概率论与数理统计-32边缘分布共26页文档
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概率论-第三章-3.2 边缘分布
缘分布是不够,而必须将他们作为一 个整体来研究.
整体大于部分之和!
例 假设5件产品中有3件正品,2件次品,从中取两
次,每次取一件,记
1, 第i次取到正品 Xi i 1,2 0, 第i次取到次品
分别对有放回抽样和无放回抽样两种情况,求(X1,X2)的
联合分布律和边缘分布律. 解 (1)有放回的情形.此时
例 已知二维随机变量 X , Y 的联合密度函数为
A x e y 0 x y f x, y 其它 0 求 (1) 常 数 A ； (2) P X Y 2 ； (3) 边 缘 密 度 函 数
f X x , fY y ．
解 (1) 因为 即
0 y 1 其他
二维正态分布
若二维随机变量 X , Y 的联合密度函数为
f x, y 1 2 1 2 1 2
e
2 1 2
1
2 x 2 x y y 1 1 2 2 2 1 2 2 1
对于离散型随机变量(X,Y)，分布律为
P( X xi， Y y j ) pij， i, j 1, 2,
X,Y的边缘分布律为：
P(Y y j ) P( X ，Y y j ) pij == p j j 1, 2,
记为
P( X xi ) P( X xi，Y ) pij == pi i 1, 2,
若 ( X , Y ) ~ N ( μ1 , μ2 , σ1 , σ 2 , ρ) ,则
2 2
X ~ N 1 ,
2 1
， Y ~ N , ．
整体大于部分之和!
例 假设5件产品中有3件正品,2件次品,从中取两
次,每次取一件,记
1, 第i次取到正品 Xi i 1,2 0, 第i次取到次品
分别对有放回抽样和无放回抽样两种情况,求(X1,X2)的
联合分布律和边缘分布律. 解 (1)有放回的情形.此时
例 已知二维随机变量 X , Y 的联合密度函数为
A x e y 0 x y f x, y 其它 0 求 (1) 常 数 A ； (2) P X Y 2 ； (3) 边 缘 密 度 函 数
f X x , fY y ．
解 (1) 因为 即
0 y 1 其他
二维正态分布
若二维随机变量 X , Y 的联合密度函数为
f x, y 1 2 1 2 1 2
e
2 1 2
1
2 x 2 x y y 1 1 2 2 2 1 2 2 1
对于离散型随机变量(X,Y)，分布律为
P( X xi， Y y j ) pij， i, j 1, 2,
X,Y的边缘分布律为：
P(Y y j ) P( X ，Y y j ) pij == p j j 1, 2,
记为
P( X xi ) P( X xi，Y ) pij == pi i 1, 2,
若 ( X , Y ) ~ N ( μ1 , μ2 , σ1 , σ 2 , ρ) ,则
2 2
X ~ N 1 ,
2 1
， Y ~ N , ．
概率论与数理统计教学课件-3-2边缘分布
边缘分布与联合分布的关系
联合分布
描述多个随机变量同时发生的概率分 布。
关系
对于离散型随机变量，边缘分布可以 通过求和联合分布中相应事件的概率 得到；对于连续型随机变量，边缘分 布可以通过积分联合分布得到。
边缘分布的几何意义
几何解释
在概率空间中，边缘分布描述了一个随机变量在固定其他随机变量取值时的概 率分布情况。
边缘分布的数学表达式为 $f(x) = frac{1}{b-a}$，其中 $a$ 和 $b$ 是给定的范围。
对于均匀分布，其概率密度函 数为 $f(x) = frac{1}{b-a}$，其 中 $a$ 和 $b$ 是随机变量 $X$ 的取值范围。这个表达式表示 在给定范围内，随机变量 $X$ 的取值是均匀分布的。
3
边缘分布的计算
对于超几何分布，其边缘分布就是抽取某一特定 类型的样本的概率。
04
边缘分布的应用场景
统计分析
描述性统计
在统计分析中，边缘分布用于描 述数据的基本特征，如均值、中 位数、众数等。这些统计量可以 帮助我们了解数据的集中趋势和 离散程度。
异常值检测
通过比较数据点与边缘分布的统 计量，可以检测出异常值，这些 值可能对数据分析产生重大影响。
在概率论与数理统计中，边缘分布在处理多维随机变量问 题时具有重要作用，可以帮助我们简化问题，提取所需的 信息。
下节预告
条件分布的概念
在概率论与数理统计中，条件分布是指在某个随机变量取值的条件下，其他随机变量的 概率分布。
条件分布的性质
条件分布具有依赖性，即条件分布的取值受其他随机变量的影响；同时，条件分布的取 值范围和概率密度函数形式与联合概率分布有关。
数据可视化
边缘分布可以用于绘制直方图、 箱线图等，帮助我们直观地了解 数据分布情况。
3.2边缘分布
f ( x, t )dx dt
y
y
fY (t )dt
例4：设G是平面上的有界区 域，其面积为A，若二维随机变 量(X,Y)具有概率密度
1 A , ( x, y ) G f ( x, y ) 0 , 其他
则称(X,Y)在G上服从均匀分布。
0.2 b
已知：P(Y 1| X 1) 0.5
求：(1)a,b的值； (2)X,Y的边缘分布律； (3) P( X 1| Y 1)
0.2 又P(Y 1| X 1) 0.3 a 0.2 1 b=0.3 a 0.1， 0.3 a 2
(2) X
解：(1) 由分布律性质知 a+b+0.6=1 即a+b=0.4
f ( x, y )dy f ( x, y)dx
从而X，Y的边缘分布函数为
FX ( x) F ( x, ) x f (t , y )dy dt
f X (t )dt
x
同理：
FY ( y) F (, y)
解：样本空间S及D,F的取值如下 样本点 1 D F 1 2 2 3 2 4 3 5 2 6 7 8 9 10 4 2 4 3 4
0
1
1
1
1
2 1 1 1
2
D所有可能取值：1,2,3,4
F所有可能取值：0,1,2
求（D,F)取 (i,j),i=1,2,3,4,j=0,1,2的概率
如
P{D=1,F=0}=1/10, P{D=2,F=1}=4/10
从而可求出D和F的联合分 布律及边缘分布律
概率论与数理统计32边缘分布解析
y)
lim [
y
1
2
(arctan
x
2
)(arctan
y )]
2
1
2
(arctan
x
)
2
1
arctan
x
1, 2
- x
FY
(
y)
1
arctan
y
1 2
,
- y
设离散型二维随机变量(X,Y)的分布律为
P{ X xi ,Y y j } pij (i, j 1,2,).
则由联合分布函数与边缘分布函数、联合分布律关
( X ,Y )关于X的边缘分布函数.
定义：
二维随机变量 (X,Y)作为一个整体, 具有分布函
数 F x, y, 而 X 和 Y 都是随机变量 , 也有各自的分 布函数, 分别记为 FX x, FY y, 依次称为二维随机
变量 (X,Y) 关于 X 和 Y的边缘分布函数.
FX x PX x PX x,Y F x,
把第一行和最后一行拿出来就是Y的分布；把第一列 和最后一列拿出来就是X的分布。
我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边 缘上，由此得出边缘分布这个名词.
练习 袋中有2只白球和3只黑球，从中摸球，记
Xi
1, 第i次 摸 出 白 球 0, 第i次 摸 出 黑 球i
1,2,
试求 ( X1 , X 2 )的联合概率分布和边缘概率分
布。
解： （I）有放回摸球
X1
X2 0 1
0
33 55
32 55
1
23 22
5 55 5
PX2 ( y)
3 5
2 5
PX1 ( x)
概率论与数理统计二维随机变量的边缘分布共32页
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充的边缘分布
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
概率论与数理统计3.2 边缘分布与独立性
p·
j
p2 j . . . pij . . . p· j
例1.设袋中有五个同类产品，其中有两个 是次品，每次从袋中任意抽取一个， 抽取两次，定义随机变量X、Y如下
1, 第一次抽取的产品是正品 X 0, 第一次抽取的产品是次品
1, 第二次抽取的产品是正品 Y 0, 第二次抽取的产品是次品
2 R2 x2 , R x R 2 R 0y R 2 fY ( y ) R 0, 其它
1 2 f (0, 0) , f X (0) fY (0) 2 R R
因此， X与Y不独立。
随机变量的独立性
如果二维随机变量(X,Y)满足, 对任意x,y, 有
P( X x, Y y ) P ( X x ) P (Y y ) 即 F ( x, y ) FX ( x) FY ( y )
则称X与Y相互独立 .
连续型 离散型
f ( x, y ) f X ( x ) f Y ( y )
1y 1 2dx ,0 y0 1,x 1 2 dx , 0 y fY ( y ) f ( x, y )dx 其它 0, 其它 0, 2( y2 y1), 0 1y 1 2 , 0 y , 0, 其它 其它 0,
对下面两种抽取方式：(1) 有放回抽取； (2)无放回抽取，求(X,Y)的边缘分布律。
(1) 有放回抽取
Y XY 0 X 0 4 0 1
(2) 无放回抽取
pi· 2/5 3/5 1
X X Y
01
1
Y 0 0 X
01 1
1pi·
46 6 25 25 25 25 69 9 1 6 25 25 25 25
概率论边缘分布-文档资料
a b0 . 7 0 . 1 5 0 . 1 5 a b 1
由独立性
0 . 1 5( a 0 . 1 5 )0 . 3
a 0 . 3 5 , b 0 . 3 5
例5.甲乙约定8:009:00在某地 会面。设两人都随机地在这期 间的任一时刻到达，先到者最 多等待15分钟过时不候。求两 人能见面的概率。 解:
y y 1 e ye y 0 F ( y ) = F ( , y ) = Y 0 y的联合分布律为 (p80) (X, Y)～ P{X＝xi, Y＝ yj,}＝ pij ，i, j＝1, 2, … 则称 P{X＝xi}＝pi.＝ p ij ，i＝1, 2, …
S 1 G P { XY 1 5 } d x d y 2 2 6 0 6 0 G
1 2 S 6 0 2 4 5 1 5 7 5 G 2
2
1 5 7 5 P { XY 1 5 } 2 0 . 4 3 7 5 6 0
五．n维随机变量的边缘分布与独立性 定义. 设n维随机变量(X1,X2,...,Xn)的分布函数为 F(x1,x2,...,xn), (X1,X2,...,Xn)的k（1k<n)维边缘 分布函数就随之确定，如关于(X1, X2）的 边缘分布函数是 FX1,X2（x1,x2,)=F(x1,x2,,...) 若Xk 的边缘分布函数为FXk(xk),k=1,2,…,n,
j 1
为(X, Y)关于X的边缘分布律；
P{Y＝ yj}＝p.j＝ p ij ，j＝1, 2, …
i1
为(X, Y)关于Y的边缘分布律。
边缘分布律自然也满足分布律的性质。
例2.已知(X,Y)的分布律如下,求X、Y的边缘分布律。 x\y 1 0 1 1/10 3/10 0 3/10 3/10 解：
概率论与数理统计边缘分布_2023年学习资料
y-π `2-Fyy=PYsy}=lim Fx,y-2fx,y-=0Fxy-11-Oxoy-+arctan ）-:-+-arctan-元-4P{X2}=1-Fx2-π 21+x21+y2-=1+arctan 2--《 率统计》-返回-下页-结東
例4.设X,Y服从N1,o2；42,22；p）,-求边缘密度.-解：令-M=X-4,y=y-,则有-O-a c-小pc叶a,4w-_x-412-令t=--e-2o2-y-422-类似地有f=2π a2-203-可见X 41,2，Y~N2,o22-《概率统计》-返回-下页-结東
四、随机变量的独立性-1.定义设（X,Y,Fx,y,Fxx,Fy-若对所有的x,y有Fx,y=FxxFy-P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y}-则测称随机变量X与Y是相互独立的.-2.离散型随机向量（X,Y的所有可能取值为xy;,i,j=1,.2,…-则X与Y相互独立的充分必要条件是对一切i,广=1,2 …-PX=x,Y=y}=PX=xPY=y}-P=P.×Pj-《概率统计》-返回-下页-结東
二、离散型二维随机向量的边缘分布-设X,的联合分布列为-pij=PX=xi,Y-y-则X,的边缘分布列为.=PX=x}=∑P,-P.=PY=y}=∑p-j=1-i=1-i=1,2,.-j=1,2,.-即-x1…-py2……-X,Y的边缘布函数为：-Fxx=Fx,+oo=-∑∑P=∑p-Fy=F+o,y=∑∑P,= n.-yj≤y-i=l-yi≤y-《概率统计》-返回-下页-结東
例3.已知随机向量X,Y的联合分布函数为-Fx,y=ab+arctanxc+arctany-求1常数a,b c;（2联合密度函数fx,y;-3X,Y的边缘分布函数；（4P{X>2}。-解：1由F-oo,0-0,-解 -a=-F0,-00=0,-F+o0,+00=1,得-Fx》=是+an8x+m-ab-c=0-2fx,y-2Fx,y-π -Oxoy-abc--π 21+x21+y2-《概率统计》-返回-下页-结束
例4.设X,Y服从N1,o2；42,22；p）,-求边缘密度.-解：令-M=X-4,y=y-,则有-O-a c-小pc叶a,4w-_x-412-令t=--e-2o2-y-422-类似地有f=2π a2-203-可见X 41,2，Y~N2,o22-《概率统计》-返回-下页-结東
四、随机变量的独立性-1.定义设（X,Y,Fx,y,Fxx,Fy-若对所有的x,y有Fx,y=FxxFy-P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y}-则测称随机变量X与Y是相互独立的.-2.离散型随机向量（X,Y的所有可能取值为xy;,i,j=1,.2,…-则X与Y相互独立的充分必要条件是对一切i,广=1,2 …-PX=x,Y=y}=PX=xPY=y}-P=P.×Pj-《概率统计》-返回-下页-结東
二、离散型二维随机向量的边缘分布-设X,的联合分布列为-pij=PX=xi,Y-y-则X,的边缘分布列为.=PX=x}=∑P,-P.=PY=y}=∑p-j=1-i=1-i=1,2,.-j=1,2,.-即-x1…-py2……-X,Y的边缘布函数为：-Fxx=Fx,+oo=-∑∑P=∑p-Fy=F+o,y=∑∑P,= n.-yj≤y-i=l-yi≤y-《概率统计》-返回-下页-结東
例3.已知随机向量X,Y的联合分布函数为-Fx,y=ab+arctanxc+arctany-求1常数a,b c;（2联合密度函数fx,y;-3X,Y的边缘分布函数；（4P{X>2}。-解：1由F-oo,0-0,-解 -a=-F0,-00=0,-F+o0,+00=1,得-Fx》=是+an8x+m-ab-c=0-2fx,y-2Fx,y-π -Oxoy-abc--π 21+x21+y2-《概率统计》-返回-下页-结束
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二维随机变量(X,Y)的分量X和Y是一维随机变量, 它们各有其分布，称为(X,Y)分别关于X和Y的边 缘分布. 本节主要讨论二维离散型随机变量(X,Y)分别关 于X和Y的边缘分布律和二维连续型随机变量 (X,Y)分别关于X和Y的边缘概率密度函数.
1
1. 边缘分布函数
设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)，关于X和 Y的边缘分布函数分别记为FX(x)和FY(y). 联合分布可以确定边缘分布
XY 0
1
Pi.
0 6/20 6/20 3/5
1 6/20 2/20 2/5
P.j 3/5 2/5
10
在放回抽样下，两次抽取相互独立，故
P(X=0,Y=0)= P(X=0) P(Y=0)=3/5 ×3/5 =9/25
类似地可有 P(X=0,Y=1)=6/25，P(X=1,Y=0)=6/25， P(X=1,Y=1)=4/25， 列表如下
则 P(X=xi)= P(X ( xi)[ (Yyj)])
j
P(X (xi)(Yyj))
j
P(Xxi,Yyj) pij (i=1,2,...)
j
j
4
同理:
P(Yyj)2,...)
P(X=xi)
Pi .
P(Y=yj)
P. j
其分布表如下:
5
Y X
y1 y2 yj
2
例: 设 (X ,Y ) 的联合分布函数
1 e0.5x e0.5 y e0.5(x y) x 0, y 0
F(x, y) 0
. 其它
求 (X ,Y ) 关于 Y 的边缘分布函数 FY ( y) .
解 (X,Y)关于Y的边缘分布函数
F Y(y)F( ,y)x l im F(x,y)
xl im [1e0.5xe0.5ye0.5(xy)]
又因为事件{X=i}与事件{Y=j}相互独立, 所以有
P ( X i ,Y j) P ( X i) P ( Y j)
C 3 i 1 3 i 3 2 3 iC 3 j 1 3 j 3 2 3 j i,j0 ,1 ,2 ,3
8
用表格可如下表示
XY
0
1
2
3
P(X=i)
0 (8/27) (8/27) (4/9) (8/27) (2/9) (8/27) (1/27) (8/27) 8/27
P(Y=j)
8/27
4/9
2/9
1/27
1
9
例 袋中有 2 个黑球 3 个白球，从袋中随机取两次,
每次取一个球，在放回和不放回的情况下. 令
1 第一次取到黑球
1 第二次取到黑球
X 0 第一次取到白球, Y 0 第二次取到白球,
求(X,Y)的联合分布律及边缘概率分布
解 在不放回抽样下（上节课例题），列表如下：
P(X=i)
1/4
1/4
1/4
1/4
1
7
例: 把3个白球和3个红球等可能地放入编号为 1,2,3的三个盒子中. 记落入第1号盒子的白球个数 为X , 落入第2号盒子的红球个数为Y. 求(X,Y)的 分布律和关于X和Y的边缘分布律.
解 显然有
P (Xi)P (Yi)C 3 i 1 3 i 3 2 3 i,i0 ,1 ,2 ,3 .
解 P(X=i,Y=j)=P(Y=j|X=i)P(X=i)=(1/i)(1/4) , (i≥j)
于是(X,Y)的分布律及关于X和Y的边缘分布律为
YX
1
1
1/4
2
0
3
0
4
0
2
3
4
1/8
1/12
1/16
1/8
1/12
1/16
0
1/12
1/16
0
0
1/16
P(Y=j) 25/48 13/48 7/48 3/48
1
(8/27) (4/9) (4/9) (4/9) (2/9) (4/9) (1/27) (4/9)
4/9
2
(8/27) (2/9) (4/9) (2/9) (2/9) (2/9) (1/27) (2/9)
2/9
3 (8/27) (1/27) (4/9) (1/27) (2/9) (1/27) (1/27) (1/27) 1/27
x
FX(x)F(x, )
f(u,y)d
u
dy
x
[ f(u,y)dy]du
y
FY(y)F(
,y)
f(x,v)d
xd
v
y
[ f(x,v)dx]dv
13
记
fX(x)
f(x,y)dy
fY(y)
f(x,y)dx
分别称fX(x), fY(y)为二维连续型随机变量(X,Y)关 于X和Y的边缘概率密度函数，简称密度函数。
p. i .
x1
p 11 p 12 p 1 j
p 1.
x2
p 21 p 22 p 2 j
p 2.
xi
p i 1 p i 2 p ij
p i.
p . j p.1 p.2 p.j
6
例：令随机变量 X 表示在 1,2,3,4 中等可能地取一个 值, 令随机变量 Y 表示在 1~X 中等可能地取一个值. 求（X，Y）分别关于 X 和 Y 的边缘分布律.
边缘密度函数完全由联合密度函数所决定.
14
例 设随机变量(X,Y)服从区域D上的均匀分布 , 其中
D={(x,y) , x2+y2≤1} , 求X ,Y的边缘密度函数fX(x)和fY(y).
F X (x ) P (X x ) P (X x ,Y ) F (x ,) y l iF m (x ,y ) F Y (y ) P (Y y ) P (X ,Y y ) F (,y ) x l iF m (x ,y )
注意：由联合分布可以决定边缘分布，反过来，由 边缘分布决定不了联合分布。但当分量独立时就可 以决定。
y0 1e0.5y
y0 .
0
y0 0
y0
即 Y 服从参数λ=0.5 的指数分布.
3
2. 二维离散型随机变量的边缘分布
对于二维离散型随机变量(X,Y), 分量X,Y的分布列 （律）称为二维随机变量(X,Y)的关于X和Y的边缘概 率分布或分布列（律）.
设二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布为
P(X=xi ,Y=yj)＝Pij , i,j=1,2,...,
XY 0
1
Pi.
0 9/25 6/25 3/5
1 6/25 4/25 2/5
P.j 3/5 2/5
11
注：由此例可见，不同的联合分布可有着相同 的边缘分布，从而边缘分布不能唯一确定联合 分布！
12
3. 二维连续型随机变量的边缘分布
对于二维连续型随机变量(X,Y), 设其概率密度函数 为f (x,y)，分布函数为F(x,y)，则有
1
1. 边缘分布函数
设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)，关于X和 Y的边缘分布函数分别记为FX(x)和FY(y). 联合分布可以确定边缘分布
XY 0
1
Pi.
0 6/20 6/20 3/5
1 6/20 2/20 2/5
P.j 3/5 2/5
10
在放回抽样下，两次抽取相互独立，故
P(X=0,Y=0)= P(X=0) P(Y=0)=3/5 ×3/5 =9/25
类似地可有 P(X=0,Y=1)=6/25，P(X=1,Y=0)=6/25， P(X=1,Y=1)=4/25， 列表如下
则 P(X=xi)= P(X ( xi)[ (Yyj)])
j
P(X (xi)(Yyj))
j
P(Xxi,Yyj) pij (i=1,2,...)
j
j
4
同理:
P(Yyj)2,...)
P(X=xi)
Pi .
P(Y=yj)
P. j
其分布表如下:
5
Y X
y1 y2 yj
2
例: 设 (X ,Y ) 的联合分布函数
1 e0.5x e0.5 y e0.5(x y) x 0, y 0
F(x, y) 0
. 其它
求 (X ,Y ) 关于 Y 的边缘分布函数 FY ( y) .
解 (X,Y)关于Y的边缘分布函数
F Y(y)F( ,y)x l im F(x,y)
xl im [1e0.5xe0.5ye0.5(xy)]
又因为事件{X=i}与事件{Y=j}相互独立, 所以有
P ( X i ,Y j) P ( X i) P ( Y j)
C 3 i 1 3 i 3 2 3 iC 3 j 1 3 j 3 2 3 j i,j0 ,1 ,2 ,3
8
用表格可如下表示
XY
0
1
2
3
P(X=i)
0 (8/27) (8/27) (4/9) (8/27) (2/9) (8/27) (1/27) (8/27) 8/27
P(Y=j)
8/27
4/9
2/9
1/27
1
9
例 袋中有 2 个黑球 3 个白球，从袋中随机取两次,
每次取一个球，在放回和不放回的情况下. 令
1 第一次取到黑球
1 第二次取到黑球
X 0 第一次取到白球, Y 0 第二次取到白球,
求(X,Y)的联合分布律及边缘概率分布
解 在不放回抽样下（上节课例题），列表如下：
P(X=i)
1/4
1/4
1/4
1/4
1
7
例: 把3个白球和3个红球等可能地放入编号为 1,2,3的三个盒子中. 记落入第1号盒子的白球个数 为X , 落入第2号盒子的红球个数为Y. 求(X,Y)的 分布律和关于X和Y的边缘分布律.
解 显然有
P (Xi)P (Yi)C 3 i 1 3 i 3 2 3 i,i0 ,1 ,2 ,3 .
解 P(X=i,Y=j)=P(Y=j|X=i)P(X=i)=(1/i)(1/4) , (i≥j)
于是(X,Y)的分布律及关于X和Y的边缘分布律为
YX
1
1
1/4
2
0
3
0
4
0
2
3
4
1/8
1/12
1/16
1/8
1/12
1/16
0
1/12
1/16
0
0
1/16
P(Y=j) 25/48 13/48 7/48 3/48
1
(8/27) (4/9) (4/9) (4/9) (2/9) (4/9) (1/27) (4/9)
4/9
2
(8/27) (2/9) (4/9) (2/9) (2/9) (2/9) (1/27) (2/9)
2/9
3 (8/27) (1/27) (4/9) (1/27) (2/9) (1/27) (1/27) (1/27) 1/27
x
FX(x)F(x, )
f(u,y)d
u
dy
x
[ f(u,y)dy]du
y
FY(y)F(
,y)
f(x,v)d
xd
v
y
[ f(x,v)dx]dv
13
记
fX(x)
f(x,y)dy
fY(y)
f(x,y)dx
分别称fX(x), fY(y)为二维连续型随机变量(X,Y)关 于X和Y的边缘概率密度函数，简称密度函数。
p. i .
x1
p 11 p 12 p 1 j
p 1.
x2
p 21 p 22 p 2 j
p 2.
xi
p i 1 p i 2 p ij
p i.
p . j p.1 p.2 p.j
6
例：令随机变量 X 表示在 1,2,3,4 中等可能地取一个 值, 令随机变量 Y 表示在 1~X 中等可能地取一个值. 求（X，Y）分别关于 X 和 Y 的边缘分布律.
边缘密度函数完全由联合密度函数所决定.
14
例 设随机变量(X,Y)服从区域D上的均匀分布 , 其中
D={(x,y) , x2+y2≤1} , 求X ,Y的边缘密度函数fX(x)和fY(y).
F X (x ) P (X x ) P (X x ,Y ) F (x ,) y l iF m (x ,y ) F Y (y ) P (Y y ) P (X ,Y y ) F (,y ) x l iF m (x ,y )
注意：由联合分布可以决定边缘分布，反过来，由 边缘分布决定不了联合分布。但当分量独立时就可 以决定。
y0 1e0.5y
y0 .
0
y0 0
y0
即 Y 服从参数λ=0.5 的指数分布.
3
2. 二维离散型随机变量的边缘分布
对于二维离散型随机变量(X,Y), 分量X,Y的分布列 （律）称为二维随机变量(X,Y)的关于X和Y的边缘概 率分布或分布列（律）.
设二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布为
P(X=xi ,Y=yj)＝Pij , i,j=1,2,...,
XY 0
1
Pi.
0 9/25 6/25 3/5
1 6/25 4/25 2/5
P.j 3/5 2/5
11
注：由此例可见，不同的联合分布可有着相同 的边缘分布，从而边缘分布不能唯一确定联合 分布！
12
3. 二维连续型随机变量的边缘分布
对于二维连续型随机变量(X,Y), 设其概率密度函数 为f (x,y)，分布函数为F(x,y)，则有