二维随机变量及其分布题目

一、单项选择题1．设随机变量21,X X 独立，且21}1{}0{====i i X P X P （2,1=i ），那么下列结论正确的是 （ ）A .21X X =B .1}{21==X X PC .21}{21==X X P D .以上都不正确 2设X 与Y 相互独立，X 服从参数为12的0—1分布，Y 服从参数为13的0—1分布，则方程220t Xt Y ++=中t 有相同实根的概率为（A ）13 （B ）12 （C ）16 （D ）23[] 3．设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为()22,02,14,(,)0,.k x y x y f x y ⎧+<<<<⎪=⎨⎪⎩其他则k 的值必为 （A ）130 （B ）150 （C ）160 （D ）180[] 4．设（X ，Y ）的联合密度函数为,0,(,)0,.ye x yf x y -⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他(1)P X Y +≥则概率为（A ）1122ee --- （B ）12e e --- （C ）1e - （D ）21e -- []5．设随机变量X 与Y 相互独立，而且X 服从标准正态分布N （0，1），Y 服从二项分布 B （n ，p ），0<p<1，则X+Y 的分布函数（A ）是连续函数 （B ）恰有n+1个间断点（C ）恰有1个间断点 （D ）有无穷个间断点 []6．设X 与Y 相互独立，~(0,2),X U Y 的密度函数为(),0,0, 0.y Y e y f y y -⎧≥=⎨<⎩则 (1)P X Y +≥为（A ）11e -- （B ）21e -- （C ） 1112e --（D ）212e -- [] 二、填空题1 ),(Y X 的分布函数为),(y x F ，则=-∞),(y F ， ),(Y X 的分布函数为),(y x F ，则=+),0(y x F ； ),(Y X 的分布函数为),(y x F ，则=+∞),(x F 随机点),(Y X 落在矩形域],[2121y y y x x x ≤<≤<的概率为 2若（X ，Y ）的联合密度(2),0,0,(,)0,.x y Aex y f x y -+⎧>>⎪=⎨⎪⎩其他，______,(2,1)____.A P X Y =≤≤=则常数3 设3P{0,0}7X Y ≥≥=，4{0}{0}7P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 4 设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=其它042,20)6(),(y x y x k y x f ，则=k81. 且区域=D {}3|),(≤+y x y x ，则概率=∈}),{(D Y X P5 设123123~(0,2),~(1,3),~(0,6),,,X N X N X N X X X 且相互独立，则 123(2328)P X X X ≤++≤=_________。

6 随机变量),(Y X 的分布如下，写出其边缘分布.7设),(y x f 是Y X ,的联合分布密度，)(x f X 是X 的边缘分布密度，则=⎰∞+∞-)(x f X.8 如果随机变量),(Y X 的联合概率分布为231α β则βα,应满足的条件是 ；若X 与Y 相互独立，则=α ，=β . 9 设Y X ,相互独立，)1.0(~),1,0(~N Y N X ，则),(Y X 的联合概率密度=),(y x f ，Y X Z +=的概率密度=)(Z f Z . 10、 设 ( ξ 、 η ) 的 联 合 分 布 函 数 为()()()()⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-+-+++= y x y x y x A y x F 00,0111111,222则 A =_____。

11设X 服从参数为1的泊松分布，Y 服从参数为2的泊松分布，而且X 与Y 相互独立，则(max(,)0)_______. (min(,)0)_______.P X Y P X Y ≠=≠=12 设X 与Y 相互独立，均服从[1，3]上的均匀分布，记(),A X a =≤(),B Y a => 7()9P A B ⋃=且，则a=_______. 13 二维随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为221()21sin sin (,)(,),2x y x y f x y e x y π-++=-∞<<+∞ 则两个边缘密度为_________.三．解答题1 一个袋中有三个球,依次标有数字 1, 2, 2,从中任取一个, 不放回袋中 , 再任取一个, 设每次取球时,各球被取到的可能性相等,以 X , Y 分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字 ,求 ( X , Y ) 的分布律与分布函数.2．箱子里装有12件产品，其中2件是次品，每次从箱子里任取一件产品，共取2次，定义随机变量12,X X 如下：0,,1,i i X i ⎧=⎨⎩第次取出正品第次取出次品.试分别在下面两种情况下求出（12,X X ）的联合分布律和关于12,X X 的边缘分布律：（1） 放回抽样；（2） 不放回抽样。

3、设随机变量),(Y X 的密度函数为⎩⎨⎧>>=+-其它0,0),()43(y x ke y x f y x(1)确定常数k (2)求),(Y X 的分布函数 (3)求}20,10{≤<≤<Y X P4设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为()(6),02,24,,0,.k x y x y f x y --≤≤≤≤⎧⎪=⎨⎪⎩其他试求：（1）k 的值；（2）(2,3)P X Y ≤≤； （3）3()2P X ≤； （4）(4).P X Y +≤ 5 设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤+=其它020,103/),(2y x xy x y x f 求}1{≥+Y X P6 设二维随机变量(X,Y)服从区域D 上的均匀分布，求一元 二次方程220t Xt Y ++=有实根的概率，其中区域D 为{(,)|01,01}D x y x y =<<<<7 设 随 机 变 量 (ξ , η)的 分 布 函 数 为 F x y A B arctg xC arctg y (,)()()=++23求：( 1 )系 数 A , B 及 C 的 值 ， ( 2 ) (ξ , η)的 联 合 概 率 密 度 ϕ(x , y)。

8一电子器件包含两部分，分别以Y X ,记这两部分的寿命(以小时记)，设),(Y X 的分布函数为⎩⎨⎧≥≥+--=+---其它00,01),()(01.001.001.0y x e e e y x F y x y x(1)问X 和Y 是否相互独立？ (2)并求}120,120{>>Y X P9． 设二维离散型随机变量),(Y X 的概率分布如右图，试求：（1）分别关于、X Y 的边缘概率分布,并判断X 与Y 的独立性； （2）协方差),cov(Y X ； （3）概率}{Y X P >；（4）在0=X 的条件下Y 的条件分布律；（5）随机变量Y X Z 2=的概率分布。

10 设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度函数为 试求: (1)常数c ; (2)X 与Y 的边缘密度函数.11 设（X , Y ）为连续型随即变量，其密度函数为： 3(,)(,)8y x y Df x y ⎧∈⎪=⎨⎪⎩其他其中D 为由x y x y -=+=2,2和0=y 围成的区域，试求：（1）Y X ,的边缘分布密度；（2）Y X ,是否独立；（3）cov(X ,Y )；（4）}2{≤+Y X P 。

12．（设二维随机变量),(Y X 的密度函数为：⎩⎨⎧≤≤≤=其他01010),(2x y y x y x f（1）求),(Y X 分别关于X 和Y 的边缘密度函数)(x f X 和)(y f Y ； （2）判断X 与Y 是否相互独立，并求条件密度函数)5.0|(|y f X Y 。

13．（本题16分）已知二维随机变量),(Y X 的联合分布密度为：⎩⎨⎧≤≤≤≤=其他00,10),(xy x k y x f （1）求常数k ；（2）求边际分布密度)(x f X ； （3）求条件概率密度)|(|x y f X Y ； （4）求}1{≤+Y X P 。

P72页第2，3,4题 P75页1， 3，4和5. P79页 2，3和5. P86页 1，2,3,4,514 X,Y 相互独立，其分布密度函数各自为⎪⎩⎪⎨⎧<≥=00021)(21x x e x f x X⎪⎩⎪⎨⎧<≥=00031)(3y y ey f yY()0,,0.ycxe x y f x y -⎧<<<+∞=⎨⎩其它求Y X Z +=的密度函数.四、综合应用题.设随机变量(,)X Y 的联合分布律为4,01,01,(,)0,.xy x y f x y ≤≤≤≤⎧=⎨⎩其他 试求（1）边缘概率密度()X f x ，()Y f y ；（2）判断X 和Y 的独立性.。