概率论与数理统计边缘分布
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概率论与数理统计 3.4边缘分布
y
同理
FY ( y) = F (, y) = lim F ( x, y)
x
二、二维离散型随机变量的边缘分布律
二维离散型随机变量(X , Y)的联合分布律为
p( X xi , Y y j ) pij p( X xi ) p( X xi ,Y )
p( X X i ,Y y1 )
1 0 x 1,0 y 2 x; f ( x, y ) 0 其他
求( 1) 、 ( X ,Y ) 的边缘密度函数 f X ( x), fY ( y).
(2)、Z 2 X Y 的概率密度 f Z ( z ).
解：第一步，作函数图像 第二步，利用公式
f X ( x)
分布函数;
将 Y 的分布函数FY (y) , 称为(X , Y)关于Y 的边缘 分布函数 .
2
已知二维随机变量(X , Y)的分布函数为 F (x , y),
则有
FX ( x) = P X x = P X x, Y
= F ( x, ) = lim F ( x, y)
7
f ( x , y )dy
1dy 2 x
0
2x
2 x 0 x 1 综合，f X ( x ) 0 其他
fY ( y )
y f ( x , y )dx 1dx 1 y/2 2
1
y 0 y2 1 综合，fY ( y ) 2 0 其他
e2
10
例题3 （98年考研）设平面区域D由曲线y=1/x及直线 y=0,x=1,x=e*2所围成，二维随机变量（X,Y）在区域 上服从均匀分布，则(X,Y)关于X的边缘概率密度在x=2 处的值为_ 解 1.画出草图。 所围面积A= 1 e2
同理
FY ( y) = F (, y) = lim F ( x, y)
x
二、二维离散型随机变量的边缘分布律
二维离散型随机变量(X , Y)的联合分布律为
p( X xi , Y y j ) pij p( X xi ) p( X xi ,Y )
p( X X i ,Y y1 )
1 0 x 1,0 y 2 x; f ( x, y ) 0 其他
求( 1) 、 ( X ,Y ) 的边缘密度函数 f X ( x), fY ( y).
(2)、Z 2 X Y 的概率密度 f Z ( z ).
解：第一步，作函数图像 第二步，利用公式
f X ( x)
分布函数;
将 Y 的分布函数FY (y) , 称为(X , Y)关于Y 的边缘 分布函数 .
2
已知二维随机变量(X , Y)的分布函数为 F (x , y),
则有
FX ( x) = P X x = P X x, Y
= F ( x, ) = lim F ( x, y)
7
f ( x , y )dy
1dy 2 x
0
2x
2 x 0 x 1 综合，f X ( x ) 0 其他
fY ( y )
y f ( x , y )dx 1dx 1 y/2 2
1
y 0 y2 1 综合，fY ( y ) 2 0 其他
e2
10
例题3 （98年考研）设平面区域D由曲线y=1/x及直线 y=0,x=1,x=e*2所围成，二维随机变量（X,Y）在区域 上服从均匀分布，则(X,Y)关于X的边缘概率密度在x=2 处的值为_ 解 1.画出草图。 所围面积A= 1 e2
概率论与数理统计教学课件-3-2边缘分布
边缘分布与联合分布的关系
联合分布
描述多个随机变量同时发生的概率分 布。
关系
对于离散型随机变量，边缘分布可以 通过求和联合分布中相应事件的概率 得到；对于连续型随机变量，边缘分 布可以通过积分联合分布得到。
边缘分布的几何意义
几何解释
在概率空间中，边缘分布描述了一个随机变量在固定其他随机变量取值时的概 率分布情况。
边缘分布的数学表达式为 $f(x) = frac{1}{b-a}$，其中 $a$ 和 $b$ 是给定的范围。
对于均匀分布，其概率密度函 数为 $f(x) = frac{1}{b-a}$，其 中 $a$ 和 $b$ 是随机变量 $X$ 的取值范围。这个表达式表示 在给定范围内，随机变量 $X$ 的取值是均匀分布的。
3
边缘分布的计算
对于超几何分布，其边缘分布就是抽取某一特定 类型的样本的概率。
04
边缘分布的应用场景
统计分析
描述性统计
在统计分析中，边缘分布用于描 述数据的基本特征，如均值、中 位数、众数等。这些统计量可以 帮助我们了解数据的集中趋势和 离散程度。
异常值检测
通过比较数据点与边缘分布的统 计量，可以检测出异常值，这些 值可能对数据分析产生重大影响。
在概率论与数理统计中，边缘分布在处理多维随机变量问 题时具有重要作用，可以帮助我们简化问题，提取所需的 信息。
下节预告
条件分布的概念
在概率论与数理统计中，条件分布是指在某个随机变量取值的条件下，其他随机变量的 概率分布。
条件分布的性质
条件分布具有依赖性，即条件分布的取值受其他随机变量的影响；同时，条件分布的取 值范围和概率密度函数形式与联合概率分布有关。
数据可视化
边缘分布可以用于绘制直方图、 箱线图等，帮助我们直观地了解 数据分布情况。
《概率论与数理统计》3-3 边缘分布
解 F x lim F x, y 1 arctan x X 2 y
2
2
2
1 arctan x 2
同理 ,
x ,
1 FY y lim F x, y 2 arctan y x 2 2 2
求 :⑴ C , ⑵ P X Y 1 . 解 又 ⑴由性质 :
x, y D,
其它 ,
f x, y d 1.
y
2 1
D1
O
1
x
f x, y d 0 dx0 Cxydy
1 1 2 C x y dx 2C xdx 0 2 0 0 1 2
P X ,Y D f x, y dxdy.
D
注: 注意分块积分. 只对密度函数为正的部分积分.
例1 设 D 是由 x 0, y 0, x 1, y 2 所围成的平面区
域 , 二维随机变量 X , Y 的联合概率密度函数为:
Cxy f x, y 0
fY y
所以
f x, y dx y 1dx 2 2 y,
0 y 1,
其它 .
2 y
2 2 y fY y 0
y
1 yx
y 2 x
O
1
2x
2 , , 定理 3.6 设 X , Y ~ N 1 , 2 , 12 , 2
2 1
,Y
.
证明 :
f X x
y 2
2
2
2
1 arctan x 2
同理 ,
x ,
1 FY y lim F x, y 2 arctan y x 2 2 2
求 :⑴ C , ⑵ P X Y 1 . 解 又 ⑴由性质 :
x, y D,
其它 ,
f x, y d 1.
y
2 1
D1
O
1
x
f x, y d 0 dx0 Cxydy
1 1 2 C x y dx 2C xdx 0 2 0 0 1 2
P X ,Y D f x, y dxdy.
D
注: 注意分块积分. 只对密度函数为正的部分积分.
例1 设 D 是由 x 0, y 0, x 1, y 2 所围成的平面区
域 , 二维随机变量 X , Y 的联合概率密度函数为:
Cxy f x, y 0
fY y
所以
f x, y dx y 1dx 2 2 y,
0 y 1,
其它 .
2 y
2 2 y fY y 0
y
1 yx
y 2 x
O
1
2x
2 , , 定理 3.6 设 X , Y ~ N 1 , 2 , 12 , 2
2 1
,Y
.
证明 :
f X x
y 2
边缘分布律怎么求
边缘分布律怎么求在概率论与数理统计中，边缘分布律（marginal distribution）是指在多维随机变量中，将其中几个变量固定，得到的某一个变量的概率分布。
对于一个具有两个或多个随机变量的概率分布，我们通常关注某一个或几个变量的概率分布情况。
而边缘分布律可以帮助我们实现这一点。
边缘分布律的求解方法取决于问题的具体情况。
下面我们将介绍两种常见的方法：离散型变量和连续型变量的求解方法。
1. 离散型变量的边缘分布律的求解方法：假设有两个离散型随机变量X和Y，它们的联合概率分布律为P(X=x, Y=y)。
要求X的边缘分布律，我们需要将Y变量固定，然后对所有可能取值求和，即：P(X=x) = Σ P(X=x, Y=y)其中Σ 表示对Y的所有可能取值求和。
2. 连续型变量的边缘分布律的求解方法：假设有两个连续型随机变量X和Y，它们的联合概率密度函数为f(x, y)。
要求X的边缘分布律，我们需要将Y变量固定，然后对X进行积分，即：fX(x) = ∫ f(x, y) dy其中∫ 表示对Y的所有取值进行积分。
需要注意的是，在求解边缘分布律时，我们需要考虑变量的范围。
如果X和Y的范围是有限的，那么在将变量固定时，需要限定积分或求和的范围。
此外，边缘分布律还可以通过累积分布函数（CDF）求得。
对于离散型变量，边缘分布律可以通过对联合分布函数求偏导得到。
对于连续型变量，边缘分布律可以通过对联合概率密度函数求偏导得到。
总之，边缘分布律是概率论与数理统计中的一个重要概念，可以帮助我们研究多维随机变量的概率分布。
根据变量的类型（离散型或连续型），我们可以选择不同的方法来求解边缘分布律。
无论是离散型还是连续型变量，求解边缘分布律都需要将其他变量固定，然后对概率分布进行求和或积分。
掌握求解边缘分布律的方法，对于我们研究随机变量的概率分布具有重要的意义。
概率论与数理统计32边缘分布解析
y)
lim [
y
1
2
(arctan
x
2
)(arctan
y )]
2
1
2
(arctan
x
)
2
1
arctan
x
1, 2
- x
FY
(
y)
1
arctan
y
1 2
,
- y
设离散型二维随机变量(X,Y)的分布律为
P{ X xi ,Y y j } pij (i, j 1,2,).
则由联合分布函数与边缘分布函数、联合分布律关
( X ,Y )关于X的边缘分布函数.
定义：
二维随机变量 (X,Y)作为一个整体, 具有分布函
数 F x, y, 而 X 和 Y 都是随机变量 , 也有各自的分 布函数, 分别记为 FX x, FY y, 依次称为二维随机
变量 (X,Y) 关于 X 和 Y的边缘分布函数.
FX x PX x PX x,Y F x,
把第一行和最后一行拿出来就是Y的分布；把第一列 和最后一列拿出来就是X的分布。
我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边 缘上，由此得出边缘分布这个名词.
练习 袋中有2只白球和3只黑球，从中摸球，记
Xi
1, 第i次 摸 出 白 球 0, 第i次 摸 出 黑 球i
1,2,
试求 ( X1 , X 2 )的联合概率分布和边缘概率分
布。
解： （I）有放回摸球
X1
X2 0 1
0
33 55
32 55
1
23 22
5 55 5
PX2 ( y)
3 5
2 5
PX1 ( x)
第二节边缘分布概率论与数理统计
同理, 2 fY ( y)
0
1 y2 | y | 1 | y | 1
1 X
y 1 x2
例6 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
e y , f (x, y)
0,
0 x y ⑴ 求随机变量X的密度函数； 其他 ⑵ 求概率P{X+Y≤1}.
解:(1)x≤0时, fX(x)=0;
e y
pij
xi x j
例2 从三张分别标有1,2,3号的卡片中任意抽取一张， 以X 记其号码，放回之后拿掉三张中号码大于X的卡片 （如果有的话），再从剩下的卡片中任意抽取一张，以
Y 记其号码. 求二维随机变量（X, Y）的联合分布和边 缘分布. 解 由乘法公式，得 （X，Y）的联合分布为
P{X i,Y j} P{X i}P{Y j | X i} (i 1, 2,3).
解 由乘法公式，得 （X，Y）的联合分布为
P{X i,Y j} P{X i}P{Y j | X i} (i 1, 2,3).
由此可得（X, Y)的联合分布和边缘分布如下：
Y
X
1
2
3
Pi•
1
1
3
1
0
0
3
1
2
6
3
1 9
P• j
11 18
1
1
6
0
3
1
1
1
9
9
3
5
2
18
18
关于X和Y的边缘分布如下：
y 故（X, Y）的概率密度为
O x
例5 .设随机向量(X,Y)服从区域D上的均匀分布,其中
D={(x,y),x2+y2≤1},求X,Y的边缘密度函数fX(x)和fY(y).
概率论与数理统计3.2 边缘分布与独立性
p·
j
p2 j . . . pij . . . p· j
例1.设袋中有五个同类产品，其中有两个 是次品，每次从袋中任意抽取一个， 抽取两次，定义随机变量X、Y如下
1, 第一次抽取的产品是正品 X 0, 第一次抽取的产品是次品
1, 第二次抽取的产品是正品 Y 0, 第二次抽取的产品是次品
2 R2 x2 , R x R 2 R 0y R 2 fY ( y ) R 0, 其它
1 2 f (0, 0) , f X (0) fY (0) 2 R R
因此， X与Y不独立。
随机变量的独立性
如果二维随机变量(X,Y)满足, 对任意x,y, 有
P( X x, Y y ) P ( X x ) P (Y y ) 即 F ( x, y ) FX ( x) FY ( y )
则称X与Y相互独立 .
连续型 离散型
f ( x, y ) f X ( x ) f Y ( y )
1y 1 2dx ,0 y0 1,x 1 2 dx , 0 y fY ( y ) f ( x, y )dx 其它 0, 其它 0, 2( y2 y1), 0 1y 1 2 , 0 y , 0, 其它 其它 0,
对下面两种抽取方式：(1) 有放回抽取； (2)无放回抽取，求(X,Y)的边缘分布律。
(1) 有放回抽取
Y XY 0 X 0 4 0 1
(2) 无放回抽取
pi· 2/5 3/5 1
X X Y
01
1
Y 0 0 X
01 1
1pi·
46 6 25 25 25 25 69 9 1 6 25 25 25 25
概率论与数理统计：边缘分布
记为：( X ,Y )
N
(1，2;12，
2 2
;Leabharlann )；试求二维正态随机变量的边缘概率密度。
二维正态分布的图形：
解：fX (x)
f (x, y)dy
1
21 2 1 2
exp
1
2(1
2
)
(
x
1
2 1
)2
2
(x 1)( y 2 ) 1 2
(y 2)2
2 2
dy
1
21 2 1 2
f (x, y)
1
21 2 1 2
exp
1
2(1
2
)
(
x
1
2 1
)2
2
(x 1)( y 2 ) 1 2
(y 2)2
2 2
x ， y
其中 1，2，1， 2，都是常数，且1 0， 2 0，1 1；
我们称 X ,Y 为服从参数为1，2，1， 2，的二维正态分布，
e e dy
(
x1 )2 212
1 2(1 2
)
y2 2
x1 1
2
1
e
(
x1 )2 212
21
1
e dy
1
2
2 2
(1
2
)
y
2
2 1
(
x1
)
2
2 2 1 2
1
( x1 )2
e 212
2 1
x
即二维正态分布的 两个边缘分布都是
同理 fY ( y)
1
e ,
(
x2 )2
2
2 2
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如
p j P{Y y j } pi j
p 1 P{ X x1} p1 j
j 1
(i = 1,2, …)
(j =1,2, …)
p 2 P{Y y 2 } pi 2
i 1
《概率统计》
返回
下页
结束
二、 离散型二维随机向量的边缘分布 设 (X,Y) 的联合分布列为 pij = P{X=xi ,Y=yj}
x
x
6( x x 2 ), f X ( x) 0,
0 x 1 其它
y y
fY ( y) f ( x, y)dx 6dx 6( y y)
6( y y ), fY ( y ) 0,
返回
即
《概率统计》
0 y 1 其它
下页 结束
Y
0
6 10
下页
1
3 10
结束
2
1 10
pi.
《概率统计》
p.j
三 、二维连续型随机变量边缘概率密度函数
设（X，Y）的联合概率密度 f(x,y) 由于FX ( x) P{ X 所以
x} P{X x, Y } [ f (u, v)dv]du
则
f X ( x)
f ( x, y )dy
fY ( y )
f ( x, y)dx
例2.设（X，Y）服从区域D：抛物线y=x2和直线y=x所 围成的区域上的均匀分布，求（X，Y）的联合、边缘概 率密度.
《概率统计》 返回 下页 结束
解:
由于D的面积为
故（X，Y）联合概率密度为
x
f X ( x)
f ( x, v)dv f ( x, y )dy
f ( x, y)dy
z
即
f X ( x)
f X ( x0 ) 的几何意义如右图.
其值表示红曲边梯形的面积.
y
o
下页
a
x0 b x
结束
《概率统计》
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三 、二维连续型随机变量边缘概率密度函数
即若（X，Y）的联合概率密度 f(x,y)
例3. 已知随机向量（X，Y）的联合分布函数为
F ( x, y) a(b arctanx)(c arctany)
求（１）常数a，b，c；（２）联合密度函数 f(x,y)； （３）X ,Y的边缘分布函数；（4）P{X>2}。
解：(1)由F(-∞,0)=0,
F(0,-∞)=0, F(+∞, +∞)=1, 得
则 (X,Y) 的边缘分布列为
p i P{ X xi } pi j
j 1
p j P{Y y j } pi j
i 1
(i =1,2, …)
(j = 1,2, …)
即
X
(X,Y) 的边缘分布函数为：
x1 · · ·xi · · · … pi. x p2 . 1 p2. · · ·pi. · · ·
P{X x, Y }
FY ( y ) P{Y y} P{ X , Y y} F (, y ) lim F ( x, y )
x
F ( x,)
lim F ( x, y )
y
《概率统计》
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二、 离散型二维随机向量的边缘分布
X Y
y1 p11 p21
y2
… yj
…
P{X=xi} p1. p2.
x1 x2
p12 … p1j … p22 … p2j …
xi
P{Y= pij … … … p.2 … p.j …
j 1
pi. 1
i 1
p i P{ X xi } pi j
1 0 ( x x )dx 6
1 2
y
6, f ( x, y ) 0,
f X ( x)
即 当0≤y≤1时
( x, y ) D 其它
0
y x2 yx
（X，Y）边缘概率密度, 当0≤x≤1时
x
f ( x, y)dy 2 6dy 6( x x 2 )
a ( b )c 0 2 ab ( c )0 2 a (b )(c ) 0 2 2
《概率统计》 返回
解得
a
1
F ( x, y )
1 ( arctan x)( arctan y ) 2 2 2
2 F ( x, y ) xy
下页
结束
例1.已知随机向量（X，Y）的分布如下表，求关于X 和Y 的边缘 分布.
解:
X 3 4 5
Y
0
1 10 2 10 3 10
6 10
1
2
pi·
1 10 3 10
0
1 10 2 10
3 10
0 0
1 10
1 10
6 10
p.j X的分布列为 X 3
1 10
1
Y的分布列为 4
3 10
5
6 10
返回
Y
FX(x) = F(x,+∞) = FY(y) = F(+∞, y) =
《概率统计》 返回
xi x
p
yj y
y1 y2 · · ·yj · · · … p.j p.1 p.2 · · ·p.j · · ·
ij
p
i 1
j 1
p i
xi x
ij
yjy
p
j
§3.2 边 缘 分 布
一、边缘分布函数的概念 二、离散型随机变量的边缘分布列 三、连续型随机变量的边缘分布概率密度 四、随机变量的独立性
《概率统计》
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结束
一 、 边缘分布函数的概念
设（X，Y）的联合分布函数F(x, y)
则 X 和 Y 的边缘分布函数 FX(x) , FY(y) 分别为:
FX ( x) P{X x}
解：
F ( x, y )
a
1
2
,b
2
,c
2
F ( x, y ) (3) FX ( x) P{X x} ylim
,b 2
2
,c
2
(2) f(x,y)
1 2 (1 x 2 )(1 y 2 )
下页
结束
例3. 已知随机向量（X，Y）的联合分布函数为
F ( x, y) a(b arctanx)(c arctany)
求（１）常数a，b，c；（２）联合密度函数 f(x,y)； （３）X ,Y的边缘分布函数；（4）P{X>2}.
p j P{Y y j } pi j
p 1 P{ X x1} p1 j
j 1
(i = 1,2, …)
(j =1,2, …)
p 2 P{Y y 2 } pi 2
i 1
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二、 离散型二维随机向量的边缘分布 设 (X,Y) 的联合分布列为 pij = P{X=xi ,Y=yj}
x
x
6( x x 2 ), f X ( x) 0,
0 x 1 其它
y y
fY ( y) f ( x, y)dx 6dx 6( y y)
6( y y ), fY ( y ) 0,
返回
即
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0 y 1 其它
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Y
0
6 10
下页
1
3 10
结束
2
1 10
pi.
《概率统计》
p.j
三 、二维连续型随机变量边缘概率密度函数
设（X，Y）的联合概率密度 f(x,y) 由于FX ( x) P{ X 所以
x} P{X x, Y } [ f (u, v)dv]du
则
f X ( x)
f ( x, y )dy
fY ( y )
f ( x, y)dx
例2.设（X，Y）服从区域D：抛物线y=x2和直线y=x所 围成的区域上的均匀分布，求（X，Y）的联合、边缘概 率密度.
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解:
由于D的面积为
故（X，Y）联合概率密度为
x
f X ( x)
f ( x, v)dv f ( x, y )dy
f ( x, y)dy
z
即
f X ( x)
f X ( x0 ) 的几何意义如右图.
其值表示红曲边梯形的面积.
y
o
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a
x0 b x
结束
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三 、二维连续型随机变量边缘概率密度函数
即若（X，Y）的联合概率密度 f(x,y)
例3. 已知随机向量（X，Y）的联合分布函数为
F ( x, y) a(b arctanx)(c arctany)
求（１）常数a，b，c；（２）联合密度函数 f(x,y)； （３）X ,Y的边缘分布函数；（4）P{X>2}。
解：(1)由F(-∞,0)=0,
F(0,-∞)=0, F(+∞, +∞)=1, 得
则 (X,Y) 的边缘分布列为
p i P{ X xi } pi j
j 1
p j P{Y y j } pi j
i 1
(i =1,2, …)
(j = 1,2, …)
即
X
(X,Y) 的边缘分布函数为：
x1 · · ·xi · · · … pi. x p2 . 1 p2. · · ·pi. · · ·
P{X x, Y }
FY ( y ) P{Y y} P{ X , Y y} F (, y ) lim F ( x, y )
x
F ( x,)
lim F ( x, y )
y
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二、 离散型二维随机向量的边缘分布
X Y
y1 p11 p21
y2
… yj
…
P{X=xi} p1. p2.
x1 x2
p12 … p1j … p22 … p2j …
xi
P{Y= pij … … … p.2 … p.j …
j 1
pi. 1
i 1
p i P{ X xi } pi j
1 0 ( x x )dx 6
1 2
y
6, f ( x, y ) 0,
f X ( x)
即 当0≤y≤1时
( x, y ) D 其它
0
y x2 yx
（X，Y）边缘概率密度, 当0≤x≤1时
x
f ( x, y)dy 2 6dy 6( x x 2 )
a ( b )c 0 2 ab ( c )0 2 a (b )(c ) 0 2 2
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解得
a
1
F ( x, y )
1 ( arctan x)( arctan y ) 2 2 2
2 F ( x, y ) xy
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例1.已知随机向量（X，Y）的分布如下表，求关于X 和Y 的边缘 分布.
解:
X 3 4 5
Y
0
1 10 2 10 3 10
6 10
1
2
pi·
1 10 3 10
0
1 10 2 10
3 10
0 0
1 10
1 10
6 10
p.j X的分布列为 X 3
1 10
1
Y的分布列为 4
3 10
5
6 10
返回
Y
FX(x) = F(x,+∞) = FY(y) = F(+∞, y) =
《概率统计》 返回
xi x
p
yj y
y1 y2 · · ·yj · · · … p.j p.1 p.2 · · ·p.j · · ·
ij
p
i 1
j 1
p i
xi x
ij
yjy
p
j
§3.2 边 缘 分 布
一、边缘分布函数的概念 二、离散型随机变量的边缘分布列 三、连续型随机变量的边缘分布概率密度 四、随机变量的独立性
《概率统计》
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一 、 边缘分布函数的概念
设（X，Y）的联合分布函数F(x, y)
则 X 和 Y 的边缘分布函数 FX(x) , FY(y) 分别为:
FX ( x) P{X x}
解：
F ( x, y )
a
1
2
,b
2
,c
2
F ( x, y ) (3) FX ( x) P{X x} ylim
,b 2
2
,c
2
(2) f(x,y)
1 2 (1 x 2 )(1 y 2 )
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例3. 已知随机向量（X，Y）的联合分布函数为
F ( x, y) a(b arctanx)(c arctany)
求（１）常数a，b，c；（２）联合密度函数 f(x,y)； （３）X ,Y的边缘分布函数；（4）P{X>2}.