常用分布的数学期望及方差

( x − µ )2 2σ 2
−
t2 2
dt , (
x−µ
σ
= t)
=
σ
2π
∫ te
t2 − 2
dt +
∞
µ 2π
∫e
t2 − 2
dt = µ
−
DX = E ( X − µ ) =
2
=
σ2 =− te 2π
σ t 2π −∞
∞
∫
2 2
t2 − e 2
t2 − 2
−∞
∫ (x − µ)
σ
2 ∞
2
1 2π σ
且 X 1 ,L , X n 独立，令 X = X 1 + L + X n ，则 X 的可能 取值为 0,1,…n，
P{ X = k } = C nk p k q n − k , k = 0 , L , n
EX = ∑ EX i = np ， DX = ∑ DX i = npq,
i =1 i =1 n n
n
= n ( n − 1) p 2 ∑
n! n! = p ( k − 1) p k −1 q n − k + p p k −1 q n − k ( k − 1)! ( n − k )! ( k − 1)! ( n − k )! k =1 k =1
∑
∑
n
( n − 2)! p k − 2 q n − 2 − ( k − 2 ) + np k = 2 ( k − 2)!( n − 2 − ( k − 2))!
泊 分 3． 松 布
设 X 服从参数为λ泊松分布， 其分布律为 P{ X = k} =
EX =
λk
∑
∞
k
λk
k!
e −λ = λe −λ
k =0
∑
∞
k =1
k! λ k −1 = λe −λ e λ = λ ( k − 1)! 返回主目录
e − λ ，k=0,1,...
第十三章 随机变量的数字特征
( n − 1)! p k −1 q n −1−( k −1) = np ( k − 1)! ( n − 1 − ( k − 1))! 返回主目录 k =1
∑
n
第十三章 随机变量的数字特征
EX = np
∑
∑
n
n
k −1 C n −1 p k −1 q n −1− ( k −1) = np
= np ( p + q ) n −1 = np
EX
2
k =1
∑
i=0
2
n −1
§3 几种期望与方差 i C n −1 p i q n −1− i
=
k ⋅C p q
2 k n k
n−k
n ! =p k pk −1qn−k (k − 1)! n − k)! ( k =1
∑
n
n
k =0
n! p kq n−k = ∑ k ⋅ k ! ( n − k )! k=0
EX
2
= =
∑k ∑
2
∞
2
λk
k!
e
−λ
=
k =0 ∞
∑ k (k − 1)! e
k =1
∞
λk
Hale Waihona Puke −λ§3 几种期望与方差
( k − 1)
−λ ∞
λk
( k − 1)!
e
−λ
+
k =1
∑ (k − 1)!
k =1
∞
λk
e −λ
= λ e
∑ ( k − 2 )! (k
k=2
λk − 2
+ λe − λ e λ = λ2 + λ
a + b 2 (b − a ) 2 1 DX = EX 2 − ( EX ) 2 = ∫ x 2 dx − ( ) = b−a 2 12 a
b
5．正态分布 X ~ N(µ,σ 2 )
EX =
∞ −∞
∫
x
1 e 2π σ
∞ −∞
−
(x−µ )2 2σ
2
dx =
1 2π
∞ −∞
∞
−∞
∫ (σ t + µ ) e
= 2Φ (3) − 1 = 0.9974
因此，对于正态随机变量来说，它的值落在区间 [µ − 3σ , µ + 3σ ] 内 几乎 肯 是 定的 。
在上一节用切比晓夫不等式估计概率有：
P {| X − µ | < 3 σ } ≥ 0 . 8889
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e
dx , (
∞
x−µ
σ
= t)
dt =
2π
|
∞ −∞
σ2 + 2π
−∞
∫
t2 − 2 t e 2
t2 − 2
dt = −
σ
2
2π
∞
−∞
∫
t2 − tde 2
−∞
∫e
dt = σ 2
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第十三章 随机变量的数字特征
P{| X − µ |≤ σ } = P{µ − σ ≤ X ≤ µ + σ }
= Φ(
§3 几种期望与方差
P{| X − µ |≤ 2σ } =P { µ − 2σ ≤ X ≤ µ + 2σ }
= 2Φ ( 2) − 1 = 0.9544
µ +σ − µ µ −σ − µ ) − Φ( ) = Φ(1) − Φ(−1) = 2Φ(1) − 1 = 0.6826 σ σ
P{| X − µ |≤ 3σ } = P{ µ − 3σ ≤ X ≤ µ + 3σ }
第十三章 随机变量的数字特征
§3.几种重要随机变量的数学期望及方差 1.两点分布
X 0 pk 1 − p 1 p
EX=p ， DX = EX 2 − ( EX ) 2 = p − p 2 = pq 。
2. 二项分布 方法1： k k n−k P{ X = k } = C n p q , k = 0 ,1, L , n 。 n n n! k k n−k EX = ∑ k ⋅ C n p q = ∑k⋅ p kq n−k k ! ( n − k )! k =0 k =0
n
= n ( n − 1) p 2 ( p + q ) n − 2 + np = n 2 p 2 − np 2 + np
DX = EX
2
− ( EX ) 2 = n 2 p 2 − n p 2 + np − n 2 p 2 = np (1 − p ) = npq
第十三章 随机变量的数字特征
§3 几种期望与方差 方法2： X i 服从（0-1）分布， P{ X i = 0} = q, P{ X i = 1} = p, i = 1,2,L, n
DX = EX 2 − (EX ) 2 = λ2 + λ − λ2 = λ
4.均匀分布
∞
1 /(b − a ), a < x < b 。 f ( x) = 0, 其它
EX =
−∞
∫
1 a+b xf ( x)dx = x dx = b−a 2
∫
a
b
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第十三章 随机变量的数字特征
§3 几种期望与方差