【优质课件】北师大版选修11高中数学2.3.1双曲线及其标准方程1优秀课件.ppt

求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)双曲线的一个焦点坐标是(0，－6)，经过点 A(－5，6)， ________； (2)与椭圆1x62 ＋2y52 ＝1 共焦点，且过点(1，－25)，________. [答案] (1)1y62 －2x02 ＝1 (2)y52－x42＝1
[解析] (1)解法一：由已知得，c＝6，且焦点在 y 轴上， 则另一焦点坐标是(0,6)．
双曲线的焦点三角形
设双曲线x42－y92＝1，F1，F2 是其两个焦点，点 P 在双曲线右支上．
(1)若∠F1PF2＝90°，求△F1PF2 的面积； (2)若∠F1PF2＝60°时，△F1PF2 的面积是多少？若∠F1PF2 ＝12[0分°时析，] △由F1于PF三2 的角面形积面又积是S多△少F1P？F2＝12|PF1|·|PF2|·sinθ，所以 只要求出|PF1||PF2|即可．因此可考虑用双曲线定义及余弦定理 求出|PF1|·|PF2|.
B中，∵||PF1|－|PF2||＝6＝|F1F2|，∴动点 P的轨迹是以F1或F2为端点的射线(含端点)；
C中，∵||PF1|－|PF2||＝7>|F1F2|，∴动点P 的轨迹不存在；
D中，∵||PF1|－|PF2||＝0，即|PF1|＝ |PF2|，根据线段垂直平分线的性质，动点P的 轨迹是线段F1F2的垂直平分线，故选A.
(2)若∠F1PF2＝60°， 在△F1PF2 中，由余弦定理得|F1F2|2＝r21＋r22－2r1r2cos60° ＝(r1－r2)2＋r1r2， 而 r1－r2＝4，|F1F2|＝2 13，∴r1r2＝36. 于是 S△F1PF2＝12r1r2sin60°＝12×36× 23＝9 3. 同理可求得若∠F1PF2＝120°时，S△F1PF2＝3 3.
椭圆、双曲线的标准方程的区别和联系.
椭圆
双曲线
定义|MF1|＋|MF2|＝2a 因为 a>c>0，
定义|MF1|－|MF2|＝±2a 因为 0<a<c，
所以令 a2－c2＝b2(b>0) ax22＋by22＝1 或ay22＋bx22＝1
(a>b>0)
所以令 c2－a2＝b2(b>0) ax22－by22＝1 或ay22－bx22＝1 (a>0，b>0，a 不一定大于 b)
_____.
双曲线的标准方程
1.焦点在x轴上的双曲线ay的22－标bx22＝ax准22－1(方aby2>2＝程0，1(为ba>>00)，b>0) ________________，焦点在y轴上的双曲线的
a2＋b2＝c2
标准方程为__________________．
2．在双曲线的标准方程中a、b、c的关系 为__________.
或 2.
3．在方程mx2－my2＝n中，若mn<0，则 方程的曲线是( )
A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在x轴 上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆 D．焦点在y轴
上的[解双析曲] 线方程 [答案] D
mx2－my2＝n
可化为：－y2mn －－x2mn ＝1，∵
mn<0，∴－mn >0，
∴方程的曲线是焦点在 y 轴上的双曲线．
1.已知两定点F1(－3,0)、F2(3,0)，在满足下 列条件的平面内动点P的轨迹中，是双曲线的 是( )
A．||PF1|－|PF2||＝5 B．||PF1|－|PF2||＝6 C．||PF1|－|PF2||＝7 D．||PF1|－|PF2||＝0
[解析] A中，∵|F1F2|＝6，∴||PF1|－ |PF2||＝5<|F1F2|，故运点P的轨迹是双曲线；
[方法规律总结] 在椭圆的研究中我们已经 体验了定义在解决有关曲线上的点到焦点距离 问题中的作用，同样在双曲线中也应注意定义 的应用．
已知双曲线上一点与两焦点构成的三角形 问题，往往利用正弦定理、余弦定理以及双曲 线的定义列出关系式．
若 F1、F2 是双曲线x92－1y62 ＝1 的两个焦点，P 在双曲线上， 且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2 的大小．
[解析] 由双曲线的对称性，可设点 P 在第一象限， 由双曲线的方程，知 a＝3，b＝4，∴c＝5. 由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝2a＝6. 上式两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋64 ＝100，
由余弦定理，得 cos∠F1PF2 ＝|PF1|22＋|P|PFF1|·2||P2－F2||F1F2|2＝21|P0F0－1|·|1P0F02|＝0. ∴∠F1PF2＝90°. [方法规律总结] 双曲线的焦点三角形是常见的命题着眼 点，在焦点三角形中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义等 是经常使用的知识点．另外，还经常结合|PF1|－|PF2|＝±2a，运 用平方的方法，建立它与|PF1|·|PF2|的联系，请同学们多加注意.
1.定义中为何强调“绝对值”和 “0<2a<|F1F2|”．
(1)在双曲线的定义中，条件0<2a<|F1F2|不 应忽视，若2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是两条 射线；若2a>|F1F2|，则动点的轨迹是不存在．
(2)双曲线定义中应注意关键词“绝对 值”，若去掉定义中“绝对值”三个字，动点
轨迹只能是双曲线的一支．
课堂典例探究
待定系数法求双曲线的标准方程
(1)已知双曲线的焦点在 y 轴上，并且双曲线经 过点(3，－4 2)和(49，5)，求双曲线的标准方程；
(2)求与双曲线1x62 －y42＝1 有公共焦点，且过点(3 2，2)的双 曲线方程．
[分析] 可先设出双曲线的标准方程，再构 造关于a、b的方程组，求得a、b，从而求得双 曲线的标准方程．注意对平方关系c2＝a2＋b2 的运[解用析．] (1)由已知可设所求双曲线方程为ay22－bx22＝1(a>0，
(3)寻关系：根据已知条件列出关于 a、b(或 m、n)的方程组； (4)得方程：解方程组，将 a、b、c(或 m、n)的值代入所设 方程即为所求． 2．在求过两定点的椭圆方程时，我们曾经将椭圆方程设为 mx2＋my2＝1(m>0，n>0)以简化运算，同理求经过两定点的双曲 线方程也可设为 mx2＋ny2＝1，但这里应有 m·n<0.
[答案] －31
[解析] 因为 P 在双曲线上，且P→F1·P→F2＝0， 所以△PF1F2 是直角三角形． 又因为 tan∠PF1F2＝2，所以|PF2|＝2|PF1|. 根据双曲线的定义有|PF2|－|PF1|＝2a， 所以|PF2|＝4a，|PF1|＝2a， 于是|F1F2|＝2 5a，即 2c＝2 5a， 所以 c＝ 5a，于是 b＝2a，故aa＋－bb＝aa－ ＋22aa＝－31.
[解析] (1)由双曲线方程知 a＝2，b＝3，c＝ 13， 设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2(r1>r2)， 如图所示．由双曲线定义，有 r1－r2＝2a＝4， 两边平方得 r21＋r22－2r1r2＝16. ∵∠F1PF2＝90°， ∴r21＋r22＝4c2＝4×( 13)2＝52. ∴2r1r2＝52－16＝36，∴S△F1PF2＝12r1r2＝9.
解法二：设双曲线方程为16x－2 k－4＋y2 k＝1， 将点(3 2，2)代入得 k＝4， ∴所求双曲线方程为1x22 －y82＝1. [方法规律总结] 1.利用待定系数法求双曲线标准方程的 步骤如下： (1)定位置：根据条件判定双曲线的焦点在 x 轴上还是在 y 轴上，还是两坐标轴都有可能．
(2)设方程：根据焦点位置，设方程为ax22－by22＝1 或ay22－bx22＝ 1(a>0，b>0)，焦点不定时，亦可设为 mx2＋ny2＝1(m·n<0)；
[答案] A
[方法规律总结] 注意双曲线定义中的“小 于|F1F2|”这一限制条件，其依据是“三角形两 边之差小于第三边”．实际上，
(1)若2a＝|F1F1|，即||PF1|－|PF2||＝ |F1F2|，根据平面几何知识，当|PF1|－|PF2|＝ |F1F2|时，动点轨迹是以F2为端点的一条射线； 当|PF2|－|PF1|＝|F1F2|时，动点轨迹是以F1为 端点的一条射线；
3.通过比较两种不同类型的双曲线方程ax22－by22＝1 和ay22－bx22 ＝1(a>0，b>0)，可以看出，如果 x2 项的系数是正的，那么焦点 在 x 轴上；如果 y2 项的系数是正的，那么焦点在 y 轴上．对于 双曲线，a 不一定大于 b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的 大小来判定焦点在哪一条坐标轴上.
又双曲线经过点 A(6，－5)，故选 A.
5．满足下列条件的点 P(x，y)的轨迹是什么图形？ (1)| x＋52＋y2－ x－52＋y2|＝6； (2) x＋42＋y2－ x－42＋y2＝6. [答案] (1)以(－5,0)，(5,0)为焦点的双曲线； (2)以(－4,0)，(4,0)为焦点的双曲线的右支．
b>0)，
则23aa5222 － －b19862＝1b21＝1
，解得ab22＝ ＝196 .
∴双曲线的标准方程为1y62 －x92＝1.
(2)解法一：设双曲线方程为ax22－by22＝1(a>0，b>0)，由题意 易求得 c＝2 5.
又双曲线过点(3 2，2)， ∴3 a222－b42＝1. 又∵a2＋b2＝(2 5)2， ∴a2＝12，b2＝8. 故所求双曲线的方程为1x22 －y82＝1.
因为点 A(－5,6)在双曲线上，所以点 A 与两焦点的距离的 差的绝对值是常数 2a，即
2a＝| －52＋6＋62－ －52＋6－62| ＝|13－5|＝8， 得 a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20. 因此，所求的双曲线标准方程是1y62 －2x02 ＝1.
解法二：由焦点坐标知 c＝6，∴a2＋b2＝36， ∴双曲线方程为ay22－36－x2 a2＝1. ∵双曲线过点 A(－5,6)， ∴3a62 －362－5 a2＝1，∴a2＝16，b2＝20. 双曲线方程为1y62 －2x02 ＝1.