概率论-第三章-3.2 边缘分布
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概率论-第三章-3.2 边缘分布
缘分布是不够,而必须将他们作为一 个整体来研究.
整体大于部分之和!
例 假设5件产品中有3件正品,2件次品,从中取两
次,每次取一件,记
1, 第i次取到正品 Xi i 1,2 0, 第i次取到次品
分别对有放回抽样和无放回抽样两种情况,求(X1,X2)的
联合分布律和边缘分布律. 解 (1)有放回的情形.此时
例 已知二维随机变量 X , Y 的联合密度函数为
A x e y 0 x y f x, y 其它 0 求 (1) 常 数 A ； (2) P X Y 2 ； (3) 边 缘 密 度 函 数
f X x , fY y ．
解 (1) 因为 即
0 y 1 其他
二维正态分布
若二维随机变量 X , Y 的联合密度函数为
f x, y 1 2 1 2 1 2
e
2 1 2
1
2 x 2 x y y 1 1 2 2 2 1 2 2 1
对于离散型随机变量(X,Y)，分布律为
P( X xi， Y y j ) pij， i, j 1, 2,
X,Y的边缘分布律为：
P(Y y j ) P( X ，Y y j ) pij == p j j 1, 2,
记为
P( X xi ) P( X xi，Y ) pij == pi i 1, 2,
若 ( X , Y ) ~ N ( μ1 , μ2 , σ1 , σ 2 , ρ) ,则
2 2
X ~ N 1 ,
2 1
， Y ~ N , ．
整体大于部分之和!
例 假设5件产品中有3件正品,2件次品,从中取两
次,每次取一件,记
1, 第i次取到正品 Xi i 1,2 0, 第i次取到次品
分别对有放回抽样和无放回抽样两种情况,求(X1,X2)的
联合分布律和边缘分布律. 解 (1)有放回的情形.此时
例 已知二维随机变量 X , Y 的联合密度函数为
A x e y 0 x y f x, y 其它 0 求 (1) 常 数 A ； (2) P X Y 2 ； (3) 边 缘 密 度 函 数
f X x , fY y ．
解 (1) 因为 即
0 y 1 其他
二维正态分布
若二维随机变量 X , Y 的联合密度函数为
f x, y 1 2 1 2 1 2
e
2 1 2
1
2 x 2 x y y 1 1 2 2 2 1 2 2 1
对于离散型随机变量(X,Y)，分布律为
P( X xi， Y y j ) pij， i, j 1, 2,
X,Y的边缘分布律为：
P(Y y j ) P( X ，Y y j ) pij == p j j 1, 2,
记为
P( X xi ) P( X xi，Y ) pij == pi i 1, 2,
若 ( X , Y ) ~ N ( μ1 , μ2 , σ1 , σ 2 , ρ) ,则
2 2
X ~ N 1 ,
2 1
， Y ~ N , ．
概率论与数理统计教学课件-3-2边缘分布
边缘分布与联合分布的关系
联合分布
描述多个随机变量同时发生的概率分 布。
关系
对于离散型随机变量，边缘分布可以 通过求和联合分布中相应事件的概率 得到；对于连续型随机变量，边缘分 布可以通过积分联合分布得到。
边缘分布的几何意义
几何解释
在概率空间中，边缘分布描述了一个随机变量在固定其他随机变量取值时的概 率分布情况。
边缘分布的数学表达式为 $f(x) = frac{1}{b-a}$，其中 $a$ 和 $b$ 是给定的范围。
对于均匀分布，其概率密度函 数为 $f(x) = frac{1}{b-a}$，其 中 $a$ 和 $b$ 是随机变量 $X$ 的取值范围。这个表达式表示 在给定范围内，随机变量 $X$ 的取值是均匀分布的。
3
边缘分布的计算
对于超几何分布，其边缘分布就是抽取某一特定 类型的样本的概率。
04
边缘分布的应用场景
统计分析
描述性统计
在统计分析中，边缘分布用于描 述数据的基本特征，如均值、中 位数、众数等。这些统计量可以 帮助我们了解数据的集中趋势和 离散程度。
异常值检测
通过比较数据点与边缘分布的统 计量，可以检测出异常值，这些 值可能对数据分析产生重大影响。
在概率论与数理统计中，边缘分布在处理多维随机变量问 题时具有重要作用，可以帮助我们简化问题，提取所需的 信息。
下节预告
条件分布的概念
在概率论与数理统计中，条件分布是指在某个随机变量取值的条件下，其他随机变量的 概率分布。
条件分布的性质
条件分布具有依赖性，即条件分布的取值受其他随机变量的影响；同时，条件分布的取 值范围和概率密度函数形式与联合概率分布有关。
数据可视化
边缘分布可以用于绘制直方图、 箱线图等，帮助我们直观地了解 数据分布情况。
《概率学》3.2_3.3二维随机变量的边缘分布及独立性
i, j=1, 2, ...,
连续型
f (x, y)
第三章 多维随机变量及其分布
（X，Y）边缘分布
FX(x) = F（x,＋∞） F Y(y) = F（＋∞, y）
pi .=P{X= xi}= pij i=1, 2, ..., j 1
p.j=P{Y= yj}= pij j=1, 2, ..., i 1
连续型 f (x, y)
第三章 多维随机变量及其分布
（X，Y）边缘分布
FX(x)=（
）
F Y(y) =（
）
pi .=P{X= xi}（=
）
p.j=P{Y= yj}=（
）
f X ( x) （
）
fY ( y) （
）
作答
1
8
山东农业大学公共数学系概率统计课程组 版权所有
第2节 二维随机变量的边缘分布
第三章 多维随机变量及其分布
f X (x)
f (x, y)dy
fY ( y)
f (x, y)dx
1
7
山东农业大学公共数学系概率统计课程组 版权所有
主第观2节题二维随2机分变量的填边缘空分布 填空
( X, Y )联合分布 一般 F(x,y)= P{X ≤ x,Y≤y}
离散型 P{X=xi ,Y=y j}= pi j
i, j=1, 2, ...,
1
2
fX (x)
f (x, y)dy
1
exp{ 1 (u2 2u v2)}dv
21 1 2
2(1 2)
1
u2
e2
1
exp{ (v u)2 }dv
2 1
2 1 2
2(1 2)
连续型
f (x, y)
第三章 多维随机变量及其分布
（X，Y）边缘分布
FX(x) = F（x,＋∞） F Y(y) = F（＋∞, y）
pi .=P{X= xi}= pij i=1, 2, ..., j 1
p.j=P{Y= yj}= pij j=1, 2, ..., i 1
连续型 f (x, y)
第三章 多维随机变量及其分布
（X，Y）边缘分布
FX(x)=（
）
F Y(y) =（
）
pi .=P{X= xi}（=
）
p.j=P{Y= yj}=（
）
f X ( x) （
）
fY ( y) （
）
作答
1
8
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第2节 二维随机变量的边缘分布
第三章 多维随机变量及其分布
f X (x)
f (x, y)dy
fY ( y)
f (x, y)dx
1
7
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主第观2节题二维随2机分变量的填边缘空分布 填空
( X, Y )联合分布 一般 F(x,y)= P{X ≤ x,Y≤y}
离散型 P{X=xi ,Y=y j}= pi j
i, j=1, 2, ...,
1
2
fX (x)
f (x, y)dy
1
exp{ 1 (u2 2u v2)}dv
21 1 2
2(1 2)
1
u2
e2
1
exp{ (v u)2 }dv
2 1
2 1 2
2(1 2)
概率论与数理统计课件第三章
f
(x,
y)
1
21 2
1
2
exp
1
2(1 2 )
(x
1)2
2 1
2
(x
1)( y 1 2
2 )
(y
2)2
2 2
其中1、2、1、 2、都是常数，且1 0， 2 0，1 1.
则称（X,Y）服从参数为1、2、1、的二2、维 正态分布，
记为
(X
,Y)
~
N (1,
2
,
2 1
,
2 2
2F(x, y) f (x, y) xy
(5)若(X,Y)为二维连续型随机向量,联合概率密度为f(x,y),则
F(x,y) P{X x,Y y}
返回
X
18
第
页
例5 设二维随机变量（X,Y）的概率密度为
Ae2(x y) , x 0, y 0
f (x, y)
0, 其他
（1）确定常数A；
分别为(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数.
返回
X
25
第
页
例1 设二维随机向量（X,Y）的联合分布函数为
(1 e2x )(1 e3y ), x 0, y 0,
F(x, y)
0, 其他.
求边缘分布 FX (x), FY ( y)
当x
0时，FX
(x)
lim (1
y
e2 x
)(1
e3 y
)
1
e2 x
返回
X
14
第
例3 设随机变量Y~N(0，1),令
0, X 1 1,
| Y | 1
0,
|Y
|
北邮概率论与数理统计3.2边际分布
§3.2 边缘分布二维随机向量),(Y X 的联合分布（联合分布函数或联合分布列或联合概率密度）完整地刻画了随机变量X 和Y 作为一个整体的概率分布规律。
为应用方便，我们还需要从这个完整的信息中挖掘出某些方面的信息。
这个完整的信息中包含如下信息：（1）每个分量（或部分分量）的概率分布，即边缘分布。
（2）各分量之间的统计联系。
本章将要介绍的随机变量的独立性，及条件分布以及下一章介绍的相关系数就是用来反映和描述他们的统计联系.一．边缘分布 1.边缘分布函数设二维随机向量),(Y X 具有联合分布函数为),(y x F ，而X 和Y 都是随机变量，各自也有分布函数，将它们分别记为)(x F X 和)(y F Y ,依次称为为),(Y X 关于X 和关于X 的边缘分布函数. 由概率的性质可得),(),(lim },{}{+∞==∞<≤=≤∆+∞→x F y x F Y x X P x X P y可见由),(Y X 的联合分布函数),(y x F 可以X 的边缘分布函数: ),()(+∞=x F x F X (1) 类似地可得),(Y X 关于Y 的边缘分布函数为),()(y F y F Y +∞= (2) 例3.2.1 设二维随机向量),(Y X 的联合分布函数为⎩⎨⎧≥≥+--=λ-----其他,00,0,1),(y x e e e y x F xy y x y x这个分布称为二维指数分布，其中参数0≥λ，求边缘分布函数。
解：易得X ，Y 的边缘分布函数分别为⎩⎨⎧<≥-=+∞=-0,00,1),()(x x e x F x F x X⎩⎨⎧<≥-=+∞=-0,00,1),()(y y e y F y F y Y这两个边缘分布同为指数分布，且与参数λ无关。
这说明边缘分布确定不了联合分布。
也说明联合分布中不仅含有每个分量的信息，还含有各分量之间统计联系方面的信息。
2．边缘分布律如果),(Y X 为二维离散型随机向量，那么它的每个分量都是离散随机变量。
边缘分布函数与边缘分布密度
边缘分布函数与边缘分布密度概率密度与分布函数密度函数和分布函数概率密度分布函数概率密度求分布函数密度函数求分布函数由概率密度求分布函数分布函数密度函数概率密度和分布函数边缘分布函数
山东农业大学
概率论与数理统计
§3.2 边 缘 分 布
主讲人：程述汉 苏本堂
3.2.1 边缘分布函数与边缘分布密度 3.2.2 随机变量的独立性 3.2.3 条件分布
3
1 1 3 18
1 18
联立以上两式求得 2 ， 1
9
9
山东农业大学
概率论与数理统计
主讲人：程述汉 苏本堂
例5 设随机变量X与Y相互独立，且分别服从参数=2
和=1的指数分布，求 PX Y 1
解 据题意，X的密度函数为 fX (x)
Y的密度函数为
e y， y 0
fY
(
y)
0
，y 0
4x(1 x)2， 0 x 1
f X (x) 0，
其它
同理可得
4 y 3， 0 y 1 fY ( y) 0， 其它
山东农业大学
概率论与数理统计
主讲人：程述汉 苏本堂
例3 设(X，Y)服从N(μ1， σ12； μ2，σ22；ρ)， 求边缘密度。
解
令
u
x 1 ,v 1
y 2 ,则有 2
山东农业大学
3.2.3 条件分布
概率论与数理统计
主讲人：程述汉 苏本堂
条件概率公式：P(B | A)=P(AB)/P(A)，P(A)＞0
一、离散型随机向量(X, Y)的条件分布
类似地，当P{X=xi}＞0时,在X=xi的条件下，Y的条 件分布为
P{Y
yj
|
X
xi}
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概率论与数理统计
§3.2 边 缘 分 布
主讲人：程述汉 苏本堂
3.2.1 边缘分布函数与边缘分布密度 3.2.2 随机变量的独立性 3.2.3 条件分布
3
1 1 3 18
1 18
联立以上两式求得 2 ， 1
9
9
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主讲人：程述汉 苏本堂
例5 设随机变量X与Y相互独立，且分别服从参数=2
和=1的指数分布，求 PX Y 1
解 据题意，X的密度函数为 fX (x)
Y的密度函数为
e y， y 0
fY
(
y)
0
，y 0
4x(1 x)2， 0 x 1
f X (x) 0，
其它
同理可得
4 y 3， 0 y 1 fY ( y) 0， 其它
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概率论与数理统计
主讲人：程述汉 苏本堂
例3 设(X，Y)服从N(μ1， σ12； μ2，σ22；ρ)， 求边缘密度。
解
令
u
x 1 ,v 1
y 2 ,则有 2
山东农业大学
3.2.3 条件分布
概率论与数理统计
主讲人：程述汉 苏本堂
条件概率公式：P(B | A)=P(AB)/P(A)，P(A)＞0
一、离散型随机向量(X, Y)的条件分布
类似地，当P{X=xi}＞0时,在X=xi的条件下，Y的条 件分布为
P{Y
yj
|
X
xi}
经济数学——概率论与数理统计 3.2 边缘分布
而 和 布函数, 分别记为 数 都是随机变量 , 也有各自的分 依次称为二维随机
变量 (X,Y) 关于 X 和 Y的边缘分布函数.
二、离散型随机变量的边缘分布律
一般地，对离散型 r.v ( X,Y )， X和Y 的联合分布律为
则 (X,Y) 关于X 的边缘分布律为
(X,Y) 关于 Y 的边缘分布律为
P{X=0}=P{X=0, Y=1}+P{X=0, Y=3}=1/8, P{X=1}=P{X=1, Y=1}+P{X=1, Y=3}=3/8, P{X=2}= P{X=2, Y=1}+P{X=2, Y=3}=3/8, P{X=3}= P{X=3, Y=1}+P{X=3, Y=3}=1/8. P{Y=1}= P{Y=3}= =3/8+3/8=6/8, =1/8+1/8=2/8.
当 当
时, 时,
故
暂时固定
五、小结
1. 在这一讲中，我们与一维情形相对照，介 绍了二维随机变量的边缘分布. 2. 请注意联合分布和边缘分布的关系: 由联合分布可以确定边缘分布; 但由边缘分布一般不能确定联合分布.
综上 , 注意取值范围
在求连续型 r.v 的边缘密度时，往往要求联 合密度在某区域上的积分 . 当联合密度函数是分 片表示的时候，在计算积分时应特别注意的概率密度是
求( X,Y )关于 X 和 Y 的边缘概率密度.
暂时固定
解 当 时,
当
时,
故
暂时固定
暂时固定
事实上 ,
( X,Y )关于Y 的边缘概率密度为
例2 设(X,Y)的概率密度是
求 (1) c的值； （2）两个边缘密度。 解 (1)
故
= 5c/24 , c =24/5.
变量 (X,Y) 关于 X 和 Y的边缘分布函数.
二、离散型随机变量的边缘分布律
一般地，对离散型 r.v ( X,Y )， X和Y 的联合分布律为
则 (X,Y) 关于X 的边缘分布律为
(X,Y) 关于 Y 的边缘分布律为
P{X=0}=P{X=0, Y=1}+P{X=0, Y=3}=1/8, P{X=1}=P{X=1, Y=1}+P{X=1, Y=3}=3/8, P{X=2}= P{X=2, Y=1}+P{X=2, Y=3}=3/8, P{X=3}= P{X=3, Y=1}+P{X=3, Y=3}=1/8. P{Y=1}= P{Y=3}= =3/8+3/8=6/8, =1/8+1/8=2/8.
当 当
时, 时,
故
暂时固定
五、小结
1. 在这一讲中，我们与一维情形相对照，介 绍了二维随机变量的边缘分布. 2. 请注意联合分布和边缘分布的关系: 由联合分布可以确定边缘分布; 但由边缘分布一般不能确定联合分布.
综上 , 注意取值范围
在求连续型 r.v 的边缘密度时，往往要求联 合密度在某区域上的积分 . 当联合密度函数是分 片表示的时候，在计算积分时应特别注意的概率密度是
求( X,Y )关于 X 和 Y 的边缘概率密度.
暂时固定
解 当 时,
当
时,
故
暂时固定
暂时固定
事实上 ,
( X,Y )关于Y 的边缘概率密度为
例2 设(X,Y)的概率密度是
求 (1) c的值； （2）两个边缘密度。 解 (1)
故
= 5c/24 , c =24/5.
概率论与数理统计-3.2边缘分布讲解
f (u, y)dudy
x
[ f (u, y)dy]du
y
FY ( y) F(, y)
f (x, v)dxdv
y
[ f (x,v)dx]dv
14
记
f X (x)
f (x, y)dy
fX (x) f (x, y)dy
1
21 2 1 2
exp[
2(1
1
2
)
(u
2
2uv
v
2
)]
2dv
1
21 1 2
exp{
2(1
1
2
)
[(u
2
2u
2
)
(
2u
2
2
uv
v
2
)]}dv
1
e
u2 2
每次取一个球，在放回和不放回的情况下. 令
1 第一次取到黑球
1 第二次取到黑球
X 0 第一次取到白球, Y 0 第二次取到白球,
求(X,Y)的联合分布律及边缘概率分布
解 在不放回抽样下（上节课例题），列表如下：
XY 0
1
Pi.
0 6/20 6/20 3/5
1 6/20 2/20 2/5
y)
F (,
y)
lim
x
F ( x,
y)
注意：由联合分布可以决定边缘分布，反过来，由 边缘分布决定不了联合分布。但当分量独立时就可 以决定。
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0 F (,) A B C 2 2 BC 22) 由性质,得
F ( x, y) 1 1/ 2 1/ 3 f ( x, y ) 2 2 xy 1 x / 2 1 y / 3 2 6 2 (4 x 2 )(9 y 2 )
pi
2 3 5 5
0
1
p j
2
5
3
5
注:两种情形的边缘分布律是相同的!
例 设随机变量(X,Y)的分布函数为
x y F ( x, y) A B arctan C arctan 2 3
1) 求常数A,B,C的值; 2)求( X , Y )的概率密度 f ( x, y) ; 3)求边缘概率密度 f X ( x). 解 1) 由于 1 F (, ) A B C 2 2 1 0 F (, ) A B C A 2 2 2 解得:
1 0 x x 2 x e x e dx
dx
0
xe
2
y
dx dy
1 2e e
1
yx
2
(3) 显然当 x 0 时， f X x =0，
当 x 0 时， f X x
x y
f x, y dy
p00 P{X1 0, X 2 0}
2 2 5 5 4 25
类似的,可求得其它的 pij ,最后可得 ( X 1 , X 2 ) 的联合分 布律与边缘分布律如下表:
X2
X1
0
4 6
2
1
6 9
3
pi
2 3 5 5
0 1
p j
25 25
5
25 25
5
(2)无放回的情形.此时
0, 其他
fY ( y ) 求边缘概率密度 f X ( x)， 解： x 2 6 dy 6( x x ), 0 x 1 f X ( x) f ( x, y)dy x2 其他 0,
fY ( y )
y 6dx 6( y y ), f ( x, y)dx y 0,
对于离散型随机变量(X,Y)，分布律为
P( X xi， Y y j ) pij， i, j 1, 2,
X,Y的边缘分布律为：
P(Y y j ) P( X ，Y y j ) pij == p j j 1, 2,
记为
P( X xi ) P( X xi，Y ) pij == pi i 1, 2,
边缘分布函数
由于X与Y本身也是一个随机变量,因此也有各自的 分布函数,并且
F X ( x ) P { X x} P { X x , Y } F ( x , )
FY ( y ) P {Y y } P { X , Y y } F ( , y )
2
f ( x, y)dy
-1
y 1 x2
x
-1
1
1 x 1 2 2 dy, | x | 1 1 x , | x | 1 1 x 2 0, 其它 0 , 其它
由对称性可知
2 2 1 y , | y | 1 fY ( y ) 0, 其它 注意此时
p2·
…
P Y y j p· 1
…
…
pi ·
…
p· 2
p.j
1
对于连续型随机变量(X,Y)，概率密度为 f ( x, y) X,Y的边缘概率密度为： f X ( x) f ( x, y )dy
fY ( y )
f ( x, y )dx
事实上，
FX ( x) F ( x, ) f (t , y)dy dt x f X (t )dt x
二维均匀分布 若(X,Y)服从平面区域 D上的均匀分布,则对于D中 任一子区域G,有 SG 1 P{( X , Y ) G} f ( x, y )dxdy dxdy SD SD G G 于是(X,Y)落在D中任一子区 域G的概率与G的面积成正比, D 而与G的形状和位置无关。在 这个意义上我们说,服从某区域 G 上均匀分布的二维随机变量在 该区域内是“等可能”的。
Y X
0
0.35
10
0.04
20
0.025
0.04
1 2
试写出关于X 和Y的边缘概率分布； 求P X 2 | Y 20的值。
1 2 0 X p 0.415 0.215 0.370
0 1 2
解： 1由题意可得：
0.025 0.15
0.020 0.10
0.25
10 20 0 Y p 0.395 0.290 0.315
若 ( X , Y ) ~ N ( μ1 , μ2 , σ1 , σ 2 , ρ) ,则
2 2
X ~ N 1 ,
2 1
， Y ~ N , ．
2 2 2
二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分 布，而且这两个边缘分布都不依赖于参数 ．这就 意 味 着 ， 如 果 1
1
x e dy x e
x
x y 2
即
x e x f X ( x) 0
x0 x0
同理
2 y 1 y e 2 fY ( y ) 0
y0 y0
二维均匀分布
设D为平面有界区域,其面积为SD,若二维随机 变量(X,Y)的概率密度为 1 , ( x, y ) D f ( x, y ) S D 其它 0, 则称 ( X , Y ) 服从区域D上的均匀分布.
j 1
i 1
记为
注意：
记号pi表示是由pij关于j求和 后得到的； 同样p j是由pij 关于 i求和后得到的.
X Y y1 x p11
y2 p22 pi2
…
yj
… P X xi
… p1·
x2
1
p12 … p 1j
xi
p21 … pi1
…
… p2j … … pij
… …
… … … … …
0 y 1 其他
二维正态分布
若二维随机变量 X , Y 的联合密度函数为
f x, y 1 2 1 2 1 2
e
2 1 2
1
2 x 2 x y y 1 1 2 2 2 1 2 2 1
2 2 D {( x , y ) : x y 1} 上的均匀分 例 设(X,Y)服从单位圆 布，求X与Y的边缘概率密度。
解 由题意知,(X,Y)的概率密度为
1 , f ( x, y ) 0,
1
y 1 x2
x2 y2 1 其它
于是，有 f X ( x)
例 已知二维随机变量 X , Y 的联合密度函数为
A x e y 0 x y f x, y 其它 0 求 (1) 常 数 A ； (2) P X Y 2 ； (3) 边 缘 密 度 函 数
f X x , fY y ．
解 (1) 因为 即
2 1 1 p00 P{ X 1 0, X 2 0} P{ X 1 0}P{ X 2 0 | X 1 0} 5 4 10
类似的,可求得其它的 pij ,最后可得 ( X 1 , X 2 ) 的联合分 布律与边缘分布律如下表:
X1
X2
0
1 10 3 10
1
3 10 3 10
其中 1 , 2 , 1 , 2 0 , 1 ， 则称 X , Y
2 服从参数为 1 , 2 , 12 , 2 , 的二维正态分布，记作
( X , Y ) ~ N ( μ1 , μ 2 , σ , σ , ρ )
2 1
2 2
二维正态分布的边缘分布仍为正态分布
0.25 0.794 2 P X 2 | Y 20 0.315
例 假设二维随机变量 X , Y 的联合分布函数为
1 e x e y e x y xy F x, y 0 x 0, y 0 其它
称这分布为二维指数分布，其中参数 0 ．
分别称 FX ( x) 和 FY ( y ) 为 ( X , Y ) 关于 X 和 Y 的边 际分布函数，简称边际分布或边缘分布．
§2 边缘分布
二维随机变量(X,Y)作为整体，有分布函数 F ( x, y), 其中X和Y都是随机变量，它们的分布函数 FX ( x)， FY ( y) 称为边缘分布函数。 记为：
2
3) f X ( x)
2 d y / 3 2 2 (4 x 2 ) 1 y / 3
6 f ( x, y)dy 2 dy 2 2 (4 x )(9 y )
1
2 2 arctan y / 3 2 2 (4 x ) (4 x 2 )
利用上面所给公式，容易求得 X , Y 关于随机变量 X 和 Y 的边缘分布函数分别为
1 e x , FX ( x) F ( x, ) 0, y 1 e , FY ( y ) F ( , y ) 0,
x0 x0
y0 y0
注意 边缘分布与参数 无关！这 说明研究多维随机变量,仅仅研究边
F ( x, y) 1 1/ 2 1/ 3 f ( x, y ) 2 2 xy 1 x / 2 1 y / 3 2 6 2 (4 x 2 )(9 y 2 )
pi
2 3 5 5
0
1
p j
2
5
3
5
注:两种情形的边缘分布律是相同的!
例 设随机变量(X,Y)的分布函数为
x y F ( x, y) A B arctan C arctan 2 3
1) 求常数A,B,C的值; 2)求( X , Y )的概率密度 f ( x, y) ; 3)求边缘概率密度 f X ( x). 解 1) 由于 1 F (, ) A B C 2 2 1 0 F (, ) A B C A 2 2 2 解得:
1 0 x x 2 x e x e dx
dx
0
xe
2
y
dx dy
1 2e e
1
yx
2
(3) 显然当 x 0 时， f X x =0，
当 x 0 时， f X x
x y
f x, y dy
p00 P{X1 0, X 2 0}
2 2 5 5 4 25
类似的,可求得其它的 pij ,最后可得 ( X 1 , X 2 ) 的联合分 布律与边缘分布律如下表:
X2
X1
0
4 6
2
1
6 9
3
pi
2 3 5 5
0 1
p j
25 25
5
25 25
5
(2)无放回的情形.此时
0, 其他
fY ( y ) 求边缘概率密度 f X ( x)， 解： x 2 6 dy 6( x x ), 0 x 1 f X ( x) f ( x, y)dy x2 其他 0,
fY ( y )
y 6dx 6( y y ), f ( x, y)dx y 0,
对于离散型随机变量(X,Y)，分布律为
P( X xi， Y y j ) pij， i, j 1, 2,
X,Y的边缘分布律为：
P(Y y j ) P( X ，Y y j ) pij == p j j 1, 2,
记为
P( X xi ) P( X xi，Y ) pij == pi i 1, 2,
边缘分布函数
由于X与Y本身也是一个随机变量,因此也有各自的 分布函数,并且
F X ( x ) P { X x} P { X x , Y } F ( x , )
FY ( y ) P {Y y } P { X , Y y } F ( , y )
2
f ( x, y)dy
-1
y 1 x2
x
-1
1
1 x 1 2 2 dy, | x | 1 1 x , | x | 1 1 x 2 0, 其它 0 , 其它
由对称性可知
2 2 1 y , | y | 1 fY ( y ) 0, 其它 注意此时
p2·
…
P Y y j p· 1
…
…
pi ·
…
p· 2
p.j
1
对于连续型随机变量(X,Y)，概率密度为 f ( x, y) X,Y的边缘概率密度为： f X ( x) f ( x, y )dy
fY ( y )
f ( x, y )dx
事实上，
FX ( x) F ( x, ) f (t , y)dy dt x f X (t )dt x
二维均匀分布 若(X,Y)服从平面区域 D上的均匀分布,则对于D中 任一子区域G,有 SG 1 P{( X , Y ) G} f ( x, y )dxdy dxdy SD SD G G 于是(X,Y)落在D中任一子区 域G的概率与G的面积成正比, D 而与G的形状和位置无关。在 这个意义上我们说,服从某区域 G 上均匀分布的二维随机变量在 该区域内是“等可能”的。
Y X
0
0.35
10
0.04
20
0.025
0.04
1 2
试写出关于X 和Y的边缘概率分布； 求P X 2 | Y 20的值。
1 2 0 X p 0.415 0.215 0.370
0 1 2
解： 1由题意可得：
0.025 0.15
0.020 0.10
0.25
10 20 0 Y p 0.395 0.290 0.315
若 ( X , Y ) ~ N ( μ1 , μ2 , σ1 , σ 2 , ρ) ,则
2 2
X ~ N 1 ,
2 1
， Y ~ N , ．
2 2 2
二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分 布，而且这两个边缘分布都不依赖于参数 ．这就 意 味 着 ， 如 果 1
1
x e dy x e
x
x y 2
即
x e x f X ( x) 0
x0 x0
同理
2 y 1 y e 2 fY ( y ) 0
y0 y0
二维均匀分布
设D为平面有界区域,其面积为SD,若二维随机 变量(X,Y)的概率密度为 1 , ( x, y ) D f ( x, y ) S D 其它 0, 则称 ( X , Y ) 服从区域D上的均匀分布.
j 1
i 1
记为
注意：
记号pi表示是由pij关于j求和 后得到的； 同样p j是由pij 关于 i求和后得到的.
X Y y1 x p11
y2 p22 pi2
…
yj
… P X xi
… p1·
x2
1
p12 … p 1j
xi
p21 … pi1
…
… p2j … … pij
… …
… … … … …
0 y 1 其他
二维正态分布
若二维随机变量 X , Y 的联合密度函数为
f x, y 1 2 1 2 1 2
e
2 1 2
1
2 x 2 x y y 1 1 2 2 2 1 2 2 1
2 2 D {( x , y ) : x y 1} 上的均匀分 例 设(X,Y)服从单位圆 布，求X与Y的边缘概率密度。
解 由题意知,(X,Y)的概率密度为
1 , f ( x, y ) 0,
1
y 1 x2
x2 y2 1 其它
于是，有 f X ( x)
例 已知二维随机变量 X , Y 的联合密度函数为
A x e y 0 x y f x, y 其它 0 求 (1) 常 数 A ； (2) P X Y 2 ； (3) 边 缘 密 度 函 数
f X x , fY y ．
解 (1) 因为 即
2 1 1 p00 P{ X 1 0, X 2 0} P{ X 1 0}P{ X 2 0 | X 1 0} 5 4 10
类似的,可求得其它的 pij ,最后可得 ( X 1 , X 2 ) 的联合分 布律与边缘分布律如下表:
X1
X2
0
1 10 3 10
1
3 10 3 10
其中 1 , 2 , 1 , 2 0 , 1 ， 则称 X , Y
2 服从参数为 1 , 2 , 12 , 2 , 的二维正态分布，记作
( X , Y ) ~ N ( μ1 , μ 2 , σ , σ , ρ )
2 1
2 2
二维正态分布的边缘分布仍为正态分布
0.25 0.794 2 P X 2 | Y 20 0.315
例 假设二维随机变量 X , Y 的联合分布函数为
1 e x e y e x y xy F x, y 0 x 0, y 0 其它
称这分布为二维指数分布，其中参数 0 ．
分别称 FX ( x) 和 FY ( y ) 为 ( X , Y ) 关于 X 和 Y 的边 际分布函数，简称边际分布或边缘分布．
§2 边缘分布
二维随机变量(X,Y)作为整体，有分布函数 F ( x, y), 其中X和Y都是随机变量，它们的分布函数 FX ( x)， FY ( y) 称为边缘分布函数。 记为：
2
3) f X ( x)
2 d y / 3 2 2 (4 x 2 ) 1 y / 3
6 f ( x, y)dy 2 dy 2 2 (4 x )(9 y )
1
2 2 arctan y / 3 2 2 (4 x ) (4 x 2 )
利用上面所给公式，容易求得 X , Y 关于随机变量 X 和 Y 的边缘分布函数分别为
1 e x , FX ( x) F ( x, ) 0, y 1 e , FY ( y ) F ( , y ) 0,
x0 x0
y0 y0
注意 边缘分布与参数 无关！这 说明研究多维随机变量,仅仅研究边