二维连续型随机变量

ke(2x y) , f (x, y)
0, (1) 求常数k;
x 0, y 0, 其 它.
(2) 分布函数F ( x, y); (3) 求概率P{Y X }.
解:
(1)由 f ( x, y)dxdy 1有
k



e
(
2
x

6( y y).
y y x
O
(1,1)
y x2 x
当 y 0 或 y 1时,

fY ( y)
f ( x, y)d x 0.
y
)dxdy

1 ,因 此k

2

yx
(2) F ( x, y)
f (x, y)d xd y



y 0
x 2e(2x y) d x d y, x 0, y 0,
0
0,
其 它.
得
F
(
x,
y
)

(1 0,

e
2
x
)(1
Байду номын сангаас

e

y
), x 0, 其 它.
y
(1,1)
y x

f X ( x)
f ( x, y)d y 0.

O
y x2 x
因而得
6( x x2 ), 0 x 1,
f
X
(
x
)

0,
其 它.
当 0 y 1 时,

fY ( y)
f (x, y)d x

y
y 6d x 6( y y)
FX ( x) F ( x, )
[ f (x, y)d y]d x,

记

f X ( x)
f (x, y)d y,

称其为随机变量( X , Y ) 关于 X 的边缘概率密度.
同理可得 Y 的边缘分布函数
y
FY ( y) F (, y)
[ f (x, y)d x]d y,
2)
f ( x, y) d x d y F (,) 1.

3) 设G是xOy平面上的一个区域,点( X ,Y )落在G内
的概率为
P{(X ,Y )G} f (x, y) d x d y.
4)若f
(
x,
y)在(
x,
G
y )连续, 则有
2F
(
x,
y)

f ( x, y).
yx
F ( x, y)
f (u, v) d ud v

则 称( X ,Y )是 连 续 型 的 二 维 随 机 变量,函 数f ( x, y)
称 为 二 维 随 机 变 量( X ,Y ) 的 联 合 概 率 密 度 。
（2）概率密度的性质
1) f ( x, y) 0.

6, x2 y x,
f (x, y) 0,
其 它.
求边缘概率密度f X ( x), fY ( y).
解 当 0 x 1 时,
y

f X ( x)
f (x, y)d y

x
6d y x2
6( x x2 ).
y x
O
(1,1)
y x2 x
当 x 0 或 x 1时,
注：对于二维连续型随机变量有 F(x,y)连续
P( X = a ,Y = b ) = 0 P( X = a ,- < Y < + ) = 0 P(- < X < + , Y= a ) = 0
对平面xoy上任意曲线L，都有P{(X ,Y ) L} 0
例1 设二维随机变量( X , Y ) 具有概率密度
k(6 x y), 0 x 2, 2 y 4,
f ( x, y) 0,
其 它.
(1) 确定常数k; (2) 求P{ X 1,Y 3};
(3) 求P{ X 1.5}; (4) P{ X Y 4}.
解: (1)因为

f ( x, y)d x d y 1,
xy
说明：
几何上, z f ( x, y) 表示空间的一个曲面.

f ( x, y)d x d y 1,
表示介于 f(x, y)和 xOy 平面之间的空间区域的
全部体积等于1.
P{( X ,Y ) G} f ( x, y) d x d y
P{( X ,Y )G }的值等于G以G为底,以曲面z f ( x, y) 为顶面的柱体体积.

所以 2 4 k (6 x y)d y d x 1 k 1;
02
8
(2)
P{ X
1,Y

3}

13
0 2
1 8
(6
x
y)d
yd x

3; 8
(3) P{ X 1.5} 1.5 4 1 (6 x y)d y d x 27;
0 28
y
32
(4) P{X Y 4} P{X 4 Y } 4
4 4 y 1 (6 x y)d x d y 2 . 2
20 8
3
x 4 y x
3.2 边缘概率密度分布
定义3.2 设连续型随机变量( X ,Y )的概率
密度为 f (x, y),由于
x


fY ( y)
f (x, y)d x.

Y 的边缘概率密度.
注意：在求连续型随机变量的边缘密度时， 往往要对联合密度在一个变量取值范围上 进行积分. 当联合密度函数是分片表示的时 候，在计算积分时应特别注意积分限 .
（习题课教程P63例8-（1）） 例3 设随机变量X 和 Y 具有联合概率密度
第三节 二维连续型随机变量
一、 二维连续型随机变量及其概率密度 二、边缘概率密度 三、随机变量的独立性 四、二维均匀分布和正态分布
3.1 二维连续型随机变量及其概率密度
（1）定义3.1
对 于 二 维 随 机 变 量( X ,Y ) 的 分 布 函 数F ( x, y), 如 果 存 在 非 负 的 函 数f ( x, y) 使 对 于 任 意x, y 有
y

0.
(3) 将 ( X,Y )看作是平面上随机点的坐标,
即有 {Y X } {(X ,Y )G},
P{Y X } P{(X ,Y )G}
y
f (x, y) d x d y

G
dy
2e (2 x y) d x
0
y
O
1. 3
YX
G x
例2 设二维随机变量( X ,Y ) 具有概率密度