海淀区高三一模数学文科试卷及答案(优选.)
2023年北京海淀区高三一模数学试题及答案
海淀区2022—2023学年第二学期期中练习高三数学参考答案一、选择题二、填空题 （11）(,2)(1,)−∞−+∞（12）2（13）2π （答案不唯一，[,]62ϕππ∈） （14）1；(,0][2,)−∞+∞（15）①③三、解答题共6小题，共85分。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
（16）（本小题13分）解：（Ⅰ）由直三棱柱111−ABC A B C 可知1BC CC ⊥，又因为AC BC ⊥，且1ACCC C =,所以BC ⊥平面11CC A A .由1C D ⊂平面11CC A A ，所以1BC C D ⊥.在矩形11CC A A 中，111,2AD DA CC ===，所以1DC DC ==.可得22211C C C D CD =+，所以1C D CD ⊥.又因为BC CD C =， 所以1C D ⊥平面BCD .（Ⅱ）由题意可知，1,,CA CB CC 两两垂直，如图建立空间直角坐标系C xyz −，则(0,0,0)C ，(1,0,1)D ，(0,1,0)B ，1(0,0,2)C ，(1,1,1)BD =−，1(0,1,2)BC =−,(1,0,1)CD =. 设平面1BC D 的一个法向量为(,,)x y z =n ，则10,0,BD BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,20.x y z y z −+=⎧⎨−+=⎩令1z =，则2y =，1x =， 得(1,2,1)=n . 设直线CD 与平面1BC D 所成角为θ，则sin |cos ,|θ⋅=<>==CD CD CD n n n ，所以直线CD 与平面1BC D 所成角的正弦值为3.（17）（本小题14分）解：（Ⅰ）由sin 23sin b A a B 及正弦定理，得sin sin 23sin sin B A A B .由倍角公式得2sin sin cos 3sin sin B A A A B .在ABC △中，sin 0,sin 0A B ， 得3cos 2A .因为π(0,)2A ，所以π6A .（Ⅱ）记ABC △的面积为ABC S △.选条件②：由（Ⅰ）知π6A ，又由题知33ABC S △， 可得1sin 2△ABC S bc A 得123bc . 又由条件②，即334b c ，解得33,4b c .由余弦定理，得2222cos 32716233427a b c bc A，所以7.a选条件③：又由条件③，即cos C =(0,π)C ∈，可得sin C =. 所以sin sin()sin cos cossin B A C AC A C =+=+12=+= 由（Ⅰ）知π6A， 又由题知33ABCS △，可得1sin 2△ABC S bc A . 得123bc .由正弦定理得::sin :sin :sin 7:a bc A B C ==.可设7,,a kbc ===.由bc =k =.得a =（18）（本小题14分） 解：（Ⅰ）设该户网购生鲜蔬菜次数超过20次为事件C ，在A 组10户中超过20次的有3户，由样本频率估计总体概率，则3()10P C =.（Ⅱ）由样本频率估计总体概率，一单元参与网购家庭随机抽取1户的网购生鲜蔬菜次数超过20次概率为310，二单元参与网购家庭随机抽取1户的网购生鲜蔬菜次数超过20次概率为710. X 的取值范围为{}0,1,2.3721(0)(1)(1)1010100P X ==−⨯−=， 373729(1)(1)(1)1010101050P X ==⨯−+−⨯=， 3721(2)1010100P X ==⨯=. 212921()012110050100E X =⨯+⨯+⨯=.（Ⅲ）12()()D D ξξ=.19. （本小题14分）解：（Ⅰ）依题意可得：22,b =⎧⎪⎨=⎪⎩解得 1.a b ⎧⎪⎨=⎪⎩椭圆E 的方程为2215x y +=.（Ⅱ）依题意, 可设直线l 方程为(0)y kx m km =+≠，1122(,),(,)M x y N x y . 联立方程221,5.x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得222(51)10550k x kmx m +++−=.22222(10)4(51)(55)10020200km k m k m ∆=−⋅+−=−+>，即2251k m >−.1221051km x x k +=−+，21225551m x x k −=+. 在直线l 方程y kx m =+中，令0y =，得m x k=−，得(,0)m P k −.依题意得11'(,)M x y −，得直线'M N 方程为211121()y y y x x y x x −=+++. 令0x =，得122112Q x y x y y x x +=+.所以△OPQ 的面积为1221121122OPQ P Q x y x y m S x y k x x ∆+=⋅=⋅+. 122112211212()()2()x y x y x kx m x kx m kx x m x x +=+++=++222225510102515151m km k k k k k −−=⋅−=+++. 即1102210OPQ m k S k km=⋅=△，解得14k =±，经检验符合题意. 所以k 的值为14±.解：（Ⅰ）当1a =时，()e x f x x =−.则(0)1f =.求导得'()e 1x f x =−，得'(0)0f =.所以曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程为1y =. （Ⅱ）求导得'()e 1ax f x a =−.当0a ≤时，'()0f x <恒成立，此时()f x 在R 上单调递减.当0a >时，令'()0f x =，解得ln =a x a −.()f x 与()f x '的变化情况如下：由上表可知，()f x 的减区间为ln (,)a a −∞−，增区间为ln (,)a a−+∞. 综上，当0a ≤时，()f x 的减区间为(,)−∞+∞，无增区间； 当0a >时，()f x 的减区间为ln (,)a a −∞−，增区间为ln (,)a a −+∞. （Ⅲ）将()f x 在区间[1,1]−上的最大值记为max ()f x ，最小值记为min ()f x .由题意，若[1,1]x ∃∈−，使得|()|3f x ≥成立，即max ()3f x ≥或min ()3f x ≤−. 当[1,1]x ∈−时，()e 1ax f x x x =−>−≥−.所以若[1,1]x ∃∈−，使得|()|3f x ≥成立，只需max ()3f x ≥. 由（Ⅱ）可知()f x 在区间[1,1]−上单调或先减后增，故max ()f x 为(1)f −与(1)f 中的较大者， 所以只需当(1)3f −≥或(1)3f ≥即可满足题意.即(1)e 13a f −−=+≥或(1)e 13a f =−≥.解得ln2a ≤−或ln 4a ≥.综上所述，a 的取值范围是(,ln 2][ln 4,)−∞−+∞.解：（Ⅰ）（ⅰ）不满足.令3i j ==，16i j a a =不是数列{}n a 中的项.（ⅱ）满足. 对于任意()i j b b i j ,≥，(21)(21)2(21)1i j b b i j ij i j =−−=−−+−.由于211ij i j −−+≥，故令21k ij i j =−−+即可.（Ⅱ）（1）对于有穷数列{}n a 记其非零项中，绝对值最大的一项为p a ，绝对值最小的一项为q a .故令i j p ==时，存在一项2||||k i j p a a a a ==.又p a 是数列{}n a 非零项中绝对值最大的，所以2||p p a a ≥，即0||1p a <≤. 再令i j q ==时，存在一项2||||k i j q a a a a ==.又q a 是数列{}n a 非零项中绝对值最小的，所以2||q q a a ≤，即||1q a ≥. 又1||||1q p a a ≤≤≤,所以数列所有非零项的绝对值均为1.又数列{}n a 的各项均不相等，所以其至多有0,1,1−共3项.所以3m ≤.（2）构造数列{}:0,1,1n a −.其任意两项乘积均为0,1,1−之一，满足性质①. 其连续三项满足0(1)10−−−=，满足性质②. 又其各项均不相等，所以该数列满足条件，此时3m =.（3）由（1）（2），m 的最大值为3.（Ⅲ）（1）首先证明：当120,1a a ><−时，数列满足2120,0,t t a a −><且2||||,1,2,3,t t a a t +<=.（*）因为对于任意数列的连续三项12,,n n n a a a ++，总有12121()()02n n n n n n a a a a a a ++++−−−−=. 即21n n n a a a ++=−或2112n n n a a a ++=−. 不论是哪种情形，均有 当10n n a a +>>时，21102n n n n a a a a ++≥−>>，即2||||n n a a +>. 当10n n a a +<<时，21102n n n n a a a a ++≤−<<，亦有2||||n n a a +>. 又1201a a >>−>，故性质（*）得证.（2）考虑123,,a a a 三项，有312a a a =−或31212a a a =−. 若312a a a =−, 则1321a a a =+<，此时令1i j ==，有211a a <，由性质（*）知不存在k 使得0k a >，且211k a a a =<.高三数学参考答案 第7页（共7页） 故只有31212a a a =−，此时1321322a a a =+<. 因为534323311155()22242a a a a a a a ≥−≥−−>=, 所以令1i j ==时，21594a a <<. 由性质（*）知，只有211a a =或213a a =. 当213a a =时，12132()4a a a a ==−=，此时令2,1i j ==，214a a =−但423152a a a ≤−=，即421||||a a a >，由性质（*）知不存在k 使得21k a a a =. 所以211a a =，即11a =，从而22a =−.（3）经验证，数列{}n a ：1222,2,nn n n a n −⎧⎪=⎨⎪−⎩是奇数，是偶数满足条件，下面证这是唯一满足条件的数列. 假设s a 是第一个不满足上述通项公式的项，4s ≥.当21,2s t t =+≥时，只能为11212122(2)32t t t t t t a a a −−+−=−=−−=⋅. 令21,3i t j =−=，则2t i j a a =.但21212t t t a a −+<<，由性质（*），不存在k 使得i j k a a a =.当2,2s t t =≥时，只能为11222221112232222t t t t t t t a a a −−−−−=−=−−=−⋅>−. 则2222122122211115119()222224216t t t t t t t t t t a a a a a a a a ++−−≤−≤−−=−=−⋅<−. 令22,3i t j =−=，则2t i j a a =−，但2222t t t a a +>−>，由性质（*），不存在k 使得i j k a a a =. 故不存在不满足上述通项公式的项.综上，数列{}n a 的通项公式为1222,2,nn n n a n −⎧⎪=⎨⎪−⎩是奇数,是偶数.。
2022年北京市海淀区高考数学一模试卷(附答案详解)
2022年北京市海淀区高考数学一模试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合A={x|−1≤x≤2}，B={x|x>0}，则A∪B=()A. {x|x≤2}B. {x|x≥−1}C. {x|x>1}D. {x|x>0}2.在复平面内，复数z对应的点为(1,−1)，则z(1+i)=()A. 2B. 2iC. −2iD. −23.双曲线x23−y2=1的离心率为()A. √33B. √63C. 2√33D. √34.在(√x−x)4的展开式中，x2的系数为()A. −1B. 1C. −4D. 45.下列命题中正确的是()A. 平行于同个平面的两条直线平行B. 平行于同一条直线的两个平面平行C. 垂直于同一个平面的两个平面平行D. 垂直于同一条直线的两个平面平行6.已知直线l：ax+by=1是圆x2+y2−2x−2y=0的一条对称轴，则ab的最大值为()A. 14B. 12C. 1D. √27.已知角α的终边绕原点O逆时针旋转23π后与角β的终边重合，且cos(α+β)=1，则α的取值可以为()A. π6B. π3C. 2π3D. 5π68.已知二次函数f(x)的图象如图所示，将其向右平移2个单位长度得到函数g(x)的图象，则不等式g(x)> log2x的解集是()A. (−∞,2)B. (2,+∞)C. (0,2)D. (0,1)9.在△ABC中，A=π4，则“sinB<√22”是“△ABC是钝角三角形”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10.甲医院在某段时间内累计留院观察的某病疑似患者有98人，经检测后分为确诊组和排除组，患者年龄分布如下表：为研究患病与年龄的关系，现采用两种抽样方式．第一种：从98人中随机抽取7人，第二种：从排除组的84人中随机抽取7人．用X，Y分别表示两种抽样方式下80岁及以上的人数与80岁以下的人数之比．给出下列四个结论：①在第一种抽样方式下，抽取的7人中一定有1人在确诊组；②在第二种抽样方式下，抽取的7人都小于20岁的概率是0；③X，Y的取值范围都是(0,16,25 )；④E(X)<E(Y)．其中，正确结论的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.已知抛物线y2=2px的准线方程为x=−1，则p=______．12.已知{a n}是等比数列，S n为其前n项和．若a2是a1，S2的等差中项，S4=15，则q=______，a1=______．13.若函数f(x)=|2x−a|−1的值域为[−1,+∞)，则实数a的一个取值可以为______．14.已知e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 是单位向量，且e1⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗ =0，设向量a⃗=λe1⃗⃗⃗ +μe2⃗⃗⃗ ，当λ=μ=1时，<a⃗，e1⃗⃗⃗ >=______；当λ+μ=2时，|a⃗−e1⃗⃗⃗ |的最小值为______．15.已知函数f(x)=cosπxx2+1，给出下列四个结论：①f(x)是偶函数；②f(x)有无数个零点；③f(x)的最小值为−1；2④f(x)的最大值为1．其中，所有正确结论的序号为______．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.设函数f(x)=2sinxcosx+Acos2x(A∈R).已知存在A使得f(x)同时满足下列三个条件中的两个：条件①：f(0)=0；条件②：f(x)的最大值为√2；是f(x)图象的一条对称轴．条件③：x=π8(1)请写出f(x)满足的两个条件，并说明理由；(2)若f(x)在区间(0,m)上有且只有一个零点，求m的取值范围．17.如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1，中，底面ABCD是正方形，平面A1ADD1⊥平面ABCD，AD=2，AA1=A1D.(1)求证：A1D⊥AB；(2)若直线AB与平面A1DC1所成角的正弦值为√21，求AA1的长度．718.《黄帝内经》中十二时辰养生法认为：子时的睡眠对一天至关重要(子时是指23点到次日凌晨1点).相关数据表明，人睡时间越晚，深睡时间越少，睡眠指数也就越低．根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体睡眠指数的统计如下表．注：早睡人群为23：00前入睡的人群，晚睡人群为01：00后入睡的人群．(1)根据表中数据，估计早睡人群睡眠指数25%分位数与晚睡人群睡眠指数25%分位数分别在第几组？(2)据统计，睡眠指数得分在区间[76,90)内的人群中，早睡人群约占80%.从睡眠指数得分在区间[76,90)内的人群中随机抽取3人，以X表示这3人中属于早睡人群的人数，求X的分布列与数学期望E(X)；(3)根据表中数据，有人认为，早睡人群的睡眠指数平均值一定落在区间[76,90)内．试判断这种说法是否正确，并说明理由．19.已知函数f(x)=e x(ax2−x+1)．(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线的方程；(2)若函数f(x)在x=0处取得极大值，求a的取值范围；(3)若函数f(x)存在最小值，直接写出a的取值范围．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的下顶点A和右顶点B都在直线l1：y=12(x−2)上．(1)求椭圆方程及其离心率；(2)不经过点B的直线l2：y=kx+m交椭圆C于两点P，Q，过点P作x轴的垂线交l1于点D，点P关于点D的对称点为E.若E，B，Q三点共线，求证：直线l2经过定点．21.设m为正整数，若无穷数列{a n}满足|a ik+i|=|a ik+i|(i=1,2,…,m；k=1，2，…)，则称{a n}为P m数列．(1)数列{n}是否为P1数列？说明理由；(2)已知a n={s,n奇数,t,n为偶数,其中s，t为常数．若数列{a n}为P2数列，求s，t；(3)已知P3数列{a n}满足a1<0，a8=2，a6k<a6k+6(k=1,2,…)，求a n．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵A={x|−1≤x≤2}，B={x|x>0}，∴A∪B={x|x≥−1}．故选：B．进行并集的运算即可．本题考查了集合的描述法的定义，并集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：∵在复平面内，复数z对应的点为(1,−1)，∴z(1+i)=(1−i)(1+i)=1−i2=2．故选：A．利用复数几何意义和运算法则直接求解．本题考查复数的运算，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】C【解析】解：双曲线x23−y2=1可得a=√3，b=1，则c=√3+1=2，所以e=ca =√3=2√33．故选：C．直接利用椭圆方程，求解离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，是基础题．4.【答案】B【解析】解：由(√x−x)4的展开式的通项公式为T=C4r(√x)4−r(−x)r=(−1)r C4r x4+r2，r+1=2，令4+r2解得r=0，即x2的系数为(−1)0C40=1，故选：B．先由二项式定理求通项公式，然后求展开式的项系数即可．本题考查了二项式定理，重点考查了二项式展开式的项系数，属基础题．5.【答案】D【解析】解：对于A，平行于同个平面的两直线相交、平行或异面，故A错误；对于B，平行于同一条直线的两个平面相交或平行，故B错误；对于C，垂直于同一个平面的两个平面相交或平行，故C错误；对于D，由面面平行的判定定理得：垂直于同一条直线的两个平面平行，故D正确．故选：D．对于A，相交、平行或异面；对于B，相交或平行；对于C，相交或平行；对于D，由面面平行的判定定理得垂直于同一条直线的两个平面平行本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．6.【答案】A【解析】解：圆x2+y2−2x−2y=0的圆心(1,1)，直线l：ax+by=1是圆x2+y2−2x−2y=0的一条对称轴，可得a+b=1，则ab≤(a+b2)2=14，当且仅当a=b=12时，取等号，所以ab的最大值为：14．故选：A．求出圆的圆心坐标，代入直线方程，然后利用基本不等式求解即可．本题考查直线与圆的位置关系的应用，基本不等式的应用，是基础题．7.【答案】C【解析】解：由于角α的终边绕原点O逆时针旋转23π后与角β的终边重合，故α+2π3=β；由于cos(α+β)=1，所以cos(2α+2π3)=1，整理得2α+2π3=2kπ(k∈Z)，故α=−π3+kπ(k∈Z)；当k=1时，α=2π3．故选：C．直接利用三角函数的关系式的变换和三角函数的值的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，三角函数的值，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：设f(x)=ax2+bx+c(a<0)，由图象可得f(0)=1，f(−2)=0，则c=1，4a−2b+1=0，)x+1，所以f(x)=ax2+(2a+12将f(x)的图象向右平移2个单位长度得到函数)(x−2)+1的图g(x)=a(x−2)2+(2a+12象．由g(2)=1，又y=log2x在(0,2)上递增，且log21=0，log22=1，所以由图像可得不等式g(x)>log2x的解集为(0,2)．故选：C．，设f(x)=ax2+bx+c(a<0)，由图象可得f(0)=1，f(−2)=0，求得c=1，b=2a+12再由g(2)=1，结合对数函数的图象可得所求解集．本题考查函数的图象和运用，考查转化思想和运算能力，属于中档题．9.【答案】A【解析】解：在△ABC 中，由sinB <√22，则0<B <π4或3π4<B <π，又A =π4， 则0<B <π4， 即C =π−A −B >π2， 即△ABC 是钝角三角形， 由△ABC 是钝角三角形， 当B =2π3时，sinB =√32>√22， 即“△ABC 是钝角三角形”不能推出“sinB <√22”，即“sinB <√22”是“△ABC 是钝角三角形”的充分而不必要条件，故选：A ．先解三角不等式，再结合充分必要条件判断即可．本题考查了三角不等式的解法，重点考查了充分必要条件，属基础题．10.【答案】B【解析】解：对于①：98人中确诊的有14人，若抽取的7人都是84个排除组的，则可能出现7人都不在确诊组，①错误；对于②：排除组中小于20岁的人有7人，抽取7人小于20岁的概率为P =C 77C 847≠0，故②错误；对于③：第一种[0,80)有96人，[80,+∞)有2人， 第二种[0,80)有82人，[80,+∞)有2人，故设抽取80岁以上的人数为M ，则M =0，1，2， 当M =0时，X =Y =0， 当M =1时，X =Y =16， 当M =2时，X =Y =25，故③正确； 对于④：P(X =0)=C 967C 20C 987=585679,P(X =16)=C 966C 21C 987=1397,P(X =25)=C 965C 22C 987=3679，P(Y =0)=C 827C 20C 847=209249,P(Y =16)=C 826C 21C 847=77498,P(Y =25)=C 825C 22C 847=1166，E(X)=0×58584679+16×1397+25×3679≈0.024，E(Y)=0×209249+16×77498+25×1166≈0.028E(X)<E(Y)， E(X)<E(Y)， 故④正确； 故选：B ．根据抽样调查和概率的计算以及样本的期望逐项分析即可得答案． 本题考查离散型随机变量的期望，考查学生的运算能力，属于中档题．11.【答案】2【解析】解：由抛物线y 2=2px ，得直线方程为x =−p2， 由题意，−p2=−1，得p =2． 故答案为：2．由已知结合抛物线的直线方程列式求得p 值． 本题考查抛物线的简单性质，是基础题．12.【答案】2 1 【解析】解：设a n =a 1qn−1，由题意知{2a 2=a 1+S 2S 4=15，即{2a 1q =2a 1+a 1q a 1(1−q 4)1−q=15，解得q =2，a 1=1；易知q ≠1．故答案为：2；1．根据题意列出关于首项、公比的方程组，求解即可． 本题考查等比数列的通项和求和公式，属于基础题．13.【答案】1(答案不唯一，符合a >0即可) 【解析】解：令g(x)=|2x −a|，∵函数f(x)=|2x −a|−1的值域为[−1,+∞)， ∴g(x)=|2x −a|的值域为[0,+∞)， 又∵y =2x 的值域为(0,+∞)， ∴a >0∴a 的一个值可以为1．故答案为：1(答案不唯一，符合a >0即可)．由题意可得g(x)=|2x −a|的值域为[0,+∞)，又y =2x 的值域为(0,+∞)，则a >0，因此答案可以说大于0的任何数．本题考查函数的单调性与值域，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．14.【答案】4 √2 【解析】解：当λ=μ=1时，a ⃗ =e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ ，|a ⃗ |2=e 1⃗⃗⃗ 2+2e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ 2=2，∴|a⃗ |=2， cos <a ⃗ ,e 1⃗⃗⃗ >=a ⃗ ⋅e 1⃗⃗⃗⃗|a ⃗ |×|e 1⃗⃗⃗⃗ |=(e 1⃗⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗⃗ )⋅e 1⃗⃗⃗⃗ |a ⃗ |×|e 1⃗⃗⃗⃗ |=√2=√22， ∵<a ⃗ ,e 1⃗⃗⃗ >∈[0,π]，∴<a⃗ ,e 1⃗⃗⃗ >=π4； 当λ+μ=2时，a ⃗ −e 1⃗⃗⃗ =(λ−1)e 1⃗⃗⃗ +μe 2⃗⃗⃗ =(λ−1)e 1⃗⃗⃗ +(2−λ)e 2⃗⃗⃗ ，则|a ⃗ −e 1⃗⃗⃗ |=(λ−1)2+(2−λ)2=2(λ−32)2+12，当λ=32时，|a ⃗ −e 1⃗⃗⃗ |的最小值为√22．故答案为：π4；√22．求出|a ⃗ |，根据夹角公式可得<a ⃗ ,e 1⃗⃗⃗ >，将|a ⃗ −e 1⃗⃗⃗ |表示为关于λ的二次函数，求出最小值即可．本题考查向量夹角、向量模的最小值的求法，考查向量运算法则、向量夹角余弦公式、二次函数的性质等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．15.【答案】①②④【解析】解：∵函数f(x)=cosπx x 2+1，∴f(−x)=cos(−πx)(−x)2+1=cosπx x 2+1=f(x)，∴该函数是偶函数，故①正确；令函数f(x)=cosπx x 2+1=0，则cosπx =0，∴πx =kπ+π2(k ∈Z)，∴x =k +12(k ∈Z)，故②正确； ∵f(x)=cosπx x 2+1，∴f′(x)=−π(x 2+1)sinπx−2xcosπx(x 2+1)2，∵f(1)=−12，∴f′(1)=12≠0， ∴函数的最小值不可能为−12，故③错误；|cosπx|≤1，当πx =kπ(k ∈Z)时取等号，∴0<1x 2+1≤1， 当且仅当x =0时取等号，∴|cosπx|x 2+1≤1，当且仅当x =0时取等号，∴f(x)=cosπx x 2+1≤1，故④正确．故答案为：①②④．根据偶函数的定义、零点定义，结合导数的性质逐一判断即可．本题考查命题真假的判断，考生查三角函数的奇偶性、导数性质、函数极值与最值的关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16.【答案】解：(1)函数f(x)=2sinxcosx+Acos2x=sin2x+Acos2x=√1+A2sin(2x+φ)，其中(tanφ=A,φ∈(−π2,π2 ))，对于条件①：若f(0)=0，则A=0，对于条件②：f(x)的最大值为√2，则√1+A2=√2，得A=±1，①②不能同时成立，当A=0时，f(π8)=√22≠±1即不满足条件③，当A=1时，f(x)=√2sin(2x+π4),f(π8)=√2，即满足条件③，当A=−1时，f(x)=√2sin(2x−π4),f(π8)=0，即不满足条件③，综上可得，存在A=1满足条件②③；(2)由(1)得f(x)=√2sin(2x+π4)，当0<x<m时，π4<2x+π4<2m+π4，由于f(x)在区间(0,m)上有且只有一个零点，则π<2m+π4≤2π，解得3π8<m≤7π8，即m的取值范围是(3π8,7π8]．【解析】(1)首先分析①②可得A=0，1，−1，逐个验证条件③即可得结果；(2)由(1)得函数的解析式，通过x的范围求出2x+π4的范围，结合正弦函数的性质列出关于m的不等式即可得解．本题考查了函数的零点和函数的最值，属于难题．17.【答案】(1)证明：因为四边形ABCD为正方形，则AB⊥AD，因为平面A1ADD1⊥平面ABCD，平面A1ADD1⋂平面ABCD=AD，AB⊂平面ABCD ，∴AB ⊥平面AA 1D 1D ，∵A 1D ⊂平面AA 1D 1D ，所以，AB ⊥A 1D . (2)解：取AD 的中点O ，连接A 1O ，∵AA 1=A 1D ，O 为AD 的中点，则A 1O ⊥AD ，因为平面AA 1D 1D ⊥平面ABCD ，平面AA 1D 1D ∩平面ABCD =AD ，A 1O ⊂平面AA 1D 1D ， 所以，A 1O ⊥平面ABCD ，以点O 为坐标原点，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为x 、y 、z 的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，设A 1O =a ，其中a >0，则A(0,−1,0)、B(2,−1,0)、A 1(0,0,a)、C 1(1,1,a)、D(0,1,0)， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0)，A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0)，A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−a)， 设平面A 1C 1D 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x +y =0m⃗⃗⃗ ⋅A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =y −az =0，取x =a ，则m⃗⃗⃗ =(a,−a,−1)， 由题意可得|cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,m ⃗⃗⃗ >|=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅m ⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ |=2√2a 2+1=√2a 2+1=√217， ∵a >0，解得a =√3，则|AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√1+a 2=2． 【解析】(1)利用面面垂直的性质可证得AB ⊥平面AA 1D 1D ，再利用线面垂直的性质可证得结论成立；(2)取AD 的中点O ，连接A 1O ，证明出A 1O ⊥平面ABCD ，以点O 为坐标原点，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为x 、y 、z 的正方向建立空间直角坐标系，设A 1O =a ，其中a >0，利用空间向量法可得出关于a 的方程，求出a 的值，即可求得棱AA 1的长．本题主要考查空间中的垂直关系，线面角的相关计算，空间向量的应用等知识，属于中等题．18.【答案】(1)解：早睡人群睡眠指数25%分位数估计在第3组，晚睡人群睡眠指数25%分位数估计在第2组．(2)解：由题意可知，X ～B(3,45)，随机变量X 的可能取值有0、1、2、3，P(X =0)=(15)3=1125,P(X =1)=C 31⋅(15)2⋅45=12125，P(X=2)=C32⋅15⋅(45)2=48125,P(X=3)=(45)3=64125，X的分布列为：E(X)=3×45=125；(3)解：这种说法不正确，理由如下：当第1组的均值为0，第2组的均值为51，第3组的均值为66，第4组的均值为76，第5组的均值为91，则睡眠指数的均值为0×0.001+51×0.111+66×0.346+76×0.486+91×0.056< 0+51×0.12+66×0.35+76×0.5+91×0.06=72.68<76．【解析】(1)根据百分位数的定义判断可得出结论；(2)分析可知X～B(3,45)，利用二项分布可得出随机变量X的分布列，利用二项分布的期望公式可求得E(X)的值；(3)取第1组的均值为0，第2组的均值为51，第3组的均值为66，第4组的均值为76，第5组的均值为91，结合平均数公式判断可得出结论．本题考查离散型随机变量的分布列与期望，考查学生的运算能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)函数f(x)=e x(ax2−x+1)，f(0)=1．f′(x)=e x(ax2−x+1+2ax−1)=e x(ax2−x+2ax)，∴f′(0)=0，∴曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线的方程为y−1=0．(2)f′(x)=xe x(ax−1+2a)，f′(0)=0．①若a=0，则f′(x)=−xe x，x<0时，f′(x)>0，此时函数f(x)单调递增；x>0时，f′(x)<0，此时函数f(x)单调递减．∴0是函数f(x)的极大值点．②a≠0时，f′(x)=axe x(x−1−2aa )，令f′(x)=0，解得x1=0，x2=1−2aa，下面对a 分类讨论：a =12时，f′(x)=12x 2e x ≥0，函数f(x)在R 上单调递增，无极值点，舍去．a >12时，x 2<0，列出表格：0为函数f(x)的极小值点，舍去． a <0时，x 2<0， 列出表格：0为函数f(x)的极大值点，满足题意． 0<a <12时，x 2>0，列出表格： 列出表格：0为函数f(x)的极大值点，满足题意． ∴a 的取值范围是(−∞,12).(3)结合(2)：a ≤0，或a ≥12时，f(x)不存在最小值．例如a >12或a <0，0是函数f(x)的极大值点，且f(0)=1.x →−∞时，f(x)→0，无最小值，舍去．0<a <12时，x →−∞时，f(x)→0.x 2是极小值点，x 2>0，满足：ax 22−x 2+2ax 2=0，x 2=1−2a a，需要f(x 2)=f(1−2a a )=e x 2(ax 22−x 2+1)=e x 2(1−2ax 2)=e x 2[1−2(1−2a)]≤0，解得：0<a ≤14．因此函数f(x)存在最小值，a 的取值范围是(0,14].【解析】(1)函数f(x)=e x (ax 2−x +1)，f(0)=1.通过求导可得f′(x)，可得切线斜率f′(0)，利用点斜式可得切线方程．(2)f′(x)=xe x (ax −1+2a)，f′(0)=0.通过对a 分类讨论，利用取得极大值的条件即可得出结论．(3)结合(2)可得：a ≤0，或a ≥12时，f(x)不存在最小值．对0<a <12时，x →−∞时，f(x)→0.x 2是极小值点，.x 2>0.需要f(x 2)=f(1−2a a)≤0，解得a 的取值范围．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20.【答案】(1)解：因为下顶点A 和右顶点B 都在直线l 1：y =12(x −2)上， 故A (0,−1)，B(2,0)，故椭圆方程为：x 24+y 2=1．其离心率为e =√4−12=√32． (2)证明：设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，则x 1≠2，x 2≠2． 则D(x 1,12(x 1−2))，故E (x 1,x 1−y 1−2)， 因为E ，B ，Q 三点共线，故y 2x2−2=x 1−y 1−2x 1−2，整理得到：x 1y 2+x 2y 1=2(y 1+y 2)+x 1x 2−2(x 1+x 2)+4， 即(2k −1)x 1x 2+(m −2k +2)(x 1+x 2)−4m −4=0． 由{x 24+y 2=1y =kx +m 可得(1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−4=0， 故Δ=16(4k 2+1−m 2)>0且x 1+x 2=−8km1+4k 2,x 1x 2=4m 2−41+4k 2，故(2k −1)4m 2−41+4k 2−(m −2k +2)8km1+4k 2−4m −4=0， 整理得到：(m +2k)(m +2k +1)=0，若m =−2k ，则l 2：y =kx −2k ，故l 2过B ，与题设矛盾；若m=−2k−1，则l2：y=kx−2k−1，故l2过定点(2,−1)．【解析】(1)求出顶点坐标后可求椭圆的方程和离心率；(2)设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则可用此两点坐标表示E，根据三点共线可得x1y2+x2y1= 2(y1+y2)+x1x2−2(x1+x2)+4，利用点在直线可得(2k−1)x1x2+(m−2k+2)(x1+x2)−4m−4=0，再联立直线方程和椭圆方程，消元后利用韦达定理可得定点．本题主要考查椭圆方程的求解，椭圆离心率的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用，直线恒过定点问题等知识，属于中等题．21.【答案】解：(1)∵a n=a1×(n−1)+1=(n−1)+1=a1×(n−1)+1(n≥2)，∴|a1×(n−1)+ 1|=|a|×(n−1)+1|，(2)依题意，a2=t，a1=a3=s，因为a n是P2数列，|a2|=|a1×1+1|=|a1+1|=|t+1|=|t|，∴t=−1，|a3|=|a2×1+1=|a2+1|=|t+1|=|s|，∴s=0；(3)∵a n是P3数列，∴|a8|=|a1×7+1|=|a7+1|，|a8|=|a2×3+2|=|a6+2|，∴|a7+1|=|a6+2|=2…(1)，|a9|=|a8×1+1|=|a8+1|=3，|a9|=|a3×2+3|=|a6+3|=3，由(1)(2)得a6=0，a7=1，∴猜想a n是首项为−5，公差为1的等差数列，即a n=n−6，检验：|a1×k+1|=|a k+1|=|k−6+1|=|a k+1|，∴是P数列；|a2×k+2|=|a2k+2|=|2k+2−6|=|2k−6+2|=|a2k+2|，∴是P2数列；|a3k+3|=|3k+3−6|=|3k−6+3|=|a3k+3|，∴是P3数列，并且a6k=6k−6,a6k+6=6k+6−6=6k, (k=1,2,3,⋯)，∴a6k<a6k+6，a1=−5<0符合题意，故a n=n−6．【解析】(1)根据P1数列的性质，即可判断，(2)根据P2数列的性质，求出a1，a2，a3即可；(3)根据P3数列的性质，利用所给的条件，合理演绎即可．本题考查数列的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．第21页，共21页。
北京市海淀区高考数学一模试卷(文科)
高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合P={x|0≤x≤2}，且M⊆P，则M可以是（）A. {0，1}B. {1，3}C. {-1，1}D. {0，5}2.若x0是函数的零点，则（）A. -1＜x0＜0B. 0＜x0＜1C. 1＜x0＜2D. 2＜x0＜43.若角α的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是（）A. B. C. sin（π+α） D. cos（π+α）4.已知a＜b，则下列结论中正确的是（）A. ∀c＜0，a＞b+cB. ∀c＜0，a＜b+cC. ∃c＞0，a＞b+cD. ∃c＞0，a＜b+c5.抛物线W：y2=4x的焦点为F，点A在抛物线形上，且点A到直线x=-3的距离是线段AF长度的2倍，则线段AF的长度为（）A. 1B. 2C. 3D. 46.某四棱锥的三视图如图所示，其中a+b=1，且a＞b．若四个侧面的面积中最小的为，则a的值为（）A.B.C.D.7.设{a n}是公比为q的等比数列，且a1＞1，则“a n＞1对任意n∈N*”成立”是“q≥1”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8.某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是地理、生物、政治这三科，且生物在B层班级．该校周一上午选科走班的课程安排如表所示，张毅选择三个科目的课各上4567二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.已知i是虚数单位，若（1-i）（a+i）=2，a∈R，则a=______．10.在△ABC中，，则c=______，S△ABC=______．11.执行如图所示的程序框图，则输出的T值为______．12.已知向量=（1，-2），同时满足条件①∥，②的一个向量的坐标为______．13.已知椭圆和双曲线．经过C1的左顶点A和上顶点B的直线与C2的渐近线在第一象限的交点为P，且|AB|=|BP|，则椭圆C1的离心率e1=______，双曲线C2的离心率e2=______．14.设关于x，y的不等式组表示的平面区域为Ω．记区域Ω上的点与点A（0，-1）距离的最小值为d（k），则（I）当k=1时，d（1）=______；（Ⅱ）若d（k）≥2，则k的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知等差数列{a n}的公差d=2，且a2+a5=2，{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若S m，a9，a15成等比数列，求m的值．16.已知函数的图象经过点（O，l），部分图象如图所示．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求图中x0的值，并直接写出函数f（x）的单调递增区间．17.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=CC1=2，点D，E，F分别为棱A1C1，B1C1，BB1的中点．（Ⅰ）求证：AB∥平面DEF；（Ⅱ）求证：平面ACB1⊥平面DEF；（Ⅲ）求三棱锥E-ACB1的体积．18.据《人民网》报道，“美国国家航空航天局（NASA）发文称，相比20年前世界变得更绿色了，卫星资料显示中国和印度的行动主导了地球变绿．”据统计，中国新增绿化面积的420/0来自于植树造林，下表是中国十个地区在2017年植树造林的相关数据．（造林总面积为人工造林、飞播造林、新封山育林、退化林修复、人工更新的面积之和）单位：公顷值最大和最小的地区；（Ⅱ）在这十个地区中，任选一个地区，求该地区人工造林面积与造林总面积的比值不足50%的概率是多少？（Ⅲ）从上表新封山育林面积超过十万公顷的地区中，任选两个地区，求至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷的概率．19.已知函数．（Ⅰ）当a=6时，求函数f（x）在（0，+∞）上的单调区间；（Ⅱ）求证：当a＜0时，函数f（x）既有极大值又有极小值．20.已知椭圆的左顶点为A（-2，0），两个焦点与短轴一个顶点构成等腰直角三角形，过点P（1，0）且与x轴不重合的直线l与椭圆交于M，N不同的两点．（Ⅰ）求椭圆P的方程；（Ⅱ）当AM与MN垂直时，求AM的长；（Ⅲ）若过点P且平行于AM的直线交直线于点Q，求证：直线NQ恒过定点．答案和解析1.【答案】A【解析】解：A.0∈M，1∈M，则M⊆P成立，B.3∉M，则M⊆P不成立，C．-1∉M，则M⊆P不成立，D.5∉M，则M⊆P不成立，故选：A．根据集合子集的定义进行判断即可．本题主要考查集合关系的判断，根据元素关系结合集合子集的子集的定义进行判断是解决本题的关键．2.【答案】C【解析】【分析】利用函数的连续性，结合零点判定定理推出结果即可．本题考查函数的零点判定定理的应用，是基本知识的考查．【解答】解：，函数在x＞0时，是增函数，可得：f（1）=-1＜0，f（2）=1-0，所以f（1）f（2）＜0，∴函数的零点所在区间为：（1，2）．故选：C．3.【答案】D【解析】解：角α的终边在第二象限，则sinα＞0，cosα＜0，对于A，=cosα＜0，错误；对于B，cos（）=-sinα＜0，错误；对于C，sin（π+α）=--sinα＜0，错误；对于D，cos（π+α）=-cosα＞0，正确；故选：D．由角α的终边在第二象限，则sinα＞0，cosα＜0，利用诱导公式化简各个选项即可得解．本题主要考查了诱导公式的简单应用，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：A若a=1，b=2，c=-1，满足a＜b，但a＞b+c不成立；B，若a=9.5，b=10，c=-1，a＜b+c不成立；C，因加a＜b，c＞0，所以，a＜b+c恒成立，故C错误，D．∃c＞0，a＜b+c成立，故选：D．根据不等式的关系，结合特称命题和全称命题的性质分别进行判断即可．本题主要考查特称命题和特称命题的判断，结合不等式的性质是解决本题的关键．5.【答案】B【解析】解：如图，由抛物线方程y2=4x，得焦点坐标为F（1，0），直线方程为x=-1，设A（x0，y0），则点A到直线x=-3的距离是x0+3，|AF|=x0+1，由题意可得：x0+3=2（x0+1），得x0=1．∴线段AF的长度为x0+1=1+1=2．故选：B．由题意画出图形，设A（x0，y0），则点A到直线x=-3的距离是x0+3，|AF|=x0+1，由题意可得：x0+3=2（x0+1），求得x0，再由抛物线焦半径公式求解．本题考查抛物线的简单性质，考查抛物线定义的应用，是中档题．6.【答案】B【解析】解：几何体的直观图如图：是长方体的一部分，P-ABCD，侧面积S PAB=，，S PCD=，S PCD=，四个侧面的面积中最小的为，可得，a+b=1，且a＞b，解得a=，故选：B．画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解侧面积，转化求解a即可．本题考查三视图求解几何体的侧面积，判断几何体的形状是解题的关键．7.【答案】C【解析】解：在等比数列中，若a n＞1，即a n=a1q n-1＞1，当q=1时，满足条件，当q≠1时，当n-1＞0恒成立，则q＞1，综上q≥1成立，反之当q≥1是，则a n=a1q n-1＞1成立，即“a n＞1对任意n∈N*”成立”是“q≥1”的充要条件，故选：C．根据等比数列的通项公式，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等比数列的通项公式是解决本题的关键．8.【答案】B【解析】解：由于生物在B层，只有第2，3节有，故分2两类，若生物选第2节，地理有2种选法，其他任意选即可，故有2A22=4种，若生物选第3节，则地理只能选第一节，政治只能选第4节，自习选在第二节，故有1种，根据分类计数原理可得4+1=5种，故选：B．根据分类计数原理即可求出．本题考查了分类计数原理，关键是分类，属于基础题．9.【答案】1【解析】解：∵（1-i）（a+i）=（a+1）+（1-a）i=2，∴，即a=1．故答案为：1．利用复数代数形式的乘除运算化简，复数相等的条件列式求解a值．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．10.【答案】6【解析】解：∵，∴由余弦定理可得：c2=a2+b2-2ab cos C=42+52-2×4×5×=36，解得：c=6，∴sin C==，∴S△ABC=ab sin C==．故答案为：．由已知利用余弦定理可求c的值，根据同角三角函数基本关系式可求sin C的值，利用三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．11.【答案】48【解析】解：T=2，x=2+2=4，T＞40否，T=2×4=8，x=4+2=6，T＞40否，T=6×8=48，x=6+2=8，T＞40是，故输出T=48，故答案为：48根据程序框图进行模拟运算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．12.【答案】（-1，2）（答案不唯一）【解析】解：设=（x，y），由可得：y=-2x，=（1+x，-2+y），由，可得＜，把y=-2x代入，可得（x+1）2+（-2x-2）2＜5，化简可得x2+2x＜5，解得：-2＜x＜0，取得x=-1，可得y=2，所以=（-1，2）．故答案为：（-1，2）．利用向量共线列出方程，利用向量的模转化求解x的值，推出结果．本题考查向量共线以及向量的坐标运算，是基本知识的考查．13.【答案】【解析】解：椭圆中a=2，b=1，所以c=，离心率e1=，A（-2，0），B（0，1），直线AB的方程为：y=x+1因为|AB|=|BP|，所以B为AP的中点，设P（x，y），则，解得，即P（2，2），双曲线的渐近方程为y=x，点P在渐近线上，所以2=，得m=1，双曲线中a=1，b=1，c=，即双曲线的离心率e2=，故答案为：，．根据椭圆标准方程求出椭圆的离心率，根据条件确定B是AP的中点，求出P的坐标，代入双曲线求出m的值即可求双曲线的离心率．本题主要考查双曲线离心率的计算，结合椭圆离心率和双曲线离心率的公式以及双曲线渐近线的性质是解决本题的关键．14.【答案】2 [0，+∞）【解析】解：（I）当k=1时，约束条件为，画出约束条件表示的平面区域，如图1所示，则区域Ω内的点与点A（0，-1）距离的最小值为|AB|=1-（-1）=2；（Ⅱ）由题意知，y=kx+1是过点（0，1）的直线，由图形知，若d（k）≥2，则k的取值范围是[0，+∞）．故答案为：（Ⅰ）2，（Ⅱ）[0，+∞）．（I）k=1时画出约束条件表示的平面区域，结合图形找出最优解，计算目标函数的最小值即可；（Ⅱ）由题意知y=kx+1是过点（0，1）的直线，结合题意画出图形，利用图形求出k 的取值范围．本题考查了线性规划的简单应用问题，也考查了数形结合的应用问题，是基础题．15.【答案】解：（Ⅰ）因为a5+a2=2，d=2所以2a1+5d=2a1+10=2，所以a1=-4所以a n=2n-6（Ⅱ）又a9=12，a15=24因为S m，a9，a15是等比数列，所以所以m2-5m-6=0得m=6，m=-1因为m∈N*，所以m=6【解析】本题考查的等差数列以及等比数列的应用，考查计算能力．（Ⅰ）利用条件求出a1,即可以得到数列通项公式；（Ⅱ）利用S m，a9，a15成等比数列，列出方程，即可求解m的值．16.【答案】解：（Ⅰ）根据函数的图象经过点（O，l），可得，所以，a=-1．（Ⅱ）∵=（2sin x+2cos x）cos x-1=2sin x cosx+2cos2x-1=sin2x+cos2x=，由图象得，所以，，f（x）=sin（2x+）．令2kπ-≤2x+≤2kπ+，求得kπ-≤x≤kπ+，可得函数f（x）的单调增区间为，k∈Z．【解析】（Ⅰ）由题意根据图象经过点（O，l），求得a的值．（Ⅱ）根据五点法作图求出图中x0的值，再根据正弦函数的单调性写出函数f（x）的单调递增区间本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象，正弦函数的单调性，属于中档题．17.【答案】解：（I）证明：因为三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1∥AB，又因为D，E分别为A1C1，B1C1的中点，所以DE∥A1B1，于是DE∥AB，又AB⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，所以AB∥平面DEF．（II）在三棱柱ABC-A1B1C1中，∵CC1⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，∴CC1⊥AC，CC1⊥BC，又AC⊥BC，BC∩CC1=C，BC⊂平面BCC1B1，CC1⊂平面BCC1B1，∴AC⊥平面BCC1B1，又EF⊂平面BCC1B1，∴AC⊥EF，又BC=CC1=2，CC1⊥BC，∴侧面BCC1B1为正方形，故BC1⊥CB1，而E，F分别为B1C1，BB1的中点，连结BC1，∴EF‖BC1，∴EF⊥CB1，又AC∩CB1=C，AC⊂平面ACB1，CB1⊂平面ACB1，∴EF⊥平面ACB1，又EF⊂平面DEF，∴平面ACB1⊥平面DEF．（Ⅲ）S===1，∴．【解析】（I）根据中位线定理和平行公理可得AB∥DE，故而AB∥平面DEF；（II）证明EF⊥CB1，EF⊥AC得出EF⊥平面AB1C，故而平面ACB1⊥平面DEF；（III）代入棱锥的体积公式计算．本题考查了线面平行的判定，面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）人工造林面积与造林总面积比最大的地区为甘肃省，人工造林面积占造林总面积比最小的地区为青海省（Ⅱ）设在这十个地区中，任选一个地区，该地区人工造林面积占总面积的比比不足50%为事件A在十个地区中，有3个地区（重庆、新疆、青海）人工造林面积占总面积比不足50%，则（Ⅲ）设至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷为事件B新封山育林面积超过十万公顷有4个地区：内蒙、河北、新疆、青海，分别设为a1，a2，a3，a4，其中退化林修复面积超过五万公顷有2个地区：内蒙、河北即a1，a2从4个地区中任取2个地区共有6种情况，（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a2，a3），（a2，a4），（a3，a4）其中至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷共有5种情况，（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a2，a3），（a2，a4）则．【解析】（Ⅰ）结合表格数据进行判断即可（Ⅱ）根据古典概型的概率公式进行计算即可（Ⅲ）利用列举法结合古典概型的概率公式进行求解即可本题主要考查概率的计算，结合古典概型的概率公式利用列举法是解决本题的关键．19.【答案】解：（Ⅰ）当a=6，且x＞0时，，所以f'（x）=x2-5x+6=（x-2）（x-3），令f'（x）=0，得x=2，或x=3；x f'x f x所以（）在（，）上的单调递增区间是（，），（，），单调递减区间是（2，3）；（Ⅱ）当a＜0时，若x＜0，则，所以f'（x）=x2-5x-a=x（x-5）-a；因为x＜0，a＜0，所以f'（x）＞0；若x＞0，则，所以f'（x）=x2-5x+a；令f'（x）=0，△=25-4a＞0，所以有两个不相等的实根x1，x2，且x1x2＜0；不妨设x＞0，所以当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：因为函数f（x）图象是连续不断的，所以当a＜0时，f（x）即存在极大值又有极小值．【解析】（Ⅰ）求a=6且x＞0时f（x）的导数，利用导数判断f（x）的单调性，从而求得f（x）在（0，+∞）上的单调区间；（Ⅱ）由a＜0时，讨论x＜0和x＞0时，利用导数研究函数f（x）的单调性，从而判断函数f（x）是否存在极大与极小值．本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值问题，也考查了分类讨论思想与方程根的应用问题，是中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）因为A（-2，0），所以a=2因为两个焦点与短轴一个顶点构成等腰直角三角形，所以b=c，又b2+c2=a2，所以，所以椭圆方程为（Ⅱ）设M（x m，y m），因为AM与MN垂直，所以点M在以AP为直径的圆上，又以AP为直径的圆的圆心为，半径为，方程为，，（舍）所以（Ⅲ）直线NQ恒过定点（2，0）设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意，设直线MN的方程为x=my+1，由得（m2+2）y2+2my-3=0，显然，△＞0，则，，因为直线PQ与AM平行，所以，则PQ的直线方程为，令，则，即，，直线NQ的方程为，=令y=0，得因为2my1y2=3（y1+y2），故，所以直线NQ恒过定点（2，0）．【解析】（Ⅰ）由已知可得a=2，b=c，又b2+c2=a2，求得，即可得所以椭圆方程．（Ⅱ）设M（x m，y m），可得，解得，可得（Ⅲ）设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意，设直线MN的方程为x=my+1，由得（m2+2）y2+2my-3=0，，，求得，，直线NQ的方程为，令y=0，得=2，即可．本题考查圆锥曲线、圆和直线的位置关系和综合应用，具有一定的难度，解题的关键是直线与椭圆的联立，确定直线NQ的方程．。
海淀区2020届高三一模数学(文)试题及答案(官方word版)
是否n =n +1开 始n =1n >5结束输出S输入11主视图1俯视图2海淀区高三年级第二学期期中练习数学（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合{|23},{|21}A x x B x x =∈-≤<=-≤<Z ，则A B =IA. {2,1,0}--B. {2,1,0,1}--C. {|21}x x -<<D. {|21}x x -≤< 2. 已知向量(1,)t =a ，(3,9)=b ，若a b P ，则t = A.1 B.2 C.3D.43. 某程序的框图如图所示，若输入的i z =（其中i 为虚数单位）， 则输 出的S 值为A.1-B.1C.i- D.i4. 若,x y 满足 +20,40,0,x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则12zx y =+的最大值为A.52B.3C.72D.4 5. 某三棱椎的三视图如图所示，则其体积为 C. D. 6. 已知点00(,)P x y 在抛物线2:4W y x =上，且点P 到W 的准线的距离与点P 到x 轴的距离相等，则0x 的值为 A.12 B.1 C.32D.27. 已知函数sin(),0,()cos(), 0,x x f x x x αα+≤⎧=⎨+>⎩ 则“π4α=”是“函数()f x 是偶函数”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8. 某生产基地有五台机器设备，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作获得的效益值如右表所示. 若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列描述正确．．的是 A. 甲只能承担第四项工作 B. 乙不能承担第二项工作 C. 丙可以不承担第三项工作 D. 获得的效益值总和为78二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2023年北京市海淀区高三一模考试数学试卷+答案解析(附后)
2023年北京市海淀区高三一模考试数学试卷1. 已知集合，则( )A. B. C.D.2. 若，其中i 是虚数单位，则( )A.B. 1C.D. 33. 在等差数列中，，，则( )A. 9B. 11C. 13D. 154. 已知抛物线的焦点为F ，点P 在该抛物线上，且P 的横坐标为4，则( )A. 2B. 3C. 4D. 55. 若，则( )A.B. 1C. 15D. 166. 已知直线与圆交于A ，B 两点，且为等边三角形，则m 的值为( )A. B. C.D.7.在中，，的平分线交BC 于点若，则( )A.B.C. 2D. 38. 已知二次函数，对任意的，有，则的图象可能是( )A.B. C. D.9. 已知等比数列的公比为q 且，记、则“且”是“为递增数列”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10. 刘老师沿着某公园的环形道周长大于按逆时针方向跑步，他从起点出发、并用软件记录了运动轨迹，他每跑1km ，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．已知刘老师共跑了11km，恰好回到起点，前5km的记录数据如图所示，则刘老师总共跑的圈数为( )A. 7B. 8C. 9D. 1011. 不等式的解集为_________.12. 已知双曲线的渐近线方程为，则它的离心率为________.13. 已知函数若在区间上单调递减，则的一个取值可以为_________.14. 设函数①当时，_________；②若恰有2个零点，则a的取值范围是_________.15. 在中，，D是边AC的中点，E是边AB上的动点不与A，B重合，过点E作AC的平行线交BC于点F，将沿EF折起，点B折起后的位置记为点P，得到四棱锥如图所示．给出下列四个结论：①平面PEF；②不可能为等腰三角形；③存在点E，P，使得；④当四棱锥的体积最大时，其中所有正确结论的序号是_________.16. 如图，直三棱柱中，，，，D是的中点．证明：平面BCD；求直线CD与平面所成角的正弦值．17. 在中，求；若的面积为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求a的值．条件①：；条件②：；条件③：注：如果选择的条件不符合要求，第问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．18. 网购生鲜蔬菜成为很多家庭日常消费的新选择．某小区物业对本小区三月份参与网购生鲜蔬菜的家庭的网购次数进行调查，从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取10户，分别记为A组和B组，这20户家庭三月份网购生鲜蔬菜的次数如下图：假设用频率估计概率，且各户网购生鲜蔬菜的情况互不影响从一单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中随机抽取1户，估计该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的概率；从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取1户，记这两户中三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数为X，估计X的数学期望；从A组和B组中分别随机抽取2户家庭，记为A组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，为B组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，比较方差与的大小．结论不要求证明19. 已知椭圆：的左、右顶点分别为，上、下顶点分别为，，四边形的周长为求椭圆E的方程；设斜率为k的直线l与x轴交于点P，与椭圆E交于不同的两点M，N，点M关于y轴的对称点为、直线与y轴交于点若的面积为2，求k的值．20. 已知函数当时，求曲线在点处的切线方程；求的单调区间；若存在，使得，求a的取值范围．21. 已知数列给出两个性质：①对于中任意两项，在中都存在一项，使得；②对于中任意连续三项，均有分别判断以下两个数列是否满足性质①，并说明理由：有穷数列：；无穷数列：若有穷数列满足性质①和性质②，且各项互不相等，求项数m的最大值；若数列满足性质①和性质②，且，求的通项公式．答案和解析1.【答案】A【解析】解：因为集合，所以故选：分析：求交集可得答案.2.【答案】B【解析】解：由题设，故，，所以故选：B分析：利用复数乘法及相等求a，b，即可得结果.3.【答案】C【解析】解：设等差数列的公差为d，则，则故选：分析：设等差数列的公差为d，求出2d的值，即可得出，即可得解.4.【答案】D【解析】解：抛物线的准线方程为，因为点P在抛物线上，P的横坐标为4，抛物线的焦点为F，所以等于点P到直线的距离，所以，故选：分析：直接根据抛物线焦半径公式计算得到答案.5.【答案】C【解析】解：因为，令得，，令得，，所以，故选：分析：利用赋值法结合条件即得.6.【答案】D【解析】解：圆的圆心为，半径，若直线与圆O交于A，B两点，且为等边三角形，则圆心O到直线的距离，又由点到直线的距离公式可得，解得，故选：分析：根据圆的方程求出圆心坐标以及半径，由等边三角形的性质可得到圆心到直线的距离d，结合点到直线的距离公式列出方程求出m的值即可.7.【答案】B【解析】解：设，因为，，所以，又AD是的平分线，所以，，，又，所以，，所以故选：分析：设，由角平分线定理求得，然后由向量的线性运算可用，表示出，从而求得，，得出结论.8.【答案】A【解析】解：因为对任意的，有，令，则，所以，排除C，即，设二次函数，所以，，由可得，则，所以任意的恒成立，则，，故排除故选：分析：令中，则，排除C，又由可得，任意的恒成立，则，，排除B ，即可得出答案.9.【答案】B【解析】解：由题设且，要为递增数列，只需在上恒成立，当，不论取何值，总存在，不满足要求;当，，则，不满足要求;，总存在，不满足要求;当，，则，不满足;，若，，显然，即，不满足;，则在上恒成立，满足.所以为递增数列有且综上，“且”是“为递增数列”的必要不充分条件.故选：B分析：由等比数列及已知，要为递增数列只需在上恒成立，讨论、，，结合的符号，再根据充分必要性的定义即可得答案.10.【答案】B【解析】解：设公园的环形道的周长为t ，刘老师总共跑的圈数为x ，，则由题意，所以，所以，因为，所以，又，所以，即刘老师总共跑的圈数为故选：B分析：利用环形道的周长与里程数的关系建立不等关系求出周长的范围，再结合跑回原点的长度建立方程，即可求解.11.【答案】或【解析】解：根据分式不等式解法可知等价于，由一元二次不等式解法可得或所以不等式的解集为或故答案为：或分析：将分式不等式转化成整式不等式，再利用一元二次不等式解法即可求得结果.12.【答案】2【解析】解：由题意，得13.【答案】不唯一【解析】解：由，因为在区间上单调递减，且，所以有，因此的一个取值可以为，故答案为：分析：根据正弦型函数的单调性进行求解即可.14.【答案】【解析】解：当时，所以，所以，令，可得当时，，所以或，当或时，方程在上有唯一解，当或时，方程在上的解为或，当时，，所以当时，，当时，方程在上无解，综上，当时，函数有两个零点，，当时，函数有两个零点，1，当时，函数有三个零点，，，当时，函数有两个零点，，因为恰有2个零点，所以或，所以a的取值范围是故答案为：分析：由分段函数解析式先求，再求的值，结合零点的定义分段求零点，由条件求a 的取值范围.15.【答案】①③【解析】解：①因为，平面PEF，平面PEF，所以平面PEF，故①正确;②因为是等腰直角三角形，所以PEF也是等腰直角三角形，则，因为，，所以，且当时，≌，所以，此时是等腰三角形，故②错误;③因为，且，，且平面PCF，平面PCF，所以平面PCF，平面ABC，所以平面平面PEF，且平面平面，如图，过点P作，连结DM，则平面ABC，平面ABC，所以，若，，平面PDM，平面PDM，所以平面PDM，平面PDM，所以，如图，，延长MD，交AB于点N，则和都是等腰直角三角形，则，点N到直线AC的距离等于，这样在翻折过程中，若能构成四棱锥，则，设，则，则，则存在点E，P，使得，故③正确;④当底面ACFE的面积一定时，平面平面PEF时，即平面ABC时，四棱锥的体积最大，设，，，得舍或，当，，函数单调递增，当，，函数单调递减，所以当时，函数取得最大值，此时，故④错误;故答案为：①③分析：根据线面平行的判断定理，判断①证明≌，即可判断②利用垂直关系转化，结合反证法，即可判断③表示四棱锥的体积后，利用导数计算最值，即可判断④点睛：思路点睛：本题考查几何体的线线，线面位置关系，以及动点问题，和导数相联系的最值问题，本题的关键是第三问，需在变化过程中找到位置关系，建立不等式，即可判断.16.【答案】解：证明：在直三棱柱中，平面ABC，且，以点C为坐标原点，CA、CB、所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则点、、、，、、，所以，，，则，，又因为，CB、平面BCD，因此，平面解：设平面的法向量为，，则，取，可得，所以，，，因此，CD与平面所成角的正弦值为【解析】分析：以点C为坐标原点，CA、CB、所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明出，，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立;利用空间向量法可求得直线CD与平面所成角的正弦值.17.【答案】解：因为，由正弦定理得，，又，所以，得到，又，所以，又，所以，得到，所以选条件①由知，，根据正弦定理知，，即，所以角C有锐角或钝角两种情况，存在，但不唯一，故不选此条件.选条件②因为，所以，又，得到，代入，得到，解得，所以，由余弦定理得，，所以选条件③因为，所以，由，得到，又，由知，所以又由正弦定理得，，得到，代入，得到，解得，所以，由余弦定理得，，所以【解析】分析：利用正弦定理：边转角，再利用正弦的二倍角公式，即可求出结果;条件①，由，角C可以是锐角或钝角，不满足题设中的条件，故不选①条件②，利用条件建立，边b与c的方程组，求出b与c，再利用余弦定理，即可求出结果;条件③，利用正弦定理，先把角转边，再结合条件建立，边b与c的方程组，求出b与c，再利用余弦定理，即可求出结果;18.【答案】解：设“该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20”为事件C，在A组10户中超过20次的有3户，由样本频率估计总体概率，则由样本频率估计总体概率，一单元参与网购家庭随机抽取1户的网购生鲜蔬菜次数超过20次概率为，二单元参与网购家庭随机抽取1户的网购生鲜蔬菜次数超过20次概率为，X的可能取值为0，1，2，所以，，，，依题可知，，的可能取值为0，1，2，且，服从超几何分布，，，，，，，因为，，所以，，，所以，【解析】分析：根据古典概型的概率公式即可求出;由题可知，X的可能取值为0，1，2，再分别求出对应的概率，由期望公式即可求出;根据方差公式计算可知，19.【答案】解：由，得，即，由四边形的周长为，得，即，所以椭圆的方程为设直线l的方程为，，，则，，联立方程组，消去y得，，，得，，，直线MN的方程为，令，得，又因为，所以，的面积，得，经检验符合题意，所以k的值为【解析】分析：由短轴长，即四边形的周长得a，b的值，得椭圆的方程;设直线l的方程为，由题，，与椭圆联立方程，得，，表示出的面积，解得k的值.20.【答案】解：当时，，则，得，，所以曲线在点处的切线方程为由，则，当时，恒成立，此时在R上单调递减;当时，令，解得，此时与的变化情况如下：x-0+↘极小值↗由上表可知，的减区间为，增区间为，综上，当时，的减区间为，无增区间;当时，的减区间为，增区间为将在区间上的最大值记为，最小值记为，因为存在，，使得，所以，使得成立，即或，当时，，若，使得成立，只需，由可知在区间上单调或先减后增，故为与中的较大者，所以只需当或即可满足题意，即只需或，解得或，综上所述，a的取值范围是【解析】分析：当时，求出函数的导数，求出曲线在点处切线的斜率，然后求解切线的方程即可;先求出函数的导数，分和两种情况讨论即可得到单调区间;将题中条件转化为若，使得成立，再结合函数放缩得到若，使得成立，再根据中的单调情况可知为与中的较大者，从而得到当或即可满足题意，进而求解即可.点睛：关键点点睛：函数不等式恒成立问题，要进行适当转化.解答小问的关键在于转化为若，使得成立，再结合函数放缩得到若，使得成立，再根据中的单调情况求解即可得到a的取值范围.21.【答案】解：不满足.令，则不是数列n中的项，故有穷数列不满足性质①满足.对于任意，，有，由于，令即可，故无穷数列满足性质①对于有穷数列，记其非零项中绝对值最大的一项为，绝对值最小的一项为，故令时，存在一项，又是数列非零项中绝对值最大的，所以，即再令时，存在一项，又是数列非零项中绝对值最小的，所以，即，又，所以数列所有非零项的绝对值均为1，又数列的各项均不相等，所以其至多有0，，1共3项，所以，构造数列，，1，其任意两项乘积均为0，，1之一，满足性质①其连续三项满足，满足性质②又其各项均不相等，所以该数列满足条件，此时，综上，m的最大值为首先证明：当，时，数列满足，且，，2，因为对于任意数列的连续三项，，，总有，即或，不论是哪种情形，均有当时，，即当时，，亦有，又，故性质得证.考虑，，三项，有或，若，则，此时令，有，由性质知不存在k 使得，且，故只有，此时，因为，所以令时，，由性质知，只有或，当时，，，此时令，，，但，即，由性质知不存在k 使得，所以，即，从而，经验证，数列满足条件，下面证这是唯一满足条件的数列，假设是第一个不满足上述通项公式的项，，当，时，只能为，令，，则，但，由性质，不存在k 使得，当，时，只能为，则，令，，则，但，由性质，不存在k使得，故不存在不满足上述通项公式的项，综上，数列的通项公式为【解析】分析：令，代入求解即可判断对于任意，，直接相乘得到即可判断;对于有穷数列，记其非零项中绝对值最大的一项为，绝对值最小的一项为，令时，得到再令时，得到，从而得到数列至多有0，，1共3项，再构造数列，，1，证明其满足性质①和性质②，进而即可求得项数m的最大值;首先证明：当，时，数列满足，且，，2，，再考虑，，三项，结合性质得到，从而，最后经验证，数列满足条件，再通过反证法证明这是唯一满足条件的数列即可.点睛：与数列的新定义有关的问题的求解策略：①通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；②遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决．。
北京市海淀区2022届高三一模数学试题(含答案解析)
北京市海淀区2022届高三一模数学试题(含答案解析)北京市海淀区2022届高三一模数学试题学校:___________ 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________一、单选题1.已知集合 $A=\{x-1\leq x\leq 2\}$，$B=\{x|x>0\}$，则$A\cup B=$（）A。
$\{x|x\leq 2\}$B。
$\{x|x\geq -1\}$C。
$\{x|x>-1\}$D。
$\{x|x>0\}$2.在复平面内，复数 $z$ 对应的点为 $(1,-1)$，则$z(1+i)=$（）A。
$2$B。
$2i$C。
$-2i$D。
$-2$3.双曲线 $-y^2=1$ 的离心率为（）A。
$\sqrt{3}$B。
$\sqrt{6}$C。
$\frac{\sqrt{23}}{3}$D。
$3$4.在 $(x-x_0)^4$ 的展开式中，$x^2$ 的系数为（）A。
$-1$B。
$1$C。
$-4$D。
$4$5.下列说法中正确的是A。
平行于同一直线的两个平面平行B。
垂直于同一直线的两个平面平行C。
平行于同一平面的两条直线平行D。
垂直于同一平面的两个平面平行6.已知直线 $l:ax+by=1$ 是圆 $x^2+y^2-2x-2y=0$ 的一条对称轴，则 $ab$ 的最大值为（）A。
$\frac{1}{4}$B。
$\frac{1}{2}$C。
$1$D。
$2$7.已知角 $\alpha$ 的终边绕原点 $O$ 逆时针旋转 $\pi$ 后与角 $\beta$ 的终边重合，且 $\cos(\alpha+\beta)=1$，则$\alpha$ 的取值可以为（）A。
$\frac{\pi}{6}$B。
$\frac{\pi}{3}$C。
$\frac{2\pi}{3}$D。
$\frac{5\pi}{6}$8.已知二次函数 $f(x)$ 的图象如图所示，将其向右平移$2$ 个单位长度得到函数 $g(x)$ 的图象，则不等式$g(x)>\log_2x$ 的解集是（）A。
2020年北京市海淀区高考数学一模试卷(文科)含答案解析
2020年北京市海淀区高考数学一模试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A={x∈z|﹣2≤x＜3}，B={x|﹣2≤x＜1}，则A∩B=（）A．{﹣2，﹣1，0}B．{﹣2，﹣1，0，1} C．{x|﹣2＜x＜1}D．{x|﹣2≤x＜1} 2．已知向量，若，则t=（）A．1 B．3 C．±3 D．﹣33．某程序的框图如图所示，若输入的z=i（其中i为虚数单位），则输出的S 值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i4．若x，y 满足，则z=x+y的最大值为（）A．B．3 C．D．45．某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为（）A．B．C．D．6．已知点P（x0，y0）在抛物线W：y2=4x上，且点P到W的准线的距离与点P到x轴的距离相等，则x0的值为（）A．B．1 C．D．27．已知函数f（x）=，则“α=”是“函数f（x）是偶函数“的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8．某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示．若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列叙述正确的是（）工作效益一二三四五机器甲15 17 14 17 15乙22 23 21 20 20丙9 13 14 12 10丁7 9 11 9 11戊13 15 14 15 11A．甲只能承担第四项工作 B．乙不能承担第二项工作C．丙可以不承担第三项工作D．获得的效益值总和为78二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．函数f（x）=的定义域为______．10．已知数列{a n}的前n项和为S n，且，则a2﹣a1=______．11．已知l为双曲线C：﹣=1的一条渐近线，其倾斜角为，且C的右焦点为（2，0），则C的右顶点为______，C的方程为______．12．在2这三个数中，最小的数是______．13．已知函数f（x）=sin（2x+φ），若，则函数f（x）的单调增区间为______．14．给定正整数k≥2，若从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点中任取k个顶点，组成一个集合M={X1，X2，…，X k}，均满足∀X i，X j∈M，∃X l，X t∈M，使得直线X i X j⊥X l X t，则k的所有可能取值是______．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．在△ABC 中，∠C=，a=6．（Ⅰ）若c=14，求sinA的值；（Ⅱ）若△ABC的面积为3，求c的值．16．已知数列{a n}是等比数列，其前n项和为S n，满足S2+a1=0，a3=12．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数n，使得S n＞2020？若存在，求出符合条件的n的最小值；若不存在，说明理由．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，点M，N 分别为线段PB，PC 上的点，MN⊥PB．（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PAB；（Ⅱ）求证：当点M 不与点P，B 重合时，MN∥平面ABCD；（Ⅲ）当AB=3，PA=4时，求点A到直线MN距离的最小值．18．一所学校计划举办“国学”系列讲座．由于条件限制，按男、女生比例采取分层抽样的方法，从某班选出10人参加活动，在活动前，对所选的10名同学进行了国学素养测试，这10名同学的性别和测试成绩（百分制）的茎叶图如图所示．（Ⅰ）根据这10名同学的测试成绩，分别估计该班男、女生国学素养测试的平均成绩；（Ⅱ）这10名同学中男生和女生的国学素养测试成绩的方差分别为，，试比较与的大小（只需直接写出结果）；（Ⅲ）若从这10名同学中随机选取一男一女两名同学，求这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率．（注：成绩大于等于75分为优良）19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆C与y轴交于A、B两点，|AB|=2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知点P是椭圆C上的动点，且直线PA，PB与直线x=4分别交于M、N两点，是否存在点P，使得以MN为直径的圆经过点（2，0）？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，说明理由．20．已知函数f（x）=．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）的零点和极值；（3）若对任意x1，x2∈[a，+∞），都有f（x1）﹣f（x2）≥﹣成立，求实数a的最小值．2020年北京市海淀区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A={x∈z|﹣2≤x＜3}，B={x|﹣2≤x＜1}，则A∩B=（）A．{﹣2，﹣1，0}B．{﹣2，﹣1，0，1} C．{x|﹣2＜x＜1}D．{x|﹣2≤x＜1}【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={x∈Z|﹣2≤x＜3}={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|﹣2≤x＜1}，∴A∩B={﹣2，﹣1，0}，故选：A．2．已知向量，若，则t=（）A．1 B．3 C．±3 D．﹣3【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】由向量共线可得t的方程，解方程可得．【解答】解：∵向量，且，∴1×9﹣t2=0，解得t=±3故选：C3．某程序的框图如图所示，若输入的z=i（其中i为虚数单位），则输出的S 值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图及已知中输入z=i，可得：进入循环的条件为n≤5，即n=1，2，…，5，模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．【解答】解：模拟执行程序，可得z=i，n=1不满足条件n＞5，S=i1，n=2不满足条件n＞5，S=i2，n=3不满足条件n＞5，S=i3，n=4不满足条件n＞5，S=i4，n=5不满足条件n＞5，S=i5，n=6满足条件n＞5，退出循环，输出S=i5=i．故选：D．4．若x，y 满足，则z=x+y的最大值为（）A．B．3 C．D．4【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x+y得y=﹣x+y，平移y=﹣x+y，由图象知当直线y=﹣x+y经过点A直线的截距最大，此时z最大，由得，即A（1，3），则z=+3=，故选：C．5．某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是一个三棱锥，由三视图之间的关系求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个三棱锥，底面是一个三角形：即俯视图：底是2、高是侧视图的底边，三棱锥的高是侧视图和正视图的高1，∴几何体的体积V==，故选：A．6．已知点P（x0，y0）在抛物线W：y2=4x上，且点P到W的准线的距离与点P到x轴的距离相等，则x0的值为（）A．B．1 C．D．2【考点】抛物线的简单性质．【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义可得点P到W的准线的距离即为P到W的焦点F的距离，由题意可得|PF|=|y0|，即可得到x0=1．【解答】解：抛物线W：y2=4x的焦点为（1，0），准线方程为x=﹣1，由抛物线的定义可得点P到W的准线的距离即为P到W的焦点F的距离，由题意可得|PF|=|y0|，则PF⊥x轴，可得x0=1，故选：B．7．已知函数f（x）=，则“α=”是“函数f（x）是偶函数“的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】函数f（x）是偶函数，则sin（x+α）=cos（﹣x+α），可得sin（x+α）=，化简解出即可判断出结论．【解答】解：函数f（x）是偶函数，则sin（x+α）=cos（﹣x+α），可得sin（x+α）=，∴x+α+2kπ=+x﹣α，或π﹣（x+α）+2kπ=+x﹣α，解得，（k∈Z）．∴α=”是“函数f（x）是偶函数”的充分不必要条件．故选：A．8．某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示．若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列叙述正确的是（）工作一二三四五效益机器甲15 17 14 17 15乙22 23 21 20 20丙9 13 14 12 10丁7 9 11 9 11戊13 15 14 15 11A．甲只能承担第四项工作 B．乙不能承担第二项工作C．丙可以不承担第三项工作D．获得的效益值总和为78【考点】进行简单的合情推理．【分析】由表知道，五项工作后获得的效益值总和最大为17+23+14+11+15=80，但不能同时取得，再分类讨论，得出乙若不承担第二项工作，承担第一项，甲承担第二项工作，则戊承担第四项工作，即可得出结论．【解答】解：由表知道，五项工作后获得的效益值总和最大为17+23+14+11+15=80，但不能同时取得．要使总和最大，甲可以承担第一或四项工作，丙只能承担第三项工作，丁则不可以承担第三项工作，所以丁承担第五项工作；乙若承担第四项工作；戊承担第一项工作，此时效益值总和为17+23+14+11+13=78；乙若不承担第二项工作，承担第一项，甲承担第二项工作，则戊承担第四项工作，此时效益值总和为17+22+14+11+15=79，所以乙不承担第二项工作，故选：B．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．函数f（x）=的定义域为[1，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可．【解答】解：∵函数f（x）=，∴2x﹣2≥0，即2x≥2；解得x≥1，∴f（x）的定义域为[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．10．已知数列{a n}的前n项和为S n，且，则a2﹣a1=2．【考点】数列递推式．【分析】通过，利用a2﹣a1=S2﹣2S1计算即得结论．【解答】解：∵，∴a2﹣a1=（a1+a2）﹣2a1=S2﹣2S1=（4﹣8）﹣2（1﹣4）=2，故答案为：2．11．已知l为双曲线C：﹣=1的一条渐近线，其倾斜角为，且C的右焦点为（2，0），则C的右顶点为（，0），C的方程为﹣=1．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可得c=2，求出渐近线方程，解方程可得a，b，即可得到右顶点和双曲线的方程．【解答】解：由题意可得c=2，即a2+b2=4，一条渐近线的斜率为k==tan=1，解得a=b=，则双曲线的右顶点为（，0），C的方程为﹣=1．故答案为：（，0），﹣=1．12．在2这三个数中，最小的数是．【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵=＞1，log32＞=，∴在2这三个数中，最小的数是．故答案为：．13．已知函数f（x）=sin（2x+φ），若，则函数f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．【考点】正弦函数的图象．【分析】由条件可得+φ=2kπ+，且﹣+φ=2kπ﹣，k∈Z，求得φ的值，可得f （x）的解析式，再利用正弦函数的单调性得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=sin（2x+φ），若，则函数的周期为π，f（）=sin（+φ）=1，f（﹣）=sin（﹣+φ）=﹣1，故+φ=2kπ+，且﹣+φ=2kπ﹣，k∈Z，即φ=2kπ+，k∈Z．故取φ=，f（x）=sin（2x+）．令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，故答案为：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．14．给定正整数k≥2，若从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点中任取k个顶点，组成一个集合M={X1，X2，…，X k}，均满足∀X i，X j∈M，∃X l，X t∈M，使得直线X i X j⊥X l X t，则k的所有可能取值是6，7，8．【考点】棱柱的结构特征．【分析】由题意，∀X i，X j∈M，∃X l，X t∈M，使得直线X i X j⊥X l X t，则k至少要取6，可以保证由四点共面，即可得出结论．【解答】解：由题意，∀X i，X j∈M，∃X l，X t∈M，使得直线X i X j⊥X l X t，则k至少要取6，即可保证有四点共面，由正方形的性质，四点共面时，∃X l，X t∈M，使得直线X i X j⊥X l X t，∴k的所有可能取值是6，7，8．故答案为：6，7，8．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．在△ABC 中，∠C=，a=6．（Ⅰ）若c=14，求sinA的值；（Ⅱ）若△ABC的面积为3，求c的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（I）利用正弦定理解出；（II）根据面积计算b，再利用余弦定理解出c．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得：，即，∴．（Ⅱ）∵=．∴b=2．由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2a•b•cosC=4+36﹣2×=52．∴．16．已知数列{a n}是等比数列，其前n项和为S n，满足S2+a1=0，a3=12．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数n，使得S n＞2020？若存在，求出符合条件的n的最小值；若不存在，说明理由．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（Ⅰ）通过设数列{a n}的公比为q，利用2a1+a1q=0及a1≠0可知q=﹣2，进而通过a3=12可知首项a1=3，计算即得结论；（Ⅱ）通过（I）、利用等比数列的求和公式计算可知S n＞2020等价于（﹣2）n＜﹣2020，分n为奇数、偶数两种情况讨论即可．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，因为S2+a1=0，所以2a1+a1q=0，因为a1≠0，所以q=﹣2，又因为，所以a1=3，所以；（Ⅱ）结论：符合条件的n的最小值为11．理由如下：由（I）可知，令S n＞2020，即1﹣（﹣2）n＞2020，整理得（﹣2）n＜﹣2020，当n为偶数时，原不等式无解；当n为奇数时，原不等式等价于2n＞2020，解得n≥11；综上所述，所以满足S n＞2020的正整数n的最小值为11．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，点M，N 分别为线段PB，PC 上的点，MN⊥PB．（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PAB；（Ⅱ）求证：当点M 不与点P，B 重合时，MN∥平面ABCD；（Ⅲ）当AB=3，PA=4时，求点A到直线MN距离的最小值．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）通过证明BC⊥平面PAB，即可证明平面PBC⊥平面PAB；（Ⅱ）在△PBC中，BC⊥PB，MN⊥PB，所以MN∥BC，利用线面平行的判定定理，证明MN∥平面ABCD；（Ⅲ）AM的长就是点A到MN的距离，A到直线MN距离的最小值就是A到线段PB的距离．【解答】证明：（Ⅰ）在正方形ABCD中，AB⊥BC．…．因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC．…．又AB∩PA=A，AB，PA⊂平面PAB，…．所以BC⊥平面PAB．…．因为BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAB．…．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，所以BC⊥PB．…．在△PBC中，BC⊥PB，MN⊥PB，所以MN∥BC，…．又BC⊂平面ABCD，MN⊄平面ABCD，…．所以MN∥平面ABCD．…．解：（Ⅲ）因为MN∥BC，所以MN⊥平面PAB，…．而AM⊂平面PAB，所以MN⊥AM，…．所以AM的长就是点A到MN的距离，…．而点M在线段PB上所以A到直线MN距离的最小值就是A到线段PB的距离，在Rt△PAB中，AB=3，PA=4，所以A到直线MN的最小值为．…．18．一所学校计划举办“国学”系列讲座．由于条件限制，按男、女生比例采取分层抽样的方法，从某班选出10人参加活动，在活动前，对所选的10名同学进行了国学素养测试，这10名同学的性别和测试成绩（百分制）的茎叶图如图所示．（Ⅰ）根据这10名同学的测试成绩，分别估计该班男、女生国学素养测试的平均成绩；（Ⅱ）这10名同学中男生和女生的国学素养测试成绩的方差分别为，，试比较与的大小（只需直接写出结果）；（Ⅲ）若从这10名同学中随机选取一男一女两名同学，求这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率．（注：成绩大于等于75分为优良）【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；极差、方差与标准差．【分析】（Ⅰ）设这10名同学中男女生的平均成绩分别为．利用茎叶图能求出该班男、女生国学素养测试的平均成绩．（Ⅱ）女生国学素养测试成绩的方差大于男生国学素养成绩的方差．（Ⅲ）设“两名同学的成绩均为优良”为事件A，男生按成绩由低到高依次编号为a1，a2，a3，a4，女生按成绩由低到高依次编号为b1，b2，b3，b4，b5，b6，由此利用列举法能求出这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率．【解答】解：（Ⅰ）设这10名同学中男女生的平均成绩分别为．则…．…．∴该班男、女生国学素养测试的平均成绩分别为73.75，76．（Ⅱ）女生国学素养测试成绩的方差大于男生国学素养成绩的方差．…．（Ⅲ）设“两名同学的成绩均为优良”为事件A，…．男生按成绩由低到高依次编号为a1，a2，a3，a4，女生按成绩由低到高依次编号为b1，b2，b3，b4，b5，b6，则从10名学生中随机选取一男一女两名同学共有24种取法…．（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，b4），（a1，b5），（a1，b6），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，b4），（a2，b5），（a2，b6），（a3，b1），（a3，b2），（a3，b3），（a3，b4），（a3，b5），（a3，b6），（a4，b1），（a4，b2），（a4，b3），（a4，b4），（a4，b5），（a4，b6），其中两名同学均为优良的取法有12种取法…．（a2，b3），（a2，b4），（a2，b5），（a2，b6），（a3，b3），（a3，b4），（a3，b5），（a3，b6），（a4，b2），（a4，b3），（a4，b4），（a4，b5），（a4，b6），所以，即两名同学成绩均为优良的概率为．…．19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆C与y轴交于A、B两点，|AB|=2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知点P是椭圆C上的动点，且直线PA，PB与直线x=4分别交于M、N两点，是否存在点P，使得以MN为直径的圆经过点（2，0）？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式，以及a，b，c的关系，计算即可得到所求椭圆方程；（Ⅱ）设P（m，n），可得+n2=1，可得A（0，1），B（0，﹣1），设M（4，s），N（4，t），运用三点共线的条件：斜率相等，求得M，N的坐标，再由直径所对的圆周角为直角，运用垂直的条件：斜率之积为﹣1，计算即可求得m，检验即可判断是否存在．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，2b=2，即b=1，又a2﹣c2=1，解得a=2，c=，即有椭圆的方程为+y2=1；（Ⅱ）设P（m，n），可得+n2=1，即有n2=1﹣，由题意可得A（0，1），B（0，﹣1），设M（4，s），N（4，t），由P，A，M共线可得，k PA=k MA，即为=，可得s=1+，由P，B，N共线可得，k PB=k NB，即为=，可得s=﹣1．假设存在点P，使得以MN为直径的圆经过点Q（2，0）．可得QM⊥QN，即有•=﹣1，即st=﹣4．即有[1+][﹣1]=﹣4，化为﹣4m2=16n2﹣（4﹣m）2=16﹣4m2﹣（4﹣m）2，解得m=0或8，由P，A，B不重合，以及|m|＜2，可得P不存在．20．已知函数f（x）=．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）的零点和极值；（3）若对任意x1，x2∈[a，+∞），都有f（x1）﹣f（x2）≥﹣成立，求实数a的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，即可得到所求切线的方程；（2）令f（x）=0，可得零点；由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，进而得到极小值，无极大值；（3）结合单调性，当a≥2时，f（x）在[a，+∞）递增，即有f（x）≥f（a）≥f（2）=﹣，运用不等式的性质，即可得到a的最小值为2．【解答】解：（1）函数f（x）=的导数为f′（x）=，可得在点（0，f（0））处的切线斜率为﹣2，切点为（0，1），即有切线的方程为y=﹣2x+1；（2）由f（x）=0，可得x=1，即零点为1；由x＞2时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＜2时，f′（x）＜0，f（x）递减．可得x=2处，f（x）取得极小值，且为﹣，无极大值；（3）由（2）可得f（2）取得极小值﹣，当a≥2时，f（x）在[a，+∞）递增，即有f（x）≥f（a）≥f（2）=﹣，由﹣≤f（x1）＜0，0＜﹣f（x2）＜，可得＞f（x1）﹣f（x2）≥﹣恒成立．即有a的最小值为2．2020年9月10日。
北京市高三一模考试数学文试题真题(word版含答案)
北京市海淀区高三一模数学（文科）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}|13A x x =<<，集合{}2|4B x x =>，则集合A B 等于（ ） A ．{}|23x x << B ．{}|1x x > C ．{}|12x x << D ．{}|2x x >2.圆心为(0,1)且与直线2y =相切的圆的方程为（ ）A ．22(1)1x y -+=B ．22(1)1x y ++=C ．22(1)1x y +-=D ．22(1)1x y ++= 3.执行如图所示的程序框图，输出的x 的值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．14.若实数a ，b 满足0a >，0b >，则“a b >”是“ln ln a a b b +>+”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长棱的长度为（ ）ABC． D ．36.在ABC ∆上，点D 满足2AD AB AC =-，则（ ）A ．点D 不在直线BC 上B ．点D 在BC 的延长线上 C ．点D 在线段BC 上 D ．点D 在CB 的延长线上7.若函数cos ,,()1,x x a f x x a x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩的值域为[]1,1-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1,)+∞ B ．(,1]-∞- C ．(0,1] D ．(1,0)-8.如图，在公路MN 两侧分别有1A ，2A ，…，7A 七个工厂，各工厂与公路MN （图中粗线）之间有小公路连接．现在需要在公路MN 上设置一个车站，选择站址的标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越好”．则下面结论中正确的是（ ）①车站的位置设在C 点好于B 点；②车站的位置设在B 点与C 点之间公路上任何一点效果一样；③车站位置的设置与各段小公路的长度无关．A ．①B ．②C ．①③D ．②③第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.已知复数(1)2z a i =+-为纯虚数，则实数a = ．10.已知等比数列{}n a 中，245a a a =，48a =，则公比q = ，其前4项和4S = ．11.若抛物线22y px =的准线经过双曲线2213y x -=的左焦点，则实数p = ． 12.若x ，y 满足240,20,1,x y x y x +-=⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则y x 的最大值是 ． 13.已知函数()sin f x x ω=（0ω>），若函数()y f x a =+（0a >）的部分图象如图所示，则ω= ，a 的最小值是 ．14.阅读下列材料，回答后面问题：在2014年12月30日13CCTV 播出的“新闻直播间”节目中，主持人说：“……加入此次亚航失联航班8501QZ 被证实失事的话，2014年航空事故死亡人数将达到1320人．尽管如此，航空安全专家还是提醒：飞机仍是相对安全的交通工具．①世界卫生组织去年公布的数据显示，每年大约有124万人死于车祸，而即使在航空事故死亡人数最多的一年，也就是1972年，其死亡数字也仅为3346人；②截至2014年9月，每百万架次中有2.1次（指飞机失事），乘坐汽车的百万人中其死亡人数在100人左右．”对上述航空专家给出的①、②两段表述（划线部分），你认为不能够支持“飞机仍是相对安全的交通工具”的所有表述序号为 ，你的理由是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知等差数列{}n a 满足126a a +=，2310a a +=．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}1n n a a ++的前n 项和.16.某地区以“绿色出行”为宗旨开展“共享单车”业务.该地有a ，b 两种“共享单车”（以下简称a 型车，b 型车）.某学习小组7名同学调查了该地区共享单车的使用情况．（Ⅰ）某日该学习小组进行一次市场体验，其中4人租到a 型车，3人租到b 型车．如果从组内随机抽取2人，求抽取的2人中至少有一人在市场体验过程中租到a 型车的概率；（Ⅱ）根据已公布的2016年该地区全年市场调查报告，小组同学发现3月，4月的用户租车情况城现如表使用规律．例如，第3个月租a 型车的用户中，在第4个月有60%的用户仍租a 型车．若认为2017年该地区租用单车情况与2016年大致相同．已知2017年3月该地区租用a ，b 两种车型的用户比例为1:1，根据表格提供的信息，估计2017年4月该地区租用两种车型的用户比例．17.在ABC ∆中，2A B =.（Ⅰ）求证：2cos a b B =；（Ⅱ）若2b =，4c =，求B 的值.18.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB ==，E ，F 分别是PB ，PD 的中点.（Ⅰ）求证：//PB 平面FAC ；（Ⅱ）求三棱锥P EAD -的体积；（Ⅲ）求证：平面EAD ⊥平面FAC ．19.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为A ，B ，且||4AB =，离心率为12. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点(4,0)Q ，若点P 在直线4x =上，直线BP 与椭圆交于另一点M .判断是否存在点P ，使得四边形APQM 为梯形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.20.已知函数2()x f x e x ax =-+，曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与x 轴平行.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若()21x g x e x =--，求函数()g x 的最小值；（Ⅲ）求证：存在0c <，当x c >时，()0f x > ．高三年级第二学期期中练习数学（文科）答案一、选择题1-5:ACCCB 6-8:DAC二、填空题9.2 10.2,15 11.4 12.32 13.2，12π 14.选①，数据①虽是同类数据，但反映不出乘车出行和乘飞机出行的总人数的关系；选②，数据②两个数据不是同一类数据，这与每架次飞机的乘机人数有关；不选②，数据②两个数据虽表面不是同一类数据，但是可以做如下大致估算，考虑平均每架次飞机的乘机人数为x ，这样每百万人乘机死亡人数2.1人，要远远少于乘车每百万人中死亡人数．三、解答题15.解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，因为126a a +=，2310a a +=，所以314a a -=，所以24d =，2d =．又116a a d ++=，所以12a =，所以1(1)2n a a n d n =+-=．（Ⅱ）记1n n n b a a +=+，所以22(1)42n b n n n =++=+，又14(1)2424n n b b n n +-=++--=，所以{}n b 是首项为6，公差为4的等差数列，其前n 项和21()(642)2422n n n b b n n S n n +++===+． 16.解：（Ⅰ）依题意租到a 型车的4人为1A ，2A ，3A ，4A ；租到b 型车的3人为1B ，2B ，3B ； 设事件A 为“7人中抽到2人，至少有一人租到a 型车”， 则事件A 为“7人中抽到2人都租到b 型车”．如表格所示：从7人中抽出2人共有21种情况，事件A 发生共有3种情况，所以事件A 概率36()1()1217P A P A =-=-=．（Ⅱ）依题意，市场4月份租用a 型车的比例为50%60%50%50%55%+=，租用b 型车的比例为50%40%50%50%45%+=，所以市场4月租用a ，b 型车的用户比例为55%1145%9=． 17.解：（Ⅰ）因为2A B =， 所以由正弦定理sin sin a b A B =，得sin sin 2a a A B=， 得2sin cos sin a b B B B =，所以2cos a b B =． （Ⅱ）由余弦定理，2222cos a b c bc A =+-，因为2b =，4c =，2A B =，所以216cos 41616cos 2B B =+-， 所以23cos 4B =， 因为2A B B B π+=+<，所以3B π<，所以cos B =，所以6B π=． 18.（Ⅰ）证明：连接BD ，与AC 交于点O ，连接OF ，在PBD ∆中，O ，F 分别是BD ，PD 的中点，所以//OF PB ，又因为OF ⊂平面FAC ，PB ⊄平面FAC ，所以//PB 平面FAC ．（Ⅱ）解：因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA 为棱锥P ABD -的高． 因为2PA AB ==，底面ABCD 是正方形， 所以13P ABD ABD V S PA -∆=⨯⨯114222323=⨯⨯⨯⨯=， 因为E 为PB 中点，所以PAE ABE S S ∆∆=， 所以1223P EAD P ABD V V --=⨯=． （Ⅲ）证明：因为AD ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，所以AD PB ⊥，在等腰直角PAB ∆中，AE PB ⊥，又AE AD A =，AE ⊂平面EAD ，AD ⊂平面EAD ，所以PB ⊥平面EAD ，又//OF PB ，所以OF ⊥平面EAD ，又OF ⊂平面FAC ，所以平面EAD ⊥平面FAC ．19.解：（Ⅰ）由||4AB =，得2a =. 又因为12c e a ==，所以1c =，所以2223b a c =-=， 所以椭圆C 的方程为22143x y +=． （Ⅱ）假设存在点P ，使得四边形APQM 为梯形.由题意知，显然AM ，PQ 不平行，所以//AP MQ ， 所以||||||||BQ BM AB BP =，所以||1||2BM BP =． 设点11(,)M x y ，(4,)P t ，过点M 作MH AB ⊥于H ，则有||||1||||2BH BM BQ BP ==， 所以||1BH =，所以(1,0)H ，所以11x =， 代入椭圆方程，求得132y =±， 所以(4,3)P ±．20.解：（Ⅰ）'()2x f x e x a =-+，由已知可得'(0)0f =，所以10a +=，得1a =-．（Ⅱ）'()2x g x e =-，令'()0g x =，得ln 2x =，所以x ，'()g x ，()g x 的变化情况如表所示：所以()g x 的最小值为ln 2(ln 2)2ln 2112ln 2g e =--=-．（Ⅲ）证明：显然()'()g x f x =，且(0)0g =，由（Ⅱ）知，()g x 在(,ln 2)-∞上单调递减，在(ln 2,)+∞上单调递增． 又(ln 2)0g <，2(2)50g e =->，由零点存在性定理，存在唯一实数0(ln 2,)x ∈+∞，满足0()0g x =， 即00210x e x --=，0021x e x =+，综上，()'()g x f x =存在两个零点，分别为0，0x ．所以0x <时，()0g x >，即'()0f x >，()f x 在(,0)-∞上单调递增； 00x x <<时，()0g x <，即'()0f x <，()f x 在0(0,)x 上单调递减； 0x x >时，()0g x >，即'()0f x >，()f x 在0(,)x +∞上单调递增， 所以(0)f 是极大值，0()f x 是极小值，0222200000000015()211()24x f x e x x x x x x x x =--=+--=-++=--+， 因为(1)30g e =-<，323()402g e =->， 所以03(1,)2x ∈，所以0()0f x >，因此0x ≥时，()0f x >．因为(0)1f =且()f x 在(,0)-∞上单调递增，所以一定存在0c <满足()0f c >，所以存在0c <，当x c >时，()0f x >.。
2022届北京市海淀区高三一模数学(文理)试题试题及答案详解
2022届北京市海淀区高三一模数学（文理）试题试题及答案详解2022年海淀区一模已结束。
新东方在线[微博]、北京新东方优能中学[微博]高考[微博]辅导团队第一时间对一模试题进行了解析，以下是数学老师周帅的解析及点评。
总体来看，难度比正常年份要稍大一些。
海淀一模数学依然保持了应有的难度和区分度，在基础和中档题的部分重点考察了高中数学几大模块的核心知识和重要方法，而在传统意义上认为较难的一些题目上，则做了相应的思考和计算上的难度设计。
下面结合试卷中的一些典型题目，来对于考试思路和解决方法做一些具体分析。
选择题第1题可能就有部分同学不小心犯错而误选C，而其实这是模拟2022年高考题第一题的考法，关键问题不是不等式的求解，而是“”这个范围的设计。
范围问题，是在高中数学里除了计算之外经常被命题人重点关注的。
正确答案应为B。
第4题线性规划难度不大，考察了直线围成的区域面积问题，和2022年高考思路一致，但没有结合几何概型而是考察了动直线斜率变化的问题；线性规划的核心问题是直线的斜率和交点，斜率决定区域形状，交点决定最值结果。
只要用一条过原点的直线旋转和已知区域相交即可得到正确答案D。
第5题的向量是我们一直在强调的向量图形化问题。
向量的两种重要解决思路：图形化和坐标化在近几年的高考题中体现得尤为充分，2022北京高考填空题13题是考的坐标化，本题考的是图形化，只要画出等边三角形，即可得出结果，判断标志是题目中出现了向量的加法和减法。
本题答案为A。
第7题依然考察了解析几何的动点最值问题，和前几年模拟考试的思路保持一致。
本题可以设动点坐标带入距离公式，利用分式函数(对勾函数)求最值的方法，这是小题大题化的考法，也可以依据我们讲过的“特殊情况取最值”的潜规则设P点坐标为特殊数字检验出结果，本题应选B，在轴的时候取得。
这几个题目都是考试中所有同学要掌握的核心而稍微有些变化和难度的问题，但用到的方法和思想是我们平时一直在强调的，特别是对于命题规律及变化的了解。
北京市海淀区高考数学一模试卷(文科)
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作2016年北京市海淀区高考数学一模试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A={x∈z|﹣2≤x＜3}，B={x|﹣2≤x＜1}，则A∩B=（）A．{﹣2，﹣1，0}B．{﹣2，﹣1，0，1} C．{x|﹣2＜x＜1}D．{x|﹣2≤x＜1}2．已知向量，若，则t=（）A．1 B．3 C．±3 D．﹣33．某程序的框图如图所示，若输入的z=i（其中i为虚数单位），则输出的S 值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i4．若x，y 满足，则z=x+y的最大值为（）A．B．3 C．D．45．某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为（）A．B．C．D．6．已知点P（x0，y0）在抛物线W：y2=4x上，且点P到W的准线的距离与点P到x轴的距离相等，则x0的值为（）A．B．1 C．D．27．已知函数f（x）=，则“α=”是“函数f（x）是偶函数“的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8．某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示．若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列叙述正确的是（）工作一二三四五效益机器甲15 17 14 17 15乙22 23 21 20 20丙9 13 14 12 10丁7 9 11 9 11戊13 15 14 15 11A．甲只能承担第四项工作 B．乙不能承担第二项工作C．丙可以不承担第三项工作D．获得的效益值总和为78二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．函数f（x）=的定义域为______．10．已知数列{a n}的前n项和为S n，且，则a2﹣a1=______．11．已知l为双曲线C：﹣=1的一条渐近线，其倾斜角为，且C的右焦点为（2，0），则C的右顶点为______，C的方程为______．12．在2这三个数中，最小的数是______．13．已知函数f（x）=sin（2x+φ），若，则函数f（x）的单调增区间为______．14．给定正整数k≥2，若从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点中任取k个顶点，组成一个集合M={X1，X2，…，X k}，均满足∀X i，X j∈M，∃X l，X t∈M，使得直线X i X j⊥X l X t，则k的所有可能取值是______．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．在△ABC 中，∠C=，a=6．（Ⅰ）若c=14，求sinA的值；（Ⅱ）若△ABC的面积为3，求c的值．16．已知数列{a n}是等比数列，其前n项和为S n，满足S2+a1=0，a3=12．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数n，使得S n＞2016？若存在，求出符合条件的n的最小值；若不存在，说明理由．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，点M，N 分别为线段PB，PC 上的点，MN⊥PB．（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PAB；（Ⅱ）求证：当点M 不与点P，B 重合时，MN∥平面ABCD；（Ⅲ）当AB=3，PA=4时，求点A到直线MN距离的最小值．18．一所学校计划举办“国学”系列讲座．由于条件限制，按男、女生比例采取分层抽样的方法，从某班选出10人参加活动，在活动前，对所选的10名同学进行了国学素养测试，这10名同学的性别和测试成绩（百分制）的茎叶图如图所示．（Ⅰ）根据这10名同学的测试成绩，分别估计该班男、女生国学素养测试的平均成绩；（Ⅱ）这10名同学中男生和女生的国学素养测试成绩的方差分别为，，试比较与的大小（只需直接写出结果）；（Ⅲ）若从这10名同学中随机选取一男一女两名同学，求这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率．（注：成绩大于等于75分为优良）19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆C与y轴交于A、B两点，|AB|=2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知点P是椭圆C上的动点，且直线PA，PB与直线x=4分别交于M、N两点，是否存在点P，使得以MN为直径的圆经过点（2，0）？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，说明理由．20．已知函数f（x）=．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）的零点和极值；（3）若对任意x1，x2∈[a，+∞），都有f（x1）﹣f（x2）≥﹣成立，求实数a的最小值．2016年北京市海淀区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A={x∈z|﹣2≤x＜3}，B={x|﹣2≤x＜1}，则A∩B=（）A．{﹣2，﹣1，0}B．{﹣2，﹣1，0，1} C．{x|﹣2＜x＜1}D．{x|﹣2≤x＜1}【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={x∈Z|﹣2≤x＜3}={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|﹣2≤x＜1}，∴A∩B={﹣2，﹣1，0}，故选：A．2．已知向量，若，则t=（）A．1 B．3 C．±3 D．﹣3【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】由向量共线可得t的方程，解方程可得．【解答】解：∵向量，且，∴1×9﹣t2=0，解得t=±3故选：C3．某程序的框图如图所示，若输入的z=i（其中i为虚数单位），则输出的S 值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图及已知中输入z=i，可得：进入循环的条件为n≤5，即n=1，2，…，5，模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．【解答】解：模拟执行程序，可得z=i，n=1不满足条件n ＞5，S=i 1，n=2不满足条件n ＞5，S=i 2，n=3不满足条件n ＞5，S=i 3，n=4不满足条件n ＞5，S=i 4，n=5不满足条件n ＞5，S=i 5，n=6满足条件n ＞5，退出循环，输出S=i 5=i ．故选：D ．4．若x ，y 满足，则z=x +y 的最大值为（ ）A ．B ．3C ．D ．4【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x +y 得y=﹣x +y ，平移y=﹣x +y ，由图象知当直线y=﹣x +y 经过点A 直线的截距最大，此时z 最大，由得，即A （1，3），则z=+3=，故选：C ．5．某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为（ ）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是一个三棱锥，由三视图之间的关系求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个三棱锥，底面是一个三角形：即俯视图：底是2、高是侧视图的底边，三棱锥的高是侧视图和正视图的高1，∴几何体的体积V==，故选：A．6．已知点P（x0，y0）在抛物线W：y2=4x上，且点P到W的准线的距离与点P到x轴的距离相等，则x0的值为（）A．B．1 C．D．2【考点】抛物线的简单性质．【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义可得点P到W的准线的距离即为P到W的焦点F的距离，由题意可得|PF|=|y0|，即可得到x0=1．【解答】解：抛物线W：y2=4x的焦点为（1，0），准线方程为x=﹣1，由抛物线的定义可得点P到W的准线的距离即为P到W的焦点F的距离，由题意可得|PF|=|y0|，则PF⊥x轴，可得x0=1，故选：B．7．已知函数f（x）=，则“α=”是“函数f（x）是偶函数“的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】函数f（x）是偶函数，则sin（x+α）=cos（﹣x+α），可得sin（x+α）=，化简解出即可判断出结论．【解答】解：函数f（x）是偶函数，则sin（x+α）=cos（﹣x+α），可得sin（x+α）=，∴x+α+2kπ=+x﹣α，或π﹣（x+α）+2kπ=+x﹣α，解得，（k∈Z）．∴α=”是“函数f（x）是偶函数”的充分不必要条件．故选：A．8．某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示．若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列叙述正确的是（）工作效益一二三四五机器甲15 17 14 17 15乙22 23 21 20 20丙9 13 14 12 10丁7 9 11 9 11戊13 15 14 15 11A．甲只能承担第四项工作 B．乙不能承担第二项工作C．丙可以不承担第三项工作D．获得的效益值总和为78【考点】进行简单的合情推理．【分析】由表知道，五项工作后获得的效益值总和最大为17+23+14+11+15=80，但不能同时取得，再分类讨论，得出乙若不承担第二项工作，承担第一项，甲承担第二项工作，则戊承担第四项工作，即可得出结论．【解答】解：由表知道，五项工作后获得的效益值总和最大为17+23+14+11+15=80，但不能同时取得．要使总和最大，甲可以承担第一或四项工作，丙只能承担第三项工作，丁则不可以承担第三项工作，所以丁承担第五项工作；乙若承担第四项工作；戊承担第一项工作，此时效益值总和为17+23+14+11+13=78；乙若不承担第二项工作，承担第一项，甲承担第二项工作，则戊承担第四项工作，此时效益值总和为17+22+14+11+15=79，所以乙不承担第二项工作，故选：B．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．函数f（x）=的定义域为[1，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可．【解答】解：∵函数f（x）=，∴2x﹣2≥0，即2x≥2；解得x≥1，∴f（x）的定义域为[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．10．已知数列{a n}的前n项和为S n，且，则a2﹣a1=2．【考点】数列递推式．【分析】通过，利用a2﹣a1=S2﹣2S1计算即得结论．【解答】解：∵，∴a2﹣a1=（a1+a2）﹣2a1=S2﹣2S1=（4﹣8）﹣2（1﹣4）=2，故答案为：2．11．已知l为双曲线C：﹣=1的一条渐近线，其倾斜角为，且C的右焦点为（2，0），则C的右顶点为（，0），C的方程为﹣=1．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可得c=2，求出渐近线方程，解方程可得a，b，即可得到右顶点和双曲线的方程．【解答】解：由题意可得c=2，即a2+b2=4，一条渐近线的斜率为k==tan=1，解得a=b=，则双曲线的右顶点为（，0），C的方程为﹣=1．故答案为：（，0），﹣=1．12．在2这三个数中，最小的数是．【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵=＞1，log32＞=，∴在2这三个数中，最小的数是．故答案为：．13．已知函数f（x）=sin（2x+φ），若，则函数f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．【考点】正弦函数的图象．【分析】由条件可得+φ=2kπ+，且﹣+φ=2kπ﹣，k∈Z，求得φ的值，可得f （x）的解析式，再利用正弦函数的单调性得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=sin（2x+φ），若，则函数的周期为π，f（）=sin（+φ）=1，f（﹣）=sin（﹣+φ）=﹣1，故+φ=2kπ+，且﹣+φ=2kπ﹣，k∈Z，即φ=2kπ+，k∈Z．故取φ=，f（x）=sin（2x+）．令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，故答案为：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．14．给定正整数k≥2，若从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点中任取k个顶点，组成一个集合M={X1，X2，…，X k}，均满足∀X i，X j∈M，∃X l，X t∈M，使得直线X i X j⊥X l X t，则k的所有可能取值是6，7，8．【考点】棱柱的结构特征．【分析】由题意，∀X i，X j∈M，∃X l，X t∈M，使得直线X i X j⊥X l X t，则k至少要取6，可以保证由四点共面，即可得出结论．【解答】解：由题意，∀X i，X j∈M，∃X l，X t∈M，使得直线X i X j⊥X l X t，则k至少要取6，即可保证有四点共面，由正方形的性质，四点共面时，∃X l，X t∈M，使得直线X i X j⊥X l X t，∴k的所有可能取值是6，7，8．故答案为：6，7，8．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．在△ABC 中，∠C=，a=6．（Ⅰ）若c=14，求sinA的值；（Ⅱ）若△ABC的面积为3，求c的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（I）利用正弦定理解出；（II）根据面积计算b，再利用余弦定理解出c．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得：，即，∴．（Ⅱ）∵=．∴b=2．由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2a•b•cosC=4+36﹣2×=52．∴．16．已知数列{a n}是等比数列，其前n项和为S n，满足S2+a1=0，a3=12．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数n，使得S n＞2016？若存在，求出符合条件的n的最小值；若不存在，说明理由．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（Ⅰ）通过设数列{a n}的公比为q，利用2a1+a1q=0及a1≠0可知q=﹣2，进而通过a3=12可知首项a1=3，计算即得结论；（Ⅱ）通过（I）、利用等比数列的求和公式计算可知S n＞2016等价于（﹣2）n＜﹣2015，分n为奇数、偶数两种情况讨论即可．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，因为S2+a1=0，所以2a1+a1q=0，因为a1≠0，所以q=﹣2，又因为，所以a1=3，所以；（Ⅱ）结论：符合条件的n的最小值为11．理由如下：由（I）可知，令S n＞2016，即1﹣（﹣2）n＞2016，整理得（﹣2）n＜﹣2015，当n为偶数时，原不等式无解；当n为奇数时，原不等式等价于2n＞2015，解得n≥11；综上所述，所以满足S n＞2016的正整数n的最小值为11．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，点M，N 分别为线段PB，PC 上的点，MN⊥PB．（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PAB；（Ⅱ）求证：当点M 不与点P，B 重合时，MN∥平面ABCD；（Ⅲ）当AB=3，PA=4时，求点A到直线MN距离的最小值．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）通过证明BC⊥平面PAB，即可证明平面PBC⊥平面PAB；（Ⅱ）在△PBC中，BC⊥PB，MN⊥PB，所以MN∥BC，利用线面平行的判定定理，证明MN∥平面ABCD；（Ⅲ）AM的长就是点A到MN的距离，A到直线MN距离的最小值就是A到线段PB的距离．【解答】证明：（Ⅰ）在正方形ABCD中，AB⊥BC．…．因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC．…．又AB∩PA=A，AB，PA⊂平面PAB，…．所以BC⊥平面PAB．…．因为BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAB．…．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，所以BC⊥PB．…．在△PBC中，BC⊥PB，MN⊥PB，所以MN∥BC，…．又BC⊂平面ABCD，MN⊄平面ABCD，…．所以MN∥平面ABCD．…．解：（Ⅲ）因为MN∥BC，所以MN⊥平面PAB，…．而AM⊂平面PAB，所以MN⊥AM，…．所以AM的长就是点A到MN的距离，…．而点M在线段PB上所以A到直线MN距离的最小值就是A到线段PB的距离，在Rt△PAB中，AB=3，PA=4，所以A到直线MN的最小值为．…．18．一所学校计划举办“国学”系列讲座．由于条件限制，按男、女生比例采取分层抽样的方法，从某班选出10人参加活动，在活动前，对所选的10名同学进行了国学素养测试，这10名同学的性别和测试成绩（百分制）的茎叶图如图所示．（Ⅰ）根据这10名同学的测试成绩，分别估计该班男、女生国学素养测试的平均成绩；（Ⅱ）这10名同学中男生和女生的国学素养测试成绩的方差分别为，，试比较与的大小（只需直接写出结果）；（Ⅲ）若从这10名同学中随机选取一男一女两名同学，求这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率．（注：成绩大于等于75分为优良）【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；极差、方差与标准差．【分析】（Ⅰ）设这10名同学中男女生的平均成绩分别为．利用茎叶图能求出该班男、女生国学素养测试的平均成绩．（Ⅱ）女生国学素养测试成绩的方差大于男生国学素养成绩的方差．（Ⅲ）设“两名同学的成绩均为优良”为事件A，男生按成绩由低到高依次编号为a1，a2，a3，a4，女生按成绩由低到高依次编号为b1，b2，b3，b4，b5，b6，由此利用列举法能求出这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率．【解答】解：（Ⅰ）设这10名同学中男女生的平均成绩分别为．则…．…．∴该班男、女生国学素养测试的平均成绩分别为73.75，76．（Ⅱ）女生国学素养测试成绩的方差大于男生国学素养成绩的方差．…．（Ⅲ）设“两名同学的成绩均为优良”为事件A，…．男生按成绩由低到高依次编号为a1，a2，a3，a4，女生按成绩由低到高依次编号为b1，b2，b3，b4，b5，b6，则从10名学生中随机选取一男一女两名同学共有24种取法…．（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，b4），（a1，b5），（a1，b6），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，b4），（a2，b5），（a2，b6），（a3，b1），（a3，b2），（a3，b3），（a3，b4），（a3，b5），（a3，b6），（a4，b1），（a4，b2），（a4，b3），（a4，b4），（a4，b5），（a4，b6），其中两名同学均为优良的取法有12种取法…．（a2，b3），（a2，b4），（a2，b5），（a2，b6），（a3，b3），（a3，b4），（a3，b5），（a3，b6），（a4，b2），（a4，b3），（a4，b4），（a4，b5），（a4，b6），所以，即两名同学成绩均为优良的概率为．…．19．已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的离心率为，椭圆C 与y 轴交于A 、B 两点，|AB |=2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知点P 是椭圆C 上的动点，且直线PA ，PB 与直线x=4分别交于M 、N 两点，是否存在点P ，使得以MN 为直径的圆经过点（2，0）？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式，以及a ，b ，c 的关系，计算即可得到所求椭圆方程；（Ⅱ）设P （m ，n ），可得+n 2=1，可得A （0，1），B （0，﹣1），设M （4，s ），N （4，t ），运用三点共线的条件：斜率相等，求得M ，N 的坐标，再由直径所对的圆周角为直角，运用垂直的条件：斜率之积为﹣1，计算即可求得m ，检验即可判断是否存在．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，2b=2，即b=1，又a 2﹣c 2=1，解得a=2，c=，即有椭圆的方程为+y 2=1；（Ⅱ）设P （m ，n ），可得+n 2=1，即有n 2=1﹣，由题意可得A （0，1），B （0，﹣1），设M （4，s ），N （4，t ），由P ，A ，M 共线可得，k PA =k MA ，即为=，可得s=1+，由P ，B ，N 共线可得，k PB =k NB ，即为=，可得s=﹣1．假设存在点P ，使得以MN 为直径的圆经过点Q （2，0）．可得QM ⊥QN ，即有•=﹣1，即st=﹣4．即有[1+][﹣1]=﹣4，化为﹣4m 2=16n 2﹣（4﹣m ）2=16﹣4m 2﹣（4﹣m ）2，解得m=0或8，由P，A，B不重合，以及|m|＜2，可得P不存在．20．已知函数f（x）=．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）的零点和极值；（3）若对任意x1，x2∈[a，+∞），都有f（x1）﹣f（x2）≥﹣成立，求实数a的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，即可得到所求切线的方程；（2）令f（x）=0，可得零点；由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，进而得到极小值，无极大值；（3）结合单调性，当a≥2时，f（x）在[a，+∞）递增，即有f（x）≥f（a）≥f（2）=﹣，运用不等式的性质，即可得到a的最小值为2．【解答】解：（1）函数f（x）=的导数为f′（x）=，可得在点（0，f（0））处的切线斜率为﹣2，切点为（0，1），即有切线的方程为y=﹣2x+1；（2）由f（x）=0，可得x=1，即零点为1；由x＞2时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＜2时，f′（x）＜0，f（x）递减．可得x=2处，f（x）取得极小值，且为﹣，无极大值；（3）由（2）可得f（2）取得极小值﹣，当a≥2时，f（x）在[a，+∞）递增，即有f（x）≥f（a）≥f（2）=﹣，由﹣≤f（x1）＜0，0＜﹣f（x2）＜，可得＞f（x1）﹣f（x2）≥﹣恒成立．即有a的最小值为2．2016年9月10日。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
海淀区高三年级2015-2016 学年度第二学期期中练习数学试卷（文科） 2016.4本试卷共4 页，150 分．考试时长120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项．1．已知集合A ＝{}|23x z x ∈-≤<，B ＝{}|21x x -≤<，则A B ＝（ ）A ．{}2,1,0--B ．{}2,1,0,1--C ．{}|21x x -<<D ．{}|21x x -≤<2、已知向量(1,),(,9)a t b t ==，若a b ，则t ＝（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．某程序的框图如图所示，若输入的z ＝i （其中i 为虚数单位），则输出的S 值为（ ）A ．－1B ．1C ．－ID ．i4．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则12zx y =+的最大值为（ ）A ．52B ．3C ．72D ．45．某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为（ ）A 3B 323 D 26 6、已知点P 00(,)x y 在抛物线W ：24y x =上，且点P 到W 的准线的距离与点P 到x 轴的距离相等，则0x 的值为（ ）A ．12 B ．1 C ．32D ．2 7．已知函数sin(),0()cos(),0x a x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩，则“4πα=”是“函数()f x 是偶函数“的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示．若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列叙述正确的是（ ）A ．甲只能承担第四项工作B ．乙不能承担第二项工作C ．丙可以不承担第三项工作D ．获得的效益值总和为78二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分．9．函数22x y =-_________10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24n S n n =-，则21a a -＝_______．11．已知l 为双曲线C ：22221x y a b -=的一条渐近线，其倾斜角为4π，且C 的右焦点为（2,0），点C 的右顶点为_________，则C 的方程为_______．12．在1331,2.log 22这三个数中，最小的数是_______．13．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，若5()()21212f f ππ--=，则函数()f x 的单调增区间为_________14．给定正整数k ≥2，若从正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的8个顶点中任取k 个顶点，组成一个集合M ＝{}12,,,k X X X ，均满足,,,i j s t X X M X X M ∀∈∃∈，使得直线i j s t X X X X ⊥，则k 的所有可能取值是_________三、解答题共6 小题，共80 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13 分） 在△ABC 中，∠C ＝23π，6a =．（Ⅰ）若c ＝14，求sinA 的值；（Ⅱ）若△ABC 的面积为33，求c 的值．16．（本小题满分13 分）已知数列{}n a 是等比数列，其前n 项和为n S ，满足210S a +=，312a =。
（I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）是否存在正整数n ，使得n S ＞2016？若存在，求出符合条件的n 的最小值；若不存在，说明理由。
17．（本小题满分14 分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，点M ，N 分别为线段PB ，PC 上的点，MN ⊥PB ． （Ⅰ）求证： 平面PBC ⊥平面PAB ；（Ⅱ）求证：当点M 不与点P ，B 重合时，M N ∥平面ABCD ； （Ⅲ）当AB ＝3，PA ＝4时，求点A 到直线MN 距离的最小值。
18．（本小题满分13 分）一所学校计划举办“国学”系列讲座。
由于条件限制，按男、女生比例采取分层抽样的方法，从某班选出10人参加活动，在活动前，对所选的10名同学进行了国学素养测试，这10名同学的性别和测试成绩（百分制）的茎叶图如图所示。
（I ）根据这10名同学的测试成绩，分别估计该班男、女生国学素养测试的平均成绩； （II ）这10名同学中男生和女生的国学素养测试成绩的方差分别为21s ，22s ，试比较21s 与22s 的大小（只需直接写出结果）；（III ）若从这10名同学中随机选取一男一女两名同学，求这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率。
（注：成绩大于等于75分为优良）19．（本小题满分14 分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，椭圆C 与y 轴交于A ， B 两点，且｜AB ｜＝2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点P 是椭圆C 上的一个动点，且直线PA ，PB 与直线x ＝4分别交于M ， N 两点．是否存在点P 使得以MN 为直径的圆经过点（2,0）？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，说明理由。
20．（本小题满分13 分） 已知函数f (x) ＝1xxe - （Ⅰ）求曲线y =f (x)在点（0，f （0））处的切线方程； （Ⅱ）求函数f (x)的零点和极值；（Ⅲ）若对任意12,[,)x x a ∈+∞，都有1221()()ef x f x -≥-成立，求实数a 的最小值。
海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数学（文科） 2016.4阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。
一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）共30分）说明：1.第9题,学生写成 1x ≥的不扣分 2.第13题写成开区间 5ππ(π,π),1212k k k -++∈Z 的不扣分,没有写k ∈Z 的,扣1分 3. 第14题有错写的，则不给分只要写出7或8中之一的就给1分，两个都写出，没有其它错误的情况之下给1分 写出5，6中之一的给2分，两个都写出，且没有错误的情况之下给4分三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15.解：(Ⅰ) 方法一： 在ABC ∆中，因为sin sin a cA C=， 即6sin 3A =所以33sin A =. 方法二：过点B 作线段AC 延长线的垂线，垂足为D因为2π3BCA ∠=，所以π3BCD ∠= 在Rt BDC ∆中，333BD ==在Rt ABD ∆中，33sin 14BD A AB ==（Ⅱ）方法一：因为1sin 2ABC S a b C ∆=⋅⋅⋅. 所以1333622b =⨯⨯⨯，解得2b =.又因为2222cos c a b a b C =+-⋅⋅.所以21436226()2c =+-⨯⨯⨯-,所以52213c ==方法二：过点A 作线段BC 延长线的垂线，垂足为D因为2π3ACB ∠= , 所以π3ACD ∠=.又因为12ABC S BC AD ∆=⋅⋅, 即1336AD =⨯⨯ , 所以 3 , 1AD CD ==.在Rt ABD ∆中，222AB BD AD =+.所以52213AB ==16.解：(Ⅰ) 设数列{}n a 的公比为q ， 因为210S a +=，所以1120a a q +=. 因为10,a ≠所以2,q =-又因为23112a a q ==，所以13a =,所以13(2)n n a -=⨯-（或写成3(2)2n n a =-⨯-）说明：这里的 公式都单独有分，即如果结果是错的，但是通项公式或者下面的前n 项和公式正确写出的，都给2分(Ⅱ)因为31(2)1(2)1(2)n n n S ⎡⎤⨯--⎣⎦==----.令2016n S >, 即1(2)2016n -->，整理得(2)2015n-<-.当n 为偶数时，原不等式无解；当n 为奇数时，原不等式等价于22015n >，解得11n ≥， 所以满足2016n S >的正整数n 的最小值为11. 17解：（Ⅰ）证明：在正方形ABCD 中，AB BC ⊥. 因为PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PA BC ⊥. 又ABPA A =，,AB PA ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB .因为BC ⊂平面PBC , 所以平面PBC ⊥平面PAB .（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知, BC ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，所以BC PB ⊥. 在PBC ∆中，BC PB ⊥，MN PB ⊥， 所以//MN BC ， 又BC ⊂平面ABCD ，MN ⊄平面ABCD ， 所以MN //平面ABCD .（Ⅲ）解：因为//MN BC , 所以MN ⊥平面PAB ， 而AM ⊂平面PAB ，所以MN ⊥AM ， 所以AM 的长就是点A 到MN 的距离， 而点M 在线段PB 上所以A 到直线MN 距离的最小值就是A 到线段PB 的距离， 在Rt PAB ∆中，3,4,AB PA ==所以A 到直线MN 的最小值为125. 18.解:（Ⅰ）设这10名同学中男女生的平均成绩分别为12,x x . 则16476777873.754x +++==2567976708887766x ++++++==（Ⅱ）女生国学素养测试成绩的方差大于男生国学素养成绩的方差. （Ⅲ）设“两名同学的成绩均为优良”为事件A ， 男生按成绩由低到高依次编号为1234,,,a a a a ， 女生按成绩由低到高依次编号为123456,,,,,b b b b b b ， 则从10名学生中随机选取一男一女两名同学共有24种取法11(,)a b ，12(,)a b ，13(,)a b ，14(,)a b ，15(,)a b ，16(,)a b ， 21(,)a b ，22(,)a b ，23(,)a b ，24(,)a b ，25(,)a b ，26(,)a b ， 31(,)a b ，32(,)a b ，33(,)a b ，34(,)a b ，35(,)a b ，36(,)a b ， 41(,)a b ，42(,)a b ，43(,)a b ，44(,)a b ，45(,)a b ，46(,)a b ，其中两名同学均为优良的取法有12种取法23(,)a b ，24(,)a b ，25(,)a b ，26(,)a b ，33(,)a b ，34(,)a b ，35(,)a b ，36(,)a b ，42(,)a b ，43(,)a b ，44(,)a b ，45(,)a b ，46(,)a b所以121()242P A ==，即两名同学成绩均为优良的概率为12.19. 解：（Ⅰ）由已知2AB =，得知22b =，1b =,又因为离心率为2，所以c a =.因为222a b c =+，所以2,a =所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（Ⅱ）解法一：假设存在. 设00(,) (4,) (4,)P x y M m N n 由已知可得(0,1) (0,1)A B -，所以AP 的直线方程为0011y y x x -=+， BP 的直线方程为0011y y x x +=-， 令4x =，分别可得004(1)1y m x -=+，004(1)1y n x +=-， 所以082MN m n x =-=-， 线段MN 的中点04(4,)y x ， 若以MN 为直径的圆经过点(2,0)，则22200044(42)(0)(1)y x x -+-=-, 因为点P 在椭圆上，所以220014x y +=，代入化简得0810x -=，所以08x =， 而[]022x ∈-，，矛盾， 所以这样的点P 不存在.解法二：假设存在，记(20)D ，. 设00(,) (4,) (4,)P x y M m N n 由已知可得(0,1) (0,1)A B -， 所以AP 的直线方程为0011y y x x -=+， BP 的直线方程为0011y y x x +=-，令4x =，分别可得004(1)1y m x -=+，004(1)1y n x +=-， 所以004(1)(4,1),y M x -+004(1)(41)y N x +-， 因为MN 为直径，所以0DM DM ⋅=所以DM DN ⋅=00004(1)4(1)(2,1)(2,1)0y y x x -++⋅-= 所以 22002016(4)40y x DM DN x --⋅=+=因为点P 在椭圆上，所以220014x y +=， 代入得到22200000220048840x x x x x DM DN x x -+--⋅=+== 所以 08x =，这与 0[2,2]x ∈-矛盾 所以不存在 法三 ：假设存在，记(20)D ，, (40)H ， 设00(,) (4,) (4,)P x y M m N n 由已知可得(0,1) (0,1)A B -，所以AP 的直线方程为0011y y x x -=+， BP 的直线方程为0011y y x x +=-， 令4x =，分别可得004(1)1y m x -=+，004(1)1y n x +=-， 所以004(1)(4,1),y M x -+004(1)(41)y N x +-， 因为DH MN ⊥, 所以2DH HN HM =⋅ 所以 4=00004(1)4(1)|1||1|y y x x -++⋅- 所以2200020161684=||y x x x -+-因为点P 在椭圆上，所以220014x y +=， 代入得到0854||x x -=, 解得08x =或089x = 当08x =时，这与 0[2,2]x ∈-矛盾当089x =时，点,M N 在x 轴同侧，矛盾 所以不存在20.解：（Ⅰ）因为2'()e xx f x -=， 所以'(0)2f =-.因为(0)1f =，所以曲线()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为210x y +-=. （Ⅱ）令1()0e xxf x -==，解得1x =， 所以()f x 的零点为1x =. 由2'()0e xx f x -==解得2x =， 则'()f x 及()f x 的情况如下：x (,2)-∞2 (2,)+∞ '()f x -0 +()f x极小值21e-所以函数()f x 在2x = 时,取得极小值21e - （Ⅲ）法一： 当1x >时，1()0ex xf x -=<. 当1x <时，1()0e xxf x -=>. 若1a ≤，由（Ⅱ）可知()f x 的最小值为(2)f ，()f x 的最大值为()f a ，所以“对任意12,[,)x x a ∈+∞，有1221()()ef x f x -≥-恒成立”等价于21(2)()e f f a -≥- 即22111e a a e e ---≥-， 解得1a ≥.所以a 的最小值为1. 法二：当1x >时，1()0ex xf x -=<. 当1x <时，1()0e xxf x -=>. 且由（Ⅱ）可知，()f x 的最小值为21(2)e f =-，若1a <，令122,[,1)x x a =∈，则12,[,)x x a ∈+∞ 而121121()()()0()(2)e f x f x f x f x f -<--=<=，不符合要求， 所以1a ≥.当1a =时，12,[1,)x x ∀∈+∞,12()0,()0f x f x ≤≤ 所以12121()()()0(2)e f x f x f x f -≥-≥=-，即1a =满足要求， 综上，a 的最小值为1.法三：当1x >时，1()0e x x f x -=<. 当1x <时，1()0e xx f x -=>. 且由（Ⅱ）可知，()f x 的最小值为21(2)e f =-， 若2[,)a ∈+∞，即2a ≤时，令12,x =则任取2[,)x a ∈+∞, 有12222211()()(2)()()e e f x f x f f x f x -=-=--≥- 所以2()0f x ≤对2[,)x a ∈+∞成立，所以必有21x ≥成立，所以[,)[1,)a +∞⊆++∞，即1a ≥.而当1a =时，12,[1,)x x ∀∈+∞,12()0,()0f x f x ≤≤ 所以12121()()()0(2)e f x f x f x f -≥-≥=-，即1a =满足要求， 而当2a ≥时，求出的a 的值，显然大于1，综上，a 的最小值为1.最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改赠人玫瑰，手留余香。