XY的分布函数二维变量的概率分布与边缘概率分布
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边缘概率密度和边缘分布函数的关系
边缘概率密度和边缘分布函数的关系
边缘概率密度函数和边缘分布函数是概率统计中的两个重要概念，它们描述了多维随机变量中各个分量的单独概率分布。
下面是关于边缘概率密度函数和边缘分布函数的详细解释和它们之间的关系：
1.边缘概率密度函数：
-对于一个多维随机变量，边缘概率密度函数描述了每个随机变量分量的概率分布，独立地考虑每个分量。
-假设有一个二维随机变量(X,Y)，边缘概率密度函数fX(x)和
fY(y)分别描述了X和Y分量的概率分布。
fX(x)表示在给定Y的条件下，X取某个值x的概率密度；fY(y)表示在给定X的条件下，Y取某个值y的概率密度。
2.边缘分布函数：
-边缘分布函数是描述随机变量各个分量的概率分布的函数。
-对于一个二维随机变量(X,Y)，边缘分布函数FX(x)和FY(y)分别表示X和Y分量的边缘分布函数。
FX(x)表示随机变量X小于等于某个值x的概率；FY(y)表示随机变量Y小于等于某个值y的概率。
3.边缘概率密度函数和边缘分布函数的关系：
-边缘概率密度函数和边缘分布函数是通过求导和积分相互转换的关系。
-对于二维随机变量(X,Y)，边缘分布函数可以通过边缘概率密度函数求解。
例如，对于X分量，可以通过积分fX(x)来计算FX(x)：FX(x)=∫fX(x)dx。
-同样地，边缘概率密度函数可以通过边缘分布函数的求导得到。
例如，对于X分量，可以通过对FX(x)求导来计算fX(x)：
fX(x)=d/dx(FX(x))。
边缘概率密度函数和边缘分布函数提供了描述多维随机变量中各个分量单独概率分布的工具，可以用于研究和分析多变量统计问题。
二维随机变量函数的分布
Fmax ( z) FX1 ( z) FX2 ( z) FXn ( z),
Fmin (z) 1 [1 FX1 (z)][1 FX2 (z)] [1 FXn (z)]. 若 X1, X2, , Xn相互独立且具有相同的分布函数 F(x) ,则
Fmax(z) [F (z)]n , Fmin (z) 1 [1 F (z)]n .
c
1
[
x
2
(2
x)
/
2]dx
=5c/24=1,
0
c =24/5
例1 设(X,Y)的概率密度是
cy(2 x), 0 x 1, 0 y x
f (x, y)
0,
其它
求 (1) c的值; (2) 两个边缘密度 注. 意积分限
y
解:
(2) fY
y=x
(
y
1
) y
24
24 y(2 5 y(3 2y
P{Z k} P{{ X 0,Y k} { X 1,Y k 1} { X k,Y 0}}
P{ X 0} P{Y k} P{ X 1} P{Y k 1}
P{ X k} P{Y 0}
k
P{ X m} P{Y k m}
m0
k
m
1 e1
km
Z
－1
0
1
pi 0.1344 0.7312 0.1344
(2)线性方程组只有零解，也就是Z≠0，故有
P{Z 0} 1 P{Z 0} 1 0.7312 0.2688
二、二维连续型随机变量的函数的分布
1、和的分布：Z=X+Y 设二维连续型随机变量(X，Y)的联合概率密度 为 f(x，y)，则Z=X+Y的分布函数为
Fmin (z) 1 [1 FX1 (z)][1 FX2 (z)] [1 FXn (z)]. 若 X1, X2, , Xn相互独立且具有相同的分布函数 F(x) ,则
Fmax(z) [F (z)]n , Fmin (z) 1 [1 F (z)]n .
c
1
[
x
2
(2
x)
/
2]dx
=5c/24=1,
0
c =24/5
例1 设(X,Y)的概率密度是
cy(2 x), 0 x 1, 0 y x
f (x, y)
0,
其它
求 (1) c的值; (2) 两个边缘密度 注. 意积分限
y
解:
(2) fY
y=x
(
y
1
) y
24
24 y(2 5 y(3 2y
P{Z k} P{{ X 0,Y k} { X 1,Y k 1} { X k,Y 0}}
P{ X 0} P{Y k} P{ X 1} P{Y k 1}
P{ X k} P{Y 0}
k
P{ X m} P{Y k m}
m0
k
m
1 e1
km
Z
－1
0
1
pi 0.1344 0.7312 0.1344
(2)线性方程组只有零解，也就是Z≠0，故有
P{Z 0} 1 P{Z 0} 1 0.7312 0.2688
二、二维连续型随机变量的函数的分布
1、和的分布：Z=X+Y 设二维连续型随机变量(X，Y)的联合概率密度 为 f(x，y)，则Z=X+Y的分布函数为
第二节 边缘分布
y
dy
0 0
cxe
y
x
dx
c 2
0
y e
2
y
dy
c 2
xe y f x， y 0
0 x y 其它
2 c
所以，
⑵．当 x 0 时，
f X x
c 1
f x ， y dy
x>0,y>0 其它
求边缘分布函数 解： FX(x)= F(x, +∞)
1 e x 0,
x>0, 其它
FY(y)＝
1 e y F(+∞,y) 0,
y>0 其它
2、边缘概率密度
对连续型 r.v ( X,Y )， X和Y的联合概率密度为 f ( x, y ) 则( X,Y )关于X的边缘概率密度为
3 2 2y y
2
0
x
24 5
0 y 1
),
2
注意取值范围
即
12 2 x ( 2 x ), f X (x) 5 0,
0 y ), fY ( y ) 5 2 2 0,
0 y 1 其它
X
y1 p 11
p 21
p i1
y2 p 12
p 22
pi2
„ „ „
yj p1 j
p2 j
„
x)
i
x1
x2
xi
„ p „ p
1j
2 j
„
p ij
„p
ij
第二节边缘分布
当-1<x<1时
1 x 2
f X ( x) f ( x, y)dy
1
1 x 2
dy
x 1 其他
2 1 x2
2 1 x2 f X ( x) 0
当 1 y 1时 同理 fY ( y )
1 y 2
2
1
1 y
即为 F(x，y)=Fx(x)FY(y) 反之，若X与Y满足F(x，y)=Fx(x)FY(y) ，则有 P{x1<X≤x2，y1<Y≤y2} =F(x2, y2)- F(x1, y2)-F(x2, y1)+ F(x1, y1)
= Fx(x2)FY(y2)- Fx(x1)FY(y2)- Fx(x2)FY(y1)+Fx(x1)FY(y1)
若x与y相互独立则在fxydfdx一负责人到达办公室的时间均匀分布在812时他的秘书到达办公室的时间均匀分布在79时设他们两人到达的时间相互独立求他们到达办公室的时间相差不超过5分钟112小时的概率
第二节 边缘分布
引言
边缘分布
随机变量独立性
一、边缘分布的定义
1．边缘分布 设(X,Y)为二维随机向量其分布函数为F(x,y)，X和Y的分 布函数分别记为Fx(x)和FY(y), 依次称Fx(x),FY(y)为(X,Y) 关于X和关于Y的边缘分布函数. 2.公式. 由于Fx(x)=P({X≤x}∩{Y<+∞})=P{X≤x,Y<+∞} =F(x,+∞) 同理有 FY(y)=F(+∞, y).
p
i xi x , y j y
p
p j
xi x
概率论-2-6边缘分布
PY
yj
PX
xi ,Y
yj
pij,
j 1,2,
i 1
i 1
即 离散型随机变量( X,Y )的边缘分布律 定义1 设(X,Y) 的联合分布律为
P{ X xi ,Y y j } pij , i, j 1, 2,
则(X,Y)关于X的边缘分布律为
P{ Xxຫໍສະໝຸດ }P{X xi ,
y }
pij pi i 1, 2,3,
§2.6 边缘分布
二维联合分布全面地反映了二维随机变量
(X,Y)的取值及其概率规律. 而单个随机变量X,Y 也具有自己的概率分布. 那么要问:二者之间有 什么关系呢?
这一节里,我们就来探求这个问题 .
一、离散型随机变量( X,Y )的边缘分布律
设(X,Y) 的分布律 及边缘分布律 为
XY x1 x2 … xi …
3 0
2 x
24 13
xdy,
1x3
2
2
0,
其他
即
24 13
x,
0 x1 2
fX (x)
24 13
x(3 2
x),
1x3
2
2
0,
其他
解
fY ( y) f ( x, y)dx
03
2
y
24 13
xdx
12 (3 13 2
y)2,
0 y1
0,
其他
正确答案：D
正确答案：C
注意 由（X,Y）的联合分布律就能确定（X,Y） 关于X，关于Y的边缘分布律；同样，由（X,Y）的 联合概率密度就能确定（X,Y）关于X，关于Y的边 缘密度。由此可见，边缘分布由联合分布唯一确定， 反之不成立。即一般来说，单由X，Y各自的分布 是不能确定（X,Y）的联合分布的.
二维随机变量及其分布
5
一、二维随机变量的联合分布函数与边缘分布函数
1、联合分布函数: F(x,y)
(1)定义:设(X,Y)为二维随机变量,对任意实数 x、y, 称
F (x, y) P {X x , Y y} P {(X x) (Y y )}
为二维随机变量（X,Y）的联合分布函数。
6
(2)联合分布函数的几何意义 (X,Y)平面上随机点的 坐标
三、二维连续型随机变量
23
1、联合概率密度函数:f(x,y)
定义：设二维随机变量（X，Y）的分布函数为 F
(x,y),若存在非负函数f（x，y），使对任意实数
x，y 有
xy
F(x, y)
f (u,v)dudv
则称（X，Y）是二维连续型随机变量,f（x，y）称为（X， Y）的联合概率密度函数。
f (x, y)
0, 其他
求：（1）k; （2）P(Y X );
（3）分布函数F (x, y);
（4）P(0 X 1, o Y X )
26
解：(1)1
f (x, y)dxdy
y
dx
ke2x3ydy
0
0
0
x
k e2xdx e3ydy k
0
0
6
e2xdx 1 e2xd (2x)
X与Y独立.
43
例2:设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
f
(
x,
y)
2,
0
x 0,
y, 0 其他
y
1
问X与Y是否独立。
解：f X (x)
f (x, y)dy
3
二维随机变量的定义:
设E是一个随机试验,其样本空间为S .设X、Y是定义在S 上的两个随机变量，由 X,Y 构成的向量(X，Y)称为S的 一个二维随机变量。
一、二维随机变量的联合分布函数与边缘分布函数
1、联合分布函数: F(x,y)
(1)定义:设(X,Y)为二维随机变量,对任意实数 x、y, 称
F (x, y) P {X x , Y y} P {(X x) (Y y )}
为二维随机变量（X,Y）的联合分布函数。
6
(2)联合分布函数的几何意义 (X,Y)平面上随机点的 坐标
三、二维连续型随机变量
23
1、联合概率密度函数:f(x,y)
定义：设二维随机变量（X，Y）的分布函数为 F
(x,y),若存在非负函数f（x，y），使对任意实数
x，y 有
xy
F(x, y)
f (u,v)dudv
则称（X，Y）是二维连续型随机变量,f（x，y）称为（X， Y）的联合概率密度函数。
f (x, y)
0, 其他
求：（1）k; （2）P(Y X );
（3）分布函数F (x, y);
（4）P(0 X 1, o Y X )
26
解：(1)1
f (x, y)dxdy
y
dx
ke2x3ydy
0
0
0
x
k e2xdx e3ydy k
0
0
6
e2xdx 1 e2xd (2x)
X与Y独立.
43
例2:设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
f
(
x,
y)
2,
0
x 0,
y, 0 其他
y
1
问X与Y是否独立。
解：f X (x)
f (x, y)dy
3
二维随机变量的定义:
设E是一个随机试验,其样本空间为S .设X、Y是定义在S 上的两个随机变量，由 X,Y 构成的向量(X，Y)称为S的 一个二维随机变量。
二维连续型随机变量的边缘分布函数与边缘概率密度
ｙ→＋∞
数学学习与研究 ２０２１ ２０
ＪＩＥＴＩ ＪＩＱＩＡＯ ＹＵ ＦＡＮＧＦＡ
解题技巧与方法
１５９
－ ∞ ＜ｘ＜＋∞ ，
Ｆ Ｙ（ ｙ）＝ ｌｉｍ Ｆ（ ｘ，ｙ）
ｘ→＋∞
( π１ ａｒｃｔａｎ ｘ＋ ２１ ) ( π１ ａｒｃｔａｎ ３ｙ ＋ ２１ )
０，其他．
－∞
４ ５
＋∞
ｙ ２ ，０≤ｙ≤１，
ｆ Ｙ（ ｙ）＝
ｆ（ ｘ，ｙ） ｄｘ ＝ ３
－∞
０， 其他．
２．２ 已知联合分布函数求边缘概率密度
主要有两种方法：方法一：利用联合分布函数和边缘分
布函数之间的关系求出边缘分布函数，由于边缘分布函数
在其定义域内是可导的，则对边缘分布函数求导即可得到
边缘概率密度，即：
＋∞
＋∞
３
ｆ Ｘ（ ｘ）＝
ｆ（ ｘ，ｙ） ｄｙ ＝
ｄｙ
２
２
２
－∞
－ ∞ π （１＋ｘ ） （９＋ｙ ）
１
＝
，
π（１＋ｘ２ ）
－ ∞ ＜ｘ＜＋∞ ，
＋∞
＋∞
３
ｆ Ｙ（ ｙ）＝
ｆ（ ｘ，ｙ） ｄｘ ＝
ｄｘ
２
２
２
－∞
－ ∞ π （１＋ｘ ） （９＋ｙ ）
３
＝
，
π（９＋ｙ２ ）
－ ∞ ＜ｙ＜＋∞ ．
一般地，当联合分布函数或者联合概率密度已知求边
【 摘要】 二维连续型随机变量（ Ｘ，Ｙ） 的边缘分布函数与
边缘概率密度，能够全面地描述二维连续型随机变量（ Ｘ，
Ｙ） 的分布规律，是概率论与数理统计的重要组成部分．若不
理解相关概念和性质就盲目求解边缘概率密度与边缘分布
边缘分布和条件分布
FX ( x) P{ X ≤x} P{ X ≤x, Y ≤ } F ( x, )
即
FX ( x) F ( x, ) FY ( y ) F (, y )
2
2.边缘分布率
二维离散型随机变量（X,Ｙ)中，X与Ｙ各自 的分布率就称为边缘分布率.
设联合分布率为
P{ X xi , Y y j } pij , i, j 1, 2,
解： ( X , Y )的概率密度
1/ , x y ≤1 f ( x, y ) 其它 0,
2 2
y
1 y2
1
y
1 y2
O
1
fY ( y )
x
f ( x, y )dx
2 1 y 2 1 dx 1 y 2 , 1≤y≤1 1 y 2 0, 其它
16
1 于是， 当－ y 1时有
f ( x, y ) f X |Y ( x | y ) fY ( y ) 1/ 1 , 1 y2 x 1 y2 (2 / ) 1 y 2 2 1 y 2 0, 其它
当 | y | 1时，X 在Y＝y的条件下的条件密度不存在。
7
例： 设(X , Y ) ~ N ( 1 , 2 , 1 , 2 , ), 求X , Y的边缘密度.
2 2
解：
f X ( x)
1 f ( x, y)dy e 2 1
( x 1 )2
2 21
所以 同理
X ~ N ( 1 , 12 )
2 Y ~ N ( 2 , 2 )
FY | X ( y | x) A P{Y≤y | X x} A fY | X ( y | x)dy
即
FX ( x) F ( x, ) FY ( y ) F (, y )
2
2.边缘分布率
二维离散型随机变量（X,Ｙ)中，X与Ｙ各自 的分布率就称为边缘分布率.
设联合分布率为
P{ X xi , Y y j } pij , i, j 1, 2,
解： ( X , Y )的概率密度
1/ , x y ≤1 f ( x, y ) 其它 0,
2 2
y
1 y2
1
y
1 y2
O
1
fY ( y )
x
f ( x, y )dx
2 1 y 2 1 dx 1 y 2 , 1≤y≤1 1 y 2 0, 其它
16
1 于是， 当－ y 1时有
f ( x, y ) f X |Y ( x | y ) fY ( y ) 1/ 1 , 1 y2 x 1 y2 (2 / ) 1 y 2 2 1 y 2 0, 其它
当 | y | 1时，X 在Y＝y的条件下的条件密度不存在。
7
例： 设(X , Y ) ~ N ( 1 , 2 , 1 , 2 , ), 求X , Y的边缘密度.
2 2
解：
f X ( x)
1 f ( x, y)dy e 2 1
( x 1 )2
2 21
所以 同理
X ~ N ( 1 , 12 )
2 Y ~ N ( 2 , 2 )
FY | X ( y | x) A P{Y≤y | X x} A fY | X ( y | x)dy
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P(X x,Y ) F(x, )= lim F(x, y) y
同 理 ：FY y
P(X
,Y
y)
F (, y)
lim F ( x , y )
x
显然，边缘分布是联合分布对另一个变量的无穷极限。
5.离散变量（X,Y）的分布函数
与一维随机变量的情况一样，二维离散随机变量的分布函数
F (x，y)等于对应区域（X
xy
xy
f (u, v)dudv
Fxy (u, v)dudv F ( x, y) F ( , )
F( , ) 0,
x
F ( x, y)
y
f (u, v)dudv
(3)由联合密度求区域D上的概率：P[(X ,Y ) D] f ( x, y)dxdy
D
分 析 ： 将D划 分 成 无 穷 多 个 互 斥 的小 区 域 ， 即D Di
二维联合变量积，非负无穷和为1； 联合概率另变量，无穷求和边缘P。 联合分布区域P, 2个不等4等式； 联合分布另变量，无穷极限是边缘。
第七讲 二维连续变量分布函数
一、二维连续型随机变量的联合分布函数（续）
1.联合分布函数定义：
设（X ,Y）为一二维随机变量，则对R2的任意的x, y,
称事件X x与Y y都发生的概率为( X ,Y )的联合分布函数， F (x, y) P( X x,Y y) P[( X x) (Y y)]
D0
D
D0
xy
2.密度与分布函数和区域概率的关系
D很小时，可
(1): 由分布导数求密度：根据二阶混合导数定义： 视为矩形xy.
f ( x, y) lim P( x X x x, y Y y y)
x0
xy
y0
F ( x x, y y) F ( x x, y) F ( x, y y) F ( x, y) 2F ( x, y)
y
)
y, 0 y 1
1, y 1
fY
(
y)
FY (
y)
2
1
y
,
0,
0 y 1 ,
其它
（2）分布变成区域概率，且联合概率事件积
F(1 , 1) P(X 1 ,Y 1) P(X 1 ,Y X 2 1)
34
34
3
4
P{(X 1) ( X 2 1)} P( 1 X 1)
x,Y
y）上的所有离散点（xi ,
y
）
j
的联合概率之和。
F (x, y) P(X x,Y y) P{(X x) (Y y)}
P(X xi ,Y y j ) pij
xi x y j y
xi x y j y
第七讲 二维变量的概率分布与边缘概率分布
例7-1-1（2014年7月期末）
F(x, ) 0, F(, ) 0.
4.二维分布下的边缘分布
（1）设F( x, y)是( X ,Y )的联合分布，则每一个分量x, y的分布 称为F( x, y)的边际分布，又称边缘分布，记作：FX ( x),FY ( y)。
第七讲 二维变量的概率分布与边缘概率分布
FX x P X x Y P(X x Y )
X
x2 ,
y1
Y
y2
S1 S
F ( x2 , y2 ) F ( x1, y2 ) F ( x2 , y1) F ( x1, y1) 0
3.二维联合分布的性质
（1）F(x, y)是对x对y都单调非减：FX(x, y) 0, FY(x, y) 0; （2）四个等式：F(, ) 1，F(, y) 0,
1 o 1 x
FY ( y) P(Y y) P(Y X 2 y) P( y X y )
第七讲 二维变量的概率分布与边缘概率分布
FY ( y) P(Y y) P(Y X 2 y) P( y X y )
y
f (x)dx
y 1 dx
y
y
y2
0， y 0
FY
(
所 以 ， 联 合 分 布 也 是 变量 （ 事 件 ） 积 的 概 率 。
2.二维联合分布的几何解释
Y
(x, y)
Y
( x1, y2 )
(x2, y2 )
Ⅲ
Ⅰ
0 图7 -1
X
( x1, y1 ) 0Ⅳ
Ⅱ
( x2 , y1 )
X
图7 - 2
第七讲 二维变量的概率分布与边缘概率分布
由 集 合 描 述 ：Px1
3
4
2
3
1
3 1
2
1 2
dx
5 12
第七讲 二维变量的概率分布与边缘概率分布
二、二维连续型随机变量的密度函数
1.联合密度定义：
单位面积D的区域概率的极限为( X ,Y )的联合概率密度，即
f ( x, y) lim P[(X ,Y ) D] lim P( x X x x, y Y y y)
第七讲 二维连续分布独立性与二维函数分布
本次课讲授：第二章的2.6-2.8； 下次课讲第三章的2.8-3.2。 下周上课时交作业P25—P28
重点： 二维变量的分布、 密度、边缘密度 与条件密度。二维 离散变量函数分布
难点： 相关公式和解法
离散变量函数值，对应自变量P和， 连续变量函数密，定域画线变分布。
设 随 机变 量X服 从[1,1]上 的 均匀 分 布 ， 令Y X 2, F (x, y)为
二维随机变量( X ,Y )的分布函数，求
(1)Y的
概
率
密
度fY
(
y)，(2)
F
(
1 3
，1 4
)
解
（1）
由
已
知
，f X
(
x)
1 2
,
0,
1 x 1 其它
y x2 x y
yy Leabharlann x2 x y解：Y X 2，定域画线变分布。 1 X 1,则Y X 2 : 0 Y 1,当0 y 1时：
lim
x0
xy
xy
y0
所 以 ：f ( x, y) Fxy ( x, y)
(2)由 密 度 二 重 积 分 求 分 布：
第七讲 二维变量的概率分布与边缘概率分布
f ( x, y) Fxy ( x, y), f (u, v) Fxy (u, v), 两 边 求 无 穷 积 分 ： 由 二重 积 分 原 函 数 概 念 ：
i 1
P[( X ,Y ) D] P[( X ,Y ) Di ],由 于 小 区 域 互 斥 ， 和 概率 等 于 概 率 和
i 1
P[( X ,Y ) D] P[( X ,Y ) Di ] P[( X ,Y ) Di ]
i 1
i 1
当Di很 小 时 ， 它 是 小 矩 形 ，面 积 为xiy j ,即