概率分布与数学期望(难点突破,教师版)
高中数学教案认识概率分布和期望值的计算方法和应用
高中数学教案认识概率分布和期望值的计算方法和应用【教案认识】概率分布和期望值的计算方法和应用导语:在高中数学课程中，概率与统计是一个重要的内容模块。
而概率分布和期望值的计算方法及其应用是概率与统计中的重要概念，也是学习者们需要掌握的一种基本技能。
本文将介绍高中数学教案中，概率分布和期望值的计算方法及其应用。
一、概率分布的计算方法1. 离散型概率分布的计算方法在数学教学中，我们经常会遇到一些离散型的概率分布，比如二项分布、几何分布等。
计算离散型概率分布的方法主要包括如下几步：（1）确定试验的基本单位。
（2）列出所有可能的试验结果，并确定每个结果发生的概率。
（3）计算事件的概率，即各事件对应的概率。
（4）计算事件的期望值，即各事件对应的值与其概率的乘积之和。
2. 连续型概率分布的计算方法除了离散型的概率分布，数学教学中也会出现一些连续型的概率分布，比如正态分布、指数分布等。
计算连续型概率分布的方法包括以下几个步骤：（1）写出密度函数或分布函数。
（2）根据题目给出的条件，确定被积函数。
（3）确定被积区间。
（4）进行积分计算。
二、期望值的计算方法1. 离散型随机变量的期望值计算方法（1）计算每个可能结果的期望值，即将每个结果乘以其对应的概率。
（2）将所有结果的期望值相加，得到离散型随机变量的期望值。
2. 连续型随机变量的期望值计算方法对于连续型随机变量，其期望值的计算方法和离散型随机变量略有不同，具体步骤如下：（1）写出密度函数或分布函数。
（2）计算被积函数的乘积。
（3）根据题目给出的条件，确定被积区间。
（4）进行积分计算。
三、概率分布和期望值的应用1. 风险评估与处理概率分布和期望值的应用在风险评估与处理中具有重要意义。
通过概率分布的计算方法，我们可以根据历史数据和实际情况，预测未来事件发生的概率，并计算出其相应的期望值。
在风险管理中，我们可以根据概率分布及期望值的计算结果，制定相应的风险管理策略。
2. 金融领域的应用在金融领域，概率分布和期望值的计算方法被广泛应用于风险评估、股票收益的预测、期权定价等。
高中数学 第三章 概率章末分层突破学案 北师大版必修3(2021年最新整理)
2018版高中数学第三章概率章末分层突破学案北师大版必修3编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高中数学第三章概率章末分层突破学案北师大版必修3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第三章概率[自我校对］①整个图形的面积②试验的所有可能的基本事件总数③P（A）＋P(B）④P（错误!）随机事件的频率与概率1统计规律性，但对单次试验来说，随机事件的发生是随机的．2．解决实际问题时，要注意频率与概率的区别与联系：概率是一个常数,频率是一个变数，它随着试验次数的变化而变化，试验次数越多,频率就越接近于概率．3．判断一个事件是否是随机事件，关键是看它是否可能发生．空气质量已成为城市居住环境的一项重要指标,空气质量的好坏由空气质量指数确定，空气质量指数越高，代表空气污染越严重：空气质量指数0~3535~7575~115115～150150～250≥250空气质量类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染:图3。
1（1)估计该市一个月内空气受到污染的概率（若空气质量指数大于或等于75，则空气受到污染）；（2)在空气质量类别为“良”“轻度污染”“中度污染"的监测数据中用分层抽样的方法抽取一个容量为6的样本，若在这6个数据中任取2个数据，求这2个数据所对应的空气质量的类别不都是轻度污染的概率．【精彩点拨】(1）频率是事件发生的次数m与试验次数n的比值，利用此公式可求出它们的频率．(2）借分层抽样和列举法，求出这两天的空气质量类别不都是轻度污染的概率．【规范解答】(1）空气受到污染的概率P＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!＝错误!.（2）易知用分层抽样的方法从“良”“轻度污染”“中度污染”的监测数据中抽取的个数分别为2,3，1.设它们的数据依次为a1，a2，b1，b2，b3，c1，则抽取2个数据的所有基本事件为（a1，a2）,(a1，b1),(a1，b2），(a1，b3），(a1，c1)，(a2，b1)，(a2，b2），(a2，b3)，（a2，c1)，（b1，b2）,（b1,b3),(b1，c1)，（b2，b3)，(b2，c1）,(b3，c1)，共15种．设“这两天的空气质量类别不都是轻度污染”为事件A，则A中的基本事件数为12，所以P(A）＝1215＝错误!，即这两天的空气质量类别不都是轻度污染的概率为错误!.[再练一题］1．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额（元)0 1 000 2 000 3 000 4 000车辆数(辆) 500 130 100 150 120（1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率;（2)在样本车辆中,车主是新司机的占10％，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为4 000元的概率．【解】(1）设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元"，以频率估计概率得P(A）＝错误!＝0.15，P（B)＝错误!＝0.12.由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元和4 000元，所以其概率为P(A)＋P（B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2）设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元"，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100(辆），而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0。
概率分布与数学期望
概率分布与数学期望例谈离数型随机变量概率分布与数学期望数学期望=每个个数X每个它的概率，再相加从2008年全国各省市高考数学试题中，概率统计考题，可谓“军书十二卷，卷卷有爷名”，显然它是高考的必考内容，特别是离散型随机变量概率分布与数学期望内容的考题分布极为广泛，确实是一个重要考点，但纵观其解法，可以归纳为定义法、公式法、分析法与变量推理法四种，2009年考生务必对上述四种解题方法引起高度重视，本文就其命题特点，解题规律作专题阐述，以飨读者。
一、定义法求解概率分布与数学期望定义法即根据随机事件的概率、随机变量、概率分布、数学期望的定义求解概率分布与数学期望的方法。
可使用本法解题的考题，一般以古典离散型概率为特征，它可直接利用排列组合的加法原理与乘法原理写出离散型随机变量概率的计算式，进而求得随机变量各值条件下的概率分布与数学期望。
此类题型解题思路明确，利用定义法求解，其方法容易掌握。
例1，（08浙江理）一个袋中装有若干个大小相同的黑球，白球和红球．已知从袋中任意摸出1；从袋中任意摸出2个球，得到黑球的概率是25．个球，至少得到1个白球的概率是79（1）若袋中共有10个球，（1）若袋中共有10个球，（ⅰ）求白球的个数；（ⅱ）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，求随机变量ξ的数学期望Eξ．（2）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1．并指出袋中哪种颜色的个黑球的概率不大于710球个数最少．分析：本题是以古典概率为题材的高考题，由于从袋中摸球是有回放地摸球，且每次摸球都是互相独立的，系互不影响事件，所发生的概率是等可能的。
故可根据概率定义，利用排列组合计算方法求解随机变量各值的概率。
解：袋中共有10个球，且至少得到1个白球7，设其中有X个白球，我们将至少得到的概率为97，又∵P（A）一个白球的事件为A，则P（A）=9=9721021110=+C C C C x x ，∴9721021110=+C C C C x x ，化简后解之得x=5或14（舍去），∴袋中有5个白球。
2021-2022年高考数学一轮复习专题11.3概率分布与数学期望方差讲理
2021年高考数学一轮复习专题11.3概率分布与数学期望方差讲理【最新考纲解读】【考点深度剖析】1. 江苏高考中，一般考古典概型、相互独立、二项概型基础上的随机变量的分布，期望与方差。
2. 随机变量的概率分布及期望，内容多，处理方式灵活，可以考查其中一块，可以内部综合，可以作为问题的背景与其他内容结合考，复习时要注重基础，以不变应万变.【课前检测训练】【判一判】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．( )(2)离散型随机变量的分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．( ) (3)某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数X 服从两点分布．( ) (4)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X 服从超几何分布．( ) (5)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.( ) (6)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( ) (7)条件概率一定不等于它的非条件概率．( ) (8)相互独立事件就是互斥事件．( )(9)对于任意两个事件，公式P (AB )＝P (A )P (B )都成立．( )(10)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a ＋b )n二项展开式的通项公式，其中a ＝p ，b ＝1－p .( ) (11)P (B |A )表示在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率，P (AB )表示事件A ，B 同时发生的概率．( ) (12)小王通过英语听力测试的概率是13，他连续测试3次，那么其中恰好第3次测试获得通过的概率是P ＝C 13·⎝ ⎛⎭⎪⎫131·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133－1＝49.( )(13)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定．( )(14)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小．( )(15)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的均值，σ是正态分布的标准差．( )(16)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．( )(17)均值是算术平均数概念的推广，与概率无关．( )1. √2. √3. ×4. √5. ×6. √7. ×8. ×9. ×10. ×11. √12. ×13. √14. √15. √16. √17. × 【练一练】1．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为随机变量的是( ) A ．至少取到1个白球 B ．至多取到1个白球 C ．取到白球的个数 D ．取到的球的个数 【答案】C2．从标有1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X ，那么随机变量X 可能取得的值有( )A ．17个B ．18个C ．19个D ．20个 【答案】A【解析】X 可能取得的值有3,4,5，…，19共17个． 3．随机变量X 的分布列如下：X －1 0 1Pa b c其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)等于( ) A.16 B.13 C.12 D.23 【答案】D【解析】∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c . 又a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝13，∴P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.4．随机变量X 等可能取值1,2,3，…，n ，如果P (X <4)＝0.3，则n ＝________. 【答案】10【解析】P (X <4)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝1n ＋1n ＋1n ＝3n＝0.3，得n ＝10.5．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P (X ＝4)的值为______． 【答案】272206．袋中有3红5黑8个大小形状相同的小球，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸得红球的条件下，第二次仍是红球的概率为( ) A.38 B.27 C.28 D.37 【答案】B【解析】第一次摸出红球，还剩2红5黑共7个小球，所以再摸到红球的概率为27.7．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A ．0.8B ．0.75C ．0.6D ．0.45 【答案】A【解析】已知连续两天为优良的概率是0.6，那么在前一天空气质量为优良的前提下，要求随后一天的空气质量为优良的概率，可根据条件概率公式，得P ＝0.60.75＝0.8.8.如图，用K ，A 1，A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1，A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K ，A 1，A 2正常工作的概率依次为0.9,0.8，0.8，则系统正常工作的概率为( )A ．0.960B ．0.864C ．0.720D ．0.576 【答案】B9．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为________． 【答案】35【解析】设该队员每次罚球的命中率为p ，则依题意有1－p 2＝1625，即p 2＝925.又0<p <1，故p ＝35.10．国庆节放假，甲去北京旅游的概率为13，乙去北京旅游的概率为14，假定二人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________． 【答案】1211．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：ξ 7 8 9 10Px 0.10.3y已知ξ的均值E (ξ)＝8.9，则y 的值为( ) A ．0.4 B ．0.6 C ．0.7 D ．0.9 【答案】A【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋0.1＋0.3＋y ＝1，7x ＋8×0.1＋9×0.3＋10y ＝8.9，可得y ＝0.4.12．设样本数据x 1，x 2，…，x 10的均值和方差分别为1和4，若y i ＝x i ＋a (a 为非零常数，i ＝1,2，…，10)，则y 1，y 2，…，y 10的均值和方差分别为( ) A ．1＋a,4 B ．1＋a,4＋a C ．1,4 D ．1,4＋a【答案】A 【解析】x 1＋x 2＋…＋x 1010＝1，y i ＝x i ＋a ，所以y 1，y 2，…，y 10的均值为1＋a ，方差不变仍为4.故选A.13．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝15(k ＝2,4,6,8,10)则D (X )等于( )A ．5B ．8C ．10D ．16 【答案】B【解析】∵E (X )＝15(2＋4＋6＋8＋10)＝6，∴D (X )＝15[(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42]＝8.14．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.【答案】25【解析】设P (ξ＝1)＝a ，P (ξ＝2)＝b ，则⎩⎪⎨⎪⎧15＋a ＋b ＝1，a ＋2b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝35，b ＝15，所以D (ξ)＝15＋35×0＋15×1＝25.15．抛掷两枚骰子，当至少一枚5点或一枚6点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中成功次数的均值为________． 【答案】509【题根精选精析】考点1 离散型随机变量及其分布列【1-1】随机变量X 的概率分布规律为P （X ＝n ）＝ （n ＝1,2,3,4），其中a 是常数，则P （＜X ＜）的值为 . 【答案】【解析】因为随机变量X 的概率分布规律为 （n ＝1,2,3,4），所以()()()()==+=+=+=4321X p X p X p X p ，所以()()==+==⎪⎭⎫ ⎝⎛<<212521X p X p X p .【1-2】若随机变量X 的分布列如下表，且EX=6.3， 则表中a 的值为 .【答案】7【解析】由得，()3.64.091.05.04=⨯+⨯+⨯=a X E ，解【1-3】口袋中有n(n ∈N *)个白球，3个红球．依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球的次数为X.若P(X ＝2)＝730，则n 的值为 .【答案】7【1-4】在对某渔业产品的质量调研中，从甲、乙两地出产的该产品中各随机抽取10件，测量该产品中某种元素的含量（单位：毫克）.下表是测量数据的茎叶图：21006542098874286438210乙地甲地规定：当产品中的此种元素含量毫克时为优质品.（Ⅰ）试用上述样本数据估计甲、乙两地该产品的优质品率（优质品件数/总件数）；（Ⅱ）从乙地抽出的上述10件产品中，随机抽取3件，求抽到的3件产品中优质品数的分布列及数学期望. 【解析】 (I)甲厂抽取的样本中优等品有7件,优等品率为 乙厂抽取的样本中优等品有8件,优等品率为 (II)的取值为1，2，3.所以的分布列为 1 2 3故的数学期望为123.1515155E ξ=⨯+⨯+⨯=（） 【1-5】甲、乙、丙三个车床加工的零件分别为350个，700个，1050个，现用分层抽样的方法随机抽取6个零件进行检验.（1）从抽取的6个零件中任意取出2个，已知这两个零件都不是甲车床加工的，求其中至少有一个是乙车床加工的零件；（2）从抽取的6个零件中任意取出3个，记其中是乙车床加工的件数为X ，求X 的分布列和期望.X 0 1 2P 0.2 0.6 0.2E x=⨯+⨯+⨯=．X的期望为()00.210.620.21【基础知识】1．离散型随机变量的分布列(1)随机变量如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示．(2)离散型随机变量对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．若是随机变量，，其中是常数，则也是随机变量.2.常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布：若随机变量服从两点分布，即其分布列为0 1(2)超几何分布：在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件{}发生的概率为，，其中，且≤≤∈，称分布列为超几何分布列.n N M N n M N N*,,,,01…m分布列的两个性质①，；②.【思想方法】1. 求分布列的三种方法(1)由统计数据得到离散型随机变量的分布列；(1)可设出随机变量Y，并确定随机变量的所有可能取值作为第一行数据；(2)由统计数据利用事件发生的频率近似地表示该事件的概率作为第二行数据．由统计数据得到分布列可帮助我们更好理解分布列的作用和意义．(2)由古典概型求出离散型随机变量的分布列；求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率．而超几何分布就是此类问题中的一种．(3)由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及n次独立重复试验有k次发生的概率求离散型随机变量的分布列．2. 求离散型随机变量分布列的步骤(1)找出随机变量X的所有可能取值x i(i＝1,2, 3，…，n)；(2)求出各取值的概率P(X＝x i)＝p i；(3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确．3. 解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路(1)明确随机变量可能取哪些值．(2)结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值．(3)根据分布列和期望、方差公式求解．注意解题中要善于透过问题的实际背景发现其中的数学规律，以便使用我们掌握的离散型随机变量及其分布列的知识来解决实际问题．【温馨提醒】求离散型随机变量的分布列的关键是正确理解随机变量取每一个所表示的具体事件，然后综合应用各类求概率的公式，求出概率.考点2 二项分布及应用【2-1】【盐城xx调研】袋中装有完全相同的5个小球，其中有红色小球3个，黄色小球2个，如果不放回地依次摸出2个小球，则在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出红球的概率是 .【答案】【2-2】已知在一次试验中，，那么在次独立重复试验中，事件恰好在前两次发生的概率是 .【答案】【解析】因为，所以在次独立重复试验中，事件恰好在前两次发生的概率．【2-3】设服从二项分布的随机变量X的期望和方差分别是2.4和1.44，则二项分布的参数的值为 . 【答案】【解析】由二项分布的期望和方差得，解的【2-4】【xx四川模拟】一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得分）.设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.（1）设每盘游戏获得的分数为，求的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.【解析】试题分析：（1）由得，1331(200),(10),(20),(100)8888P X P X P X P X=-=======.所以的分布列为X -200 10 20 100【2-5】【北京市西城区xx模拟】在某批次的某种灯泡中，随机地抽取个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下. 根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于天的灯泡是优等品，寿命小于天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品.寿命（天）频数频率合计（1）根据频率分布表中的数据，写出、的值；（2）某人从灯泡样品中随机地购买了个，如果这个灯泡的等级情况恰好与按三个等级分层抽样．．．．．．．．．所得的结果相同，求的最小值；（3）某人从这个批次的灯泡中随机地购买了个进行使用，若以上述频率作为概率，用表示此人所购买的灯泡中次品的个数，求的分布列和数学期望.所以的数学期望()279130123646464644E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. （注：写出，()3311144k k k P X k C -⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，、、、. 请酌情给分）【基础知识】1．条件概率及其性质 (1)对于任何两个事件和，在已知事件发生的条件下，事件发生的概率叫做条件概率，用符号来表示，其公式为.在古典概型中，若用表示事件中基本事件的个数，则.(2)条件概率具有的性质：①；② 如果和是两互斥事件，则()()()///p BC A p B A p C A =+．2．相互独立事件(1)对于事件、，若的发生与的发生互不影响，则称、是相互独立事件．(2)若与相互独立，则，()()()()()/p AB p B A P A P A P B =⋅=⋅．(3)若与相互独立，则与，与，与也都相互独立．(4)若，则与相互独立．3．独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．(2)二项分布在次独立重复试验中，设事件发生的次数为，在每次试验中事件发生的概率为，那么在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率为()()1n k k k n P X k C p p -==- ()，此时称随机变量服从二项分布，记作，并称为成功概率．【思想方法】1. 条件概率的求法(1)定义法：先求和，再由，求；(2)基本事件法：借古典概型概率公式，先求事件包含的基本事件数，再求事件所包含的基本事件数，得.2. 求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；(2)正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算．相互独立事件的概率通常和互斥事件的概率综合在一起考查，这类问题具有一个明显的特征，那就是在题目的条件中已经出现一些概率值，解题时先要判断事件的性质(是互斥还是相互独立)，再选择相应的公式计算求解．3. 二项分布满足的条件(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的．(2)各次试验中的事件是相互独立的．(3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生．(4)随机变量是这n 次独立重复试验中事件发生的次数．4.二项展开式的通项与二项分布的概率公式的“巧合”一般地，由n 次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即与，每次试验中.我们将这样的试验称为次独立重复试验，也称为伯努利试验．在次独立重复试验中，每次试验事件发生的概率均为，即，.由于试验的独立性，次试验中，事件在某指定的次发生，而在其余次不发生的概率为.而在次试验中，事件恰好发生次的概率为，.它恰好是的二项展开式中的第项．5. 牢记且理解事件中常见词语的含义：(1) 、中至少有一个发生的事件为；(2) 、都发生的事件为；(3) 、都不发生的事件为；(4) 、恰有一个发生的事件为；(5) 、至多一个发生的事件为.【温馨提醒】这些都是二项分布问题，关键是正确求出随机变量的分布列，可直接使用公式求解. 因此牢记公式，，并深刻理解其含义．考点3 离散型随机变量的均值与方差【3-1】设随机变量X ～B （n ，p ），且E （X ）＝1.6，D （X ）＝1.28，则的值为 .【答案】n ＝8，p ＝0.2【解析】因为随机变量X ～B （n ，p ），且E （X ）＝1.6，D （X ）＝1.28，所以()()()8,2.026.116.1==⇒⎩⎨⎧=-===n p p np X D np X E . 【3-2】设服从二项分布X ～B （n ，p ）的随机变量X 的均值与方差分别是15和，则n 、p 的值分别是 .【答案】60，【解析】由二项分布X ～B （n ，p ）的均值与方差可知E(X)=np=15,D(X)=np(1-p)=,解得n=60,p=,所以【3-3】变量X 的概率分布列如右表，其中成等差数列，若，则_________.【答案】【3-4】【常州xx 调研】某公司计划在迎春节联欢会中设一项抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样号码分别为1，2，3，…，10的十个小球.活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有两个连号的为三等奖，奖金30元；三球号码都连号为二等奖，奖金60元；三球号码分别为1，5，10为一等奖，奖金240元；其余情况无奖金.（1）求员工甲抽奖一次所得奖金ξ的分布列与期望；（2）员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会，他得奖次数的方差是多少？【3-5】【无锡xx模拟】在xx年俄罗斯索契冬奥会某项目的选拔比赛中，A,B两个代表队进行对抗赛，每队三名队员,A队队员是A1,A2,A3,B队队员是B1,B2,B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下表，现按表中对阵方式出场进行三场比赛，每场胜队得1分，负队得0分，设A队，B队最后所得总分分别为．（1)求A 队得分为1分的概率；（2）求的分布列；并用统计学的知识说明哪个队实力较强．【基础知识】1．均值若离散型随机变量X 的分布列为… … … …称1122i i n n p 为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．． 若，其中为常数，则也是随机变量，且.若服从两点分布，则；若，则.2.方差若离散型随机变量X 的分布列为… … … …则描述了 ()相对于均值的偏离程度，而()()()21n ii i D X x E X p ==-∑为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度．称为随机变量的方差，其算术平方根为随机变量的标准差． 若，其中为常数，则也是随机变量，且．若服从两点分布，则．若，则．【思想方法】1. 求离散型随机变量均值、方差的基本方法(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；(2)已知随机变量的均值、方差，求的线性函数的均值、方差和标准差，可直接用的均值、方差的性质求解；(3)如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的均值、方差公式求解．2. 求离散型随机变量均值的步骤(1)理解随机变量的意义，写出可能取得的全部值；(2)求的每个值的概率；(3)写出的分布列；(4)由均值定义求出．3. 六条性质(1) (为常数)(2) (为常数)(3) ()()()1212E X X E X E X +=+(4)如果相互独立，则()()()1212E X X E X E X ⋅=⋅(5) ()()()()22D X E XE X =- (6)4. 均值与方差性质的应用若是随机变量，则一般仍是随机变量，在求的期望和方差时，熟练应用期望和方差的性质，可以避免再求的分布列带来的繁琐运算．【温馨提醒】求离散型随机变量的期望和方差的应用问题，首先应仔细地分析题意，当概率分布不是一些熟知的类型时，应全面地剖析各个随机变量所包含的各种事件，并准确判断各事件的相互关系，从而求出各随机变量相应的概率.【易错问题大揭秘】 1.随机变量取值不全致误典例 (12分)盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个．第一次从盒子中任取1个球，放回后第二次再任取1个球(假设取到每个球的可能性都相同)．记第一次与第二次取得球的标号之和为ξ.求随机变量ξ的可能取值及其分布列．易错分析 由于随机变量取值情况较多，极易发生对随机变量取值考虑不全而导致解题错误．温馨提醒 (1)解决此类问题的关键是弄清随机变量的取值，正确应用概率公式．(2)此类问题还极易发生如下错误：虽然弄清随机变量的所有取值，但对某个取值考虑不全面．(3)避免以上错误发生的有效方法是验证随机变量的概率和是否为1.2.独立事件概率求解中的易误点典例 (12分)某射手每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响． (1)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；(2)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率；(3)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分．在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分．记ξ为射手射击3次后的总分数，求ξ的分布列．易错分析 解本题第(2)问易因不明独立事件与独立重复试验的区别，误认为是n 次独立重复试验，可导致求得P ＝C 35(23)3×(13)2＝80243这一错误结果． 规范解答温馨提醒(1)正确区分相互独立事件与n次独立重复试验是解决这类问题的关键．独立重复试验是在同一条件下，事件重复发生或不发生．(2)独立重复试验中的概率公式P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k表示的是n次独立重复试验中事件A发生k次的概率，p与1－p的位置不能互换，否则该式子表示的意义就发生了改变，变为事件A有k次不发生的概率了. [失误与防范]1掌握离散型随机变量的分布列，须注意：(1)分布列的结构为两行，第一行为随机变量X所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量X的值的事件发生的概率．看每一列，实际上是上为“事件”，下为“事件发生的概率”，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的．每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率．(2)要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误．2．运用公式P(AB)＝P(A)P(B)时一定要注意公式成立的条件，只有当事件A、B相互独立时，公式才成立．3．独立重复试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中某事件发生的概率相等．注意“恰好”与“至多(少)”的关系，灵活运用对立事件．4．在没有准确判断分布列模型之前不能随便套用公式．5．对于应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的分布列，然后按定义计算出随机变量的均值、方差．。
高中高三数学《随机变量和数学期望》教案、教学设计
（3）针对不同难度的练习题，进行分层教学，使学生在逐步克服难点的过程中，提高自己的数学素养。
3.教学策略和手段：
（1）运用信息技术，如多媒体、网络资源等，为学生提供丰富的学习材料，提高课堂教学效果。
2.教学过程：
（1）教师发放练习题，要求学生在规定时间内完成。
（2）学生独立完成练习题，教师巡回指导，解答学生疑问。
（3）教师选取部分学生作品进行展示，分析解题思路和技巧，并进行点评。
（五）总结归纳
1.教学内容：对本节课所学内容进行总结，巩固学生对随机变量和数学期望的理解。
2.教学过程：
（1）教师引导学生回顾本节课所学的主要内容，如随机变量的概念、分类、表示方法，数学期望的定义、性质和计算方法等。
4.小组合作完成一道综合应用题，要求学生在解决实际问题的过程中，运用随机变量和数学期望的知识。此题目旨在培养学生的合作意识和运用数学工具解决实际问题的能力。
5.针对课堂所学内容，教师编制一份测试卷，包括选择题、填空题、解答题等，全面检测学生对本章知识的掌握程度。
作业布置要求：
1.学生应在规定时间内独立完成作业，遇到问题可请教同学或老师，培养自主解决问题的能力。
（2）以小组合作的形式，让学生探讨随机变量的表示方法，如分布列、概率密度函数等，培养他们的合作意识和解决问题的能力。
（3）通过典型例题，引导学生掌握数学期望的定义和性质，学会运用数学期望进行计算。
2.对于难点内容的教学设想：
（1）针对分布列和概率密度函数的理解，设计直观的图表和动画，帮助学生形象地理解抽象概念。
4.引导学生关注社会热点问题，运用所学知识为社会发展贡献力量，培养他们的社会责任感和使命感。
初中数学教案概率分布的期望与方差
初中数学教案概率分布的期望与方差初中数学教案概率分布的期望与方差概念介绍：在概率论中，期望和方差是描述随机变量分布情况的重要指标。
期望是对随机变量取值的加权平均，方差则是表示随机变量取值与其期望值之间的偏离程度。
一、期望的计算方法：期望是对随机变量的所有取值进行加权平均的结果，其计算方法如下：设随机变量X的取值为x1, x2, ..., xn，对应的概率为p1, p2, ..., pn，则随机变量X的期望E(X)可以通过以下公式计算：E(X) = x1*p1 + x2*p2 + ... + xn*pn二、方差的计算方法：方差是描述随机变量取值与其期望值之间偏离程度的统计量，其计算方法如下：设随机变量X的取值为x1, x2, ..., xn，对应的概率为p1, p2, ..., pn，随机变量X的期望为μ，则随机变量X的方差Var(X)可以通过以下公式计算：Var(X) = (x1-μ)^2 * p1 + (x2-μ)^2 * p2 + ... + (xn-μ)^2 * pn三、示例教案：本节以一个示例教案来说明概率分布的期望与方差的计算方法。
教案主题：掷硬币实验教学目标：1. 了解随机变量的概念及其在概率分布中的应用；2. 掌握期望和方差的计算方法；3. 运用所学知识解决实际问题。
教学准备：纸币、硬币。
教学过程：1. 引入：向学生提问："如果我有一个均匀的硬币，在进行掷硬币实验时，正面和反面出现的概率是否相等？"2. 实验介绍：说明掷硬币实验的操作步骤，要求学生进行实际操作，并记录每次掷硬币的结果。
3. 数据整理：学生将实验结果整理成表格形式，记录正面出现的次数和反面出现的次数。
4. 概率分布的计算：根据实验结果，学生可以得到正面和反面出现的概率分布，并计算对应的期望和方差。
5. 期望和方差的解释：解释期望是对随机变量取值的加权平均结果，而方差则表示随机变量取值与其期望值之间的偏离程度。
高中数学第二章概率2.3.1离散型随机变量的数学期望学案新人教B版选修2-3
2。
3。
1 离散型随机变量的数学期望1。
理解离散型随机变量的数学期望的意义和性质,会根据离散型随机变量的分布列求出数学期望。
（重点)2。
掌握二点分布、二项分布的数学期望。
（重点)3。
会利用离散型随机变量的数学期望解决一些相关问题.(难点）[基础·初探］教材整理1 离散型随机变量的数学期望阅读教材P59~P60，完成下列问题.1。
定义一般地,设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1，x2,…，x n，这些值对应的概率是p,p2，…，p n，则E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋x n p n叫做这个离散型随机变量X的均值或数学期望1(简称期望).2.意义刻画了离散型随机变量的平均取值水平.1.下列说法正确的有________(填序号)。
①随机变量X的数学期望E（X)是个变量，其随X的变化而变化；②随机变量的均值反映样本的平均水平；③若随机变量X的数学期望E（X)＝2，则E（2X）＝4；④随机变量X的均值E（X）＝错误!。
【解析】①错误，随机变量的数学期望E（X)是个常量，是随机变量X本身固有的一个数字特征.②错误,随机变量的均值反映随机变量取值的平均水平。
③正确,由均值的性质可知.④错误,因为E（X）＝x1p1＋x2p2＋…＋x n p n.【答案】③2。
已知离散型随机变量X的分布列为：X123P错误!错误!错误!则X的数学期望E(X)＝【解析】E（X）＝1×错误!＋2×错误!＋3×错误!＝错误!。
【答案】错误!3.设E(X)＝10，则E（3X＋5)＝________.【导学号：62980052】【解析】E（3X＋5）＝3E（X)＋5＝3×10＋5＝35。
【答案】35教材整理2 常见几种分布的数学期望阅读教材P60例1以上部分,完成下列问题。
名称二点分布二项分布超几何分布公式E(X）＝p E(X)＝np E(X）＝错误!1。
若随机变量X服从二项分布B错误!，则E(X）的值为________。
人教A版数学必修第二册第十章概率难点突破课件
(易求)概率的相互独立事件的积事件．
(3)代入概率的积、和公式求解．
强化训练
设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分
别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立，则
同一工作日至少3人需使用设备的概率为( C )
A．0.25
自同一学校的概率．
甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．
(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，求选出的2名教师性别
相同的概率；
✓ 从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，所有可能的结果为(甲
男1，乙男)、(甲男2，乙男)、(甲男1，乙女1)、(甲男1，乙女2)、
(甲男2，乙女1)、(甲男2，乙女2)、(甲女，乙女1)、(甲女，乙
(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，
(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．
✓ 由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些样本点的出现是等可能的．
✓ 从这六张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4
的结果为(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，F)，(C，F)，(D，F)，
格证书”的可能性大？
(2)求甲、乙、丙三人进行理论与实际操作两项考试后，恰有两人获得
“合格证书”的概率．
(1)若甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，
则谁获得“合格证书”的可能性大？
✓ 记“甲获得‘合格证书’”为事件A，“乙获得‘合格证书’”为事
件B，“丙获得‘合格证书’”为事件C；
4
5
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概率分布与数学期望
【真题感悟】
1. 【2010江苏，22】某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%．生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各种产品相互独立．
（1）记X（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；
（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率．[来源:学科网Z X X K]
【答案】（1）（2）0.8192
【解析】解：（1）由题设知，X的可能取值为10，5，2，-3，且
P（X=10）=0.8×0.9=0.72，P（X=5）=0.2×0.9=0.18，
P（X=2）=0.8×0.1=0.08，P（X=-3）=0.2×0.1=0.02．
∴X的分布列为：
（2）设生产的4件甲产品中一等品有n件，则二等品有4-n件．
由题设知4n-（4-n）≥10，解得n≥，又n∈N，得n=3，或n=4．
所求概率为P=C43×0.83×0.2+0.84=0.8192
答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192．
2. 【2012江苏，22】设ξ为随机变量．从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1.
(1)求概率P(ξ＝0)；
(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ)．
【解析】解：(1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点
恰有3条棱，所以共有对相交棱，因此. (2)若两条棱平行，则它们的距离为1
的共有6对，故
，
于是P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)
)＝， （（个球，量（，，
， 所以的分布列为
2
3
8C 232128C 834
(0)C 6611
P ξ⨯===
=21261(C 11
P ξ==
=416
1−
−=4
4491
(4)126C P X C ===313145364913(3)63
C C C C P X C +===11
(2)1(3)(4)14
P X P X P X ==−=−==
X
.
4.【2017年高考江苏卷】已知一个口袋中有个白球，个黑球()，这些球除为
的抽屉内，其中第．
（）试求编号为（）随机变量
，
（2）随机变量X 的概率分布为
随机变量X 的期望为．
13120()21434631269
E X =⨯+⨯
+⨯=m n ,*,2m n n ∈N ≥1,,m n +3,
,)m n +C 1
1
C 111(1)!
()C C (1)!()!n m n
m n k n n
k n k n
m n
m n k E X k k n k n −++−==++−=⋅=⋅−−∑∑。