第二节：条件概率与条件期望
随机变量的条件分布与条件期望
随机变量的条件分布与条件期望随机变量是概率论中十分重要的概念之一，它描述了在概率模型中可能出现的各种结果。
随机变量可以是离散的，也可以是连续的。
在概率论中，我们经常关注的是随机变量的分布以及其与其他变量之间的关系。
本文将重点讨论条件分布与条件期望。
一、条件分布条件分布是指在给定某些条件下，随机变量满足的分布。
对于离散型随机变量，条件分布的计算可以通过条件概率来进行。
假设X和Y是两个离散型随机变量，我们想要求解在给定X的取值为x的条件下，Y的取值为y的概率。
可以表示为P(Y=y|X=x)。
这个概率可以通过联合概率分布和边缘概率分布来计算。
具体计算方法为：P(Y=y|X=x) = P(X=x,Y=y) / P(X=x)对于连续型随机变量，条件分布的计算可以通过条件密度函数来进行。
假设X和Y是两个连续型随机变量，我们想要求解在给定X的取值为x的条件下，Y的取值在a到b之间的概率。
可以表示为P(a <= Y <= b | X = x)。
这个概率可以通过联合概率密度函数和边缘概率密度函数来计算。
具体计算方法为：P(a <= Y <= b | X = x) = ∫[a, b] f(x, y) dy / f_X(x)二、条件期望条件期望是指在给定某些条件下，随机变量的期望值。
对于离散型随机变量，条件期望的计算可以通过条件概率和随机变量的取值来进行。
假设X和Y是两个离散型随机变量，我们想要求解在给定X的取值为x的条件下，Y的期望值E(Y|X=x)。
可以表示为：E(Y|X=x) = Σy y * P(Y=y|X=x)其中Σ为求和符号，y为随机变量Y的取值。
对于连续型随机变量，条件期望的计算可以通过条件密度函数和随机变量的取值来进行。
假设X和Y是两个连续型随机变量，我们想要求解在给定X的取值为x的条件下，Y的期望值E(Y|X=x)。
可以表示为：E(Y|X=x) = ∫y y * f(y|x) dy其中∫为积分符号，f(y|x)为在给定X=x的条件下，Y的概率密度函数。
§3.5---条件分布与条件期望
FＸ|Ｙ(x | y) P(Ｘ x |Ｙ y)
lim P(Ｘ x | y Ｙ y y) y0
lim P(Ｘ x, y Ｙ y y) y0 P( y Y y y)
lim F (x, y y) F (x, y) 分子、分母同除 y y0 FY ( y y) FY ( y)
Pij PJ
i=1，2，.....
Pj|i
Pij Pi
j=1，2，........
例3.5.5.设(X, Y)的联合密度为：
P( x,
y)
24(1
0
x)
y
0 x 1, 0 y x 其它
求条件密度函数 PX|Y (x | y)和 PY|X ( y | x)
解:PX (x)
P(x, y)dy
5 4 20
PX 0，Y 1 P(X 0)P(Y 1| X 0) 2 3 6
5 4 20
PX 1，Y 0 P(Y 1)P(Y 0 | X 1)
32 6 5 4 20
PX 1，Y 1 P(X 1)P(Y 1| X 1)
32 6 5 4 20
XY 0 1
0
2
6
20 20
1
Ｘ|Ｙ 3 1
2
P
4/7 3/7
例3.5.3 设随机变量Ｘ，Ｙ独立，Ｘ P（1），Ｙ P（2）
在Ｘ Ｙ n 条件下，求X 的条件分布？
解：由已知条件和泊松分布的可加性得：ＸＹ P（1 2）
所以 P(Ｘ k |ＸＹ n)
P(Ｘ k, ＸＹ P(ＸＹ n)
n)
P(Ｘ k ,Ｙ n k) P(ＸＹ n)
6
6
20 20
条件期望资料
析等。
• 可以基于矩生成函数进行求解，如政策效果最大化分析等。
⌛️
方法的优缺点
• 优点：有助于中央银行更好地评估政策工具的效果和风险，从而制定更有效 Nhomakorabea货币政策。
• 缺点：计算过程可能较为复杂，且需要已知货币政策的政策效果分
布。
05
条件期望在其他领域的应用
心理和行为规律。
• 缺点：计算过程可能较为复杂，且需要已知消费者的偏好分布。
消费者行为分析的基本问题
• 消费者行为分析是研究消费者在购买、使用和处理商品及服务过程中
的心理和行为规律的方法。
• 条件期望在消费者行为分析中的应用主要是计算消费者在已知某个条
件下，对商品或服务的期望效用。
条件期望在消费者行为分析中的求解方法
知某个条件下，对投资项目的期望收益。
02
条件期望在企业投资决策中的求解方法
• 可以基于概率分布进行求解，如风险调整收益分析、概
率调整收益分析等。
• 可以基于矩生成函数进行求解，如收益最大化分析等。
03
方法的优缺点
• 优点：有助于企业更好地评估投资项目的风险和收益，
从而做出更合理的投资决策。
• 缺点：计算过程可能较为复杂，且需要已知投资项目的
02
条件期望的计算方法
• 当Y是离散随机变量时，条件期望可以通过求和计算：
E(Y|X=x) = ∑y * P(Y=y|X=x)
• 当Y是连续随机变量时，条件期望可以通过积分计算：
E(Y|X=x) = ∫y * P(Y=y|X=x) dy
03
条件期望的性质
• 非负性：E(Y|X) ≥ 0，因为Y的平均值总是非负的。
条件概率,条件分布,条件期望
FX Y ( x y )
x
y
f X Y ( x y ) d x [ f ( x , y ) fY ( y )]d x .
y
x
FY X ( y x )
说明
fY X ( y x ) d y [ f ( x , y ) f X ( x )]d y .
定义
设二维随机变量( X ,Y ) 的概率密度为
f ( x , y ), ( X ,Y ) 关于 Y 的边缘概率密度为 fY ( y ).若 f ( x, y) 对于固定的 y , fY ( y ) 0, 则称 为在Y y fY ( y ) 的条件下 X 的条件概率密度 , 记为 f ( x, y) f X Y ( x y) . fY ( y )
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.
二
条件分布
一、离散型随机变量的条件分布
问题
考虑一大群人, 从其中随机挑选一个人 , 分别 用 X 和 Y 记此人的体重和身高 , 则X 和 Y 都是随 机变量, 他们都有自己的分布 .
现在如果限制Y 取值从1.5 m 到1.6 m , 在这个限制下求X 的 分布 .
一 条件概率 (Conditional Probability) 条件概率是指在事件A发生的条 件下，另一事件B发生的概率，记用 P（B|A）.
引例 从所有有两个孩子的家庭随机抽取一个家庭记录男 孩女孩的情况。
则试验所有可能的结果为（男孩记为“b”，女孩记为“g”） (b，b) (b，g) (g，b) (g，g) 设A={ 至少一个男孩}， B ={ 至少一个女孩}， 考虑在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
定义 设 ( X ,Y ) 是二维离散型随机变量 , 对于固定
条件分布与条件期望
这表明，二元正态分布的条件分布仍为正态分布：
1 2 2 N r y ， 1 r 2 1 1 2
．
31
二．条件数学期望
32
1．条件数学期望的概念
33
条件分布的数学期望称为条件数学期望．
34
对于离散型随机变量，当 Y y j 时，随机变量 X 的条 件分布律为
1 2 PX Y n
n!
n
e
1 2
．
所以，当 X Y n 时， X 的取值为 0, 1,
2, , n ．
13
PX k X Y n
PX k , X Y n PX k , Y n k PX Y n PX Y n
PX k PY n k k! n k ! PX Y n 1 2 n e 1 2 n!
n! 1 k!n k ! 1 2
k
1k
e 1
2 n k
e 2
2 2 1
17
所以，
PY k PX nP Y k X n
n 0
PX nP Y k X n PX nP Y k X n
n 0 nk
k 1
n 0
k 1
n
n!
e 0
nk
n
n!
e C p 1 p
f X x 0 ．
26
例
设二维随机变量 X , Y 服从平面区域
x, D
y:
x y 1
概率论中的条件概率公式详解贝叶斯定理条件期望等
概率论中的条件概率公式详解贝叶斯定理条件期望等概率论是数学中的一门重要学科，研究的是随机事件的概率性质以及它们之间的关系。
条件概率公式、贝叶斯定理和条件期望是概率论中的重要概念和定理，它们在解决实际问题中具有广泛应用。
本文将对这些概念进行详细解释和讨论。
一、条件概率公式条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，其他事件发生的概率。
设A和B是两个事件，且P(B)≠0，那么在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率记作P(A|B)，读作“A在B发生的条件下发生”。
条件概率公式的形式为：P(A|B) = P(AB) / P(B)其中，P(AB)表示事件A和B同时发生的概率，又称为A与B的交集的概率。
通过这个公式，我们可以根据已知的条件概率来计算其他事件的概率。
二、贝叶斯定理贝叶斯定理是概率论中的核心定理之一，它描述了在已知某一事件发生的条件下，其他事件发生的概率如何更新。
设A和B是两个事件，且P(A)≠0，P(B)≠0，那么贝叶斯定理的表达式为：P(B|A) = P(A|B) * P(B) / P(A)其中，P(B|A)表示在事件A已经发生的条件下，事件B发生的概率。
贝叶斯定理的主要应用在于通过已知的先验概率和条件概率来计算后验概率。
它在统计学、生物信息学、机器学习等领域有着广泛的应用。
三、条件期望条件期望是在已知某一事件发生的条件下，随机变量的期望值。
设X和Y是两个随机变量，且P(Y=y)≠0，那么在事件Y=y已经发生的条件下，随机变量X的条件期望记作E(X|Y=y)。
条件期望的计算公式为：E(X|Y=y) = Σx(x * P(X=x|Y=y))其中，Σ表示对所有可能的取值进行求和。
通过条件期望，我们可以得到在给定条件下随机变量的平均值，从而更好地理解和分析随机事件的分布特性。
综上所述，条件概率公式、贝叶斯定理和条件期望是概率论中的重要概念和定理。
它们可以帮助我们计算和预测事件的概率，以及根据已知条件更新概率。
概率论与数理统计3-6 条件分布与条件期望、回归与第二回归
p(u, y)du.
1 yy
lim
[ p(u, v)du]dv.
y0 y y
lim
y0
1 y
y y y
p
(u)dv
p
( y)
0.
F
(
x
y)
x
p(u, y) p ( y)
du.
由此可见：在 y的条件下，的分布列仍是
§3.6 条件分布与条件期望、回归 与第二回归
一、条件分布
在离散型R.V中，我们利用条件概率公式
P(A B)
P( AB) , P(B)
P(B)
0.
求出了离散型R.V .的条件分布列:P(
xi
yj)
Pi
.
j
类似的问题对连续型R.V .也存在.
由于连续型R.V .取单点值的概率为零，所以用分布列
lim P( x, y y y) . y0 P( y y y)
P( x, y y y)
lim
.
y0 P( , y y y)
设(,)的p d f 为p(x, y),则上式又变为
x yy
密度为P ( y
那么称 xP (
x y
), 如果
x
P
(y
x
x )dx为在(
)dx . y)发生的条件下的条件
数学期望，记为 E( y).即
E(
y)
xP
(y
条件分布与条件期望课件
P(Y=1|X=1)=0.1/0.6=1/6 P(Y=1|X=2)=0.2/0.4=1/2
P(Y=2|X=1)=0.3/0.6=1/2 P(Y=2|X=2)=0.05/0.4=1/8 P(Y=3|X=1)=0.2/0.6=1/3 P(Y=3|X=2)=0.15/0.4=3/8
身高Y
体重X 的分布
体重X
条件分布与条件期望
身高Y 的分布
现在若限制1.7<Y<1.8(米)，在这个条件下去求 X的条件分布，这就意味着要从该校的学生中把身 高在1.7米和1.8米之间的那些人都挑出来，然后在挑 出的学生中求其体重的分布．
容易想象，这个分布与不加这个条件时的分布 会很不一样．
例如，在条件分布中体重取大值的概率会显著 增加．
条件分布与条件期望
运用条件概率密度，我们可以在已知某一随机 变量值的条件下，定义与另一随机变量有关的事件 的条件概率.
即: 若(X,Y)是连续型r.v, 则对任一集合A，
P (X A |Y y )A p X |Y (x |y )d x
特别，取 A(,u),
定义在已知 Y=y下，X的条件分布函数为
1, pX(x)0,
0x1，p(y| 其它
x)11x, 0,
0xy1 其它
求(X,Y)的联合密度p(x,y)和Y的边际密度pY(y) 及P(Y>0.5).
解：
p(x,y)p(y|x)pX(x) 1 1x, 0xy1
0,
其 它
条件分布与条件期望
y
pY(y)
x<y
y =x
0
1
x
p(x,y)0的区域
2
e
21 12
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分布，求在条件 X Y n 下 X 的条件期望. 1 Key : E ( X | X Y n) n 1 2 2 设某日进入某商店的顾客人数是随机变量 N, X i 表 示第 i 个顾客所花的钱数， 店一天营业额的均值. 是相互独立同
分布的随机变量，且与 N 相互独立，试求该日商店
n
E n 1
n1
X i p( N n ) i 1
nEX1 p( N n)
( EX1 )
n1
np( N n) EX1 EN
#
3
设
是具有指数分布 F ( x ) 1
e x ,( 0, x 0) 的相互独立的随机变量，其中
n E Xk k 1
k 1
n
EX k
2，则有 2) 设 X 1 , X 2 , , X n 是独立的且属于集簇
Var
Xk k 1
n
n
k 1
Var ( X k )
思考与练习
1 设独立随机变量 X 和 Y 服从参数为 的 Poisson
2) 通过取条件计算方差
Var ( X ) E[Var ( X | Y )] Var ( E[ X | Y ])
3) 线性：若 a , b , X ,Y ，则有
E[(aX bY ) |] aE ( X |) bE (Y |)
4) 单调性：若 X ,Y 且 X Y , a .s .，则有
X i [ ti 1 , ti ) , 且有 0 t0 t1 t k t k 1 ，
求 E[ti 1 ,ti ) X .
Key : See paper written by Zheng Zhu-kang !
4.
设在某一天内走进一个商店的人数是数学期望等于
100 的随机变量，又设这些顾客所花的钱都为数学
期望是10元的相互独立的随机变量，再设一个顾客 花钱时和进入该商店的总人数独立，试问在给定的 一天内，顾客们在该店所花钱的期望值为多少？ 解：设N 表示进入该店的顾客人数， X i 表示第 i 个顾 客所花的钱数，则 N 个顾客所花钱的总数为 X i .
i 1 N
则一天内顾客们在该店所花钱的期望值是
故有：
1 EX (2 3 5 2 EX ) 3
EX 10. (小时)
$1.7 独立性
1. 设 X 1 , X 2 , , X n 是独立的且属于集簇 ，则有
1
n E Xk k 1
EX
k 1
n
k
2 X 1 , X 2 , , X n 是独立的且属于集簇 ，则有 2. 设
例4 已知连续抛掷一枚硬币出现正面的概率为 p，现
抛掷该硬币直至出现正面，问需要抛掷的次数的
数学期望是多少？ 解: 设 N 为需要抛掷的次数，记
1 , 第一次抛出正面； Y 0 , 第一次抛出反面；
故 又因为 E ( N | Y 1) 1, E ( N | Y 0) 1 EN 从而有 EN p (1 p)1 EN EN 1 . p
N 于是 E X i 100 10 1000 i 1
它说明顾客们花费在该店钱数的期望值为 1000 元.
N n
N E Xi | N N E( X ) i 1
N E X i E N E ( X ) E ( N ) E ( X ) i 1
由假设 E ( N ) 100, E ( X ) E ( X i ) 10
E[ X |] E (Y |),a .s..
5) 包含性：若1 ,2 是两个 子代数，使得
1 2 ，则有
E[ E ( X |1 ) |2 ] E[ E ( X |2 ) |1 ]
E ( X |), a .s.
4 独立性
1，则有 1) 设 X 1 , X 2 , , X n 是独立的且属于集簇
Var
Xk k 1
n
n
k 1
Var ( X k )
课堂小结
1. 收敛概念：几乎必然收敛（以概率1收敛）； 依概率收敛； 矩收敛（平均收敛）； 依分布收敛 2 条件概率与条件期望 1) 若 X 与 Y 均为离散型随机变量，则
E( X | Y y)
x p( X x | Y y)
Key : EX 1 EN
解: 因为 E (
Xi ) E E( i 1
N
n
Xi ) N i 1
N
Hale Waihona Puke E n1
X i N n p( N n) i 1
N
E n1
X i N n p( N n) i 1
x
2) 若 X 与 Y 有联合密度函数 f ( x , y ) ，则
E( X | Y y)
x f X |Y ( x | y )dx
3. 条件期望的性质 1) 对于随机变量 X 与 Y 有
y E ( X | Y y ) p(Y y ) EX E[ E ( X | Y )] E[ X | Y y ] f Y ( y )dy
EX E ( X | Y 1) P (Y 1) E ( X | Y 2) P (Y 2) E ( X | Y 3) P (Y 3)
由题意知：
E ( X | Y 1) 2; E ( X | Y 2) 3 EX ; E ( X | Y 3) 5 EX
例5 一名矿工被困在一个有三个通道的矿井之中，从
第一个通道行进两个小时后将到达安全地带；从
第二个通道行进三个小时后将绕回矿井原地；从 第三个通道行进五个小时后将绕回矿井原地. 假定
该矿工对此矿井的通道情况完全未知，那么他到
达安全地带所需要的平均时间是多少？ 解: 设 X 为矿工到达安全地带所需要的时间，Y 为他 最初选取的通道，则有
N N E X i E E X i | N） （ i 1 i 1
n ） 而 E X i | N n E X i | N n E X i nE ( X ) i 1 i 1 i 1