空间四连杆机构的等视角原理及应用

空间四连杆机构的等视角原理及应用莫灿林陈延生摘要（本文通过对空间四连杆机构的等视角原理、相对运动转换及相对转动极线确定方法和研究，找到按给定连架杆两组、三组、四组对应位置的空间四连杆机构的几何设计方法。

）1、空间四连杆机构的等视角原理：图1所示，AB杆在V面上绕过点A且垂直于V面的轴线Y A转动，DC杆在H面上绕过点D且垂直于H面的轴线Z D转动，AB1C1D、AB2C2D为空间四连杆机构ABCD运动的两个位置。

分别作线段B1B2、C1C2的中垂面M、N，它们的交线为L12。

根据空间两等长线段可绕一轴线旋转使它们重合的性质知，连杆BC的两位置B1C1、B2C2可绕直线L12作纯转动实现。

在此，可称直线L12为转动极线或极线。

现把图1换成图2的形式，极线L12垂直于平面P1B1B2、P2C1C2，连杆BC绕极线转过角φ12，则点B1、C1同时在极线L12的垂直面上绕L12转过角φ12，到达B2、C2，所以∠B1P1B2=∠C1P2C2=φ12。

⌒B1B2的交点，点C11为中垂面N与平面P2C1C2上⌒C1C2的交点。

由于中垂面M、N分别过Y A、Z D轴，所以∠B1P1B11=∠B11P1B2=φ12/2，∠C1P2C11=∠C11P2C2=φ12/2。

因为∠B1P1B11=∠C1P2C11=φ12/2，所以B1C1=B11C11，B1C1绕极线L12旋转φ12/2可与B11C11重合。

设点B11、C11、B1、C1与极线L12构成的平面分别为M1、N1、M2、N2，则二面角M1-L12-N1与二面角M2-L12-N2相等。

因点B11、C11分别在M、N上，故M1与M重合，N1与N重合。

因M、N分别过轴Y A、Z D，故点A、D分别在M、N上。

由此可得到以下的结论：由极线和连杆销轴中心所构成平面的夹角，与由极线和固定杆销轴中心所构成平面的夹角相等，由极线分别与两连架杆的销轴中心所构成的两个二面角相等。

如果把平面M1、N1、M2、N2理解为视线，则可认为由极线L12去看不相邻的两个连架杆AB1和DC1（或AB2和DC2）时，视角均同向且等于连杆体转角的一半，即φ12/2，这一等角关系称为等视角关系，或者等半角关系。

2、空间四连杆机构的相对运动转换及相对转动极线2.1 相对运动转换及相对转动极线图3所示，任给定空间四连杆机构ABCD两个运动位置的机构简图。

AB杆在V面上绕过点A且垂直于V面的轴线Y A转动，转角为α12；DC杆在H面上绕过点D且垂直于H面的轴线Z D转动，转角为β12。

把空间四边形AB2C2D看成刚体，绕Z D轴旋转-β12角，使DC2与DC1重合。

此时把DC1看作固定构件，DAB1C1、DA0B21C21看作四连杆机构的两个位置。

分别作线段AA0、B1B21的中垂面Q1、Q2（图中未画出），则两中垂面的交线R12即为连杆AB由位置AB1转到位置A0B21的转动极线，R12称为相对转动极线。

因为空间一线段的两预定位置可以通过一次旋转达到，两组对应点中垂面的交线是其唯一的旋转轴，所以当直线AB1、A0B21的两组对应点（或一组对应点和两直线的对应方向）给定后，R12即为唯一的相对转动极线，而与参考长度AB1=AB2=A0B21无关。

由等视角原理可知，两平面AxR12、DxR12所形成的二面角与两平面B1xR12、C1xR12所形成的二面角相等。

因为AB2绕Z D轴转过-β12角后即可达到位置A0B21，故确定R12只与β12有关，而与DC杆的起始位置DC1无关。

图4所示，V面上的圆A其半径为AB1，AB1绕Y A轴转过α12角后到达AB2位置；V面绕Z D轴转过-β12角后到达新位置V0面，AB2的新位置A0B21。

Y A轴与Z D轴相交。

在前面已得知A0B21：转到与AB1重合，其旋转轴R12是唯一的。

因为点A在Y A轴上，Y A轴与Z D轴相交，V面绕Z D轴转过-β12后到达V0面，所以线段AA0的中垂面Q1过Z D轴，并为两平面V、V0形成二面角的平分面；又因为R12在Q1面上，所以线段A0B21绕R12转到与线段AB1重合时，圆A与圆A0重合，圆周A0上的点与圆周A上的存在着一一对应的关系（点B21对应B1）。

因此，当Y A轴与Z D轴相交时，R12的唯一性只与角α12有关，而与AB杆的起始位置AB1无关。

R12、Y A、Z D三线共点。

如果V面与H面重合，空间四连杆机构则演变成平面四连杆机构。

2.2 相对转动极线的确定方法在以后的问题中，均设V面垂直于H面，AB1对V面与H面交线的倾角γ。

对任意给定的空间四连杆RSSR机构ABCD两连架杆的相应转角为α12、β12（转动方向图中所示），以及AB杆的起始位置AB1，则机构的相对转动极线的确定方法如下所述，图解过程参阅图5所示。

（1）任取参考长度AB1=AB2;（2）把AB2绕过点D的铅垂轴Z D转过-β12，得A0B11;（3）分别做线段AA0、B1B21的中垂面Q1和Q2;（4）求作出两平面Q1、Q2的交线R12，则R12为所求的相对转动极线，且R12与Z D相交。

对需确定的机构，如果给定Y A轴与Z D轴相交，则AB杆的起始位置AB1与确定R12无关，角γ可任意选择。

3、按给定连架杆若干组对应位置的机构设计在以下的问题中，给出的连架杆若干组对应位置——相应的转角，因它们仅与机构的相对尺寸有关，故可任意选取合适的固定铰链A、D的位置来进行机构设计。

3.1给定连架杆两组对应位置的机构设计给定空间RSSR机构ABCD两连架杆的相应转角分别为α12、β12，其转动方向如图所示，Y A轴与Z D轴相交，设计该机构。

图6所示，设计此空间四连杆机构时，首先确定固定转轴Y A、Z D的位置，按需要确定连架杆AB的起始位置AB1。

如Y A轴不与Z D轴相交，则按角γ给出AB1的位置；然后确定机构的相对转动极线R12，最后在—AB1的位置上任取一点作为铰链中心B，根据等视角原理，使由平面BxR12（J2）与平面CxR12（T2）形成的二面角J2-R12-T2等于由平面AxR12（M2）与平面DxR12（N2）形成的二面角M2-R12-N2，即可在平面T2上任取一合适点作为铰链中心C。

直线L为T2面与H面的交线，Z D轴在N2面上。

对给定的转角α12、β12，如果转动方向相同，则必需使所得机构的连杆BC在H面上的投影bc不与固定件AD在H面上的投影ab 相交；反之则相交。

在选取铰链中心C时，应考虑点C与点B1、B2的相对位置，否则所确定的机构将得不到对应的转角关系。

正如点C 在过点B的水平面下，则点B2、B1对水平投影面的上、下关系就能得到保持。

因为点C在T2面上任意选择都能满足等视角的关系，且随着铰链中心B的位置选择不同，可得到无数个T2的平面，所以在理论上铰链中心C有无穷个解。

但是，由于四连杆机构是在铰链强制约束下运动的，而运动连杆的区间是有限制的，所以在满足机构存在的条件下，要使两连架杆满足给定的转角对应关系，则铰链中心C的选择，其实用上的解较理论上的少。

机构设计的作图步骤如下所述，图解结果见图7所示。

（1）求作出机构的相对转动极线R12；（2）进行两次投影变换，把R12变换或投影面垂直线；（3）在—AB1位置上任取一点作为铰链中心B；（4）作二面角M2-R12-N2等于二面角J2-R12-T2;（5）把T2面上（V1/H2）投影系变换回原投影系；【2】（6）在T2面上取适当的点作为铰链中心C，求作出连杆BC的实长，则机构得以确定。

3.2 给定连架杆三组对应位置的机构设计给定空间RSSR机构ABCD 两连架杆的两组相应转角分别为α12、β12、α13、β13，其转动方向如图所示，Y A轴与Z D轴相交，设计该机构。

机械设计的作图步骤如下所述，图解结果见图8所示。

（1）求作出机构的相对转动极线R12、R13；（2）进行投影变换，分别把R12、R13变换成投影面垂直线。

（3）在—AB1位置上任取一点作为铰链中心B，设平面AxR13、BxR13、CxR13、DxR13分别为M3、J3、T3、N3；（4）分别作二面角M2-R12-N2等于二面角J2-R12-T2，二面角M3-R13-N3等于二面角J3-R13-T3;（5）把平面T2、T3变换回原投影系，并作出它们的交线L1，因Y A 与Z D轴相交，故R12、R13、Y A、Z D、L1五线共点；（6）在L1上取适当的点作为铰链中心C。

参考文献1、张世民编《平面连杆机构设计》，北京：高等教育出版社，1985：51-57。

2、费罗洛夫CA（苏）著，北京工业学院制图教研室译《画法几何学》，北京：高等教育出版社，1983：83-85。

Principle of Egual View Angles of SpatialFour-bar linkage and It’s ApplicationMo Canlin（Mechanical Engin . Dept .）Chen Yansheng（Spare-time school for staff of Quzhou）AbstractOn the basis of equal view angle principle relative motion transfer , and relative rotation pole-line determination , introduces a geometric design method of spatial four-bar linkage mechanism under a giren corresponding location of two , three, or four sets of linkages.Key words: Spatial mechanism; Linkage;Relative motion;Equal view angle.。