1.3条件概率
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1-3条件概率
P (B 4 A ) =
P (AB4 ) P (A )
=
P (B 4 ) P (A B 4 )
∑ P (B ) P ( A
4 i =1 i
Bi )
0.007 = ≈ 0.2222 = 22.22% 0.0315
P (B
P (B
1
A ) ≈ 2 3 .8 1 %
A ) ≈ 2 5 .4 0 %
2
P (B
2
定义 在事件B已经发生的条件下，求事件A 已经发生的条件下， 发生的概率，称这种概率为事件B 发生的概率，称这种概率为事件B发生条件下事 发生的条件概率 条件概率(conditional 件A发生的条件概率(conditional probability) ， 记为 P ( A B ) . 定理1 定理 设事件B的概率P(B) > 0，则 ， 同样，若P(A) > 0，则 同样， ，
§1.3 条件概率
一、条件概率与乘法公式
在有两个孩子的家庭中任取一个家庭， 例: 在有两个孩子的家庭中任取一个家庭，假定男女出生率 一样， 这个家庭中孩子是一男一女}， 一样，记A={这个家庭中孩子是一男一女 ， 这个家庭中孩子是一男一女 B={这个家庭中至少有一个女孩 ， (1)求A的概率； 这个家庭中至少有一个女孩}， 求 的概率 的概率； 这个家庭中至少有一个女孩 (2)若预先已知这家庭中至少有一个女孩 即B已发生 ，问孩子 若预先已知这家庭中至少有一个女孩(即 已发生 已发生)， 若预先已知这家庭中至少有一个女孩 是一男一女(即A也发生 的概率又是多少？ 是一男一女 即 也发生)的概率又是多少？ 也发生 的概率又是多少 分析:(1)条件下依两个孩子 依大小排列 的性别有 条件下依两个孩子(依大小排列 分析 条件下依两个孩子 依大小排列)的性别有 1 . ∴ P (A ) = 男 ， 男女 ， 女 女 Ω = {(男, 男)，(男,女)， (女, 男), (女, 女)} (2)条件下 Ω B = {(男,女)， (女, 男), (女, 女)} ——缩减样本空间 条件下 男女 ， 女 女 缩减样本空间 AB包含的样本点数 包含的样本点数 2 n AB / nΩ = P (AB) 此时P 此时P (A |B ) = = = P (B) 3 nB / n Ω B包含的样本点数 称为事件B 称为事件B发生的条件下事件 A的条件概率。 的条件概率。
P (AB4 ) P (A )
=
P (B 4 ) P (A B 4 )
∑ P (B ) P ( A
4 i =1 i
Bi )
0.007 = ≈ 0.2222 = 22.22% 0.0315
P (B
P (B
1
A ) ≈ 2 3 .8 1 %
A ) ≈ 2 5 .4 0 %
2
P (B
2
定义 在事件B已经发生的条件下，求事件A 已经发生的条件下， 发生的概率，称这种概率为事件B 发生的概率，称这种概率为事件B发生条件下事 发生的条件概率 条件概率(conditional 件A发生的条件概率(conditional probability) ， 记为 P ( A B ) . 定理1 定理 设事件B的概率P(B) > 0，则 ， 同样，若P(A) > 0，则 同样， ，
§1.3 条件概率
一、条件概率与乘法公式
在有两个孩子的家庭中任取一个家庭， 例: 在有两个孩子的家庭中任取一个家庭，假定男女出生率 一样， 这个家庭中孩子是一男一女}， 一样，记A={这个家庭中孩子是一男一女 ， 这个家庭中孩子是一男一女 B={这个家庭中至少有一个女孩 ， (1)求A的概率； 这个家庭中至少有一个女孩}， 求 的概率 的概率； 这个家庭中至少有一个女孩 (2)若预先已知这家庭中至少有一个女孩 即B已发生 ，问孩子 若预先已知这家庭中至少有一个女孩(即 已发生 已发生)， 若预先已知这家庭中至少有一个女孩 是一男一女(即A也发生 的概率又是多少？ 是一男一女 即 也发生)的概率又是多少？ 也发生 的概率又是多少 分析:(1)条件下依两个孩子 依大小排列 的性别有 条件下依两个孩子(依大小排列 分析 条件下依两个孩子 依大小排列)的性别有 1 . ∴ P (A ) = 男 ， 男女 ， 女 女 Ω = {(男, 男)，(男,女)， (女, 男), (女, 女)} (2)条件下 Ω B = {(男,女)， (女, 男), (女, 女)} ——缩减样本空间 条件下 男女 ， 女 女 缩减样本空间 AB包含的样本点数 包含的样本点数 2 n AB / nΩ = P (AB) 此时P 此时P (A |B ) = = = P (B) 3 nB / n Ω B包含的样本点数 称为事件B 称为事件B发生的条件下事件 A的条件概率。 的条件概率。
1.3,1.4条件概率,全概率公式
解 设 A表示抽到的为男子，B表示抽到的是女子。
C表示抽到的人有色盲症。
则
1 P( A) P( B) , P(C | A) 0.05, P(C | B) 0.0025 2
由Bayes公式有
P( A) P(C | A) 0.5 0.05 P( A | C ) P( A) P(C | A) P( B) P(C | B) 0.5 0.05 0.5 0.0025
2 1 3 2 2 , 5 4 5 4 5
P( A3 ) P( A3) P( A3 ( A1 A2 A1 A2 A1 A2 ))
P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 A2 A3 )
P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 )
i 1 n
全概率公式
证明 B B B ( A A A ) 1 2 n
BA1 BA2 BAn .
由 Ai A j ( BAi )( BAj ) P( B) P( BA1 ) P( BA2 ) P( BAn ) P( B) P( A1 ) P( B | A1 ) P( A2 ) P( B | A2 )
解
设Ａ表示取得一等品，Ｂ表示取得合格品，则
（1）因为100 件产品中有 70 件一等品，所以 70 P( A) 0.7 100 因为95 件合格品中有 70 件一等品，所以 （2）方法1： 70 P( A B) 0.7368 95 方法2：
C表示抽到的人有色盲症。
则
1 P( A) P( B) , P(C | A) 0.05, P(C | B) 0.0025 2
由Bayes公式有
P( A) P(C | A) 0.5 0.05 P( A | C ) P( A) P(C | A) P( B) P(C | B) 0.5 0.05 0.5 0.0025
2 1 3 2 2 , 5 4 5 4 5
P( A3 ) P( A3) P( A3 ( A1 A2 A1 A2 A1 A2 ))
P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 A2 A3 )
P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 )
i 1 n
全概率公式
证明 B B B ( A A A ) 1 2 n
BA1 BA2 BAn .
由 Ai A j ( BAi )( BAj ) P( B) P( BA1 ) P( BA2 ) P( BAn ) P( B) P( A1 ) P( B | A1 ) P( A2 ) P( B | A2 )
解
设Ａ表示取得一等品，Ｂ表示取得合格品，则
（1）因为100 件产品中有 70 件一等品，所以 70 P( A) 0.7 100 因为95 件合格品中有 70 件一等品，所以 （2）方法1： 70 P( A B) 0.7368 95 方法2：
1.3 条件概率与乘法公式
• （1）抽到的同学来自山东的概率；
• （2）抽到的同学是女生的概率；
• （3）抽到的同学是来自山东的女生的概率；
• （4）若发现抽到的是女生，她来自山东的概率.
• 解 令 A “抽到的同学来自山东”B， “抽到的同学是女生”，
则根据古典概型公式有：
• （1） • （2）
P( A)
#A #
件A发生的概率P( A)是不相同的，与P( AB)也是不同的.我们称之为"在事件
B发生的条件下，事件A发生的条件概率"，记P( A | B),
事件AB与事件A | B可用文氏图表示 （见图1 8、图1 9）.
图1-8
图1-9
• 图1-8中阴影部分表示事件 AB ，图1-9中深色阴影部
分表示事件 A | B ，本来样本空间为 ，当 B 发生以 后，样本空间缩减为 B ，而 P(A | B)是在缩减了的样
解 设事件A、B、C分别表示甲、乙、丙抽到难签， 则
(1)
P(
A)
4 10
0.4
(2) P(AB) P( A)P(B
A)
4 10
3 9
2 15
(3) P(AB) P( A)P(B
A)
6 4 4 10 9 15
(4)
P(ABC) P(A)P(B
A)P(C
AB)
4 10
3 9
注 : (1)P( AB) P( A)P(B)
(2)乘法公式给出了一种计算“积事件”概率的方法 （3）当P(AB)不容易直接求得时，可考虑利用P(A)与
P(B|A)的乘积或P(B)与P(A|B)的乘积间接求得。
§1.3 条件概率与贝叶斯公式
A={(男, 男), (男, 女), (女, 男)}，B={(女, 女), (男, 女), (女, 男)}. 显然，P(A)=P(B)=3/4．现在B已经发生，排除了有两个男孩的 可能性，相当于样本空间由原来的缩小到现在的 B=B，而事件 相应地缩小到={(男, 女)，(女, 男)}，因此 2 2 / 4 P( AB) P( A | B) p( A) 3 3/ 4 P( B)
第一章
§1.3 条件概率与贝叶斯公式
第7页
定理1.3.1 乘法公式 若Ｐ(B)>0, 则 若Ｐ(A)>0, 则
P(AB) = P(B)· P(A |B)
P(AB) = P(A)· P(B|A)
推广 若P(A1 A2… An-1)>0，则 P(A1 A2… An)＝ P(A1 ) P(A2| A1) P(A3| A1 A2) … P(An ｜A1 A2… An-1). 证 反复应用两个事件的乘法公式，得到
P ( AB) 0.12 P( A | B) 0.67 , P( B) 0.18
P ( AB) 0.12 P ( B | A) 0.60, P( A) 0.2
第一章
§1.3 条件概率与贝叶斯公式
第6页
课堂练习
(1) 设P(B)＞0，且AB，则下列必然成立的是( (2) ) ① P(A)<P(A|B) ② P(A)≤P(A|B) ③ P(A)>P(A|B) ④ P(A)≥P(A|B) (2) P(A)=0.6, P(AB)=0.84, P(B|A)=0.4, 则 P(B)=( 0.6 ).
解 设A={活到20岁}，B={活到25岁}， 则 P(A)=0.8, P(B)=0.4. 由于AB，有AB=B，因此P(AB)= P(B)=0.4， 于是所求概率为
1.3 条件概率及重要公式
P ( Bi ) 0, 则对任一事件A( P ( A) 0), 有
P ( Bi | A) P ( Bi ) P ( A | Bi )
P(B j )P( A | B j )
j 1
n
, ( i 1,2,, n).
Proof.
P ( ABi ) P ( Bi | A) P ( A)
或称为一个完备事件组 .
定理2: 如果事件组B1 , B2 ,, Bn为样本空间S的一个分划,
P ( Bi ) 0( i 1,2,, n), 则对任一事件A, 有
P ( A) P ( Bi ) P ( A | Bi ).
i 1 n
Proof. B1 , B2 ,, Bn互不相容,
P ( A) P ( AB1 ) P ( AB2 ) P ( AB3 ) P ( B1 ) P ( A | B1 ) P ( B2 ) P ( A | B2 ) P ( B3 ) P ( A | B3 ) 23 . 26
四、贝叶斯公式 定理3: 如果事件组B1 , B2 ,, Bn为样本空间S的一个分划,
P ( A1 A2 An ) 左边.
乘法公式给出了n个事件 A1 , A2 ,, An 同时发生的概率计算的一般方法.
ex2.100件产品中有10件次品，随机取三次，每次取一 件（不放回），求第三次才取到合格品的概率. Solution. 设Ai＝{第i次取出的产品是次品} i=1,2 A3＝{第三次取出的产品是合格品}
2. 条件概率的定义
在事件B已发生的条件下, 事件A发生的概率, 称为在事 件B发生的条件下, 事件A发生的条件概率. 记为P(A|B).
P ( AB) 若P ( B ) 0, 规定P ( A | B ) ; P( B) P ( AB) 若P ( A) 0, 规定P ( B | A) . P ( A)
1.3 条件概率解析
例2 人寿保险公司常常需要知道存活到某一年龄
的人在下一年仍然存活的概率。根据统计资料可知， 某城市的人有出生活到50岁的概率为0.90718，存活 到51岁的概率为0.90135。问现在已经50岁的人，能 够活到51岁的概率是多少？
解：记A＝活到50岁，B＝活到51岁，显然B A，
因此AB B
同理可得
P ( AB) P( A B) P( B)
为事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率.
3. 性质
(1) 非负性 : P ( B A) 0;
(2) 规范性 : P( B) 1, P( B) 0;
(3) P ( A1 A2 B) P ( A1 B) P ( A2 B) P ( A1 A2 B);
因为P A＝0.90718，P AB＝P B＝0.90135
P AB 0.90135 所以，P B A＝ ＝ 0.99357 P A 0. A) 0, 则有 P ( AB) P ( B A) P ( A).
设 A, B, C 为事件, 且 P ( AB) 0, 则有
(4) P ( A B ) 1 P ( A B ).
(5) 可列可加性 : 设 B1 , B2 , 是两两不相容的事 件 , 则有
P Bi A P ( Bi A). i 1 i 1
例1 一个家庭中有两个小孩，已知其中至少有一个
是女孩，问另一个也是女孩的概率是多少？ 解：由题意，样本空间为
例1 一袋中有a个白球和b个红球，现依次不放回的
从袋中取两球，试求两次均取到白球的概率。 解：记 Ai 第i次取到白球，i 1,2，要求P A1 A2
a a 1 显然P A1 = , P A2 A1 ab a b 1 a a 1 所以P A1 A2 =P A1 P A2 A1 = a b a b 1
1.3 条件概率、全概率公式
• 例1.20 由以往的临床记录，某种诊断癌症的实 验具有如下效果：被诊断者有癌症，实验反应 为阳性的概率为0.95，被诊断者没有癌症，实 验反应为阴性的概率为0.98，现对自然人群进 行普查，设被试验的人群中患有癌症的概率为 0.005，求：已知实验反应为阳性，该被诊断者 确有癌症的概率。
P(A|B)= 1/3. 容易看到
P(A|B) 1 1 6 P( AB) 3 3 6 P(B)
1. 条件概率的定义
设A、B是两个事件，且P(B)>0,则称
P( A | B) P( AB)
(1)
P(B)
为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.
“条件概率”是“概率”吗？
条件概率符合概率定义中的三个条件 对概率所证明的一些结果都是用） 设A、B ，P(A)>0,则 P(AB)＝P(A)P(B|A).
推广到三个事件的情形： P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB).
• 例1.15 一批彩电，共100台，其中有10台次品， 采用不放回抽样依次抽取3次，每次抽1台，求 第三次抽到合格品的概率。
如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率， 将此概率记作P(A|B).
一般地 P(A|B) ≠ P(A)
例如，掷一颗均匀骰子，A={掷出2点}，
B={掷出偶数点}，P(A )=1/6，P(A|B)=？
已知事件B发生，此时试验所有可能
结果构成的集合就是B，
掷骰子
B中共有3个元素,它们的出现是等
可能的,其中只有1个在集A中. 于是
定理1.3 贝叶斯公式
设事件A1, A2 ,..., An是的一个划分，B是任意一个事件
且P(B)>0, P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则有
1.3 条件概率
解 易知此属古典概型问题.
P ( AB ) P ( B A) = P ( A)
3 2 4 3 3 3 4 3
6 12 2 . 9 12 3
二、乘法定理
P ( AB ) P ( B A) P ( A)
乘法定理 设P ( A) 0, 则有 P ( AB ) P ( A) P ( B A) 推广 设A, B , C为事件, 且P ( AB ) 0, 则有
P ( An A1 A2 An1 )
此模型被波利亚用来作为描述传染病的数学模型. 例5 设袋中装有r只红球, t只白球. 每次自袋 中任取一只球, 观察其颜色然后放回, 并再放入a只
与所取出的那只球同色的球. 若在袋中连续取球四 次, 试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白 球的概率. 解 以Ai ( i 1,2,3,4)表示事件“第i次取到红球”
事件A 已经发生的条件下事件B 发生的概率,记为
P( B A).
例2 全年级100名学生中，有男生(事件A)80人，女生 20人；来自福州的(事件B)有20人，其中男生12人， 女生8人；免修英语(事件C)有40人，其中男生32人， 女生8人。试写出 P(A), P(B), P(C), P(B | A), P(A | B), P(AB),
解：由题设 P(A)=0.7 P(Ā)=0.3 P(B|A)=0.95 P(B|Ā)=0.8 甲厂生产的合格品，即 P(AB)=P(A)P(B|A)=0.7×0.95 =0.665 乙厂生产的合格品，即 P(ĀB)=P(Ā)P(B|Ā)=0.3×0.8 =0.24 B=AB ĀB且AB与ĀB互不相容。 P(B)=P(AB ĀB) =P(AB)+P(ĀB) =P(A)P(B|A)+P(Ā)P(B|Ā) =0.7×0.95+0.3×0.8 =0.905 P( A)P( B | A) P(AB) P(A | B) P( A)P( B | A) P(A)P( B | A) P( B) 0.7 0.95 0.735 0.7 0.95 0.3 0.8
概率论与数理统计(4)
为试验E的样本空间 B 的样本空间， 定理 1.2 设Ω为试验 的样本空间， 1，B2，...Bn 为Ω的一个 分割,且 分割 且 P( Bi ) > 0 (i = 1,2,...n), 则对E的任一事件 有 则对 的任一事件A有 的任一事件 … … … B2 A …
(1) P( A) = P B1）（A | B1）+（B2）（A | B2）+...+（Bn）（A | Bn） （ P P P P P
50 1 (1) P ( A ) = = 500 10 10 1 (2) P ( A | B ) = = 200 20
10 10 500 P ( AB ) P(A | B) = = = 200 200 500 P(B)
对于一般的古典概型问题，设样本点总数为 , 对于一般的古典概型问题，设样本点总数为n,事件B 包含m个样本点，事件AB包含k个样本点，则有 包含 个样本点，事件AB包含 个样本点， 个样本点 AB包含 个样本点
P ( A) = 5 P ( A1 ⋅ A2 ⋅ A3 ⋅ A4 ⋅ A5 ) =5 P ( A1 ) P ( A2 ⋅ A3 ⋅ A4 ⋅ A5 A1 ) 4! 1 1 1 3 =5 × × 1 − 1 − + − = 5! 2! 3! 4! 8
已知某工厂生产的产品的合格率为0.96，而合格品中的 例6 已知某工厂生产的产品的合格率为 ， 一级品率为0.75.求该厂产品的一级品率。 求该厂产品的一级品率。 一级品率为 求该厂产品的一级品率 表示“ 表示“ 解 设A表示“产品是一级品”，B表示“产品是合格品”，依题设 表示 产品是一级品” 表示 产品是合格品”
条件概率
符合概率定义中的三个条件： 符合概率定义中的三个条件： P( A | B)
1.3 条件概率
将一枚硬币连抛两次，则样本空间是 设 A, B 是两个事件，且 P( B) 0, 记
P( AB) S {HH, HT,TH,TT} P( A | B) PHT,TH ( B) }, 则 记 A { 一次正面一次反面 } { 称为在事件 B 发生的条件下事件 P( A) 1A 发生的条件概率 2 若 P( A) 0,如果我们已经知道试验结果中“至少出 则称 P( AB) P ( B | A ) 现了一次正面”,问此时 P( A) 两个概率含义不 P( A) 为 A 发生的条件下 B 发生的 条件概率 同，值也不相同 记 B { 至少出现一次正面 } {HH, HT,TH}
设B={零件是乙厂生产}, A={是标准件} 所求为P(AB). 300个
乙厂生产
300个
乙厂生产
189个是
标准件
甲、乙共生产
1000 个
设B={零件是乙厂生产} 300个
A={是标准件}
所求为P(AB) .
乙厂生产
189个是
标准件
甲、乙共生产
1000 个 若改为“发现它是 乙厂生产的,问它 是标准件的概率 是多少?” 求的是 P(A|B) . B发生, 在P(AB)中作为结果; 在P(A|B)中作为条件.
1
2
3
如何求取得红球的概率？？？
1
2
3
解： Ai “球取自i号箱” i 1, 2, 3 B “取得红球 ”
B发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生，
B B B A1 A2 A3 即 B A1 B A2 B A3 B 且 A1B, A2 B, A3 B 两两互斥
“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。‛
P( AB) S {HH, HT,TH,TT} P( A | B) PHT,TH ( B) }, 则 记 A { 一次正面一次反面 } { 称为在事件 B 发生的条件下事件 P( A) 1A 发生的条件概率 2 若 P( A) 0,如果我们已经知道试验结果中“至少出 则称 P( AB) P ( B | A ) 现了一次正面”,问此时 P( A) 两个概率含义不 P( A) 为 A 发生的条件下 B 发生的 条件概率 同，值也不相同 记 B { 至少出现一次正面 } {HH, HT,TH}
设B={零件是乙厂生产}, A={是标准件} 所求为P(AB). 300个
乙厂生产
300个
乙厂生产
189个是
标准件
甲、乙共生产
1000 个
设B={零件是乙厂生产} 300个
A={是标准件}
所求为P(AB) .
乙厂生产
189个是
标准件
甲、乙共生产
1000 个 若改为“发现它是 乙厂生产的,问它 是标准件的概率 是多少?” 求的是 P(A|B) . B发生, 在P(AB)中作为结果; 在P(A|B)中作为条件.
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如何求取得红球的概率？？？
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解： Ai “球取自i号箱” i 1, 2, 3 B “取得红球 ”
B发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生，
B B B A1 A2 A3 即 B A1 B A2 B A3 B 且 A1B, A2 B, A3 B 两两互斥
“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。‛
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解 令 Ai 为第 i 次取到一等品
（2）P( A2 ) P( A1 A2 A1 A2 ) P( A1 A2 ) P( A1 A2 )
2 3 3 2 3 5 4 5 4 5
（2）直接解更简单
P( A2 ) 3 / 5
提问：第三次才取得一等品的概率, 是 P ( A3 A1 A2 ) 还是 P ( A1 A2 A3 ) ?
定义 设A、B为两事件, P ( A ) > 0 , 则 称 P( AB) / P( A) 为事件 A 发生的条件下事 件 B 发生的条件概率，记为
P( AB) P B A P( A)
k AB
条件概率的计算方法
（1） 古 典 概 型 可用缩减样本空间法 （2） 其 他 概 型 用定义
例1 某厂生产的灯泡能用1000小时的概率 为0.8, 能用1500小时的概率为0.4 , 求已用 1000小时的灯泡能用到1500小时的概率 解 令 A 灯泡能用到1000小时 B 灯泡能用到1500小时 所求概率为
Bn
ABn
Bi
i 1nBiFra bibliotekB j
A ABi
i 1
n
P( A) P( ABi ) P( Bi ) P( A Bi ) 全概率公式
P( ABk ) P( Bk ) P( A Bk ) P( Bk A) n P( A) P( Bi ) P( A Bi )
i 1
( ABi )( AB j )
Bayes公式
例6 由于随机干扰, 在无线电通讯中发出信 号“ • ”, 收到信号“• ”,“不清”,“ — ” 的 别为0.7, 0.2, 0.1; 发出信号“ — ”,收到信号 “• ”,“不清”,“— ”的概率分别为0.0, 0.1 已知在发出的信号中, “ • ”和“ — ”出现的 率分别为0.6 和 0.4 , 试分析, 当收到信号 “不清”时, 原发信号为“ • ”还是“ — ”的 哪个大？ 解 设原发信号为“ • ” 为事件 B1 原发信号为“ — ”为事件 B2 收到信号“不清” 为事件 A
P A ！）. 则所求概率是 PA B（而不是
2 2 P AB P( A) C 5 / C 20
所以
PB (C C C ) / C
2 5 1 5 1 15
2 20
PA B P( AB) / P( B)
C /(C C C ) 10 / 85 0.118
2 5 2 20 1 5 1 15
乘法公式 利用条件概率求积事件的概率即乘法公式
P( AB) P( A) PB A ( P( A) 0) P( AB) P( B) P A B ( P( B) 0)
推广
P( A1 A2 An ) P( A1 ) P A2 A1 P An A1 A2 An1 ( P( A1 A2 An1 ) 0)
P( B2 ) P( A B2 ) 1 P( B2 A) P( A) 4
可见, 当收到信号“不清”时, 原发信号为 “ • ”的可能性大
例3 盒中装有5个产品, 其中3个一等品，2个 二等品, 从中不放回地取产品, 每次1个, 求 （1）取两次，两次都取得一等品的概率; （2）取两次，第二次取得一等品的概率; （3）取三次，第三次才取得一等品的概率; （4）取两次，已知第二次取得一等品，求 第一次取得的是二等品的概率.
3 2 3 （1） P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 A1 ) 5 4 10
PB A 0.85 P A B
P ( B ) P ( AB ) 解 由 PB A 即 1 P( A) 0.93 P( AB) P( AB) 0.862 0.85 0.08
故 P( A B) P( A) P( B) P( AB) 0.92 0.93 0.862 0.988 解法二
P( AB) P( B) 0.4 1 P B A P( A) P( A) 0.8 2
B A
例2 从混有5张假钞的20张百元钞票中任 意抽出2张, 将其中1张放到验钞机上检验 发现是假钞. 求2 张都是假钞的概率.
解: 令 A 表示“抽到2 张都是假钞”. A B B表示“2 张中至少有1张假钞”
所求的概率称为在事件A 发生的条件下 事件B 发生的条件概率。记为 PB A 解 列表 白球 4 3 7 红球 2 1 3 小计 6 4 10
木球 塑球 小计
4 P B A 7
k B A 4 k AB P( AB) n A 7 k A P( A)
从而有
4 k AB n 4 / 10 P( AB) PB A kA 7 kA 7 / 10 P( A) n
(3) P( A1 A2 A3 ) P A1 P A2 A1 P A3 A1 A2
2 1 3 1 5 4 3 10
P ( A A ) P ( A ) P ( A A ) 1 2 2 1 2 (4) P A1 A2 P( A2 ) P( A2 )
1
已知： A B1 B2 , B1 B2
P( B1 ) 0.6, P( B2 ) 0.4
P( A B1 ) 0.2, P( A B2 ) 0.1 P( A) P( B1 ) P( A B1 ) P( B2 ) P( A B2 )
0.16 P( B1 ) P( A B1 ) 3 P( B1 A) , P( A) 4
§1.3 条件概率
条件概率与乘法公式 引例 袋中有7只白球, 3只红球, 白球中 有4只木球, 3只塑料球; 红球中有2只木球, 1只塑料球. 现从袋中任取1球, 假设每个球被取到 的可能性相同. 若已知取到的球是白球, 问 它是木球的概率是多少？ 古典概型 设 A 表示任取一球，取得白球； B 表示任取一球，取得木球.
P A B P( A B ) P( A ) P( B A ) P( A ) 1 P( B A )
0.08 1 0.85 0.012
P( A B) 0.988
全概率公式与Bayes 公式
B1 AB1 A AB2 B2
n n i 1 i 1
3 10 3 5
0.5
一般地
条件概率与无条件概率 之间的大小无确定关系
若 B A
P( AB) P( B) P B A P( B) P( A) P( A)
条件概率
无条件概率
若A是B的子事件,结论会怎样?
例4 为了防止意外,矿井内同时装有A 与B两 两种报警设备, 已知设备 A 单独使用时有效 的概率为0.92, 设备 B 单独使用时有效的概 率为0.93, 在设备 A 失效的条件下, 设备B 有 效的概率为 0.85, 求发生意外时至少有一个 报警设备有效的概率. 解 设事件 A, B 分别表示设备A, B 有效 已知 P A 0.92 P B 0.93 求