条件分布与二维随机变量的独立性

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第三章第二节二维随机变量的独立性

§3.2 二维随机变量的独立性与条件分布1`二维随机变量的独立性定义3.2.1 设(,),(),()X Y F x y F x F y 依次为(,),,X Y X Y 的分布函数,若对任意实数,x y 都有(,)()()X Y F x y F x F y =则称两个随机变量X 与Y 相互独立.(1) 离散型随机变量的独立性定义3.2.2如果（X,Y ）是二维离散型随机变量，如果对于它们的任意一对取值i x 及j y ，对（X ，Y ）的任意一对取值(),i j x y ，都有{,} {} { } i j i j P X x Y y P X x P Y y ===== i ，j =1，2，… (3.2.2) 则称离散型随机变量X 和Y 是独立的。

例3.2.1例3.1.1中两个随机变量X 与Y 是相互独立吗? 解由例3.1可得2222210,,,915p p p ⋅⋅===显见22 2..2,p p p ≠⋅因此X 与Y 不独立.(2) 连续型随机变量的独立性定义3.2.3 如果（X,Y ）是二维连续型随机变量，其联合概率密度为p (x,y ),则X 与Y 也都是连续型随机变量，它们的概率密度分别为(),()X Y p x p y , 若对任意实数,x y 都有(,) (),()X Y p x y p x p y = 则称连续型随机变量X 和Y 是独立的。

例3.2.2本章第一节例3.2中随机变量X,Y 的边缘概率密度分别为p X (x )=⎰+∞∞-p (x,y )dy=2()2042, 0,0, x y x edy e x +∞-+-⎧=≥⎪⎨⎪⎩⎰其它.p Y (y )＝⎰+∞∞-p (x,y )dx=2()2y 04x 2, y 0,0, x y ed e +∞-+-⎧=≥⎪⎨⎪⎩⎰其它.显然有 p (x,y )＝p X (x )·p Y (y )，所以X,Y 相互独立。

2-2-3随机变量的独立性,条件分布

x
FX Y ( x y) pX Y ( x y) d x
x
[ p(x, y)
pY ( y)]d x.
y
FY X ( y x) pY X ( y x) d y
y
[ p(x, y)
pX (x)]d y.
备份题
例1 设
(X,Y )
~
p( x,
y)
Cy(1 0,
x),
0 x 1,0 其它.
则称X和Y相互独立.
例1 已知 ( X ,Y ) 的分布律为
( X ,Y ) (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2)
111 1
pij
6
9 18
3
(1) 求与应满足的条件;
(2) 若 X 与 Y 相互独立,求与的值.
(2,3)
解将 ( X ,Y ) 的分布律改写为
Y X
1
1
1
6
1
2
3
p• j P{Y yj } 1 2
2 1 9
1
9
3 pi• P{ X xi }
1
1
18
3
1
3
1
18
2
3
(1)由分布律的性质知
0,
0,
2
3
1,
故与应满足的条件是 : 0, 0 且 1 .
3
(2) 因为 X 与 Y 相互独立, 所以有
pij pi• p• j , (i 1,2; j 1,2,3)
xe(x y)dy xe x
0
x>0
pY ( y) 0 xe( x y)dx e y
y >0
即：

第三章二维随机变量及其分布

第三章二维随机变量及其分布■2009考试内容多维随机变量及其分布二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度随机变量的独立性和不相关性常用二维随机变量的分布两个及两个以上随机变量简单函数的分布■2009考试要求1．理解多维随机变量的概念，理解多维随机变量的分布的概念和性质，理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，理解二维离散型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度，会求与二维随机变量相关事件的概率。

2．理解随机变量的独立性及不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件。

3．掌握二维均匀分布，了解二维正态分布N （221212,;,;)μμσσρ的概率密度，理解其中参数的概率意义。

4. 会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布。

本章的核心内容是离散3分布（联合、边缘和条件）；连续3密度（联合、边缘和条件）；均匀与正态。

介绍了作者原创的3个秘技（直角分割法、平移法和旋转法）求分布问题。

本章是教育部关于概率论大题命题的重点。

一、二维随机变量（向量）的分布函数1.1 二维随机变量（向量）的分布函数的一般定义(), X Y 是二维随机变量，对任意实数x 和y ，称为(), X Y 的分布函数，又称联合分布函数。

●(), F x y 具有一维随机变量分布类似的性质。

① ()0, 1F x y ≤≤；② (), F x y 对x 和y 都是单调非减的，如()()1212, , x x F x y F x y >⇒≥； ③ (), F x y 对x 和y 都是右连续；④ ()()()()(), lim , 1, , , , 0,x x F F x y F F x F y →+∞→+∞+∞+∞==-∞-∞=-∞=-∞=●(), F x y 几何意义：表示(), F x y 在(), x y 的函数值就是随机点(), X Y 在X x =左侧和Y y =下方的无穷矩形内的概率。

《概率学》3.2_3.3二维随机变量的边缘分布及独立性

i, j=1, 2, ...,
连续型
f (x, y)
第三章多维随机变量及其分布
（X，Y）边缘分布
FX(x) = F（x,＋∞） F Y(y) = F（＋∞, y）
pi .=P{X= xi}= pij i=1, 2, ..., j 1
p.j=P{Y= yj}= pij j=1, 2, ..., i 1
连续型 f (x, y)
第三章多维随机变量及其分布
（X，Y）边缘分布
FX(x)=（
）
F Y(y) =（
）
pi .=P{X= xi}（=
）
p.j=P{Y= yj}=（
）
f X ( x) （
）
fY ( y) （
）
作答
1
8
山东农业大学公共数学系概率统计课程组版权所有
第2节二维随机变量的边缘分布
第三章多维随机变量及其分布
f X (x)
f (x, y)dy
fY ( y)
f (x, y)dx
1
7
山东农业大学公共数学系概率统计课程组版权所有
主第观2节题二维随2机分变量的填边缘空分布填空
( X, Y )联合分布一般 F(x,y)= P{X ≤ x,Y≤y}
离散型 P{X=xi ,Y=y j}= pi j
i, j=1, 2, ...,
1
2
fX (x)
f (x, y)dy
1
exp{ 1 (u2 2u v2)}dv
21 1 2
2(1 2)
1
u2
e2
1
exp{ (v u)2 }dv
2 1
2 1 2
2(1 2)

2012数学强化讲义---张伟---概率

.
例22 某人向同一目标独立重复射击, 每次射击命中目标的概率为p(0 < p < 1),则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为 ( A) 3 p(1− p)2. (B) 6 p(1− p)2. (C) 3 p2 (1− p)2. (D) 6 p2 (1− p)2.
例23 做一系列独立试验, 每次试验成功的概率都是p, 试求下列事件的概率 : A ="4次失败在第3次成功之前"; B ="成功10次之前至多失败2次"; C ="现进行n次重复试验,已知试验没有全部失败, 成功不止一次".
P(B | A) = 0.2,
则P( A) =
.
例9 设事件A, B同时发生时, 事件C一定发生, 则 ( A) P(C) ≤ P( A) + P(B) −1. (B) P(C) ≥ P( A) + P(B) −1. (C) P(C) = P( AB). (D) P(C) = P(A ∪ B).
例10
⎪⎩ 0
若x ∈[ 0, 1 ], 若x ∈[ 3, 6 ],
其他.
若使得P{X ≥ k}= 2 , 则k的取值
3
范围是 ______
例11
设随机变量X的密度函数为ϕ(x),且ϕ(−x) = ϕ(x).
F (x)是X的分布函数, 则对任意实数a, 有
∫ ∫ ( A) F (−a) = 1− aϕ(x)dx. (B) F (−a) = 1 − aϕ(x)dx.
例6 设F1(x)与F2 (x)为两个分布函数, 其相应的概率密度f1(x)与f2 (x) 是连续函数, 则必为概率密度的是
( A) f1(x) f2 (x)(B) 2 f2 (x)F1(x) (C) f1(x)F2 (x) (D) f1(x)F2 (x) + f2 (x)F1(x)

2.4 概率论——二维随机变量的独立性

y
FY ( y) F(, y) [ f ( x, v)dx]dv,
故X,Y 的边缘密度函数为：
fX ( x) FX ( x)
f ( x, y)dy,
fY ( y) FY ( y)
f ( x, y)dx,
例2：设（X，Y）服从下列区域上的二维均匀分布，
试求X，Y的边缘概率密度。
y
(1)D ( x, y) | 0 x 2,0 y 1 1
2.4 二维随机变量的独立性
一、二维随机变量的边缘分布
随机向量( X ,Y )中, X ,Y的分布分别称为关于X、Y的边缘分布。X, Y的分布函数 FX ( x), FY ( y) 称为边缘分布函数。
巳知 (X, Y) 的联合分布函数为 F(x, y)，则易知：
FX x PX x PX x,Y F x, FY y PY y PX ,Y y F , y
次击中目标所进行的射击次数，以 Y 表示总共进行的射击次数 . 试求 X 和 Y 的联合分布及条件分布.
解依题意，{Y=n} 表示在第n次射击时击中目标 , 且在前n-1次射击中有一次击中目标. {X=m} 表首次击中目标时射击了m次 .
1 2 ……m…………. n-1 n
n次射击击中
击中
j
P{[( X xi ) (Y y j )]}
j
P{X xi ,Y y j }
j
pij pi• (i 1,2, ) j
同理，Y的边缘分布
P{Y y j } pij p• j i
( j 1,2, )
XY
x1 x2 xi
p• j
y1 y2 y j pi•
p11 p12 p1 j p1•
暂时固定

3.2条件分布与随机变量的独立性

3e3 ydy e3
1
19
例5 甲乙两人约定中午12:30分在某地会面. 如果甲来到的时间在12:15到12:45之间是均匀分布, 乙独立地到达, 而且到达时间在12:00到13:00之间是均匀分布, 试求先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率, 又甲先到的概率是多少?
解由 X 与Y 独立性知
0
0, x 0
x0
ex , x 0
0, x 0
18
当 x 0时，有
fY|X ( y | x)
f (x, y) fX (x)
xe x(1
ex 0
y)
y
y 0
0
xexy y 0
0 y0
(2)当 X 3时，有
P(Y 1 X 3)
1 fY|X ( y | 3)dy
的边缘分布律中的部分数值, 试将其余数值填入表中的空白处.
X
Y y1 y2 y3 P{ X xi } pi .
x1
1/ 8
x2
1/ 8
P{ y yj } p j 1/ 6
1
解由于 P{ X x1,Y y1} P{Y y1} P{X x2 ,Y y1} 1/ 6 1/ 8 1/ 24,
1 p• j
i 1
pij
p• j p• j
1
同样， P{Y y j | X xi }也具有这两点性质。
9
例2 设 X与Y的联合概率分布如右表.
求Y 0 时, X 的条件概率 X Y -1 0 2 分布以及 X 0 时, Y 的条件 0 0.1 0.2 0
概率分布;
1 0.3 0.05 0.1 2 0.15 0 0.1
f ( x, y),( X ,Y ) 关于 Y 的边缘概率密度为fY ( y).若

3.2条件分布及其独立性

解当x0.5时 P{Xx X0.5}0
当x0.5时
P{X
x, X
0.5} x 0.05.,5,
0.5 x1, x 1.
从而可得
F (x|
X
0.5)
P{X x, X 0.5} P{X 0.5}
P{X
x, X 0.5
0.5}
F(x| X
0.5) 2x0, 1,
x 0.5, 0.5 x1,
1, x 1.
Yy
的条件下
X
的条件密度函数
类似地可以讨论在Xx的条件下 Y的条件分布
三、连续型随机变量的条件密度函数与独立性
条件密度函数
设(X Y)是连续型随机向量密度函数为f(x y)
如果fX(x)0 fY(y)0 则
fX|Y (x| y)
f (x, y) fY (y)
fY|X (y| x)
f (x, y) fX (x)
解在X0时 Y的条件概率分布为
P{Y
1|
X
0}
P{Y 1, X P{X 0}
0}
0.1 0.10.20
1 3
P{Y
0|
X
0}
P{Y 0, X P{X 0}
0}
0.2 0.3
2 3
P{Y
2|
X
0}
P{Y 2,X 0} P{X 0}
0 0.3
0
定理33(独立性的判断)
设X Y是离散型随机变量其联合概率分布为
§32 条件分布与随机变量的独立性
一、条件分布与独立性的一般概念二、离散型随机变量的条件概率分布与独立性三、连续型随机变量的条件密度函数与独立性
一、条件分布与独立性的一般概念

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例如：P( X xi | Y y j ) 0,
i=1,2, …
P(X xi |Y yj ) 1
i 1
例1 一射手进行射击，击中目标的概率为
p，(0<p<1)，射击进行到击中目标两次为止. 以X 表示首次击中目标所进行的射击次数，以Y 表示总共进行的射击次数. 试求X 和Y的联合分布列及条件分布列.
P(X=xi|Y=yj)=
P
(
X xi,Y P(Y y
j)
yj )
pi j p• j
，i=1,2,
…
为在Y=yj条给件定下的作，随为在机条此变件条的量件那X下的个求条r另.v件一,认分r.为布v的取列值.是
概率分布.
条件分布列是一种概率分布列，它具有概率分布列的一切性质. 正如条件概率是一种概率，具有概率的一切性质.
第二讲条件分布与随机变量的独立性
条件分布在第一章中，我们介绍了条件概率的概念 .
在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率
P(A | B) P(AB) P(B)
推广到随机变量
设有两个r.v X,Y ，在给定Y取某个或某些值的条件下，求X的概率分布.
这个分布就是条件分布.
例如，考虑某大学的全体学生，从其
以
f (x, y) f X|Y ( x | y) fY ( y)
为例
将上式左边乘以 dx , 右边乘以 (dx
dy)/dy即得
fX|Y ( x | y)dx
f ( x, y)dxdy fY ( y)dy
P{x X x dx, y Y y dy} P{y Y y dy}
P{x X x dx | y Y y dy}
0y
y
0
ey,
0 y
于是对y>0, f X|Y ( x | y)
f
( x,
y)
ex
y
,
fY ( y) y
故对y>0, P(X>1|Y=y) ex y dx
容易想象，这个分布与不加这个条件时的分布会很不一样.
例如，在条件分布中体重取大值的概率会显著增加 .
一、离散型r.v的条件分布
在列另一种实形际随式上类机下是似变的第定量重一义Y复章在的.讲X条=过x件i条的分件条布下件列概. 率概念
定义1 设 (X,Y) 是二维离散型随机变
量，对于固定的 j，若P(Y=yj)>0，则称
f
( x,
y)
e
x
ye y y
,
0 ,
0 x , 0 y 其它
求 P(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ>1|Y=y)
解:
P(X>1|Y=y) 1
f X|Y ( x | y)dx
为此, 需求出 f X|Y ( x | y)
由于
fY ( y)
f (x, y)dx
ex ye y dx e y [ yex y ]
fX (x) 0 的x , 定义已知 X=x下，Y 的条件
密度函数为
f (x, y)
fY|X ( y | x) f X (x)
同样，对一切使 fY ( y) 0的 y, 定义
f X|Y ( x |
y)
f (x, y) fY ( y)
为已知 Y=y下，X的条件密度函数 .
我们来解释一下定义的含义：
即: 若(X,Y)是连续型r.v, 则对任一集合A，
P(X A | Y y) f X|Y (x | y)dx
特别，取 A (, u),A
定义在已知 Y=y下，X的条件分布函数为
FX|Y (u | y) P(X u | Y y)
u
f X|Y ( x | y)dx
例2 设(X,Y)的概率密度是
P(X m,Y n) p2 (1 p)n2
由此得X和Y的联合分布列为
P(X m,Y n) p2 (1 p)n2
n=2,3, …; m=1,2, …, n-1
为求条件分布，先求边缘分布.
X的边缘分布列是：
P{X m} P(X m,Y n)
n m 1
p2 (1 p)n2 p2 (1 p)n2
n m 1
n m 1
p2
(1 p)m12 1 (1 p)
p(1
p)m1
m=1,2,
…
Y的边缘分布列是：
n1
P{Y n} P(X m,Y n) m 1 n1 p2 (1 p)n2 m 1
(n 1) p2 (1 p)n2
n=2,3,
…
于是可求得：
当n=2,3, …时，
P(X m | Y n) 联合分布列
fX|Y ( x | y)dx
P{x X x dx | y Y y dy}
换句话说，对很小的dx和 dy，fX|Y ( x | y)dx
表示已知 Y取值于y和y+dy之间的条件下， X取值于x和x+dx之间的条件概率.
运用条件概率密度，我们可以在已知某一随机变量值的条件下，定义与另一随机变量有关的事件的条件概率.
解：依题意，{Y=n} 表示在第n次射击时击
中目标,且在前n-1次射击中有一次击中目标.
{X=m}表示首次击中目标时射击了m次
1 2 ……m…………. n-1 n
n次射击击中
击中
1 2 ……m…………. n-1 n
n次射击击中
击中
不论m(m<n)是多少，每次击中目标的概率为 p P(X=m,Y=n)都应等于 P(X=m,Y=n)=？
P{X m,Y n} P{Y n}
边缘分布列
(n
p2 (1 p)n2 1) p2 (1 p)n2
1, n1
m=1,2, …,n-1
当m=1,2, …时，
P(Y n | X m) P{X m,Y n}
P{X m}
p2 (1 p)n2 p(1 p)m1 p(1 p) , nm1 n=m+1,m+2, …
二、连续型r.v的条件分布
设(X,Y)是二维连续型r.v，由于对任意 x, y, P(X=x)=0, P(Y=y)=0 ，所以
不能直接用条件概率公式得到条件分布，下面我们直接给出条件概率密度的定义.
定义2 设X和Y的联合概率密度为 f (x,y),
边缘概率密度为 fX (x), fY ( y)，则对一切使
中随机抽取一个学生，分别以X和Y 表示其体
重和身高 . 则X和Y都是随机变量，它们都
有一定的概率分布.
身高Y
体重X
的分布
体重X
身高Y 的分布
现在若限制1.7<Y<1.8(米), 在这个条件下去求X的条件分布，这就意味着要从该
校的学生中把身高在1.7米和1.8米之间的那些人都挑出来，然后在挑出的学生中求其体重的分布.