条件概率,条件分布,条件期望
§3.5---条件分布与条件期望
FＸ|Ｙ(x | y) P(Ｘ x |Ｙ y)
lim P(Ｘ x | y Ｙ y y) y0
lim P(Ｘ x, y Ｙ y y) y0 P( y Y y y)
lim F (x, y y) F (x, y) 分子、分母同除 y y0 FY ( y y) FY ( y)
Pij PJ
i=1，2，.....
Pj|i
Pij Pi
j=1，2，........
例3.5.5.设(X, Y)的联合密度为：
P( x,
y)
24(1
0
x)
y
0 x 1, 0 y x 其它
求条件密度函数 PX|Y (x | y)和 PY|X ( y | x)
解:PX (x)
P(x, y)dy
5 4 20
PX 0，Y 1 P(X 0)P(Y 1| X 0) 2 3 6
5 4 20
PX 1，Y 0 P(Y 1)P(Y 0 | X 1)
32 6 5 4 20
PX 1，Y 1 P(X 1)P(Y 1| X 1)
32 6 5 4 20
XY 0 1
0
2
6
20 20
1
Ｘ|Ｙ 3 1
2
P
4/7 3/7
例3.5.3 设随机变量Ｘ，Ｙ独立，Ｘ P（1），Ｙ P（2）
在Ｘ Ｙ n 条件下，求X 的条件分布？
解：由已知条件和泊松分布的可加性得：ＸＹ P（1 2）
所以 P(Ｘ k |ＸＹ n)
P(Ｘ k, ＸＹ P(ＸＹ n)
n)
P(Ｘ k ,Ｙ n k) P(ＸＹ n)
6
6
20 20
条件期望资料
析等。
• 可以基于矩生成函数进行求解，如政策效果最大化分析等。
⌛️
方法的优缺点
• 优点：有助于中央银行更好地评估政策工具的效果和风险，从而制定更有效 Nhomakorabea货币政策。
• 缺点：计算过程可能较为复杂，且需要已知货币政策的政策效果分
布。
05
条件期望在其他领域的应用
心理和行为规律。
• 缺点：计算过程可能较为复杂，且需要已知消费者的偏好分布。
消费者行为分析的基本问题
• 消费者行为分析是研究消费者在购买、使用和处理商品及服务过程中
的心理和行为规律的方法。
• 条件期望在消费者行为分析中的应用主要是计算消费者在已知某个条
件下，对商品或服务的期望效用。
条件期望在消费者行为分析中的求解方法
知某个条件下，对投资项目的期望收益。
02
条件期望在企业投资决策中的求解方法
• 可以基于概率分布进行求解，如风险调整收益分析、概
率调整收益分析等。
• 可以基于矩生成函数进行求解，如收益最大化分析等。
03
方法的优缺点
• 优点：有助于企业更好地评估投资项目的风险和收益，
从而做出更合理的投资决策。
• 缺点：计算过程可能较为复杂，且需要已知投资项目的
02
条件期望的计算方法
• 当Y是离散随机变量时，条件期望可以通过求和计算：
E(Y|X=x) = ∑y * P(Y=y|X=x)
• 当Y是连续随机变量时，条件期望可以通过积分计算：
E(Y|X=x) = ∫y * P(Y=y|X=x) dy
03
条件期望的性质
• 非负性：E(Y|X) ≥ 0，因为Y的平均值总是非负的。
第三章 条件概率与条件期望
2012/3/2
Copyright©Pei Zhang ,2012
6
例3.2
• 有n个零件，零件i在雨天运转的概率为pi， 在非雨天运转的概率为qi，i=1,2，……,n。 明天下雨的概率为。计算在明天下雨时， 运转的零件数的条件期望。
2012/3/2
Copyright©Pei Zhang ,20Zhang ,2012
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例3.6（几何分布的均值）
• 连续抛掷一枚正面出现的概率为p的硬 币直至出现正面为止，问需要抛掷的 次数的期望是多少？
2012/3/2
Copyright©Pei Zhang ,2012
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例3.7
• 某矿工身陷在有三个门的矿井之中，经 第1个门的通道行进2小时后，他将到达 安全地。经第二个门的通道前进3小时 后，他将回到原地。经过第三个门的通 道前进5小时后，他还是回到原地。假 定这个矿工每次都等可能地选取任意一 个门，问直到他到达安全地所需时间的 期望是多少？
• 连续地做每次成功率为p的独立试验。N 是首次成功时的试验次数，求Var（N）
2012/3/2
Copyright©Pei Zhang ,2012
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三、通过取条件期望计算概率
• E是一个事件，定义示性随机变量X为：
1，若E发生 X 0，若E不发生 由X的定义推出： E[X]=P(E) E[X|Y=y]=P(E|Y=y)
7
第二节
连续随机变量的条件概率与条件期望
• X和Y是连续随机变量，联合密度函数为 f(x,y)，那么在Y=y时X的条件概率密度函数 定义为：
f ( x, y ) f X |Y ( x | y) fY ( y )
• 给定Y=y时X的条件期望定义为：
概率的全部知识点总结
概率的全部知识点总结一、定义概率是指某一随机现象发生的可能性大小的度量。
通常用P(A)表示事件A发生的概率。
概率的取值范围是0到1之间，即0 ≤ P(A) ≤ 1。
当概率为0时，表示事件不可能发生；当概率为1时，表示事件一定发生；当概率为0.5时，表示事件发生的可能性为50%。
二、事件在概率论中，事件是指随机试验的某一结果，用大写字母A、B、C等表示。
事件可以包含一个或多个基本事件，基本事件是随机试验的最小基本单位，用小写字母a、b、c等表示。
例如，掷一枚硬币的结果可以是正面（基本事件H）或反面（基本事件T），而事件可以是“出现正面”或“出现反面”。
三、概率的性质1. 非负性：对任意事件A，有P(A) ≥ 0。
2. 规范性：对样本空间Ω中的事件，有P(Ω) = 1。
3. 互斥事件的加法规则：对互斥事件A和B，有P(A ∪ B) = P(A) + P(B)。
4. 对立事件的性质：对对立事件A和A'，有P(A) + P(A') = 1。
四、古典概率古典概率是指在样本空间有限且等可能的情况下，根据事件发生的可能性来计算概率。
例如，掷一枚硬币得到正面的概率为1/2，掷一个骰子得到点数为3的概率为1/6。
古典概率的计算公式为P(A) = n(A) / n(Ω)，其中n(A)表示事件A包含的基本事件个数，n(Ω)表示样本空间Ω中基本事件的总数。
五、条件概率条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
条件概率的计算公式为P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A)，表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
条件概率的性质包括P(B|A) ≥ 0，P(B|A)P(A) = P(A ∩ B) = P(A|B)P(B)，以及全概率公式和贝叶斯公式等。
六、贝叶斯公式贝叶斯公式是根据条件概率和全概率公式推导出来的一种计算概率的方法。
贝叶斯公式的计算公式为P(A|B) = P(B|A)P(A) / P(B)，表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
条件分布与条件期望
这表明，二元正态分布的条件分布仍为正态分布：
1 2 2 N r y ， 1 r 2 1 1 2
．
31
二．条件数学期望
32
1．条件数学期望的概念
33
条件分布的数学期望称为条件数学期望．
34
对于离散型随机变量，当 Y y j 时，随机变量 X 的条 件分布律为
1 2 PX Y n
n!
n
e
1 2
．
所以，当 X Y n 时， X 的取值为 0, 1,
2, , n ．
13
PX k X Y n
PX k , X Y n PX k , Y n k PX Y n PX Y n
PX k PY n k k! n k ! PX Y n 1 2 n e 1 2 n!
n! 1 k!n k ! 1 2
k
1k
e 1
2 n k
e 2
2 2 1
17
所以，
PY k PX nP Y k X n
n 0
PX nP Y k X n PX nP Y k X n
n 0 nk
k 1
n 0
k 1
n
n!
e 0
nk
n
n!
e C p 1 p
f X x 0 ．
26
例
设二维随机变量 X , Y 服从平面区域
x, D
y:
x y 1
条件概率条件分布条件期望
（2）无放回抽样
YX
01
02
2
77
12
1
7
7
二、连续型随机变量旳条件分布
条件分布函数 FX Y (x y)
条件分布是指在一个随 机变量取某个确定值 的条件下,另一个随机变量的分布 , 即 FX Y ( x y) P{ X x Y y} .
由于P{Y y}可能为零(连续型时一定为零 ).故直接 用条件概率来定义时 ,会出现分母为零 . 因此,在条件分布中,作为条件的随机变量的 取值是 确定的数.
y}.
定义 设二维随机变量 ( X ,Y ) 的概率密度为
f ( x, y),( X ,Y ) 关于 Y 的边缘概率密度为 fY ( y).若
对于固定的
y,
fY ( y) 0, 则称
f ( x, y) 为在Y fY ( y)
y
的条件下 X 的条件概率密度,记为
f (x, y)
f (x y)
.
XY
fY ( y)
条件分布函数与条件密度函数旳关系
x
x
FX Y ( x y)
fX Y ( x y)d x
[ f (x, y)
fY ( y)]d x.
y
y
FY X ( y x)
fY X ( y x)d y
[ f (x, y)
f X ( x)]d y.
阐明
联合分布、边沿分布、条件分布旳关系如下
联合分布
边沿分布 条件分布
联合分布
例3 设( X ,Y ) 在区域 x2 y2 1 上服从均匀分布,求 件概率密度 fX Y ( x y).
解 由题意知随机变量 ( X ,Y ) 的概率密度为
计量经济学中的“条件”与“无条件”
计量经济学中的“条件”与“⽆条件”初学者难免困惑于计量经济学中诸多的 “条件” 与 “⽆条件”，⽐如条件概率与⽆条件概率，条件分布与⽆条件分布，条件期望与⽆条件期望，条件⽅差与⽆条件⽅差，条件中位数与⽆条件中位数，条件分位数与⽆条件分位数。
这些 “条件” 与 “⽆条件” 的概念，究竟有什么区别与联系，在实践中⼜该如何应⽤呢？本⽂将为你逐⼀辨析。
条件概率 vs ⽆条件概率什么是概率？简单说，概率（probability）就是在⼤量重复试验下，随机事件发⽣的频率趋向的某个稳定值。
⽐如，记随机事件 “下⾬” 为，则其发⽣的概率⼀般记为。
“⽆条件概率”（unconditional probability）其实就是我们⼀般所说的概率，只是为了与 “条件概率” 相区别，有时才强调它是 “⽆条件的”。
事实上，计量经济学更关⼼条件概率。
⽐如，记事件 “出太阳” 为，则在出太阳的前提条件下降⾬的 “条件概率” (conditional probability) 可定义为其中，为与同时发⽣的概率，参见下⾯的维恩图（Venn diagram）。
在此图中，矩形的⽅框表⽰整个世界（包括所有可能的随机试验结果，即样本空间），不妨将其⾯积标准化为 1。
圆形的⾯积即为事件发⽣的（⽆条件）概率，⽽圆形的⾯积则为事件发⽣的（⽆条件）概率。
考虑在给定发⽣情况下，发⽣的条件概率。
此时，世界所处的状态只能是，⽽之外的状态均为不可能。
进⼀步，在发⽣的情况下，如果也发⽣，则表明与同时发⽣，故为集合与集合的交集，即。
因此，将此交集的概率除以 “全集” 的发⽣概率，即为在给定发⽣情况下，发⽣的条件概率。
在实践中，究竟应该使⽤（⽆条件）概率还是条件概率呢？看⼀个简单例⼦就能明⽩。
⽐如，假设股市崩盘的（⽆条件）概率为万分之⼀；⽽在经济陷⼊严重萧条的情况下，股市崩盘的条件概率为百分之⼀。
此时，如果已知经济已陷⼊严重萧条，你会使⽤哪种概率来预测股市崩盘的可能性呢？如果仍使⽤万分之⼀的⽆条件概率，就显得过于僵化，因为既然经济已经严重萧条，⾃然应将此条件考虑在内，⽽使⽤百分之⼀的条件概率。
第六章条件概率与条件期望
第六章 条件概率与条件期望6.1 定义和性质设为概率空间，),,(P F ΩF ∈B 且，记0)(>B P ())()()(B P AB P B A P A P B ==),P ，，则易证明为概率空间。
考虑F ∈∀A ),,(B P F Ω,(F Ω上的随机变量ξ在此概率空间上的积分，若存在则称它为∫ΩξB dP ξ在给定事件B 之下的条件期望，记为(B E ξ)，即()B ∫Ω=B dP ξE ξ。
命题1：若ξE 存在，则(B E ξ)存在且()∫=BdP B P B E ξξ)(1。
由此可见，ξ在给定事件B 之下的条件期望的意义是ξ在B 上的“平均值”。
此外给定事件在给定事件A B 的条件概率)B ()(I E B A P A =0)(>n B P 可看成条件期望的特殊情形。
设{}为的一个分割且，令F ⊂n B Ω)2,1,L =(=n n B σA ，则。
若F A ⊂ξE 存在，()∑为nE B n I n B ξ),A (Ω上的可测函数，称其为给定σ-代数A 之下关于P 的条件期望，记作()A ξE ，即()()∑=E ξA nB n I ξn B E 。
命题2：A ∈B ∀且，0)(>B P ()()∫=BdP E B P B E A ξξ)(1。
证明：A ∈B ∀，{L ,2,1⊂}∃K 使得∑∈=K i i B B ，()()()()∑∫∫∑∑∫∑∫∈∈=====K i BB Ki i i nn n BnB nBdPdP B P B E B B P B E dP IB E dP E inξξξξξξ)()(I A由此可见，若称满足下式的(),A Ω上的可测函数()A ξE 为ξ在给定σ-代数A 的条件期望：()∫∫=BBdP dP E ξξA ，A ∈∀B则由于不定积分，∫=BdP B v ξ)(A ∈∀B 为),(A Ω上的符号测度且v ，由Radon-Nikodym 定理存在唯一的(P <<P s a ..),A Ω上的可测函数满足上式，即()dPdvE =A ξ(Ω，故由命题2，两者定义一样。
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FX Y ( x y )
x
y
f X Y ( x y ) d x [ f ( x , y ) fY ( y )]d x .
y
x
FY X ( y x )
说明
fY X ( y x ) d y [ f ( x , y ) f X ( x )]d y .
定义
设二维随机变量( X ,Y ) 的概率密度为
f ( x , y ), ( X ,Y ) 关于 Y 的边缘概率密度为 fY ( y ).若 f ( x, y) 对于固定的 y , fY ( y ) 0, 则称 为在Y y fY ( y ) 的条件下 X 的条件概率密度 , 记为 f ( x, y) f X Y ( x y) . fY ( y )
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.
二
条件分布
一、离散型随机变量的条件分布
问题
考虑一大群人, 从其中随机挑选一个人 , 分别 用 X 和 Y 记此人的体重和身高 , 则X 和 Y 都是随 机变量, 他们都有自己的分布 .
现在如果限制Y 取值从1.5 m 到1.6 m , 在这个限制下求X 的 分布 .
一 条件概率 (Conditional Probability) 条件概率是指在事件A发生的条 件下，另一事件B发生的概率，记用 P（B|A）.
引例 从所有有两个孩子的家庭随机抽取一个家庭记录男 孩女孩的情况。
则试验所有可能的结果为（男孩记为“b”，女孩记为“g”） (b，b) (b，g) (g，b) (g，g) 设A={ 至少一个男孩}， B ={ 至少一个女孩}， 考虑在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
定义 设 ( X ,Y ) 是二维离散型随机变量 , 对于固定
的 j , 若 P{Y y j } 0, 则称 P{ X x i Y y j } P { X x i ,Y y j } P{Y y j } pij p j ,
为在Y y j 条件下随机变量 X 的条件分布律. 对于固定的 i , 若 P{ X x i } 0, 则称
又知边缘概率密度为
fY ( y ) f ( x , y ) d x
2 1 1 y 2 2 d x 1 y , 1 y 1, 1 y 2 π π 0, 其他.
于是当 1 y 1 时, 有
1π 1 2 2 , 1 y x 1 y , 2 2 f X Y ( x y ) ( 2 π) 1 y 2 1 y 0, 其他.
3 3 1 P ( A) , P ( B ) , P ( AB ) 4 4 2
2 1 / 2 P ( AB ) P ( B | A) P ( B) 3 3/4 P ( A)
定义1 设A,B是两个事件,且P(A)>0,称
P ( AB ) P ( B | A) P ( A)
联合分布、边缘分布、条件分布的关系如下
边缘分布 联合分布 条件分布 联合分布
例3 设( X , Y ) 在区域 x 2 y 2 1 上服从均匀分布, 求
件概率密度 f X Y ( x y ).
解 由题意知随机变量( X ,Y ) 的概率密度为
1 π , x 2 y 2 1, f ( x, y) 0, 其它,
条件数学期望
定义
xi P( X xi | Y y ) i E( X | Y y) xf X |Y ( x | y )dx
15/22
1.2
随机事件的概率
注意点
• E(X| Y=y) 是 y 的函数.
所以记 g(y) = E(X| Y=y). 进一步记 g(Y) = E(X| Y).
1, 若第二次抽取红球 Y , 0, 若第二次抽取黑球 无放回抽样的条件下求(X, Y)的联合分 布律及X=0条件下Y的条件分布。
（2）无放回抽样
Y
X
0 1
0
1
2 7
2 7
2 7
1 7
二、连续型随机变量的条件分布
条件分布函数 FX Y ( x y)
条件分布是指在一个随 机变量取某个确定值 的条件下, 另一个随机变量的分布, 即 FX Y ( x y ) P{ X x Y y } .
由于P{Y y }可能为零(连续型时一定为零 ).故直接 用条件概率来定义时 , 会出现分母为零 . 因此, 在条件分布中 , 作为条件的随机变量的 取值是
确定的数.
定义
给定y , 对任意的 0, P { y Y y } 0, 若 P{ X x , y Y y } lim P{ X x | y Y y } lim 0 0 P{ y Y y } 存在，称此极限为Y = y 条件下X 的条件分布函数，记 F X |Y ( x | y ) P { X x | Y y }.
P{Y y j X x i }
P { X x i ,Y y j } P{ X x i }
pij pi
,
为在X x i 条件下随机变量Y 的条件分布律. 其中i , j 1,2,.
例 在只有3个红球和4个黑球的袋子中逐次 抽取一球，令 1, 若第一次抽取红球 X , 0, 若第一次抽取黑球