走进无限美妙的数学世界
数学的奇妙世界探索无穷和无限
数学的奇妙世界探索无穷和无限当我们踏入数学的奇妙领域，无穷和无限的概念就像神秘的宝藏，等待着我们去挖掘和探索。
它们既令人着迷，又常常让我们感到困惑，仿佛是一个无尽的谜题，激发着我们的好奇心和求知欲。
想象一下，你站在一片广阔的海滩上，眼前是一望无际的大海。
那波涛汹涌的海浪，一直延伸到天际，似乎没有尽头。
这种视觉上的“没有尽头”，就是我们对无限的一种直观感受。
但在数学中，无穷和无限的概念远比这要深刻和复杂得多。
从最简单的整数开始，我们有无穷多个整数：1、2、3、4……一直数下去，永无止境。
这是一个无穷的数列，而且每一个整数后面都可以找到下一个更大的整数。
这种无穷性是可数的，也就是说，我们理论上可以按照一定的顺序一个一个地数出来。
然而，还有一种无穷是不可数的。
比如，实数的数量就是不可数的无穷。
想象一下在数轴上，从 0 到 1 之间的所有实数，包括无理数，如√2、π 等等。
我们无法像数整数那样把它们一个一个地罗列出来。
无穷的概念在数学分析中起着至关重要的作用。
比如，当我们计算一个函数的极限时，其实就是在探索当自变量趋近于某个值时，函数值的变化趋势。
如果这个极限是无穷大，那么就意味着函数值在某个方向上不断增大，没有上限。
再来看无穷级数。
一个经典的例子是调和级数 1 ＋ 1/2 ＋ 1/3 ＋ 1/4 ＋… 。
一开始，你可能觉得这个级数的和应该是有限的，但经过数学证明，它的和是无穷大。
这是不是很令人惊讶？在几何中，无穷和无限也有精彩的表现。
比如，一条直线可以无限延伸，没有终点。
一个平面也是无限延展的，包含了无数个点。
康托尔的集合论为我们对无穷的研究提供了强大的工具。
他提出了不同的无穷集合具有不同的“大小”，通过一一对应的方法来比较集合的无穷程度。
而在物理学中，无穷和无限的概念同样有着重要的应用。
比如在研究宇宙的大尺度结构时，我们会思考宇宙是否是无限的。
在量子力学中，也有一些涉及到无穷的概念和计算。
然而，对于无穷和无限的理解并非一帆风顺。
进入数学的奇妙世界
进入数学的奇妙世界数学是一门引人入胜的学科，它以它的抽象性和逻辑性赢得了众多学子的喜爱。
在这个奇妙的数学世界里，我仿佛置身于一个无限广阔的天地，探索着其中的奥秘和美妙。
本文将带您一起进入数学的奇妙世界，畅游在数学的海洋中。
一、数学的起源和发展数学作为一门学科已有几千年的历史，它的起源可以追溯到远古时代的人类社会。
最早的数学运算是以图形和数目为基础的，人们通过观察大自然中的规律来发现数学规律。
在古代社会，埃及人、巴比伦人和古希腊人等都做出了重要的贡献。
随着科学技术的进步，数学逐渐成为一门严密的学科，并不断拓展其应用领域。
二、数学的基本概念进入数学的奇妙世界，我们首先需要了解一些基本概念。
数学的基本概念包括数、代数、几何、概率与统计等。
数指的是数值，它是数学的基础。
代数则涉及到方程、函数等概念，通过符号和符号间的关系进行计算和推理。
几何研究的是空间、形状和图形等。
而概率与统计则与随机事件和数据分析有关。
这些基本概念相互之间联系紧密，构成了数学的基石。
三、数学的应用领域数学作为一门具有广泛应用价值的学科，几乎渗透到了各个领域。
在自然科学中，数学被广泛应用于物理学、化学、生物学等领域的模型建立和问题求解。
在工程技术中，数学被用于设计、优化和控制等方面。
在金融和经济学领域，数学则被用于风险评估、投资决策等方面。
而在计算机科学和人工智能领域，数学更是起着至关重要的作用。
可以说，数学是现代科学和技术的基础。
四、数学的研究方法数学的研究方法可以分为理论研究和应用研究两种。
理论研究主要是通过推理和证明来探索数学中的规律和定理。
其中，证明作为数学中非常重要的一部分，经常被用来验证论断的正确性。
应用研究则是将数学的理论知识应用到实际问题中，通过建立数学模型来解决实际问题。
五、数学的学习方法想要深入探索数学的奇妙世界，我们需要掌握一些学习方法。
数学的学习需要不断实践，通过大量的习题来提高解题能力和逻辑思维能力。
此外，多与同学讨论和交流，借助互联网等资源进行学习也是不可或缺的。
数学之美探索无尽的数学世界
数学之美探索无尽的数学世界数学之美：探索无尽的数学世界数学，作为一门自然科学，无处不在并且广泛应用于各个领域。
它不仅仅是一种工具，更是一种思维的乐趣，是我们与世界相互联系的桥梁。
在这篇文章中，我们将探索数学的美丽，一起迈向无尽的数学世界。
一、数学的魅力数学在人类文明的发展中起到了重要的推动作用。
它是一种智力的体操，不仅培养了人们的逻辑思维能力，还帮助人们更好地理解世界的规律。
数学中的公式和方程式让我们能够以准确的方式描述真实世界，从而解决实际问题。
数学的美丽还体现在它的严密性和精确性上。
数学家们通过推理和证明来建立数学理论，让我们能够在世界中找到一种有序和结构。
无论是对称美、几何美还是数列美，都离不开数学的应用和抽象。
正是这种严谨和精确性，让数学成为一门独特而美妙的学科。
二、数学的发展历程数学的发展可以追溯到古代文明。
古希腊的毕达哥拉斯学派提出了以数字和几何为基础的理论，而阿拉伯数学家的发展推动了代数学的进步。
在中世纪欧洲，数学家们开始探索无穷级数和微积分的概念，为后来科学的发展奠定基础。
随着现代科学的进步和计算机的发展，数学在20世纪取得了巨大的突破。
数学在信息科学、统计学、最优化等领域中的应用越来越广泛，为科学家和研究人员提供了强大的工具。
同时，数学家们也在新的数学领域中进行了深入的研究，如拓扑学、图论和数论等。
三、数学的应用数学的应用几乎涵盖了所有领域。
在物理学中，数学被用来研究物质的运动和相互作用。
在经济学中，数学被用来建立模型和分析经济活动。
在生物学中，数学被用来研究生物系统的复杂性。
在工程学中，数学被用来设计和优化结构。
在艺术中，数学被用来探索对称美和数列之美。
除了应用领域，数学还在增进人类对世界的理解方面起到了重要的作用。
它帮助我们发现事物背后的规律性和相互关系，从而提供了一种更深入的思考方式。
四、数学的未来随着科技的快速发展，数学仍然面临着许多挑战和机遇。
数学家们正在研究更复杂的问题，如模糊数学和混沌理论。
走进美妙的数学花园
走进美妙的数学花园数学一直以来都是人类探索和理解世界的重要工具。
在数学的世界里，有着许多美妙的花园等待我们去探索。
本文将带您一同走进这个美妙的数学花园，领略数学的魅力和精彩之处。
数学的本质首先，让我们来了解一下数学的本质。
数学是一门研究数量、结构、变化以及空间等概念的学科。
它通过逻辑推理和抽象思维来研究事物之间的关系和规律。
数学不仅仅是一种学科，更是一种思维方式和解决问题的工具。
数学的应用领域数学的应用广泛而且深入。
它在科学、工程、经济、计算机科学等领域都起到重要的作用。
例如，数学在物理学中用于描述自然现象和预测天体运动；在金融学中用于分析风险和投资策略；在计算机科学中用于算法设计和数据分析等。
数学的美妙之处数学的美学数学不仅仅是一门实用的学科，更是一门充满美学的学科。
数学中的定理和证明以及美丽的数学公式都展示了其内在的美。
无论是勾股定理的简洁优美，还是黄金比例的神秘和谐，数学都能带给人们一种审美的享受。
数学的创造力数学是一门充满创造力的学科。
在解决数学问题的过程中，需要运用逻辑思维和创造性思维来发现新的方法和定理。
数学家们通过不断探索和发现，创造出了许多令人惊叹的数学理论和思想。
数学的普适性数学是一门普适的学科，其规律和定理适用于各个领域和应用中。
无论是自然界的规律，还是人类社会的现象，都可以通过数学模型来加以描述和解释。
数学的普适性使得人们可以通过数学方法去理解和解决复杂的问题。
数学花园中的精彩景点数论数论是数学花园中的一座精彩景点。
它研究整数的性质和规律，是纯粹数学中的一个分支。
数论既有深刻的理论，又有实际应用。
著名的费马大定理和哥德巴赫猜想都是数论中的重要问题。
几何学几何学是数学花园中的另一座精彩景点。
它研究空间和形状的性质，既有理论研究，又有实际应用。
几何学在建筑、工程和计算机图形学等领域有着重要的应用。
欧几里德几何和非欧几里德几何是几何学中的两大分支。
概率论与统计学概率论与统计学是数学花园中的另一座精彩景点。
走进无限美妙的数学世界
走进无限美妙的数学世界曼德尔布罗特的分形学特别关注那些非主流的思想人们在学习了解分形学的时候，常常会问，分形几何与欧几里得的几何有哪些本质的差别呢，这种差别是如何产生的呢？是客观存在，还是人为的划分的。
分形与欧氏几何的区别1、欧氏几何是规则的，而分形几何是不规则的。
也就是说，欧氏几何一般是逐段光滑的，而分形几何往往在任何区间内都不具有光滑性。
2、欧氏图形层次是有限的，而分形从数学角度讲是层次无限的。
3、欧氏图形不会从局部得到整体的信息，而分形图形强调这种关系。
4、欧氏图形越复杂，背后规则必定很复杂。
而分形图形看上去很复杂，但是背后的规则往往很简单。
5、欧氏几何学描述的对象是人类创造的简单的标准物体。
而分形几何学描述的对象是大自然创造的复杂是真实物。
6、欧氏几何学有特征长度，而分形几何学无特征长度。
7、欧氏几何学有明确的数学表达方式，而分形几何学用迭代语言表达。
8、欧氏几何学的维数是0及整数（1或2或3），而分形几何学一般是分数也可以是正整数。
曼德尔布罗特在创建他的分形理论时，特别重视那些当时非主流的思想，尤其是那些被称作“病态的””、“反直觉的”的东西。
医生和律师用各种“‘病例集”和“案例集”来称呼有一个共同题目的实际病例和案例。
而科学上尚无相应的专门名词，因此曼德尔布罗特建议也应用“范例集”这个名词。
重要的范例需倍加注意，而稍次的也应给予评述：通常可利用先例而缩短讨论。
因此诸如现在人们熟悉的康托尔三分集、外尔斯特拉斯不可微曲线、可充满正方形区域的皮亚诺曲线、谢尔宾斯基地毯与海绵、柯赫雪花曲线等等，都被他视为珍宝。
而这些一直被正统科学视为少数的反例，只是在教学过程中作为一种逻辑可能性偶尔提到。
在分形如此流行的今天，本文没有必要一个一个地仔细讲述这些“怪物”(芒氏视其为“宝贝”)的具体性质，从任何一本关于分形的书中都可以容易找到一些例子。
曼德尔布罗特与世人的想法正好颠倒过来，他认为别人视为怪物的东西恰恰是最普通的类型；别人视为想当然的无比美好的点、线、面、体却是例外。
神奇的数学世界带你领略数学的无限力
神奇的数学世界带你领略数学的无限力数学，这个神奇而又深奥的学科，一直以来都是被认为是世界上最无限、最令人惊叹的力量之一。
它超越了语言和文化的障碍，引领我们进入一个全新的维度。
在这个数学的世界中，我们将会发现无尽的魅力和惊奇，让我们一起踏上这段奇妙的旅程。
一、数学的起源与历史数学的起源可以追溯到人类历史的早期。
早在古希腊时期，人们开始研究几何学和代数学，这两个领域被认为是数学的基础。
随着时间的推移，数学在世界各地继续发展壮大。
阿拉伯数学家在中世纪期间为数学添加了许多重要的贡献，并将它传播到欧洲。
到了近代，数学的范围不断扩大，涉及到了更多的领域，如概率论、数论和运算学等。
今天，数学已经成为一门世界共同研究的学科，数学的发展与人类文明息息相关。
二、数学的实际应用数学并不仅仅是一门抽象的学科，它在日常生活中也有着广泛的应用。
在科学领域，数学为我们提供了解释自然世界的工具。
从物理学到化学，从天文学到生物学，数学在揭示自然规律方面起着重要的作用。
数学还在技术领域发挥着关键作用，计算机科学、数据分析和密码学等都离不开数学的支持。
此外，经济学、工程学、医学等领域也都离不开数学的应用。
可以说，数学是现代社会的基石，它为我们提供了分析问题、解决难题的思维方法。
三、数学的美丽与艺术性尽管数学有时候被归类为一门实用学科，但它也是一门充满美感和艺术性的学科。
数学中的定律和公式构成了一幅幅美丽的画卷，让我们对世界的运行方式有了更深的理解。
菲波那契数列、黄金分割、完美数等数学现象都展现了数学的美丽。
数学还与音乐、绘画和建筑等艺术形式密切相关，例如音乐中的调律、绘画中的透视和建筑中的结构设计。
通过数学，我们能够欣赏到这些艺术形式背后的规律和美感。
四、数学的无限力数学的魅力之一在于它的无限性。
无论是无限数列、无穷级数、还是无限集合，数学中的概念无不引发人们的思考和探索。
数学的无限概念和无限推理是人类追求知识的源泉，它们引发了许多惊人的发现和突破。
探索数学的美妙世界
探索数学的美妙世界数学是一门抽象而又晦涩的学科，常常被人们认为是枯燥无味的。
然而，当我们深入探索数学的本质时，我们会发现它隐藏着许多美妙而奇妙的东西。
数学既是一种工具，也是一种语言，更是一种思维方式。
本文将带领读者一起探索数学的美妙世界，感受数学的魅力。
第一部分：数学的基石——逻辑思维数学的美妙世界的基石是逻辑思维。
正是通过逻辑思维，我们能够进行问题的抽象、推理和证明。
逻辑思维是数学家们研究问题、发现规律的工具。
数学中的定理和证明，都离不开严密的逻辑推理。
举个例子，欧几里得几何中的“公理-定理-证明”的结构，使得我们能够通过推理来证明哥尼斯堡七桥问题的解法，这也是数学中一大美妙之处。
第二部分：数学的美妙表达——符号与公式数学中使用的符号和公式，是数学表达的基础。
通过符号和公式，数学家们能够将复杂的概念和思想用简洁的方式表示出来。
例如，勾股定理的表达方式a² + b² = c²，清晰地揭示了直角三角形边长之间的关系。
符号和公式的简洁性和准确性，让人不禁感叹数学的美妙之处。
第三部分：数学的美妙应用——解决实际问题数学并不仅仅停留在纸上的抽象推理，它也有着广泛的应用。
数学的美妙世界能够帮助我们解决实际生活中的问题。
例如，数学在物理学中的应用，使我们可以计算物体的运动轨迹；数学在经济学中的应用，能够帮助我们进行市场预测和经济决策。
数学的美妙应用使得我们能够更好地理解和改善我们的生活。
第四部分：数学的美妙发现——数学之美除了应用之外，数学本身也蕴含着无穷尽的美丽。
数学中的一些奇妙发现，让我们对数学产生了更深的敬畏和兴趣。
黄金分割、费马大定理、无穷级数等等，这些隐藏在数学中的美丽现象，使我们不断去探索、去发现，也不断地为数学的美妙之处所迷倒。
结语：数学是一门美妙而神秘的学科，它能够帮助我们发展逻辑思维、提供问题解决的工具、解释现实世界的规律。
数学的美妙世界需要我们用心去体会、探索和发现。
数学课奇妙的数学世界探索无限的数字迷宫
数学课奇妙的数学世界探索无限的数字迷宫数学课，对许多学生来说，常常被视为一门枯燥难懂的学科。
然而，当我们深入了解数学这个神奇的世界时，我们会发现它蕴含着无限的魅力和奇妙的探索之旅。
本文将带您进入数学的世界，探索其中的数字迷宫和无限之境。
一、数学世界的灵感源泉数学作为一门学科，其应用广泛而深远。
它不仅在自然科学领域中发挥着重要作用，也广泛应用于社会科学和工程技术等领域。
数学世界的灵感源泉之一是日常生活中的问题。
我们经常会遇到一些与数字相关的难题，例如购物时计算折扣、规划行程时计算时间等等。
这些问题激发了数学家们的思考，使他们从中发现了一些规律和方法，进而推动了数学的发展。
另一个灵感源泉是数学家们在观察自然界时发现的规律性现象。
以黄金分割为例，它存在于许多自然界的事物中，如叶片的排列、美人鱼的比例等。
这些规律性现象不仅引发了数学家的兴趣，而且启发了他们提出了一些重要的数学理论。
二、数字迷宫的探索之旅数学世界中最令人着迷的可能莫过于数字迷宫了。
数字迷宫是由数字和运算符构成的谜题，要求我们通过有限的运算和推理来找出最终的答案。
在数字迷宫的探索过程中，我们需要发挥逻辑思维和数学推理的能力。
我们可以利用加减乘除等基本运算符，通过变换出不同的数字组合和计算方式，寻找到解决问题的路径。
这个过程既考验了我们的思维灵活性和创造力，又锻炼了我们对数学知识的运用能力。
数字迷宫不仅促进了我们对数学的理解和掌握，还锻炼了我们的问题解决能力。
通过解决数字迷宫，我们学会了如何分析问题、拆解问题、归纳总结，并最终找到解决问题的方法。
这些能力在日常生活中也是至关重要的。
三、无限的数字世界数学的另一大魅力在于它的无限性。
无论是自然数、整数、有理数、无理数还是虚数，数字的世界总是没有尽头的。
无限的数字世界中，蕴藏着许多耐人寻味的数学问题。
例如，无穷小和无穷大的概念，让我们思考了无限的极限和趋势；无限级数的求和问题，让我们探索了无穷个数的和。
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走进无限美妙的数学世界
希尔伯特的23个问题分属四大块：第1到第6问题是数学基础问题；第7到第12问题是数论问题；第13到第18问题属于代数和几何问题；第19到第23问题属于数学分析。
（1）康托的连续统基数问题。
1874年，康托猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数，即著名的连续统假设。
1938年，侨居美国的奥地利数理逻辑学家哥德尔证明连续统假设与ZF集合论公理系统的无矛盾性。
1963年，美国数学家科思（P.Choen）证明连续统假设与ZF公理彼此独立。
因而，连续统假设不能用ZF公理加以证明。
在这个意义下，问题已获解决。
（2）算术公理系统的无矛盾性。
欧氏几何的无矛盾性可以归结为算术公理的无矛盾性。
希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明，哥德尔1931年发表不完备性定理作出否定。
根茨（G.Gentaen，1909-1945）1936年使用超限归纳法证明了算术公理系统的无矛盾性。
（3）只根据合同公理证明等底等高的两个四面体有相等之体积是不可能的。
问题的意思是：存在两个登高等底的四面体，它们不可能分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等德思（M.Dehn）1900年已解决。
（4）两点间以直线为距离最短线问题。
此问题提的一般。
满足此性质的几何很多，因而需要加以某些限制条件。
1973年，苏联数学家波格列洛夫（Pogleov）宣布，在对称距离情况下，问题获解决。
（5）拓扑学成为李群的条件（拓扑群）。
这一个问题简称连续群的解析性，即是否每一个局部欧氏群都一定是李群。
1952年，由格里森（Gleason）、蒙哥马利（Montgomery）、齐宾（Zippin）共同解决。
1953年，日本的山
迈英彦已得到完全肯定的结果。
（6）对数学起重要作用的物理学的公理化。
1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫将概率论公理化。
后来，在量子力学、量子场论方面取得成功。
但对物理学各个分支能否全盘公理化，很多人有怀疑。
（7）某些数的超越性的证明。
需证：如果α是代数数，β是无理数的代数数，那么αβ一定是超越数或至少是无理数（例如，2√2和eπ）。
苏联的盖尔封特（Gelfond）1929年、德国的施奈德（Schneider）及西格尔（Siegel）1935年分别独立地证明了其正确性。
但超越数理论还远未完成。
目前，确定所给的数是否超越数，尚无统一的方法。
（8）素数分布问题，尤其对黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素共问题。
素数是一个很古老的研究领域。
希尔伯特在此提到黎曼猜想、哥德巴赫猜想以及孪生素数问题。
黎曼猜想至今未解决。
哥德巴赫猜想和孪生素数问题目前也未最终解决，其最佳结果均属中国数学家陈景润。
（9）一般互反律在任意数域中的证明。
1921年由日本的高木贞治，1927年由德国的阿廷（E.Artin）各自给以基本解决。
而类域理论至今还在发展之中。
（10）能否通过有限步骤来判定不定方程是否存在有理整数解？
求出一个整数系数方程的整数根，称为丢番图（约210-290，古希腊数学家）方程可解。
1950年前后，美国数学家戴维斯、普特南、罗宾逊等取得关键性突破。
1970年，巴克尔、费罗斯对含两个未知数的方程取得肯定结论。
1970年。
苏联数学家马蒂塞维奇最终证明：在一般情况答案是否定的。
尽管得出了否定的结果，却产生了一系列很有价值的副产品，其中不少和计算机科学有密切联系。
（11）一般代数数域内的二次型论。
德国数学家哈塞（Hasse）和西格尔（Siegel）在20年代获重要结果。
60年代，法国数学家魏依（A.Weil）取得了新进展。
（12）类域的构成问题。
即将阿贝尔域上的克罗内克定理推广到任意的代数有理域上去。
此问题仅有一些零星结果，离彻底解决还很远。
（13）一般七次代数方程以二变量连续函数之组合求解的不可能性。
七次方程x7+ax3+bx2+cx+1=0的根依赖于3个参数a、b、c；x=x(a,b,c)。
这一函数能否用两变量函数表示出来？此问题已接近解决。
1957年，苏联数学家阿诺尔德（Arnold）证明了任一在［0，1］上连续的实函数f(x1，x2，x3)可写成形式∑hi(ξi(x1,x2),x3)(i=1--9)，这里hi和ξi为连续实函数。
柯尔莫哥洛夫证明f(x1，x2，x3)可写成形式∑hi(ξi1(x1)+ξi2(x2)+ξi3(x3))(i=1--7)这里hi和ξi为连续实函数，ξij的选取可与f完全无关。
1964年，维土斯金（Vituskin）推广到连续可微情形，对解析函数情形则未解决。
（14）某些完备函数系的有限的证明。
即域K上的以x1,x2,…,xn为自变量的多项式fi（i=1,…，m），R 为K［X1，…，Xm]上的有理函数F（X1，…，Xm）构成的环，并且F（f1，…，fm）∈K[x1，…，xm]试问R是否可由有限个元素F1，…，FN的多项式生成？这个与代数不变量问题有关的问题，日本数学家永田雅宜于1959年用漂亮的反例给出了否定的解决。
（15）建立代数几何学的基础。
荷兰数学家范德瓦尔登1938年至1940年，魏依1950年已解决。
注一舒伯特（Schubert）计数演算的严格基础。
一个典型的问题是：在三维空间中有四条直线，问有几条直线能和这四条直线都相交？舒伯特给出了一个直观的解法。
希尔伯特要求将问题一般化，并给以严格基础。
现在已有了一些可计算的方法，它和代数几何学有密切的关系。
但严格的基础至今仍未建立。
（16）代数曲线和曲面的拓扑研究。
此问题前半部涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。
后半部要求讨论备dx/dy=Y/X的极限环的最多个数N（n）和相对位置，其中X、Y是x、y的n次多项式。
对n=2（即二次系统）的情况，
1934年福罗献尔得到N(2)≥1；1952年鲍廷得到N(2)≥3；1955年苏联的波德洛夫斯基宣布N(2)≤3，这个曾震动一时的结果，由于其中的若干引理被否定而成疑问。
关于相对位置，中国数学家董金柱、叶彦谦1957年证明了（E2）不超过两串。
1957年，中国数学家秦元勋和蒲富金具体给出了n＝2的方程具有至少3个成串极限环的实例。
1978年，中国的史松龄在秦元勋、华罗庚的指导下，与王明淑分别举出至少有4个极限环的具体例子。
1983年，秦元勋进一步证明了二次系统最多有4个极限环，并且是（1，3）结构，从而最终地解决了二次微分方程的解的结构问题，并为研究希尔伯特第（16）问题提供了新的途径。
（17）半正定形式的平方和表示。
实系数有理函数f(x1,…，xn)对任意数组（x1，…,xn）都恒大于或等于0，确定f是否都能写成有理函数的平方和？1927年阿廷已肯定地解决。
（18）用全等多面体构造空间。
德国数学家比贝尔巴赫（Bieberbach）1910年，莱因哈特（Reinhart）1928年作出部分解决。
（19）正则变分问题的解是否总是解析函数？
德国数学家伯恩斯坦（Bernrtein，1929）和苏联数学家彼德罗夫斯基（1939）已解决。
（20）研究一般边值问题。
此问题进展迅速，己成为一个很大的数学分支。
日前还在继读发展。
（21）具有给定奇点和单值群的Fuchs类的线性微分方程解的存在性证明。
此问题属线性常微分方程的大范围理论。
希尔伯特本人于1905年、勒尔（H.Rohrl）于1957年分别得出重要结果。
1970年法国数学家德利涅（Deligne）作出了出色贡献。
（22）用自守函数将解析函数单值化。
此问题涉及艰深的黎曼曲面理论，1907年克伯（P.Koebe）对一
个变量情形已解决而使问题的研究获重要突破。
其它方面尚未解决。
（23）发展变分学方法的研究。
这不是一个明确的数学问题。
20世纪变分法有了很大发展。