二维随机变量及独立性--教学设计
二维随机变量的独立性
令 x=1 , y=2 , f (1, 2 ) fX ( 1) fY (2 ),
1
1 1
பைடு நூலகம்
2 12 1 2 2 1 2 2
=0.
1/2
4/20 2/20 4/20
问X与Y相互独立吗？
pij pi• p• j
解： 设（X，Y）的边缘分布律为
Y
x
-1 0
2
pi.
1/2 2/20 1/20 2/20 1/4
1 2/20 1/20 2/20 1/4
2 4/20 2/20 4/20 1/2
p .j
2/5 1/5 2/5
下面判断X、Y是否相互独立。
例 设随机变量 X 和Y 相互独立,并且 X 服从 N (a, σ 2 ),Y 在 [b,b] 上服从均匀分布, 求 ( X ,Y ) 的联合概率密度.
解： 由于X 与Y 相互独立, 所以 f ( x, y) fX ( x) fY ( y)
X ~ N(, 2)
则fX (x)
1
e ,
(2)若X,Y相互独立，由
P{X xi ,Y yj} P{X xi Y yj} P{Y yj}
P{Y yj X xi} P{X xi}
P{X xi Y y j} P{X xi}; P{Y y j X xi} P{Y y j}
当0 y 1时，fY ( y)
y 8xydx 4 y3,则
0
4 y3，0 y 1 fY ( y) 0，其他
f (x, y) fX (x) fY ( y)
X , Y不独立。
例 已知 (X, Y) 的联合概率密度为
《概率论与数理统计》教案第13课二维随机变量的条件分布
课题二维随机变量的条件分布课时2课时(90min)教学目标知识技能目标：(1)理解二维随机变量的条件分布(2)理解二维离散型随机变量的边缘分布律(3)理解二维连续型随机变量的边缘概率密度素质目标：(1)帮助学生树立正确看待随机现象的世界观,掌握统计估计的思想与方法教学重难点教学重点：二维随机变量的条件分布，二维离散型随机变量的边缘分布律教学难点：二维连续型随机变量的边缘概率密度教学方法讲练结合法、问答法、讨论法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学过程主要教学内容及步骤课前任务【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过APP或其他学习软件，搜集并了解二维随机变量条件分布的相关知识【学生】完成课前任务考勤【教师】使用APP进行签到【学生】按照老师要求签到互动导入【教师】提出问题什么是条件分布？【学生】思考、讨论、回答传授新知【教师】通过大家的发言，引入新的知识点，讲解二维随机变量条件分布的相关知识【教师】介绍条件分布的概念对于二维随机变量来说，要描述(X f Y)整体的统计规律，可用联合分布;要描述单个分量的统计规律，可用边缘分布;而当一个分量固定取一个值时,在此条件下考虑另一个分量的统计规律,这就是所谓的条件分布.以下同样分别从离散型和连续型随机变量来讨论它们的条件分布.一、离散型设(X'丫)是二维离散型随机变量，其分布率为P(X=Xi,Y=yj)=Pij(J,j=l,2,)(X'丫)关于X和Y的边缘分布率为P(X三x∕)三ΣPy=Pi.(，=1，2,)J=I9p(y=x)=£p,=p,j(/=1,2，)r=l设R/>°，考虑在事件"=")已经发生的条件下事件(X=XJ 发生的概率，由条件概率公式可得P(X=X,Y=y)P尸-W 而k =方―,)易知上述条件概率具有分布率的性质：P(X=x i ∖Y=y j )...0.∖三/f SP(X=XjlY=X)==—∑⅞-1=1 (2Ji 日Pj P J i=∣Pj于是引入下面的定义.定义1设(X'丫)是二维离散型随机变量，对于固定的j ,若'"=»)>°,则称P(X=x i ∖Y=y)=P(x=X 'tY=>>p =⅛(i=ι,2,) 'PGF Pr (3-U) 为,=为条件下随机变量X 的条件分布率.同样，对于固定的i,若P(X=Xj >°,则称P(X=Xy=y)p始7"“)=Pfn ”2,)为在X=Xi 条件下随机变量Y 的条件分布率.条1牛分布率就是在边缘分布率的基础上都加上"另一个随机变量取定某值”这个条件. 从定义易知，条件分布率也满足非负性和规范性.例1设(X'')的联合分布率如表3-12所示.表3-121 2 00.1 0.3 0.1 1 0.2 0.2 0.1求在y=°条件下，X 的条件分布率；χ=ι条件下Y 的条件分布率.……(详见教材)二、连续型设(x'y)是二维连续型随机变量这时由于对任意的X')，有P(X=X)=°,P(y=y)=()因此不能直接用条件概率公式引入"条件分布函数"了.考虑o ,v3ctll1v 、P(X^χt y<Yy+ε) P(X^∖χ∖y<y y+£)=——-~⅛ ------------------------ U — P(y<y,,y+ε) 当C 很小时，在某些条件下有P(X 别加“y+上瞎爱打:甯必(3-15)∫r÷4 /(χ,y)dy y因此，给出以下定义./(χ,y)定义2设(''V的概率密度为/(“'田，4(y)为Y的边缘密度，对于固定的y,八°,)为在丫=>条件下X的条件概率密度，记为册α∣y)=gι1人⑴，(3.16)并称∕⅛(x∣y)=P(X,,Xly=y)=匚窗II ck为在Y=丁条I牛下X的条件分布函数.类似地，可以定义源(川外-/()JX⑶(3-17)及∕⅛(yI外=P(K,y∖x=χ)=J：由，例2设二维随机变量(X'V具有概率密度r -»X2+J2…1»/(χ>y)=¼0,其他.求/种(Xly)解- 2y j"y?Λ(J)=∫∕*,y)口=π,ιn,.0, 其他.于是，对符合I川”1的一切y,有f(x,y) i----- IXL,Ji y»Λ∣rU∣^)=277f=2√1-/λo0,其他.【学生】聆听、思考、理解、记忆【教师】给出题目，组织学生以小组为单位进行解题把三个球等可能地放入编号为1,2,3的三个盒子中,每盒可容球数无限记X为落入1号盒fi弼激，Y为落入2号盒的屐，求：(1)在Y=O的条件下，X的分布律；拓展训练(2)在X=2的条件下，Y的分布律.【学生】聆听、思考、讨论、解题【教师】公布正确答案，讲解解题步骤【学生】对比答案和解题步骤，提高自身解题技巧课堂小结【教师】简要总结本节课的要点二维随机变量的条件分布二维离散型随机变量的边缘分布律二维连续型随机变量的边缘概率密度【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业(I)完邮材中的习题3-3；(2)除APP蝌酵习平相【学生】完成课后任务教学反思。
《概率学》3.2_3.3二维随机变量的边缘分布及独立性
连续型
f (x, y)
第三章 多维随机变量及其分布
（X，Y）边缘分布
FX(x) = F（x,＋∞） F Y(y) = F（＋∞, y）
pi .=P{X= xi}= pij i=1, 2, ..., j 1
p.j=P{Y= yj}= pij j=1, 2, ..., i 1
连续型 f (x, y)
第三章 多维随机变量及其分布
（X，Y）边缘分布
FX(x)=（
）
F Y(y) =（
）
pi .=P{X= xi}（=
）
p.j=P{Y= yj}=（
）
f X ( x) （
）
fY ( y) （
）
作答
1
8
山东农业大学公共数学系概率统计课程组 版权所有
第2节 二维随机变量的边缘分布
第三章 多维随机变量及其分布
f X (x)
f (x, y)dy
fY ( y)
f (x, y)dx
1
7
山东农业大学公共数学系概率统计课程组 版权所有
主第观2节题二维随2机分变量的填边缘空分布 填空
( X, Y )联合分布 一般 F(x,y)= P{X ≤ x,Y≤y}
离散型 P{X=xi ,Y=y j}= pi j
i, j=1, 2, ...,
1
2
fX (x)
f (x, y)dy
1
exp{ 1 (u2 2u v2)}dv
21 1 2
2(1 2)
1
u2
e2
1
exp{ (v u)2 }dv
2 1
2 1 2
2(1 2)
第三节二维随机变量的独立性
X Y y1 y2 … yj … x1 p11 p12 ... p1j ... x2 p21 p22 ... P2j ...
xi pi1 pi2 ... Pij ...
3. 联合分布律的性质 ：
(1) pij 0；(2) pij＝1.
F ( x1 ,, xn ) FX1 ( x1 )FX2 ( x2 )FXn ( xn )
则称X1 , X2, …, Xn 相互独立，或称(X1 , X2, …, Xn )是独立的.
一、二维离散型随机变量
1. 定义：若二维随机变量(X, Y)只能取至多可列个值(xi, yj), (i, j＝1, 2, … )，则称(X, Y)为二维离散型随机变量。
2. 联合分布律： 若二维随机变量(X, Y) 取 (xi, yj)的概率为Pij, 则称P{X＝xi, Y＝ yj}＝ Pij为随机变量(X, Y)的分布律，
等价定义：设X, Y为两个随机变量，如果对任意实数a<b, c<d， 有P{a<Xb, c<Yd} =P{a<Xb}P{c<Yd}，即事件{a<Xb}与 事件{c<Yd} 独立，则称随机变量X与Y相互独立.
2. 独立的充要条件 (1) 设( X，Y )为离散型随机变量，分布律为 pij，则 X与Y相互独立 pij pi. p. j . (2) 设( X，Y )为连续型随机变量，概率密度为 f ( x，y)，则
例2. 设( X，Y )的分布律为 且X与 Y独立，求a，b.
XY 1 2 0 0.15 0.15 1 ab
例2. 设( X，Y )的分布律为 且X与 Y独立，求a，b.
2.4 概率论——二维随机变量的独立性
y
FY ( y) F(, y) [ f ( x, v)dx]dv,
故X,Y 的 边缘密度函数为：
fX ( x) FX ( x)
f ( x, y)dy,
fY ( y) FY ( y)
f ( x, y)dx,
例2：设（X，Y）服从下列区域上的二维均匀分布，
试求X，Y的边缘概率密度。
y
(1)D ( x, y) | 0 x 2,0 y 1 1
2.4 二维随机变量的独立性
一、二维随机变量的边缘分布
随机向量( X ,Y )中, X ,Y的分布分别称为关于X、Y的 边缘分布。X, Y的分布函数 FX ( x), FY ( y) 称为边缘分布函数。
巳知 (X, Y) 的联合分布函数为 F(x, y)， 则易知：
FX x PX x PX x,Y F x, FY y PY y PX ,Y y F , y
次击中目标所进行的射击次数，以 Y 表示总共进行 的射击次数 . 试求 X 和 Y 的联合分布及条件分布.
解 依题意，{Y=n} 表示在第n次射击时击中目 标 , 且在前n-1次射击中有一次击中目标. {X=m} 表 首次击中目标时射击了m次 .
1 2 ……m…………. n-1 n
n次射击 击中
击中
j
P{[( X xi ) (Y y j )]}
j
P{X xi ,Y y j }
j
pij pi• (i 1,2, ) j
同理，Y的边缘分布
P{Y y j } pij p• j i
( j 1,2, )
XY
x1 x2 xi
p• j
y1 y2 y j pi•
p11 p12 p1 j p1•
暂时固定
二维随机变量及独立性--教学设计
概率论与数理统计教学设计课程名称概率论与数理统计课时100分钟任课教师刘涛专业与班级财务管理B1601---B1606课型新授课课题二维随机变量及其分布教材分析“二维随机变量及其分布”属于教材第三章内容，位于教材的第75页至第93页.是在前一章“一维随机变量及其分布”的概念提出的基础上，对两个及两个以上的随机变量进行描述。
可以说，二维随机变量及其分布是对前一章一维随机变量内容的总结以及综合应用。
学习目标知识与技能了解二维随机变量的背景来源；了解二维随机变量的基本思想；掌握二维随机变量的适用范围、基本步骤及其具体运用。
过程与方法通过日常生活中常常出现的实例的引入，引导学生分析、解决问题，培养学生将实际问题转化为数学问题的能力，培养学生提出、分析、理解问题的能力，进而发展整合所学知识解决实际问题的能力。
情感态度与价值观通过介绍概率论与数理统计在实际生活中的运用，激发学生自主学习的兴趣，也培养了学生的创新意识和探索精神。
教学分析教学内容1.二维随机变量及联合分布函数定义2.二维离散型随机变量及联合概率函数3.二维连续型随机变量及联合概率密度4.二维随机变量的边缘分布5.随机变量的相互独立性教学重点二维离散型、连续随机变量及其分布，相互独立性教学难点二维连续型随机变量及其分布教学方法与策略板书设计前50分：1.引例 3.二维离散变量2.联合分布函数定义 4.二维连续变量后50分：5.边缘分布6.相互独立性教学时间设计1.引导课题…………2分钟2.学生活动…………3分钟3.二维随机变量及联合分布函数定义……15分钟4.二维离散型随机变量及联合概率函数……10分钟5.二维连续型随机变量及联合概率密度……20分钟6.二维随机变量的边缘分布……20分钟7.随机变量的相互独立性……25分钟8.课堂小结…………5分钟教学手段多媒体播放教学视频、PPT演示与板书演练书写相结合。
教学进程教学意图教学内容教学理念。
二维随机变量及独立性--教学设计课题
概率论与数理统计教学设计不大于实数的概率，并把联合分布函数记为，即．3．联合分布函数的性质(1)； (2 )是变量(固定)或(固定)的非减函数；(3) ，； (4) 是变量(固定)或(固定)的右连续函数； (5) ．例题：设二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数为(,)(arctan )(arctan )F x y A B x C y =++求：常数,,(,)A B C x y -∞<<+∞-∞<<+∞解：由分布函数(,)F x y 的性质得：lim (arctan )(arctan )()()122lim (arctan )(arctan )()(arctan )02lim (arctan )(arctan )(arctan )()02x y x y A B x C y A B C A B x C y A B C y A B x C y A B x C ππππ→+∞→+∞→-∞→-∞++=++=++=-+=++=+-=由以上三式可解得：21,,22A B C πππ===教师给予引导，提出的问题上。
y (,)F x y (,)(,),,F x y P X x Y y x y =≤≤-∞<<+∞-∞<<+∞0(,)1F x y ≤≤(,)F x y x y y x (,)0,(,)0lim lim x y F x y F x y →-∞→-∞==(,)0,(,)1lim lim x x y y F x y F x y →-∞→+∞→-∞→+∞==(,)F x y x y y x 121222211211(,)(,)(,)(,)(,)P x X x y Y y F x y F x y F x y F x y <≤<≤=--+1．也可用下边的概率分布表表示：分）5.二维连续型随机变量及联合概率密度（1）对于二维随机变量(X，Y)的分布函数，如果存在一个二元非负函数，使得对于任意一对实数有成立，则为二维连续型随机变量，为二维连续型随机变量的联合概率密度．（2）二维连续型随机变量及联合概率密度的性质①；②；③设为二维连续型随机变量，则对任意一条平面曲线，有；’④在的连续点处有;⑤设为二维连续型随机变量，则对平面上任一区域有例.求在D上服从均匀分布的随机变量（X,Y）的密度函数和分布函数，其中D为x轴、y轴及直线y=2x+1围城的三角形区域。
《随机事件的独立性》 教学设计
《随机事件的独立性》教学设计一、教学目标1、知识与技能目标（1）学生能够理解随机事件独立性的概念。
（2）掌握判断两个随机事件是否独立的方法。
（3）能运用随机事件独立性解决实际问题。
2、过程与方法目标（1）通过实例分析，培养学生观察、分析和归纳的能力。
（2）引导学生进行逻辑推理，提高学生的数学思维能力。
3、情感态度与价值观目标（1）让学生感受数学与实际生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。
（2）培养学生严谨的治学态度和勇于探索的精神。
二、教学重难点1、教学重点（1）随机事件独立性的概念。
（2）独立事件概率的计算方法。
2、教学难点（1）对随机事件独立性概念的理解。
（2）判断两个随机事件是否独立。
三、教学方法讲授法、讨论法、案例分析法、练习法四、教学过程1、课程导入（约 5 分钟）通过展示一些生活中的随机现象，如抽奖、掷骰子等，引导学生思考这些事件之间的关系，从而引出随机事件独立性的概念。
例如：在抽奖活动中，先抽和后抽是否会影响中奖的概率？2、概念讲解（约 15 分钟）（1）定义：设 A、B 是两个随机事件，如果 P(AB) ＝ P(A)P(B)，则称事件 A 与事件 B 相互独立。
（2）解释：如果事件 A 的发生与否不影响事件 B 发生的概率，事件 B 的发生与否也不影响事件 A 发生的概率，那么 A 和 B 就是相互独立的事件。
通过简单的例子帮助学生理解，如：抛一枚硬币两次，第一次抛硬币正面朝上（事件 A）和第二次抛硬币正面朝上（事件 B），这两个事件就是相互独立的。
（1）例 1：一个袋子里有 3 个红球和 2 个白球，从中先后取出两个球，设事件 A 为“第一次取出红球”，事件 B 为“第二次取出红球”，判断 A、B 是否独立。
分析：第一次取出球后，袋子里球的数量和种类发生了变化，所以P(B|A) ≠ P(B)，A、B 不是独立事件。
（2）例 2：同时掷两个骰子，设事件 A 为“第一个骰子点数为1”，事件 B 为“两个骰子点数之和为8”，判断 A、B 是否独立。
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概率论与数理统计教学设计
即
(,)(,),,
F x y P X x Y y x y
=≤≤-∞<<+∞-∞<<+∞
．
3．联合分布函数的性质
(1) 0(,)1
F x y
≤≤；
(2 ) (,)
F x y是变量x(固定y)或y(固定x)
的非减函数；
(3)
(,)0,(,)0
lim
lim
x y
F x y F x y
→-∞→-∞
==
，
(,)0,(,)1
lim
lim
x x
y y
F x y F x y
→-∞→+∞
→-∞→+∞
==
；
(4) (,)
F x y是变量x(固定y)或y(固定x)
的右连续函数；
(5)
121222211211
(,)(,)(,)(,)(,)
P x X x y Y y F x y F x y F x y F x y <≤<≤=--+
．
例题：设二维随机变量(,)
X Y的联合分布函数为(,)(arctan)(arctan)
F x y A B x C y
=++
上。
M M L M L M
i x
1i p
L
ij p
L
ij
j
p
∑
M
M
L
M
L
()
j P Y y =
1
i i
p
∑ L
ij
i
p
∑
L
1
5.二维连续型随机变量及联合概率密度
（1）对于二维随机变量(X ，Y)的分布函数(,)F x y ，如果存在一个二元非负函数(,)f x y ，使得对于任意一对实数(,)x y 有
111
1
224
OAB
S=⨯⨯=
V
所以由均匀分布的定义可得，（X,Y）的联合密度函
数为：
4,(,)
(,)
0,
x y D
f x y
∈
⎧
=⎨
⎩其他
下面来求（X,Y）的分布函数，
(,)(,),(,)
x y
F x y f s t dtds x y
-∞-∞
=-∞<<+∞-∞<<+∞
⎰⎰
（1）当
1
2
x y
<-<
或时，(,)=0
F x y
（2）当
1
0,021
2
x y x
-≤<≤<+时
2
1
2
(,)=442
y x
y
F x y dt ds xy y y
-
=+-
⎰⎰
（3）当
1
0,21
2
x y x
-≤<≥+时
212
1
2
(,)4441
x x
F x y ds dy x x
+
-
==++
⎰⎰
（4）当0,01
x y
≥≤<时
02
1
2
(,)=42
y
y
F x y dt ds y y
-
=-
⎰⎰
（5）当0,1
x y
≥≥时
021
1
2
(,)=41
x
F x y ds dt
+
-
=
⎰⎰
综上所述，
2
2
2
42
(,)=
441
2
1
xy y y
F x y
x x
y y
⎧
⎪
⎪
⎪-+
⎪
⎪
⎨
++
⎪
⎪
⎪
-
⎪
⎪
⎩
1
2
1
0,021
2
1
0,21
2
0,01
0,1
x y
x y x
x y x
x y
x y
<-<
-≤<≤<+
-≤<≥+
≥≤<
≥≥
或
6.二维随机变量的边缘分布
设(,)
F x y为二维随机变量(,)
X Y的联合分布函数，称
x y F y
(,)(,)。