条件分布与期望(1)2010122002
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3.6 条件分布与条件期望--概率论课件
=
-r
r x
2 2
r 2 x2
x r
r x r x
2
2
2
2
0,
1 dy, 2 r
r xr
其他
r xr 其他
2 r 2 x 2 , 2 r 0,
同理，
fY ( y ) f ( x, y )dx
2 r y , r y r 2 r 0, 其他
1 2 2 F | ( x | y ) 为 N a1 ( y a2 ), 1 (1 ) 分布 2
2 2 2 F| ( y | x) 为 N a2 ( x a1 ), 2 (1 ) 分布 1
注意
FX Y ( x y ), f X Y ( x y ) 仅是 x 的函数,
y是常数, 对每一 fY (y) >0 的 y 处, 只要
符合定义的条件, 都能定义相应的函数. FY X ( y x), fY X ( y x) 相仿论述. 类似于乘法公式：
f ( x, y ) f X ( x ) f Y X ( y x ) fY ( y ) f X Y ( x y )
( x a1 )( y a2 )
1 2
( y a2 ) 2 2 2
1 e 2 2
( y a2 )2 2 2 2
1 ( x a1 )2 ( x a1 )( x a2 ) 2 ( y a2 )2 exp 2 2 2 2 2 1 2 2 21 1 2(1 ) 1 1
2 x a1 1 1 y a2 exp 2 2 2(1 ) 1 2 2 1 1
-r
r x
2 2
r 2 x2
x r
r x r x
2
2
2
2
0,
1 dy, 2 r
r xr
其他
r xr 其他
2 r 2 x 2 , 2 r 0,
同理，
fY ( y ) f ( x, y )dx
2 r y , r y r 2 r 0, 其他
1 2 2 F | ( x | y ) 为 N a1 ( y a2 ), 1 (1 ) 分布 2
2 2 2 F| ( y | x) 为 N a2 ( x a1 ), 2 (1 ) 分布 1
注意
FX Y ( x y ), f X Y ( x y ) 仅是 x 的函数,
y是常数, 对每一 fY (y) >0 的 y 处, 只要
符合定义的条件, 都能定义相应的函数. FY X ( y x), fY X ( y x) 相仿论述. 类似于乘法公式：
f ( x, y ) f X ( x ) f Y X ( y x ) fY ( y ) f X Y ( x y )
( x a1 )( y a2 )
1 2
( y a2 ) 2 2 2
1 e 2 2
( y a2 )2 2 2 2
1 ( x a1 )2 ( x a1 )( x a2 ) 2 ( y a2 )2 exp 2 2 2 2 2 1 2 2 21 1 2(1 ) 1 1
2 x a1 1 1 y a2 exp 2 2 2(1 ) 1 2 2 1 1
条件概率,条件分布,条件期望
FX Y ( x y )
x
y
f X Y ( x y ) d x [ f ( x , y ) fY ( y )]d x .
y
x
FY X ( y x )
说明
fY X ( y x ) d y [ f ( x , y ) f X ( x )]d y .
定义
设二维随机变量( X ,Y ) 的概率密度为
f ( x , y ), ( X ,Y ) 关于 Y 的边缘概率密度为 fY ( y ).若 f ( x, y) 对于固定的 y , fY ( y ) 0, 则称 为在Y y fY ( y ) 的条件下 X 的条件概率密度 , 记为 f ( x, y) f X Y ( x y) . fY ( y )
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.
二
条件分布
一、离散型随机变量的条件分布
问题
考虑一大群人, 从其中随机挑选一个人 , 分别 用 X 和 Y 记此人的体重和身高 , 则X 和 Y 都是随 机变量, 他们都有自己的分布 .
现在如果限制Y 取值从1.5 m 到1.6 m , 在这个限制下求X 的 分布 .
一 条件概率 (Conditional Probability) 条件概率是指在事件A发生的条 件下，另一事件B发生的概率，记用 P（B|A）.
引例 从所有有两个孩子的家庭随机抽取一个家庭记录男 孩女孩的情况。
则试验所有可能的结果为（男孩记为“b”，女孩记为“g”） (b，b) (b，g) (g，b) (g，g) 设A={ 至少一个男孩}， B ={ 至少一个女孩}， 考虑在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
定义 设 ( X ,Y ) 是二维离散型随机变量 , 对于固定
条件分布与条件期望
这表明，二元正态分布的条件分布仍为正态分布：
1 2 2 N r y ， 1 r 2 1 1 2
．
31
二．条件数学期望
32
1．条件数学期望的概念
33
条件分布的数学期望称为条件数学期望．
34
对于离散型随机变量，当 Y y j 时，随机变量 X 的条 件分布律为
1 2 PX Y n
n!
n
e
1 2
．
所以，当 X Y n 时， X 的取值为 0, 1,
2, , n ．
13
PX k X Y n
PX k , X Y n PX k , Y n k PX Y n PX Y n
PX k PY n k k! n k ! PX Y n 1 2 n e 1 2 n!
n! 1 k!n k ! 1 2
k
1k
e 1
2 n k
e 2
2 2 1
17
所以，
PY k PX nP Y k X n
n 0
PX nP Y k X n PX nP Y k X n
n 0 nk
k 1
n 0
k 1
n
n!
e 0
nk
n
n!
e C p 1 p
f X x 0 ．
26
例
设二维随机变量 X , Y 服从平面区域
x, D
y:
x y 1
条件概率、条件分布与条件数学期望
A)
P(AB) P(A)
10 3
1 2
5
法二：因为n(AB)=6，n(A)=12，所以
P(BA)n(AB)61 n(A) 12 2
法三：第一次抽到理科题，则还剩下两道理科、 两道文科题，故第二次抽到理科题的概率为1/2
例2 一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字
都可从0—9中任选一个。某人在银行自动取款 机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：
Ω
B
A
P(B |A)相当于把Ａ看作 新的样本空间求AB发生 的概率
条件概率的定义：
一般地，设A，B为两个事件，且P(A)>0，则
P(B A) P(AB) P( A)
在原样本空间 的概率
称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率。 一般把P(B|A)读作A发生的条件下B的概率。 注意： （1）条件概率的取值在0和1之间，即0≤P(B|A) ≤1 （2）如果B和C是互斥事件，则
只需求事件 A 发生的条件下，
事件 B 的概率即Ｐ（B｜A）
51
B3
A
2
P(B| A)n(AB) 2
4,6
n(A) 3 解法一（减缩样本空间法）
例 2 考虑恰有两个小孩的家庭.
（1）若已知 某一家有一个女孩，求这家另一个是男孩 的概率；
（2）若已知某家第一个是男孩，求这家有两个男孩 （相当于第二个也是男孩）的概率
由 古 典 概 型 可 知 ， 最 后 一 名 同 学 抽 到 中 奖 奖 券 的
概 率 为 ： P(B)n(B)1 n( ) 3
一般地，我们用来 表示所有基本事件 的集合，叫做基本 事件空间（或样本 空间）
思考1：
如果已经知道第一名同学没有抽到中奖 奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券 的概率又是多少？
条件分布与条件期望
p j P Y y j pij 0
i
的 y j ，称
P X xi Y y j
P X xi , Y y j
2,
3,
为在给定 Y y j 条件下，随机变量 X 的条件分布列．
7
同理，对一切使得
pi PX xi pij 0
布（无此限制下体重的分布）会有很大的不同．
4
1．离散型随机变量的条件分布
5
设二维离散型随机变量 X , Y 的联合分布列为
pij P X xi , Y y j ， i 1, 2, , j 1, 2, ．
仿照条件概率的定义，我们很容易地如下给出离散型随机变量的 条件分布列．
6
定义 5.1 对一切使得
件下， X i 的取值为 0 或者1．而且
P
Xi 0 X1 X2
Xn r
PXi 0, PX1
X1 X2 X2
Xn
Xn r
r
PX i
0,
X1 X i1 X i1
PX1 X 2 X n r
Xn
r
22
1 p Cnr1 pr 1 p Cnr pr 1 p nr
是 p 0 p 1 ， 设 X i 表 示 第 i 次 试 验 中 成 功 的 次 数 ， i 1, 2, , n ．试在 X1 X 2 X n r 0 r n 的条件下，给出 X i 1 i n的分布列．
21
解：
由于 X1 X 2 X n ~ Bn, p，所以在 X1 X 2 X n r 的条
17
所以，
P Y
k
PX
nPY
k
X
n
n0
k 1
PX
nPY
k
§3.5 条件分布与条件期望
P(Ｘ x, y Ｙ y y ) lim y 0 P( y Y y y )
y 0
F ( x, y y) F ( x, y) lim y 0 F ( y y ) F ( y ) Y Y
分子、分母同除 y
[ F ( x, y y ) F ( x, y )]/ y lim y 0 [ F ( y y ) F ( y )]/ y Y Y
例3. . .设(X, Y)的联合密度为： 55 24(1 x) y 0 x 1, 0 y x P( x, y ) 其它 0 求条件密度函数 PX|Y ( x | y )和 PY|X ( y | x)
解:PX ( x) P( x, y)dy 24(1 x) ydy
一、离散场合下的条件分布
例2.2.1 袋中有5个形状相同的球，其中3个新的，个旧的， 2 从中任取一球，无返回地取两次， 1 第一次取新球 1 第二次取新球 设 X Y 第一次取旧球 第二次取旧球 0 0 求 X，Y 得联合分布列，边际分布列，条件分布列。 2 1 2 解：P X 0，Y 0 P(X 0)P(Y 0 | X 0) 5 4 20
P X 0，Y 1 P(X 0)P(Y 1| X 0)
2 3 6 5 4 20 3 2 6 P X 1，Y 0 P(Y 1)P(Y 0 | X 1) 5 4 20 3 2 6 P X 1，Y 1 P(X 1)P(Y 1| X 1) 5 4 20
P( x，y) PY ( y)P( x | y)
求关于X的边际密度函数：
PX ( x)
概率论与数理统计3-6 条件分布与条件期望、回归与第二回归
p(u, y)du.
1 yy
lim
[ p(u, v)du]dv.
y0 y y
lim
y0
1 y
y y y
p
(u)dv
p
( y)
0.
F
(
x
y)
x
p(u, y) p ( y)
du.
由此可见：在 y的条件下，的分布列仍是
§3.6 条件分布与条件期望、回归 与第二回归
一、条件分布
在离散型R.V中，我们利用条件概率公式
P(A B)
P( AB) , P(B)
P(B)
0.
求出了离散型R.V .的条件分布列:P(
xi
yj)
Pi
.
j
类似的问题对连续型R.V .也存在.
由于连续型R.V .取单点值的概率为零，所以用分布列
lim P( x, y y y) . y0 P( y y y)
P( x, y y y)
lim
.
y0 P( , y y y)
设(,)的p d f 为p(x, y),则上式又变为
x yy
密度为P ( y
那么称 xP (
x y
), 如果
x
P
(y
x
x )dx为在(
)dx . y)发生的条件下的条件
数学期望，记为 E( y).即
E(
y)
xP
(y
§3.5条件分布与条件期望
解 由题意知随机变量 ( X ,Y ) 的概率密度为
1 π , x 2 + y 2 ≤ 1, p( x , y ) = 0, 其 它.
已知条件概率密度
p( x , y ) p( x y ) = , pY ( y )
又知边际概率密度为
pY ( y ) =
∫
+∞ −∞
p( x , y ) d x
x −∞
p( u, y ) d u. pY ( y )
同理, 定义在 X = x 的 条件下 Y 的 条件概率 密度为
p( x, y ) p( y x ) = pX ( x )
⇔
p( x, y ) = pX ( x ) p( y x ).
称∫ p( y x )d y = ∫
−∞
y
x
−∞
p(u, y ) d u 在 X = x 的条件下, pY ( y)
(1) 求在Y = 1 的条件下,X 的条件分布列; (2) 求在 X = 0 的条件下, 的条件分布列. Y
解 由上述分布律的表格可得
P{ X = 0,Y = 1} 0.030 2 = = , P{ X = 0 Y = 1} = 0.045 3 P{Y = 1}
P{ X = 1,Y = 1} 0.010 2 P{ X = 1 Y = 1} = = = , P{Y = 1} 0.045 9
2 2 1 1− y dx = 1 − y 2 , − 1 ≤ y ≤ 1, ∫− 1− y 2 = π π 0, 其他 .
于是当 − 1 < y < 1 时, 有
1π 1 , − 1 − y2 ≤ x ≤ 1 − y2 , = p( x y) = (2 π ) 1 − y2 2 1 − y2 其他 . 0,
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−∞
+∞
例3 矿工困在矿井里，他的面前有三扇门，走第一 扇门3个小时后到达安全区；第二扇门走5个小时又 ∑ E ( X | Y = y j ) p (Y = 回到原处；第三扇门走7个小时也回到原处。y j ) 离散 j E( X ) = +∞ 假定矿工总是等可能地在三个门中选择一个，试求他 E ( X | Y = y ) pY ( y )dy 连续 ∫−∞ 的平均要用多少时间到达安全区。
−∞
p ( x, y ) = p ( x | y ) pY ( y ) p X ( x) = ∫ p ( x | y ) pY ( y )dy
−∞ +∞
二、条件数学期望
∑ xi P ( X = xi | Y = y ) 离散 i E ( X | Y = y) = +∞ ∫ xp( x | y )dx 连续 −∞
例2 设（X,Y）服从G={(x,y)|x2+y2≤1}上的均匀分布， 试求给定Y=y的条件下X的条件密度函数p(x|y) • 解：
1 p ( x, y ) = π 0 x2 + y2 ≤ 1 其他
2 1− y2 pY ( y ) = π • Y的边际密度函数为 0 • 当-1<y<1时，有 1 1 p( x, y) = π = p( x | y) = 2 2 2 1− y2 pY ( y) 1− y
P ( X = 1 | Y = 3) =
X 1 2 Pj
Y 1 0.1 0.2
0.3
2 0.3 0.05
0.35
3 0.2 0.15
0.35
Pi
0.6 0.4
P ( X = 1, Y = 3) 0.2 4 = = 0.35 7 P (Y = 3)
练习:198页 7、8
P ( X = 2, Y = 3) 0.15 3 P( X = 2 | Y = 3) = = = P(Y = 3) 0.35 7
p i| j = P ( X = x i | Y = y j ) =
• 给定X= xi 条件下的X的条件分布列
p j|i = P(Y = y j | X = xi ) =
P ( X = xi , Y = y j ) P ( X = xi )
=
pij pi•
例1 设二维随机变量（X,Y）的联合分布列为 • 求P(X|Y=3) • 求P(X|Y=2) 求P(X|Y=1) • 求P(Y|X=1) • 求P(Y|X=2)
2、连续随机变量的条件分布
• 定义 p( x, y) p(x | y) = • 对一切使pY(y)>0的 pY ( y) y，给定Y= y 条件下 X的条件密度函数和 P( X ≤ x | Y = y) = 分布函数
p(u, y) ∫−∞ pY ( y) du
x
p ( x, y ) • 对一切使pX(x)>0的 p( y | x) = x，给定X= x 条件下 p X ( x) Y的条件密度函数和 y p ( x, v ) 分布函数 P(Y ≤ y | X = x) = ∫ dv −∞ p ( x) X
注意： 1、E(X|Y=y) 是y的函数 记g(y)= E(X|Y=y) 2、与E(X)含义的不同 3、条件期望是条件分布的期望，因此具有期望的 一切性质
重期望公式
• 定理 设（X,Y）是二维随机变量，且E(X)存在，则 E(X)= E{E(X|Y)} 证明
∑ E ( X | Y = y j ) p (Y = y j ) 离散 j E( X ) = +∞ E ( X | Y = y ) p Y ( y ) dy 连续 ∫− ∞
• 无法列出X的分布列，无法求出E(X) • 新思路：设Y=i:第一次所选择的门 i=1,2,3 • E(X)=E{E(X|Y)} P(Y=1)= P(Y=2)= P(Y=3)=1/3 • E(X|Y=1)=3 E(X|Y=2)=5+ E(X) E(X|Y=3)=7+ E(X)
• E(X)=1/3*[3+5+E(X)+7+E(X)]=1/3*(15+2E(X)) • E(X)=15
条件分布与条件期望
一、条件分布
• 一条裤子有哪些要素组成 呢？ • 中国女性的裤长是多少呢？ • 身高为1.6m的中国女性， 裤长应该是多少呢？
二维随机变量（X,Y），在给定条件Y=y时，求X 的分布【X的条件分布】
1、离散随机变量的条件分布
• 定义 • 给定Y=
yj 条件下的X的条件分布列
P ( X = xi , Y = y j ) P(Y = y j ) = pij p• j
−1 ≤ y ≤ 1 其他
当y=0时可得 ？ 练习：197页2
π
当 − 1− y2 ≤ x ≤ 1− y2
3、连续场合的全概率公式
p ( x, y ) p ( y | x) = p X ( x)
p ( x, y ) = p ( y | x ) p X ( x )
求Y的边际密度函数
+∞
同理
pY ( y ) = ∫ p ( y | x) p X ( x)dx
+∞ +∞ −∞ −∞
E (X) = ∫∫ xp(x, y)dxdy = ∫
+∞ +∞
∫
xp( x | y ) pY ( y )dxdy
+∞
= ∫ {∫ xp( x | y )dx} pY ( y )dy = ∫ E ( X | Y = y ) pY ( y )dy
−∞ −∞ −∞
= ∫ g ( y ) pY ( y )dy = E ( g (Y )) = E ( E ( X | Y ))