边缘分布和条件分布
联合分布律边缘分布律条件分布律
联合分布律边缘分布律条件分布律下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢！本店铺为大家提供各种类型的实用资料，如教育随笔、日记赏析、句子摘抄、古诗大全、经典美文、话题作文、工作总结、词语解析、文案摘录、其他资料等等，想了解不同资料格式和写法，敬请关注！Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you! In addition, this shop provides you with various types of practical materials, such as educational essays, diary appreciation, sentence excerpts, ancient poems, classic articles, topic composition, work summary, word parsing, copy excerpts, other materials and so on, want to know different data formats and writing methods, please pay attention!联合分布律、边缘分布律与条件分布律在统计学与概率论中，分布律是描述随机变量或随机向量在各种取值下的概率分布的方式。
条件分布和边缘分布的关系
条件分布和边缘分布的关系条件分布和边缘分布是概率论和数理统计学中两个重要的概念，它们之间有一定的联系和关系。
下面我会具体介绍条件分布和边缘分布的概念，并且解释它们之间的关系。
首先，我们来介绍条件分布的概念。
在概率论中，条件分布是指在已知某些条件下，随机变量的分布情况。
换句话说，条件分布是指在已知某个条件时，所关心的随机变量的分布情况。
条件分布通常用P(Y|X)来表示，其中X是所关心的条件变量，Y是需要得到其分布的随机变量。
P(Y|X)表示在已知X的条件下，Y的分布情况。
举个例子来说明条件分布的概念。
假设我们研究一个班级的学生，X表示学生的年龄，Y表示学生的身高。
如果我们对条件分布P(Y|X)感兴趣，那么我们可以根据学生的年龄来推测学生的身高分布。
例如，当X为10岁时，Y的分布可能是一个正态分布，而当X为20岁时，Y的分布可能是另一个不同的正态分布。
接下来，我们来介绍边缘分布的概念。
在概率论中，边缘分布是指随机变量的分布情况，而不考虑其他变量的情况。
换句话说，边缘分布是指所关心的随机变量的分布情况，而不考虑其他随机变量的影响。
边缘分布通常用P(X)或P(Y)来表示，表示随机变量X或Y的分布情况。
继续以上面的例子来说明边缘分布的概念。
假设我们对边缘分布P(Y)感兴趣，表示学生的身高分布情况，而不考虑学生的年龄。
我们可以直接统计班级中学生的身高分布，而不需要考虑他们年龄的影响。
在条件分布和边缘分布之间存在一定的关系。
具体来说，边缘分布可以通过条件分布来计算得到。
这是因为边缘分布是在不考虑其他变量的情况下计算得到的，而条件分布是在已知某个条件下计算得到的。
通过概率论中的乘法规则，我们可以得到边缘分布的公式：P(X) = ∑ P(X, Y)。
这个公式表示随机变量X的边缘分布可以通过将随机变量X和Y的联合分布P(X, Y)在所有可能的取值情况下求和得到。
我们可以通过条件分布来计算边缘分布。
假设我们已知条件分布P(Y|X)，我们可以通过边缘分布的公式，将Y积分掉，得到边缘分布P(X)。
条件分布
对于任一给定的值
x
(0<x<1), 在X=x
的条件下, Y 的条件概率密度为 :
1 , f Y |X ( y | x) 1 x 0,
x y 1, 0thers.
f ( x, y ) 由 f Y |X ( y | x) 得X 和 Y 的 联 合概率密度 f X ( x)
P{ X x i , Y y j } P { X xi } pi j pi . , j 1, 2,...
为在X ＝ x i 条件下，随机变量Y的条件分布律.
简言之：条件分布等于联合分布与边缘 分布之商
例1 在一汽车工厂中, 一辆汽车有两道 工序是由机器人完成的. 其一是紧固 3 只螺栓,其二是焊接2处焊点. 以X表示由 机器人紧固的螺栓紧固得不良的数目 , 以Y表示由机器人焊接 的不良焊点的数 目 ,据积累的资料知 ( X , Y ) 具有分布 律:
x
f ( x, y) dx . f Y ( y)
在 X= x 的条件下 Y的条件概率密度为 f ( x, y) f Y|X( y | x ) f X ( x) 在 X = x 的条件下 Y 的条件分布函数为 F Y|X( y | x) P{ Y y | X x }
y
定义 设二维随机变量(X,Y)的概率密度 为 f (x,y),(X,Y)关于 Y 的边缘概率密度 为 f Y ( y ). 若对于固定的 y, f Y ( y ) 0, 则 f ( x, y) 称 为在 Y=y 的条件下X 的条件概 f Y( y ) 率密度, 记为: f ( x, y) . f X|Y ( x | y ) f Y ( y)
边缘分布与条件分布
1
三、二维连续型随机变量(X,Y)的边缘概率密度
二维连续型随机变量(X,Y)的边缘概率密度即X,Y f 各自的概率密度,分别记为： X ( x), fY ( y)， 下面讨论二维
连续型随机变量 ( X , Y )的概率密度 f ( x, y)与f X ( x)及
fY ( y)之间的关系:
由于
FX ( x) F ( x, )
记住：
fY ( y) FY ( y) fY ( y )
f ( x, y) d x.
f X (x) f (x, y)d y,
f (x, y)d x.
例3
设随机变量 X 和 Y 具有联合概率密度
6, x 2 y x , f ( x, y) 0, 其他. 求边缘概率密度 f X ( x ), fY ( y ) .
f X ( x)
因而得
O
x
f ( x, y) d y 0d y 0.
6( x x 2 ), 0 x 1, f X ( x) 其他. 0,
下求：fY ( y)
f ( x, y) d x
y y x
(1,1)
当 0 y 1 时, fY ( y ) f ( x , y ) d x
二、二维离散型随机变量(X,Y)的边缘分布律
一般地，对二维离散型随机变量 ( X,Y )， X和Y 的联合分布律为：
P( X xi , Y y j ) pij, i, j 1,2,
(X,Y) 关于X 的边缘分布律（即X的分布律）为:
P X xi P X xi ,Y y j pij pi .
第二节边缘分布
当-1<x<1时
1 x 2
f X ( x) f ( x, y)dy
1
1 x 2
dy
x 1 其他
2 1 x2
2 1 x2 f X ( x) 0
当 1 y 1时 同理 fY ( y )
1 y 2
2
1
1 y
即为 F(x，y)=Fx(x)FY(y) 反之，若X与Y满足F(x，y)=Fx(x)FY(y) ，则有 P{x1<X≤x2，y1<Y≤y2} =F(x2, y2)- F(x1, y2)-F(x2, y1)+ F(x1, y1)
= Fx(x2)FY(y2)- Fx(x1)FY(y2)- Fx(x2)FY(y1)+Fx(x1)FY(y1)
若x与y相互独立则在fxydfdx一负责人到达办公室的时间均匀分布在812时他的秘书到达办公室的时间均匀分布在79时设他们两人到达的时间相互独立求他们到达办公室的时间相差不超过5分钟112小时的概率
第二节 边缘分布
引言
边缘分布
随机变量独立性
一、边缘分布的定义
1．边缘分布 设(X,Y)为二维随机向量其分布函数为F(x,y)，X和Y的分 布函数分别记为Fx(x)和FY(y), 依次称Fx(x),FY(y)为(X,Y) 关于X和关于Y的边缘分布函数. 2.公式. 由于Fx(x)=P({X≤x}∩{Y<+∞})=P{X≤x,Y<+∞} =F(x,+∞) 同理有 FY(y)=F(+∞, y).
p
i xi x , y j y
p
p j
xi x
边缘分布和条件分布
即
FX ( x) F ( x, ) FY ( y ) F (, y )
2
2.边缘分布率
二维离散型随机变量（X,Ｙ)中，X与Ｙ各自 的分布率就称为边缘分布率.
设联合分布率为
P{ X xi , Y y j } pij , i, j 1, 2,
解： ( X , Y )的概率密度
1/ , x y ≤1 f ( x, y ) 其它 0,
2 2
y
1 y2
1
y
1 y2
O
1
fY ( y )
x
f ( x, y )dx
2 1 y 2 1 dx 1 y 2 , 1≤y≤1 1 y 2 0, 其它
16
1 于是， 当－ y 1时有
f ( x, y ) f X |Y ( x | y ) fY ( y ) 1/ 1 , 1 y2 x 1 y2 (2 / ) 1 y 2 2 1 y 2 0, 其它
当 | y | 1时，X 在Y＝y的条件下的条件密度不存在。
7
例： 设(X , Y ) ~ N ( 1 , 2 , 1 , 2 , ), 求X , Y的边缘密度.
2 2
解：
f X ( x)
1 f ( x, y)dy e 2 1
( x 1 )2
2 21
所以 同理
X ~ N ( 1 , 12 )
2 Y ~ N ( 2 , 2 )
FY | X ( y | x) A P{Y≤y | X x} A fY | X ( y | x)dy
概率论第三章二维随机变量
取下列数组中的值:(0,0),( :(0,0),(例2 二维离散型随机向量 ( X ,Y ) 取下列数组中的值:(0,0),(-1,1) 1,2),(2,0);且相应的概率依次为 且相应的概率依次为:1/6, (-1,2),(2,0);且相应的概率依次为:1/6, 1/3, 1/12, 5/12. 的联合概率分布 分布. 求X与Y的联合概率分布.
X Y y1
y2
⋯
yj
⋯
Hale Waihona Puke x1 p11 x 2 p21 ⋮ ⋮ xi pi1 ⋮ ⋮ 联合分布律 联合分布律的性质 (1) p ij ≥
p12 ⋯ p1 j p22 ⋯ p2 j ⋮ ⋮ pi 2 ⋯ pij ⋮ ⋮ 0 ; (2) ∑ ∑
⋯ ⋯ ⋯
p ij = 1
i ≥1 j ≥1
边缘分布 分布律 ２. 边缘分布律 二维离散型随机变量的边缘分布律可列于联合分布 二维离散型随机变量的边缘分布律可列于联合分布 可列 的两侧: 表的两侧 Y y y ⋯ y ⋯
型随机变量(X,X, 的分布律,或随机变量X 型随机变量(X,X,)的分布律,或随机变量X与Y的联合 (X,X 分布律 分布律.可记为
, ( X ,Y) ~ pij = P( X = xi ,Y = y j ) (i, j =1,2,⋯ )
二维离散型随机变量的联合分布律可列表如下: 二维离散型随机变量的联合分布律可列表如下 可列表如下
p12 1/ 4 p22 1/ 2 p32 1/ 4 1/ 2 1/ 2 1
3. 求联合分布的步骤与方法 求联合分布的步骤与方法 分布 先画出二向表的表头,并确定X 的取值; (1) 先画出二向表的表头,并确定X与Y的取值; 求联合分布表的中的概率项. (2) 求联合分布表的中的概率项.
考研数学 概率论部分的重要考点与常见题型
考研数学概率论部分的重要考点与常见题型摘要：在考研数学中，概率论与数理统计是非常重要的一部分，这部分要想拿分，就要了解下它里面内容的重要考点和常考题型。
1、随机变量及其分布在考试中，该考点所占比重很大，每年分值在12分左右。
&bull重要考点：I、分布函数、分布律、概率密度的相关性质II、联合分布、边缘分布与条件分布的计算III、随机变量函数的分布以及随机变量独立性的判断IV、常见分布的相关性质以上考点中，要重点掌握边缘分布以及条件分布的定义与相关的计算公式、随机变量函数的分布，在历年考研数学中考查力度还是相当大的。
求解过程中重在理解分布函数的定义，尤其涉及到随机变量范围的讨论时，避免失误，各位考研君一定要多加注意!&bull常考题型：I、有关分布函数、分布律、概率密度的相关性质的考察II、离散型或连续型随机变量边缘分布、条件分布的计算III、求解随机变量函数的分布。
2、数字特征考研中对数字特征的考察，频率也是很高的，在考试中，此考点一般与随机变量结合出题，每年的平均分值大概也在8分左右，所以考研的小伙伴更是不能忽视呦!&bull重要考点：I、随机变量以及随机变量函数的期望、方差相关计算公式II、数字特征的常用性质、常见分布的数字特征及运用III、二维随机变量协方差、相关系数的计算及其性质IV、独立性与不相关性的讨论&bull常考题型：I、直接考察数字特征的计算II、考察数字特征的常用性质对于该常考考点，公式多，记忆量大，所以要把相关的公式以及性质进行有效记忆，避免出现公式错用、混用的情况。
在考研中该考点与考点1经常结合出题，构成考研数学概率中的一道大题，各位考研君一定要提高警惕!3、参数估计参数估计是数理统计的重要内容，也是考试的重点，考研中对此考点的考查方式多以大题为主。
&bull重要考点：点估计。
点估计方法中，以矩估计和最大似然估计为主。
在复习该重要考点时，重点把握两种估计方法的求解步骤。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
f (x, y)dx
x
f (x, y) dx
fY ( y)
fY ( y)
定义：设(X ,Y )的概率密度为f (x, y), fY ( y)为Y的边缘密度
若对固定的y,
fY ( y)
0, 则称
f (x, y) 为在Y fY ( y)
y的条件下X
的条件概率密度，记为
f (x, y) f X |Y (x | y) A fY ( y)
第三章 多维随机变量及其分布 第二次课
•边缘分布 •条件分布
1
§2 边缘分布
1.边缘分布函数
设 二维随机变量（X,Ｙ)的分布函数为 F(x, y) 分量X、Ｙ也是随机变量，它们的分布函数FX (x), FY ( y) 分别称为（X,Ｙ)关于X、Ｙ的边缘分布函数.
边缘分布函数与联合分布函数的关系
FX (x) P{X≤x} P{X≤x,Y≤ } F (x, )
其它 0,
其它
19
1, 1 y2
1 y2 x
1 y2
0,
其它
当| y | 1时，X 在Y＝y的条件下的条件密度不存在。
17
例：设数X 在区间(0,1)上随机取值，当观察到
X x(0 x 1) 时，数Ｙ 在区间 (x,1) 上随机取
值，求Y的概率密度fY ( y).
解：
1, 0 x 1
fX (x) 0, 其它
对x (0 x 1)
fY | X
(y
|
x)
1 1
x
,
x
y
1
0, 其它
18
因此，（X,Ｙ）的联合密度
f
(x,
y)
fY|X ( y |
x) fX (x)
1
1
x
,
0
x
y
1
0, 其它
所以，
fY ( y) f (x, y)dx
y1 dx,
0 1 x
0,
0 y 1 ln(1 y), 0 y 1
Y0
X
1
2 P{X i}
0 0.1 0.3 0.1 0.5
1 0.2 0.2 0.1 0.5
P{Y j} 0.3 0.5 0.2 1
即有边缘分布率：
X0
1
0.5 0.5
Y0
12
0.3 0.5 0.2
5
3.边缘概率密度
设二维连续型随机变量（X,Ｙ）的密度为 f (x, y)
FX (x) F(x, )
同样，有
fY|X ( y | x) A
f (x, y) fX (x)
14
并称 FX|Y (x | y) A P{X ≤x | Y y} A
x
f X |Y (x | y)dx
为在 Y y条件下的条件分布函数。
同样，有
FY|X ( y | x) A P{Y≤y | X x} A
y
fY|X ( y | x)dy
x
f (x, y)dydx
此式说明：X 是连续型随机变量，其概率密度
fX (x) f (x, y)dy
同理
fY ( y) f (x, y)dx
并分别称fX (x), fY ( y)为X ,Y的边缘概率密度
6
例：设（X,Ｙ）的概率密度为
6, x2≤y≤x
f (x, y) 0,
其它
即
FX (x) F(x, )
FY ( y) F(, y)
2
2.边缘分布率
二维离散型随机变量（X,Ｙ)中，X与Ｙ各自
的分布率就称为边缘分布率.
设联合分布率为
P{X xi ,Y y j} pij , i, j 1, 2,L
则关于X 的边缘分布率
P{X xi} P{X xi ,Y y1} P{X xi ,Y y2} L
描述二维随机变量（X,Ｙ）整体的统计规律用联
合分布；描述单个分量的统计规律用边缘分布， 当一个分量取定一个值，在此条件下考虑另一个 分量的统计规律，就是所谓的条件分布.
1.离散型
定义：设（X,Ｙ）是二维离散型随机变量，对 于固定的j ，若 P{Y y j} 0, 则称
P{X
xi
|Y
yj}
P{X xi ,Y y j} P{Y y j}
f (x, y) 0, 其它
y 1
1 y2
y
O
fY ( y) f (x, y)dx
1
1 1 y2
2
1 y2
dx
0,
1 y2 , 1≤y≤1 其它
1 y2
x
16
于是，当－1 y 1时有
fX|Y (x | y)
f (x, y) fY ( y)
1/ (2 / ) 1 y2
2
pij pgj
,i 1, 2,L
9
为在 Y y j条件下X的 条件分布率.
同样，对于固定的 i,若P{X xi} 0, 则称
P{Y
yj
|
X
xi}
P{X xi ,Y y j} P{X xi}
pij , pig
j
1, 2,L
为在X xi条件下Y的 条件分布率.
条件分布率就是在边缘分布率的基础上都加上 “另一个随机变量取定某值”这个条件.
P{X 1| Y 0} P{X 1,Y 0} 0.2 2 P{Y 0} 0.3 3
11
X k 0
1
P{X k | Y 0} 1/3
2/3
同样可得
Y k 0
1
2
P{Y k | X 1} 2/5
2/5
1/5
12
2.连续型
对连续型（X,Ｙ），考虑 Y y时, ( y为一固定的数)
7
例： 设(X
,Y
)
~
N
(1,
2 ,12
,
2 2
,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ), 求X
,Y的边缘密度.
解：
fX (x) f (x, y)dy
1
e
(
x 1 212
)2
2 1
所以
X ~ N (1,12 )
同理
Y
~
N
(
2
,
2 2
)
从以上讨论可知
联合分布可以决定边缘分布；一般情况下，边 缘分布不能决定联合分布.
8
§3 条件分布
求边缘概率密度fX (x), fY ( y). y
解：
fX (x)
f (x, y)dy
x
6dy, 0
x2
x 1
0,
其它
yx
6(x x2 ), 0 x 1
0,
其它
o
y x2
x
fY ( y)
f
(
x,
y)dx
y
y
6dx,0
y
1
6(
0,
其它 0,
y y), 0 y 1 其它
X 的统计规律，由于P{Y y} 0, 不能直接用条件概
率 P{X≤x | Y y} 来定义。
考虑P{ X ≤x
|
y≤Y
y
}
P{X≤x, y≤Y y
P{y≤Y y }
}
x
y y
f (x, y)dydx
y
y fY ( y)dy
当ε很小，在某些条件下有
13
x
P{X≤x | y Y≤y }
pi1 pi2 L pij A pig i 1, 2,L j 1
3
即有
P{X xi} pig, P{Y y j} pgj ,
i 1, 2,L j 1, 2,L
例：设（X,Ｙ)的联合分布率为
Y0
1
2
X
0 0.1 0.3 0.1
1 0.2 0.2 0.1
求X、Ｙ的边缘分布率.
4
解： X、Ｙ的联合、边缘分布率如下表
从定义易知，条件分布率也满足非负性和规范 性.
10
例：设（X,Ｙ）的联合分布率为
Y
X
0
1
2
0 0.1 0.3 0.1
1 0.2 0.2 0.1
求在Ｙ＝0的条件下，X 的条件分布率；X＝1 的条件下Ｙ的条件分布率.
解： P{X 0 | Y 0} P{X 0,Y 0} 0.1 1
P{Y 0} 0.3 3
f (x, y)
将条件密度 fX|Y (x | y) A fY ( y) 与条件概率 P(A | B) P(AB) 对照，有相似之处。
P(B)
15
例：设(X ,Y )在圆域x2 y2≤1上服从均匀分布， 求条件概率密度fX|Y (x | y).
解： (X ,Y )的概率密度
1/ , x2 y2≤1