8第八讲二维随机变量函数的分布与数学期望(22)
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数学期望(二维)
求 随 机 变 量 函 数 Y X 2的 数 学 期 望 .
解 : (法 一 ) 先 求 Y的 分 布 律 为
E(Y )
4
y p
k 1 k k
0 0.25 1 0.40 4 0.25 9 0.10
2.30
(法 二 )
E(Y )
E( X
2)
x p 6
k 1
2 k
k
(2) 2 0.10 (1)2 0.10 02 0.25
)]
k
1
g
(
x
k
)
pk
（2）设X是连续型随机变量，其概率密度为f (x).
若
广
义
积
分
g(x)
f
(x)dx绝
对
收
敛
，
则
E ( Y ) E [ g ( X )] g ( x ) f ( x ) d x
Note：此定理简单易用！若先求出Y的分布,很多题目要复杂的多．
例 2 设 随 机 变 量 X的 分 布 律 为
数学期望（二维）
二维随机变量的数学期望
定义1 对 二 维 随 机 变 量 （ X , Y ） , 它 的 数 学 期 望 为
E（X ,Y） E ( X ), E ( Y )
离散型 P { X xi , Y y j } pij ,
E ( X ) x i p i•
xi p ij ,
i1
i1 j1
连续型 （ X ,Y）, f ( x , y )
i, j 1, 2,
哦 E ( Y )
j 1
y j p j
该公式可y p接i 应1 用j 1
直
ij
！j
二维随机变量函数分布PPT课件
ex x 0
f (x) 0 x0
其中>0，试分别就以上两种联结方式写出L的寿 命Z的概率密度．
第14页/共16页
小结
离散型——分布律 归一性 概率计算
分布函数与分布立场律的互变
边缘分布律
多维随机变量
分布函数 归一性 概率计算
二维随机变量函数的分布
连续型——概率密度 归一性 概率计算
分布函数与概率密度的互变
一般地，设随机变量X1, X2，..., Xn独立且Xi 服从正态分布N(i ,i2),i=1,...,n, 则
n
n
n
ai Xi ~ N(
ai i ,
ai2
2 i
)
i 1
i 1
i 1
第10页/共16页
例3.卡车装运水泥,设每袋水泥的重量X(kg) 服从N(50,2.52)分布,该卡车的额定载重量为 2000kg,问最多装多少袋水泥,可使卡车超载
例1 设二维r.v.( X,Y )的概率分布为
pij X -1
1
2
Y
-1
14 16 18
0
1 4 1 8 1 12
求X Y, X Y, XY,Y X 的概率分布
第1页/共16页
解 根据( X,Y )的联合分布可得如下表格： P 1 4 1 4 1 6 1 8 1 8 1 12
( X,Y ) (-1,-1)(-1,0)(1,-1) (1,0) (2,-1) (2,0) X +Y -2 -1 0 1 1 2 X -Y 0 -1 2 1 3 2 X Y 1 0 -1 0 -2 0 Y / X 1 0 -1 0 -1/2 0
具有可加性的两个离散分布
设 X ~B (n1, p), Y ~B (n2, p), 且独立， 则 X + Y ~ B ( n1+n2, p)
f (x) 0 x0
其中>0，试分别就以上两种联结方式写出L的寿 命Z的概率密度．
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小结
离散型——分布律 归一性 概率计算
分布函数与分布立场律的互变
边缘分布律
多维随机变量
分布函数 归一性 概率计算
二维随机变量函数的分布
连续型——概率密度 归一性 概率计算
分布函数与概率密度的互变
一般地，设随机变量X1, X2，..., Xn独立且Xi 服从正态分布N(i ,i2),i=1,...,n, 则
n
n
n
ai Xi ~ N(
ai i ,
ai2
2 i
)
i 1
i 1
i 1
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例3.卡车装运水泥,设每袋水泥的重量X(kg) 服从N(50,2.52)分布,该卡车的额定载重量为 2000kg,问最多装多少袋水泥,可使卡车超载
例1 设二维r.v.( X,Y )的概率分布为
pij X -1
1
2
Y
-1
14 16 18
0
1 4 1 8 1 12
求X Y, X Y, XY,Y X 的概率分布
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解 根据( X,Y )的联合分布可得如下表格： P 1 4 1 4 1 6 1 8 1 8 1 12
( X,Y ) (-1,-1)(-1,0)(1,-1) (1,0) (2,-1) (2,0) X +Y -2 -1 0 1 1 2 X -Y 0 -1 2 1 3 2 X Y 1 0 -1 0 -2 0 Y / X 1 0 -1 0 -1/2 0
具有可加性的两个离散分布
设 X ~B (n1, p), Y ~B (n2, p), 且独立， 则 X + Y ~ B ( n1+n2, p)
二维随机变量及其分布函数
P抽{X取抽两取0支一,Y都支是绿0}绿笔 笔,一3支 红2笔 3 8 3 , 0 0 2 2 28
P{X 0,Y 1} 3 2 3 8 3 , 01 1 2 14
故 F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y1 ) F ( x1 , y2 ) 0.
4.二维随机变量的分类 二维离散型随机变量及其分布：分布律、分布函数 二维连续型随机变量及其分布：分布密度、分布函数
二、二维离散型随机变量及其分布
1. 定义若二维随机变量 ( X, Y ) 所取的可能值是有限 对或无限可列多对,则称 ( X, Y ) 为二维离散型随机 变量. 2. 二维离散型随机变量的分布律
xi x y j y
其中和式是对一切满足 xi x, y j y 的i, j求和.
三、二维连续型随机变量及其分布
1. 定义对于二维随机变量( X , Y ) 的分布函数 F ( x, y),
如果存在非负的函数 f (x, y) 使对于任意 x, y 有
yx
F ( x, y)
几何上, z f ( x, y) 表示空间的一个曲面.
f ( x, y)d x d y 1,
表示介于 f (x, y)和 xOy 平面之间的空间区域的全部 体积等于1.
P{( X ,Y ) G} f ( x, y) d x d y,
G
P{( X ,Y ) G }的值等于以G为底 , 以曲面z f ( x, y) 为顶面的柱体体积.
一、二维随机变量及其分布 1.二维随机变量的定义
设 E 是一个随机试验, 它的样本空间是 S {e},
设 X X (e) 和 Y Y (e) 是定义在 S 上的随机变量,
P{X 0,Y 1} 3 2 3 8 3 , 01 1 2 14
故 F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y1 ) F ( x1 , y2 ) 0.
4.二维随机变量的分类 二维离散型随机变量及其分布：分布律、分布函数 二维连续型随机变量及其分布：分布密度、分布函数
二、二维离散型随机变量及其分布
1. 定义若二维随机变量 ( X, Y ) 所取的可能值是有限 对或无限可列多对,则称 ( X, Y ) 为二维离散型随机 变量. 2. 二维离散型随机变量的分布律
xi x y j y
其中和式是对一切满足 xi x, y j y 的i, j求和.
三、二维连续型随机变量及其分布
1. 定义对于二维随机变量( X , Y ) 的分布函数 F ( x, y),
如果存在非负的函数 f (x, y) 使对于任意 x, y 有
yx
F ( x, y)
几何上, z f ( x, y) 表示空间的一个曲面.
f ( x, y)d x d y 1,
表示介于 f (x, y)和 xOy 平面之间的空间区域的全部 体积等于1.
P{( X ,Y ) G} f ( x, y) d x d y,
G
P{( X ,Y ) G }的值等于以G为底 , 以曲面z f ( x, y) 为顶面的柱体体积.
一、二维随机变量及其分布 1.二维随机变量的定义
设 E 是一个随机试验, 它的样本空间是 S {e},
设 X X (e) 和 Y Y (e) 是定义在 S 上的随机变量,
二维随机变量及其分布函数
y1
y2
y3
...
p11
p12
p13
...
p21
p22
p23
...
p31
p32
p33
...
例1 设试验E为掷一颗骰子，观察出现的点数，定 义两个随机变量如下
X 表示骰子出现的点数.
1, 当出现奇数点时, Y 2,当出现偶数点时.
试求X与Y的联合分布律．
解 (X，Y)可能取值为(1,1)、(1,2)、(2,1)、(2,2)、(3,1)、(3,2)、 (4,1)、(4,2)、(5,1)、(5,2)、(6,1)、(6,2)．
f (x, y)
1
1 (x2y2)
e 2 2
, x, y
2 2
G {(x, y) | x 2 y 2 2} ， P{( X ,Y ) G}(P{X 2 Y 2 2})
求
．
解 P{(X ,Y )G} f (x, y)dxdy
P{x1 X x2 , y1 Y y2} F(x2 , y2 ) F(x1, y2 ) F(x2 , y1 ) F(x1, y.1 )
y y2 y1
o x1
x2 x
二、二维离散型随机变量
定义 若二维随机变量 (X，Y) 所有可能取的值是有限 对或可列无穷多对，则称 (X，Y) 为二维离散型随机变 量． 设二维离散型随机变量 (X，Y) 所有可能取值为
f (x, y)dxdy
x
y
f
(u, v)dudv．
则称(X，Y)为二维连续型随机变量，称f(x,y)为(X，Y)的概率密度或X、Y的 联合概率密度．
概率论完整二维随机变量及其分布ppt课件
一、二维随机变量 在实际应用中，有些随机现象需要同时用两个或以 上的随机变量来描述. 例如，研究某地区学龄前儿童
前儿童的发育情况时，就要同时抽查儿童的身高 X、 体重Y , 这里，X和 Y是定义在同一样本空间
S{某地区的全部学龄前儿童}
上的两个随机变量. 在这种情况下，我们不但要研究 多个随机变量各自的统计规律，而且还要研究它们之 间的统计相依关系，因而需考察它们的联合取值的统
(x 2 , y2)
y1
O x1
x2 x
图 2.
二维随机变量的分布函数
P { x 1 x x 2 ,y 1 y y 2 } F ( x 2 ,y 2 ) F ( x 2 ,y 1 )
F ( x 1 ,y 2 ) F ( x 1 ,y .1 ).
二维随机变量的分布函数
P { x 1 x x 2 ,y 1 y y 2 } F ( x 2 ,y 2 ) F ( x 2 ,y 1 ) F ( x 1 ,y 2 ) F ( x 1 ,y 1 ). 若已知 (X,Y)的分布函数F(x,y),则可由F(x,y) 导出 X和 Y各自的分布函数 FX(x)和 FY(y):
F X ( x ) P { X x } P { X x , Y } F(x, )
F Y ( y ) P { Y y } P { X , Y y } F (, y)
.
二维随机变量的分布函数
P { x 1 x x 2 ,y 1 y y 2 } F ( x 2 ,y 2 ) F ( x 2 ,y 1 ) F ( x 1 ,y 2 ) F ( x 1 ,y 1 ). 若已知 (X,Y)的分布函数F(x,y),则可由F(x,y) 导出 X和 Y各自的分布函数 FX(x)和 FY(y):
前儿童的发育情况时，就要同时抽查儿童的身高 X、 体重Y , 这里，X和 Y是定义在同一样本空间
S{某地区的全部学龄前儿童}
上的两个随机变量. 在这种情况下，我们不但要研究 多个随机变量各自的统计规律，而且还要研究它们之 间的统计相依关系，因而需考察它们的联合取值的统
(x 2 , y2)
y1
O x1
x2 x
图 2.
二维随机变量的分布函数
P { x 1 x x 2 ,y 1 y y 2 } F ( x 2 ,y 2 ) F ( x 2 ,y 1 )
F ( x 1 ,y 2 ) F ( x 1 ,y .1 ).
二维随机变量的分布函数
P { x 1 x x 2 ,y 1 y y 2 } F ( x 2 ,y 2 ) F ( x 2 ,y 1 ) F ( x 1 ,y 2 ) F ( x 1 ,y 1 ). 若已知 (X,Y)的分布函数F(x,y),则可由F(x,y) 导出 X和 Y各自的分布函数 FX(x)和 FY(y):
F X ( x ) P { X x } P { X x , Y } F(x, )
F Y ( y ) P { Y y } P { X , Y y } F (, y)
.
二维随机变量的分布函数
P { x 1 x x 2 ,y 1 y y 2 } F ( x 2 ,y 2 ) F ( x 2 ,y 1 ) F ( x 1 ,y 2 ) F ( x 1 ,y 1 ). 若已知 (X,Y)的分布函数F(x,y),则可由F(x,y) 导出 X和 Y各自的分布函数 FX(x)和 FY(y):
02-405二维随机变量函数的期望
, = � � 2
4
7
+∞
1 −+
, = � � 2
4
+∞
=�
+∞
−− � −
= ()− () =
从而系统的平均寿命为万小时.
(
),且相互独立
联合密度函数为(,)= ()
1 −+
2
= �4
, > ,>
,
, 其他
系统寿命为{ห้องสมุดไป่ตู้,}.平均寿命为 ({,}).
6
1 −+
2
联合密度函数为(,)=�4
, > ,>
,
, 其他
1 −+
2
(,
平均寿命为
4
+∞ +∞ )
({,})= � �
(, )
,
−∞
−∞
因积分区域关于= 对称,
且被积函数交换,不变. 故
+∞
1 −+
分
度
布
律
为
,
= , = = ,,∈ ℕ+, ⋯ ,
+∞
+∞
若���(,(
),)
,绝对收敛,
−∞ −∞
令= ,,则
+∞
+∞
,) ,
8
谢谢观看!
概率论二维随机变量及其分布课件
FX ( x) F ( x,) FY ( y) F (, y) 分别称 FX ( x)和 FY ( y) 为F ( x, y)关于 X 和Y 的
边缘分布函数. 联合分布函数的性质
完12
联合分布函数的性质
随机变量 ( X ,Y )的联合分布函数
F ( x, y) P{ X x,Y y}.
联合分布函数的性质：
(1) 0 F ( x, y) 1, 且
y
(x, y)
对任意固定的 y, F (, y) 0,
O
x
对任意固定的 x, F ( x,) 0,
F (,) 0, F (,) 1;
注：以上四个等式可从几何上进行说明.
（2）F ( x, y) 关于 x 和 y 均为单调非减函数，即
13
联合分布函数的性质
是定义在 S 上的两个随机变量，称( X ,Y )为定义在 S
上的二维随机变量或二维随机向量.
注： 一般地，称 n 个随机变量的整体 X ( X1, X2 , , Xn )为 n 维随机变量或随机向量.
完
3
二、二维随机变量的分布函数
二维随机变量 ( X ,Y )的性质不仅与 X 及 Y 有关，
而且还依赖于这两个随机变量的相互关系, 故需
F(x, y) P{X x,Y y} 就是随机点 ( X ,Y ) 落入区域
{(t, s) | t x, s y}
的概率(如图1).
由概率的加法法则，随机点( X ,Y ) 落入矩形域
{ x1 x x2 , y1 y y2 }
的概率
P{ x1 x x2 , y1 y y2 } F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 )
4
二维随机变量的分布函数
边缘分布函数. 联合分布函数的性质
完12
联合分布函数的性质
随机变量 ( X ,Y )的联合分布函数
F ( x, y) P{ X x,Y y}.
联合分布函数的性质：
(1) 0 F ( x, y) 1, 且
y
(x, y)
对任意固定的 y, F (, y) 0,
O
x
对任意固定的 x, F ( x,) 0,
F (,) 0, F (,) 1;
注：以上四个等式可从几何上进行说明.
（2）F ( x, y) 关于 x 和 y 均为单调非减函数，即
13
联合分布函数的性质
是定义在 S 上的两个随机变量，称( X ,Y )为定义在 S
上的二维随机变量或二维随机向量.
注： 一般地，称 n 个随机变量的整体 X ( X1, X2 , , Xn )为 n 维随机变量或随机向量.
完
3
二、二维随机变量的分布函数
二维随机变量 ( X ,Y )的性质不仅与 X 及 Y 有关，
而且还依赖于这两个随机变量的相互关系, 故需
F(x, y) P{X x,Y y} 就是随机点 ( X ,Y ) 落入区域
{(t, s) | t x, s y}
的概率(如图1).
由概率的加法法则，随机点( X ,Y ) 落入矩形域
{ x1 x x2 , y1 y y2 }
的概率
P{ x1 x x2 , y1 y y2 } F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 )
4
二维随机变量的分布函数
二维随机变量的函数分布
i0
i0
k
ei 1 1
i0 i!
e ki 2 2
(k i)!
1 e(12 ) k!
k i1
k! i!(k
i)!1i2ki
(1 2 )k e(12 ) k!
，
1.2 连续型随机变量的函数分布
1、Z=X+Y的分布
设 X 与Y 的联合概率密度为 f (x ，y) ，则 Z X Y 的概率密度为
2π
试证明 Z X Y 服从 N(0，2) ．
1.2 连续型随机变量的函数分布
证明 利用卷积公式可得
1 x2 ( z x)2
fZ (z) fX (x) fY (z x)dx 2π e 2 e 2 dx
1
2π
1
e dx ．
2x
z 2
2
z2 2
2
2π
作变量替换，令 2x z t ，则有 2
Fmax (z) FX (z)FY (z)
N=min{X,Y}分布函数 Fmin (z) 1[1 FX (z)][1 FY (z)] ．
1.2 连续型随机变量的函数分布
例3.24 设某种型号的电子元件的寿命（以小时计）近似服从N （160,202)，随机地选取4只，求没有电子元件寿命小于180小时的概率．
求 Z 的分布律．
解
由题意可知
P{X
i}
ei 1 1
(i 0，1，2 ， ) ， P{Y
j}
ej 2 2
( j 0，1，2， ) ，
i!
j!
则 Z X Y 可能取的值为 0，1，2 ， ．因 X 与Y 相互独立，故有
k
k
P{Z k} P{X Y k} P{X i ，Y k i} P{X i}P{Y k i}