超几何分布、二项分布、正态分布[1]

超几何分布、二项分布、正态分布
1、超几何分布：
一般地，若一个随机变量x的分布列为：P(x＝r)＝①
其中r＝0，1，2，3，…… ，，＝min(n，M)，则称x服从超几何分布。

记作x～H(n，M，N)，并将P(x＝r)＝，记为H(r，n，M，N)。

如：在一批数量为N件的产品中共有M件不合格品，从中随机取出的n件产品中，不合格品数x的概率分布列如表一所示：
(表一)
其中＝min(n，M)，满足超几何分布。

2、伯努利试验(n次独立重复试验)，在n 次相互独立试验中，每次试验的结果仅有两种对立的结果A与出现，P(A)＝p∈(0，1)，这样的试验称为n 次独立重复试验，也称为伯努利试验。

P()＝1－p＝q，则在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率(0≤k≤n)为P(k)＝(k＝0，1，2，3，……，n)，它恰好是(q＋p)n的二项展开式中的第k＋1项。

3、二项分布：若随机变量x的分布列为p(x＝k)＝，其中0＜p＜1，p＋q＝1，k ＝0，1，2，……，n，则称x服从参数为n、p的二项分布，记作x～B(n，p)。

如：n次射击中，击中目标k次的试验或投掷骰子n次，出现k次数字5的试验等均满足二项分布。

3、正态分布曲线。

(1)概率密度曲线：当数据无限增多且组距无限缩小，那么频率直方图的顶边无限缩小乃至形成一条光滑的曲线，则称此曲线为概率密度曲线。

(2)正态密度曲线：概率密度曲线对应表达式为P(x)＝(x∈R)的曲线
称之为正态密度曲线。

正态密度曲线图象特征：
①当x＜μ时曲线上升；当x＞μ时曲线下降；当曲线向左右两边无限延伸时，以x轴为渐近线。

②正态曲线关于直线x＝μ对称。

③σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡。

④在正态曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为1。

4、正态分布：若x是一个随机变量，对任意区间，P恰好是正态密度曲线下方和x轴上上方所围成的图形的面积，我们就称随机变量x服从参数为μ和σ的正态分
布，简记为x～N(μ，σ2)。

在现实世界中很多随机变量遵循正态分布。

如：反复测量某一个物理量，其测量误差x通常被认为服从正态分布；某一地区同性别同年龄组儿童的体重W也近似地服从正态分布。

若x～N(μ，σ2)，则随机变量x在μ的附近取值的概率很大，在离μ很远处取值的概率很少。

如图一所示：随机变量x取值落在区间(μ－σ，μ ＋σ)上的概率约为68.3%，落在区间(μ－2σ，μ＋2σ)上的概率约为95.4%，落在区间(μ－3σ，μ＋3σ)上的概率约为99.7%。

其中，μ实际上就是随机变量x 的均值，σ2为随机变量x的方差，它们分别反映x取值的平均大小和稳定程度。

5、标准正态分布：正态分布N(0，1)称为标准正态分布，此时，P(x)＝(x∈R)，通过查标准正态分布表可以确定服从标准正态分布的随机变量的有关概率。

数学家们发现，在多种微小因素影响下，如果没有一种影响占主导地位，则这样的随机变量服从正态分布，特别是在独立地大数量重复试验时，就平均而言，任何一个随机变量的分布都将趋近于正态分布，这就是中心极限定理，中心极限定理告诉我们在平均重复观察多次后，我们可以利用正态分布对随机事件进行分析和预报。

可以证明，对任一正态分布x～N(μ，σ2)来说，都可以通过z＝转化为标准正态分布z～N(0，1)。

7、二项分布的近似计算。

对于二项分布函数，当n比较大，而p比较小(p≤0.1)，而乘积np大小“适中”时，可以利用近似公式P(x＝k)＝来计算。

【典型例题分析】
例1：高三(1)班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出5个球，摸到4个红球一个白球就中一等奖，求中一等奖的概率。

解：以30个球为一批产品，其中红球为“不合格品”，随机抽取5个球，x表示抽到的红球数，
则x服从超几何分布H(5，10，30)，
由超几何分布公式可得：H(4；5，10，30)＝≈0.0295，
所以获一等奖的概率约为2.95%。

例2：生产方提供50箱的产品中，有两箱不是合格产品，采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若其中的不合格产品不超过一箱，则接收该批产品，问：该批产品被接收的概率是多少？
解：用x表示5箱中的不合格品的箱数，
则x服从超几何分布H(5，2，50)，
这批产品被接收的条件是5箱中有0或1箱不合格产品，
故该产品被接收的概率为P(x≤1)即：
P(x≤1)＝P(x＝0)＋P(x＝1)＝
＝＝
＝
＝≈0.992
答：该批产品被接收的概率约为99.2%。

例3：求抛掷100次均匀硬币，正好出现50次正面向上的概率。

分析：将一枚均匀硬币随机抛掷100次，相当于做了100次独立重复试验，每次试验有两个可能结果，即出现正面(A)与出现反面()且P(A)＝P()＝0.5。

解：设x为抛掷100次硬币出现正面的次数，
依题意随机变量x～B(100，0.5)，
则P(x＝50)＝≈8%。

答：随机抛掷100 次均匀硬币，正好出现50 次正面的概率约为8%。

例4：某保险公司规定：投保者每人每年交付公司保险费120元的人身意外保险，则投保者意外伤亡时，公司将赔偿10000元，如果已知每人每年意外死亡的概率为0.006，若该公司吸收10000人参加保险，问该公司赔本及盈利额在400000元以上的概率分别有多大？
解：设这10000人中意外死亡的人数为x，
根据题意，x～B(10000，0.006)，P(x＝k)＝，
当死亡人数为x人时，公司要赔偿x万元，
此时，公司的利润为(120－x)万元，
由上述分布，公司赔本的概率为：
P(120－x<0)＝1－P(x≤120)＝1－＝1－≈0，这说明，公司几乎不会赔本，利润不少于400000元的概率为：
P(120－x≥40)＝P(x≤80)＝＝≈0.994，
即公司约有99.4%的概率可以赚到400000元以上。

例6：某批待出口的水果罐头，每罐净重x(g)服从正态分布N(184，2.52)，求：
(1)随机抽取一罐，其实际净重超过184.5g的概率。

(2)随机抽取一罐，其实际净重在179g与189g之间的概率。

解：(1)P(x＞184.5)＝P＝P(z＞0.2)＝1－P(z≤0.2)＝1－0.5793＝0.4207。

(2)P(179＜x≤189)＝P
＝P(－2＜z≤2)＝P(z≤2)－P(z≤－2)
＝P(z≤2)－P(z≥2)＝P(z≤2)－[1－P(z≤2)]
＝2P(z≤2)－1＝2×0.9772－1＝0.9544
答：随机抽取一罐，其实际净重超过184.5g的概率是0.4207，在179g与189g之间的概率是0.9544。

例7：某电话站为300个电话用户服务，在一个小时内每一个电话用户，使用电话的概率等于0.01，求在一个小时内有4个用户使用电话的概率。

解：设A表示一个用户在这一小时内使用电话的事件，
记p＝P(A)＝0.01，q＝P()＝0.99，
本题相当于进行300次独立的贝努利试验，事件A出现的次数k＝4，
故其所求概率为P(k)＝≈＝
≈0.169。