从2005年高考试题看“球面两点间的距离”
2005全国高考试题分类解析(立体几何)
2005全国高考立体几何题一网打尽河北、河南、山西、安徽(全国卷I)（2）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为 （C ） （A ）π28（B ）π8（C ）π24（D ）π4（4）如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且BCF ADE ∆∆、均为正三角形，EF ∥AB ，EF=2，则该多面体的体积为 （C ）（A ）32 （B ）33 （C ）34（D ）23 （16）在正方形''''D C B A ABCD -中，过对角线'BD 的一个平面交'AA 于E ，交'CC 于F ，则① 四边形E BFD '一定是平行四边形 ② 四边形E BFD '有可能是正方形③ 四边形E BFD '在底面ABCD 内的投影一定是正方形 ④ 四边形E BFD '有可能垂直于平面D BB '以上结论正确的为 ①③④ 。
（写出所有正确结论的编号）（18）（本大题满分12分）已知四棱锥P-ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，⊥=∠PA DAB ,90ο底面ABCD ，且PA=AD=DC=21AB=1，M 是PB 的中点。
（Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角；（Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小。
18．本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识及思维能力和空间想象能力.考查应用向量知识解决数学问题的能力.满分12分. 方案一：（Ⅰ）证明：∵PA ⊥面ABCD ，CD ⊥AD ， ∴由三垂线定理得：CD ⊥PD.因而，CD 与面PAD 内两条相交直线AD ，PD 都垂直， ∴CD ⊥面PAD.又CD ⊂面PCD ，∴面PAD ⊥面PCD.（Ⅱ）解：过点B 作BE//CA ，且BE=CA ， 则∠PBE 是AC 与PB 所成的角.连结AE ，可知AC=CB=BE=AE=2，又AB=2，所以四边形ACBE 为正方形. 由PA ⊥面ABCD 得∠PEB=90° 在Rt △PEB 中BE=2，PB=5， .510cos ==∠∴PB BE PBE .510arccos所成的角为与PB AC ∴ （Ⅲ）解：作AN ⊥CM ，垂足为N ，连结BN. 在Rt △PAB 中，AM=MB ，又AC=CB ， ∴△AMC ≌△BMC,∴BN ⊥CM ，故∠ANB 为所求二面角的平面角. ∵CB ⊥AC ，由三垂线定理，得CB ⊥PC ， 在Rt △PCB 中，CM=MB ，所以CM=AM. 在等腰三角形AMC 中，AN ·MC=AC AC CM⋅-22)2(， 5625223=⨯=∴AN . ∴AB=2，322cos 222-=⨯⨯-+=∠∴BN AN AB BN AN ANB 故所求的二面角为).32arccos(-方法二：因为PA ⊥PD ，PA ⊥AB ，AD ⊥AB ，以A 为坐标原点AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A （0，0，0）B （0，2，0），C （1，1，0），D （1，0，0），P （0，0，1），M （0，1，)21. （Ⅰ）证明：因.,0),0,1,0(),1,0,0(DC AP DC AP DC AP ⊥=⋅==所以故由题设知AD ⊥DC ，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线，由此得DC ⊥面PAD. 又DC 在面PCD 上，故面PAD ⊥面PCD. （Ⅱ）解：因),1,2,0(),0,1,1(-==PB AC.510||||,cos ,2,5||,2||=⋅>=<=⋅==PB AC PB AC PB AC PB AC 所以故（Ⅲ）解：在MC 上取一点N （x ，y ，z ），则存在,R ∈λ使,MC NC λ=..21,1,1),21,0,1(),,1,1(λλ==-=∴-=---=z y x MC z y x NC要使.54,0210,==-=⋅⊥λ解得即只需z x MC AN MC AN),52,1,51(),52,1,51(,.0),52,1,51(,54=⋅-===⋅=MC BN BN AN MC AN N 有此时能使点坐标为时可知当λANB MC BN MC AN ∠⊥⊥=⋅=⋅所以得由.,0,0为所求二面角的平面角.).32arccos(.32||||),cos(.54,530||,530||--=⋅=∴-=⋅==故所求的二面角为BN AN Θ文科数学（全国卷Ⅰ）（11）点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足⋅=⋅=⋅，则点O 是ABC ∆的（A ）三个内角的角平分线的交点（B ）三条边的垂直平分线的交点 （C ）三条中线的交点（D ）三条高的交点2005高考全国卷Ⅱ数学（理）试题（吉林、黑龙江、广西等地区用）(2) 正方体ABCD —A 1 B 1 C 1 D 1中，P 、Q 、R 、分别是AB 、AD 、B 1 C 1的中点。
高考题汇编04、05
万有引力定律高考试题（04、05年）1、（05年全国理综卷一、16）把火星和地球绕太阳运动的轨道视为圆周。
由火星和地球绕太阳运动的周期之比可求得（）A、火星和地球质量之比B、火星和太阳质量之比C、火星和地球到太阳距离之比D、火星和地球绕太阳运行速度大小之比。
2、（05年全国理综卷二、18）已知引力常量G、月球中心到地球中心的距离R和月球绕地球运行的周期T。
仅利用这三个数据，可以估算出的物理量有（）A、月球的质量B、地球的质量C、地球的半径D、月球绕地球运行速度的大小。
3、（05年全国理综卷三、21）最近科学家在望远镜中看到太阳系外某一恒星有一行星，并测得它绕该恒星运行一周所用的时间为1200年，它与该恒星的距离为地球到太阳距离的100倍。
假定该行星绕恒星运行的轨道和地球绕太阳运行的轨道都是圆周，仅利用以上两个数据可以求出的物理量有( )A、恒星质量和太阳质量之比B、恒星密度和太阳密度之比C、行星质量和地球质量之比D、行星运行速度和地球公转速速之比4、（05全国理综天津卷、21）土星周围有美丽壮观的“光环”，组成环的颗粒时大小不等、线度从1µm到10µm的岩石、尘埃、，类似卫星，它们与土星中心的距离从7.3×104km延伸到1.4×105km。
已知环的外缘颗粒绕土星作圆周运动的周期约为14h，引力常量为6.67×10-11km，则土星的质量约为（估算是不考虑环中颗粒间的相互作用）（）A、9.0×1016kgB、6.4×1017kgC、9.0×1025kgD、6.4×1026kg5、（05全国理综北京卷、20）已知地球质量大约是月球质量的81倍，地球半径大约是月球半径的4倍。
不考虑地球、月球自转的影响，有以上数据可推算出（）A、地球的平均密度与月球平均密度之比为9：8B、地球表面重力加速度与月球表面重力加速度之比约为9：4C、靠近地球表面沿圆轨道运行的航天器的周期与靠近月球表面沿圆轨道运行的航天器的周期之比约为8：9D、靠近地球表面沿圆轨道运行的航天器的线速度与靠近月球表面沿圆轨道运行的航天器的线速度之比约为81：46、（05物理江苏卷、5）某人造卫星运动的轨道可近似看作是以地心为中心的圆。
2005年高考.辽宁卷.数学试题精析详解
2005年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学第Ⅰ卷（选择题，共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B) 24R S π= 如果事件A 、B 相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B) 其中R 表示球的半径 如果事件A 在一次试验中发生的概率是 球的体积公式 P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 334R V π=球次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()(其中R 表示球的半径 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（１）数111-++-=ii z ．在复平面内，z 所对应的点在 （ ）（Ａ）第一象限（Ｂ）第二象限 （Ｃ）第三象限 （Ｄ）第四象限【答案】B 【解答】∵i ii i ii z +-=-++=-++-=111)1(111∴z 所对应的点在第二象限．故选B ．【点拨】对于复数运算应先观察其特点再计算，会简化运算．（２）极限)(lim 0x f x x →存在是函数)(x f 在点0x x =处连续的 （ ）（Ａ）充分而不必要的条件 （Ｂ）必要而不充分的条件（Ｃ）充要条件 （Ｄ）既不充分也不必要的条件 【答案】B【解答】∵极限)(lim 0x f x x →存在且)()(lim 00x f x f x x =→，则函数)(x f 在点0x x =处连续的，∴极限)(lim 0x f x x →存在是函数)(x f 在点0x x =处连续的必要而不充分的条件，故选B ．【点拨】准确理解函数连续性的概念及判断方法很重要．（３）设袋中有80个红球，20个白球．若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（Ａ）10100610480C C C ⋅（Ｂ）10100410680C C C ⋅（Ｃ）10100620480C C C ⋅（Ｄ）10100420680C C C ⋅【答案】D【解答】从袋中任取10个球有10100C 种，其中恰有6个红球有420680C C ⋅种，故选D ．【点拨】分析如何完成取球任务，再利用组合计算．（４）已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面．给出下列的四个命题： ①若α⊥m ，β⊥m ，则βα//；②若γα⊥，γβ⊥，则βα//；③若α⊂m ，β⊂n ，n m //，则βα//；④若m 、n 是异面直线，α⊂m ，β//m ，β⊂n ，α//n ，则βα//，其中真命题是（Ａ）①和② （Ｂ）①和③ （Ｃ）③和④ （Ｄ）①和④【答案】D【解答】因为垂直于同一条直线的两平面互相平行，所以①正确；因为垂直于同一平面的两平面不一定平行，所以②错误；因为当α与β相交时，若m 、n 平行于两平面的交线，则n m //，所以③错误；因为若m 、n 是异面直线，α⊂m ，β//m ，β⊂n ，α//n ，当且仅当βα//，所以④正确．【点拨】解立几推断题应联系具体图形以及相关定理解决． （５）函数)1ln(2++=x x y 的反函数是（Ａ）2x x e e y -+= （Ｂ）2x x e e y -+-= （Ｃ）2x x e e y --= （Ｄ）2xx e e y ---=【答案】C【解答】由)1ln(2++=x x y ，得12++=x x e y ，即12+=-x x e y ，两边平方，化简得122=-yy xe e ，故y y e e x 12-=，即2yy e e x --=，∴)1ln(2++=x x y 的反函数是2xx e e y --=．【点拨】求反函数设法解出x ．（６）若011log 22<++a a a，则a 的取值范围是 （Ａ）),21(∞+ （Ｂ）),1(∞+ （Ｃ）)1,21(（Ｄ）)21,0(【答案】C【解答】法一：代特殊值验证法二：①当⎪⎩⎪⎨⎧<++<<011log 12022a a a a ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>++<<1112102aa a 时，无解； ②当⎪⎩⎪⎨⎧<++>011log 1222a a a a ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<++<>1110212a a a 时，121<<a ，故选C ． 【点拨】解含参数对数不等式时，须注意分类讨论参数．（７）在Ｒ上定义运算⊗：)1(y x y x -=⊗．若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立，则（Ａ）11<<-a（Ｂ）20<<a（Ｃ）2321<<-a （Ｄ）2123<<-a 【答案】C【解答】∵)1)(()()(a x a x a x a x ---=+⊗-，∴不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立，则1)1)((<---a x a x 对任意实数x 成立，即使0122>++--a a x x 对任意实数x 成立，所以0)1(412<++--=∆a a ，解得2321<<-a ，故选C ． 【点拨】熟悉一元二次不等式恒成立与对应方程的判别式的关系．（８）若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边与最小边长的比值为m ，则m 的范围是 （Ａ）)2,1( （Ｂ）),2(∞+ （Ｃ）),3[∞+ （Ｄ）),3(∞+ 【答案】B【解答】∵钝角三角形三内角的度数成等差数列，∴其中一个角为60º，如图，直角三角形时，2=m ， 所以钝角三角形时，有2>m ，故选B ．【点拨】利用数形结合解题较快捷．（９）若直线02=+-c y x 按向量)1,1(-=平移后与圆522=+y x 相切，则c 的值为（Ａ）８或－２ （Ｂ）６或－４ （Ｃ）４或－６ （Ｄ）２或－８ 【答案】A【解答】由⎩⎨⎧-='+='11y y x x ，得⎩⎨⎧+'=-'=11y y x x ，所以02=+-c y x 平移后，得032=+-'-'c y x ，其与圆522=+y x 相切，即圆心到直线的距离为5，即55|3|=+-c ，解得8=c 或2-=c ，故选A ． 【点拨】熟悉平移公式，直线与圆的位置关系应转化为圆心到直线的距离处理． （10）已知)(x f y =是定义在Ｒ上的单调函数，实数21x x ≠，1-≠λ，λλα++=121x x ，λλβ++=112x x ．若，则（Ａ）0<λ （Ｂ）0=λ（Ｃ）10<<λ （Ｄ）1≥λ【答案】A【解答】数形结合法：当0>λ，如图Ａ所示， 有|)()(||)()(|21βαf f x f x f ->-，当0<λ如图Ｂ所示，有()(||)()(|21βαf f x f x f -<-故选A ．【点拨】数形结合解决定比分点问题．（11）已知双曲线的中心在原点，离心率为3．若它的一条准线与抛物线x y 42=的准线重合，则该双曲线与抛物线x y 42=的交点到原点的距离是（Ａ）632+ （Ｂ）21（Ｃ）21218+（Ｄ）21【答案】B 【解答】由3=e ，得3=ac，由一条准线与抛物线x y 42=的准线重合，得准线为1-=x ，所以12=c a ，故3=a ，3=c ，6=b ，所以双曲线方程为16322=-y x ，由⎪⎩⎪⎨⎧==-xy y x 4163222，得交点为)12,3(±，所以交点到原点的距离是21，故选Ｂ． 【点拨】由已知条件发拨出a 、b 、c 的取值，得到双曲线的方程．︒60（12）一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)N (*1∈>+n a a n n ，则该函数的图象是（Ａ） （Ｂ）（Ｄ） 【答案】A【解答】由)(1n n a f a =+，n n a a >+1，得n n a a f >)(，即x x f >)(，故选A ． 【点拨】分析清楚函数值与自变量的关系，即可判断.第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．（13）62121)2(--x x 的展开式中常数项是______________．【答案】－160【解答】通项公式为r r rr rr x C x x C ---⋅-⋅=-⋅⋅36216216)2()2()(，由03=-r ，得3=r ，所以常数项是160)2(336-=-⋅C ，【点拨】熟悉二项式展开式的通项公式．（14Ｂ、Ｍ是顶点，那么点Ｍ到截面ABCD 的距离是【答案】32 【解答】如图建立空间直角坐标系xyz A -，)0,0,0(=A ，)0,1,1(=B ，)1,21,0(=D ，)0,1,0(=M ，则)0,1,1(=，)1,21,0(=，)0,0,1(=设),,1(y x =为平面ABC D 法向量，则有⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00，即⎪⎩⎪⎨⎧=+=+0201y x x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=211y x ，即)21,1,1(-=，所以点Ｍ到截面ABCD 的距离322311=⋅==d ． 【点拨】利用法向量求点到平面的距离是较好操作的方法．（15）用１、２、３、４、５、６、７、８组成没有重复数字的八位数，要求１与２相邻，３与４相邻，５与６相邻，而７与８不．相邻，这样的八位数共有___________个．（用数字作答） 【答案】576【解答】将１与２，３与４，５与６捆绑在一起排成一列有482333=⋅A 种，再将７、８插入4个空位中的两个有1224=A 种，故有5761248=⨯种．【点拨】相邻用捆绑法，不相邻用插空法（16）ω是正实数，设})](cos[)(|{是奇函数θωθω+==x x f S ，若对每个实数a ，ωS ∩)1,(+a a 的元素不超过２个，且有a 使ωS ∩)1,(+a a 含有２个元素，则ω的取值范围是___________． 【答案】]2,(ππ【解答】∵)(x f 是奇函数，且R ∈x ，∴0)0(=f ，∴ωπωπθ2+=k ，∈k Z∵ωS ∩)1,(+a a 的元素不超过２个， ∴12≥ωπ，∴πω2≤， ∵且有a 使ωS ∩)1,(+a a 含有２个元素， ∴1<ωπ，∴πω>，∴πωπ2≤<， 【点拨】通过数轴得出ωS ∩)1,(+a a 元素个数与两点间距离的关系再求解．三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题共12分）。
2005年全国各地高考试题分类解析2005年全国高考试题分类解析(直线与圆)
2005年全国高考试题分类解析(直线与圆) 一、选择题1.(江西卷)在△OAB 中,O 为坐标原点,]2,0(),1,(sin ),cos ,1(πθθθ∈B A ,则当△OAB 的面积达最大值时,=θ( D )A.6π B.4π C.3π D.2π 2.(江西卷) “a ＝b ”是“直线222()()2y x x a y b =+-++=与圆相切”的(A )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件 3. (重庆卷)圆(x +2)2+y 2=5关于原点(0,0)对称的圆的方程为(A )(A) (x -2)2+y 2=5; (B) x 2+(y -2)2=5; (C) (x +2)2+(y +2)2=5;(D) x 2+(y +2)2=5。
4 (浙江)点(1,－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( D )(A)21 (B) 32 (C) 2 (D)25.(浙江)设集合A ＝{(x ,y )|x ,y ,1－x －y 是三角形的三边长},则A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是( A )5.(天津卷)将直线2x －y ＋λ＝0,沿x 轴向左平移1个单位,所得直线与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切,则实数λ的值为 A.－3或7 B.－2或8 C.0或10 D.1或11 6. (全国卷Ⅰ)在坐标平面上,不等式组⎩⎨⎧+-≤-≥131x y x y 所表示的平面区域的面积为(C )(A)2(B)23(C)223 (D)27. (全国卷Ⅰ)设直线l 过点)0,2(-,且与圆122=+y x 相切,则l 的斜率是(D )(A)1±(B)21±(C)33±(D)3±8. (全国卷I)已知直线l 过点），（02-,当直线l 与圆x y x 222=+有两个交点时,其斜率k 的取值范围是(B)(A)），（2222-(B)），（22-(C)），（4242-(D)），（8181-9. (全国卷Ⅲ)已知过点A(-2,m)和B(m,4)的直线与直线2x ＋y-1＝0平行,则m 的值为(B)(A)0 (B)-8 (C)2 (D)10 10(北京卷)从原点向圆 x 2＋y 2－12y ＋27＝0作两条切线,则该圆夹在两条切线间的劣弧长为(B )(A )π (B )2π (C )4π (D )6π11 (辽宁卷)若直线02=+-c y x 按向量)1,1(-=平移后与圆522=+y x 相切,则c 的值为( A ) A.8或－2B.6或－4C.4或－6D.2或－812. (湖南卷)设直线的方程是0=+By Ax ,从1,2,3,4,5这五个数中每次取两个不同的数作为A 、 B 的值,则所得不同直线的条数是 (C )A.20B.19C.18D.1613.(湖南卷)已知点P(x ,y)在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-≤-022,01,02y x y x 表示的平面区域上运动,则z ＝x －y 的取值范围是 ( C )A.[－2,－1]B.[－2,1]C.[－1,2]D.[1,2]14.(北京卷)“m ＝21”是“直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直”的(B )(A )充分必要条件 (B )充分而不必要条件 (C )必要而不充分条件 (D )既不充分也不必要条件填空题1.(全国卷II)圆心为(1,2)且与直线51270x y --=相切的圆的方程为22(1)(2)4x y -+-=. 2.(湖南卷)设直线0132=++y x 和圆03222=--+x y x 相交于点A 、B,则弦AB 的垂直平分线方程是 0323=--y x .PMN3.(湖南卷)已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A 、B 两点,且|AB|＝3,则⋅ ＝ 21-. 4.(湖北卷)某实验室需购某种化工原料106千克,现在市场上该原料有两种包装,一种是每袋35千克,价格为140元;另一种是每袋24千克,价格为120元. 在满足需要的条件下,最少要花费 500 元. 5 (福建卷)15.非负实数x 、y 满足y x y x y x 3,03042+⎩⎨⎧≤-+≤-+则的最大值为 9 .6(江西卷)设实数x , y 满足则x y y y x y x ,03204202⎪⎩⎪⎨⎧≤->-+≤-- 23 .7(上海)3.若x,y 满足条件 x＋y ≤3y ≤2x ,则z ＝3x ＋4y 的最大值是 11 . 8(上海)直线y ＝21x 关于直线x ＝1对称的直线方程是 x ＋2y-2＝0 . 9.(上海)将参数方程⎩⎨⎧=+=θθsin 2cos 21y x (θ为参数)化为普通方程,所得方程是_ (x-1)2＋y 2＝4_________。
从高考山东卷的一道题目谈球面距离的求解
从高考山东卷的一道题目谈球面距离的求解云南省广南一中 663300 玉宏图青岛财经职业学校 266000 相恒山2005年全国高考山东卷理科第(8)、文科第(9)题是:设地球的半径为R ,若A 地位于北纬45b 东经120b ,B 地位于南纬75b 东经120b ,则A ,B 两点的球面距离是( )(A )3PR (B)P 6R (C)5P 6R (D )2P 3R此题设计新颖独特,难易适中,对于球面距离来说,很具有代表性,值得我们深入研究,本文拟对其作推广,并说明其应用,与读者共享。
1 相关概念球面距离:过某两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度.纬度:经过某一点的地球的半径与赤道所在的大圆面所成的角.经度:经过某一点的经线和地轴确定的半平面与本初子午线和地轴确定的半平面所成的二面角的度数.两地的位置关系:地球上两点A ,B 的位置关系以下三种:(1)A ,B 两地经度相同,纬度不同;(2)A ,B 两地纬度相同,经度不同;(3)A ,B 两地纬度不同,经度也不同.2 结论推广为了方便叙述,本文采用有向角的概念,规定东经为正,西经为负,北纬为正,南纬为负,例如西经120b 记为-120b ,南纬30b 记为-30b .于是我们有如下的球心角定理:定理 设A ,B 是地球表面上的任意两地,A 地的经度为H 1,纬度为U 1,B 地的经度为H 2,纬度为U 2,地球的中心为O ,球心角N A OB =A (A I (0,P ]),则cos A =sin U 1sin U 2+cos U 1cos U 2cos (H 1-H 2).证明略.推论1 若A ,B 两地位于同一经度时,则cos A =cos (U 1-U 2).证明 因为H 1=H 2,由定理得.推论2 若A ,B 两地位于同一纬度U 时,则c os A =sin 2U +c os 2U cos (H 1-H 2).证明 因为U 1=U 2=U ,由定理得cos A =sin U sin U +c os U c os U c os (H 1-H 2)=sin 2U +c os 2U cos (H 1-H 2).3 应用举例有了球心角定理及其推论,我们可方便地解决球面距离的有关问题.例1 本文开头提出的问题.解 因为U 1=45b ,U 2=-75b ,且经度相同,由题意和推论1得:cos A =cos [45b -(-75b )]=c os120b .因为A I (0,P ],所以A =120b =23P ,故劣弧BA =A #R =23P R.所以A ,B 两点的球面距离是23P R ,故选(D ).例2 (2004年希望杯培训题)设A ,B 两地分别位于东经60b 、南纬45b 和西经120b 、北纬30b ,O 是地球中心,试求N A OB 的大小(小于平角的一个).因为H 1=60b ,U 1=-45b ,H 2=-120b ,U 2=30b .由定理得cos N A OB =c os A =6-24,故知N A OB=75b.例3(2002年希望杯竞赛题)地球上有两点A,B分别位于东西两半球,且都在北纬45b,它们的球面距离是P3R(R是地球半径),A点位于东经20b,求B点的位置.解由题意和球面距离定义得P3R=A#R]A=P 3 .又由题意和推论2得:c os P3=sin2P4+cos2P4cos(20b-U2),解得cos(20b-U2)=0]20b-U2= 90b]U2=-70b.B点的位置是西经70b,北纬45b.例4众所周知,第28届奥运会已于2004年在希腊首都雅典举行,它位于东经24b北纬38b.而第29届奥运会将于2008年在我国首都北京举行,它位于东经116b北纬40b,你能计算北京和雅典的球面距离吗?解设雅典的经度为H1,纬度为U1,北京的经度为H2,纬度为U2,已知H1=24b,H2= 116b,U1=38b,U2=40b,将它们代入定理查表计算得c os A=-0.2079,A=102b U1.78弧度.又知地球的半径=6370千米,所以北京和雅典的球面距离为劣弧A B=A# R=1.78@6370=11340(千米).例5(从中国经营北京)纽约直飞航班问题)北京时间2002年9月27日14点,国航CA981航班从首都国际机场准时起飞,当地时间9月27日15点30分,该航班正点平稳落在纽约肯尼迪机场;北京时间10月1日19点14分,CA982航班在经过13个小时的飞行后,准点降落在北京首都国际机场,至此国航北京)))纽约直飞首航成功完成,这是中国承运人第一次经极地经营北京)))纽约直飞航线.而从北京(东经116b,北纬40b)至纽约(西经74b,北纬40b)原来的航线是:北京(东经116b,北纬40b))))上海(北纬31b,东经122b))))东京(北纬36b,东经140b))))旧金山(北纬37b,西经123b))))纽约(西经74b,北纬40b).如果飞机飞行高度为10千米,并假设地球是半径为6371千米的球体,你能计算新航线的空中航程比原航线的空中航程缩短了多少吗?解在地球上,两地间飞行的最短距离是这两地所在大圆(其半径为地球的半径与飞行高度之和)的两地间的劣弧长.本题应计算以北京、纽约为端点的大圆劣弧长;北京到上海、上海到东京、东京到旧金山、旧金山到纽约各段大圆劣弧长度之和.然后求它们的差.(1)计算原航线的距离将北京和上海的经度、纬度代入定理查表计算得cos A=0.98,A=10b=0.17453弧度,故北京和上海的距离为A#(6371+10)=1113.69(千米).将上海和东京的经度、纬度代入定理查表计算得c os A=0.96,所以A=16b=0.28弧度,故上海和东京的距离为A#(6371+10)=1781.91(千米).将东京和旧金山的经度、纬度代入定理查表计算得cos A=0.27,A=74b=1.29弧度,故东京和旧金山的距离为A(6371+10)=8241. 34(千米).将旧金山和纽约的经度、纬度代入定理查表计算得cos A=0.78,所以A=38b=0.66弧度,故旧金山和纽约的距离为A(6371+10)= 4232.04(千米).原航线的距离为1113.69+1781.91+ 8241.34+4232.04=15368.98(千米).(2)计算新航线的距离将北京和纽约的经度、纬度代入定理查表计算得c os A=0.17,所以A=100b=1.74弧度,故北京和纽约的距离为A(6371+10)=11136.95(千米).(3)因为15368.98-11136.95= 4232.03(千米).所以新航线比原航线飞行距离大约缩短了4232千米.。
2005年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(11解析几何初步)
2005年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（11解析几何初步）一、选择题：1、(2005春招北京文)直线20x -=被圆22(1)1x y -+=所截得的线段的长为（ C ）A ．1 BCD ．22. (2005北京文)从原点向圆 x 2＋y 2－12y ＋27=0作两条切线，则这两条切线的夹角的大小为 （A ）6π （B ）3π （C ）2π（D ）32π 【答案】B 【详解】 将圆的方程配方得：22(6)9x y +-=圆心在(0,6)半径为3,如图： 在图中Rt PAO ∆中,62OP PA ==,从而得到30oAOP ∠=,即60.oAOB ∠=所以两条切线的夹角的大小为3π. 【名师指津】 以数形结合的思想解决此类题,抓图中直角三角形中边角关系.3．(2005北京理)从原点向圆0271222=+-+y y x 作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为（ ） A ．π B ．2π C ．4π D ．6π 【答案】B 【详解】 将圆的方程配方得：22(6)9x y +-=圆心在(0,6)半径为3,如图： 在图中Rt PAO ∆中,62OP PA ==,从而得到30oAOP ∠=,即60.oAOB ∠=可求120.oBPA ∠=P 的周长为236ππ⨯=劣弧长为周长的13,可求得劣弧长为2π. 【名师指津】 以数形结合的思想解决此类题,抓图中直角三角形中边角关系.4．(2005湖南理)设P 是△ABC 内任意一点，S △ABC 表示△ABC 的面积，λ1＝ABc PBC S S ∆∆， λ2＝ABCPCA S S∆∆， λ3＝ABCPAB S S ∆∆，定义f (P)=(λ1, λ, λ3),若G 是△ABC 的重心，f (Q)＝（21，31，61），则 （ ）A ．点Q 在△GAB 内 B ．点Q 在△GBC 内C ．点Q 在△GCA 内D ．点Q 与点G 重合[评述]：本题是一道很好的信息题,本题考查学生理性思维问题。
N02--2005年普通高等学校招生全国统一考试数学及详细解析(山东卷.理)
2005年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学（必修+选修II ）第I 卷（共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=一．选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项.（1）2211(1)(1)i ii i -++=+-（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-（2）函数1(0)xy x x-=≠的反函数图像大致是（A ） （B ） （C ） （D ）（3）已知函数sin()cos()1212y x x ππ=--，则下列判断正确的是（A ）此函数的最小周期为2π，其图像的一个对称中心是(,0)12π（B ）此函数的最小周期为π，其图像的一个对称中心是(,0)12π（C ）此函数的最小周期为2π，其图像的一个对称中心是(,0)6π（D ）此函数的最小周期为π，其图像的一个对称中心是(,0)6π（4）下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是 （A ）()sin f x x = （B ）()1f x x =-+ （C ）1()()2x x f x a a -=+ （D ）2()ln 2x f x x-=+ （5）如果(3n x -的展开式中各项系数之和为128，则展开式中31x 的系数是 （A ）7 （B ）7- （C ）21 （D ）21-（6）函数21sin(),10(),0x x x f x e x π-⎧-<<⎪=⎨≥⎪⎩，若(1)()2,f f a +=则a 的所有可能值为（A ）1 （B ）-（C ）1,- （D ） （7）已知向量,a b ，且2,56AB a b BC a b =+=-+，72CD a b =-，则一定共线的三点是（A ）A 、B 、D （B ）A 、B 、C （C ）B 、C 、D （D ）A 、C 、D（8）设地球的半径为R ，若甲地位于北纬45︒东经120︒，乙地位于南纬75︒东经120︒，则甲、乙两地的球面距离为（A（B ）6R π（C ）56R π（D ）23R π （9）10张奖券中只有3张有奖，5个人购买，至少有1人中奖的概率是（A ）310 （B ）112 （C ）12 （D ）1112（10）设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则A B ≠⊂是()U C A B U ⋃=的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）冲要条件（D ）既不充分也不必要条件 （11）01a <<，下列不等式一定成立的是（A ）(1)(1)log (1)log (1)2a a a a +--++> （B ）(1)(1)log (1)log (1)a a a a +--<+（C ）(1)(1)log (1)log (1)a a a a +--++<(1)(1)log (1)log (1)a a a a +--++ （D ）(1)(1)log (1)log (1)a a a a +---+>(1)(1)log (1)log (1)a a a a +---+（12）设直线:220l x y ++=关于原点对称的直线为l '，若l '与椭圆2214y x +=的交点为A 、B 、，点P 为椭圆上的动点，则使PAB ∆的面积为12的点P 的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4第II 卷（共90分）二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.答案须填在题中横线上.（13）2222lim__________(1)n n nn C C n -→∞+=+. (14)设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，右准线l 与两条渐近线交于P 、Q两点，如果PQF ∆是直角三角形，则双曲线的离心率___________e =.(15)设x 、y 满足约束条件5,3212,03,0 4.x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩则使得目标函数65z x y =+的最大的点(,)x y 是____________(16)已知m n 、是不同的直线，αβ、是不重合的平面，给出下列命题：①若//,m αβα⊂，n β⊂则//m n ；②若,,//,m n m αβ⊂则//αβ③若,,//m n m n αβ⊥⊥，则//αβ④,m n 是两条异面直线，若//,//,//,//m m n n αβαβ，则//αβ上面的命题中，真命题的序号是______（写出所有真命题的序号）三．解答题：本大题共6小题，共74分.解答写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）已知向量(cos ,sin )m θθ=和(2sin ,cos ),(,2)n θθθππ=-∈，且82m n +=求A1A BCD1B F1C 1D Ecos(28θπ+的值.(18)(本小题满分12分)袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为1,7现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时既终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数.（I ）求袋中原有白球的个数； （II ）求随机变量ξ的概率分布； （III ）求甲取到白球的概率. （19）（本小题满分12分）已知1x =是函数32()3(1)1f x mx m x nx =-+++的一个极值点，其中,,0m n R m ∈<，（I ）求m 与n 的关系式； （II ）求()f x 的单调区间；（III ）当[]1,1x ∈-时，函数()y f x =的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m 的取值范围.(20)(本小题满分12分)如图，已知长方体1111,ABCD A B C D -12,1,AB AA ==直线BD 与平面11AA B B 所成的角为30︒，AE 垂直BD 于E ，F 为11A B 的中点.（I ）求异面直线AE 与BF 所成的角；（II ）求平面BDF 与平面1AA B 所成的二面角； （III ）求点A 到平面BDF 的距离. （21）（本小题满分12分）已知数列{}n a 的首项15,a =前n 项和为n S ，且*15()n n S S n n N +=++∈（I ）证明数列{}1n a +是等比数列；（II ）令212()n n f x a x a x a x =+++，求函数()f x 在点1x =处的导数(1)f '并比较2(1)f '与22313n n -的大小.(22)(本小题满分14分)已知动圆过定点,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，且与直线2p x =-相切，其中0p >.（I ）求动圆圆心C 的轨迹的方程；（II ）设A 、B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当,αβ变化且αβ+为定值(0)θθπ<<时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标.2005年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）（试题参考答案）理科数学（必修+选修II ）一．选择题1． [答案] D[思路] 本题考查复数的概念和基本运算，()()221111iii i -++=+-111112222i i i ii i -+---++=+=--. 2． [答案] B[思路] 本题考查反函数的概念及函数的图象。
2005年高考数学(辽宁卷)试题及答案
2005年高考数学辽宁卷试题及答案源头学子小屋本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择）题两部分，满分150分.考试用时120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B) 24R S π= 如果事件A 、B 相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B) 其中R 表示球的半径 如果事件A 在一次试验中发生的概率是 球的体积公式 P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 334R V π=球次的概率kn k k n n P P C k P --=)1()(其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数.111-++-=iiz 在复平面内，z 所对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．极限)(lim 0x f x x →存在是函数)(x f 在点0x x =处连续的（ ） A ．充分而不必要的条件 B ．必要而不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件3．设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（ ）A ．10100610480C C C ⋅ B ．10100410680C C C ⋅ C ．10100620480C C C ⋅ D ．10100420680C C C ⋅ 4．已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若βαβα//,,则⊥⊥m m ；②若βααβγα//,,则⊥⊥； ③若βαβα//,//,,则n m n m ⊂⊂；④若m 、n 是异面直线，βααββα//,//,,//,则n n m m ⊂⊂其中真命题是（ ） A ．①和② B ．①和③C ．③和④D ．①和④5．函数1ln(2++=x x y 的反函数是（ ）A ．2x x e e y -+=B ．2x x e e y -+-=C ．2x x e e y --= D ．2x x e e y ---=6．若011log 22<++aa a，则a 的取值范围是（ ）A ．),21(+∞B ．),1(+∞C ．)1,21(D ．)21,0(7．在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立， 则（ ）A ．11<<-aB ．20<<aC ．2321<<-a D ．2123<<-a 8．若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m ，则m 的范围是（ ）A ．（1，2）B ．（2，+∞）C ．[3，+∞)D ．（3，+∞）9．若直线02=+-c y x 按向量)1,1(-=a 平移后与圆522=+y x 相切，则c 的值为（ ）A ．8或－2B ．6或－4C ．4或－6D ．2或－810．已知)(x f y =是定义在R 上的单调函数，实数21x x ≠，,1,121λλλ++=-≠x x aλλβ++=112x x ，若|)()(||)()(|21βαf f x f x f -<-，则（ ） A ．0<λ B ．0=λC ．10<<λD ．1≥λ11．已知双曲线的中心在原点，离心率为3.若它的一条准线与抛物线x y 42=的准线重合，则该双曲线与抛物线x y 42=的交点到原点的距离是（ ）A ．23+6B ．21C ．21218+D ．2112．一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是（ ）A B C D第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13．n xx )2(2121--的展开式中常数项是 .14．如图，正方体的棱长为1，C 、D 分别是两条棱的中点，A 、B 、M 是顶点，那么点M 到截面ABCD 的距离是 .15．用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不．相邻，这样的八位数共有 个.（用数字作答）16．ω是正实数，设)](cos[)(|{θωθω+==x x f S 是奇函数}，若对每个实数a ，)1,(+⋂a a S ω的元素不超过2个，且有a 使)1,(+⋂a a S ω含2个元素，则ω的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知三棱锥P —ABC 中，E 、F 分别是AC 、AB 的中点,△ABC ，△PEF 都是正三角形，PF ⊥AB. （Ⅰ）证明PC ⊥平面PAB ；（Ⅱ）求二面角P —AB —C 的平面角的余弦值； （Ⅲ）若点P 、A 、B 、C 在一个表面积为12π的 球面上，求△ABC 的边长.18．（本小题满分12分） 如图，在直径为1的圆O 中，作一关于圆心对称、 邻边互相垂直的十字形，其中.0>>x y（Ⅰ）将十字形的面积表示为θ的函数；（Ⅱ）θ为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？M19．（本小题满分12分）已知函数).1(13)(-≠++=x x x x f 设数列n a {}满足)(,111n n a f a a ==+，数列n b {}满足).(|,3|*21N n b b b S a b n n n n ∈+++=-=（Ⅰ）用数学归纳法证明12)13(--≤n nn b ； （Ⅱ）证明.332<n S 20．（本小题满分12分）某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A 、B 两个等级.对每种产品，两道工序的加工结果都为A（Ⅰ）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结 果为A 级的概率如表一所示，分别求生产 出的甲、乙产品为一等品的概率P 甲、P 乙； （Ⅱ）已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、 η分别表示一件甲、乙产品的利润，在 （I ）的条件下，求ξ、η的分布列及 E ξ、E η； （Ⅲ）已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示.该工厂有工人40名，可用资. 金60万元.设x 、y 分别表示生产甲、乙产 品的数量，在（II ）的条件下，x 、y 为何 值时，ηξyE xE z +=（解答时须给出图示）21．（本小题满分14分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），Q 是椭圆外的动点，满足.2||1a Q F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足.0||,022≠=⋅TF TF PT（Ⅰ）设x 为点P 的横坐标，证明x aca P F +=||1；（Ⅱ）求点T 的轨迹C 的方程；（Ⅲ）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ， 使△F 1MF 2的面积S=.2b 若存在，求∠F 1MF 2的正切值；若不存在，请说明理由.22．（本小题满分12分）函数)(x f y =在区间（0，+∞）内可导，导函数)(x f '是减函数，且.0)(>'x f 设m kx y x +=+∞∈),,0(0是曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）得的切线方程，并设函数.)(m kx x g +=（Ⅰ）用0x 、)(0x f 、)(0x f '表示m ； （Ⅱ）证明：当)()(,),0(0x f x g x ≥+∞∈时；（Ⅲ）若关于x 的不等式),0[231322+∞≥+≥+在x b ax x 上恒成立，其中a 、b 为实数，求b 的取值范围及a 与b 所满足的关系.2005年高考数学辽宁卷试题及答案参考答案说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分.1.B2.B3.D4.D5.C6.C7.C8.B9.A 10.A 11.B 12.A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题4分，满分16分13．－160 14．3215．576 16．]2,(ππ 三、解答题17．本小题主要考查空间中的线面关系，三棱锥、球的有关概念及解三角形等基础知识，考查空间想象能力及运用方程解未知量的基本方法，满分12分.（Ⅰ）证明： 连结CF..,2121PC AP AC BC EF PE ⊥∴=== .,,PCF AB AB PF AB CF 平面⊥∴⊥⊥..,PAB PC AB PC PCF PC 平面平面⊥∴⊥∴⊂ ……4分（Ⅱ）解法一：,,CF AB PF AB ⊥⊥PFC ∠∴为所求二面角的平面角. 设AB=a ，则AB=a ，则a CF aEF PF 23,2=== .33232cos ==∠∴a aPFC ……………………8分解法二：设P 在平面ABC 内的射影为O. PAF ∆ ≌PAB PAE ∆∴∆,≌.PAC ∆ 得PA=PB=PC. 于是O 是△ABC 的中心. PFO ∠∴为所求二面角的平面角. 设AB=a ，则.2331,2a OF a PF ⋅==.33cos ==∠∴PF OF PFO ………8分（Ⅲ）解法一：设PA=x ，球半径为R. ,,PB PA PAB PC ⊥⊥平面ππ124.232==∴R R x ，ABC x R ∆∴==∴.2.3得的边长为22.……12分解法二：延长PO 交球面于D ，那么PD 是球的直径.连结OA 、AD ，可知△PAD 为直角三角形. 设AB=x ，球半径为R.,2332,66tan .32,1242x OA x PFO OF PO PD R ⋅==∠==∴= ππ 22.22).6632(66)33(2的边长为于是ABC x x x x ∆∴=-=∴.……12分 18．本小题主要考查根据图形建立函数关系、三角函数公式、用反三角函数表示角以及解和 三角函数有关的极值问题等基础知识，考查综合运用三角函数知识的能力. 满分12分.（Ⅰ）解：设S 为十字形的面积，则22x xy S -=).24(cos cos sin 22πθπθθθ<<-=………………4分（Ⅱ）解法一：,21)2sin(25212cos 212sin cos cos sin 22--=--=-=ϕθθθθθθS 其中.552arccos=ϕ………8分 当S ,22,1)2sin(时即πϕθϕθ=-=-最大.……10分 所以，当S ,552arccos 214时+=πθ最大. S 的最大值为.215-…………12分 解法二： 因为,cos cos sin 22θθθ-=S 所以θθθθcos sin 2sin 2cos 222+-='S.2sin 2cos 2θθ+=……………………8分令S ′=0，即,02sin 2cos 2=+θθ 可解得)2arctan(212-+=πθ ………………10分 所以，当)2arctan(212-+=πθ时，S 最大，S 的最大值为.215- …………12分 19．本小题主要考查数列、等比数列、不等式等基本知识，考查运用数学归纳法解决有关问题的能力，满分12分（Ⅰ）证明：当.1121)(,0≥++=≥x x f x 时 因为a 1=1， 所以*).(1N n a n ∈≥ ………………2分下面用数学归纳法证明不等式.2)13(1--≤n nn b（1）当n=1时，b 1=13-，不等式成立，（2）假设当n=k 时，不等式成立，即.2)13(1--≤k kk b 那么kk k k a a a b +--=-=+-1|3|)13(|3|11 ………………6分111).22k k kb +≤ 所以，当n=k+1时，不等也成立根据（1）和（2），可知不等式对任意n ∈N*都成立 …………8分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知， .2)13(1--≤n nn b 所以 12212)13(2)13()13(--++-+-≤+++=n nn n b b b S 2131)213(1)13(----⋅-=n…………10分 .33221311)13(=--⋅-<故对任意.332,<∈*n S N n ………………（12分） 20．（本小题主要考查相互独立事件的概率、随机变量的分布列及期望、线性规划模型的建立与求解等基础知识，考查通过建立简单的数学模型以解决实际问题的能力，满分12 分.（Ⅰ）解：.6.08.075.0,68.085.08.0=⨯=⨯=乙甲P P …………2分（Ⅱ）解：随机变量ξ、η的分别列是,2.432.05.268.05=⨯+⨯=ξE .1.24.05.16.05.2=⨯+⨯=ηE …………6分（Ⅲ）解：由题设知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0,4028,60105y x y x y x目标函数为 .1.22.4yx yE xE z +=+=ηξ……8分作出可行域（如图）： 作直线:l ,01.22.4=+y x将l 向右上方平移至l 1位置时，直线经过可行域上 的点M 点与原点距离最大，此时y x z 1.22.4+= …………10分取最大值. 解方程组⎩⎨⎧=+=+.4028,60105y x y x得.4,4==y x 即4,4==y x 时，z 取最大值，z 的最大值为25.2 .……………12分21．本小题主要考查平面向量的概率，椭圆的定义、标准方程和有关性质，轨迹的求法和应用，以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分14分.（Ⅰ）证法一：设点P 的坐标为).,(y x 由P ),(y x 在椭圆上，得.)()()(||222222221x aca xa b b c x y c x P F +=-++=++=由0,>+-≥+≥a c x a c a a x 知，所以 .||1x aca P F +=………………………3分 证法二：设点P 的坐标为).,(y x 记,||,||2211r P F r P F ==则.)(,)(222221y c x r y c x r ++=++=由.||,4,211222121x a ca r P F cx r r a r r +===-=+得 证法三：设点P 的坐标为).,(y x 椭圆的左准线方程为.0=+x aca由椭圆第二定义得a c cax P F =+||||21，即.||||||21x a c a c a x a c P F +=+=由0,>+-≥+-≥a c x a c a a x 知，所以.||1x aca P F +=…………………………3分 （Ⅱ）解法一：设点T 的坐标为).,(y x当0||=PT 时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上.当|0||0|2≠≠TF PT 且时，由0||||2=⋅TF PT ，得2TF PT ⊥.又||||2PF PQ =，所以T 为线段F 2Q 的中点. 在△QF 1F 2中，a Q F OT ==||21||1，所以有.222a y x =+ 综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+…………………………7分 解法二：设点T 的坐标为).,(y x 当0||=PT 时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上. 当|0||0|2≠≠TF PT 且时，由02=⋅TF PT ，得2TF PT ⊥.又||||2PF PQ =，所以T 为线段F 2Q 的中点.设点Q 的坐标为（y x '',），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'=+'=.2,2y y c x x因此⎩⎨⎧='-='.2,2y y c x x ①由a Q F 2||1=得.4)(222a y c x ='++' ② 将①代入②，可得.222a y x =+综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+……………………7分（Ⅲ）解法一：C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x 由③得a y ≤||0，由④得.||20c b y ≤ 所以，当cb a 2≥时，存在点M ，使S=2b ； 当cb a 2<时，不存在满足条件的点M.………………………11分当cb a 2≥时，),(),,(002001y xc MF y x c MF --=---=， 由2222022021b c a y c x MF MF =-=+-=⋅，212121cos ||||MF F MF MF MF MF ∠⋅=⋅，22121sin ||||21b MF F MF MF S =∠⋅=，得.2tan 21=∠MF F ③ ④解法二：C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x 由④得.||20c b y ≤ 上式代入③得.0))((2224220≥+-=-=c b a c b a cb a x 于是，当cb a 2≥时，存在点M ，使S=2b ；当cb a 2<时，不存在满足条件的点M.………………………11分当cb a 2≥时，记c x y k k c x y k k M F M F -==+==00200121,，由,2||21a F F <知︒<∠9021MF F ，所以.2|1|tan 212121=+-=∠k k k k MF F …………14分22．本小题考查导数概念的几何意义，函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想判断函数之间的大小关系.考查学生的学习能力、抽象思维能力及综合运用数学基本关系解决问题的能力.满分12分（Ⅰ）解：).()(000x f x x f m '-=…………………………………………2分 （Ⅱ）证明：令.0)(),()()(),()()(00=''-'='-=x h x f x f x h x f x g x h 则 因为)(x f '递减，所以)(x h '递增，因此，当0)(,0>'>x h x x 时；当0)(,0<'<x h x x 时.所以0x 是)(x h 唯一的极值点，且是极小值点，可知)(x h 的最小值为0，因此,0)(≥x h 即).()(x f x g ≥…………………………6分（Ⅲ）解法一：10≤≤b ，0>a 是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. 0)1(,122≥-+-+≥+b ax x b ax x 即对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是 .)1(221b a -≤另一方面，由于3223)(x x f =满足前述题设中关于函数)(x f y =的条件，利用（II ）的结果可知，3223x b ax =+的充要条件是：过点（0，b ）与曲线3223x y =相切的直线的斜率大于a ，该切线的方程为.)2(21b x b y +=-于是3223x b ax ≥+的充要条件是.)2(21b a ≥…………………………10分综上，不等式322231x b ax x ≥+≥+对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是.)1(2)2(2121b a b -≤≤- ①③ ④显然，存在a 、b 使①式成立的充要条件是：不等式.)1(2)2(2121b b -≤-②有解、解不等式②得.422422+≤≤-b ③因此，③式即为b 的取值范围，①式即为实数在a 与b 所满足的关系.…………12分（Ⅲ）解法二：0,10>≤≤a b 是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. 0)1(,122≥-+-+≥+b ax x b ax x 即对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是 .)1(221b a -≤………………………………………………………………8分令3223)(x b ax x -+=φ，于是3223x b ax ≥+对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是.0)(≥x φ 由.0)(331--==-='a x xa x 得φ当30-<<a x 时;0)(<'x φ当3->a x 时，0)(>'x φ，所以，当3-=a x 时，)(x φ取最小值.因此0)(≥x φ成立的充要条件是0)(3≥-a φ，即.)2(21-≥b a ………………10分综上，不等式322231x b ax x ≥+≥+对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是.)1(2)2(2121b a b -≤≤-①显然，存在a 、b 使①式成立的充要条件是：不等式2121)1(2)2(b b -≤- ②有解、解不等式②得.422422+≤≤-b因此，③式即为b 的取值范围，①式即为实数在a 与b 所满足的关系.…………12分。
球面距离问题的求解
玉邴图
球面距离问题的求解
在高中数关概念和例
题论述较少, 而在高考、竞赛及实际生活中, 涉 及球面问题的却有许多, 且有一定的难度, 为解
决这个难点, 本文介绍一个球心角定理及其推
论, 然后举例说明它们的应用, 其过程反映了球 面距离问题的一种求解方法, 供读者参考.
| O 1O 2 | = R | sin 1 - sin 2 |.
( 1)
设 N OS为地轴, 在半圆面 N SA 内, 作 AA 1
圆 O 2 所在的平面, 垂足为 A 1, 则 | O 2A 1 | =
| O 1A | = R co s 1, | O2 B | = R cos 2, 在三角形
A 1O 2B 中, 由余弦定理得
例 7 ( 2007年高考四川卷 ) 设球 O 的半 径为 1, A、B、C 是球面上三点, 已知 A 到 B、C 两
点的球面距离都是 2, 且二面角 B - OA - C 的
大小为 3, 则从点 A 沿球面经 B、C 两点再回到 A 点的最短距离是 .
解: 因 为球 O 的 半 径 为 1, 故 由题 意 知
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数理化学习 ( 高中版 )
11340(千米 ). 例 10 (中国经营北京一纽约直飞航班的
距 离问题 ) 北京时间 2002年 9月 27日 14点, 国 航 CA981航班从首都国际机场准时起飞, 当地 时间 9月 27日 15点 30分, 该航班正点平稳落在 纽约肯尼迪机场; 北京时间 10月 1日 19点 14 分, CA982航班在经过 13个小时的飞行后, 准 点降落在北京首都国际机场, 至此国航北京
所以, = arccos[ sin 1 sin 2 + cos 1 cos 2 cos( 1 - 2 ) ] ,
2005年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(13立体几何)
2005年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（13立体几何）一、选择题：1、(2005春招北京文)下列命题中，正确的是 （C ）A ．经过不同的三点有且只有一个平面B ．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线C ．垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D ．垂直于同一个平面的两个平面平行2、(2005春招北京理)有如下三个命题：①分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线； ②垂直于同一个平面的两条直线是平行直线； ③过平面α的一条斜线有一个平面与平面α垂直。
其中正确命题的个数为（ C ）A ．0B ．1C ．2D ．33. (2005春招上海) 已知直线n m l 、、及平面α，下列命题中的假命题是 （A ）若//l m ，//m n ，则//l n . （B ）若l α⊥，//n α，则l n ⊥. （C ）若l m ⊥，//m n ，则l n ⊥. （D ）若//l α，//n α，则//l n .[答] ( )4. (2005北京文、理)在正四面体P －ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论中不成立．．．的是 （A ）BC//平面PDF （B ）DF ⊥平面PA E（C ）平面PDF ⊥平面ABC （D ）平面PAE ⊥平面 ABC 【答案】C【详解】 如图所示：DF ∥BC 可得A 正确BC PO BC PE ⊥⊥ 可得BC ⊥平面PAE 从而得DF ⊥平面PAE B 正确PO ⊥平面ABC 则平面PAE ⊥平面ABC D 正确【名师指津】立体几何中的几个重要模型正四面体、正三棱锥、正四棱等中的边边、边面、面面之间的关系为这一章节的重点内容,高考题的大部分题目都以它们为背景.5．(2005福建文、理)如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB=2，AD=1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角是（ ） A ．515arccosB ．4πC ．510arccosD ．2π解：∵GB 1∥A 1E,∠B 1GF 即为A 1E 与GF 所成的角, B 1G=2222111112C B C G +=+=B 1F=22221215B B BF +=+=,GF=2223CG CB BF ++=,B 1G 2+FG 2=B 1F 2∴∠B 1GF=90°,选(D)6．(2005福建文、理)已知直线m 、n 与平面βα,，给出下列三个命题： ①若;//,//,//n m n m 则αα ②若;,,//m n n m ⊥⊥则αα③若.,//,βαβα⊥⊥则m m 其中真命题的个数是 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解：②③命题为真命题,选(C)7. (2005广东)已知高为３的直棱锥C B A ABC '''-的底面是边长为１的正三角形（如图１所示），则三棱锥ABC B -'的体积为（ D ）A ．41B ．21C ．63D ．43解:∵ ,ABC B B 平面⊥'∴43343313131=⋅⋅='⋅=⋅=∆∆-'B B S h S ABC ABC ABC B V ． 故选D.8. (2005广东)给出下列关于互不相同的直线m 、l 、n 和平面α、β，的四个命题： ①若A l m =⊂ααI,，点m A ∉，则l 与m 不共面；②若m 、l 是异面直线, αα//,//m l , 且m n l n ⊥⊥,，则α⊥n ； ③若βα//,//m l , βα//，则m l //；④若=⊂⊂m l m l I ,,αα点A ，ββ//,//m l ，则βα//．其中为假命题的是（ C ）A ．①B ．②C ．③D ．④解：③是假命题，如右图所示 满足βα//,//m l , βα//，但 m l \// ，故选C ．9．(2005湖北理)如图，在三棱柱ABC —A ′B ′C ′中，点E 、F 、H 、 K 分 别为AC ′、CB ′、A ′B 、B ′C ′的中点，G 为△ABC 的 重心. 从K 、H 、G 、B ′中取一点作为P ， 使得该棱柱恰有 2条棱与平面PEF 平行，则P 为 （ ） A ．K B ．H C ．G D ．B ′ 解：用排除法.∵AB ∥平面KEF,A B ''∥平面KEF,B B '∥平面KEF,AA '∥平面KEF,否定(A),AB ∥平面HEF,A B ''∥平面HEF,AC ∥平面HEF,A C ''∥平面HEF,否定(B),对于平面GEF,有且只有两条棱AB,A B '' 平面GEF,符合要求,故(C)为本题选择支.当P 点选B '时有且只有一条棱AB ∥平面PEF,综上选(C)10．(2005湖北文)木星的体积约是地球体积的30240倍，则它的表面积约是地球表面积的（ ）A ．60倍B ．6030倍C ．120倍D ．12030倍解：设木星的半径为r 1,地球的半径为r 2由题意得313224030r r =,则木星的表面积∶地球的表面积=23322112233221240302403012024030r r r r r r =⋅==⨯=,选(C)lα βmB'C'A BC图111．(2005湖北文)已知a 、b 、c 是直线，β是平面，给出下列命题：①若c a c b b a //,,则⊥⊥； ②若c a c b b a ⊥⊥则,,//；③若b a b a //,,//则ββ⊂；④若a 与b 异面，且ββ与则b a ,//相交；⑤若a 与b 异面，则至多有一条直线与a ，b 都垂直. 其中真命题的个数是 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解：①③④⑤是假命题,②是真命题,选(A)12．(2005湖南文)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 是A 1B 1的中点，则E 到平面AB C 1D 1的距离为（ ）A ．23B ．22C ．21D ． 33[评述]：本题考查点面距离，可转化为线面距离求解.【思路点拨】本题目涉及立体几何的点面距离及正方体中线面角的若干关系.【正确解答】因为在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1平行于平面ABC 1D 1。
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从2005年高考试题看“球面两点间的距离”
一、高考试题的典例精析
例1：（2005年北京春季高考卷）2004年12月26日8时58分（北京时间），印度尼西亚芬门答腊岛西北近海（3.9°N，95.9°E）发生地震并引发海啸。
海啸以800千米/小时的速度传播到马尔代夫的首都马累（4.2°N，73.5°E）时，当地区时约为
A. 6时
B. 9时
C. 12时
D. 15时
解析：解题思路是：首先计算海啸发生地到马累的经度差，由于两地纬度相差很小，可以忽略不计，这样可认为两地在同一纬线赤道上，按照经度相差1°约相距111千米计算出两地距离，再根据速度计算出所需要的时间。
最后根据海啸传播到马累的北京时间推导出所求区时。
答案选择B项。
例2：（2005年全国高考卷I）下图为亚洲两个国家略图，据地理坐标判断甲、乙两地距离约为
A. 1300千米
B. 550千米
C. 300千米
D. 1550千米
解析：解题思路是：首先空间定位，由于是亚洲图，所以甲为（34°N，36°E），乙为（29°N，48°E），两地经度差为12°。
由于甲、乙两地纬度相差不大，且接近30°N，可认为两地位于30°N。
这样，甲、乙两地距离即为12×cos30°×111千米≈1300千米。
答案选择C项。
例3：（2005年重庆高考卷）2004年7月28日，我国第一个北极科学考察站－－黄河站（78°55＇N，11°56＇E）建成。
黄河站至北极点的距离约为
A. 600千米
B. 900千米
C. 1200千米
D. 1500千米
解析：解题思路是：首先回忆经线指连接南北两极的线，所以黄河站至北极点的距离实质为同一经线
上两点的距离。
又因同一经线上，全球各地纬度相差1°的间隔长度都相等，大约是111千米，所以两地距离为11×111≈1200千米。
答案选择C项。
例4：（2005年全国高考卷II）读下图回答，马荣火山与九州一帕劳海岭的距离约为
A. 1400千米
B. 1200千米
C. 1000千米
D. 800千米
解析：解题思路是：首先判断两地同位于13°N，读图可知马荣火山与九州一帕劳海岭之间的经度差约11°，则距离为11×111×cos13°≈11×111×cos0°≈1200千米。
答案选择B项。
二、此类试题命题特点
有的是给出材料，材料中直接或间接给出经纬度；有的是以图的形式展现，一般是经纬线与地形图、地形剖面图、区域地理图相结合。
注意：条件一般都隐藏在题目中，要认真分析、仔细读图，从而解读计算的距离与经纬线的关系。
三、解题对策
地球表面两点间的最短距离不是连接两点的直线距离，而是经过这两点所在的以地心为圆心的大圆的劣弧（不超过半圆弧）长度。
（一）解题依据
可以根据经纬度差量算两点之间的距离。
由于地球表面的经线圈、赤道及所有以地心为圆心的大圆长度都为4万千米，所以：
1. 同一经线上，全球各地纬度相差1°的间隔长度都相等（因为所有经线圈的长度为大圆，都相等），大约是111千米；
2. 赤道上经度相差1°对应的弧长大约也是111千米；
3. 由于各纬线圈从赤道向两极递减，60°纬线上的长度为赤道上的一半，所以在各纬线上经度差1°的弧长就不相等，纬度越高，同一纬线上经度相差1°的弧长就越短。
纬度为α的纬线上，经度1°对应的弧长为111×cosα千米。
（二）解题方法
1. 同一经线上两点间的最短距离：
111千米×大圆劣弧纬度差。
如：ABB ＇在同一经线上，A 点纬度为α，B 点纬度为β，B ＇点纬度为γ，则同一半球AB 两点最短距离＝111千米×（αβ-），不同半球AB ＇两点最短距离＝111千米×（αγ+）。
2. 若两点经度差等于180°，则过两点的大圆为经线圈，两点最短距离：大圆中过两极点的劣弧，即111千米×大圆劣弧纬度差。
如：A 点纬度为α，B 点纬度为β，则AB 两点最短距离＝111千米×［（90°－α）＋（90°－β）］
3. 赤道上两点最短距离：111千米×劣弧经度差。
4. 在同一条纬线上（假设此纬线的纬度为α）两点较短距离：因为经度相差1°对应的实际弧长大约为111cos α，所以两点距离为：111cos α×纬线劣弧经度差。
如下图：AB 距离为111×60cos60°千米。
（需要注意的是：除赤道外，位于同一纬线上两点距离并不是二者的最短距离，因为纬线并不是过圆心的大圆）
5. 不同经纬线上两点最短距离：过两点的大圆不是经线圈，而是以地心为圆心，与经线圈斜交的大圆，两点最近距离不过极点，而是过两极地区的大圆的劣弧。
如上图所示，假如A 、B 两点既不位于同一纬线上，也不位于同一经线上，即A 、B 两点的经纬度都不相同，则A 、B 两点间的最短距离就是以地心为圆心过A 、B 两点大圆的劣弧长度。
只要求出通过A 、B 两
点大圆的圆弧AB 对应的球心角或圆心角，就可求出A 、B 两点间的距离。
根据球面三角形余弦定理即可计算出该球心角的大小。
球面三角形余弦定理：在球面三角形中，任意一边所对应球心角的余弦等于其他两边各自对应球心角的余弦乘积加上这两边各自对应球心角的正弦及任意一边对应球心角的余弦三项乘积。
如上图所示，已知在球面三角形ABC 中，a 为A 、B 两点间的经度差，b 为A 、B 两点间的纬度差，c 为A 、B 两点间其他任意大圆的球心角或圆心角。
据球面三角形余弦定理，得公式：cos cos cos sin sin cos c a b a b ACB =+∠。
由于经线NC 与纬线CB 互相垂直即∠=ACB 90°，上述公式可变为：cos cos cos c a b =。
这样就可求出圆弧AB 对应的球心角或圆心角c 的大小。
再根据公式L=111千米×球心角c ，计算出在不同经纬线上任意两点间的距离。
在实际计算中，可以大致进行估算。
方法是如果纬度相差不大，可以认为在同一纬线上，纬度采取与实际纬度最接近的特殊值（如30°、45°、60°等）；或者结合勾股定理估算。
四、思路扩展
此类知识的应用－－关于两点间最近航线方向的判断，在航海和航空的线路设计中经常会应用，要求有空间立体概念。
注意以下规律：
1. 两点若在同一纬线上，只有东西方向。
2. 两点若在同一经线上，只有南北方向。
3. 若两点经度差等于180°，过这两点的大圆便是经线圈，最短航程过两极点，具体又分为三种情况：
（1）同位于北半球，最近航程一定是先向北，过极点后，再向南；
（2）同位于南半球，最近航程一定是先向南，过极点后，再向北；
（3）两地位于不同半球，这时需要讨论，要看过北极点的为劣弧，还是过南极点的为劣弧，确定后，再讨论。
4. 若两点经度差不等于180°，过这两点的大圆不是经线圈，而与经线圈斜交，最短航程不过两极点，而是过两极地区（或上空），具体又分两种情况：
（1）甲地位于乙地的东方，从甲地到乙地的最短航程为：同在北半球，先向西北再向西，最后向西南；同在南半球，先向西南，再向西，最后向西北；位于不同半球时需要讨论，方法同上；
（2）甲地位于乙地的西方，从甲地到乙地的最短航程为：同在北半球，先向东北再向东，最后向东南；同在南半球，先向东南，再向东，最后向东北；位于不同半球时需要讨论。
总之，只要掌握了规律，做到真正理解，做题就能得心应手。