02第二节边缘分布2016
理学概率统计随机向量
P
(X
xi ,Y
y
j
)
P
X
xi ,
P(X xi
j
,Y
(Y
y yj)
j
)
j
j
pij (i 1, 2,...)
j
此为概率分布表中第i行的概率之和
Y的分布律为:
P（Y
yj)
P(,Y
yj)
P
(X
xi ),Y
yj
P
(X
xi ,Y
yj )
i
P（X xi ,Y y j )
i
i
例4 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=
ke(2x3y) , x 0, y 0,
0,
其他.
(1) 确定常数k；（2）求（X，Y）的分布函数；
（3）求P{X<Y}.
解 (1) 1 =
f (x, y)dxdy
ke (2x 3y)dxdy
0
0
= k e2xdx e3ydy
X1
Y
1 0.1 20 3 0.1 40
2
3
0.3
0
0
0.2
0.1
0
0.2
0
求P{X＞1,Y≥3}及P{X=1}. 解: P{X＞1,Y≥3}=P{X=2,Y=3}+P{X=2,Y=4}
+P{X=3,Y=3}+P{X=3,Y=4} =0.3；
P{X=1}=P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3}
解 （1）圆域x2+y2≤4的面积A=4π，故（X，Y）的概率
密度为
f（x，y）=
3-2边缘分布.
且都不依赖于参数.
这意味着对于给定的1,2
,
2 1
,
2 2
,
不同的对应不同的二维正态分布. 如N
1
,
2 1
;
2
,
2 2
;
0.3
与N
1,
2 1
;
2
,
2 2
;
0.7
对应不同的二维正态分布，而它们的
边缘分布却是相同的. 这一事实表明:仅由边缘分布,一般来说
不能确定随机变量X ,Y的联合分布.也再次说明了联合分布中
i 1
分别称 pi (i 1,2,) 和 p j ( j 1,2,) 为 ( X ,Y )
关于 X 和关于Y 的边缘分布律.
Y X
x1 x2 xi
y1 y2
p11 p12 p21 p22
pi1 pi 2
yj
p1 j p2 j
pij
2
e dy,
1 2(1 ρ2
)
y μ2 σ2
ρ
x μ1 σ1
2
令 t 1 y μ2 ρ x μ1 ,
1 ρ2 σ2
σ1
则有
f X
(x)
1 2πσ1
e
(
x μ1 2σ12
)2
t2
e 2 dt,
即
二、离散型随机变量的边缘分布律
定义 设二维离散型随机变量( X ,Y )的联合分布
律为
P{ X xi ,Y y j } pij , i, j 1,2,.
记
第二节 边缘分布
y
dy
0 0
cxe
y
x
dx
c 2
0
y e
2
y
dy
c 2
xe y f x， y 0
0 x y 其它
2 c
所以，
⑵．当 x 0 时，
f X x
c 1
f x ， y dy
x>0,y>0 其它
求边缘分布函数 解： FX(x)= F(x, +∞)
1 e x 0,
x>0, 其它
FY(y)＝
1 e y F(+∞,y) 0,
y>0 其它
2、边缘概率密度
对连续型 r.v ( X,Y )， X和Y的联合概率密度为 f ( x, y ) 则( X,Y )关于X的边缘概率密度为
3 2 2y y
2
0
x
24 5
0 y 1
),
2
注意取值范围
即
12 2 x ( 2 x ), f X (x) 5 0,
0 y ), fY ( y ) 5 2 2 0,
0 y 1 其它
X
y1 p 11
p 21
p i1
y2 p 12
p 22
pi2
„ „ „
yj p1 j
p2 j
„
x)
i
x1
x2
xi
„ p „ p
1j
2 j
„
p ij
„p
ij
2016中考状元地理必备(第一部分)解析
第一章地球和地图第一节地球和地球仪考点1:地球的形状和大小1.地球的形状(1)形状:地球是一个（两极）稍扁、（赤道）略鼓的不规则球体。
(2)人类认识地球形状的过程:人们对地球形状的认识经历了一个漫长的过程。
①古代人由于活动范围狭小,往往凭自己的直觉认识世界,看到眼前的地面是平的,就以为整个大地也是平的,并且把天空看作是倒扣着的一口巨大的锅。
我国古代有“天圆如张盖,地方如棋局”的说法。
②后来人们根据太阳、月亮的形状,推测地球也是球体,于是就有了“地球”的概念。
③1519~1522年,葡萄牙航海家麦哲伦率领的船队,首次实现了人类环绕地球一周的航行,证实了地球是一个球体。
④20世纪,人类进入了太空,从太空观察地球,并且从人造卫星上拍摄了地球的照片,确证地球是一个球体（3）用事实说明地球是一个球体:A.站在海边,遥望远处驶来的船只,总是先看到桅杆,再看到船身。
B.在地球上沿着一个方向一直向前走,在前方总有新星升起。
C.欲穷千里目,更上一层楼。
D.月食时,月球上呈现的地球影子。
E.麦哲伦环球航行。
F.宇航员拍摄的地球照片。
2.地球的大小考点2:地球的模型——地球仪1.概念:人们仿照地球的形状并按一定的把它缩小,制作成模型,这就是地球仪。
2.地轴和两极:在地球仪上,人们假想的穿过的地球旋转轴,叫地轴。
地轴与地球表面相交的两点,叫两极。
其中,对着北极星方向的点叫 ,与北极对应的点叫【注意】①地轴和经线是有区别的。
地轴连接南北两极是从地球仪的内部连接的,经线连接南北两极是在地球仪表面连接的。
地轴是一条直线,而经线是一条半圆弧形。
②地球和地球仪是有很大差别的。
地球仪上有一根能使地球仪转动的假想的地轴,这根地轴是地球上没有的。
地球仪上有很多线也是地球上没有的。
③自西向东拨动地球仪,从北极上空看,地球仪是逆时针方向转动;从南极上空看,地球仪是顺时针方向转动。
考点3:经线与纬线、经度与纬度1.经线与纬线2.经度与纬度总结归纳:从本初子午线向东,经度度数增大。
第二节边缘分布
当-1<x<1时
1 x 2
f X ( x) f ( x, y)dy
1
1 x 2
dy
x 1 其他
2 1 x2
2 1 x2 f X ( x) 0
当 1 y 1时 同理 fY ( y )
1 y 2
2
1
1 y
即为 F(x，y)=Fx(x)FY(y) 反之，若X与Y满足F(x，y)=Fx(x)FY(y) ，则有 P{x1<X≤x2，y1<Y≤y2} =F(x2, y2)- F(x1, y2)-F(x2, y1)+ F(x1, y1)
= Fx(x2)FY(y2)- Fx(x1)FY(y2)- Fx(x2)FY(y1)+Fx(x1)FY(y1)
若x与y相互独立则在fxydfdx一负责人到达办公室的时间均匀分布在812时他的秘书到达办公室的时间均匀分布在79时设他们两人到达的时间相互独立求他们到达办公室的时间相差不超过5分钟112小时的概率
第二节 边缘分布
引言
边缘分布
随机变量独立性
一、边缘分布的定义
1．边缘分布 设(X,Y)为二维随机向量其分布函数为F(x,y)，X和Y的分 布函数分别记为Fx(x)和FY(y), 依次称Fx(x),FY(y)为(X,Y) 关于X和关于Y的边缘分布函数. 2.公式. 由于Fx(x)=P({X≤x}∩{Y<+∞})=P{X≤x,Y<+∞} =F(x,+∞) 同理有 FY(y)=F(+∞, y).
p
i xi x , y j y
p
p j
xi x
概率论与数理统计32边缘分布解析
y)
lim [
y
1
2
(arctan
x
2
)(arctan
y )]
2
1
2
(arctan
x
)
2
1
arctan
x
1, 2
- x
FY
(
y)
1
arctan
y
1 2
,
- y
设离散型二维随机变量(X,Y)的分布律为
P{ X xi ,Y y j } pij (i, j 1,2,).
则由联合分布函数与边缘分布函数、联合分布律关
( X ,Y )关于X的边缘分布函数.
定义：
二维随机变量 (X,Y)作为一个整体, 具有分布函
数 F x, y, 而 X 和 Y 都是随机变量 , 也有各自的分 布函数, 分别记为 FX x, FY y, 依次称为二维随机
变量 (X,Y) 关于 X 和 Y的边缘分布函数.
FX x PX x PX x,Y F x,
把第一行和最后一行拿出来就是Y的分布；把第一列 和最后一列拿出来就是X的分布。
我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边 缘上，由此得出边缘分布这个名词.
练习 袋中有2只白球和3只黑球，从中摸球，记
Xi
1, 第i次 摸 出 白 球 0, 第i次 摸 出 黑 球i
1,2,
试求 ( X1 , X 2 )的联合概率分布和边缘概率分
布。
解： （I）有放回摸球
X1
X2 0 1
0
33 55
32 55
1
23 22
5 55 5
PX2 ( y)
3 5
2 5
PX1 ( x)
概率论与数理统计14 3.2 边缘分布3.3独立性
• 设联合概率分布
pij P{ X xi , Y y j } i , j 1,2,
{ X xi } { X xi , Y y j }
P{ X xi } P{ X xi , Y y j } pij i 1,2,
j 1
• 同理:
2 1 2 2
[
( x 1 ) 2
2
( x 1 )( y 2 )
( y 2 )2
]}
• 例 某码头只能容纳一只船.现预知某日 将来到甲乙两只船,且在24小时内来到的 可能性相等.如果两船需要停靠的时间均 为3小时,试求甲船在江中等待的概率. • 解 设X,Y表示甲乙两船到达码头的时间, • 则(1)
• 所求概率为
P{0 X Y 3}
0 x y 3
f ( x, y)dxdy
P { 0 X Y 3} 1 2 dxdy 24 D 1 24 2 212 2( ) 24 2 2 0.11
• 问X,Y是否相互独立? •解 2 1 x2
1 x 1 f X ( x) 0 其它 2 1 y2 1 y 1 fY ( y ) 0 其它 f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y ) X , Y不相互独立
1 0 x 24 f X ( x ) 24 其它 0 1 0 y 24 fY ( y ) 24 其它 0
• (2)X,Y相互独立
f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y ) 1 2 0 x 24, 0 y 24 24 其它 0 • A=“甲船在江中等待”={0 X Y 3}
概率论与数理统计教案(48课时)
概率论与数理统计教案（48课时）第一章随机事件及其概率本章的教学目标及基本要求(1)理解随机试验、样本空间、随机事件的概念；(2)掌握随机事件之间的关系与运算，；(3)掌握概率的基本性质以及简单的古典概率计算；学会几何概率的计算；(4)理解事件频率的概念，了解随机现象的统计规律性以及概率的统计定义。
了解概率的公理化定义。
(5)理解条件概率、全概率公式、Bayes公式及其意义。
理解事件的独立性。
本章的教学内容及学时分配第一节随机事件及事件之间的关系第二节频率与概率2学时第三节等可能概型(古典概型)2学时第四节条件概率第五节 事件的独立性2学时三.本章教学内容的重点和难点1）随机事件及随机事件之间的关系;2）古典概型及概率计算;3）概率的性质;5）独立性、n 重伯努利试验和伯努利定理四.教学过程中应注意的问题1）使学生能正确地描述随机试验的样本空间和各种随机事件;2）注意让学生理解事件4uB,AuB 、AcB,4-B,4B = ®,A... 的具体含义,理解事件的互斥关系；根定律；4)条件概率, 全概率公式和Bayes 公式 3) 让学生掌握事件之间的运算法则和德莫4）古典概率计算中，为了计算样本点总数和1)事件的有利场合数，经常要用到排列和组合，复习排列、组合原理；2)讲清楚抽样的两种方式有放回和无放回；思考题和习题思考题：1.集合的并运算和差运算-是否存在消去律？2.怎样理解互斥事件和逆事件？3.古典概率的计算与几何概率的计算有哪些不同点？哪些相同点？习题：第二章随机变量及其分布本章的教学目标及基本要求(1)理解随机变量的概念，理解随机变量分布函数的概念及性质，理解离散型和连续型随机变量的概率分布及其性质，会运用概率分布计算各种随机事件的概率；(2)熟记两点分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布的分布律或密度函数及性质；二.本章的教学内容及学时分配第一节随机变量第二节第二节离散型随机变量及其分布离散随机变量及分布律、分布律的特征第三节常用的离散型随机变量常见分布（0-1分布、二项分布、泊松分布）2学时第四节随机变量的分布函数分布函数的定义和基本性质，公式第五节连续型随机变量及其分布连续随机变量及密度函数、密度函数的性质2学时第六节常用的连续型随机变量常见分布（均匀分布、指数分布、正态分布）及概率计算2学时三.本章教学内容的重点和难点a）随机变量的定义、分布函数及性质；b）离散型、连续型随机变量及其分布律或密度函数，如何用分布律或密度函数求任何事件的概率；C）六个常见分布（二项分布、泊松分布、几何分布、均匀分布、指数分布、正态分布）；四.教学过程中应注意的问题a）注意分布函数F（x） P{X x}的特殊值及左连续性概念的理解；b）构成离散随机变量X的分布律的条件，它与分布函数F（x）之间的关系；c）构成连续随机变量X的密度函数的条件，它与分布函数F（x）之间的关系；d）连续型随机变量的分布函数F（x）关于x处处连续，且P（X x） 0，其中x为任意实数，同时说明了P（A） 0不能推导A 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
注意： 记号pi•中的"•"是由pij关于j求和后得到的; 同样, p•j
是由pij关于i求和后得到的).
已知离散型随机向量（X，Y）
的分布律，求关于X 、Y 的边
缘分布律．
已知二维离散型随机向量（X，Y）的分布律
Y X
x1
x2
xi
y1
y2
y j
p11
p12
p 1 j
p 21
p22 p 2 j
p•2
p • j 1
例2 某校新选出的学生会 6 名成员, 文、理、工科各占1/6、
1/3、1/2，现从中随机指定 2 人为学生会主席候选人. 令X , Y 分别为候选人中来自文、理科的人数.求(X, Y) 的联合分布律
和边缘分布律.
解 X 与Y 的可能取值分别为0 , 1与0 , 1 , 2.
P (X1 ,Y0)C 1 1 C 1 3/C 6 23/1,5
P (X 1 ,Y 1 )C 1 1 C 1 2/C 6 22/1,5
P (X1,Y2)0.
故联合分布律与边缘分布律为
Y X
0 1
p• j
0
1
2
pi•
3/15 6/15 1/15
2/3
3/15 2/15
0
1/3
6/15 8/15 1/15
p i1
pi2
p ij
求关于X 、Y 的边缘分布律．
X、Y 的边缘概率分布可分别通过联合分布律表中按各 行与按各列相加而得到,见下表
XY
y1
x1
p11
x2
p 21
xi
p i1
p•j
p •1
y2
y j
p i•
p12
p1 j
p1•
p22
p2 j
p2•
p i 2
p ij
p i•
(3) 求P (X > 2).
解 (1) F (, ) A B 2 C 2 1 F (, ) A B 2 C 2 0 F (, ) A B 2 C 2 0
B2,C2,A12
(2) F X(x)F (x,)
1 21arc2 xt,anx.
F Y (y ) F (,y )
Y
Y
y
o
x
X
o
X
Ⅰ
Ⅱ
而联合分布函数 F(x,表y)示随机向量 (落X,在Y)这两个半平面 的公共部分的概率
Y
y
o
x
XX
例1 设随机变量(X ,Y )的联合分布函数为
F(x,y)ABarctxanCarctyan
2
2
x,y
其中A , B , C 为常数.
(1) 确定A , B , C ； (2) 求X 和Y 的边缘分布函数；
由乘法公式
P (X 0 ,Y 0 ) P (x 0 )P (Y 0 X 0 )
C52 C62
C32 C52
3/15,
或由古典概型
P (X0 ,Y0 )C 3 2/C 6 23/1,5
类似有
P (X0 ,Y1 )C 1 2C 1 3/C 6 26/1,5 P (X0,Y2)C 2 2/C 6 21/1;5
1 21arc2 yt,any.
(3) P ( X 2 ) 1 P ( X 2 ) 1121arct22an
1/ 4.
可以将二维 r.v.其边缘分布函数的概念推广到 n 维 r.v.其联合分布函数与边缘分布函数.
二、离散型随机向量（X，Y）的边缘分布
定义二维离散型随机向量(X，Y)的两个分量X与Y的分布律
1
一整数N等可能地在1,2,3,...,10十个值中取一个值. 例3 设D(N)是能整除N的正整数的个数, F=F(N)是能整除
N的素数的个数(注意1不是素数), 试写出D和F的联合 分布律.
解 先将试验的样本空间及D,F取值的情况列表如下:
样本点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D 1223 24 2 434 F 0111 12 1 112
样本点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
二维联合分布全面地反映了二维随机变量 (X,Y)的取值及其概率规律. 而单个随机变量X,Y 也具有自己的概率分布. 那么要问:二者之间有 什么关系呢?
第二节 边缘分布
一、随机向量（X，Y）的边缘分布函数 二、离散型随机向量（X，Y）的边缘分布 三、连续型随机向量（X，Y）的边缘概率密度
一、随机向量（X，Y）的边缘分布函数
若已知( X)的, Y分布函数为
的边缘X分布Y函数:
，F则(x,容y)易求得关于 、
FX(x)P{Xx}P{Xx,Y} lim F(x,y)F(x, )
y
FY(y)P{Yy}P{X, Yy} lim F(x,y)F(, y)
x
边缘分布函数 FX、(x) 分FY 别(y)表示随机向量( )落X入, Y下图 中的I、II 两个带阴影的半平面内的概率.
随机向量(X,Y)把两个随机变量X和Y作为一个整 体来研究，实际问题中有时需要研究随机向量(X,Y) 的分量X,Y的性质，为此，引入边缘分布.
定义二维随机向量(X,Y)关于两个分量X、Y 的分布函数分别
记为 、FX (x),分F别Y (称y)之为随机向量(X,Y)关于X、Y 的边缘分
布函数.
二维随机向量(X,Y)关于X、Y 的边缘分布函数 、FX (x) FY (y可) 由的分布函数 F(来x,确y)定.
分别称为随机向量(X，Y)关于X 、Y 的边缘分布律．
设二维离散型随机向量( X),的Y 概率分布为：
P { X x i,Y y j} p i j( i ,1 , 2 j )
对于给定的 x (ii=1,2,…)，有
于是
X x i X x i, Y y j j
P X x i P ( X x i,Y y j) j
高等院校非数学类本科数学课程 大 学 数 学(四) —— 概率论与数理统计
第三章 随机向量及其分布
本章学习要求： 理解二维随机变量的定义。 理解二维随机变量的分布函数及其性质。 了解二多维离散型随机变量的分布律。 了解条件分布的概念。 掌握二维连续型随机变量的概率密度，边缘分布、 随机变量的独立性。 掌握随机向量函数的分布。
PXxi,Yyj
j
pij
j
i1,2,
Байду номын сангаас
同理可得,对于给定的 yj(j1,有2, ),
P Yyj p ij 1 j,2 ,
i
将PX和xi P分Y别y记j为 和 , 则p i •有 p • j
p i• P X x i p ij( i , , )
j
p • j P Y y j p ij( j , , )