二维随机变量边缘分布条件分布
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二维随机变量的分布函数、边缘分布、条件分布
一般，对离散型 r.v ( X,Y )，
X和Y 的联合概率函数为
P(X xi ,Y y j)pij, i, j 1,2,
则(X,Y)关于X的边缘概率函数为
P(X xi ) pi• pij, i 1,2,
j
(X,Y)关于Y 的边缘概率函数为
P (Y y j ) p• j pij , j 1, 2,L
P(X xi ,Y yj) pij,
i, j =1,2, …
pij 0, i, j 1,2,
pij 1
ij
一维随机变量X 离散型
X的概率函数
P(Xxk) pk,
k=1,2, …
pk 0, k=1,2, …
pk1
k
为了直观，一般用表格表示联合分布律
Y X
y1
y2
L
x1 p11 p12 L
例2 设 r.v.( X ,Y ) 的联合 d.f. 为
kx2 y, x2 y 1
f (x, y)
0,
其它
其中k 为常数. 求
(1)常数 k ; (2) P ( X > Y )
解 (1)
f (x, y)dxdy 1
f (x, y)dxdy 1
1
K
1
D
x2 ydxdy
1 x2
联合密度的性质
1 f (x, y) 0
2 f (x, y)dydx 1
3 对每个变量连续, 在 f (x的, y连) 续点处
2F f (x, y) xy
4 若G 是平面上的区域，则
P( X ,Y ) G f (x, y)dxdy
G
对于二维连续型随机变量有
P( X = a ,Y = b ) = 0 P( X = a ,- < Y < + ) = 0 P(- < X < + , Y= a ) = 0
第三章 二维随机变量及其分布
第三章 二维随机变量及其分布■2009考试内容多维随机变量及其分布 二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布 二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度 随机变量的独立性和不相关性 常用二维随机变量的分布两个及两个以上随机变量简单函数的分布■2009考试要求1．理解多维随机变量的概念，理解多维随机变量的分布的概念和性质，理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，理解二维离散型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度，会求与二维随机变量相关事件的概率。
2．理解随机变量的独立性及不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件。
3．掌握二维均匀分布，了解二维正态分布N （221212,;,;)μμσσρ的概率密度，理解其中参数的概率意义。
4. 会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布。
本章的核心内容是离散3分布（联合、边缘和条件）；连续3密度（联合、边缘和条件）；均匀与正态。
介绍了作者原创的3个秘技（直角分割法、平移法和旋转法） 求分布问题。
本章是教育部关于概率论大题命题的重点。
一、二维随机变量（向量）的分布函数1.1 二维随机变量（向量）的分布函数的一般定义(), X Y 是二维随机变量，对任意实数x 和y ，称为(), X Y 的分布函数，又称联合分布函数。
●(), F x y 具有一维随机变量分布类似的性质。
① ()0, 1F x y ≤≤；② (), F x y 对x 和y 都是单调非减的，如()()1212, , x x F x y F x y >⇒≥； ③ (), F x y 对x 和y 都是右连续；④ ()()()()(), lim , 1, , , , 0,x x F F x y F F x F y →+∞→+∞+∞+∞==-∞-∞=-∞=-∞=●(), F x y 几何意义：表示(), F x y 在(), x y 的函数值就是随机点(), X Y 在X x =左侧和Y y =下方的无穷矩形内的概率。
3.2(二维随机变量的边缘分布)
作业：解答题 2 4 5 6
3.2.3
二维连续型随机变量的边缘概率密度
设二维连续型随机变量(X，Y)的分布函数为 F(x，y)，概率密度为f(x，y). 因为 FX ( x ) F ( x,) ( f ( x, y)dy)dx
由分布函数定义知， X 是一个连续型随机变量， 且其概率密度为 f X ( x ) f ( x, y )dy
设 随 机 变 量X 和 Y 具 有 联 合 概 率 密 度 【补充例】 6, x 2 y x , f ( x, y) 0, 其 他. 求关于 X的 边 缘 概 率 密 度 fX ( x) 和 边 缘 分 布 函 数 FX ( x ).
解:
f X ( x)
f ( x , y)
1 2 1 2
1 ( x 1 ) 2 ( x 1 )( y 2 ) ( y 2 ) 2 exp{ [ 2 ]} 2 2 2 2 2(1 ) 1 1 2 2 1
且
( y 2 ) 2
2 2
2
3.2.2
二维离散型随机变量的边缘分布律
于是(X，Y)的分布律和边缘分布律如下：
Y X 0 1 P{Y = yj}
0
9/25 6/25 3/5
1
6/25 4/25 2/5
P{X = xi}
3/5 2/5 1
3.2.2
二维离散型随机变量的边缘分布律
(2) (X，Y)所有可能取值仍然为：(0，0)、(0，1)、 (1，0)、(1，1)则
☺课堂练习
一 整 数N 等 可 能 地 在 1, 2, 3, ,10 十 个 值 中 取 一个值 . 设 D D( N ) 是 能 整 除N 的 正 整 数 的 个 数 , F F(N )是 能 整 除 N的素数的个数 .试 写 出D 和 F 的联合分布律 , 并求边缘分布律 . 解 样本点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
《概率学》3.2_3.3二维随机变量的边缘分布及独立性
i, j=1, 2, ...,
连续型
f (x, y)
第三章 多维随机变量及其分布
（X，Y）边缘分布
FX(x) = F（x,＋∞） F Y(y) = F（＋∞, y）
pi .=P{X= xi}= pij i=1, 2, ..., j 1
p.j=P{Y= yj}= pij j=1, 2, ..., i 1
连续型 f (x, y)
第三章 多维随机变量及其分布
（X，Y）边缘分布
FX(x)=（
）
F Y(y) =（
）
pi .=P{X= xi}（=
）
p.j=P{Y= yj}=（
）
f X ( x) （
）
fY ( y) （
）
作答
1
8
山东农业大学公共数学系概率统计课程组 版权所有
第2节 二维随机变量的边缘分布
第三章 多维随机变量及其分布
f X (x)
f (x, y)dy
fY ( y)
f (x, y)dx
1
7
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主第观2节题二维随2机分变量的填边缘空分布 填空
( X, Y )联合分布 一般 F(x,y)= P{X ≤ x,Y≤y}
离散型 P{X=xi ,Y=y j}= pi j
i, j=1, 2, ...,
1
2
fX (x)
f (x, y)dy
1
exp{ 1 (u2 2u v2)}dv
21 1 2
2(1 2)
1
u2
e2
1
exp{ (v u)2 }dv
2 1
2 1 2
2(1 2)
连续型
f (x, y)
第三章 多维随机变量及其分布
（X，Y）边缘分布
FX(x) = F（x,＋∞） F Y(y) = F（＋∞, y）
pi .=P{X= xi}= pij i=1, 2, ..., j 1
p.j=P{Y= yj}= pij j=1, 2, ..., i 1
连续型 f (x, y)
第三章 多维随机变量及其分布
（X，Y）边缘分布
FX(x)=（
）
F Y(y) =（
）
pi .=P{X= xi}（=
）
p.j=P{Y= yj}=（
）
f X ( x) （
）
fY ( y) （
）
作答
1
8
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第2节 二维随机变量的边缘分布
第三章 多维随机变量及其分布
f X (x)
f (x, y)dy
fY ( y)
f (x, y)dx
1
7
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主第观2节题二维随2机分变量的填边缘空分布 填空
( X, Y )联合分布 一般 F(x,y)= P{X ≤ x,Y≤y}
离散型 P{X=xi ,Y=y j}= pi j
i, j=1, 2, ...,
1
2
fX (x)
f (x, y)dy
1
exp{ 1 (u2 2u v2)}dv
21 1 2
2(1 2)
1
u2
e2
1
exp{ (v u)2 }dv
2 1
2 1 2
2(1 2)
边缘分布与条件分布
1
三、二维连续型随机变量(X,Y)的边缘概率密度
二维连续型随机变量(X,Y)的边缘概率密度即X,Y f 各自的概率密度,分别记为： X ( x), fY ( y)， 下面讨论二维
连续型随机变量 ( X , Y )的概率密度 f ( x, y)与f X ( x)及
fY ( y)之间的关系:
由于
FX ( x) F ( x, )
记住：
fY ( y) FY ( y) fY ( y )
f ( x, y) d x.
f X (x) f (x, y)d y,
f (x, y)d x.
例3
设随机变量 X 和 Y 具有联合概率密度
6, x 2 y x , f ( x, y) 0, 其他. 求边缘概率密度 f X ( x ), fY ( y ) .
f X ( x)
因而得
O
x
f ( x, y) d y 0d y 0.
6( x x 2 ), 0 x 1, f X ( x) 其他. 0,
下求：fY ( y)
f ( x, y) d x
y y x
(1,1)
当 0 y 1 时, fY ( y ) f ( x , y ) d x
二、二维离散型随机变量(X,Y)的边缘分布律
一般地，对二维离散型随机变量 ( X,Y )， X和Y 的联合分布律为：
P( X xi , Y y j ) pij, i, j 1,2,
(X,Y) 关于X 的边缘分布律（即X的分布律）为:
P X xi P X xi ,Y y j pij pi .
二维随机变量及其分布
5
一、二维随机变量的联合分布函数与边缘分布函数
1、联合分布函数: F(x,y)
(1)定义:设(X,Y)为二维随机变量,对任意实数 x、y, 称
F (x, y) P {X x , Y y} P {(X x) (Y y )}
为二维随机变量（X,Y）的联合分布函数。
6
(2)联合分布函数的几何意义 (X,Y)平面上随机点的 坐标
三、二维连续型随机变量
23
1、联合概率密度函数:f(x,y)
定义：设二维随机变量（X，Y）的分布函数为 F
(x,y),若存在非负函数f（x，y），使对任意实数
x，y 有
xy
F(x, y)
f (u,v)dudv
则称（X，Y）是二维连续型随机变量,f（x，y）称为（X， Y）的联合概率密度函数。
f (x, y)
0, 其他
求：（1）k; （2）P(Y X );
（3）分布函数F (x, y);
（4）P(0 X 1, o Y X )
26
解：(1)1
f (x, y)dxdy
y
dx
ke2x3ydy
0
0
0
x
k e2xdx e3ydy k
0
0
6
e2xdx 1 e2xd (2x)
X与Y独立.
43
例2:设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
f
(
x,
y)
2,
0
x 0,
y, 0 其他
y
1
问X与Y是否独立。
解：f X (x)
f (x, y)dy
3
二维随机变量的定义:
设E是一个随机试验,其样本空间为S .设X、Y是定义在S 上的两个随机变量，由 X,Y 构成的向量(X，Y)称为S的 一个二维随机变量。
一、二维随机变量的联合分布函数与边缘分布函数
1、联合分布函数: F(x,y)
(1)定义:设(X,Y)为二维随机变量,对任意实数 x、y, 称
F (x, y) P {X x , Y y} P {(X x) (Y y )}
为二维随机变量（X,Y）的联合分布函数。
6
(2)联合分布函数的几何意义 (X,Y)平面上随机点的 坐标
三、二维连续型随机变量
23
1、联合概率密度函数:f(x,y)
定义：设二维随机变量（X，Y）的分布函数为 F
(x,y),若存在非负函数f（x，y），使对任意实数
x，y 有
xy
F(x, y)
f (u,v)dudv
则称（X，Y）是二维连续型随机变量,f（x，y）称为（X， Y）的联合概率密度函数。
f (x, y)
0, 其他
求：（1）k; （2）P(Y X );
（3）分布函数F (x, y);
（4）P(0 X 1, o Y X )
26
解：(1)1
f (x, y)dxdy
y
dx
ke2x3ydy
0
0
0
x
k e2xdx e3ydy k
0
0
6
e2xdx 1 e2xd (2x)
X与Y独立.
43
例2:设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
f
(
x,
y)
2,
0
x 0,
y, 0 其他
y
1
问X与Y是否独立。
解：f X (x)
f (x, y)dy
3
二维随机变量的定义:
设E是一个随机试验,其样本空间为S .设X、Y是定义在S 上的两个随机变量，由 X,Y 构成的向量(X，Y)称为S的 一个二维随机变量。
2.4 概率论——二维随机变量的独立性
y
FY ( y) F(, y) [ f ( x, v)dx]dv,
故X,Y 的 边缘密度函数为：
fX ( x) FX ( x)
f ( x, y)dy,
fY ( y) FY ( y)
f ( x, y)dx,
例2：设（X，Y）服从下列区域上的二维均匀分布，
试求X，Y的边缘概率密度。
y
(1)D ( x, y) | 0 x 2,0 y 1 1
2.4 二维随机变量的独立性
一、二维随机变量的边缘分布
随机向量( X ,Y )中, X ,Y的分布分别称为关于X、Y的 边缘分布。X, Y的分布函数 FX ( x), FY ( y) 称为边缘分布函数。
巳知 (X, Y) 的联合分布函数为 F(x, y)， 则易知：
FX x PX x PX x,Y F x, FY y PY y PX ,Y y F , y
次击中目标所进行的射击次数，以 Y 表示总共进行 的射击次数 . 试求 X 和 Y 的联合分布及条件分布.
解 依题意，{Y=n} 表示在第n次射击时击中目 标 , 且在前n-1次射击中有一次击中目标. {X=m} 表 首次击中目标时射击了m次 .
1 2 ……m…………. n-1 n
n次射击 击中
击中
j
P{[( X xi ) (Y y j )]}
j
P{X xi ,Y y j }
j
pij pi• (i 1,2, ) j
同理，Y的边缘分布
P{Y y j } pij p• j i
( j 1,2, )
XY
x1 x2 xi
p• j
y1 y2 y j pi•
p11 p12 p1 j p1•
暂时固定
边缘分布和条件分布
FX ( x) P{ X ≤x} P{ X ≤x, Y ≤ } F ( x, )
即
FX ( x) F ( x, ) FY ( y ) F (, y )
2
2.边缘分布率
二维离散型随机变量（X,Ｙ)中，X与Ｙ各自 的分布率就称为边缘分布率.
设联合分布率为
P{ X xi , Y y j } pij , i, j 1, 2,
解： ( X , Y )的概率密度
1/ , x y ≤1 f ( x, y ) 其它 0,
2 2
y
1 y2
1
y
1 y2
O
1
fY ( y )
x
f ( x, y )dx
2 1 y 2 1 dx 1 y 2 , 1≤y≤1 1 y 2 0, 其它
16
1 于是， 当－ y 1时有
f ( x, y ) f X |Y ( x | y ) fY ( y ) 1/ 1 , 1 y2 x 1 y2 (2 / ) 1 y 2 2 1 y 2 0, 其它
当 | y | 1时，X 在Y＝y的条件下的条件密度不存在。
7
例： 设(X , Y ) ~ N ( 1 , 2 , 1 , 2 , ), 求X , Y的边缘密度.
2 2
解：
f X ( x)
1 f ( x, y)dy e 2 1
( x 1 )2
2 21
所以 同理
X ~ N ( 1 , 12 )
2 Y ~ N ( 2 , 2 )
FY | X ( y | x) A P{Y≤y | X x} A fY | X ( y | x)dy
即
FX ( x) F ( x, ) FY ( y ) F (, y )
2
2.边缘分布率
二维离散型随机变量（X,Ｙ)中，X与Ｙ各自 的分布率就称为边缘分布率.
设联合分布率为
P{ X xi , Y y j } pij , i, j 1, 2,
解： ( X , Y )的概率密度
1/ , x y ≤1 f ( x, y ) 其它 0,
2 2
y
1 y2
1
y
1 y2
O
1
fY ( y )
x
f ( x, y )dx
2 1 y 2 1 dx 1 y 2 , 1≤y≤1 1 y 2 0, 其它
16
1 于是， 当－ y 1时有
f ( x, y ) f X |Y ( x | y ) fY ( y ) 1/ 1 , 1 y2 x 1 y2 (2 / ) 1 y 2 2 1 y 2 0, 其它
当 | y | 1时，X 在Y＝y的条件下的条件密度不存在。
7
例： 设(X , Y ) ~ N ( 1 , 2 , 1 , 2 , ), 求X , Y的边缘密度.
2 2
解：
f X ( x)
1 f ( x, y)dy e 2 1
( x 1 )2
2 21
所以 同理
X ~ N ( 1 , 12 )
2 Y ~ N ( 2 , 2 )
FY | X ( y | x) A P{Y≤y | X x} A fY | X ( y | x)dy
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求 (1) c 的值; (2) 两个边缘密度 .
解
(2)
fX x
f x, ydy
当 x 1或 x 0时 , y ,, y
y x
都有 f x, y 0,故 fX x 0 .
当 0 x 1时,
fX
x
0
f
x,
y dy
0x 1 x
x
0
f
x,
y dy
x
f
x,
y dy
.
当 0 x 1时,
x
dx
f x, ydy
fX x FX x
f x, ydy
( X,Y )关于Y 的边缘概率密度为
fY ( y )
f ( x, y )dx
y
例2 设(X,Y)的概率密度是
cy( 2 x ), 0 x 1,0 y x
f ( x,y )
0,
其它
求 (1) c的值； （2）两个边缘密度。 y
x,
ydx
1
f
x,
ydx
.
1 24 y(2 x)dx
y5
24
y( 3
PX ,Y G f x, ydxdy ;
G
4 . 在 f (x,y)的连续点 , f ( x, y) 2F ( x, y) xy
例2 设(X,Y)的概率密度是
f
x,
y
2e(2 x y) ,
0,
x 0, y 0, 其它.
(1) 求分布函数 F x, y;
(2) 求概率 PY X .
f (x, y)
0,
其它
求 (1) c的值; (2) 两个边缘密度 .
暂时固定
解 (2)
fY y
f x, ydx
y
当 y 1或 y 0时 ,对 x ,,
y x
都有 f x, y 0,故 fY y 0 .
1
当0 y 1时,
fY y
y f x, ydx
y x
0
1
y
f
一维随机变量X
连续型
F x x
f tdt
x
X的概率密度函数
f x x R
f (x) 0
f (x)dx 1
（X,Y）的概率密度的性质
1 . f x, y 0 ;
2 .
f x, y dxdy 1; f x, y dxdy 1 ;
R2
3 . 设 G 是 xOy 平面上的区域 , 则有
i, j 1, 2, ,记
P(X xi ,Y yj) pij,
i, j 1, 2,
一维随机变量X 离散型
X 的分布律
P(X xk) pk,
k=1,2, …
pk 0, k=1,2, …
pk1
k
称之为二维离散型随机变量 X ,Y 的分布律,
或随机变量X和Y 的联合分布律.
二维离散型随机变量 X ,Y 的分布律具有性质
一、二维随机变量的分布函数
定义1 设 X ,Y 是二维
随机变量, 如果对于任意实数
x, y, 二元 函数
一维随机变量 X的分布函数
F x, y
P X x Y y
P X x ,Y y
F(x) P(X x) x
称为二维随机变量 X ,Y 的分布函数, 或者称为随机
变量 X 和 Y 的联合分布函数.
内的概率为 P x1 X x2 , y1 Y y2 F x2 , y2 F x2 , y1 F x1, y2 F x1, y1
y
y2
X ,Y
x1
O
x2
x
y1
分布函数 Fx, y的性质 :
1 . Fx, y 是关于变量 x 和 y 的不减函数 ;
y
对任意固定的 y R
解 ( X, Y ) 可取值 (0,3) , (1,1) , (2,1) , (3,3)
P{X=0, Y=3} 1 23 1 8
P{X=1,
Y=1}
3 1
1 2
1 2
2=3/8
P{X=2,
Y=1}
3 2
1 2
2
1 2
=3/8
P{X=3,
Y=0}
1
2
3
1
8.
XY 1 3 0 0 18 1 38 0 2 38 0 3 0 18
二、离散型随机变量的边缘分布律
一般地，对离散型 r.v ( X,Y )， X和Y 的联合分布律为
P(X xi ,Y y j) pij, i, j 1,2,
则 (X,Y) 关于X 的边缘分布律为
P X xi P X xi ,Y y j pij Pi•
j1
j1
i 1,2,
3
13
0 18 38 0 38 0 0 18
P{X=0}=P{X=0, Y=1}+P{X=0, Y=3}=1/8,
P{X=1}=P{X=1, Y=1}+P{X=1, Y=3}=3/8,
P{X=2}= P{X=2, Y=1}+P{X=2, Y=3}=3/8,
P{X=3}=P{X=3, Y=1}+P{X=3, Y=3}=1/8.
y x 2e(2uv) dudv 2 y evdv x e2udu
00
0
0
1 e2x 1 e y
当 x 0或 y 0 时,
F x, y y x
f u,v dudv
0
故
F
x,
y
1 e2x
1 ey ,
x 0, y 0,
0,
其它.
(2) PY X
pij 0, i, j 1,2,
pij 1
ij
也可用表格来表示随机变量X和Y 的联合分布律.
YX
x1
x2
xi
y1
p11
p21
pi1
y2
p12
p22
pi 2
yj
p1 j
p2 j
pij
例1 把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次 抛掷中正面出现的次数 ，而 Y 为正面出现次数与 反面出现次数之差的绝对值 , 求 (X ,Y) 的分布律 .
fX
x
0
f
x,
y dy
x
0
f
x,
y dy
x
f
x,
y dy
.
x 24 y(2 x)dy
05
12 x2 (2 x), 综上 , 5
fX x 152 x22 x,0 x 1,
0 , , 其它 .
y
y x
0
1x
注意取值范围
例 2 设(X,Y)的概率密度是
cy(2 x), 0 x 1,0 y x
分布函数的函数值的几何解释
将二维随机变量 X ,Y 看成是平面上随机点的 坐标, 那么,分布函数 F x, y在点 x, y 处的函数值 就是随机点 X ,Y 落在下面左图所示的,以点 x, y
为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率.
y
yx, yBiblioteka Y X ,Y O Xx
x
o Xx
x
随机点 X ,Y 落在矩形域 [ x1 x x2 , y1 y y2 ]
解 (1) F x, y y x f u,v dudv
积分区域 D u,v u x, v y
f u,v 0 区域 u,v u 0,v 0
v
v
y x, y
Ox
u
x, y y
xO
u
v
x
O
u
x, y y
v
Oxu
y
x, y
当 x 0, y 0 时,
F x, y y x f u,v dudv
多维随机变量及其分布
由于从二维推广到多维一般无实质性的 困难，我们重点讨论二维随机变量 .
到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其分布. 但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而 需要用几个随机变量来描述.
在打靶时,命中点的位置是由一 对r .v (两个坐标)（X，Y）来确定的.
飞机的重心在空中的位置是由三个 r .v (三个坐标)（X，Y，Z）来确定的等 等.
3 . F x, y F x 0, y , F x, y F x, y 0 .
二、二维离散型随机变量
定义2 如果二维随机变量
X ,Y 全部可能取到的不相同
的值是有限对或可列无限多对,
则称 X ,Y 是离散型随机变量.
设二维离散型随机变量
X ,Y 可能取的值是 xi , y j ,
及 x1 , x2 R , 当 x1 x2
时 F x1, y F x2, y ;
对任意固定的 x R 及 y1 , y2 R , 当 y1 y2
时 F x, y1 F x, y2 ;
x1, y
x1 O
X ,Y
y
X ,Y
x2, y
x2 x
2 . 0 Fx, y 1 , 且 对任意固定的 y R , F , y 0 , 对任意固定的 x R , F x, 0 , F , 0 , F , 1 .
第三章 多维随机变量及其分布
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
二维随机变量 边缘分布 条件分布 相互独立的随机变量 两个随机变量的函数的分布
第一节 二维随机变量
二维随机变量的分布函数 二维离散型随机变量 二维连续型随机变量 小结
从本讲起，我们开始第三章的学习. 它是第二章内容的推广.
一维随机变量及其分布
解 (1) 1 f x, ydxdy
y x
R2
1
x
dx cy(2 x)dy 00