分布列与数学期望
概率论分布列期望方差习题及答案
概率论分布列期望方差习题及答案The following text is amended on 12 November 2020.圆梦教育 离散型随机变量的分布列、期望、方差专题姓名：__________班级：__________学号：__________1．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A ，乙对B ，丙对C 各一盘，已知甲胜A ，乙胜B ，丙胜C 的概率分别为,,，假设各盘比赛结果相互独立。
（Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；（Ⅱ）用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E ξ.2．已知某种从太空带回的植物种子每粒成功发芽的概率都为13，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的． (1) 第一小组做了三次实验，求实验成功的平均次数；(2) 第二小组连续进行实验，求实验首次成功时所需的实验次数的期望； (3)两个小组分别进行2次试验，求至少有2次实验成功的概率．3．一种电脑屏幕保护画面，只有符号“○”和“×”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“○”和“×”之一，其中出现“○”的概率为p ，出现“×”的概率为q .若第k 次出现“○”，则a k =1；出现“×”，则a k =1-.令S n =a 1+a 2+…+a n ()n N *∈.(1)当12p q ==时，求S 6≠2的概率；(2)当p =31，q =32时，求S 8=2且S i ≥0(i =1,2,3,4)的概率.4．在一个有奖问答的电视节目中，参赛选手顺序回答123A A A 、、三个问题，答对各个问题所获奖金（单位：元）对应如下表：当一个问题回答正确后，选手可选择继续回答下一个问题，也可选择放弃．若选择放弃，选手将获得答对问题的累计奖金，答题结束；若有任何一个问题回答错误，则全部奖金归零，答题结束．设一名选手能正确回答123A A A 、、的概率分别为421534、、，正确回答一个问题后，选择继续回答下一个问题的概率均为12，且各个问题回答正确与否互不影响．（Ⅰ）按照答题规则，求该选手1A 回答正确但所得奖金为零的概率；（Ⅱ）设该选手所获奖金总数为ξ，求ξ的分布列与数学期望．5．某装置由两套系统M,N 组成，只要有一套系统工作正常，该装置就可以正常工作。
分布列,期望,方差
第二十六讲 分布列，期望，方差典型例题选读例1.2008年某地区发现禽流感疑似病例共10例，其中有4位禽流感患者，若从10例禽流感疑似病例中任意抽取4例进行分析诊断，并对其中的禽流感患者采用一种新的治疗方案进行治疗，每位禽流感患者被治愈的概率为13。
（1）求4例禽流感疑似病例中恰有2位禽流感患者且只有1位被治愈的概率；（2）设ξ表示4例禽流感疑似病例中被确诊为禽流感患者的人数，求ξ的分布列及数学期望。
解：（1）投4例禽流感疑似病例中恰有2位禽流感患者的概率为2P ，则2264241037C C P C == 2位禽流感患者中只有1位被治愈的概率为12124339C ⨯⨯= 所以，4例禽流感疑似病例中恰有2位禽流感患者且只有1位被治愈的概率为3477921⨯= ；（2）43166444101018(0),(1)1421C C C P P C C ξξ====== ，221364644441010103411(2),(3),(4)735210C C C C P P P C C C ξξξ========= ∴数学期望0123414217352105E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=例2.某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ表示，据统计，随机变量ξ的概率分别如下：（Ⅰ）求a 的值和ξ（Ⅱ）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率。
解：（Ⅰ）由概率分布的性质得0.1+0.3+2a +a =1,解得a =0.2. ξ∴的概率分布为00.110.3E ξ∴=⨯+⨯+（Ⅱ）设事件A 表示“两个月内共被投拆2次”；事件1A 表示“两个月内有一个月被投诉2次，另外一个月被投诉0次”；事件2A 表示“两个月内每个月均被投诉1次”.则由事件的独立性得：112()(2)(0)20.40.10.08p A C P P ξξ====⨯⨯=.212()()()0.080.090.17P A P A P A =+=+=.故该企业在这两个月内共被消费者投拆2次的概率为0.17.例3 如图所示，质点P 在正方形ABCD 的四个顶点上按逆时针方向前进. 现在投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面上分别写有两个1、两个2、两个3一共六个数字. 质点P 从A 点出发，规则如下：当正方体上底面出现的数字是1，质点P 前进一步（如由A 到B ）；当正方体上底面出现的数字是2，质点P 前两步（如由A 到C ），当正方体上底面出现的数字是3，质点P 前进三步（如由A 到D ）. 在质点P 转一圈之前连续投掷，若超过一圈，则投掷终止. （I ）求点P 恰好返回到A 点的概率；（II ）在点P 转一圈恰能返回到A 点的所有结果中，用随机变量ξ表示点P 恰能返回到A 点的投掷次数，求ξ的数学期望. 解：（I ）投掷一次正方体玩具，上底面每个数字的出现都是等可能的， 其概率为31621==P ，因为只投掷一次不可能返回到A 点，若投掷两次点P 就恰好能返回到A 点，则上底面出现的两个数字应依次为：（1，3）、（3，1）、（2，2）三种结果，其概率为313)31(22=⋅=P ；若投掷三次点P 恰能返回到A 点，则上底面出现的三个数字应依为：（1，1，2）、（1，2，1）、（2，1，1）三种结果，其概率为913)31(33=⋅=P ；若投掷四次点P 恰能返回到A 点，则上底面出现的四个数字应依次为：（1，1，1，1），其概率为811)31(44==P 。
由分布列求期望、方差(共11张PPT)
[解析] (1)依题意，随机变量 ξ 的取值是 2、3、4、5、6. 因为 P(ξ＝2)＝3822＝694； P(ξ＝3)＝2×8232＝1684； P(ξ＝4)＝32＋28×2 3×2＝2614； P(ξ＝5)＝2×832×2＝1624； P(ξ＝6)＝2×82 2＝644. 所以，当 ξ＝4 时，其发生的概率最大，为 P(ξ＝4)＝2614.
• 【典例2】 编号1,2,3的三位学生随意入座编号为 1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编 号相同的学生的个数是ξ.
• (1)求随机变ຫໍສະໝຸດ ξ的概率分布；• (2)求随机变量ξ的数学期望和方差．
• [分析] (1)随机变量ξ的意义表示对号入座的学生个数； 它的取值只有(zhǐyǒu)0、1或3，若2人对号入座第3人 必对号入座，所以ξ＝2不存在．由排列知识与等可能 事件概率公式易求分布列．
• 回归课本 • 1.一般地，若离散(lísàn)型随机变量ξ的概率分布列为
ξ
x1
x2
…
xn
…
P
p1
p2
…
pn
…
• 则称Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋…为ξ的数学期望 或平均值、均值，数学期望又简称为期望．它反映了 离散(lísàn)型随机变量取值的平均水平．
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• 3．如果离散型随机变量ξ所有可能的取值是x1， x2，…，xn，…且取这些值的概率分别是p1，p2，…， pn，…，设Eξ是随机变量ξ的期望，那么把Dξ＝(x1－ Eξ)2·p1＋(x2－Eξ)2·p2＋…＋(xn－Eξ)2·pn＋…叫做 随机变量ξ的均方差(fānɡ chà)，简称方差(fānɡ chà)．Dξ的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记 作σξ.随机变量的方差(fānɡ chà)与标准差都反映了随 机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．其中 标准差与随机变量本身有相同的单位．
概率论,方差,分布列知识总结
分布列、期望、方差知识总结一、知识结构二、知识点1.随机试验的特点:①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．2.分类随机变量（如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量．随机变量常用大写字母X、Y等或希腊字母ξ、η等表示。
）离散型随机变量在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．连续型随机变量对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量.连续型随机变量的结果不可以一一列出.3.离散型随机变量的分布列一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2, ,x i , ,x nX取每一个值xi(i=1,2,）的概率P(ξ=x i）＝P i，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列性质：①pi≥0, i =1，2，…；②p1 + p2 +…+p n= 1．③一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。
4.求离散型随机变量分布列的解题步骤例题：篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分，已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他罚球一次的得分的分布列.解：用随机变量X表示“每次罚球得的分值”，依题可知，X可能的取值为：1,0且P（X=1）=0.7，P（X=0）=0.3因此所求分布列为：引出二点分布如果随机变量X的分布列为：其中0<p<1，q=1-p，则称离散型随机变量X服从参数p的二点分布二点分布的应用：如抽取彩票是否中奖问题、新生婴儿的性别问题等.超几何分布一般地, 设总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n(n ≤N)件,这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，则它取值为k 时的概率为()(0,1,2,,)k n k M N MnNC C P X k k m C --===，其中{}min,m M n =,且*,,,,n N M N n M N N ∈≤≤ 则称随机变量X 的分布列为超几何分布列,且称随机变量X 服从参数N 、M 、n 的超几何分布注意：（1）超几何分布的模型是不放回抽样；（2）超几何分布中的参数是N 、M 、n ，其意义分别是总体中的个体总数、N 中一类的总数、样本容量解题步骤：例题、在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同.游戏者一次从中摸出5个球.至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率解：设摸出红球的个数为X,则X 服从超几何分布,其中30,10,5N M n === X 可能的取值为0，1，2，3，4, 5. 由题目可知，至少摸到3个红球的概率为(3)(3)(4)(5)P X P X P X P X ==+=+=≥324150102010201020555303030C C C C C C C C C =++ ≈0.191答：中奖概率为0.191.nNn MN MCC C -0nNn MN MCC C 11--nNm n MN m MCC C --条件概率1.定义：对任意事件A 和事件B ，在已知事件A 发生的条件下事件B 发生的概率，叫做条件概率P(B|A)，读作A 发生的条件下B 的概率2.事件的交（积）:由事件A 和事件B 同时发生所构成的事件D ，称为事件A 与事件B 的交（或积作D=A ∩B 或D=AB3.条件概率计算公式:P(B|A)相当于把A 看作新的基本事件空间,求Ａ∩Ｂ发生的概率:解题步骤：例题、10个产品中有7个正品、3个次品，从中不放回地抽取两个，已知第一个取到次品，求第二取到次品的概率.解：设 A = {第一个取到次品}， B = {第二个取到次品}，所以，P(B|A) = P(AB) / P(A)= 2/9 答：第二个又取到次品的概率为2/9..0)(,)()()|(>=A P A P AB P A B P .1)|(0)()|()(0)A (P ≤≤⋅=>A B P A P A B P AB P （乘法公式）；，则若.151)(21023==⇒C C AB P .103)(=A P相互独立事件2.相互独立事件同时发生的概率公式两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。
概率分布与数学期望
例谈离数型随机变量概率分布与数学期望数学期望=每个个数X 每个它的概率，再相加从2008年全国各省市高考数学试题中，概率统计考题，可谓“军书十二卷，卷卷有爷名”，显然它是高考的必考内容，特别是离散型随机变量概率分布与数学期望内容的考题分布极为广泛，确实是一个重要考点，但纵观其解法，可以归纳为定义法、公式法、分析法与变量推理法四种，2009年考生务必对上述四种解题方法引起高度重视，本文就其命题特点，解题规律作专题阐述，以飨读者。
一、定义法求解概率分布与数学期望定义法即根据随机事件的概率、随机变量、概率分布、数学期望的定义求解概率分布与数学期望的方法。
可使用本法解题的考题，一般以古典离散型概率为特征，它可直接利用排列组合的加法原理与乘法原理写出离散型随机变量概率的计算式，进而求得随机变量各值条件下的概率分布与数学期望。
此类题型解题思路明确，利用定义法求解，其方法容易掌握。
例1，（08浙江理）一个袋中装有若干个大小相同的黑球，白球和红球．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是25；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79． （1）若袋中共有10个球，（1）若袋中共有10个球，（ⅰ）求白球的个数；（ⅱ）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，求随机变量ξ的数学期望E ξ． （2）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于710．并指出袋中哪种颜色的球个数最少．分析：本题是以古典概率为题材的高考题，由于从袋中摸球是有回放地摸球，且每次摸球都是互相独立的，系互不影响事件，所发生的概率是等可能的。
故可根据概率定义，利用排列组合计算方法求解随机变量各值的概率。
解：袋中共有10个球，且至少得到1个白球的概率为97，设其中有X 个白球，我们将至少得到一个白球的事件为A ，则P （A ）=97，又∵P （A ）=9721021110=+C C C C x x ，∴9721021110=+C C C C x x ，化简后解之得x=5或14（舍去），∴袋中有5个白球。
人教A版选修2-3离散型随机变量及其分布列与数学期望
高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）离散型随机变量及其分布列与数学期望一、知识梳理二、教学重、难点三、作业完成情况四、典题探究例1 从一个装有编号为1号到10号的10个球的袋中，任取1球，被取出的球的编号为X,写出随机变量X的所有可能取值，并说明随机变量所取的值所表示的随机试验的结果.例2 从装有6只白球和4只红球的口袋中任取一只球，用X 表示“取到的白球个数”，即1,0,X ⎧=⎨⎩当取到白球时，当取到红球时，求随机变量X 的概率分布．例3 从装有6个白球、4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出一个黑球赢2元，而每取出一个白球输1元，取出黄球无输赢，以X 表示赢得的钱数，随机变量X 可以取哪些值呢？求X 的分布列．例4 在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求不放回抽样时，抽到次品数ξ的分布列.例5一名博彩者，放6个白球和6个红球在一个袋子中，且给出如下规则：凡愿摸彩者，每人交1元钱作为“手续费”，然后一次从袋中摸出5个球，中彩情况如表：摸5个球 中彩给出的奖品 恰有5个白球 1个帽子（价值20元） 恰有4个白球 1张贺卡（价值2元） 恰有3个白球 纪念品（价值0．5元） 其他情况同乐一次（无任何奖品）试计算：⑴摸一次球能获得20元奖品的概率P ；⑵求中彩数额ξ的分布列.五、演练方阵A 档（巩固专练）一、选择题1.下列变量中不是随机变量的是( ).A.某人投篮6次投中的次数B.某日上证收盘指数C.标准状态下,水在100C 时会沸腾D.某人早晨在车站等出租车的时间2.下列随机变量中不是离散型随机变量的是( ). A.掷5次硬币正面向上的次数MB.某人每天早晨在某公共汽车站等某一路车的时间TC.从标有数字1至4的4个小球中任取2个小球，这2个小球上所标的数字之和YD.将一个骰子掷3次,3次出现的点数之和X 3.设X 的分布列如表1,则m 等于( ).表1 X-11P1213mA.0B.16 C.13D. m 的取值不确定4. 下列各表中可作为随机变量X 的分布列的是（ ）. A ． Ｂ．Ｃ．Ｄ． 5.某12人组成的兴趣小组中有5名“三好学生”，现从中任意选6 人参加竞赛，用X 表示这6人中“三好学生”的人数，则下列概率中等于3357612C C C 的是（ ）.A ．(2)P X =B ．(3)P X = C. (2)P X ≤D. (3)P X ≤二、填空题6. 袋中有3 个红球, 4 个白球, 5 个蓝球,从袋中摸出一个球,摸到红球得2分,摸到白球得1分,摸到蓝球得0分,若从袋中取出一个球得分为X,则(2)P X == .7.设随机变量X 的概率分布列为1)(+==k ck X P ，,3,2,1,0=k 则=c ． 8. 设某运动员投篮命中率为0.85,则他一次投篮投中次数X 的分布列为 . 三、解答题9. 某产品40件，其中有次品3件，现从其中任取3件，求取出的3件产品中次品数X 的分布列．（结果用组合数符号表示出来即可）10. 设随机变量X 只能取5,6,7,…，16这12个值,且取每个值的概率均相同,求： (1)(8)P X >； (2) (614)P X <≤.X 1- 0 1 P 0.5 0.3 0.4 X 1 2 3 P 0.5 0.8 0.3- X 1 2 3 P 0.2 0.3 0.4 X 1- 0 1 P 0 0.4 0.6一、选择题1. 设随机变量X 的分布列为1()(),1,2,33i P X i a i ==⋅=，则a 的值为（ ）. A ．1B.913C.1113D. 27132. 设袋中有80个红球,20个白球,若从袋中任取10个球,则其中恰有6个红球的概率为( ).A.46101010100C C C B. 46108010100C C C C. 46802010100C C C D. 46208010100C C C 3. 要从10名女生与5名男生中选出6名学生组成课外活动小组，记其中的女生人数为X. 如果按性别依比例采用分层抽样，记其中的女生人数为a.则()P X a =的值为（ ）.Ａ．33105615C C CＢ．615615C AＣ．42105615C C CＤ．42105615A A C4. 抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为X ，则“X ≥5”表示的实验结果为（ ）.Ａ．第一枚6点，第二枚2点 Ｂ．第一枚5点，第二枚1点 Ｃ．第一枚1点，第二枚6点 Ｄ．第一枚6点，第二枚1点5. 从标有1~10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X ，那么随机变量X 可能取得的值有（ ）.Ａ．17个 Ｂ．18个 Ｃ．19个 Ｄ．20个 二、填空题．6. 甲、乙两队进行围棋对抗赛，每队各出5名队员进行5场比赛，每场比赛结束后胜队得3分，负队得0分．若用X 表示甲队的总得分，Y 表示乙队的总得分，则有x y += ．7.设随机变量X 的分布列为10)(i i X P ==，,4,3,2,1=i 则)271(<≤X P = ． 8. 在15个村庄中，有7个村庄交通不太方便，现从中任意选出10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄个数，则(4)P X ≤= ． （结果用组合数符号表示出来即可）三、解答题9. 在一个数学建模小组中有2男3女，从中任选2人，用X 表示所选2人中女生的人数，写出X 的取值集合并计算(03)P X <<．10.在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回．．．地先后抽得两张卡片的标号分别为x ，y ，记2X x y x =-+-．（1）求随机变量X 的最大值，并求事件“X 取得最大值”的概率.（2）求随机变量X 的分布列．一、选择题2.在100件产品中，有8件次品，现从中任取10件用X 表示10件产品中所含的次品件数，下列概率中等于1010069248C C C ⋅的是 ( ). A ．)2(=X P B.)2(≤X P C.)4(=X P D.)4(≤X P 2．已知随机变量X 的分布列如下表：则m 的值为 ( ).A.0.1B.0.2C.0.3D.0.43. 设随机变量X 的分布列为()15k P X k ==，12345k =，，，，，则1522P X ⎛⎫<< ⎪⎝⎭等于（ ）.Ａ．215 Ｂ．25 Ｃ．15 Ｄ．1154．设随机变量X 的概率分布列为kck X P 2)(==，6,5,4,3,2,1=k ，其中c 为常数，则)2(≤X P 的值为 （ ）.A ．43 B.2116 C.6463 D.63645.有一个电话亭中装有一部公用电话，在观察使用这个电话的人的流量时，设在某一时刻，有n 个人正在使用电话或等待使用的概率为)(n P ，)(n P 与时刻t 无关，统计得到：1()(0)(05),()20(6),nP n P n n ⎧⋅≤≤⎪=⎨⎪≥⎩，那么在某一时刻，这个电话亭一个人也没有的概率)0(P 的值为 （ ）. A.6332 B.3265 C. 3163 D. 3253二、解答题6．学校组织一次夏令营活动，有8名同学参加，其中5名男同学，3名女同学，为了活动的需要，要从这8名同学中随机抽取3名同学去执行一项特殊任务，记其中有X 名男同学被抽到. 求：（1）X 的分布列；（2）去执行任务的同学中有男有女的概率.7. 在盒子里有大小相同，仅颜色不同的乒乓球共10个，其中红球5个，白球3个，蓝球2个.现从中任意取出一球确定颜色后放回盒子里，再取下一个球.重复以上操作，最多取3次，在这个过程中如果取出蓝色球则不再取球. 求：(1)最多取两次就结束的概率；(2)整个过程中恰好取到2个白球的概率； (3)取球次数X 的分布列.X12 34 P0.1 0.2m0.48．袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17，现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时停止，每个球每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止时所需要的取球次数．（1）求袋中原有白球的个数； （2）求随机变量ξ的概率分布； （3）求甲取到白球的概率．在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回．．．地先后抽得两张卡片的标号分别为x ，y ，记x y x -+-=2ξ．求：（1）随机变量ξ的最大值，以及事件“ξ取得最大值”的概率； （2）随机变量ξ的分布列．10.从一批有10个合格品与3个次品的产品中，一件一件地抽取产品，设各个产品被抽到的概率相同，在下列两种情况下，分别求出直到取出合格品为止所需抽取次数X 的分布列． （1）每次取出的产品都立即放回，然后再取下一件产品； （2）每次取出一件次品后总以一件合格品放回该产品中．离散型随机变量及其分布列与数学期望答案四、典题探究例1 解：X 的所有可能取值为123...101,2,3,...,10)X k k ==，，，，，{}（表示在试验中取出第k 号球.例2 解：由题意知42(0)645P X ===+，63(1)645P X ===+，故随机变量X 的概率分布列为2(0)5P X ==，3(1)5P X ==，概率分布列如表：X0 1 P2535 例3 解：从箱中取出两个球的情形有以下六种：{2白}，{1白1黄}，{1白1黑}，{2黄}，{1黑1黄}，{2黑}．当取到2白时，结果输2元，随机变量X ＝－2； 当取到1白1黄时，输1元，随机变量X ＝－1；当取到1白1黑时，随机变量X ＝1；当取到2黄时，X ＝0； 当取到1黑1黄时，X ＝2；当取到2黑时，X ＝4． 则X 的可能取值为－2，－1，0，1，2，4．225)2(21226==-=C C X P ；112)1(2121216==-=C C C X P ； 661)0(21222===C C X P ；114)1(2121416===C C C X P ；334)2(2121214===C C C X P ，111)4(21224===C C X P ．从而得到X 的分布列如表：X－2－1124P225 112 661 114 334 111 例4 解：P （ξ=0）=31038C C =157，P （ξ=1）=3102812C C C =157，P （ξ=2）=3102218C C C =151，所以ξ的分布列如表： ξ0 1 2P157157 151 例5解：⑴概率565121132C P C ==.⑵565121(20)132C P C ξ===，4166512155(2)13244C C P C ξ====·；32662125025(0.5)13266C C P C ξ====·；661(0)1322P ξ===. 故中彩数额ξ的分布列为：五、演练方阵A 档（巩固专练）一、选择题1.C.提示：由随机变量的概念可知.2.B.提示：由离散型随机变量的概念可知.3.B.提示：由离散型随机变量分布列的性质可知,11123m ++=,故16m =. 4.D.提示：由分布列的性质可知.5.B.提示：根据题意可知,选了3名“三好学生”，故X=3. 二、填空题6.14. 提示：X=2表示从袋中摸出的是一个红球，其概率是313454=++. 7. 2512.提示：考查分布列性质，用各概率和是1来求出.ξ20 2 0.5 0P1132 544 2566 128.三、解答题9. 解：X 的所有可能取值为0，1，2，3，则X 服从参数为4033N M n ===，，的超几何分布．337340(0)C P X C ==，21373340(1)C C P X C ==，12373340(2)C C P X C ==，33340(3)C P X C ==． X ∴的分布列为X123P 337340C C 21373340C C C 12373340C C C 33340C C 10．解:设取每个值的概率为p,于是有121p =,112p =, 所以(8)P X >=(9)(10)(16)P X P X P X =+=++==811182121212123+++==个. (614)P X <≤=(7)(8)(14)P X P X P X =+=++=82123==. B 档（提升精练）一、选择题1. D. 提示： 由分布列的性质得:(1)(2)(3)P X P X P X =+=+= =2311113()()133327a a a a ⋅+⋅+⋅==，2713a ∴=.2. D. 提示：64802010100(6)C C P X C ⋅==. 3. C. 提示：如果按性别依比例分层抽样，从10名女生与5名男生中选出6名学生，则应选女生4人，男生2人，组成课外活动小组是无顺序的，故选C.4.D. 提示：由“X ≥5”知，最大点数与最小点数之差不小于5，只能选D.5.A. 提示：X 可能的取值是3，4，5，6，…，17，18，19，共有17个. 二、填空题6. 15.提示：无论胜负，共比赛了5场，故甲、乙两队的总得分是15分.7. 0.6.提示：)271(<≤X P =1230.6101010++=. 8. 2837467878781015C C C C C C C ++. X 0 1 P0.150.85三、解答题9．解：X 的可能取值为0，1，2，X ∴的取值集合为{}012，，． 1102232322559(03)(1)(2)10C C C C P X P X P X C C <<==+==+=。
离散型随机变量、分布列、数学期望、方差
离散型随机变量、分布列、数学期望、方差：一、框架第一方面：离散型随机变量及其分布列1. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。
常用大写英文字母X 、Y 等或希腊字母ξ、η等表示。
2.分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为： x 1，x 2，…，x 3，…， ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表ξx 1x 2…x i…P P 1 P 2 … P i …为随机变量ξ的分布列 3. 分布列的两个性质：⑴P i ≥0，i ＝1，2，… ⑵P 1+P 2+…=1.常用性质来判断所求随机变量的分布列是否正确！第二方面：条件概率、事件的独立性、独立重复试验、二项分布与超几何分布1. 相互独立事件：如果事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
①如果事件A 、B 是相互独立事件，那么，A 与_B 、_A 与B 、_A 与_B 都是相互独立事件②两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。
我们把两个事件A 、B 同时发生记作A·B ，则有P （A·B ）= P （A ）·P （B ）推广：如果事件A 1，A 2，…A n 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。
即：P （A 1·A 2·…·A n ）= P （A 1）·P （A 2）·…·P(A n )★相互独立事件A ，B 有关的概率的计算公式如下表：事件A ，B 相互独立 概率计算公式 A ，B 同时发生 P (AB )＝P (A )P (B )A ，B 同时不发生 P (A －B －)＝P (A －)P (B －)＝[1－P (A )][1－P (B )]＝1－P (A )－P (B )＋P (A )P (B ) A ，B 至少有一个不发生 P ＝1－P (AB )＝1－P (A )P (B )A ，B 至少有一个发生 P ＝1－P (A －B －)＝1－P (A －)P (B －)＝P (A )＋P (B )－P (A )P (B )A ，B 恰有一个发生P ＝P (A B －＋A －B )＝P (A )P (B －)＋P (A －)P (B )＝P (A )＋P (B )－2P (A )P (B )2．条件概率：称)()()|(A P AB P A B P =为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率。
2.3 离散型随机变量的分布列及其期望
2.3 离散型随机变量的分布列及其期望基础梳理1．离散型随机变量的分布列(1)随机变量如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示．(2)离散型随机变量对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．(3)分布列设离散型随机变量X可能取得值为x1，x2，…，x i，…x n，X取每一个值x i(i＝1,2，…，n)的概率为P(X＝x i)＝p i，则称表X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n为随机变量X的概率分布列，简称X的分布列．(4)分布列的两个性质①p i≥0，i＝1,2，…，n；②p1＋p2＋…＋p n＝_1_.2．两点分布如果随机变量X的分布列为X 10P p q其中0<p<1，q＝1－p，则称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布．3．超几何分布列在含有M件次品数的N件产品中，任取n件，其中含有X件次品数，则事件{X＝k}发生的概率为：P(X＝k)＝C k M C n－kN－MC n N(k＝0,1,2，…，m)，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n、M、N∈N*，则称分布列X 01…mP C0M·C n－0N－MC n NC1M C n－1N－MC n N…C m M C n－mN－MC n N为超几何分布列．4.二项分布在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为k ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率． 5.离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X 的分布列为X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n基础训练1．抛掷均匀硬币一次，随机变量为( )．A ．出现正面的次数B ．出现正面或反面的次数C ．掷硬币的次数D ．出现正、反面次数之和2．如果X 是一个离散型随机变量，那么下列命题中假命题是( )． A ．X 取每个可能值的概率是非负实数 B ．X 取所有可能值的概率之和为1C ．X 取某2个可能值的概率等于分别取其中每个值的概率之和D ．X 在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和(1)均值称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值 或 ，它反映了离散型随机变量取值的 ．(2)方差称D (X )＝∑i ＝1n[x i －E (X )]2p i 为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均 ，其算术平方根D (X )为随机变量X 的标准差．数学期望 平均水平 偏离程度3．已知随机变量X 的分布列为：P (X ＝k )＝12k ，k ＝1,2，…，则P (2<X ≤4)等于( )． A.316 B.14 C.116 D.5164．袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X ，则X 的所有可能取值个数为( )． A ．25 B ．10 C ．7 D ．65．设某运动员投篮投中的概率为P ＝0.3，则一次投篮时投中次数的分布列是________． 6.小王通过英语听力测试的概率是13，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是( )．A.49B.29C.427D.227由统计数据求离散型随机变量的分布列【例1】某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果：投资成功 投资失败 192次8次则该公司一年后估计可获收益的期望是________．(1)可设出随机变量Y ，并确定随机变量的所有可能取值作为第一行数据；(2)由统计数据利用事件发生的频率近似地表示该事件的概率作为第二行数据．由统计数据得到分布列可帮助我们更好理解分布列的作用和意义．【训练1】某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为35，且各次射击的结果互不影响．(1)求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率(用数字作答)；(2)求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率(用数字作答)；(3)设随机变量ξ表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求ξ的分布列【例2】►某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料．若4杯都选对，则月工资定为3 500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2 800元；否则月工资定为2 100元．令X表示此人选对A 饮料的杯数．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．(1)求X的分布列；(2)求此员工月工资的期望．求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率．而超几何分布就是此类问题中的一种．【训练2】着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12，14；两人租车时间都不会超过四小时．(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．【例3】►(某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X＝0)＝112，则随机变量X的数学期望E(X)＝________.本题考查了相互独立事件同时发生的概率求法以及分布列，期望的相关知识，公式应用，计算准确是解题的关键．【训练3】某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区．B肯定是受A感染的．对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是12.同样也假定D受A、B和C感染的概率都是13.在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量．写出X的分布列(不要求写出计算过程)，并求X的均值(即数学期望)．【例4】►一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是1 3.(1)设X为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布列；(2)设Y为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y的分布列；(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．独立重复试验是相互独立事件的特例(概率公式也是如此)，就像对立事件是互斥事件的特例一样，只要有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，就像有“至少”或“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样．【训练4】某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．(1)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；(2)任选3名下岗人员，记X为3人中参加过培训的人数，求X的分布列．巩固提升1、设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立.，则同一工作日至少3人需使用设备的概率为______________；2、甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生(可在高考中加分录取)，两次考试过程相互独立．根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析，甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分别是0.6、0.5、0.4，能通过面试的概率分别是0.6、0.6、0.75.(1)求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率；(2)求经过两次考试后，至少有一人被该高校预录取的概率．3.某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（Ⅱ）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．4.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列、数学期望和方差．。
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(Ⅰ)求该项技术量化得分不低于8分的概率；
(Ⅱ)记该技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量 ，求 的分布列与数学期望。
则 ， ，
∴ ．
故在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为 ．
4.解：（1）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B.由于事件A、B相互独立，
且 , .
所以取出的4个球均为黑球的概率为 .
（2）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D.由于事件C、D互斥，
而事件 、 、 互斥，
所以， ．
由条件概率公式，得
，…………………………………9分
，…………………………………10分
．…………………………………11分
所以，第二次训练时恰好取到一个新球的概率为
．…………………………………12分
9.⑴设此人至少命中目标2次的事件为A,则 ，
即此人至少命中目标2次的概率为 ．……………………………………………4分
5、为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛.该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序，通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛.
（I）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；
（II）若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为X，求X的分布列和数学期望.
（1）求此人至少命中目标2次的概率；
（2）若此人前3次射击都没有命中目标，再补射一次后结束射击；否则。射击结束。记此人射击结束时命中目标的次数为X，求X的数学期望。
答案：
3.解： 的所有可能取值为0，1，2．
依题意，得 ，
， ．∴ 的分布列为0源自12∴ 。
（2）设“男生甲被选中”为事件 ，“女生乙被选中”为事件 ，
8.某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练，都从中任意取出2个球，用完后放回．
（1）设第一次训练时取到的新球个数为 ，求 的分布列和数学期望；
（2）求第二次训练时恰好取到一个新球的概率．
9、假定某人每次射击命中目标的概率均为 ，现在连续射击3次。
(2)由(1)可得,一个报考学生体重超过60公斤的概率为 ……8分
所以 服从二项分布,
随机变量 的分布列为：
0
1
2
3
则 ……………………12分
(或: )
7.
8.解：（1） 的所有可能取值为0，1，2．………………………………………1分
设“第一次训练时取到 个新球（即 ）”为事件 （ 0，1，2）．因为集训前共有6个篮球，其中3个是新球，3个是旧球，所以
⑵由题设知 的可能取值为0，1，2，3，且 ，
， ，
，…………………………………………………………8分
从而 .………………………………10分
6.（本题满分12分）
为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情
况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，
已知图中从左到右的前 个小组的频率之比为 ，其中第
小组的频数为 .
(1)求该校报考飞行员的总人数;
(2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据,若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选三人，设X表示体重超过60公斤的学生人数，求X的分布列和数学期望.
分布列与数学期望
离散型随机变量的分布列与数学期望
班级姓名
0
1
2
p
x2
X
1.已知随机变量 的分布列
如右表：则x=。
2.两封信随机投入 三个空邮箱，则
邮箱的信件数 的数学期望 ．
3.某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加学校学生会的
干部竞选．
（1）设所选3人中女生人数为 ，求 的分布列及数学期望；
，………………………………………3分
，………………………………………5分
．………………………………………7分
所以 的分布列为（注：不列表，不扣分）
0
1
2
的数学期望为 ．……………………………………8分
.（2）设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件 ．
则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件 ．
且 , .
所以取出的4个球中恰有1个红球的概率为
.
（3）设 可能的取值为0,1,2,3.
由（1）、（2）得 , , .
所以 .
∴ 的数学期望为 .
5、（1）
（2）：
X
0
1
2
3
P
EX=0 +1 +2 +3 =1
6、解：（1）设报考飞行员的人数为 ,前三小组的频率分别为 ,则由条件可得:
解得 ……4分
又因为 ，故 ……………………………6分
（2）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率．
4.已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球．
（1）求取出的4个球均为黑球的概率；
（2）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；
（3）设 为取出的4个球中红球的个数，求 数学期望．