条件概率条件分布与条件数学期望
3.6 条件分布与条件期望--概率论课件
-r
r x
2 2
r 2 x2
x r
r x r x
2
2
2
2
0,
1 dy, 2 r
r xr
其他
r xr 其他
2 r 2 x 2 , 2 r 0,
同理，
fY ( y ) f ( x, y )dx
2 r y , r y r 2 r 0, 其他
1 2 2 F | ( x | y ) 为 N a1 ( y a2 ), 1 (1 ) 分布 2
2 2 2 F| ( y | x) 为 N a2 ( x a1 ), 2 (1 ) 分布 1
注意
FX Y ( x y ), f X Y ( x y ) 仅是 x 的函数,
y是常数, 对每一 fY (y) >0 的 y 处, 只要
符合定义的条件, 都能定义相应的函数. FY X ( y x), fY X ( y x) 相仿论述. 类似于乘法公式：
f ( x, y ) f X ( x ) f Y X ( y x ) fY ( y ) f X Y ( x y )
( x a1 )( y a2 )
1 2
( y a2 ) 2 2 2
1 e 2 2
( y a2 )2 2 2 2
1 ( x a1 )2 ( x a1 )( x a2 ) 2 ( y a2 )2 exp 2 2 2 2 2 1 2 2 21 1 2(1 ) 1 1
2 x a1 1 1 y a2 exp 2 2 2(1 ) 1 2 2 1 1
§3.5---条件分布与条件期望
FＸ|Ｙ(x | y) P(Ｘ x |Ｙ y)
lim P(Ｘ x | y Ｙ y y) y0
lim P(Ｘ x, y Ｙ y y) y0 P( y Y y y)
lim F (x, y y) F (x, y) 分子、分母同除 y y0 FY ( y y) FY ( y)
Pij PJ
i=1，2，.....
Pj|i
Pij Pi
j=1，2，........
例3.5.5.设(X, Y)的联合密度为：
P( x,
y)
24(1
0
x)
y
0 x 1, 0 y x 其它
求条件密度函数 PX|Y (x | y)和 PY|X ( y | x)
解:PX (x)
P(x, y)dy
5 4 20
PX 0，Y 1 P(X 0)P(Y 1| X 0) 2 3 6
5 4 20
PX 1，Y 0 P(Y 1)P(Y 0 | X 1)
32 6 5 4 20
PX 1，Y 1 P(X 1)P(Y 1| X 1)
32 6 5 4 20
XY 0 1
0
2
6
20 20
1
Ｘ|Ｙ 3 1
2
P
4/7 3/7
例3.5.3 设随机变量Ｘ，Ｙ独立，Ｘ P（1），Ｙ P（2）
在Ｘ Ｙ n 条件下，求X 的条件分布？
解：由已知条件和泊松分布的可加性得：ＸＹ P（1 2）
所以 P(Ｘ k |ＸＹ n)
P(Ｘ k, ＸＹ P(ＸＹ n)
n)
P(Ｘ k ,Ｙ n k) P(ＸＹ n)
6
6
20 20
第三章 条件概率与条件期望
2012/3/2
Copyright©Pei Zhang ,2012
6
例3.2
• 有n个零件，零件i在雨天运转的概率为pi， 在非雨天运转的概率为qi，i=1,2，……,n。 明天下雨的概率为。计算在明天下雨时， 运转的零件数的条件期望。
2012/3/2
Copyright©Pei Zhang ,20Zhang ,2012
12
例3.6（几何分布的均值）
• 连续抛掷一枚正面出现的概率为p的硬 币直至出现正面为止，问需要抛掷的 次数的期望是多少？
2012/3/2
Copyright©Pei Zhang ,2012
13
例3.7
• 某矿工身陷在有三个门的矿井之中，经 第1个门的通道行进2小时后，他将到达 安全地。经第二个门的通道前进3小时 后，他将回到原地。经过第三个门的通 道前进5小时后，他还是回到原地。假 定这个矿工每次都等可能地选取任意一 个门，问直到他到达安全地所需时间的 期望是多少？
• 连续地做每次成功率为p的独立试验。N 是首次成功时的试验次数，求Var（N）
2012/3/2
Copyright©Pei Zhang ,2012
16
三、通过取条件期望计算概率
• E是一个事件，定义示性随机变量X为：
1，若E发生 X 0，若E不发生 由X的定义推出： E[X]=P(E) E[X|Y=y]=P(E|Y=y)
7
第二节
连续随机变量的条件概率与条件期望
• X和Y是连续随机变量，联合密度函数为 f(x,y)，那么在Y=y时X的条件概率密度函数 定义为：
f ( x, y ) f X |Y ( x | y) fY ( y )
• 给定Y=y时X的条件期望定义为：
条件概率,条件分布,条件期望
FX Y ( x y )
x
y
f X Y ( x y ) d x [ f ( x , y ) fY ( y )]d x .
y
x
FY X ( y x )
说明
fY X ( y x ) d y [ f ( x , y ) f X ( x )]d y .
定义
设二维随机变量( X ,Y ) 的概率密度为
f ( x , y ), ( X ,Y ) 关于 Y 的边缘概率密度为 fY ( y ).若 f ( x, y) 对于固定的 y , fY ( y ) 0, 则称 为在Y y fY ( y ) 的条件下 X 的条件概率密度 , 记为 f ( x, y) f X Y ( x y) . fY ( y )
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.
二
条件分布
一、离散型随机变量的条件分布
问题
考虑一大群人, 从其中随机挑选一个人 , 分别 用 X 和 Y 记此人的体重和身高 , 则X 和 Y 都是随 机变量, 他们都有自己的分布 .
现在如果限制Y 取值从1.5 m 到1.6 m , 在这个限制下求X 的 分布 .
一 条件概率 (Conditional Probability) 条件概率是指在事件A发生的条 件下，另一事件B发生的概率，记用 P（B|A）.
引例 从所有有两个孩子的家庭随机抽取一个家庭记录男 孩女孩的情况。
则试验所有可能的结果为（男孩记为“b”，女孩记为“g”） (b，b) (b，g) (g，b) (g，g) 设A={ 至少一个男孩}， B ={ 至少一个女孩}， 考虑在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
定义 设 ( X ,Y ) 是二维离散型随机变量 , 对于固定
条件分布与条件期望
这表明，二元正态分布的条件分布仍为正态分布：
1 2 2 N r y ， 1 r 2 1 1 2
．
31
二．条件数学期望
32
1．条件数学期望的概念
33
条件分布的数学期望称为条件数学期望．
34
对于离散型随机变量，当 Y y j 时，随机变量 X 的条 件分布律为
1 2 PX Y n
n!
n
e
1 2
．
所以，当 X Y n 时， X 的取值为 0, 1,
2, , n ．
13
PX k X Y n
PX k , X Y n PX k , Y n k PX Y n PX Y n
PX k PY n k k! n k ! PX Y n 1 2 n e 1 2 n!
n! 1 k!n k ! 1 2
k
1k
e 1
2 n k
e 2
2 2 1
17
所以，
PY k PX nP Y k X n
n 0
PX nP Y k X n PX nP Y k X n
n 0 nk
k 1
n 0
k 1
n
n!
e 0
nk
n
n!
e C p 1 p
f X x 0 ．
26
例
设二维随机变量 X , Y 服从平面区域
x, D
y:
x y 1
条件分布律条件分布函数条件概率密度ppt课件
第三章 随机变量及其分布
一、随机变量的独立性
§4随机变量的独立性
设 (X， Y )是二维随机变量，其联合分布函数为 F (x， y) ，又随机变量X 的分布函数为FX (x)， 随机变量Y 的分布函数为FY ( y)．
如果对于任意的x， y，有
F (x， y) FX (x) FY (y)
则称 X， Y 是相互独立的随机变量．
第三章 随机变量及其分布
一 、离散型随机变量的条件分布律
§3条件分布
设 ( X ,Y ) 是二维离散型随机变量，其分布律为 P{ X= xi ,Y= yj }= pi j , i , j=1,2,...
(X, Y ) 关于 X 和关于 Y 的边缘分布律分别为：
P{ X xi } pi• pi j , i 1,2, j 1
1 2
- 2)
(y
- 2 )2
2 2
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第三章 随机变量及其分布
又随机变量Y 的边缘密度函数为
§3条件分布
fY (y)
1
- ( y-2 )2
e 2
2 2
2 2
(- < y < )
因此，对任意的 y，fY ( y) 0，
( ) ( ) f X Y
xy
f (x， y) fY (y)
所以，当0 < y < 1时， 0,
其它.
fY (y) f (x，
-
y)dx
y 1 dx - ln(1 -
0 1- x
y
y).
所以，随机变量 Y 的密度函数为
1
fY
(y)
ln(1 -
0,
y),
计量经济学中的“条件”与“无条件”
计量经济学中的“条件”与“⽆条件”初学者难免困惑于计量经济学中诸多的 “条件” 与 “⽆条件”，⽐如条件概率与⽆条件概率，条件分布与⽆条件分布，条件期望与⽆条件期望，条件⽅差与⽆条件⽅差，条件中位数与⽆条件中位数，条件分位数与⽆条件分位数。
这些 “条件” 与 “⽆条件” 的概念，究竟有什么区别与联系，在实践中⼜该如何应⽤呢？本⽂将为你逐⼀辨析。
条件概率 vs ⽆条件概率什么是概率？简单说，概率（probability）就是在⼤量重复试验下，随机事件发⽣的频率趋向的某个稳定值。
⽐如，记随机事件 “下⾬” 为，则其发⽣的概率⼀般记为。
“⽆条件概率”（unconditional probability）其实就是我们⼀般所说的概率，只是为了与 “条件概率” 相区别，有时才强调它是 “⽆条件的”。
事实上，计量经济学更关⼼条件概率。
⽐如，记事件 “出太阳” 为，则在出太阳的前提条件下降⾬的 “条件概率” (conditional probability) 可定义为其中，为与同时发⽣的概率，参见下⾯的维恩图（Venn diagram）。
在此图中，矩形的⽅框表⽰整个世界（包括所有可能的随机试验结果，即样本空间），不妨将其⾯积标准化为 1。
圆形的⾯积即为事件发⽣的（⽆条件）概率，⽽圆形的⾯积则为事件发⽣的（⽆条件）概率。
考虑在给定发⽣情况下，发⽣的条件概率。
此时，世界所处的状态只能是，⽽之外的状态均为不可能。
进⼀步，在发⽣的情况下，如果也发⽣，则表明与同时发⽣，故为集合与集合的交集，即。
因此，将此交集的概率除以 “全集” 的发⽣概率，即为在给定发⽣情况下，发⽣的条件概率。
在实践中，究竟应该使⽤（⽆条件）概率还是条件概率呢？看⼀个简单例⼦就能明⽩。
⽐如，假设股市崩盘的（⽆条件）概率为万分之⼀；⽽在经济陷⼊严重萧条的情况下，股市崩盘的条件概率为百分之⼀。
此时，如果已知经济已陷⼊严重萧条，你会使⽤哪种概率来预测股市崩盘的可能性呢？如果仍使⽤万分之⼀的⽆条件概率，就显得过于僵化，因为既然经济已经严重萧条，⾃然应将此条件考虑在内，⽽使⽤百分之⼀的条件概率。
第六章条件概率与条件期望
第六章 条件概率与条件期望6.1 定义和性质设为概率空间，),,(P F ΩF ∈B 且，记0)(>B P ())()()(B P AB P B A P A P B ==),P ，，则易证明为概率空间。
考虑F ∈∀A ),,(B P F Ω,(F Ω上的随机变量ξ在此概率空间上的积分，若存在则称它为∫ΩξB dP ξ在给定事件B 之下的条件期望，记为(B E ξ)，即()B ∫Ω=B dP ξE ξ。
命题1：若ξE 存在，则(B E ξ)存在且()∫=BdP B P B E ξξ)(1。
由此可见，ξ在给定事件B 之下的条件期望的意义是ξ在B 上的“平均值”。
此外给定事件在给定事件A B 的条件概率)B ()(I E B A P A =0)(>n B P 可看成条件期望的特殊情形。
设{}为的一个分割且，令F ⊂n B Ω)2,1,L =(=n n B σA ，则。
若F A ⊂ξE 存在，()∑为nE B n I n B ξ),A (Ω上的可测函数，称其为给定σ-代数A 之下关于P 的条件期望，记作()A ξE ，即()()∑=E ξA nB n I ξn B E 。
命题2：A ∈B ∀且，0)(>B P ()()∫=BdP E B P B E A ξξ)(1。
证明：A ∈B ∀，{L ,2,1⊂}∃K 使得∑∈=K i i B B ，()()()()∑∫∫∑∑∫∑∫∈∈=====K i BB Ki i i nn n BnB nBdPdP B P B E B B P B E dP IB E dP E inξξξξξξ)()(I A由此可见，若称满足下式的(),A Ω上的可测函数()A ξE 为ξ在给定σ-代数A 的条件期望：()∫∫=BBdP dP E ξξA ，A ∈∀B则由于不定积分，∫=BdP B v ξ)(A ∈∀B 为),(A Ω上的符号测度且v ，由Radon-Nikodym 定理存在唯一的(P <<P s a ..),A Ω上的可测函数满足上式，即()dPdvE =A ξ(Ω，故由命题2，两者定义一样。
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解 设B表示取得一等品，A表示取得合格品，则
（1）因为100 件产品中有 70 件一等品，P(B) 70 0.7
（2）方法1：因为95
件合格品中有
70
100 件一等品，所以
Q B AAB B
P(B A) 70 0.7368
方法2：
95
P(B
A)
P( AB) P( A)
70 95
100 100
P B A P(AB) n(AB) P(A) n(A)
例1：在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果 不放回地依次抽取2道题，求： （1）第一次抽取到理科题的概率； （2）第一次和第二次都抽取到理科题的概率；
解：设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题 为事件B，则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB.
解：设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题 为事件B，则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB.
（2）Q n( AB) A32 6
P( AB) n( AB) 6 3 n() 道文科题，如果 不放回地依次抽取2道题，求： （1）第一次抽取到理科题的概率； （2）第一次和第二次都抽取到理科题的概率；
在原样本空间 的概率
称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率。 一般把P(B|A)读作A发生的条件下B的概率。 注意： （1）条件概率的取值在0和1之间，即0≤P(B|A) ≤1 （2）如果B和C是互斥事件，则
P(B∪C |A)= P(B|A)+ P(C|A)
反思
求解条件概率的一般步骤： （1）用字母表示有关事件 （2）求P(AB），P(A)或n(AB),n(A) ( 3 )利用条件概率公式求
法三：第一次抽到理科题，则还剩下两道理科、 两道文科题，故第二次抽到理科题的概率为1/2
例2 一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字
都可从0—9中任选一个。某人在银行自动取款 机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：
（1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对 的概率；
（2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超 过2次就按对的概率。
解1：设A={出现的点数不超过3}＝｛１，２，３｝ B={出现的点数是奇数} ＝｛１，３，５｝
只需求事件 A 发生的条件下，
事件 B 的概率即Ｐ（B｜A）
51
B3
A
2
P(B | A) n( AB) 2
4,6
n( A) 3 解法一（减缩样本空间法）
例 2 考虑恰有两个小孩的家庭.
（1）若已知 某一家有一个女孩，求这家另一个是男孩 的概率；
2.2.1 条件概率
浙江省富阳市新登中学高二数学备课组 2013-3-17
复习引入：
事件概率加法公式：
若事件A与B互斥，则. P( A U B) P( A) P(B)
注: 1.事件A与B至少有一个发生的事件叫做A与B的
和事件,记为 A U B (或 A B );
2.事件A与B都发生的事件叫做A与B的积事件,
（2）若已知某家第一个是男孩，求这家有两个男孩 （相当于第二个也是男孩）的概率
（假定生男生女为等可能）
例3
设P(A|B)=P(B|A)=
（1）从5道题中不放回地依次抽取2道的事件数为
n() A52 20
根据分步乘法计数原理，n( A) A31 A41 12
P( A) n( A) 12 3 n() 20 5
例1、在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回 地依次抽取2道题，求： （1）第一次抽取到理科题的概率； （2）第一次和第二次都抽取到理科题的概率；
(1)P( A)
P( A1)
P(
A1 A2
)
1 10
9g1 10g9
1 5
(2)P(A |
B)
P( A1
|
B)
P( A1A2
|
B)
1 5
4g1 5g4
2 5
练习：设 100 件产品中有 70 件一等品，25 件二
等品，规定一、二等品为合格品．从中任取1 件，
求 (1) 取得一等品的概率；
(2) 已知取得的是合格品，求它是一等品的概率．
（3）在第一次抽到理科题的条件 下，第二次抽到理科题的概率。
法一：由（1）（2）可得，在第一次抽到理科题
的条件下，第二次抽到理科题的概率为
3
P(B
A)
P( AB) P( A)
10 3
1 2
5
法二：因为n(AB)=6，n(A)=12，所以
P(B A) n( AB) 6 1 n( A) 12 2
由古典概型可知，最后一名同学抽到中奖奖券的
概率为：P(B) n(B) 1 n() 3
一般地，我们用来 表示所有基本事件 的集合，叫做基本 事件空间（或样本 空间）
如果已经知道第一名同学没有抽到中奖 奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券 的概率又是多少？
“第一名同学没有抽到中奖奖券”为事件A “最后一名同学抽到中奖奖券”为事件B 第一名同学没有抽到中奖奖券的条件下，最后 一名同学抽到中奖奖券的概率记为P(B|A）
记为 A I B (或 AB );
3.若 AB 为不可能事件,则说事件A与B互斥.
三张奖券中只有一张能中奖，现分别 由3名同学无放回地抽取，问最后一 名同学抽到中奖奖券的概率是否比前
两位小？
解：记“最后一名同学中奖”为事件B Ω 为所有结果组成的全体
B
一般地，n(B)表示 事件B包含的基本 事件的个数
二、内涵理解:
为什么上述例中P(B|A) ≠ P(B)？ 样本空间不一样 P(B)以试验下为条件,样本空间是
P(B|A)以A发生为条件,样本空间缩小为A
Ω
B
A
P(B |A)相当于把Ａ看作 新的样本空间求AB发生 的概率
条件概率的定义：
一般地，设A，B为两个事件，且P(A)>0，则
P(B A) P( AB) P( A)
0.7368
B 70 95A
5
反思
求解条件概率的一般步骤： （1）用字母表示有关事件 （2）求P(AB），P(A)或n(AB),n(A) ( 3 )利用条件概率公式求
P B A P(AB) n(AB) P(A) n(A)
例题2 在某次外交谈判中，中外双方都为了自身的利益 而互不相让，这时对方有个外交官提议以抛掷一 颗骰子决定,若已知出现点数不超过3的条件下再 出现点数为奇数则按对方的决议处理，否则按中 方的决议处理，假如你在现场，你会如何抉择？