课时跟踪检测(十三) 平面与平面垂直的判定

课时跟踪检测（十三）平面与平面垂直的判定A级——学考水平达标1．从空间一点P向二面角α-l-β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α-l-β的平面角的大小是()A．60°B．120°C．60°或120°D．不确定解析：选C若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°.2．如果直线l，m与平面α，β，γ满足：β∩γ＝l，l∥α，m⊂α和m⊥γ，那么必有() A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ解析：选A B错，有可能m与β相交；C错，有可能m与β相交；D错，有可能α与β相交．3．已知直线a，b与平面α，β，γ，下列能使α⊥β成立的条件是()A．α⊥γ，β⊥γB．α∩β＝a，b⊥a，b⊂βC．a∥β，a∥αD．a∥α，a⊥β解析：选D由a∥α，知α内必有直线l与a平行．而a⊥β，∴l⊥β，∴α⊥β.4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成几何体A-BCD，则在几何体A-BCD中，下列结论正确的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC解析：选D由已知得BA⊥AD，CD⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，∴CD⊥平面ABD，从而CD⊥AB，故AB⊥平面ADC.又AB⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC.5．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，截面A 1BD 与底面ABCD 所成二面角A 1-BD -A 的正切值为( )A.32B.22C. 2D. 3解析：选C 如图所示，连接AC 交BD 于点O ，连接A 1O ，O 为BD 中点， ∵A 1D ＝A 1B ，∴在△A1BD 中，A 1O ⊥BD .又∵在正方形ABCD 中，AC ⊥BD ， ∴∠A 1OA 为二面角A 1-BD -A 的平面角． 设AA 1＝1，则AO ＝22. ∴tan ∠A 1OA ＝122＝ 2. 6．如果规定：x ＝y ，y ＝z ，则x ＝z ，叫作x ，y ，z 关于相等关系具有传递性，那么空间三个平面α，β，γ关于相交、垂直、平行这三种关系中具有传递性的是________．解析：由平面与平面的位置关系及两个平面平行、垂直的定义、判定定理，知平面平行具有传递性，相交、垂直都不具有传递性．答案：平行7．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是CC 1的中点，则平面EBD 与平面AA 1C 1C 的位置关系是________．(填“垂直”“不垂直”其中的一个)解：如图，在正方体中，CC 1⊥平面ABCD ，∴CC 1⊥BD .又AC ⊥BD ，CC 1∩AC ＝C ， ∴BD ⊥平面AA 1C 1C . 又BD ⊂平面EBD ， ∴平面EBD ⊥平面AA 1C 1C . 答案：垂直8.如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是______(填序号)．①PB⊥AD；②平面PAB⊥平面PAE；③BC∥平面PAE；④直线PD与平面ABC所成的角为45°.解析：由于AD与AB不垂直，因此得不到PB⊥AD，①不正确；由PA⊥AB，AE⊥AB，PA∩AE＝A，得AB⊥平面PAE，因为AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAE，②正确；延长BC，EA，两者相交，因此BC与平面PAE相交，③不正确；由于PA⊥平面ABC，所以∠PDA就是直线PD与平面ABC所成的角，由PA＝2AB，AD＝2AB，得PA＝AD，所以∠PDA＝45°，④正确．答案：②④9．如图，在圆锥PO中，AB是⊙O的直径，C是A B上的点，D为AC的中点．证明：平面POD⊥平面PAC.证明：如图，连接OC，因为OA＝OC，D是AC的中点，所以AC⊥OD.又PO⊥底面ABC，AC⊂底面ABC，所以AC⊥PO.因为OD，PO是平面POD内的两条相交直线，所以AC⊥平面POD.又AC⊂平面PAC，所以平面POD⊥平面PAC.10.如图所示，在△ABC中，AB⊥BC，SA⊥平面ABC，DE垂直平分SC，且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E-BD-C的大小．解：∵E为SC中点，且SB＝BC，∴BE⊥SC.又DE⊥SC，BE∩DE＝E，∴SC⊥平面BDE，∴BD⊥SC.又SA⊥平面ABC，可得SA⊥BD.又SC∩SA＝S，∴BD⊥平面SAC，从而BD⊥AC，BD⊥DE，∴∠EDC为二面角E-BD-C的平面角．设SA＝AB＝1.在△ABC中，∵AB⊥BC，∴SB＝BC＝2，AC＝3，∴SC＝2.在Rt△SAC中，∠DCS＝30°，∴∠EDC＝60°，即二面角E-BD-C为60°.B级——高考能力达标1．(浙江高考)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β.() A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥mC．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥m解析：选A∵l⊥β，l⊂α，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A正确．2．一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系为()A．相等B．互补C．相等或互补D．不确定解析：选D反例：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是CD，C1D1的中点，二面角D-AA1-E与二面角B1-AB-D的两个半平面就是分别对应垂直的，但是这两个二面角既不相等，也不互补，故选D.3.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折．给出四个结论：①DF⊥BC；②BD⊥FC；③平面DBF⊥平面BFC；④平面DCF⊥平面BFC.在翻折的过程中，可能成立的结论是( ) A ．①③ B ．②③ C ．②④D ．③④解析：选B 对于①，因为BC ∥AD ，AD 与DF 相交不垂直，所以BC 与DF 不垂直，故①不可能成立；对于②，如图，设点D 的在平面BCF 上的射影为点P ，当BP ⊥CF 时，有BD ⊥FC ，而AD ∶BC ∶AB ＝2∶3∶4可使条件满足，故②可能成立；对于③，当点P 落在BF 上时，DP ⊂平面BDF ，从而平面BDF ⊥平面BCF ，故③可能成立；对于④，因为点D 的射影不可能在FC 上，故④不可能成立．故选B.4.如图，在四面体P -ABC 中，AB ＝AC ，PB ＝PC ，D ，E ，F 分别是棱AB ，BC ，CA 的中点，则下列结论中不一定成立的是( )A ．BC ∥平面PDFB ．DF ⊥平面PAEC ．平面PDF ⊥平面PAED ．平面PDF ⊥平面ABC解析：选D 因为D ，F 分别为AB ，AC 的中点，则DF 为△ABC 的中位线，则BC ∥DF ，依据线面平行的判定定理，可知BC ∥平面PDF ，A 成立．又E 为BC 的中点，且PB ＝PC ，AB ＝AC ，则BC ⊥PE ，BC ⊥AE ，依据线面垂直的判定定理，可知BC ⊥平面PAE .因为BC ∥DF ，所以DF ⊥平面PAE ，B 成立．又DF ⊂平面PDF ，则平面PDF ⊥平面PAE ，C 成立．要使平面PDF ⊥平面ABC ，已知AE ⊥DF ，则必须有AE ⊥PD 或AE ⊥PF ，由条件知此垂直关系不一定成立，故选D.5.如图，平面ABC ⊥平面BDC ，∠BAC ＝∠BDC ＝90°，且AB ＝AC ＝a ，则AD ＝________.解析：取BC 中点M ，则AM ⊥BC ， 由题意得AM ⊥平面BDC ，∴△AMD 为直角三角形， AM ＝MD ＝22a .∴AD ＝22a ×2＝a . 答案：a6.如图，二面角α-l -β的大小是60°，线段AB ⊂α，B ∈l ，AB与l 所成的角为30°，则AB 与平面β所成的角的正弦值是________．解析：如图，作AO ⊥β于O ，AC ⊥l 于C ，连接OB，OC ，则OC ⊥l .设AB 与β所成的角为θ，则∠ABO ＝θ，由图得sin θ＝AO AB ＝AC AB ·AOAC ＝sin 30°·sin 60°＝34. 答案：347．已知正方形ABCD 的边长为2，AC ∩BD ＝O .将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使AC ＝a ，得到三棱锥A -BCD ，如图．(1)当a ＝2时，求证：AO ⊥平面BCD .(2)当二面角A -BD -C 的大小为120°时，求二面角A -BC -D 的正切值．解：(1)证明：在△AOC 中，AC ＝a ＝2，AO ＝CO ＝ 2. ∴AC 2＝AO 2＋CO 2，∴AO ⊥CO .∵AO ⊥BD ，BD ∩CO ＝O ，∴AO ⊥平面BCD .(2)折叠后，BD ⊥AO ，BD ⊥CO ，∴∠AOC 是二面角A -BD -C 的平面角，即∠AOC ＝120°. 在△AOC 中，AO ＝CO ＝2， ∴AC ＝ 6.如图，过点A 作CO 的垂线交线段CO 的延长线于点H . ∵BD ⊥CO ，BD ⊥AO ，CO ∩AO ＝O ， ∴BD ⊥平面AOC .∵AH ⊂平面AOC ，∴BD ⊥AH .又∵CO ⊥AH ，CO ∩BD ＝O ，∴AH ⊥平面BCD . ∴AH ⊥BC .过点A 作AK ⊥BC ，垂足为K ，连接HK . ∵AK ∩AH ＝A ，∴BC ⊥平面AHK . ∵HK ⊂平面AHK ，∴BC ⊥HK . ∴∠AKH 为二面角A -BC -D 的平面角． 在△AHO 中，AH ＝62，OH ＝22， ∴CH ＝CO ＋OH ＝2＋22＝322. 在Rt △CKH 中，HK ＝22CH ＝32. 在Rt △AHK 中，tan ∠AKH ＝AH HK ＝6232＝63.∴二面角A -BC -D的正切值为63.8．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝1，AD ＝2，PA ⊥底面ABCD ，PD 与底面成45°角，点E 是PD 的中点．(1)求证：BE ⊥PD .(2)求二面角P -CD -A 的余弦值． 解：(1)证明：连接AE .∵PA ⊥底面ABCD ，∴∠PDA 是PD 与底 面ABCD 所成的角， ∴∠PDA ＝45°.∴PA ＝DA .又∵点E 是PD 的中点，∴AE ⊥PD .∵PA ⊥底面ABCD ，AB ⊂底面ABCD ，∴PA ⊥AB . ∵∠BAD ＝90°，∴BA ⊥DA .又∵PA ∩AD ＝A ，∴BA ⊥平面PDA . 又∵PD ⊂平面PDA ，∴BA ⊥PD . 又∵BA ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面ABE . ∵BE ⊂平面ABE ，∴BE ⊥PD . (2)连接AC .在直角梯形ABCD 中， AB ＝BC ＝1，AD ＝2，∴AC ＝CD ＝ 2.∵AC 2＋CD 2＝AD 2，∴AC ⊥CD . 又∵PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂底面ABCD ，∴PA ⊥CD . ∵AC ∩PA ＝A ，∴CD ⊥平面PAC . 又∵PC ⊂平面PAC ，∴PC ⊥CD ， ∴∠PCA 为二面角P -CD -A 的平面角． 在Rt △PCA 中，PC ＝PA 2＋AC 2＝22＋(2)2＝ 6.∴cos ∠PCA ＝AC PC ＝26＝33.∴所求的二面角的余弦值为33.。