人教版高中数学必修五 第三章3.1第2课时不等式的性质与应用
2019-2020学年高中人教A版数学必修5课件：第三章 3.1 第2课时 不等式的性质
(2)a>b>0 且 c>d>0⇒ac>bd，已知的两个不等式不仅要 求同向，而且不等式两边必须为正值．
(3)a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)，及 a>b>0⇒n a>n b(n ∈N，n≥2)成立的条件是已知不等式两边为正值，并且 n∈ N，n>1，否则结论就不成立．假设去掉 b>0 这个条件，取 a ＝3，b＝－4，n＝2，就会出现 32>(－4)2 的错误结论；又若 去掉了“n∈N 且 n≥2”这个条件，取 a＝3，b＝2，n＝－1， 又会出现 3－1>2－1，即13>12的错误结论．
□ (2)a>b，c<0⇒ac 05 < bc. □ 性质 5：a>b，c>d⇒a＋c 06 > b＋d. □ 性质 6：a>b>0，c>d>0⇒ac 07 > bd. □ 性质 7：a>b>0⇒an 08 > bn(n∈N，n≥2)． □ 性质 8：a>b>0⇒n a 09 > n b(n∈N，n≥2)．
解 由 2<a≤5,3≤b＜10 得 2＋3<a＋b<5＋10,2×3<ab<5×10， 即 5<a＋b<15,6<ab<50.
拓展提升 利用不等式的性质求代数式的取值范围要注意的问题 (1)恰当设计解题步骤，合理利用不等式的性质． (2)运用不等式的性质时要切实注意不等式性质的前提 条件，切不可用似乎是很显然的理由，代替不等式的性质， 如由 a>b 及 c>d，推不出 ac>bd；由 a>b，推不出 a2 >b2 等． (3)准确使用不等式的性质，不能出现同向不等式相减、 相除的错误．
高中数学新人教B版必修5课件：第三章不等式3.1.2不等式的性质(1)
> ≥10%.
所以,同时增加相等的窗户面积和地板面积,住宅的采光条件变
好了.
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HISHISHULI
HONGNANJUJIAO
D典例透析 S随堂演练
IANLITOUXI
UITANGLIANXI
题型五
+
反思一般地,设a,b为正实数,且a<b,m>0,则 + > .利用这个不等
式,可以解释很多现象,比如b g糖水中有a g糖(b>a>0),若再添上m g
糖(m>0,且未到达饱和状态),则糖水变甜了.再比如芭蕾舞演员跳芭
蕾时总是踮起脚尖,这是为什么呢?这是因为踮起脚尖改变了演员
下半身与整个身高的比值,使这个比值接近于黄金分割比0.618,从
而带给观众更美的享受.
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改为 “
3
>
3
” ,其他条件不变,应该怎样证明?
1
1
1
1
3
证明:∵a>b>0,∴0< < ,即 > >0.
又 c>d>0,∴ > >0,∴
3
c
b
>
.
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高中数学人教A版必修5课件：3.1.2 不等式的性质
1
1
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题型一
比较大小
【例1】 (1)比较下列两个代数式的大小:x2+3与3x; (2)已知a,b均为正数,且a≠b,比较a3+b3与a2b+ab2的大小. 分析:我们知道,a-b>0⇔a>b,a-b<0⇔a<b,因此,若要比较两个代 数式的大小,只需作差,并与0作比较即可. 解:(1)(x2+3)-3x=x2-3x+3
当且仅当 x=y= 2 , 且z=1 时取等号.
1
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题型二
不等式性质的应用
【例2】 对于实数a,b,c,给出下列命题: ①若a>b,则ac2>bc2; ②若a<b<0,则a2>ab>b2; ③若a>b,则a2>b2;
④若 a<b<0,则 ������ > ������.
其中,正确命题的序号是 .
1 解析:∵c<d<0,∴-c>-d>0,∴ -������ ������ ������ ������ ������ 又∵a>b>0,∴ > , ∴ < . ������ ������ -������ -�
> 0.
答案:D
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题型三
证明不等式
������ ������
=
(2)(a3+b3)-(a2b+ab2)=a3+b3-a2b-ab2 =a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)(a2-b2) =(a-b)2(a+b). ∵a>0,b>0,且a≠b,∴(a-b)2>0,a+b>0. ∴(a3+b3)-(a2b+ab2)>0,即a3+b3>a2b+ab2.
高中数学第3章不等式3.1.1不等关系与不等式3.1.2不等式的性质新人教B版必修5
2．设 M＝x2，N＝－x－1，则 M 与 N 的大小关系是( )
A．M>N
B．M＝N
C．M<N
D．与 x 有关
A [M－N＝x2－(－x－1)＝x2＋x＋1＝x＋122＋34>0，故 M>N.]
a>b，b>c⇒_a_>_c_
性质 3(可加性)
a＞b⇒_a_＋__c_>_b_＋__c_
推论 1 性质 3
推论 2
a＋b＞c⇒_a_＞__c_－__b__ a＞b，c＞d⇒_a_＋__c_＞__b_＋__d_
性质 4(可乘性) a＞b，c＞0⇒_a_c_＞__b_c_；a＞b，c＜0⇒_a_c_＜__b_c_
2．由－6<a<8，－4<b<2，两边分别相减得－2<a－b<6，你认为 正确吗？
[提示] 不正确．因为同向不等式具有可加性与可乘性．但不能 相减或相除，解题时要充分利用条件，运用不等式的性质进行等价变 形，而不可随意“创造”性质．
3．你知道下面的推理、变形错在哪吗？ ∵2<a－b<4， ∴－4<b－a<－2. 又∵－2<a＋b<2， ∴0<a<3，－3<b<0， ∴－3<a＋b<3. 这怎么与－2<a＋b<2 矛盾了呢？
1．利用不等式的性质证明不等式注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问 题一定要在理解的基础上， 记准、记熟不等式的性质并注意在解题 中灵活准确地加以应用． (2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立 的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
人教B版人教B版高中数学必修五3.1第2课时不等式的性质
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6．船在水流速度一定的甲地和乙地间来回行驶一次的平均速度
和船在静水中的速度是否相等，为什么？
[ 分析 ] 要比较船在水流速度一定的甲地和乙地间来回行驶一
次的平均速度和船在静水中的速度的大小关系， 首先要把这两个速度
B． 1 D． 3
信达
------------------------------------------------------------------- 奋斗没有终点任何时候都是一个起点
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1
u2－ v2－u2
v2
∵ u －u＝ u － u＝ u ＝－ u<0
－ ∴ u <u.
因此，船在流水中来回行驶一次的平均速度和船在静水中的速度
不相等，平均速度小于船在静水中的速度．
信达
------------------------------------------------------------------- 奋斗没有终点任何时候都是一个起点
ba (1) 已知 a<b<0，求证： a<b；
ab (2) 已知 a>b>0，求证： b > a ；
11 (3) 已知 a>b，a<b，求证： ab>0.
b a b2－a2 [ 解析 ] (1) a－b＝ ab
信达
------------------------------------------------------------------- 奋斗没有终点任何时候都是一个起点
人教A版高中数学必修五课件第三章3.1第2课时不等式的性质与应用ppt版本
归纳升华 利用不等式的性质求取值范围的策略
(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系， 最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．
(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转 化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化， 就有可能扩大其取值范围．
[变式训练] 已知 12＜a＜60，15＜b＜36，则 a－b 的取值范围为________，ab的取值范围为________．
②若 α，β 满足－1≤1≤α α＋＋2ββ ≤≤31，，试求 α＋3β 的取值 范围．
答案：(1)(－3，3)．
π
π
(2)解：①由－2≤α ＜β ≤2知，
－π2 ≤α
π ≤2，
α－β ＜0 且
π
π
－2≤－β ≤2，
相加得－π ≤α－β ＜0，即 α－β∈[－π，0)．
②设 α＋3β＝x(α＋β)＋y(α＋2β)＝(x＋y)a＋(x＋2y)β.
[变式训练] 已知 c＞a＞b＞0，则c－a a与c－b a的大小 关系为________．
答案：c－a a＞c－b a
类型 3 利用不等式的性质求取值范围(互动探究)
[典例 3] (1)若 1＜α＜3，－4＜β＜2，则 α－|β|的取 值范围是________．
(2)①0≤|β|＜4 已知－π2 ≤α ＜β≤π2 ，求 α－β 的取 值范围．
故 B 为假命题；
a＜b＜0⇒－a＞－b＞0⇒－1b＞－1a，
a＜b＜0⇒－a＞－b＞0.
⇒ab＞ba，
故 C 为假命题；
a＞b⇒b－a＜0，
1a＞1b⇒1a－1b＞0⇒b－aba＞0. ⇒ab＜0.
因为 a＞b，所以 a＞0 且 b＜0，故 D 为真命题．2，故 A
人教B版高中数学必修五3.1.2不等式的性质上课课件
不等;4与4+4，那 么反过来呢？
2、桌子上有一个盘放着五个苹果，另 一个盘放着八根香蕉，问那一个多？反 过来呢？
由以上的两个例子可以得出一下结论
性质1 如果a>b那么b<a;如果b<a,那么a>b.
性质1表明，把不等式的左边和右边交换
位置，所得不等式与本来的不等式异同，我
若a>b>0则有
an bn a b 0,bn an 0 (a b)(b n an ) 0
若a=b则有a-b=0
(a b)(b n an ) 0
若0<a<b则有
an bn a b 0 bn an 0
(a b)(b n an ) 0
综上所述时 a, b R ，都有
(3) ∵a＞b，并且-4＜0 ∴两边都乘以-4，由不等式基本性质3 得 -4a＜-4b
性质4 如果a>b,c>0，则ac>bc;如果 a>b,c<0则ac<bc
推论1 如果a>b>0,则c>d>0,则ac>bd
证明：因为a>b,c>0.所以ac>bc
又因为c>d,b>0所以bc>bd
几个两边都是正数的同向不等式的 两边分别相乘，所得到的不等式与原不 等式同向
例3.将不等式7>4两边都乘以同一个数，比较所得的 数的大小，用“<”或“>”填空：
7×3_______4×3， 7×2_______4×2， 7×1_______4×1， 7×（－1）_______4×（－1）， 7×（－2）_______4×（－2）， 7×（－3）_______4×（－3），
几个同向不等式的两边分别相加，所 得的不等式与原不等式同向。
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训练
证法二：∵c<d，∴－c>－d.
又a>b，∴a＋(－c)>b＋(－d)．
即a－c>b－d.
(2)当a>b≥0时，
∵n∈N，且n>1，
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∴an>bn， n
n a>
b.
当a>0>b时，
∵n为奇数，
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∴an>0，bn<0，n a>0， n b<0.
∴an>bn， n
n a>
论．
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1．已知a≥b，则下列不等式正确的是( B )
A.1a≥1b
B．ac2≥bc2
C.ca2＞cb2
D．(ac)2≥(bc)2
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自评
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2．(2013·上海卷)如果a<b<0，那么下列
不等式成立的是( D )
11 A.a<b
B．ab<b2
C．－ab<－a2 D．－1a<－1b
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1．对于实数a，b，c，下列命题中的真命题是( ) A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞b＞0，则1a＞1b C．若a＜b＜0，则ba＞ab D．若a＞b，1a＞1b，则a＞0，b＜0
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解析：解法一：∵c2≥0，∴c＝0时， 有ac2＝bc2，故A为假命题；
由a＞b＞0，有ab＞0⇒aab＞abb⇒1b＞1a， 故B为假命题；
1 2
>
1 2
；
(3)若 a＞b＞c，则有 a|c|＞b|c|.
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第三章 不等式 3.1 不等关系与不等式 第2课时不等式的性质与应用
A 级 基础巩固
一、选择题
1．若a ＞0，b ＞0，则不等式－b ＜1
x ＜a 等价于( )
A ．－1b ＜x ＜0或0＜x ＜1a
B ．－1a ＜x ＜1b
C ．x ＜－1a 或x ＞1b
D ．x ＜－1b 或x ＞1
a
解析：由题意知a ＞0，b ＞0，x ≠0， (1)当x ＞0时，－b ＜1x ＜a ⇔x ＞1
a ；
(2)当x ＜0时，－b ＜1x ＜a ⇔x ＜－1
b
.
综上所述，不等式－b ＜1x ＜a ⇔x ＜－1b 或x ＞1
a .
答案：D
2．设0＜b ＜a ＜1，则下列不等式成立的是( ) A ．ab ＜b 2＜1 B ．log 12b ＜log 12a ＜0
C ．2b ＜2a ＜2
D ．a 2＜ab ＜1
答案：C
3．已知实数x，y，满足－4≤x－y≤－1，－1≤4x－y≤5，则9x－y 的取值范围是()
A．[－7，26] B．[－1，20]
C．[4，15] D．[1，15]
答案：B
4．已知a＜b＜0，那么下列不等式成立的是()
A．a3＜b3B．a2＜b2
C．(－a)3＜(－b)3D．(－a)2＜(－b)2
解析：取a＝－2.b＝－1.验证知B，C，D均错，故选A.
答案：A
5.如下图所示，y＝f(x)反映了某公司的销售收入y与销量x之间的函数关系，y＝g(x)反映了该公司产品的销售成本与销售量之间的函数关系，当销量x满足下列哪个条件时，该公司盈利()
A．x＞a B．x＜a
C．x≥a D．0≤x≤a
解析：当x＜a时，f(x)＜g(x)；当x＝a时，f(x)＝g(x)；当x＞a 时，f(x)＞g(x)，故选A.
答案：A
二、填空题
6．若x＞y，a＞b，则在①a－x＞b－y，②a＋x＞b＋y，③ax＞by，④x－b＞y－a这四个式子中，恒成立的序号是
________． 答案：②④
7．若角α，β满足－π2＜α＜β＜π
3，则α－β的取值范围是
________．
答案：(－5
6
π，0)
8．设x ＞1，－1＜y ＜0，试将x ，y ，－y 按从小到大的顺序排列如下________．
答案：y ＜－y ＜x 三、解答题
9．已知a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，判断b a －c 与a
b －d 的大小．
解：因为a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，
所以－c ＞－d ＞0，所以a －c ＞b －d ＞0， 所以0＜1a －c ＜1
b －d
，
又因为a ＞b ＞0，所以b a －c ＜a
b －d
.
10．已知0＜x ＜1，0＜a ＜1，试比较|log a (1－x )|和 |log a (1＋x )|的大小．
解：法一：|log a (1－x )|2－|log a (1＋x )|2＝
[log a (1－x )＋log a (1＋x )]·[log a (1－x )－log a (1＋x )]＝log a (1－x )2
log a 1－x 1＋x
.
因为0＜1－x 2
＜1，0＜1－x
1＋x
＜1，
所以log a (1－x 2
)log a 1－x
1＋x
＞0.
所以|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )|.
法二：⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
log a （1－x ）log a （1＋x ）＝|log 1＋x (1－x )|＝ －log 1＋x (1－x )＝log 1＋x 1
1－x ＝
log 1＋x 1＋x 1－x 2＝1－log 1＋x (1－x 2
)． 因为0＜1－x 2＜1，1＋x ＞1， 所以log 1＋x (1－x 2)＜0. 所以1－log 1＋x (1－x 2)＞1. 所以|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )|. 法三：因为0＜x ＜1，
所以0＜1－x ＜1，1＜1＋x ＜2， 所以log a (1－x )＞0，log a (1＋x )＜0. 所以|log a (1－x )|－|log a (1＋x )|＝ log a (1－x )＋log a (1＋x )＝log a (1－x 2)． 因为0＜1－x 2＜1，且0＜a ＜1， 所以log a (1－x 2)＞0.
所以|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )|.
B 级 能力提升
1．对下列不等式的推论中： ①a ＞b ⇒c －a ＞c －b ； ②a ＞b ＋c ⇒(a －c )2＞b 2； ③a ＞b ⇒ac ＞bc ；
④a ＞b ＞c ＞0⇒(a －c )b ＞(b －c )b ；
⑤a ＞b ，1a ＞1
b ⇒a ＞0，b ＜0.
其中正确的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案：A
2．若－2＜c ＜－1＜a ＜b ＜1，则(c －a )(a －b )的取值范围为________．
答案：(0，6)
3．若二次函数f (x )的图象关于y 轴对称，且1≤f (1)≤2；3≤f (2)≤4，求f (3)的取值范围．
解：由题意设f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，
则⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝a ＋c ，f （2）＝4a ＋c ，
所以⎩⎨⎧
a ＝f （2）－f （1）
3
，
c ＝4f （1）－f （2）3
，
而f (3)＝9a ＋c ＝3f (2)－3f (1)＋4f （1）－f （2）
3＝
8f （2）－5f （1）
3，
因为1≤f (1)≤2，3≤f (2)≤4， 所以5≤5f (1)≤10，24≤8f (2)≤32， 所以－10≤－5f (1)≤－5， 所以14≤8f (2)－5f (1)≤27， 所以143≤8f （2）－5f （1）3≤9，
即14
3≤f (3)≤9.。