某些常用分布的数学期望与方差
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6.2数理统计中几种常用的分布.
性质3. 设T～t(n),则:T ～F(1,n) .
2
证明:
由t分布定义 T
2
X Y /n
其中X∼N(0,1),Y～χ (n),且X与Y相互独立. 2 2 (1) / 1 X /1 2 F T 2 Y /n ( n) / n
且 2 (1)与 2 ( n)相互独立.
由F分布定义, ∴ F = T2～F(1,n) .
2
条件: 的点χ
P ( n)
2 2
2
( n )
f ( x)dx
2
(n)为χ 2(n)分布的上分位点.
χ (n)分布 的上分位点 图形如右图.
χ2(n)分布的上分位点可以查 附表5.
2Hale Waihona Puke 13例1:求2 2 0 ( 10 ) ， )。 .05 0.1 (20
1.) 因为
P X z0.05 1 P X z0.05 1 0.05 0.95.
P X 1.64 0.9495.
P X 1.65 0.9505.
z0.05 1.64 1.65 1.645. 2
4
2.)
P X z0.005 1 PX z0.005 1 0.005 0.995.
i 1 n i 1
n
EX i2 n.
2 DX i
D D(
2n.
10
4.应用中心极限定理可得，若 若 X ~ 2 (n) ，则当n充分大时， X n 2n 的分布近似正态分布N(0,1).
11
2 (n)
分布的密度函 数的图形如右 图.
概率论第三章部分习题解答
ydxdy.
定理1 cov(X ,Y ) E( XY ) E( X )E(Y )
定理2 若X与Y 独立，则：covX ,Y 0. 逆命题不成立。
注 设X与Y是任两个随机变量，
10
D( X Y ) D( X ) D(Y ) 2cov(X ,Y )
2、X与Y 的相关系数
定义 R( X ,Y ) cov( X ,Y )
EX
xf
xdx
1
二、二维随机变量的数学期望
（1）设二维离散随机变量(X,Y)的联合概率函数为p(xi , yj)，则
随机变量X及Y 的数学期望分别定义如下：
EX xi p xi , y j , EY y j p xi , y j .
i j
ji
即： EX xi pX xi , EY y j pY y j .
第三章 随机变量的数字特征
（一）基本内容 一、一维随机变量的数学期望
定义1：设X是一离散型随机变量，其分布列为：
X x1 x2 xi
P p( x1 ) p( x2 )p( xi )
则随机变量X 的数学期望为: EX xi pxi
i
定义2：设X是一连续型随机变量，其分布密度为 f x,
则随机变量X的数学期望为
i
j
假定级数是绝对收敛的.
（2）设二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x, y)，则
随机变量X及Y 的数学期望分别定义如下：
EX
xf
x,
ydxdy,
EY
yf x, ydxdy.
即：EX
xf X x dx,
EY
yfY y dy.
2
假定积分是绝对收敛的.
常用分布的数学期望及方差
( x − µ )2 2σ 2
−
t2 2
dt , (
x−µ
σ
= t)
=
σ
2π
∫ te
t2 − 2
dt +
∞
µ 2π
∫e
t2 − 2
dt = µ
−
DX = E ( X − µ ) =
2
=
σ2 =− te 2π
σ t 2π −∞
∞
∫
2 2
t2 − e 2
t2 − 2
−∞
∫ (x − µ)
σ
2 ∞
2
1 2π σ
且 X 1 ,L , X n 独立，令 X = X 1 + L + X n ，则 X 的可能 取值为 0,1,…n，
P{ X = k } = C nk p k q n − k , k = 0 , L , n
EX = ∑ EX i = np ， DX = ∑ DX i = npq,
i =1 i =1 n n
n
= n ( n − 1) p 2 ∑
n! n! = p ( k − 1) p k −1 q n − k + p p k −1 q n − k ( k − 1)! ( n − k )! ( k − 1)! ( n − k )! k =1 k =1
∑
∑
n
( n − 2)! p k − 2 q n − 2 − ( k − 2 ) + np k = 2 ( k − 2)!( n − 2 − ( k − 2))!
泊 分 3． 松 布
设 X 服从参数为λ泊松分布， 其分布律为 P{ X = k} =
EX =
λk
∑
−
t2 2
dt , (
x−µ
σ
= t)
=
σ
2π
∫ te
t2 − 2
dt +
∞
µ 2π
∫e
t2 − 2
dt = µ
−
DX = E ( X − µ ) =
2
=
σ2 =− te 2π
σ t 2π −∞
∞
∫
2 2
t2 − e 2
t2 − 2
−∞
∫ (x − µ)
σ
2 ∞
2
1 2π σ
且 X 1 ,L , X n 独立，令 X = X 1 + L + X n ，则 X 的可能 取值为 0,1,…n，
P{ X = k } = C nk p k q n − k , k = 0 , L , n
EX = ∑ EX i = np ， DX = ∑ DX i = npq,
i =1 i =1 n n
n
= n ( n − 1) p 2 ∑
n! n! = p ( k − 1) p k −1 q n − k + p p k −1 q n − k ( k − 1)! ( n − k )! ( k − 1)! ( n − k )! k =1 k =1
∑
∑
n
( n − 2)! p k − 2 q n − 2 − ( k − 2 ) + np k = 2 ( k − 2)!( n − 2 − ( k − 2))!
泊 分 3． 松 布
设 X 服从参数为λ泊松分布， 其分布律为 P{ X = k} =
EX =
λk
∑
常用分布的数学期望及方差
方差的性质
方差具有可加性
对于两个独立的随机变量X和Y，有Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)。
方差具有对称性
对于一个常数a和随机变量X，有Var(aX) = |a|^2 * Var(X)。
方差具有非负性
对于随机变量X，有Var(X) >= 0，其中 Var(X) = 0当且仅当X是一个常数。
05 数学期望与方差的应用
在统计学中的应用
描述性统计
数学期望和方差用于描述一组数据的中心趋势和 离散程度，帮助我们了解数据的基本特征。
参数估计
通过样本数据的数学期望和方差，可以对总体参 数进行估计，如均值和方差的无偏估计。
假设检验
在假设检验中，数学期望和方差用于构建检验统 计量，判断原假设是否成立。
常见分布的数学期望
均匀分布的数学期望为
$E(X) = frac{a+b}{2}$，其中a和b是均匀分布的下限和上 限。
柯西分布的数学期望为
$E(X) = frac{pi}{beta} sinh(frac{1}{beta})$，其中β是柯西 分布的参数。
拉普拉斯分布的数学期望为
$E(X) = frac{beta}{pi} tan(frac{pi}{beta})$，其中β是拉普 拉斯分布的参数。
03
泊松分布
正态分布是一种常见的连续型随机变量 分布，其方差记作σ²。正态分布的方差 描述了随机变量取值的分散程度。
二项分布是一种离散型随机变量分布， 用于描述在n次独立重复的伯努利试验 中成功的次数。其方差记作σ²，且σ² = np(1-p)，其中n是试验次数，p是单次 试验成功的概率。
泊松分布是一种离散型随机变量分布， 用于描述在一段时间内随机事件发生的 次数。其方差记作σ²，且σ² = λ，其中 λ是随机事件发生的平均速率。
初中数学教案概率分布的期望与方差
初中数学教案概率分布的期望与方差初中数学教案概率分布的期望与方差概念介绍：在概率论中，期望和方差是描述随机变量分布情况的重要指标。
期望是对随机变量取值的加权平均，方差则是表示随机变量取值与其期望值之间的偏离程度。
一、期望的计算方法：期望是对随机变量的所有取值进行加权平均的结果，其计算方法如下：设随机变量X的取值为x1, x2, ..., xn，对应的概率为p1, p2, ..., pn，则随机变量X的期望E(X)可以通过以下公式计算：E(X) = x1*p1 + x2*p2 + ... + xn*pn二、方差的计算方法：方差是描述随机变量取值与其期望值之间偏离程度的统计量，其计算方法如下：设随机变量X的取值为x1, x2, ..., xn，对应的概率为p1, p2, ..., pn，随机变量X的期望为μ，则随机变量X的方差Var(X)可以通过以下公式计算：Var(X) = (x1-μ)^2 * p1 + (x2-μ)^2 * p2 + ... + (xn-μ)^2 * pn三、示例教案：本节以一个示例教案来说明概率分布的期望与方差的计算方法。
教案主题：掷硬币实验教学目标：1. 了解随机变量的概念及其在概率分布中的应用；2. 掌握期望和方差的计算方法；3. 运用所学知识解决实际问题。
教学准备：纸币、硬币。
教学过程：1. 引入：向学生提问："如果我有一个均匀的硬币，在进行掷硬币实验时，正面和反面出现的概率是否相等？"2. 实验介绍：说明掷硬币实验的操作步骤，要求学生进行实际操作，并记录每次掷硬币的结果。
3. 数据整理：学生将实验结果整理成表格形式，记录正面出现的次数和反面出现的次数。
4. 概率分布的计算：根据实验结果，学生可以得到正面和反面出现的概率分布，并计算对应的期望和方差。
5. 期望和方差的解释：解释期望是对随机变量取值的加权平均结果，而方差则表示随机变量取值与其期望值之间的偏离程度。
六个常用分布的数学期望和方差
即
12
若随机变量X~U( a , b ),则
ab
(b a)2
E(X)
, D( X )
2
12
五.指数分布
随机变量X服从参数为λ的指数分布，其概率密度为：
f
(
x)
1
θ
e
x θ
0
x0 x0
E(X )
xf ( x)dx
x
1
e
x θ
dx
x
（ x）de θ
0
θ
0
（
x）e
x
x
e dx
X X1 X2 Xn
E( X ) E( X1 ) E( X 2 ) E( X n ) np
D( X ) D( X1 ) D( X 2 ) D( X n ) np(1 p)
即： 若随机变量X~B( n , p ),则
E( X ) np，D( X ) np(1 p)
E[3( X 2 1)] 3E( X 2 ) 3
3{D( X ) [E( X )]2 } 3 33
例2.已知X和Y相互独立，且X在区间(1，5)上服从
均匀分布， Y ~ N (1,求9)(1, ) (X,Y)的联合概率密度;(2)
E(3X 4Y 2) , D(3X 4Y 2)
E( X ) xf ( x)dx
b
x
1
dx
a ba
1 x2 b
ba 2 a
ab 2
E( X 2 ) b x 2
1
b3 a3 dx
a 2 ab b2
a ba
3(b a)
3
D( X )
E( X 2 ) [E( X )]2
六个常用分布的数学期望和方差
2
例1.已知 X ~ (3) , Y 2 X 1 , 求E (Y ) , D(Y ) , E[3( X 2 1)] 解：X ~ (3) , 则 E ( X ) 3 , D( X ) 3
E (Y ) E ( 2 X 1) 2 E ( X ) 1 5
D(Y ) D( 2 X 1) 4 D( X ) 12
xf ( x )dx
b
x
1 ba
dx
a
1 ba
x
2
b
ab 2
2 a
E( X )
2
b
x
2
1 ba
dx
b a
3
3
a
3(b a )
a ab b
2 2
a ab b
2
2
3
a 2ab b
2 2
D( X ) E ( X ) [ E ( X )]
即： 若随机变量X~B( n , p ),则
E ( X ) np，D( X ) np(1 p)
三.泊松分布
随机变量
P{ X k }
X ~ ( ) ，其分布律为：
λ e
k λ
,
k 0,1,2, ,
k!
E( X )
k
k 0
e
k
e
k!
(k 1)!
xf ( x )dx
x
1 2
e
dx （令 t
t
2
x
）
例1.已知 X ~ (3) , Y 2 X 1 , 求E (Y ) , D(Y ) , E[3( X 2 1)] 解：X ~ (3) , 则 E ( X ) 3 , D( X ) 3
E (Y ) E ( 2 X 1) 2 E ( X ) 1 5
D(Y ) D( 2 X 1) 4 D( X ) 12
xf ( x )dx
b
x
1 ba
dx
a
1 ba
x
2
b
ab 2
2 a
E( X )
2
b
x
2
1 ba
dx
b a
3
3
a
3(b a )
a ab b
2 2
a ab b
2
2
3
a 2ab b
2 2
D( X ) E ( X ) [ E ( X )]
即： 若随机变量X~B( n , p ),则
E ( X ) np，D( X ) np(1 p)
三.泊松分布
随机变量
P{ X k }
X ~ ( ) ，其分布律为：
λ e
k λ
,
k 0,1,2, ,
k!
E( X )
k
k 0
e
k
e
k!
(k 1)!
xf ( x )dx
x
1 2
e
dx （令 t
t
2
x
）
概率论与数理统计第四章
)
(
)
(
)
,
(
Y
D
X
Dபைடு நூலகம்
Y
X
Cov
xy
=
r
=4[E(WV)]2-4E(W2)×E(V2)≤0
01
得到[E(WV)]2≤E(W2)×E(V2). →(8)式得到证明.
02
设W=X-E(X),V=Y-E(Y),那么
03
其判别式
由(9)式知, |ρ xy|=1 等价于 [E(WV)]2=E(W2)E(V2). 即 g(t)= E[tW-V)2] =t2E(W2)-2tE(WV)+E(V2) =0 (10) 由于 E[X-E(X)]=E(x)-E(X) =0, E[Y-E(Y)]=E(Y)-E(Y) =0.故 E(tW-V)=tE(W)-E(V)=tE[X-E(X)]-E[Y-E(Y)]=0 所以 D(tW-V)=E{[tW-V-E(tW-V)]2}=E[(tW-V)2]=0 (11) 由于数学期望为0,方差也为0,即(11)式成立的充分必要条件是 P{tW-V=0}=1
随机变量X的数学期望是随机变量的平均数.它是将随机变量 x及它所取的数和相应频率的乘积和.
=
(1)
)
2
3
(
)
(
-
=
ò
µ
µ
-
dx
x
x
E
j
x
可见均匀分布的数学期望为区间的中值.
例2 计算在区间[a,b]上服从均匀分布的随机变量 的数学期望
泊松分布的数学期望和方差都等于参数λ.
其他
02
f(x)=
01
（4-6）
03
（4）指数分布
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H (n ,M
, N ) (n , M , N为正整数;
n N ,M N)
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§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
分布名称 及记号
泊松分布
P()
概率函数或概率密度
p(x) x e
x!
x 0 ,1,2, ( 0)
数学 期望
几何分布
p(x) pqx1 ,
M CnN
n1 k 0
k
CkM
Cn1k
1 N M
n1 k 0
CkM
Cn1k
1 N M
.
第二个和式等于
Cn1 N 1
,
与前面计算过程完全类似，
可知第一个和式等于
(M
1)
Cn2 N 2
:
E
(
X
2
)
M CnN
(M
1)
Cn2 N 2
Cn1 N 1
.
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ab 2
方差
(b a)2 12
指数分布
ex , x 0 ;
f (x)
e()
0 , x0
1
1
2
( 0)
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§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
分布名称 及记号
概率函数或概率密度
数学 期望
正态分布
f (x)
1
e , (
x )2 2 2
m1
Cnm N M
M CnN
n
Cm1 M 1
Cnm N M
.
m1
设k m 1, 得
E(X )
M CnN
n1
CkM
1
Cn1k N M
.
k 0
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§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
由组合数的性质可知
n1
n1
C C k
n1k
M 1 N M
CkM
2 π
N( , 2)
x
( 0)
续表 方差
2
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§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
分布名称 及记号
概率函数或概率密度
续表
数学 期望
方差
2分布
1
f
(
x)
2
k 2
(
k
)
k 1 x
x2 e 2
,
x 0;
2(k)
2
0,
k 2k x0
1
G( p)
x 1 ,2 ,3 ,
p
(0 p 1, p q 1)
续表 方差
q p2
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§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
续表
分布名称 及记号
概率函数或概率密度
均匀分布
f
(
x)
b
1
a
,
a xb;
U (a ,b)
0 , 其它
数学 期望
常用分布及其数学期望与方差
分布名称 及记号
概率函数或概率密度
“0 1” p(x) pxq1x , x 0 ,1
分布
(0 p 1, p q 1)
数学 期望
p
二项分布
p(x) Cnx pxqnx ,
x 0 ,1 , , n
np
B(n , p) (0 p 1, p q 1)
方差 pq
pm1qnm.
m1
设k m 1, 得
n1
E( X ) np Ckn1 pkqn1k np(q p)n1 np .
k 0
二项分布的数学期望等于参数 n 与 p的乘积.
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§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
为了计算方差D( X ) , 我们先计算E(X 2) :
m0 m!
m1 (m 1)!
设 k m 1, 得
E(X
2)
e
(k
k 0
1) k
k!
e
k 1
k1
(k 1)!
k 0
k
k!
e ( e e ) ( 1).
所以
D( X ) ( 1) 2 .
泊松分布的方差等于数学期望.
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n
n
E( X 2 ) m2 Cmn pmqnm m2 Cmn pmqnm
m0
m1
n
np
m
Cm1 n1
pm1qnm.
m1
设 k m 1, 得
n1
E( X 2 ) np (k 1) Ckn1 pkqn1k
k 0
np
n1 k 0
k
Ckn1
pk qn1k
n1
Ckn1
k 0
pk qn1k
E( X 2 ) b x2 dx a2 ab b2 .
aba
3
所以
D(X )
a2
ab b2 3
a
b 2
2
(b a)2 . 12
均匀分布的方差与分布区间长度的平方成正比.
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§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
指数分布
E(X ) np 10 0.4 4, D(X ) npq 10 0.4 (1 0.4) 2.4 , E(X 2) D(X ) E2(X ) 2.4 42 18.4.
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1
C(n1)k ( N 1)(M
1)
CnN11,
k 0
k 0
所以有
E(X
)
M
Cn1 N 1
CnN
nM N
.
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§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
为了计算方差D( X ) , 我们先计算 E(X 2) :
E( X
2)
1 CnN
n
m2
m0
CmM
.
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§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
与前面的过程完全类似，可知上式括弧中第一个和 式等于(n 1) p ; 而第二个和式等于 ( p q)n1 1;
由此得 所以
E(X 2) np(n 1) p 1 np(np q),
D( X ) np(np q) (np)2 npq.
npq
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§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
续表
分布名称 及记号
概率函数或概率密度
数学 期望
方差
超几何 分布
p(x)
CMx
Cnx N M
CnN
,
nM nM (N M )(N n)
x 0 ,1 ,min(n , M ) N
N 2 (N 1)
k为正整数
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§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
小结
熟悉常用分布的数学期望与方差
X ~ B(1, p)
E(X ) p , D(X ) pq
X ~ B(n , p)
X ~ P() X ~ e()
X ~ U (a ,b)
E(X ) np , D(X ) npq
Cnm N M
1 CnN
n
m2 CmM
m1
Cnm N M
M CnN
n
m
Cm1 M 1
Cnm N M
,
m1
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§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
设 k m 1, 得
E( X 2 )
M CnN
n1
(k
k 0
1)
CkM
Cn1k
1 N M
设随机变量X 服从指数分布 e() ,则
E( X ) x exdx, 0
置换积分变量x t , 得
E(
X
)
1
t etdt
0
(2)
1.
指数分布的数学期望等于其参数 的倒数.
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§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
为了计算 D(X ) , 我们先计算 E(X 2) :
i1
i1
n
n
X 的方差: D( X ) D( Xi ) D( Xi ) npq.
i1
i1
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§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
泊松分布
设随机变量X 服从泊松分布P() , 我们有