分布列与数学期望
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5、为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛.该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序，通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛.
（I）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；
（II）若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为X，求X的分布列和数学期望.
6.（本题满分12分）
为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情
况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，
已知图中从左到右的前 个小组的频率之比为 ，其中第
小组的频数为 .
(1)求该校报考飞行员的总人数;
(2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据,若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选三人，设X表示体重超过60公斤的学生人数，求X的分布列和数学期望.
而事件 、 、 互斥，
所以， ．
由条件概率公式，得
，…………………………………9分
，…………………………………10分
．…………………………………11分
所以，第二次训练时恰好取到一个新球的概率为
．…………………………………12分
9.⑴设此人至少命中目标2次的事件为A,则 ，
即此人至少命中目标2次的概率为 ．……………………………………………4分
（2）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率．
4.已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球．
（1）求取出的4个球均为黑球的概率；
（2）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；
（3）设 为取出的4个球中红球的个数，求 数学期望．
8.某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练，都从中任意取出2个球，用完后放回．
（1）设第一次训练时取到的新球个数为 ，求 的分布列和数学期望；
（2）求第二次训练时恰好取到一个新球的概率．
9、假定某人每次射击命中目标的概率均为 ，现在连续射击3次。
分布列与数学期望
离散型随机变量的分布列与数学期望
班级姓名
0
1
2
p
x2
X
1.已知随机变量 的分布列
如右表：则x=。
2.两封信随机投入 三个空邮箱，则
邮箱的信件数 的数学期望 ．
3.某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加学校学生会的
干部竞选．
（1）设所选3人中女生人数为 ，求 的分布列及数学期望；
7．某项新技术进入试用阶段前必须对其中三项不同指标甲、乙、丙进行通过量化检测。假设该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为 ，指标甲、乙、丙检测合格分别记4分、2分、4分，若某项指标不合格，则该项指标记0分，各项指标检测结果互不影响。
(Ⅰ)求该项技术量化得分不低于8分的概率；
(Ⅱ)记该技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量 ，求 的分布列与数学期望。
且 , .
所以取出的4个球中恰有1个红球的概率为
.
（3）设 可能的取值为0,1,2,3.
由（1）、（2）得 , , .
所以 .
∴ 的数学期望为 .
5、（百度文库）
（2）：
X
0
1
2
3
P
EX=0 +1 +2 +3 =1
6、解：（1）设报考飞行员的人数为 ,前三小组的频率分别为 ,则由条件可得:
解得 ……4分
又因为 ，故 ……………………………6分
则 ， ，
∴ ．
故在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为 ．
4.解：（1）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B.由于事件A、B相互独立，
且 , .
所以取出的4个球均为黑球的概率为 .
（2）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D.由于事件C、D互斥，
，………………………………………3分
，………………………………………5分
．………………………………………7分
所以 的分布列为（注：不列表，不扣分）
0
1
2
的数学期望为 ．……………………………………8分
.（2）设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件 ．
则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件 ．
(2)由(1)可得,一个报考学生体重超过60公斤的概率为 ……8分
所以 服从二项分布,
随机变量 的分布列为：
0
1
2
3
则 ……………………12分
(或: )
7.
8.解：（1） 的所有可能取值为0，1，2．………………………………………1分
设“第一次训练时取到 个新球（即 ）”为事件 （ 0，1，2）．因为集训前共有6个篮球，其中3个是新球，3个是旧球，所以
（1）求此人至少命中目标2次的概率；
（2）若此人前3次射击都没有命中目标，再补射一次后结束射击；否则。射击结束。记此人射击结束时命中目标的次数为X，求X的数学期望。
答案：
3.解： 的所有可能取值为0，1，2．
依题意，得 ，
， ．
∴ 的分布列为
0
1
2
∴ 。
（2）设“男生甲被选中”为事件 ，“女生乙被选中”为事件 ，
⑵由题设知 的可能取值为0，1，2，3，且 ，
， ，
，…………………………………………………………8分
从而 .………………………………10分
（I）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；
（II）若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为X，求X的分布列和数学期望.
6.（本题满分12分）
为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情
况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，
已知图中从左到右的前 个小组的频率之比为 ，其中第
小组的频数为 .
(1)求该校报考飞行员的总人数;
(2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据,若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选三人，设X表示体重超过60公斤的学生人数，求X的分布列和数学期望.
而事件 、 、 互斥，
所以， ．
由条件概率公式，得
，…………………………………9分
，…………………………………10分
．…………………………………11分
所以，第二次训练时恰好取到一个新球的概率为
．…………………………………12分
9.⑴设此人至少命中目标2次的事件为A,则 ，
即此人至少命中目标2次的概率为 ．……………………………………………4分
（2）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率．
4.已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球．
（1）求取出的4个球均为黑球的概率；
（2）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；
（3）设 为取出的4个球中红球的个数，求 数学期望．
8.某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练，都从中任意取出2个球，用完后放回．
（1）设第一次训练时取到的新球个数为 ，求 的分布列和数学期望；
（2）求第二次训练时恰好取到一个新球的概率．
9、假定某人每次射击命中目标的概率均为 ，现在连续射击3次。
分布列与数学期望
离散型随机变量的分布列与数学期望
班级姓名
0
1
2
p
x2
X
1.已知随机变量 的分布列
如右表：则x=。
2.两封信随机投入 三个空邮箱，则
邮箱的信件数 的数学期望 ．
3.某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加学校学生会的
干部竞选．
（1）设所选3人中女生人数为 ，求 的分布列及数学期望；
7．某项新技术进入试用阶段前必须对其中三项不同指标甲、乙、丙进行通过量化检测。假设该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为 ，指标甲、乙、丙检测合格分别记4分、2分、4分，若某项指标不合格，则该项指标记0分，各项指标检测结果互不影响。
(Ⅰ)求该项技术量化得分不低于8分的概率；
(Ⅱ)记该技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量 ，求 的分布列与数学期望。
且 , .
所以取出的4个球中恰有1个红球的概率为
.
（3）设 可能的取值为0,1,2,3.
由（1）、（2）得 , , .
所以 .
∴ 的数学期望为 .
5、（百度文库）
（2）：
X
0
1
2
3
P
EX=0 +1 +2 +3 =1
6、解：（1）设报考飞行员的人数为 ,前三小组的频率分别为 ,则由条件可得:
解得 ……4分
又因为 ，故 ……………………………6分
则 ， ，
∴ ．
故在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为 ．
4.解：（1）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B.由于事件A、B相互独立，
且 , .
所以取出的4个球均为黑球的概率为 .
（2）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D.由于事件C、D互斥，
，………………………………………3分
，………………………………………5分
．………………………………………7分
所以 的分布列为（注：不列表，不扣分）
0
1
2
的数学期望为 ．……………………………………8分
.（2）设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件 ．
则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件 ．
(2)由(1)可得,一个报考学生体重超过60公斤的概率为 ……8分
所以 服从二项分布,
随机变量 的分布列为：
0
1
2
3
则 ……………………12分
(或: )
7.
8.解：（1） 的所有可能取值为0，1，2．………………………………………1分
设“第一次训练时取到 个新球（即 ）”为事件 （ 0，1，2）．因为集训前共有6个篮球，其中3个是新球，3个是旧球，所以
（1）求此人至少命中目标2次的概率；
（2）若此人前3次射击都没有命中目标，再补射一次后结束射击；否则。射击结束。记此人射击结束时命中目标的次数为X，求X的数学期望。
答案：
3.解： 的所有可能取值为0，1，2．
依题意，得 ，
， ．
∴ 的分布列为
0
1
2
∴ 。
（2）设“男生甲被选中”为事件 ，“女生乙被选中”为事件 ，
⑵由题设知 的可能取值为0，1，2，3，且 ，
， ，
，…………………………………………………………8分
从而 .………………………………10分