概率论第3章边缘分布
概率论-第三章-3.2 边缘分布
整体大于部分之和!
例 假设5件产品中有3件正品,2件次品,从中取两
次,每次取一件,记
1, 第i次取到正品 Xi i 1,2 0, 第i次取到次品
分别对有放回抽样和无放回抽样两种情况,求(X1,X2)的
联合分布律和边缘分布律. 解 (1)有放回的情形.此时
例 已知二维随机变量 X , Y 的联合密度函数为
A x e y 0 x y f x, y 其它 0 求 (1) 常 数 A ； (2) P X Y 2 ； (3) 边 缘 密 度 函 数
f X x , fY y ．
解 (1) 因为 即
0 y 1 其他
二维正态分布
若二维随机变量 X , Y 的联合密度函数为
f x, y 1 2 1 2 1 2
e
2 1 2
1
2 x 2 x y y 1 1 2 2 2 1 2 2 1
对于离散型随机变量(X,Y)，分布律为
P( X xi， Y y j ) pij， i, j 1, 2,
X,Y的边缘分布律为：
P(Y y j ) P( X ，Y y j ) pij == p j j 1, 2,
记为
P( X xi ) P( X xi，Y ) pij == pi i 1, 2,
若 ( X , Y ) ~ N ( μ1 , μ2 , σ1 , σ 2 , ρ) ,则
2 2
X ~ N 1 ,
2 1
， Y ~ N , ．
概率论与数理统计教学课件-3-2边缘分布
边缘分布与联合分布的关系
联合分布
描述多个随机变量同时发生的概率分 布。
关系
对于离散型随机变量，边缘分布可以 通过求和联合分布中相应事件的概率 得到；对于连续型随机变量，边缘分 布可以通过积分联合分布得到。
边缘分布的几何意义
几何解释
在概率空间中，边缘分布描述了一个随机变量在固定其他随机变量取值时的概 率分布情况。
边缘分布的数学表达式为 $f(x) = frac{1}{b-a}$，其中 $a$ 和 $b$ 是给定的范围。
对于均匀分布，其概率密度函 数为 $f(x) = frac{1}{b-a}$，其 中 $a$ 和 $b$ 是随机变量 $X$ 的取值范围。这个表达式表示 在给定范围内，随机变量 $X$ 的取值是均匀分布的。
3
边缘分布的计算
对于超几何分布，其边缘分布就是抽取某一特定 类型的样本的概率。
04
边缘分布的应用场景
统计分析
描述性统计
在统计分析中，边缘分布用于描 述数据的基本特征，如均值、中 位数、众数等。这些统计量可以 帮助我们了解数据的集中趋势和 离散程度。
异常值检测
通过比较数据点与边缘分布的统 计量，可以检测出异常值，这些 值可能对数据分析产生重大影响。
在概率论与数理统计中，边缘分布在处理多维随机变量问 题时具有重要作用，可以帮助我们简化问题，提取所需的 信息。
下节预告
条件分布的概念
在概率论与数理统计中，条件分布是指在某个随机变量取值的条件下，其他随机变量的 概率分布。
条件分布的性质
条件分布具有依赖性，即条件分布的取值受其他随机变量的影响；同时，条件分布的取 值范围和概率密度函数形式与联合概率分布有关。
数据可视化
边缘分布可以用于绘制直方图、 箱线图等，帮助我们直观地了解 数据分布情况。
《概率论与数理统计》3-3 边缘分布
2
2
2
1 arctan x 2
同理 ,
x ,
1 FY y lim F x, y 2 arctan y x 2 2 2
求 :⑴ C , ⑵ P X Y 1 . 解 又 ⑴由性质 :
x, y D,
其它 ,
f x, y d 1.
y
2 1
D1
O
1
x
f x, y d 0 dx0 Cxydy
1 1 2 C x y dx 2C xdx 0 2 0 0 1 2
P X ,Y D f x, y dxdy.
D
注: 注意分块积分. 只对密度函数为正的部分积分.
例1 设 D 是由 x 0, y 0, x 1, y 2 所围成的平面区
域 , 二维随机变量 X , Y 的联合概率密度函数为:
Cxy f x, y 0
fY y
所以
f x, y dx y 1dx 2 2 y,
0 y 1,
其它 .
2 y
2 2 y fY y 0
y
1 yx
y 2 x
O
1
2x
2 , , 定理 3.6 设 X , Y ~ N 1 , 2 , 12 , 2
2 1
,Y
.
证明 :
f X x
y 2
《概率论》第3章§2边缘分布
边缘分布
1/9
二维 r.v 的联合分布函数： 的联合分布函数：
( X ,Y) ~ F(x, y)
两个一维 r.v 的分布函数： 的分布函数：
X ~ FX (x) Y ~ F ( y) Y F(x, y), FX (x), F ( y)之间有什么关系 Y
边缘分布(函数) 称 FX (x) 为 ( X ,Y)关于 X的边缘分布(函数) 边缘分布(函数) 称 F ( y) 为 ( X ,Y)关于 Y的边缘分布(函数) Y
•
p j = ∑ pij
i =1
4
1 2 3 4
pi = ∑ pij
•
4
j =1
1 4
1 4
1 4
1 4
故边缘分布律为
X 1 2 3 4 pi⋅ 1/ 4 1/ 4 1/ 4 1/ 4
1 2 3 4 Y p⋅j 第三章 多维随机变量及其分布 25/ 48 13/ 48 7 / 48 3/ 48
§2
∑ j =1
∞ j =1
i
j
= ∑ pij
第三章 多维随机变量及其分布
边缘分布 四个数中等可能取值, 设 r.v X 从 1,2,3,4四个数中等可能取值,又设 r.v Y 中等可能取值. 的联合分布律及边缘分布律. 从 1~ X中等可能取值.求 X ,Y的联合分布律及边缘分布律. X 取值为 1,2,3,4 ,而当 X = i (i = 1,2,3,4) 时 ,Y的取 X , Y 的分布律位于联合分布律表 值为 1~ i .由乘法公式有 格的边缘上， 格的边缘上，故称为边缘分布律
§2
边缘分布
12/9 12/9
若 X ,Y的联合密度为
f (x, y) = 2πσ1σ2 1− ρ2
边缘分布律怎么求
边缘分布律怎么求在概率论与数理统计中，边缘分布律（marginal distribution）是指在多维随机变量中，将其中几个变量固定，得到的某一个变量的概率分布。
对于一个具有两个或多个随机变量的概率分布，我们通常关注某一个或几个变量的概率分布情况。
而边缘分布律可以帮助我们实现这一点。
边缘分布律的求解方法取决于问题的具体情况。
下面我们将介绍两种常见的方法：离散型变量和连续型变量的求解方法。
1. 离散型变量的边缘分布律的求解方法：假设有两个离散型随机变量X和Y，它们的联合概率分布律为P(X=x, Y=y)。
要求X的边缘分布律，我们需要将Y变量固定，然后对所有可能取值求和，即：P(X=x) = Σ P(X=x, Y=y)其中Σ 表示对Y的所有可能取值求和。
2. 连续型变量的边缘分布律的求解方法：假设有两个连续型随机变量X和Y，它们的联合概率密度函数为f(x, y)。
要求X的边缘分布律，我们需要将Y变量固定，然后对X进行积分，即：fX(x) = ∫ f(x, y) dy其中∫ 表示对Y的所有取值进行积分。
需要注意的是，在求解边缘分布律时，我们需要考虑变量的范围。
如果X和Y的范围是有限的，那么在将变量固定时，需要限定积分或求和的范围。
此外，边缘分布律还可以通过累积分布函数（CDF）求得。
对于离散型变量，边缘分布律可以通过对联合分布函数求偏导得到。
对于连续型变量，边缘分布律可以通过对联合概率密度函数求偏导得到。
总之，边缘分布律是概率论与数理统计中的一个重要概念，可以帮助我们研究多维随机变量的概率分布。
根据变量的类型（离散型或连续型），我们可以选择不同的方法来求解边缘分布律。
无论是离散型还是连续型变量，求解边缘分布律都需要将其他变量固定，然后对概率分布进行求和或积分。
掌握求解边缘分布律的方法，对于我们研究随机变量的概率分布具有重要的意义。
边缘分布律
边缘分布律摘要：边缘分布律是概率论和统计学中的一个重要概念，用于描述多维随机变量中各个维度的分布情况。
本文将介绍边缘分布律的定义、性质以及应用，并举例说明其在实际问题中的应用。
1. 引言在概率论和统计学中，边缘分布律是研究多维随机变量的重要工具。
多维随机变量是指具有两个或更多维度的随机变量。
通过研究各个维度上的分布情况，我们可以更好地理解随机变量之间的关系以及它们对整体随机过程的影响。
2. 边缘分布律的定义设有一个二维随机变量(X,Y)，其边缘分布函数分别为F(x)和G(y)。
那么X的边缘分布律可以定义为P(X=x)，表示随机变量X等于x的概率。
类似地，Y的边缘分布律可以定义为P(Y=y)。
边缘分布律可以通过边缘分布函数来推导得到。
3. 边缘分布律的性质边缘分布律具有以下性质：(1) 非负性：边缘分布律是非负的，即P(X=x)和P(Y=y)大于等于零。
(2) 归一性：边缘分布律的和等于1，即∑P(X=x)=1和∑P(Y=y)=1。
(3) 独立性：如果X和Y是相互独立的，那么X的边缘分布律和Y的边缘分布律也是相互独立的。
这些性质使得边缘分布律成为研究多维随机变量的重要工具，可以用于计算随机变量的期望、方差等统计量。
4. 边缘分布律的应用边缘分布律在实际问题中有广泛的应用。
在金融领域中，我们经常需要分析多个金融指标之间的关系，如股票价格与利率之间的关系。
通过计算这些指标的边缘分布律，可以更好地理解它们各自的走势以及它们之间的相关性。
另一个应用领域是医学研究。
我们经常需要研究多种因素对人体健康的影响，如饮食习惯、运动量和遗传因素等。
通过分析这些因素的边缘分布律，可以更好地理解它们对健康状况的影响程度，从而为制定健康政策和预防措施提供科学依据。
此外，边缘分布律还可以应用于气候模拟、经济预测等领域。
通过分析多个变量的边缘分布律，可以为决策者提供更准确的信息，从而做出更合理的决策。
5. 示例应用为了更好地理解边缘分布律的应用，我们举一个简单的例子。
概率论与数理统计-3.2边缘分布讲解
f (u, y)dudy
x
[ f (u, y)dy]du
y
FY ( y) F(, y)
f (x, v)dxdv
y
[ f (x,v)dx]dv
14
记
f X (x)
f (x, y)dy
fX (x) f (x, y)dy
1
21 2 1 2
exp[
2(1
1
2
)
(u
2
2uv
v
2
)]
2dv
1
21 1 2
exp{
2(1
1
2
)
[(u
2
2u
2
)
(
2u
2
2
uv
v
2
)]}dv
1
e
u2 2
每次取一个球，在放回和不放回的情况下. 令
1 第一次取到黑球
1 第二次取到黑球
X 0 第一次取到白球, Y 0 第二次取到白球,
求(X,Y)的联合分布律及边缘概率分布
解 在不放回抽样下（上节课例题），列表如下：
XY 0
1
Pi.
0 6/20 6/20 3/5
1 6/20 2/20 2/5
y)
F (,
y)
lim
x
F ( x,
y)
注意：由联合分布可以决定边缘分布，反过来，由 边缘分布决定不了联合分布。但当分量独立时就可 以决定。
概率论与数理统计-基于R 第三章 第三节 边缘分布
p·j 2/5 3/5 1
注：由上表可知，两种情形下X和Y的边缘分布律相同，但联 合分布律不同，故边缘分布律不能确定联合分布律.
三、边缘密度函数 设(X,Y)为连续型随机变量，其联合分布函数
和联合概率密度分别为F(x,y)和f(x,y),则
FX x P X x P X x,Y x
f
X
(
x
)
6e(3 x2 y)dy,
0
0,
x 0 3e3x ,
其它 0,
x0 其它
同理，关于Y的边缘概率密度为
2e2 y , y 0
fY
(
y)
0,
其它 .
例. 设(X,Y) 服从以原点为圆心，R为半径的 圆形区域上的均匀分布，求(X,Y)关于X,Y 的边缘概率密度。
y
1
2
arctan
x
x
FY
y
lim
x
F
(
x,
y)
lim
x
1
2
2
arctan
x
2
arctan
y
1
2
arctan
y
y
二、边缘分布律
y
y
x FX(x)
x FY(y)
例 设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为
F ( x,
y)
1
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2
34
pi 1 / 4 1 / 4 1 / 4 1 / 4 pj 第2三5 /章48多1维3随/ 4机8 变7量/ 4及8 其3分/ 4布8
§2 边缘分布
4/9
设 ( X ,的Y )分布函数和密度函数分别为
F(x, y), f (x, y)
则 r.v的X分布函数为
FX (x) P{X x} P{X x,Y }
(关X ,于Y ) 的 第三Y章 多边维缘随密机变度量(及函其数分)布
§2 边缘分布
5/9
设 (X ,Y )的联合密度为
f
(x,
y)
6, 0,
x2 y
其它
x
求边缘密度 fX (x), fY ( y)
(如图)
fX
(x)
f
(x,
y)dy
y
1
y x2 yx
x
x26dy
0,
,0 x 1
其它
联合分布
边缘分布
第三章 多维随机变量及其分布
§2 边缘分布
10/9
令 (X,Y )的联合密度函数为
p( x, y)
1
x2 y2
e 2 (1 sin x sin y),
2π
显 然, ( X ,Y ) 不 服 从 正 态 分 布,但 是
pX (x)
1
x2
e2,
2
pY ( y)
1
y2
e2.
2
因此边缘分布均为正态分布的随机变量,其联合 分布不一定是二维正态分布.
§2 边缘分布
1/9
设 ( X ,Y ) ~ F(x, y), 则
FX (x) P{X x} P{X x,Y }
F (x, )
FY ( y) P{Y y} P{X ,Y y} F(, y)
r.v的边缘分布完全由它们的联合分布确定
第三章 多维随机变量及其分布
§2 边缘分布
2/9
故 r.v的X密度函数为
x
f
(u,
y)dydu
fX
(x)
f
(x,
y)dy
( x )
同理 Y的分布函数为
Y的密度函数为
称 fX (为x) 称 fY (为y)
FY
( y)
y
f
(x, v)dxdv
fY
( y)
f
(x,
y)dx
( y )
(关X ,于Y ) 的 X 边缘密度(函数)
xx1211 )12)
t
2
1
2
1
( x1)2
e ( ) dy
1 2(12 )
y2 2
x1 1
2
X ~ N (1,12 )
同理可证
Y
~
N
(2
,
2 2
)
第三章 多维随机变量及其分布
§2 边缘分布
8/9
f (x,y)
边缘密度
fX (x)
是正态曲线
6x(1 x), 0 x 1
0,
其它
y
fY
( y)
f
( x,
y)dx
O
x
1x
y
y
6dx
6(
0,
y y),0 y 1
其它
第三章 多维随机变量及其分布
§2 边缘分布
6/9
若 X ,Y的联合密度为
f
(x,
y)
1
21 2
1
2
exp{
1
2(1 2 )
[ ( x
1)2 12
2
(x
1)( y 1 2
Y X1
2
3
4 p• j 4 pij i 1
1 1/ 4 1/ 8 1/12 1/16 25 / 48
2
0 1/ 8 1/12 1/16 13/ 48
3
0 0 1/12 1/16 7 / 48
4
00
pi• 4 pij j 1
1 4
1 4
故边缘分布律为
0 1/16 3/ 48
1
1
4
4
X1 2 3 4 Y 1
2 )
(y
2 )2
2 2
]}
则称 (X ,服Y )从参数为
(1
,
2
,
12
,
2 2
,
)
的二维正态分布
记为
(X
,Y)
~
N (1,
2,12
,
2 2
,
)
其中各参数满足
1 , 2 ,1 0,2 0,| | 1
第三章 多维随机变量及其分布
§2 边缘分布
7/9
若
(X,Y) ~
N
(
1,
2,
12
,
第三章 多维随机变量及其分布
设 ( X ,的Y )分布律为
P{X xi ,Y y j} pij (i, j 1, 2,)
则 r.v的X分布律是
P{X xi} P({X pxii} (Si ) 1, 2,)
同理 Y的分布律是 P({X xi} ( {Y y j}) )
P{Y
yj
}
P(
pij
({
Xp
j
i1 j 1
j 1
r.v Y
从 1 ~ X中等可能取值.求 X ,Y的联合分布律及边缘分布律.
值故为X1,的Y~联i P.X由合{X取乘分值法布i,Y为公律1式为j,}2有,X格3P,,{4的YY,而边的j当缘分| X上布X，律i}故i位P({i称于X为联1,i}2边合,3缘1i分, 4 14)分布时(1布律,Y律表的j 取i)
O
1
2
x
y
x
是否是正态曲线？
固定 x ,截面曲边梯形面积
由 fX(x,,Yy的)d边y 缘分布能否确定联合分布？
第三章 多维随机变量及其分布
§2 边缘分布
9/9
设 X ,Y的联合密度为
f
(x,
y)
1
2
exp{
x2
2
y2
}(1
sin
x sin
y)
显然 (X ,不Y )服从正态分布
但
X ~ N(0, 1), Y ~ N(0, 1)
2 2
,
),
则
X ~ N (1,12 ) ,
Y
~
N
(
2
,
2 2
)
fX
(x)
f
(x,
y)dy
f
(x, y) [ ( x
122221)112 111ee221((xx122((x112121))y2222e1e)21x21(py1t22{2dt2x22((1)1y11)(222y2)222(2
)2 ]}
xi(}j {1Y, 2,yj)}) )
称数列 {Pp(i为j}1{X(X关x,iY于, Y) 的y j }X)
称数列{p为Pj }{X (X关x,i,Y于Y) 的y j }Y
边缘分布律 边缘分布律
j 1
pij
j 1
第三章 多维随机变量及其分布
§2 边缘分布
3/9
设 从r.v X 四1个, 2数,3,中4 等可能取值,又设