概率论-3.3 条件分布
概率论与数理统计3.3条件分布
f (x, y) fX (x)
1 2x
,
0,
x y x, 其它。
(3)
P{ X
1 |Y
0}
P{ X
1 ,Y 2
0}
2
P{Y 0} y
(1
1) 2
1 2
2
3
1 11
4
0
2
yx
11
x
2
12
条件分布
例 设二维随机变量 (X ,Y )服从正态分布,即有
X， Y ~
N
1，
2，
2，
1
2，
0 x y 1,
所以,当0<y<1时
0,
其 它.
fY y
f
x，
ydx
y
0
1 1 x
dx
ln1
y
y.
所以,随机变量Y的密度函数为
1
fY
y
ln1
0,
y,
0 y 1, 其 它.
0
1x
16
xy
f x， y fY y
2
1
2 1
1r2
exp
2
2 1
1 1
r2
x
1
r
1 2
y
2
2
x
结论 二元正态分布的条件分布是一元正态分布,即
N
1
1 2
y
2
，
2 1
1 2
14
条件分布
例 设随机变量X服从区间(0,1)上的均匀分布,当 0<x<1时,随机变量Y在X=x的条件下服从区间(x,1) 上的均匀分布,试求随机变量Y的密度函数.
概率论与数理统计第三章
x y 1
y=x G D O 1 x+y=1 x
f ( x, y )dxdy
(2)
P(Y X )
2
dx
0
1
x
2
x
2dy 1 / 3 .
y 1 0
y = x2
y=x G
1 x
(3) P(| X | 0.3) P(0.3 X 0.3)
pij P( X xi ) P(Y y j X xi ) .
例3.1.1 设随机变量X在1,2,3三个整数中等可能取值，另一个随机 变量Y在1~X中等可能地取一整数值，求(X,Y)的概率分布。
解：由假设，随机变量X的可能取值为1,2,3. 而Y≤X，故Y 的可能取值范围也 为1,2,3. 首先，当 j>i 时，{X=i,Y=j} 为不可能事件，故 P(X=i,Y=j)=0，j>i. 当 j≤i 时，根据概率的乘法公式，有 P(X=i,Y=j)=P(X=i)•P(Y=j | X=i) =1/i • 1/3，i=1,2,3. 由此得(X, Y)的概率分布如下：
3.2 边缘分布
二维随机变量的联合分布是把(X，Y)看作一个整体的 分布。其中分量X和Y都是一维随机变量，也有各自的 分布，分别称X和Y的分布为二维随机变量(X，Y)关于 X和Y的边缘分布。 设二维随机变量(X，Y)的分布函数为F(x，y)，分别记 关于X和Y的边缘分布函数为Fx(x)和Fy(y)，由于 Fx(x)=P(X≤x,Y<+∞ )=F(x,+∞ ), 同理，有 Fy(y)=F(+∞ ,y). 由此看出，边缘分布函数Fx(x)，Fy(y)完全由联合分布 函数F(x，y)来确定。
二维随机变量及条件分布
21
例4.设(X,Y)服从如图区域D 上的均匀分布，
(1)求(X,Y)的概率密度； (2)求P{Y<2X} ； (3)求F(0.5,0.5)
解:
SD 1
22
H
23
存在，则称此极限为在条件下X的条件分布函数. 记作
可证当
时
47
若记 fX|Y(x|y) 为在Y=y条件下X的条件概率密度，则
当
时
类似定义，当
时
48
Байду номын сангаас同学们思考 答
49
例3
解
50
又知边缘概率密度为
51
例4 解
52
53
多维随机变量
离散型
连续型
边缘分布 条件分布
边缘分布 条件分布
54
作业
p.84 2，9，11
8
(3)右连续 对任意xR, yR,
(4)矩形不等式 对于任意(x1, y1), (x2, y2)R2, (x1< x2， y1<y2 ), F(x2, y2)－F(x1, y2)－ F (x2, y1)＋F (x1, y1)0.
反之，任一满足上述四个性质的二元函数F(x,y)都 可以作为某个二维随机变量(X,Y)的分布函数。
(X, Y)～ P{X＝xi, Y＝ yj,}＝ pij ，(i, j＝1, 2, … )，
11
二维离散型随机变量的分布律也可列表表示如下:
Y X
y1 y2 … yj …
x1 p11 p12 ... p1j ... x2 p21 p22 ... p2j ...
概率论与数理统计教程第三章
M p
i
M
华东师范大学
第三章 多维随机变量及其分布
3.2.3 边际密度函数
第32页
巳知 (X, Y) 的联合密度函数为 p(x, y)，则
X 的密度函数为 ：
p(x) p(x,y)dy
Y 的密度函数为 ： p(y) p(x,y)dx
4/29/2020
华东师范大学
第三章 多维随机变量及其分布
3.3.1 多维随机变量 ➢ 定义3.1.1
若X, Y是两个定义在同一个样本空间上的 随机变量，则称(X, Y) 是两维随机变量.
➢ 同理可定义 n 维随机变量 (随机向量).
4/29/2020
华东师范大学
第三章 多维随机变量及其分布
第3页
3.1.2 联合分布函数
定义3.1.2 (以下仅讨论两维随机变量)
则称 (X, Y) 服从 D 上的均匀分布， 记为 (X, Y) U (D) .
4/29/2020
华东师范大学
第三章 多维随机变量及其分布
第20页
四、二维正态分布
若二维连续随机变量 (X, Y) 的联合密度为：
1 p(x,y)
212 12
exp2(112)(x121)2 (y222)2 2(x11)(y22)
记 P(Ai) = pi ,
i = 1, 2, ……, r
记 Xi 为 n 次独立重复试验中 Ai 出现的次数.
则 (X1, X2, ……, Xr)的联合分布列为： P (X 1 n 1 ,X 2 n 2 ,......,X r n r )= n 1 ! n 2 n ! L !n r !p 1 n 1 p 2 n 2 L L p r n r
解: 由题意得
条件分布律
条件分布律条件分布律是概率论中的一条重要定律，它定义了两个事件之间联系的概率在另一个事件给出条件后，有何变化。
这表明，当一个事件指定给出另一个事件时，概率也会随之变化。
条件分布律的应用非常广泛，它可以帮助我们研究特定条件下的不同概率。
条件分布律又称作Bayes定理，它是概率论中一项重要的定理，用来计算后验概率。
也就是说，在某个条件下，一个事件的发生的概率的计算，往往需要依赖其他信息。
该定理包括一个叫做“条件概率”的概念，也就是说，一个事件发生的概率可以从已知信息中独立出来，或者从已知概率中计算出来。
条件分布律的应用主要在以下几种情形中：1）用来计算一系列给定参数的概率；2）用来计算已知条件下不同概率的值；3）用来计算一定条件下的后验概率，也就是根据证据推断结果的概率；4）用来提高判断的准确性。
条件分布律也被称为“贝叶斯定理”或“贝叶斯公式”，它是概率论中的一种定理，它允许我们以某个事件发生的概率为前提，来推断另一个事件发生的概率。
其数学公式为：P(A|B)=P(A)P(B|A)/P(B)。
在条件分布律中，P(A|B)表示给定B发生的条件下，A发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率，P(B|A)表示A发生的条件下，B发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
条件分布律的应用广泛，在医学领域尤其如此。
例如，在研究肿瘤时，将条件分布律应用于可以给出确切结果的检测标准，使得现有的数据能够更客观准确地表达出来，从而使医务人员更好地判断患者的病情和预后。
另外，条件分布律还可以帮助进行疾病预测和疾病分类，提高疾病靶向治疗的效果。
此外，条件分布律在机器学习领域也得到了广泛应用。
例如，在文本分类中，条件分布律可以用于计算文本中某个词出现的概率，从而实现对文本的准确分类。
同样，还可以用条件分布律来应用在语义分析和文本推理中，以及机器学习中的分类性算法等。
综上所述，条件分布律是概率论中重要的定理，它可以帮助我们计算出不同条件下各种事件发生的概率，从而为我们提供了实际的应用价值。
概率论与数理统计公式精粹条件期望条件方差与条件分布
概率论与数理统计公式精粹条件期望条件方差与条件分布条件期望、条件方差和条件分布是概率论与数理统计中重要的概念和技巧。
它们能帮助我们更准确地描述和计算随机现象的特征和性质。
本文将对条件期望、条件方差和条件分布进行精炼的介绍和讨论。
一、条件期望条件期望是指在给定某些信息或条件下，对随机变量的期望进行计算的概念。
对于随机变量X和事件A，条件期望E(X|A)表示在事件A发生的条件下，随机变量X的平均取值。
条件期望的计算可以通过基本的期望定义进行推导。
对于离散型随机变量，条件期望的计算公式为：E(X|A) = ∑x P(X=x|A) * x其中，P(X=x|A)表示在事件A发生的条件下，随机变量X取值为x的概率。
对于连续型随机变量，条件期望的计算公式为：E(X|A) = ∫xf(x|A) dx其中，f(x|A)表示在事件A发生的条件下，随机变量X的概率密度函数。
二、条件方差条件方差是在给定某些信息或条件下，对随机变量的方差进行计算的概念。
对于随机变量X和事件A，条件方差Var(X|A)表示在事件A发生的条件下，随机变量X的离散程度。
条件方差的计算可以通过基本的方差定义进行推导。
对于随机变量X和事件A，条件方差的计算公式为：Var(X|A) = E[(X-E(X|A))^2|A]其中，E(X|A)表示在事件A发生的条件下，随机变量X的条件期望。
三、条件分布条件分布是指在给定某些信息或条件下，随机变量的分布情况。
对于随机变量X和事件A，条件分布P(X=x|A)表示在事件A发生的条件下，随机变量X取值为x的概率。
条件分布的计算可以通过基本的概率计算进行推导。
对于随机变量X和事件A，条件分布的计算公式为：P(X=x|A) = P(X=x, A) / P(A)其中，P(X=x, A)表示事件A发生且随机变量X取值为x的概率，P(A)表示事件A的概率。
四、应用与扩展条件期望、条件方差和条件分布在实际问题中有广泛的应用。
《概率论》第3章§3条件分布
若按条件概率公式，则有 P{X y x | Y y} 当P{( XXP,{YY)x限(,XYy制,}Y在)y在}直区线域 D上 上时可视具为有一密维度r.vf (x, y)
y D
O
P{Y y} 0
x
第三章 多维随机变量及其分布
§3 条件分布
8/17
第三章 多维随机变量及其分布
§3 条件分布
4/17
设 (X ,的Y )分布律为
P{ X xi,Y yj} pij (i, j 1, 2,)
考虑在 {Y 对已y于j发} 固生定的的条j件,若下P{Y,{发Xy生j}x的i}p条.j 件 0概, 则率称
为在
P{ XP{Xxi| Yxi | Yyj }
X
Y
Y (1 X ) X Y
YX
1/ 2 1/ 2
X Y 1/ 2
Y
1 X
故三段木棒能构成 的概率为
X Y
P{Y
1 2
,X
1 2
,
X
Y
1 2
}
f (x, y)dxdy
y
yx
x0.5, y0.5 x y0.5
x 1dxdy
0.5
D
x
O
0.5 x 1
D:xx0y.50, y.50.5 0 x1,0 y x
如何定义条件分布 P{X x | Y y}
0, 考虑条件概率
P{X
x
|
y
Y
y
}
P{X x, y Y y } P{y Y y }
称为条件分布
应用积分中值定理
x
y
y
y
y
f (u, v)dvdu fY ( y)dy
概率论笔记——精选推荐
第三章 多维随变量及其分布3.1 二维随机变量及其分布1.二维rv 的定义：Def:设Ω为随机试验E 的样本空间，若对∀ω∈Ω−−−−→−按一定对应法则∃(X(w),Y(w))为Ω上的二维rv 或称二维的随机变量。
着重讨论：①二维rv 作为一个整体的概率特性。
②其中每一个随机变量的概率特性与整体的概率特性的关系。
2.二维rv 的联合分布函数 1)联合分布函数的定义：Def:设(X,Y)为二维rv ，对∀(X,Y)∈R ×R,称二元函数，F(X,Y)=P(X ≤x)∩(Y ≤y)记为P(X ≤x,Y ≤y)为二维rv 的分布函数或称rvx 与rvy 的联合分布函数。
2)几何意义: 3)性质①0≤F(x,y)≤1,F(+∞,+∞)=1F(-∞,-∞)=0,F(x,-∞)=0,F(-∞,y)=0 ②对每个变量均单调不减固定y 对∀x 1≤x 2，有F(x 1,y)≤F(x 2,y) ③对每个变量均右连续F(x 0+0,y 0)= F(x 0,y 0) F(x 0,y 0+0)=F(x 0,y 0) ④对∀a<b,c<d ,有F(b,d)-F(b,c)-F(a,b)+F(a,c)≥0注：①对于满足以上四个性质的二元函数可以作为某二维rv 的分布函数 ②对于二维的rv ，p(x>a,y>c)=1-F(a,+∞)-F(+∞,c)+F(a,c)≠1-F(a,c)3.二维离散型rv 及其联合分布律1) def:若二维rv(X,Y)的所有可能取值为有限个数对或无穷个可列数对，则称(X,Y)为二维离散型rv.2) 联合分布律设二维rv （X ，Y ）的所有可能值为：(X i,Y j ),I,j=1,2,3……（X=x i,Y=y j ）=P ij ij=1,2……为二维rv （X,Y ）的联合分布律。
eg 1 设F(x,y)= 联合分布律也可以用表格来表示：XYx1 x2 x3 (xi)y 1 y 2y 3 … … y j P 11 p 21 p 31 … … … … p i1 P 12 P 22 P 32 … … … … P I2… … … … … … … …… … … … … … … … … … … … … … … … P 1j p 2j p 3j … … … … p ij性质：①非负性 P ij ≥0； ②归一性 ∑∑ijp =13）联合分布函数 F(x,y)=P(X ≤x,Y ≤y)=∑∑≤≤x Xi yYj pij注：①已知分布律可求分布函数，反之，已知分布函数也可求分布律。
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同理，已知 X=1的条件下Y的条件分布律为：
Y k
01
PY k | X 1 1 3
44
2020年4月26日星期日
3
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二、连续型随机变量的条件分布
定义:对任意给定的正数 ，若 Px X x 0 ，
且对任意实数 y ，极限
lim
0
PY
y
|
x
X
x
lim
0
Px X x ,Y Px X x
y
存在，则称此极限为条件{X=x}的条件下Y的条件分布函
数。记为 FY|X ( y | x)
由于
FY |X
(y
|
x)
lim
0
PY
y
|
x
X
x
Px X x ,Y y
lim 0
Px X x
2020年4月26日星期日
4
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lim 0
y
x x
f
(x,
y)dx
布律定义为：
P Y yj | X xi
P
X xi ,Y y j
PX xi
pij , j 1, 2,L pi
2020年4月26日星期日
1
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例：已知(X, Y)的分布律如下:
X
求:(1).已知 Y=1的条件下X的
Y
0 1 p j 条件分布律。
0 0.4 0.1 0.5
x
e y y
,
0,
x 0, y 0, 其它.
因此
P
X 1Y y
1
x
e y dx
x
e y
1
ey
1y
1
2020年4月26日星期日
10
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fX Y (x | y)
2020年4月26日星期日
fY ( y)
5
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例：已知(X, Y)的概率密度为
f
(x,
y)
1 π
,
0,
求 fX Y (x | y) .
x2 y2 1, 其它.
解：由fY ( y)
f (x, y)dx
可得. ：
当y<-1或y>1时，由于f(x,y)=0.故
f (x, y) fX Y (x | y) fY ( y)
1
2
π
π, 1 y2
1020年4月26日星期日
7
其它.
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即
f
X
Y
(x
|
y)
2
1, 1 y2
0,
1 y2 x 1 y2 , 其它.
2020年4月26日星期日
8
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例：已知(X, Y)的概率密度为
1 0.2 0.3 0.5
(2).已知 X=1的条件下Y的
pi 0.6 0.4
条件分布律。
解：PX
0|Y
1
PX 0,Y PY 1
1
0.2 0.5
2 5
PX
1|
Y
1
PX 1,Y 1 PY 1
0.3 0.5
3 5
2020年4月26日星期日
2
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或用表格表示为
X k
01
PX k | Y 1 2 3
fY ( y)
f (x, y)dx 0
当-1 ≤ y ≤ 1时， fY ( y) f (x, y)dx
1y2 1 dx 2 1 y2
π 1 y2
π
2020年4月26日星期日
6
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因此
2
fY
(
y)
π
1 y2 ,
0,
于是，当-1 ≤ y ≤ 1时，
1 y 1, 其它.
x
f
(
x,
y)
e
y ey y
,
0,
求P{X>1|Y=y}，其中y>0.
x 0, y 0, 其它.
解：
x
e y ey
fX Y (x | y)
f
(x,
y)
fY ( y)
y
x
,
e y e y dx
0
y
2020年4月26日星期日
9 0,
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x 0, y 0,
其它.
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第三节 条件分布
一、离散型随机变量的条件分布
若(X, Y)是离散型随机变量，那么对一切使得PY yj 0
的 yj,我们把已知Y=yj的条件下X的条件分布律定义为：
P X xi | Y y j
P
X xi ,Y y j
P Y yj
pij ,i 1, 2,L p j
类似地，当 PX xi 0 时，已知X=xi的条件下Y的条件分
dy
x
x f X (x)dx
y
f (x, y)dy
fX (x)
y f (x, y) dy f X (x)
称
f (x, y) fX (x)
为条件{X=x}的条件下Y的条件概率密度。记为:
fY|X ( y | x)
f (x, y) fX (x)
同理条件{Y=y}的条件下X的条件概率密度为
f (x, y)