概率论与数理统计-32边缘分布共26页文档
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1
(8/27) (4/9) (4/9) (4/9) (2/9) (4/9) (1/27) (4/9)
4/9
2
(8/27) (2/9) (4/9) (2/9) (2/9) (2/9) (1/27) (2/9)
2/9
3 (8/27) (1/27) (4/9) (1/27) (2/9) (1/27) (1/27) (1/27) 1/27
则 P(X=xi)= P(X ( xi)[ (Yyj)])
j
P(X (xi)(Yyj))
j
P(Xxi,Yyj) pij (i=1,2,...)
j
j
4
同理:
P(Yyj) pij
i
一般地, 记:
(j=1,2,...)
P(X=xi)
Pi .
P(Y=yj)
P. j
其分布表如下:
5
Y X
y1 y2 yj
F X (x ) P (X x ) P (X x ,Y ) F (x ,) y l iF m (x ,y ) F Y (y ) P (Y y ) P (X ,Y y ) F (,y ) x l iF m (x ,y )
注意:由联合分布可以决定边缘分布,反过来,由 边缘分布决定不了联合分布。但当分量独立时就可 以决定。
2
例: 设 (X ,Y ) 的联合分布函数
1 e0.5x e0.5 y e0.5(x y) x 0, y 0
F(x, y) 0
. 其它
求 (X ,Y ) 关于 Y 的边缘分布函数 FY ( y) .
解 (X,Y)关于Y的边缘分布函数
F Y(y)F( ,y)x l im F(x,y)
xl im [1e0.5xe0.5ye0.5(xy)]
P(Y=j)
8/27
4/9
2/9
1/27
1
9
例 袋中有 2 个黑球 3 个白球,从袋中随机取两次,
每次取一个球,在放回和不放回的情况下. 令
1 第一次取到黑球
1 第二次取到黑球
X 0 第一次取到白球, Y 0 第二次取到白球,
求(X,Y)的联合分布律及边缘概率分布
解 在不放回抽样下(上节课例题),列表如下:
边缘密度函数完全由联合密度函数所决定.
14
例 设随机变量(X,Y)服从区域D上的均匀分布 , 其中
D={(x,y) , x2+y2≤1} , 求X ,Y的边缘密度函数fX(x)和fY(y).
二维随机变量(X,Y)的分量X和Y是一维随机变量, 它们各有其分布,称为(X,Y)分别关于X和Y的边 缘分布. 本节主要讨论二维离散型随机变量(X,Y)分别关 于X和Y的边缘分布律和二维连续型随机变量 (X,Y)分别关于X和Y的边缘概率密度函数.
1
1. 边缘分布函数
设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y),关于X和 Y的边缘分布函数分别记为FX(x)和FY(y). 联合分布可以确定边缘分布
又因为事件{X=i}与事件{Y=j}相互独立, 所以有
P ( X i ,Y j) P ( X i) P ( Y j)
C 3 i 1 3 i 3 2 3 iC 3 j 1 3 j 3 2 3 j i,j0 ,1 ,2 ,3
8
用表格可如下表示
XY
0
1
2
3
P(X=i)
0 (8/27) (8/27) (4/9) (8/27) (2/9) (8/27) (1/27) (8/27) 8/27
解 P(X=i,Y=j)=P(Y=j|X=i)P(X=i)=(1/i)(1/4) , (i≥j)
于是(X,Y)的分布律及关于X和Y的边缘分布律为
YX
1
1
1/4
2
0
3
0
4
0
2
3
4
1/8
1/12
1/16
1/8
1/12
1/16
0
1/12
1/16
0
0
1/16
P(Y=j) 25/48 13/48 7/48 3/48
x
FX(x)F(x, )
f(u,y)d
u
dy
x
[ f(u,y)dy]du
y
FY(y)F(
,y)
f(x,v)d
xd
v
y
[ f(x,v)dx]dv
13
记
fX(x)
f(x,y)dy
Baidu Nhomakorabea
fY(y)
f(x,y)dx
分别称fX(x), fY(y)为二维连续型随机变量(X,Y)关 于X和Y的边缘概率密度函数,简称密度函数。
XY 0
1
Pi.
0 9/25 6/25 3/5
1 6/25 4/25 2/5
P.j 3/5 2/5
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注:由此例可见,不同的联合分布可有着相同 的边缘分布,从而边缘分布不能唯一确定联合 分布!
12
3. 二维连续型随机变量的边缘分布
对于二维连续型随机变量(X,Y), 设其概率密度函数 为f (x,y),分布函数为F(x,y),则有
P(X=i)
1/4
1/4
1/4
1/4
1
7
例: 把3个白球和3个红球等可能地放入编号为 1,2,3的三个盒子中. 记落入第1号盒子的白球个数 为X , 落入第2号盒子的红球个数为Y. 求(X,Y)的 分布律和关于X和Y的边缘分布律.
解 显然有
P (Xi)P (Yi)C 3 i 1 3 i 3 2 3 i,i0 ,1 ,2 ,3 .
y0 1e0.5y
y0 .
0
y0 0
y0
即 Y 服从参数λ=0.5 的指数分布.
3
2. 二维离散型随机变量的边缘分布
对于二维离散型随机变量(X,Y), 分量X,Y的分布列 (律)称为二维随机变量(X,Y)的关于X和Y的边缘概 率分布或分布列(律).
设二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布为
P(X=xi ,Y=yj)=Pij , i,j=1,2,...,
XY 0
1
Pi.
0 6/20 6/20 3/5
1 6/20 2/20 2/5
P.j 3/5 2/5
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在放回抽样下,两次抽取相互独立,故
P(X=0,Y=0)= P(X=0) P(Y=0)=3/5 ×3/5 =9/25
类似地可有 P(X=0,Y=1)=6/25,P(X=1,Y=0)=6/25, P(X=1,Y=1)=4/25, 列表如下
p. i .
x1
p 11 p 12 p 1 j
p 1.
x2
p 21 p 22 p 2 j
p 2.
xi
p i 1 p i 2 p ij
p i.
p . j p.1 p.2 p.j
6
例:令随机变量 X 表示在 1,2,3,4 中等可能地取一个 值, 令随机变量 Y 表示在 1~X 中等可能地取一个值. 求(X,Y)分别关于 X 和 Y 的边缘分布律.