湖南师大附中博才实验中学(答案)
湖南师大附中博才实验中学2019年中考数学二模试卷(含答案解析)
2019年湖南师大附中博才实验中学中考数学二模试卷姓名：得分：日期：一、选择题（本大题共 12 小题，共 36 分）1、(3分) 四个数0、1、√3、54是无理数的是（）A.0B.1C.√3D.542、(3分) 生物学家发现了某种花粉的直径约为0.0000036毫米，数据0.0000036用科学记数法表示正确的是（）A.3.6×10-5B.0.36×10-5C.3.6×10-6D.0.36×10-63、(3分) 下列计算正确的是（）A.（a2）3=a5B.a4÷a=a3C.a2.a3=a6D.a2+a3=a54、(3分) 如图所示，该几何体的左视图是（）A.B.C.D.5、(3分) 中学生骑电动车上学给交通安全带来隐患，为了解某中学2500个学生家长对“中学生骑电动车上学”的态度，从中随机调查400个家长，结果有360个家长持反对态度，则下列说法正确的是（）A.调查方式是普查B.该校只有360个家长持反对态度C.样本是360个家长D.该校约有90%的家长持反对态度6、(3分) 如图，将一张含有30°角的三角形纸片的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，若∠2=44°，则∠1的大小为（）A.14°B.16°C.90°-αD.α-44°7、(3分) 若x=1是ax+2x=3方程的解，则a的值是（）A.-1B.1C.-3D.38、(3分) 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6cm，8cm，则这个菱形的周长为（）A.5cmB.10cmC.14cmD.20cm9、(3分) 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，如果∠A=α，AB=5，那么AC等于（）A.5tanαB.5cosαC.5sinαD.5cosα10、(3分) 如图，反比例函数y=k（x＜0）与一次函数y=x+4的图象交于A、B两点的横坐标x分别为-3，-1．则关于x 的不等式k x ＜x+4（x ＜0）的解集为（ ）A.x ＜-3B.-3＜x ＜-1C.-1＜x ＜0D.x ＜-3或-1＜x ＜011、(3分) 我国古代数学著作《九章算术》有一道关于卖田的问题“今有善田一亩，价三百；恶田一亩，价五十，今并买顷，价钱一万，问善田恶田各几何？”意思是“今有好田一亩价值300钱，坏田一亩价值50钱，今合买好、坏田1顷，价值10000钱，问好田、坏田各多少亩？”已知一顷=100亩，则好田、坏田分别为多少亩？（ ）A.20、70B.25、75C.20、80D.25、8512、(3分) 如图，在圆O 的内接四边形ABCD 中，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，点C 为弧BD 的中点，则AC 的长是（ ）A.4B.2√3C.4√33D.8√33二、填空题（本大题共 6 小题，共 18 分）13、(3分) 计算：a a−1-1a−1=______．14、(3分) 函数y=3x x−4中，自变量x 的取值范围是______．15、(3分) 数据-3，-1，0，2，4的极差是______．16、(3分) 如图，Rt△ABC 中，∠ABC=90°，D 为AC 的中点，若∠C=55°，则∠ABD=______°．17、(3分) 如图，将△ABE向右平移2cm得到△DCF，如果△ABE的周长是14cm，那么四边形ABFD的周长是______cm．18、(3分) 关于x的不等式组{x−12+2＞x2(x−2)≤3x−5的所有整数解之和为______．三、计算题（本大题共 2 小题，共 12 分）19、(6分) 计算：2−2+√83−2cos45∘+|1−√2|．20、(6分) 先化简，再求值：（a+b）2+b（a-b）-2ab，其中a=-2，b=12．四、解答题（本大题共 6 小题，共 48 分）21、(8分) “宜居长沙”是我们的共同愿景，空气质量倍受人们的关注．我市某空气质量检测站点检测了该区域每天的空气质量情况，统计了2013年1月份至4月份若干天的空气质量情况，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题：（1）统计图共统计了______天空气质量情况．（2）请将条形统计图补充完整，并计算空气质量为“优”所在扇形圆心角度数．（3）从小源所在班级的40名同学中，随机选取一名同学去该空气质量监测点参观，则恰好选到小源的概率是多少？22、(8分) 某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的生产成本．23、(8分) 今年“五一”假期，某教学活动小组组织一次登山活动，他们从山脚下A点出发沿斜坡AB到达B点，再从B点沿斜坡BC到达山顶C点，路线如图所示，斜坡AB的长为200√13米，斜坡BC的长为200√2米，坡度是1：1，已知A点海拔121米，C点海拔721米（1）求B点的海拔；（2）求斜坡AB的坡度；（3）为了方便上下山，若在A到C之间架设一条钢缆，求钢缆AC的长度．24、(8分) 菱形ABCD中，F是对角线AC的中点，过点A作AE⊥BC垂足为E，G为线段AB上一点，连接GF并延长交直线BC于点H．（1）当∠CAE=30°时，且CE=√3，求菱形的面积；（2）当∠BGF+∠BCF=180°，AE=BE时，求证：BF=（√2+1）GF．25、(8分) 如图，一次函数y=2x与反比例函数y=k（k＞0）的图象交于A、B两点，点P在以xC（-2，0）为圆心，1为半径的圆上，Q是AP的中点（1）若AO=√5，求k的值；（2）若OQ长的最大值为3，求k的值；2（3）若过点C的二次函数y=ax2+bx+c同时满足以下两个条件：①a+b+c=0；②当a≤x≤a+1时，函数y的最大值为4a，求二次项系数a的值．26、(8分) 若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．（1）已知△ABC是比例三角形，AB=2，BC=3，请直接写出所有满足AC条件的长；（2）如图，点A在以BC为直径的圆上，BD平分∠ABC，AD∥BC，∠ADC=90°．①求证：△ABC为比例三角形；②求BD的值．AC（3）若以点C为顶点的抛物线y=mx2-4mx-12m（m＜0）与x轴交于A、B两点，△ABC是比my02-40√3y0+298成立，例三角形，若点M（x0，y0）为该抛物线上任意一点，总有n-√3≤-16√33求实数n的最大值．2019年湖南师大附中博才实验中学中考数学二模试卷【第 1 题】【答案】C【解析】解：四个数0、1、√3、5是无理数的是√3．4故选：C．根据无理数的定义得到所给数中无理数有√3．本题考查了无理数：无限不循环小数叫无理数．常见有：字母表示的无理数，如π等；开方开不尽的数，如2等；无限不循环小数，如0.101001000100001…（每两个1之间多一个0）等．【第 2 题】【答案】C【解析】解：0.0000036=3.6×10-6；故选：C．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【第 3 题】【答案】B【解析】解：A选项，幂的乘方，（a2）3=a6，错误，B选项，同底数幂的除法，a4÷a=a3正确，C选项，积的乘方，a2a3=a5，错误，D选项，合并同类项，a2+a3不能合并，错误．故选：B．根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．【第 4 题】【答案】C【解析】解：从左面看可得到左边有2个上下的正方形，故选：C．根据左视图是左视图是从物体的左面看得到的视图，找到从左面看所得到的图形即可．本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图，主要考查了学生的空间想象能力．【第 5 题】【答案】D【解析】解：A．共2500个学生家长，从中随机调查400个家长，调查方式是抽样调查，故本项错误；=2250个家长持反B．在调查的400个家长中，有360个家长持反对态度，该校只有2500×360400对态度，故本项错误；C．样本是360个家长对“中学生骑电动车上学”的态度，故本项错误；D．该校约有90%的家长持反对态度，本项正确，故选：D．根据抽查与普查的定义以及用样本估计总体解答即可．本题考查了抽查与普查的定义以及用样本估计总体，这些是基础知识要熟练掌握．【第 6 题】【答案】A【解析】解：如图，∵矩形的对边平行，∴∠2=∠3=44°，根据三角形外角性质，可得∠3=∠1+30°，∴∠1=44°-30°=14°，故选：A．依据平行线的性质，即可得到∠2=∠3=44°，再根据三角形外角性质，可得∠3=∠1+30°，进而得出∠1=44°-30°=14°．本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等．【第 7 题】【答案】B【解析】解：根据题意，将x=1代入方程ax+2x=3，得：a+2=3，得：a=1．故选：B．根据方程的解的概念，将x=1代入原方程，得到关于a的一元一次方程，解方程可得a的值．本题主要考查方程的解的定义及解一元一次方程的能力，将方程的解代入原方程是关键．【第 8 题】【答案】D【解析】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC⊥BD ，OA=12AC=12×6=3cm ，OB=12BD=12×8=4cm ，根据勾股定理得，AB=√OA 2+OB 2=√32+42=5cm ，所以，这个菱形的周长=4×5=20cm ．故选：D ．根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD ，OA=12AC ，OB=12BD ，再利用勾股定理列式求出AB ，然后根据菱形的四条边都相等列式计算即可得解．本题考查了菱形的性质，勾股定理，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分，需熟记．【 第 9 题 】【 答 案 】B【 解析 】解：在Rt△ABC 中，cosα=AC AB ， ∴AC=AB•cosα=5cosα，故选：B ．根据锐角三角函数的定义即可求出答案．本题考查锐角三角函数，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．【 第 10 题 】【 答 案 】B【 解析 】解：观察图象可知，当-3＜x ＜-1时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，∴关于x 的不等式k x ＜x+4（x ＜0）的解集为：-3＜x ＜-1．故选：B ．求关于x 的不等式k x ＜x+4（x ＜0）的解集可转化为一次函数的图象在反比例函数图象的上方所对应的自变量x取值范围，问题得解．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求出反比例函数的解析式，函数的图象的应用，主要考查学生的计算能力和观察图象的能力，用了数形结合思想．【第 11 题】【答案】C【解析】解：1顷=100亩，设好田买了x南，坏田买了y亩，依题意有：{x+y=100300x+50y=10000，解得：{x=20 y=80．故选：C．可设善田x亩，则恶田（100-x）亩，根据等量关系：并买一顷，价钱一万，列出方程求解即可．考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程组．【第 12 题】【答案】D【解析】解：∵A 、B 、C 、D 四点共圆，∠BAD=60°，∴∠BCD=180°-60°=120°，∵∠BAD=60°，AC 平分∠BAD ，∴∠CAD=∠CAB=30°，如图1，将△ACD 绕点C 逆时针旋转120°得△CBE ，则∠E=∠CAD=30°，BE=AD=5，AC=CE ，∴∠ABC+∠EBC=（180°-CAB+∠ACB ）+（180°-∠E -∠BCE ）=180°，∴A 、B 、E 三点共线，过C 作CM⊥AE 于M ，∵AC=CE ， ∴AM=EM=12×（5+3）=4，在Rt△AMC 中，AC=AM cos (30∘)=√32=8√33； 故选：D ．将△ACD 绕点C 逆时针旋转120°得△CBE ，根据旋转的性质得出∠E=∠CAD=30°，BE=AD=5，AC=CE ，求出A 、B 、E 三点共线，解直角三角形求出即可．本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，圆内接四边形性质，解直角三角形，全等三角形的性质和判定的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，综合性比较强，难度适中．【 第 13 题 】【 答 案 】1【 解析 】解：a a−1-1a−1=a−1a−1=1．故答案为：1．本题为同分母分式的减法，直接计算即可．本题考查了分式的加减运算．关键是由同分母的加减法法则运算并化简．【 第 14 题 】【 答 案 】x≠4【 解析 】解：由题意得x-4≠0，解得x≠4．故答案为：x≠4．根据分母不等于0列不等式求解即可．本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．【 第 15 题 】【 答 案 】7【 解析 】解：由题意可知，极差为4-（-3）=7．故答案为：7．根据极差的定义即可求得．此题考查了极差，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．【 第 16 题 】【 答 案 】35【解析】解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AC的中点，∴BD是中线，∴AD=BD=CD，∴∠DBC=∠C=55°，∴∠ABD=90°-55°=35°．故答案是：35．由直角三角形斜边上的中线的性质得到△BCD为等腰三角形，由等腰三角形的性质和角的互余求得答案．本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质．在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）．【第 17 题】【答案】18【解析】解：∵△ABE向右平移2cm得到△DCF，∴AD=BC=EF=2，DF=AE，∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BE+EF+DF=2+AB+BE+AE+2=4+S△ABE=4+14=18（cm）．故答案为18．利用平移的性质得到AD=BC=EF=2，DF=AE，利用等量代换得到四边形ABFD的周长=4+S△ABE．本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．【第 18 题】【答案】3【解析】解：{x−12+2＞x①2(x −2)≤3x −5②由①得x ＜3；由②得x≥1∴不等式组的解集为1≤x ＜3，所有整数解有：1，2，1+2=3，故答案为3．分别解出两不等式的解集，再求其公共解，然后求得整数解即可．本题考查了解一元一次不等式组，求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．【 第 19 题 】【 答 案 】解：原式=14+2-2×√22+√2-1=114．【 解析 】原式利用负整数指数幂法则，立方根定义，特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【 第 20 题 】【 答 案 】解：原式=a 2+2ab+b 2+ab-b 2-2ab=a 2+ab ，当a=-2，b=12时，原式=4+（-1）=3【 解析 】先根据整式的运算法则进行化简，然后将a与b的值代入原式即可求出答案．本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．【第 21 题】【答案】解：（1）70÷70%=100（天），故答案为：100；（2）空气质量为“优”所在扇形圆心角度数是：360°×20%=72°；如图所示：（3）班级的40名同学中，随机选取一名同学去该空气质量监测点参观，则恰好选到小源的概．率是140【解析】（1）根据良的天数是70天，占70%，即可求得统计的总天数；（2）利用360度乘以对应的百分比即可求解；（3）利用概率公式即可求解．本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．【第 22 题】【答案】解：（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据题意得：400（1-x）2=361，解得：x1=0.05=5%，x2=1.95（不合题意，舍去）．答：每个月生产成本的下降率为5%．（2）361×（1-5%）=342.95（万元）．答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．【解析】（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×（1-下降率），即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．【第 23 题】【答案】解：（1）作CD⊥AM于点D，作BE⊥CD于点E，作BF⊥AM于点F，连接AC，∵斜坡BC的长为200√2米，坡度是1：1，∴BE=CE=200米，∵A点海拔121米，C点海拔721米，∴CD=600米，∴BF=400米，∵121+400=521（米），∴点B的海拔是521米；（2）∵斜坡AB的长为200√13米，BF=400米，∴AF=√(200√13)2−4002=600米，∴BF：AF=400：600=2：3，即斜坡AB的坡度是2：3；（3）∵CD=600米，AD=AF+FD=AF+BE=600+200=800（米），∴AC=√6002+8002=1000米，即钢缆AC的长度是1000米．【解析】（1）根据题意和图形，可以求得点B的海波，本题得以解决；（2）根据题目中的数据可以求得AF和BF的长度，从而可以求得斜坡AB的坡度；（3）根据题目中的数据可以求得AD和CD的长度，然后根据勾股定理即可求得AC的长度．本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【第 24 题】【答案】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∵AE⊥BC，∠EAC=30°，∴∠ACE=60°，AC=2EC=2√3，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∴S菱形ABCD=2•S△ABC=2×√34×（2√3）2=6√3．（2）如图，连接GC，作GM⊥GF交BF于M．∵四边形ABCD是菱形，∴BA=BC，∵AF=FC，∴BF⊥AC，∴∠BFA=90°，∵∠BGF+∠BCF=180°，∠AGF+∠BGF=180°，∴∠AGF=∠ACB，∵∠GAF=∠CAB∴△AGF∽△ACB，∴AG AC =AF AB，∴AG AF =ACAB，∵∠CAG=∠BAF，∴△CAG∽△BAF，∴∠CGA=∠BFA=90°，∵AE⊥BE，AE=BE，∴∠ABE=45°，∴∠GBC=∠GCB=45°，∴GB=GC，∵∠BGC=∠MGF，∴∠BGM=∠CGF，∵∠GBM=∠GCF，∴△BGM≌△CGF，∴BM=CF，GM=GF，FM=√2GF，∵∠AGC=90°AF=FC，∴GF=FC=BM，∴BF=BM+FM=GF+√2GF=（√2+1）GF．【解析】（1）只要证明△ABC是等边三角形，即可解决问题；（2）如图，连接GC，作GM⊥GF交BF于M．想办法证明△BGC是等腰直角三角形，再证明△BGM≌△CGF即可解决问题；本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．【第 25 题】【答案】解：（1）设A（m，n），∵AO=√5，∴m2+n2=5，∵一次函数y=2x的图象经过A点，∴n=2m，∴m2+（2m）2=5，解得m=±1，∵A在第一象限，∴m=1，∴A（1，2），∵点A在反比例函数y=k（k＞0）的图象上，x∴k=1×2=2；（2）连接BP，由对称性得：OA=OB，∵Q是AP的中点，BP，∴OQ=12∵OQ长的最大值为3，2∴BP长的最大值为3×2=3，2如图2，当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴于D，∵CP=1，∴BC=2，∵B 在直线y=2x 上，设B （t ，2t ），则CD=t-（-2）=t+2，BD=-2t ，在Rt△BCD 中，由勾股定理得：BC 2=CD 2+BD 2，∴22=（t+2）2+（-2t ）2，t=0（舍）或-45，∴B （-45，-85），∵点B 在反比例函数y=k x （k ＞0）的图象上， ∴k=-45×（-85）=3225；（3）∵抛物线经过点C （-2，0），∴4a -2b+c=0，又∵a+b+c=0，∴b=a ，c=-2a ，∴y=ax 2+ax-2a=a （x+12）2-94a ，∵-12＜a≤x≤a+1或a≤x≤a+1＜-12，当x=a 时，取得最大值4a ，则a•a 2+a•a -2a=4a ，解得a=-3或2，当x=a+1时，取得最大值4a ，则a （a+1）2+a （a+1）-2a=4a ，解得a=-4或1，综上所述所求a 的值为-3或2或-4或1．【 解析 】（1）设A （m ，n ），根据勾股定理和一次函数图象上点的坐标特征得出{m 2+n 2=5n =2m ，解方程组即可求得A 的坐标，代入y=k x 可求得k 的值； （2）作辅助线，先确定OQ 长的最大时，点P 的位置，当BP 过圆心C 时，BP 最长，设B （t ，2t ），则CD=t-（-2）=t+2，BD=-2t ，根据勾股定理计算t 的值，可得k 的值；（3）根据题意写出抛物线的解析式为：y=ax 2+ax-2a=a （x+12）2-94a ，即可判定-12在a≤x≤a+1范围外，故存在两种可能，即当x=a 时，有最大值4a ，或x=a+1时有最大值4a ，分别代入求得即可．本题考查二次函数综合题，考查了反比例函数与一次函数的交点问题、函数最值问题、圆的性质，勾股定理的应用，有难度，解题的关键：利用勾股定理建立方程解决问题．【 第 26 题 】【 答 案 】解：（1）∵AB=2，BC=3∴1＜AC ＜5①若AB 2=BC•AC ，则AC=AB 2BC =43 ②若BC 2=AB•AC ，则AC=BC 2AB =92③若AC 2=AB•BC=6，则AC=√6 综上所述，满足条件的AC 的长为43，92，√6．（2）①证明：∵AD∥BC∴∠DAC=∠ACB ，∠ADB=∠DBC∵BD 平分∠ABC∴∠ABD=∠DBC∴∠ABD=∠ADB∴AB=AD∵点A 在以BC 为直径的圆上∴∠BAC=90°∵∠BAC=∠CDA=90°，∠ACB=∠DAC∴△ABC∽△DCA∴BC AC =AC DA∴AC 2=BC•DA=BC•AB∴△ABC 为比例三角形②∵∠BAC=∠CDA=90°，AB=AD∴BC 2=AB 2+AC 2，AC 2=AD 2+CD 2=AB 2+CD 2∵AD∥BC∴∠BCD=180°-∠ADC=90°∴BD 2=BC 2+CD 2=AB 2+AC 2+AC 2-AB 2=2AC 2∴BD=√2AC∴BD AC =√2（3）∵y=mx 2-4mx-12m=m （x-2）2-16m （m ＜0）∴抛物线开口向下，顶点C （2，-16m ）∵y=0时，mx 2-4mx-12m=0解得：x 1=-2，x 2=6∴A （-2，0），B （6，0），AB=8∴AC=BC=√(2+2)2+(−16m)2=4√1+16m 2∵△ABC 是比例三角形∴AB 2=BC•AC 或AC 2=AB•BC∴AB=AC∴4√1+16m 2=8解得：m 1=√34（舍去），m 2=-√34∴抛物线解析式为y=-√34x 2+√3x+3√3=-√34（x-2）2+4√3∵M （x 0，y 0）在抛物线上∴y 0≤4√3设z=-16√33my 02-40√3y 0+298=4y 02-40√3y 0+298=4（y 0-5√3）2-2 ∴当y 0≤4√3时，z 随x 的增大而减小∴y 0=4√3时，z 最小值=4×（4√3-5√3）2-2=4×3-2=10∵n -√3≤z 恒成立，即n-√3≤10∴n 的最大值为10+√3【 解析 】（1）先由三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，求出AC 长度的范围．因为三角形三边都有可能是平方等于另两边乘积的边，故需分三种情况讨论，计算并判断结果是否合理．（2）①由BD 平分∠ABC 和AD∥BC 可证得∠ABD=∠DBC=∠ADB ，进而得AB=AD ．因为BC 为圆的直径，根据圆周角定理得∠BAC=∠CDA=90°，再加上平行所得的∠ACB=∠DAC ，即证得△ABC∽△DCA ，由对应边成比例得AC 2=BC•DA=BC•AB ，得证．②由Rt△ABC 、Rt△ACD 、Rt△BCD 根据勾股定理得BD 2=BC 2+CD 2=AB 2+AC 2+AC 2-AB 2=2AC 2，故有BD=√2AC ，进而得BD AC =√2．（3）先由抛物线解析式求点A 、B 、C 坐标，求得AB=8，根据抛物线对称性有AC=BC ．由△ABC 是比例三角形可得AB 2=BC•AC 或AC 2=AB•BC ，化简后都得到AC=AB ，把含m 的式子代入即求得m 的值，进而求得抛物线解析式和最大值．由于点M （x 0，y 0）在抛物线上，则得到y 0的最大值．设z=-16√33my 02-40√3y 0+298，把m 的值代入并配方，得到关于y 0的二次函数关系，且对应抛物线开口向下．由于y 0范围取不到此二次函数的顶点，故取y 0的最大值求得z 的最小值，进而得到n 的最大值．本题考查了新定义的理解和性质应用，平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的图象与性质，求二次函数最值，解一元二次方程．第（3）题给出的式子计算较复杂，关键是理解并运用新定义的性质求m 的值，再逐步代入得到二次函数并配方求最值．。
2019-2020学年湖南师大附中博才实验中学八年级下学期期中考试英语(有答案)
2019-2020附中博才初二第二学期阶段性测试英语注意事项：1、答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；2、必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；3、答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；4、请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁;5、答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；6、本学科试卷中听力材料以中速朗读两遍。
试卷分四个部分，共8页，75小题，时量120分钟，满分120分。
听力部分：1-20 略。
一、知识运用（两部分，共20小题，计20分）第一节语法填空（共10小题，计10分）21．The lady had a serious toothache, so the dentist advised her to take _______ X-ray.A. aB. anC. the22．Story Sign is _______ useful that it makes it easier for deaf children and their parents to read bedtime stories.A. suchB. soC. too23．—Do you always get up so early?—Yes, _______ the first bus. My home is far away from school.A. catchB. catchingC. to catch24．—I know nothing about the fairy tale Hansel and Gretel. What about you?—_______.A. Neither did I.B. Neither do I.C. So do I.25．—I have difficulty in working out the math problem.—_______ turn to Mr. Li for help?A. How aboutB. Why don’tC. Why not26．While Steve _______ his old bike in the yard, his mother came back home.A. repairedB. is repairingC. was repairing27．—Don’t _______ too late, or you will feel tired in class.—I won’t, mom.A. stay upB. wake upC. call up28．The environment will be much worse _______ we have a sense of protecting it.A. ifB. unlessC. although29．In the world, more than 30% of schools do not provide safe drinking water _______ children.A. withB. toC. for30．—Do you remember _______ when you heard the news of Kobe Byrant’s death?—Yes, I was sleeping at that time.A. what were you doingB. what you were doingC. what did you do第二节词语填空通读下面的短文，掌握其大意，然后从各题所给的A、B、C三个选项中选出一个最佳答案。
湖南师大附中博才集团 2022-2023 学年度八下期末考试数学参考答案
3
3
∵ R 、 M 、 N 、 S 为顶点的四边形是菱形，点 R 在 x 轴上
①当 MR 为对角线时， MR ⊥ NS ,
∵M , R 都在 x 轴上， N , S 关于 x 轴对称
S(13 , 4) 3
②当 MN 为对角线时， MN⊥RS ,由（2）知
四边形 MBND 是菱形，则 S 与点 B 重合，
∵ AE 平分 BAD ， DAE = 45 ， ∵ ADC = 90 ， DAE = AED = 45 ，
AD = DE ．
∵ BD = 2 AD ， BD = 2OD ，
答案第 2 页，共 6 页
AD = OD = OA ，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
△AOD 是等边三角形，
ADO = 60 ，
ODE = ADC − ADO = 90 − 60 = 30 ．
答案第 3 页，共 6 页
∴ 2 m 3 或 −3 m −2 . 25．（1） DQ 的长为：4 或 1 （2）如图：连接 BM , DN 根据题意可知： MN 垂直平分 BD MN ⊥ BD, BH = DH , NB = ND, MB = MD ∵四边形 ABCD 是矩形 AD//BN MDH = HBN 又∵ MHD = NHB △MHD≌△NHB MH = HN , MD = NB 四边形 MBND 是菱形 设 AM = b ，则 MD = MB = 6 − b
, x2
=
3− 2
7
18．解：设旗杆在离底部 x 米的位置断裂，在给定图形上标上字母如图所示．
∵ AB = x 米， AB + AC = 16 米，
AC = (16 − x) 米．
在 Rt△ABC 中， AB = x 米， AC = (16 − x) 米， BC = 8 米，
湖南省长沙市湖南师大附中博才实验中学2023-2024学年八年级物理第一学期期末学业质量监测试题含答
湖南省长沙市湖南师大附中博才实验中学2023-2024学年八年级物理第一学期期末学业质量监测试题学校_______ 年级_______ 姓名_______注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（每题1分，共30题，30分）1．三位同学一起出行，小张骑电动车以25km/h的速度平稳前进，小王以2m/s的速度跑步前进，小李骑自行车，每分钟通过的路程为0.4km。
比较他们运动的快慢，下列判断正确的是（）A．小张最快B．小王最快C．小李最快D．三人运动的快慢是一样的2．如图所示，在副食店中，商家常用“提子”来量度液体物品的质量．如果用刚好能装0.5kg酱油的“提子”来量度白酒，则对装满一“提子”的白酒质量的判断，下列说法正确的是（ρ酱油＞ρ白酒）A．等于0.5kg B．小于0.5kgC．大于0.5kg D．以上判断均不正确3．质量和体积都相同的三个空心球，它们的材料分别是铝、铜和铅，则空心部分最大的是（）A．铝球B．铜球C．铅球D．无法判断4．下列估测值更接近于真实值的是（）A．一本物理课本的厚度为1.5mmB．一支新铅笔的长度为17cmC．课桌的高度为75dmD．教室门框的高度为3.5m5．所描述的物理现象解释正确的是A．“凝重的霜”是凝华现象，需要放出热量B．“飘渺的雾”是液化现象，需要吸收热量C．“晶莹的露”是熔化现象，需要放出热量D．“洁白的雪”是凝华现象，需要吸收热量6．小明同学在探究某固体熔化特点时根据实验数据描出该固体熔化时温度随时间的变化图象，如图所示。
答案-2020-2021-2师博七下入学考试数学试卷
湖南师大附中博才实验中学2020-2021-2学年度第二学期七年级入学考试数学答案一、选择题(共12小题，每小题3分，共36分)二、填空题(共6小题18分)13、10 14、92.310⨯ 15、100︒ 16、160240(30)x x =- 17、2b c - 18、1-三、解答题(共8小题)19、（1）0 （2）320、解：a 为最大的负整数，b 为最小的正整数，1a ∴=-，1b =， 2222126()[32(12)]2ab a b ab a b ab ab ∴++---- 2222236(3224)ab a b ab a b ab ab =++--++22222363224ab a b ab a b ab ab =++-+--222ab =+2(1)12=⨯-⨯+0=．21、解：去分母，可得：2(21)216x x -=+-，去括号，可得：4225x x -=-，移项，合并同类项，可得：23x =-，解得： 1.5x =-．22、解：设甲、乙两地之间的距离是x 千米．根据题意得：214040338070100x x -=+，解得252x =．答：甲、乙两地之间的距离是252千米．23、解：如图，设BOE x ∠=︒，12BOE EOC ∠=∠， 2EOC x ∴∠=︒， OD 平分AOB ∠，70AOD DOB x ∴∠=∠=︒-︒，180AOD DOB BOE EOC ∠+∠+∠+∠=︒， 70702180x x x x ∴︒-+︒-+︒+︒=︒，40x ∴=，80EOC ∴∠=︒．24、解：（1）数轴上两点A ，B 对应的数分别为8-和4， 4(8)12AB ∴=--=，点P 到点A 、点B 的距离相等，P ∴为AB 的中点，162BP PA AB ∴===， ∴点P 表示的数是2-；（2）①当点P 运动到原点O 时，8PA =，4PB =， 3PA PB ≠，∴点P 不是关于A B →的“好点”；故答案为：不是；②根据题意可知：设点P 运动的时间为t 秒， 8PA t =+，|4|PB t =-，83|4|t t ∴+=-， 解得1t =或10t =，所以点P 的运动时间为1秒或10秒；（3）根据题意可知：设点P 表示的数为n ， 8PA n =+或8n --，4PB n =-，12AB =， 分五种情况进行讨论：①当点A 是关于P B →的“好点”时， ||3||PA AB =，即836n --=，解得44n =-；②当点A 是关于B P →的“好点”时， ||3||AB AP =，即3(8)12n --=，解得12n =-；或3(8)12n +=，解得4n =-；③当点P 是关于A B →的“好点”时， ||3||PA PB =，即83(4)n n --=-或83(4)n n +=-，解得10n =或1（不符合题意，舍去）； ④当点P 是关于B A →的“好点”时， ||3||PB AP =，即43(8)n n -=+，解得5n =-；或43(8)n n -=--，解得14n =-；⑤当点B 是关于P A →的“好点”时， ||3||PB AB =，即436n -=，解得32n =-．综上所述：所有符合条件的点P 表示的数是：4-，5-，12-，14-，32-，44-．。
2020-2021学年湖南师大附中博才实验中学九年级(上)期末数学试卷及参考答案
2020-2021学年湖南师大附中博才实验中学九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）3的相反数是（）A．﹣3B．﹣C．3D．2．（3分）下列水平放置的几何体中，俯视图不是圆的是（）A．B．C．D．3．（3分）国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走上了致富的道路．据统计，2019年末全国农村贫困人口比2018年末全国农村贫困人口减少了11090000人，其中数据11090000用科学记数法可表示为（）A．11.09×105B．1.109×107C．0.1109×108D．1.109×108 4．（3分）下列运算正确的是（）A．（ab3）2＝a2b6B．5a2﹣3a＝2aC．2a+3b＝5ab D．（a+2）2＝a2+45．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．6．（3分）关于x的方程x2﹣4x+m＝0有一个根为﹣1，则另一个根为（）A．﹣2B．2C．﹣5D．57．（3分）如图，把一块含有45°的直角三角形的两个顶点放在直尺的对边上，若∠1＝20°，则∠2的度数是（）A．15°B．20°C．25°D．30°8．（3分）一个等腰三角形的两边长分别为2，4，则它的周长为（）A．8B．10C．9D．8或109．（3分）如图，是小明绘制的他在一周内每天跑步圈数的折线统计图．下列结论正确的是（）A．众数是9B．中位数是8.5C．平均数是9D．方差是710．（3分）如图，在⊙O中，点A、B、C在圆上，OD⊥AB，∠ACB＝45°，OA＝2，则AD的长是（）A．B．2C．2D．311．（3分）如图，在A处测得点P在北偏东60°方向上，在B处测得点P在北偏东30°方向上，若AP＝6千米，则A，B两点的距离为（）千米．A．4B．4C．2D．612．（3分）已知抛物线y＝x2+（2m﹣6）x+m2﹣3与y轴交于点A，与直线x＝4交于点B，当x＞2时，y值随x值的增大而增大．记抛物线在线段AB下方的部分为G（包含A、B 两点），M为G上任意一点，设M的纵坐标为t，若t≥﹣3，则m的取值范围是（）A．m≥B．≤m≤3C．m≥3D．1≤m≤3二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分）13．（3分）因式分解mn2﹣m＝．14．（3分）圆锥底面圆半径为5，母线长为6，则圆锥侧面积等于．15．（3分）如图，反比例函数y1＝的图象与正比例函数y2＝k2x的图象交于点（2，1），则使y1＞y2的x的取值范围是．16．（3分）《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是多少步．”该问题的答案是步．三、解答题（共9小题，17、18、19各6分，20、21各8分，22、23各9分，24、25各10分，共72分）17．（6分）计算：（﹣1）2020+|1﹣|﹣2cos45°﹣（）﹣1．18．（6分）先化简，再求值：（+）÷，其中a＝1．19．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC边上一点，且BD＝BA．（1）作∠ABC的角平分线交AD于点E，步骤如下：①以B为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、BC于点M和N；②分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P；③连接BP并延长交AD于点E．则BE是∠ABC的角平分线，所以AE DE．（填“＝”、“＜”、“＞”）（2）作CD的中点F，连接EF，若∠EBD＝20°，求∠BEF的度数．20．（8分）随着国民生活水平的提高，人们的出行方式越来越便捷、多样．某校数学兴趣小组为了解某社区20～60岁居民最喜欢的外出出行方式，针对给出的四种出行方式（A 私家车、B公共交通（公交车、地铁）、C自行车、D步行）的情况，对社区内该年龄段的部分居民展开了随机问卷调查（每人必选且只能选择其中一项）．根据调查结果绘制了不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：（1）参与问卷调查的总人数是；（2）补全条形统计图；（3）若小强和他爸爸周末想去郊游，在A，B，C三种出行方式中选择一种，求他俩选择同一种出行方式的概率，并列出所有等可能的结果．21．（8分）如图，在矩形ABCD中，点M、N分别在边AD、BC上，且连接BM、DN．（1）若M，N分别为AD，BC的中点，求证：△ABM≌△CDN；（2）当四边形BMDN是菱形，AD＝2AB，AM＝3时，求菱形的边长．22．（9分）在抗击新冠肺炎疫情期间，玉龙社区购买酒精和消毒液两种消毒物资，供居民使用．第一次购买酒精和消毒液若干，酒精每瓶10元，消毒液每瓶5元，共花费了350元；第二次又购买了与第一次相同数量的酒精和消毒液，由于酒精和消毒液每瓶价格分别下降了30%和20%，只花费了260元．（1）求每次购买的酒精和消毒液分别是多少瓶？（2）若按照第二次购买的价格再一次购买，根据需要，购买的酒精数量是消毒液数量的2倍，现有购买资金200元，则最多能购买消毒液多少瓶？23．（9分）如图，AB是⊙O的直径，DA与⊙O相切于点A，射线DO依次与⊙O相交于点E，F，点C是弧BE上一点，连接CD，CB，且BC∥DF．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）连接CF交AB于点P．①若四边形BCDO是平行四边形，且AD＝2，求OP的长；②若＝，求tan∠BCF．24．（10分）定义：有一组对角互补且一组邻边相等的图边形叫做“完美四边形”．（1）如图1，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且对角线BD平分∠ADC，四边形ABCD （填“是”或者“不是”）“完美四边形”，若∠ABC＝90°，且AB＝1，则⊙O的直径为．（2）已知，四边形ABCD是“完美四边形”∠ADC＝90°，AB＝，AB≠BC，当四边形ABCD的面积为4时，求对角线BD的长；（3）如图2，在“完美四边形”ABCD中，AB＝AD，AC＝8，∠BAD＝60°，对角线AC 与BD相交于点P，设BC＝x，CP＝y，求y与x的函数关系式，并求y的最大值．25．（10分）抛物线L：y＝ax2﹣ax﹣6a与x轴交于A，B两点（A点在B点左侧），与y轴正半轴交于点C，顶点为D，且OC＝2OB．（1）求抛物线L的解析式；（2）如图，过定点的直线y＝kx﹣k+（k＜0）与抛物线L交于点E、F．若△DEF 的面积等于1，求k的值；（3）如图2，将抛物线L向下平移m（0＜m＜6）个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y轴正半轴交于点M，过点M作y轴的垂线交抛物线L1于另一点N，G为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OM上一点．若△PMN与△POG相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标．2020-2021学年湖南师大附中博才实验中学九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）1．【分析】根据相反数的性质，互为相反数的两个数和为0，采用逐一检验法求解即可．【解答】解：根据概念，3的相反数在3的前面加﹣，则3的相反数是﹣3．故选：A．【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．2．【分析】俯视图是从上往下看得到的视图，分别判断出各选项的俯视图即可得出答案．【解答】解：A、俯视图是一个圆，故本选项错误；B、俯视图是一个圆，故本选项错误；C、俯视图是一个正方形，不是圆，故本选项正确；D、俯视图是一个圆，故本选项错误；故选：C．【点评】本题考查了俯视图的知识，注意俯视图是从上往下看得到的视图．3．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：数据11090000用科学记数法可表示为1.109×107．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．【分析】分别根据幂的乘方与积的乘方运算法则，合并同类项法则以及完全平方公式逐一判断即可．【解答】解：A、（ab3）2＝a2b6，故本选项符合题意；B、5a2与﹣3a不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；C、2a与3b不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；D、（a+2）2＝a2+4a+4，故本选项不合题意；故选：A．【点评】本题主要考查了合并同类项以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．5．【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可【解答】解：由x﹣1≥0，得x≥1，由4﹣2x＞0，得x＜2，不等式组的解集是1≤x＜2，故选：D．【点评】考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．6．【分析】利用根与系数的关系求出另一根即可．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣4x+m＝0有一个根为﹣1，另一根为a，∴﹣1+a＝4，解得：a＝5，则另一根为5．故选：D．【点评】此题考查了根与系数的关系，以及一元二次方程的解，灵活运用根与系数的关系是解本题的关键．7．【分析】先根据平行线的性质，求得∠ABC的度数，再根据三角板中∠CBE的度数，求得∠2．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠1＝∠ABC＝20°，又∵∠CBE＝45°，∴∠2＝45°﹣20°＝25°，故选：C．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意，直尺的对边互相平行，且被CB 所截得的内错角相等．8．【分析】分4是腰长与底边两种情况，再根据三角形任意两边之和大于第三边讨论求解即可．【解答】解：①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、2，4+2＞4；能组成三角形；所以，周长为10；②4是底边时，三角形的三边分别为2、2、4，∵2+2＝4，∴不能组成三角形，综上所述，周长为10．故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于要分情况讨论．9．【分析】由折线图得到一周内每天跑步圈数的数据，计算这组数据的平均数、中位数、众数、方差，然后判断得结论．【解答】解：A．数据10出现的次数最多，即众数是10，故本选项错误；B．排序后的数据中，最中间的数据为9，即中位数为9，故本选项错误；C．平均数为：（7+8+9+9+10+10+10）＝9，故本选项正确；D．方差为[（7﹣9）2+（8﹣9）2+（9﹣9）2+（9﹣9）2+（10﹣9）2+（10﹣9）2+（10﹣9）2]＝，故本选项错误；故选：C．【点评】本题考查了折线图、平均数、中位数、众数及方差等知识，读折线图得到数据是解决本题的关键．10．【分析】证明△AOB是等腰直角三角形，即可解决问题．【解答】解：∵∠AOB＝2∠ACB＝90°,∵OA＝OB＝2,∴AB＝OA＝4,∵OD⊥AB,∴AD＝DB＝AB＝2,故选：B．【点评】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．11．【分析】证明AB＝PB，在Rt△PAC中，求出PC＝3千米，在Rt△PBC中，解直角三角形可求出PB的长，则可得出答案．【解答】解：由题意知，∠PAB＝30°，∠PBC＝60°，∴∠APB＝∠PBC﹣∠PAB＝60°﹣30°＝30°，∴∠PAB＝∠APB，∴AB＝PB，在Rt△PAC中，∵AP＝6千米，∴PC＝PA＝3千米，在Rt△PBC中，∵sin∠PBC＝，∴PB＝＝＝6千米．故选：D．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义及方向角是解题的关键．12．【分析】根据题意，x＝﹣≤2，≥﹣3【解答】解：当对称轴在y轴的右侧时，，解得≤m＜3，当对称轴是y轴时，m＝3，符合题意，当对称轴在y轴的左侧时，2m﹣6＞0，解得m＞3，综上所述，满足条件的m的值为m≥．故选：A．【点评】本题考查二次函数图形与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分）13．【分析】直接提取公因式m,再利用公式法分解因式得出答案．【解答】解：mn2﹣m＝m(n2﹣1)＝m（n+1）（n﹣1）．故答案为：m（n+1）（n﹣1）．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．14．【分析】利用扇形的面积公式计算圆锥侧面积．【解答】解：圆锥侧面积＝×2π×5×6＝30π．故答案为30π．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．15．【分析】先根据反比例函数与正比例函数的性质求出B点坐标，由函数图象即可得出结论．【解答】解：∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称，∴A、B两点关于原点对称，∵A（2，1），∴B（﹣2，﹣1），∵由函数图象可知，当0＜x＜2或x＜﹣2时函数y1的图象在y2的上方，∴使y1＞y2的x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜2．故答案为：x＜﹣2或0＜x＜2．【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，能根据数形结合求出y1＞y2时x的取值范围是解答此题的关键．16．【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，根据直角三角形的内切圆的半径的求法确定出内切圆半径，得到直径．【解答】解：根据勾股定理得：斜边为＝17，则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径r＝＝3（步），即直径为6步，故答案为：6．【点评】此题考查了三角形的内切圆与内心，掌握Rt△ABC中，两直角边分别为为a、b，斜边为c，其内切圆半径r＝是解题的关键．三、解答题（共9小题，17、18、19各6分，20、21各8分，22、23各9分，24、25各10分，共72分）17．【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝1+﹣1﹣2×﹣2＝1+﹣1﹣﹣2＝﹣2．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算即可．【解答】解：原式＝[+]÷＝•＝a，当a＝1时，原式＝1．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．19．【分析】（1）根据题意证明△AEB≌△DEB即可；（2）结合（1）根据已知条件可得EF是△ADC的中位线，再根据三角形内角和定理即可得结论．【解答】解：（1）在△AEB和△DEB中，，∴△AEB≌△DEB（SAS），∴AE＝DE；故答案为：＝；（2）∵BE是∠ABC的角平分线，∴∠ABC＝2∠EBD＝40°，∵∠BAC＝90°，∴∠C＝50°，∵F是CD的中点，∴CF＝DF，∵AE＝DE，∴EF是△ADC的中位线，∴EF∥AC，∴∠EFD＝∠C＝50°，∵AB＝DB，∴∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣40°）＝70°，∴∠DAC＝∠FED＝90°﹣70°＝20°，∵∠BED＝180°﹣20°﹣70°＝90°，∴∠BEF＝20°+90°＝110°．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，全等三角形的判定与性质，角平分线定义，三角形中位线定理，三角形内角和定理，解决本题的关键是综合运用以上知识．20．【分析】（1）根据A的人数÷其所占的比例＝参与问卷调查的总人数；（2）求出C的人数﹣15，再将条形统计图补充完整即可；（3）列表得出所有结果，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）（120+80）÷40%＝500（人），即参与问卷调查的总人数为500人，故答案为：500人；（2）500×15%﹣15＝60（人），补全条形统计图如图所示：（3）根据题意，列表如下：共有9个等可能的结果，其中小强和他爸爸选择同一种出行方式的情况有3种，∴小强和他爸爸选择同一种出行方式的概率为．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率、条形统计图、扇形统计图；列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．21．【分析】（1）根据矩形的性质和M，N分别为AD，BC的中点，可以得到△ABM和△CDN全等的条件，从而可以证明结论成立；（2）根据菱形的性质和勾股定理，可以求得菱形的边长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AB＝CD，∠A＝∠C＝90°，∵M，N分别为AD，BC的中点，∴AM＝CN，在△ABM和△CDN中，，∴△ABM≌△CDN（SAS）；（2）设AB＝x，则AD＝2x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∵四边形BMDN是菱形，AM＝3，∴BM＝DM＝2x﹣3，∵AM2+AB2＝BM2，∴32+x2＝（2x﹣3）2，解得，x1＝0（舍去），x2＝4，即AB＝4，∴BM＝＝5，即菱形的边长是5．【点评】本题考查菱形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．22．【分析】（1）根据题意，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得每次购买的酒精和消毒液分别是多少瓶；（2）设能购买消毒液m瓶，则能购买酒精2m瓶，根据“购买的酒精数量是消毒液数量的2倍，现有购买资金200元”列出不等式．【解答】（1）解：设购买酒精x瓶，消毒液y瓶，根据题意列方程组，得．解得，．答：每次购买的酒精和消毒液分别是20瓶，30瓶；（2）解：设能购买消毒液m瓶，则能购买酒精2m瓶，根据题意，得10×（1﹣30%）•2m+5（1﹣20%）•m≤200，解得：m≤＝11．∵m为正整数，∴m＝11．所以，最多能购买消毒液11瓶．【点评】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找到等量关系或不等关系，列出方程或不等式．23．【分析】（1）连接OC，由题意得∠OCB＝∠B，∠COD＝∠OCB，∠DOA＝∠B，则有∠COD＝∠AOD，然后可证△AOD≌△COD，时而可得∠DAO＝∠DCO＝90°，最后问题得证；（2）①连接OC，由题意易得四边形AOCD是正方形，则有OD＝BC＝2，进而可得△BCP∽△OFP，然后可得＝＝，最后问题得解；②过点这PH⊥BC 于点H，连接AC，由题意得＝设BC＝8x，OF＝5x，进而可得PH＝BP•sin∠B＝x，BH＝BP•∠B＝x，然后可得CH＝BC﹣BH＝x，最后问题得解．【解答】（1）证明：连接OC，如图所示：∵OC＝OB＝OA，∴∠OCB＝∠B，∵BC∥DF，∴∠COD＝∠OCB，∠DOA＝∠B，∴∠COD＝∠AOD，∵OD＝OD，∴△AOD≌△COD（SAS），∵DA与⊙O相切于点A，∠DAO＝∠DCO＝90°，∴OC⊥CD，∵OC是⊙O的半径，∴DC是⊙O的切线；（2）①连接OC、OF，如图所示：由（1）可得：∠DAO＝∠DCO＝90°，∵四边形BCDO是平行四边形，∴DC∥OB，OD∥BC，OD＝BC，∴∠AOC＝∠DCO＝90°，∴四边形AOCD是矩形，∵OA＝OC，∴四边形AOCD是正方形，∵AD＝2，∴OA＝OF＝OB＝2，∵OD∥BC，∴△BCP∽△OFP，∴＝＝，∴OP＝（﹣1）OB＝2﹣2；②过点这PH⊥BC于点H，连接AC，由①得△BCP∽△OFP，∵＝，∴，设BC＝8x，OF＝5x，∴AB＝10x，OB＝5，∴AC＝＝6x，BP＝OB＝x，∴sin∠B＝，cos∠B＝∴PH＝BP•sin∠B＝x，BH＝BP•∠B＝x，∴CH＝BC﹣BH＝x，∴tan∠BCF＝．【点评】此题考查的是切线的判定定理、相似三角形的判定与性质及三角函数，熟练掌握切线的判定定理、相似三角形的性质与判定及三角函数是解决此题关键．24．【分析】（1）根据四边形ABCD中∠ABC和∠ADC互补，且一组邻边AB和BC相等即可判定；根据勾股定理即可得到答案；（2）分情况讨论：当AB＝AD时，△ADC≌△ABC，从而转化为△ABC的面积为2，换底换高求出PB，再计算出PB的2倍即可；当AD＝DC时，先求出BC的长，然后分别作出△ABD和△CBD以BD为底的高，求出两个高的长，再根据四边形ABCD面积等于△ABD和△CBD的面积之和求解即可；（3）根据△CAB∽△BAP，对应边成比例先表示出AB，再过点P作PQ⊥BC于Q，在Rt△PQB中表示出PB的长，代入计算即可．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴四边形ABCD的两组对角互补，∵对角线BD平分∠ADC，∴∠ADB＝∠CDB，∴AB＝CB，∴四边形ABCD是完美四边形，∵∠ABC＝90°，∴AC是直径，∵AB＝BC＝1，∴AC＝＝＝，故⊙O的直径为；故答案为：是，．（2）①当AB＝AD时，∵∠ADC＝90°，∴∠ABC＝90°，在Rt△ADC和Rt△ABC中，∵AB＝AD，AC＝AC，∴△ADC≌△ABC（HL），∴CD＝CB，∵四边形ABCD的面积为4，＝2＝×AB×BC，∴S△ABC∵，∴BC＝2，∴AC＝＝，∵△ADC≌△ABC，∴∠DAC＝∠BAC，在△ADP和△ABP中，∵DA＝BA，∠DAC＝∠BAC，AP＝AP，∴△ADP≌ABP（SAS），∴∠DPA＝∠BPA＝90°，∴DP＝BP，＝2＝×AC×PB，∵S△ABC∴PB＝，②当AD＝DC时，如图所示，画出四边形ABCD的外接圆，过点A作AM⊥BD，垂足为M，过点C作CN⊥BD，垂足为N，∵∠ADC＝90°，AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA＝45°，∴∠ABM＝∠CBN＝45°，∴在Rt△ABM中，AM＝1，∵∠ADC＝90°，设BC＝a，则AC＝，AD＝＝，＝S△ADC+S△ABC＝4＝××+a×，∴S四边形ABCD整理得，a2+2a﹣14＝0，∴a＝4﹣，即BC＝4﹣，∴CN＝＝2﹣1，＝S△ABD+S△CBD＝×BD×（AM+CN），∴S四边形ABCD即4＝BD×，∴BD＝2，综上所述，BD＝或2．（3）如图所示，画出四边形ABCD的外接圆，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，BC＝x，PC＝y，AP＝8﹣y，∵AD＝AB，∠BAD＝60°，∴△ABD为正三角形，∠ADB＝∠ABD＝60°，在Rt△PCQ中，PC＝y，∠ADB＝60°，∴PQ＝y，CQ＝y，∴BQ＝x﹣y，在Rt△PBQ中，PB＝＝，∵∠BAC＝∠PAB，∠ACB＝∠ABP，∴△CAB∽△BAP，∴，∴，∴AB＝，∵PB＝，代入计算得，y＝﹣（x﹣4）2+2（0＜x＜8），当x＝4时，y有最大值，最大值为2．【点评】此题考查了圆的内接四边形，三角形全等和相似，面积转换等知识，熟练掌握圆的内接四边形的性质、三角形全等和相似的条件并准确计算是解决此题关键．25．【分析】（1）根据抛物线先求出A、B两点坐标，再根据C点坐标构造方程求解可得；（2）根据直线y＝kx﹣k+（k＜0）知直线所过定点G坐标为（，），从而得出DG＝2，由S△DEF＝S△DGF﹣S△DGE＝DG•（x2﹣2）﹣DG•（x1﹣2）＝DG•（x2﹣x1）得出x2﹣x1＝1，联立直线和抛物线解析式求得x的值，根据x2﹣x1＝1列出关于k 的方程，解之可得；（3）设抛物线L1的解析式为y＝﹣x2+x﹣6﹣m，m＞0，知M（0，6﹣m）、N（1，6﹣m），由△PMN和△GOP相似，分两种情况∠MPN+∠OPG＝90°和∠MPN＝∠OPG，当△PMN∽△POG，当∠OPG＝∠MPN＝∠MNP＝∠OGP时由对应边成比例得出关于n与m 的方程，利用符合条件的点P恰有2个，结合方程的解的情况求解可得．【解答】解：（1）令y＝0，则y＝ax2﹣ax﹣6a＝a（x2﹣x﹣6）＝a（x﹣3）（x+2）＝0，∴x1＝﹣2，x2＝3，∴OA＝2，OB＝3，∵y＝ax2﹣ax﹣6a，x＝0，y＝﹣6a，∴OC＝﹣6a，∴OC＝2OB，∴﹣6a＝6，∴a＝﹣1，∴抛物线L的解析式为y＝﹣x2+x+6；（2）∵过定点G的直线y＝kx﹣k+（k＜0），∴y＝＝k（x﹣），∴，∴定点坐标为G（，），∴y＝﹣x2+x+6＝﹣+，D（，），设E（x1，﹣+x1+6），F（x2，﹣+x2+6），∴DG＝2，＝S△DGF﹣S△DGE＝DG•（x2﹣2）﹣DG•（x1﹣2）∵S△DEF＝DG•（x2﹣x1）＝×2×（x2﹣x1）＝1，∴x2﹣x1＝1，联立方程组，得：x2+（k﹣1）x﹣k+＝0，解得：x1＝，x2＝，∴x2﹣x1＝＝1，解得k＝±3，∵k＜0，∴k＝﹣3；（3）设抛物线L1的解析式为y＝﹣x2+x﹣6﹣m，m＞0，∴M（0，6﹣m）、N（1，6﹣m），G（，0），设P（0，x），①当△PMN∽△GOP时，＝＝，∴＝，即﹣x2+（6﹣m）x＝①，②当△PMN∽△POG时，＝，＝，即（6﹣m﹣x）＝x②，当方程①有两个相等的实根时，Δ＝0，（6﹣m）2﹣2＝0，m＝6﹣，（6+＞6，舍去），x1＝x2＝，方程②中x＝，∴m＝6﹣，P的坐标为（0，）或（0，），当方程①有两种不同实根时，将②代入①得：8﹣m+m2＝，m＝或（舍去），m＝＞6（不符合题意），∴方程①的解：x1＝1，x2＝﹣（舍去），方程②的解：x＝，当m＝时，点P的坐标为（0，）或（0，1），综上所述，当m＝6﹣时，点P的坐标为（0，）或（0，）；当m＝时，点P 的坐标为（0，）或（0，1），此时△PMN和△GOP相似．【点评】本题主要考查二次函数综合题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、利用割补法求三角形的面积建立关于k的方程及相似三角形的判定与性质等知识点，解题时，注意“分类讨论”和“数形结合”数学思想的应用，难度较大．。
湖南师大附中博才实验中学2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试题(答案)
湖南师大附中博才实验中学2022-2023学年度九年级第一次月考·数学试卷一．选择题 (每小题 3 分，共 30 分)C AD A A , B C C A D二.填空题 (每小题 3 分，共 18 分)11．2,021−==x x 12．)2,1( 13．2≥x 14. 6 15． 2 16．13<<−x 二.填空题 (9道题 ，共 72 分)17．（6分）2−．18．（6分）31<≤−x ，图略.19.(6 分）图略.)1,3(,)2,2(22−−−−C A . 20.(8 分) （1） 200 ；（2）图略.(50人)（3）4080÷％=200（人），200-80-30-40=50（人），750200503000=×（人）. 答：估计最喜欢“跳绳”活动的学生大约有750人.21.(8分)（1）(4分)证明：∵EF 垂直平分对角线AC ，∴OA ＝OC ，AF ＝CF ，AE ＝CE ，∠AOF =∠COE=90°，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，∴∠FAO ＝∠ECO ， 在△AOF 和△COE 中，，∴△AOF ≌△COE （ASA ），∴AF ＝CE ， ∵AF ＝CF ，AE ＝CE ，∴AE ＝EC ＝CF ＝AF ， ∴四边形AECF 为菱形；（2）(4分)在Rt △CGA 中, ∵CG =，且CAD ∠＝30°，∴AC=.∵四边形AECF 为菱形,∴.在Rt △AOF 中,∵CAD ∠＝30°，∴设OF ＝x ，则AF ＝2x ， 在Rt △AOF 中，由勾股定理得：AF 2＝OF 2+AO 2，∴(2x)2＝x 22，∴x ＝1，∴AF ＝2,∴菱形AECF 的周长为8．22.(9分)解：（1）(4分)设y ＝kx +b )0(≠k ，将（50，100）、（60，80）代入，得：，解得：，∴y ＝﹣2x +200（2）(5分)W ＝（x ﹣40）（﹣2x +200）＝﹣2x 2+280x ﹣8000 ＝﹣2（x ﹣70）2+1800， ∵x ≤65∴当x ＝65时，W 取得最大值为1750答：售价为65元时获得最大利润，最大利润是1750元．23.(9分)解：（1）证明：∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC ＝∠C ＝60°，AB ＝CA ， 在△ABE 和△CAD 中，，∴△ABE ≌△CAD （SAS ）；（2）证明：∵△ABE ≌△CAD ，∴∠ABE ＝∠CAD ，∴∠ABE +∠BAP ＝∠CAD +∠BAP=∠BAC ， 由外角定理得：∠BPQ=∠ABE +∠BAP. ∴∠BPQ ＝∠BAC ＝60°. ∴∠BPQ ＝60°；（3）∵BQ ⊥AD ，∴∠BQP ＝90°，∴∠PBQ ＝30°，∴BP ＝2PQ ＝12，∴BE ＝BP +PE ＝12+2＝14， ∵△ABE ≌△CAD ， ∴BE ＝AD ＝14．24.(10分)（1）(2分)23（2）(4分)当y ＝0，则0＝x 2+b x +32bb ，解方程得：x ＝−bb ±√bb 2−6bb2∵2=AB ，∴√bb 2−6bb =4,∴b=.3±√13另解：韦达定理：221=−=x x AB ，∴44)()(21221221=−+=−x x x x x x（3）(4分)∵直线b x y +−=2的零点为1，∴x=1，0=y ，∴2=b . 联立直线与抛物线解析式，消去y ，得：=+−b x 2kx 2﹣（3k +3）x +2k +4，整理得：022)13(2=+++−k x k kx ，=∆)22(4)]13([2+−+−k k k 122+−=k k 0)1(2≥−=k设方程的解为43,x x 则：),(,),(4433y x D y x C∴+=+=+k k x x k k x x 22134343 （此处可用求根公式或十字相乘法直接求出两根.）∴CD 2=(x 3-x 4)2+ (y 3-y 4)2=(x 3-x 4)2+[2(xx 3−xx 4)]2=5(x 3-x 4)2 ∵线段CD 有最小值53， 知：43x x −最小值为3.令243x x S −=,得：212212214)()(x x x x x x S −+=−=2)11(−=k，令t k=1,得：=S 2)1(−t ，21+≤≤+m t m ，S 的最小值为9. 分以下三类讨论：①若12≤+m ，即：1−≤m 时，2+=m t 时，S=9，∴9)12(2=−+m ，∴2=m （舍）或4−=m .②若211+≤≤+m m ，即：01≤≤−m 时，1=t 时，S=9，无解.③若11≥+m ，即：0≥m 时，1+=m t 时，S=9，∴9)11(2=−+m ，∴3−=m （舍）或3=m . 综上，4−=m 或3=m .25．(10 分)（1） A 1（1，-1），B 1（1，-2）；（2） ① 若过B 1，C 1，将B 1（1，-2），C 1（2，-2）代入y=x 2+bx +c 得：++=−++=−c b c b 24212∴=−=03c b ，∴x x y 32−= ② 若过A 1，C 1，将 A 1（1，-1），C 1（2，-2）代入y=x 2+bx +c 得：++=−++=−c b c b 24211∴ =−=24c b ，∴242+−=x x y 综上，符合条件的抛物线解析式有：x x y 32−=，242+−=x x y（3）在旋转过程中，可能有以下情形：①顺时针旋转45°，点A 、B 落在抛物线上，如答图1所示： 易求得点P 坐标为（0，）；②顺时针旋转45°，点B 、C 落在抛物线上，如答图2所示： 设点B ′，C ′的横坐标分别为x 1，x 2．易知此时B ′C ′与一、三象限角平分线平行，∴设直线B ′C ′的解析式为y ＝x +b ， 联立y ＝x 2与y ＝x +b 得：x 2＝x +b ，即x 2﹣x ﹣b ＝0， ∴x 1+x 2＝1，x 1x 2＝﹣b ．∵B ′C ′＝1，∴根据题意易得：|x 1﹣x 2|＝，∴（x 1﹣x 2）2＝，即（x 1+x 2）2﹣4x 1x 2＝ ∴1+4b ＝，解得b ＝．∴x 2﹣x +＝0，解得x ＝或x ＝． ∵点C ′的横坐标较小，∴x ＝．当x ＝时，y ＝x 2＝，∴P（，）；③顺时针旋转45°，点C、A落在抛物线上，如答图3所示：设点C′，A′的横坐标分别为x1，x2．易知此时C′A′与二、四象限角平分线平行，∴设直线C′A′的解析式为y＝﹣x+b，联立y＝x2与y＝﹣x+b得：x2＝﹣x+b，即x2+x﹣b＝0，∴x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣b．∵C′A′＝1，∴根据题意易得：|x1﹣x2|＝，∴（x1﹣x2）2＝，即（x1+x2）2﹣4x1x2＝∴1+4b＝，解得b＝．∴x2+x+＝0，解得x＝或x＝．∵点C′的横坐标较大，∴x＝．当x＝时，y＝x2＝，∴P（，）；④逆时针旋转45°，点A、B落在抛物线上．因为逆时针旋转45°后，直线A′B′与y轴平行，因此，与抛物线最多只能有一个交点，故此种情形不存在；⑤逆时针旋转45°，点B、C落在抛物线上，如答图4所示：与③同理，可求得：P（，）；⑥逆时针旋转45°，点C、A落在抛物线上，如答图5所示：与②同理，可求得：P（，）．综上所述，点P 的坐标为：（0，）或（，）或（，）或（，）．。
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湖南师大附中博才实验中学2014—2015学年度
第一学期期考试题卷·数学（答案）
命题人：林浩、龚也 审题人：曾辉、黄乔玉
时量：120分钟 满分：120分
一、选择题
1-5 CCBAC 6-10 CDDDD
11 C（D） 12 B
二、填空题
13． m(x+1)(x-1)
14．—1
15．1
16．42
17． 15
18． 33322 ，-
三、解答题
19．解：原式 111+22244132 …………………6分
20．
21(2)(2)=211(2)(2)212xxxxxxxxxxx
解：原式
…………………4分
把3x代入上式得，原式=5 …………………6分
21．解
2
2
2
22
2
22
2
1
(1)41211()22201(2)2422xxxxxxxxxx
原式＝（）－＝－＝
22、解：连接BD
∵在△ABD中，，AB=3，AD=4，
∴BD===5．…………………2分
在△BDC中，CD=12，BC=13，BD=5．
∵122+52=132，即CD2+BD2=BC2， …………………4分
∴△BDC是直角三角形，且∠BDC=90°，…………………5分
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC=AB•AD+BD•CD=×3×4+×5×12=36，即四边形ABCD的面
积是36．
…………………8分
23、解：设原计划每天铺设管道x米，…………………1分
依题意得： 12030012027(120%)xx …………………5分
解得x=10 …………………7分
经检验，x=10是原方程的解，且符合题意．…………………8分
答：原计划每天铺设管道10米．…………………9分
24、（1）证明：∵E是AD的中点，
∴AE=DE．
∵AF∥BC，
∴∠FAE=∠BDE，∠AFE=∠DBE．
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS）． …………………4分
∴AF=BD．
∵AF=DC，
∴BD=DC．
即：D是BC的中点． …………………5分
（2）解：四边形ADCF是矩形；
证明：∵AF=DC，AF∥DC，
∴四边形ADCF是平行四边形．…………………7分
∵AB=AC，BD=DC，
∴AD⊥BC即∠ADC=90°．
∴平行四边形ADCF是矩形． …………………9分
25、解：（1）24log2 ， 416log2 ，664log2
（2）4×16=64 ，4log2 + 16log2 = 64log2
（3）Malog + Nalog = )(logMNa
（4）证明：设Malog=b1 , Nalog=b
2
则Mab1，Nab2
∴2121bbbbaaaMN
∴b1+b2=)(logMNa 即Malog + Nalog = )(logMNa
26、解：（1）BC=CF+CD …………………1分
(2) BC+CD=CF …………………1分
证明∵∠BAC=90°，∠ABC=45° ∴∠ACB=45°
∴AB=AC
∵四边形ADEF是正方形
∴AD=AF，∠DAF=90°
∵∠BAD=∠BAC+∠DAC
∠CAF=∠DAF+∠DAC
∴∠BAD=∠CAF
∴△BAD≌△CAF (SAS)
∴BD=CF，
∴BC+CD=CF …………………6分
（3）①CF=CD－BC ……………………7分
②∵∠BAC=90°，AB=AC
∴∠ABC=∠ACB=45°则∠ABD=180°－45°=135°
∵四边形ADEF是正方形
∴AD=AF，∠DAF=90°
∵∠BAD=∠DAF －∠BAF
∠CAF=∠BAC －∠BAF
∴∠BAD=∠CAF
∴△BAD≌△CAF …………………………………8分
∴∠ACF=∠ABD=180°－45°=135°
∴∠FCD=∠ACF －∠ACB =90°则△FCD为直角三角形
∵正方形ADEF中，O为DF中点
∴OC=21DF …………………………9分
∵在正方形ADEF中，22AD
∴OC= 2 ………………………………10分