随机变量的独立性判别

分类号：密级：毕业论文（本科生）论文题目（中文）随机变量的独立性判别论文题目（外文）The discrimination of the independence ofrandom variables学生姓名导师姓名、职称学生所属学院专业年级诚信责任书本人郑重声明：本人所呈交的毕业论文（设计），是在导师的指导下独立进行研究所取得的成果。

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（请在以上选项内选择其中一项打“√”）论文作者签名：导师签名：日期：日期：随机变量的独立性判别摘要随机变量独立性的判别历来都是高等学校概率论与数理统计教学的一个课题, 通过研究文献资料，理解随机变量及其独立性的相关概念，对离散型和连续型随机变量综合列举的几种常见求法，讨论几种常见的随机变量独立性判别方法并对其进行概括、总结，加深自己对随机变量及其分布的理解，争取有新的发现。

关键词：随机变量独立性连续型离散型判别方法The discriminant of the independence of randomvariablesAbstract：The discriminant of independence of random variables has always been a very important topic in colleges and universities Probability Theory and Mathematical Statistics teaching . By studying literature, understand the independence of random variables and their related concepts, integrated to discrete and continuous random variables listed several common methods, discusses several common discrimination methods of the independence of random variables and to summarize it, deepen their understanding of random variable and its distribution, and strive for new discoveriesKey words:random variables independence continuous type discrete type methods of the discriminant目录中文摘要 (I)英文摘要 (II)引言.......................................................................................................... I II 1. 相关知识介绍.......................................................... 错误！未定义书签。

1.1随机变量 (1)1.2独立性 (1)1.3概率矩阵 (1)1. 4联合分布函数 (2)1.5概率密度函数 (2)1.6相关系数 (3)2.二维随机变量独立性判别 (4)2.1相关系数判别法 (4)2.2分布函数或概率密度判别法 (4)2.3 概率矩阵法 (6)2.4 概率密度分解法 (7)3. n维随机变量独立性判别 (9)3.1 边际密度判别法 (9)3.2 边际密度分解法 (10)4.结论 (12)参考文献 (12)致谢 (13)论文（设计）成绩 (14)引言改革开放以来, 随着我国经济的持续快速发展和改革开放力度的不断深化扩大,随着科技的不断进步和进一步应用于现实生活，国际经济的变化趋势也越来越直接影响我国经济的发展, 随机变量和其独立性在金融、精算、保险等领域得到越来越大的重视，随机变量及其独立性的研究也就越来越重要。

并且概率论中随机变量的研究对我国的经济、科技的发展都有着密不可分的联系, 知识经济、社会可以时代离我们已不遥远, 在概率论的研究中, 研究随机现象的独立性, 尤其显得重要。

它是许多定理和分布成立的前提条件但到目前为止, 关于随机变量独立性研究的文献还不是很多, 而且概率统计书中对此问题介绍也比较少, 仅给出定义和少数几种判定方法而已，而通常, 掌握好这个问题, 对于我们培养抽象概括能力、空间想象能力、逻辑推广能力和自学能力, 以及研究这个课题在经济社会中的应用价值的体现, 都有很大的帮助。

下面就对判别随机变量独立性的若干方法进行说明。

1. 预备知识研究随机变量的独立性就要对相关的知识进行了解，本节就对相关知识讲解，为以下的判定方法的介绍铺垫理论基础。

1.1 独立性1.1.1 事件的独立性设A,B 是两事件,如果满足等，P(AB)=P(A)P(B),则称事件A ，B 统计独立，简称独立的。

按照定义，必然事件Ω，不可能事件Φ与任何事件独立。

除此之外，由上述定义可知，A 与B 的位置顺序可以互换，因而可称事件A,B 相互独立。

1.1.2 随机变量的独立性定义1.1.2.1设1ξ，n ξξ...,2，为n 个随机变量，若对于任意的n 1...χχ，，成立 P{1ξ<1x ,····，n ξ<n x }=P{1ξ<1x }···P{n ξ<n x } 则称1ξ，···，n ξ是相互独立的。

定义1.1.2.2若i ξ的分布函数为()x F i ，i=1，2，···，n ，他们的联合分布函数为 F( 1x ,···, n x )，则上述定义2.2.1等价于对一切的1x ,···, n x 成立F( 1x ,···, n x )＝()n 1x F ···()n x F n 1.2概率矩阵 若A=()m i ip p p p p (121)+T ,B=()n j p p p p (21)分别为随机变量X ，Y 的边际概率分布矩阵，则C=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛mn mjm m in iji i n j n j p p p p p p p p p p p p p p p p ................................................ (21)21222221111211为X 与Y 联合分布概率矩阵 表1.二维随机变量（X,Y)的联合概率分布表1.3联合分布函数设1ξ（ω），2ξ（ω），3ξ（ω），···，n ξ（ω）是定义在同一个样本空间Ω上的随机变量，则称n 维向量（1ξ（ω），2ξ（ω），···，n ξ（ω））为是样本空间Ω上的n 维随机变量，并称n 元函数F （1x ，2x ···n x ）=P （1ξ（ω）≤1x ，···，n ξ（ω）≤n x ）为n 维随机变量（1ξ（ω），2ξ（ω），···，n ξ（ω））的联合分布函数。

也简称联合分布或者分布。

1.4概率密度函数如果),(y x F 是变量),(Y X 的联合分布函数，若存在函数),(y x P ，对任意y x ,有()()⎰⎰∞-∞-=xydudv v u p y x F ,,成立，则称()y x F ,是一个连续性的分布函数，并且称),(y x P 是变量),(Y X 的联合密度函数，简称密度。

由分布函数的性质可知，任意的二元密度函数()y x p ,具有以下两点性质： ⑴()0,≥y x p ； ⑵()()1,=∞+∞+=⎰⎰+∞∞-+∞∞-，F dudv v u p 1.5 相关系数()，并且是一个二维的随机变量，若ηξ,0,0>>ηξD D不相关。

与，则定义的相关系数为与若随机变量ηξηξ0=r2.二维随机变量的独立性判别在相关知识的基础上，就二维随机变量的独立性进行简要介绍。

设(ηξ，)是概率空间(Ω,F,P)上的二维随机向量,如果∀(x,y )∈2R ,均有()()()y P x P y x P <<=<<ηξηξ·,或者()()()y F x F y x F ηξ·,=成立，那么称随机变量F 与G 相互独立。

以下就以二维随机变量（ηξ，）为例介绍二维随机变量判别的若干方法。

2.1相关系数判别法：定理2.2.1 若二维随机变量ηξ，独立，则不相关与ηξ。

证明：（只对连续型随机变量进行证明)因为ηξ，独立，则其密度函数()()()y p x p y x p 21·,=，因此，()()()()dxdy E y E x y x p y x ηξ--=⎰⎰+∞∞-+∞∞-,,Cov=()()()()dy y p E y dx x p E x 21·⎰⎰+∞∞-+∞∞---ηξ=0因为二者独立，则()()ηξηξηξηξηξηξD D D E E E E E E +=+=+=+以及·,，注：相关系数判别法，是一种在易于求的期望、方差的情况下判定二维随机变量相互独立的一个简便方法，同样在n 维情况下同样适用。

例1.设[]的均匀分布服从πθ2,0，()为定值a a ,cos ,cos +==θηθξ，试确定二者独立性关系。