x 22＝(x 2－x 1)(x 2＋x 1)x 21x 22. 因为x 1<x 2<0，所以x 2－x 1>0，x 1＋x 2<0，x 21x 22>0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 所以函数f (x )＝1x 2在(－∞，0)上是增函数．题型三 用单调性解不等式【例3】 已知函数y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，求实数a 的取值范围．解 由题知⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a <1，－1<2a －1<1，1－a >2a －1，解得0<a <23，即所求a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，23. 规律方法 利用函数的单调性解不等式的方法当函数f (x )的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f ”脱掉，列出关于未知量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域．【训练3】 已知函数f (x )为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f (x )<f ⎝⎛⎭⎫12的实数x 的取值范围是________．解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x <12，解得－1≤x <12.答案 ⎣⎡⎭⎫－1，12．答案 (－∞，0)【探究2】 已知函数y ＝x 2＋2ax ＋3在区间(－∞，1]上是减函数，则实数a 的取值范围是________．解析 函数y ＝x 2＋2ax ＋3的图象开口向上，对称轴为x ＝－a ，要使其在区间(－∞，1]上是减函数，则－a ≥1，即a ≤－1.答案 (－∞，－1]【探究3】 分别作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋5，x ≤1，－2x ＋3，x >1和g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋5，x ≤1，－2x ＋7，x >1的图象，并根据其图象的变化趋势判断它们在(－∞，＋∞)上的单调性．解 函数f (x )的图象如图(1)所示，由其图象可知f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数； 函数g (x )的图象如图(2)所示，由其图象可知g (x )在(－∞，＋∞)上既不是增函数，也不是减函数．【探究4】 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋5，x ≤1，－2x ＋a ，x >1是减函数，求实数a 的取值范围．解 由题意得，要使f (x )是减函数，需－2×1＋5≥－2×1＋a ，即a ≤5.【探究5】 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ＋3，x ≤1，ax ＋1，x >1是减函数，求实数a 的取值范围．解 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧－a ≥1，a <0，12＋2a ×1＋3≥a ×1＋1，解得－3≤a ≤－1，则实数a 的取值范围是[－3，－1]．规律方法 已知函数的单调性求参数的关注点(1)视参数为已知数，依据基本初等函数的单调性、函数的图象或函数的单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知的单调区间比较求参数；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的函数值的大小关系．课堂达标1．下列函数在区间(0，＋∞)上不是增函数的是( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝x 2＋1 C ．y ＝3－xD ．y ＝x 2＋2x ＋1解析 函数y ＝3－x 在区间(0，＋∞)上是减函数． 答案 C2．函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的单调减区间是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，2)D ．(2，＋∞)解析 易知函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3是图象开口向下的二次函数，其对称轴为x ＝1，所以其单调减区间是(1，＋∞)．答案 B3．若f (x )＝(2k －3)x ＋2是R 上的增函数，则实数k 的取值范围是________． 解析 由题意得2k －3>0，即k >32，故k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫32，＋∞. 答案 ⎝⎛⎭⎫32，＋∞ 4．若函数f (x )是R 上的减函数，且f (a －1)>f (2a )，则a 的取值范围是________． 解析 由条件可知a －1<2a ，解得a >－1. 答案 (－1，＋∞)5．证明f (x )＝x 2＋x 在(0，＋∞)上是增函数．证明 设x 1>x 2>0，则f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋x 1－x 22－x 2＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋(x 1－x 2)＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋1)，因为x 1>x 2>0，所以x 1－x 2>0，x 1＋x 2＋1>0，所以f (x 1)－f (x 2)>0， 即f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )＝x 2＋x 在(0，＋∞)上是增函数．课堂小结1．对函数单调性的理解(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性．(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x 1，x 2有以下几个特征：一是任意性，即任意取x 1，x 2，“任意”二字绝不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x 1<x 2；三是属于同一个单调区间．(3)单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系正逆互推，即由f(x)是增(减)函数且f(x1)<f(x2)⇔x1<x2(x1>x2)．(4)并不是所有函数都具有单调性．若一个函数在定义区间上既有增区间又有减区间，则此函数在这个区间上不存在单调性．2．单调性的证明方法证明f(x)在区间D上的单调性应按以下步骤：(1)设元：设x1，x2∈D且x1<x2；(2)作差：将函数值f(x1)与f(x2)作差；(3)变形：将上述差式(因式分解、配方等)变形；(4)判号：对上述变形的结果的正、负加以判断；(5)定论：对f(x)的单调性作出结论．其中变形为难点，变形一定要到位，即变形到能简单明了的判断符号的形式为止，切忌变形不到位就定号．。
人教A版数学必修一第一章章末复习方案与全优评估.pptx
4．函数的单调性 函数的单调性是在定义域内讨论的，若要证明f(x)在 区间[a，b]上是增函数或减函数，必须证明对[a，b]上的 任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时都有f(x1)＜f(x2)或 f(x1)＞f(x2)成立；若要证明f(x)在区间[a，b]上不是单调函 数，只要举出反例，即只要找到两个特殊的x1，x2，不满 足定义即可．单调函数具有下面性质：设函数f(x)定义在 区间I上，且x1，x2∈I，则
解：(1)证明：∵f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1 ＝x2－2|x|－1＝f(x)，即f(－x)＝f(x)． 又∵－3≤x≤3，关于原点对称， ∴f(x)是偶函数． (2)当x≥0时， f(x)＝x2－2x－1＝(x－1)2－2， 当x＜0时，f(x)＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2，
即 f(x)＝（（xx－＋11））22－－22
[借题发挥] (1)依据数形结合的数学思想，利用数轴分析法是解决有关 交集、并集问题，特别是一些字母范围问题的常用方法． (2)若A∩B＝∅，则集合A、B可能的情况为：
①A、B均为空集； ②A与B中只有一个是空集； ③A、B虽然非空但无公共元素．
3．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∩(∁RB)＝( )
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考点一 考点二 考点三 考点四 考点五
1．集合的“三性” 正确理解集合元素的三性，即确定性、互异性和无序
性．在集合运算中，常利用元素的互异性检验所得的结论 是否正确，因互异性易被忽略，在解决含参数集合问题时 应格外注意．
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章末综合测评(一) 集合与函数概念(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合M ＝{x |－3<x <1}，N ＝{－3，－2，－1,0,1}，则M ∩N 等于( ) A ．{－2，－1,0,1} B ．{－3，－2，－1,0} C ．{－2，－1,0}D ．{－3，－2，－1}C [M ∩N ＝{－2，－1,0}，故选C.]2．设集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{3,4,5}，全集U ＝A ∪B ，则集合∁U (A ∩B )的元素个数为( )【导学号：37102191】A ．1B ．2C ．3D ．4C [∵A ＝{1,2,3,4}，B ＝{3,4,5}， ∴A ∪B ＝{1,2,3,4,5}，A ∩B ＝{3,4}， ∴∁U (A ∩B )＝{1,2,5}， 故∁U (A ∩B )共有3个元素．]3．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3}，则( ) A ．A ＝B B ．A ∩B ＝∅ C ．A BD ．B AD [∵A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3}，∴B A ，故选D.]4．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2－12x ，则f (1)＝( )【导学号：37102192】A ．－32B ．－12 C.32D ．12A [因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (1)＝－f (－1)＝－32.]5．函数f (x )＝1＋x ＋x1－x 的定义域是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－∞，－1]C ．[－1,1)∪(1，＋∞)D ．RC [由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ≥0，1－x ≠0，得x ≥－1且x ≠1，即定义域为[－1,1)∪(1，＋∞)．]6．下列函数中，既是偶函数，又在(0，＋∞)上单调递减的函数是( )【导学号：37102193】A ．y ＝x －2B ．y ＝x －1C ．y ＝x 2D ．y ＝x 13A [由函数是偶函数可排除选项B ，D ，又函数在(0，＋∞)上单调递减，所以排除C ，故选A.]7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x ＞1，则f (f (3))＝________.A.15 B ．5 C.23D.139D [f (3)＝23，f (f (3))＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋1＝139.]8．下列各组函数相等的是( )【导学号：37102194】A ．y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1B ．y ＝x 0和y ＝1(x ∈R )C ．y ＝x 2和y ＝(x ＋1)2D ．f (x )＝(x )2x 和g (x )＝x(x )2D [A ，B 选项中，两个函数的定义域不相同，故A ，B 错误；C 选项的对应关系不同，故C 错误；D 选项的两个函数定义域、对应关系都相同，故选D 项．]9．已知函数f (x )＝1x 在区间[1,2]上的最大值为A ，最小值为B ，则A －B 等于( ) A.12 B ．－12 C ．1D ．－1A [∵f (x )＝1x 在[1,2]上是减函数， ∴A ＝f (1)＝1，B ＝f (2)＝12， ∴A －B ＝1－12＝12.]10．若函数f (x )＝ax 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上为减函数，则a 的取值范围为( )【导学号：37102195】A ．0<a ≤15 B ．0≤a ≤15 C ．0<a <15D ．a >15B [当a ≠0时，函数f (x )的对称轴为x ＝－a －1a ， ∵f (x )在(－∞，4]上为减函数，∴图象开口朝上，a >0且－a －1a ≥4，得0<a ≤15.当a ＝0时，f (x )＝－2x ＋2，显然在(－∞，4]上为减函数．] 11．若f (x )满足f (－x )＝f (x )在区间(－∞，－1]上是增函数，则( ) A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f (－1)<f (2)B ．f (－1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f (2)C ．f (2)<f (－1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32D ．f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f (－1)D [由已知可得函数f (x )在区间[1，＋∞)上是减函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f (－1)＝f (1)．∵1<32<2，∴f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32>f (2)，即f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f (－1)．]12．函数f (x )是定义在R 上的奇函数，下列命题： ①f (0)＝0；②若f (x )在[0，＋∞)上有最小值－1，则f (x )在(－∞，0]上有最大值1； ③若f (x )在[1，＋∞)上为增函数，则f (x )在(－∞，－1]上为减函数；④若x >0时，f (x )＝x 2－2x ，则x <0时，f (x )＝－x 2－2x .其中正确命题的个数是( )【导学号：37102196】A ．1B ．2C ．3D ．4C [f (x )在R 上的奇函数，则f (0)＝0，①正确；其图象关于原点对称，且在对称区间上具有相同的单调性，最值相反且互为相反数，所以②正确，③不正确；对于④，x <0时，－x >0，f (－x )＝(－x )2－2(－x )＝x 2＋2x ，又f (－x )＝－f (x )，所以f (x )＝－x 2－2x ，即④正确．]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．若A ＝{－2,2,3,4}，B ＝{x |x ＝t 2，t ∈A }，用列举法表示集合B 为________． {4,9,16} [由A ＝{－2,2,3,4}，B ＝{x |x ＝t 2，t ∈A }，得B ＝{4,9,16}．]14．若函数f (x )＝(a －2)x 2＋(a －1)x ＋3是偶函数，则f (x )的增区间是________.【导学号：37102197】(－∞，0] [∵函数f (x )＝(a －2)x 2＋(a －1)x ＋3是偶函数，∴a －1＝0，∴f (x )＝－x 2＋3，其图象是开口方向朝下，以y 轴为对称轴的抛物线．故f (x )的增区间为(－∞，0]．]15．设f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1＝x ，则f (x )＝________.1x ＋1(x >－1) [令t ＝1x －1，解得x ＝1t ＋1，代入得f (t )＝1t ＋1，又因为x >0，所以t >－1，故f (x )的解析式为f (x )＝1x ＋1(x >－1)．]16．已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上是减函数，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________.【导学号：37102198】(－1,3)[∵f(x)是偶函数，∴其图象关于y轴对称．又f(2)＝0，且f(x)在[0，＋∞)上单调递减，则f(x)的大致图象如图所示，由f(x－1)>0，得－2<x－1<2，即－1<x<3.]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)全集U＝R，若集合A＝{x|3≤x<8}，B＝{x|2<x≤6}(结果用区间表示)．(1)求A∩B，A∪B，(∁U A)∩(∁U B)；(2)若集合C＝{x|x>a}，A⊆C，求a的取值范围．[解](1)∵A＝{x|3≤x<8}，B＝{x|2<x≤6}，∴A∩B＝[3,6]，A∪B＝(2,8)，(∁U A)∩(∁U B)＝(－∞，2)∪[8，＋∞)．(2)∵A＝{x|3≤x<8}，C＝{x|x>a}．又A⊆C，如图，∴a的取值范围为{a|a<3}．18．(本小题满分12分)设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围.【导学号：37102199】[解]由f(m)＋f(m－1)>0，得f(m)>－f(m－1)，即f(1－m)<f(m)．又∵f(x)在[0,2]上为减函数，且f(x)在[－2,2]上为奇函数，∴f(x)在[－2,2]上为减函数，∴⎩⎨⎧－2≤1－m ≤2，－2≤m ≤2，1－m >m ，即⎩⎪⎨⎪⎧－1≤m ≤3，－2≤m ≤2，m <12，解得－1≤m <12，因此实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12. 19．(本小题满分12分)设A ＝{x |2x 2＋ax ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋3x ＋2a ＝0}，且A ∩B ＝{2}．(1)求a 的值及集合A ，B ；(2)设全集U ＝A ∪B ，求(∁U A )∪(∁U B )； (3)写出(∁U A )∪(∁U B )的所有子集．[解] (1)由交集的概念易得2是方程2x 2＋ax ＋2＝0与x 2＋3x ＋2a ＝0的公共解，则a ＝－5，此时A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，B ＝{－5,2}． (2)由并集的概念易得U ＝A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12，2.由补集的概念易得∁U A ＝{－5}，∁U B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，所以(∁U A )∪(∁U B )＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12. (3)(∁U A )∪(∁U B )的所有子集即为集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12的所有子集：∅，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，{－5}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12.20．(本小题满分12分)已知f (x )是R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2－x －1. (1)求f (x )的解析式；(2)作出函数f (x )的图象(不用列表)，并指出它的增区间.【导学号：37102200】[解] (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝(－x )2－(－x )－1＝x 2＋x －1. 又因为函数f (x )是奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )，所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2－x ＋1.当x ＝0时，由f (0)＝－f (0)，得f (0)＝0，所以f (x )＝⎩⎨⎧x 2－x －1，x >0，0，x ＝0，－x 2－x ＋1，x <0.(2)作出函数图象，如图所示．由函数图象易得函数的增区间为 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12，⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 21．(本小题满分12分)已知f (x )在R 上是单调递减的一次函数，且f (f (x ))＝4x －1.(1)求f (x )；(2)求函数y ＝f (x )＋x 2－x 在x ∈[－1,2]上的最大值与最小值．[解] (1)由题意可设f (x )＝ax ＋b ，a ＜0，由于f (f (x ))＝4x －1，则a 2x ＋ab ＋b ＝4x －1，故⎩⎨⎧a 2＝4，ab ＋b ＝－1，解得a ＝－2，b ＝1.故f (x )＝－2x ＋1. (2)由(1)知，函数y ＝f (x )＋x 2－x ＝－2x ＋1＋x 2－x ＝x 2－3x ＋1，故函数y ＝x 2－3x ＋1的图象开口向上，对称轴为x ＝32，则函数y ＝f (x )＋x 2－x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32上为减函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2上为增函数． 又由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－54，f (－1)＝5，f (2)＝－1，则函数y ＝f (x )＋x 2－x 在x ∈[－1,2]上的最大值为5，最小值为－54. 22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x ＋b1＋x 2为奇函数．(1)求b 的值；(2)证明：函数f (x )在区间(1，＋∞)上是减函数； (3)解关于x 的不等式f (1＋x 2)＋f (－x 2＋2x －4)＞0.【导学号：37102201】[解] (1)∵函数f (x )＝x ＋b1＋x 2为定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝b ＝0. (2)由(1)可得f (x )＝x1＋x 2，下面证明函数f (x )在区间(1，＋∞)上是减函数． 证明：设x 2＞x 1＞1，则有f (x 1)－f (x 2)＝x 11＋x 21－x 21＋x 22＝x 1＋x 1x 22－x 2－x 2x 21(1＋x 21)(1＋x 22)＝(x 1－x 2)(1－x 1x 2)(1＋x 21)(1＋x 22). 再根据x 2＞x 1＞1，可得1＋x 21＞0,1＋x 22＞0，x 1－x 2＜0,1－x 1x 2＜0，∴(x 1－x 2)(1－x 1x 2)(1＋x 21)(1＋x 22)＞0， 即f (x 1)＞f (x 2)，∴函数f (x )在区间(1，＋∞)上是减函数． (3)由不等式f (1＋x 2)＋f (－x 2＋2x －4)＞0， 可得f (1＋x 2)＞－f (－x 2＋2x －4)＝f (x 2－2x ＋4)，再根据函数f (x )在区间(1，＋∞)上是减函数，可得1＋x 2＜x 2－2x ＋4，且x ＞1， 解得1＜x ＜32，故不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.。