【2021中考数学】几何压轴— 圆的综合含答案
1 几何压轴—圆的综合
1．如图，AB是⊙O的直径，AC⊥AB，BC交⊙O于点D，点E在劣弧BD上，DE的延长线交AB的延长线于点F，连接AE交BD于点G．
（1）求证：∠AED＝∠CAD；
（2）若点E是劣弧BD的中点，求证：ED2＝EG•EA；
（3）在（2）的条件下，若BO＝BF，DE＝1.5，求EF的长．
2．如图，AB是半圆O的直径，点C是半圆上不同于A，B的一动点，在弧BC上取点D，使∠DBC＝∠ABC，DE为半圆O的切线，过点B作BF⊥DE于点F．
（1）求证：∠DBF＝2∠CAD；
（2）连接OC，CD．探究：当∠CAB等于多少度时，四边形COBD为菱形，并且写出证明过程．
3．如图，在平面直角坐标系中，⊙P经过x轴上一点C，与y轴分别相交于A，B两点，连接AP并延长分别交⊙P、x轴于点D、点E，接DC并延长交y轴于点F，过点D作DH⊥x
2 轴于点H．若点D、F的坐标分别是（6，﹣1），（0，1）．
（1）求证：△FOC≌△DHC；
（2）判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由．
4．如图，点A在x轴的正半轴上，以OA为直径作⊙P，C是⊙P上一点，过点C的直线与x轴、y轴分别相交于点D、点E，连接AC并延长与y轴相交于点B，点B的坐标为（0，）．
（1）求证：OE＝CE；
（2）请判断直线CD与⊙P位置关系，证明你的结论，并请求出⊙P的半径长．
5．如图，D、E是以AB为直径的圆O上两点，且∠AED＝45°，过点D作DC∥AB．
（1）请判断直线CD与圆O的位置关系，并说明理由；
（2）若圆O的半径为，sin∠ADE＝，求AE得长；
（3）过点D作DF⊥AE，垂足为F，直接写出线段AE、BE、DF之间的数量关系 ．
3
6．如图所示，△ABC中，AB是⊙O的直径，AC和BC分别和⊙O相交于点D和E，在BD上截取BF＝AC，延长AE使AG＝BC．求证：
（1）CG＝CF；
（2）CG⊥CF．
7．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠P＝44°．
（Ⅰ）如图①，若点C为优弧AB上一点，求∠ACB的度数；
（Ⅱ）如图②，在（Ⅰ）的条件下，若点D为劣弧AC上一点，求∠PAD+∠C的度数．
4 8．已知⊙O的直径AB＝4，C为⊙O上一点，AC＝2．
（1）如图①，点P是上一点，求∠APC的大小；
（2）如图②，过点C作⊙O的切线MC，过点B作BD⊥MC于点D，BD与⊙O交于点E，求∠DCE的大小及CD的长．
9．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，BC．
（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）若AB＝6，AC＝3，求EC和PB的长．
10．如图，直线AF与⊙O相切于点A，弦BC∥AF，连接BO并延长，交⊙O于点E，连接CE并延长，交AF于点D．
（1）求证：CE∥OA；
（2）若⊙O的半径R＝13，BC＝24，求DE的长．
5
6 参考答案
1．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AC⊥AB，
∴∠CAB＝90°，
∴∠ABD＝∠CAD，
∵＝，
∴∠AED＝∠ABD，
∴∠AED＝∠CAD；
（2）证明：∵点E是劣弧BD的中点，
∴＝，
∴∠EDB＝∠DAE，
∵∠DEG＝∠AED，
∴△EDG∽△EAD，
∴，
∴ED2＝EG•EA；
（3）解：连接OE，
∵点E是劣弧BD的中点，
∴∠DAE＝∠EAB，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠AEO，
∴∠AEO＝∠DAE，
7 ∴OE∥AD，
∴，
∵BO＝BF＝OA，DE＝，
∴，
∴EF＝3．
2．（1）证明：连接OD，
∵DE为半圆O的切线，BF⊥DE，
∴∠ODF＝∠BFD＝90°，
∴OD∥BF，
∴∠DBF＝∠ODB，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵∠DBC＝∠ABC，
∴∠OBD＝2∠CBD，
∵∠CBD＝∠CAD，
∴∠DBF＝2∠CAD；
（2）当∠CAB＝60°时，四边形COBD为菱形，
证明：∵AB是直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
∵∠CAB＝60°，
∴∠ABC＝30°，
∵∠DBC＝∠ABC，
∴∠ABD＝2∠ABC＝60°，
∴∠DAB＝30°，
∵∠DAB＝∠DCB，
∴∠DCB＝30°，
∴∠DCB＝∠ABC，
∴CD∥AB，
8 ∵∠COA＝2∠ABC，
∴∠COA＝∠ABD，
∴OC∥BD，
∴四边形COBD是平行四边形，
又∵OC＝OB，
∴四边形COBD是菱形．
3．（1）证明：∵点F的坐标为（0，1），点D的坐标为（6，﹣1），
∴DH＝OF，
在△FOC与△DHC中，
，
∴△FOC≌△DHC（AAS）；
（2）解：⊙P与x轴相切．理由如下：
如图，连接CP．
∵△FOC≌△DHC，
∴DC＝CF，
∵AP＝PD，
∴CP∥AF，
∴∠PCE＝∠AOC＝90°，即PC⊥x轴．
又PC是半径，
∴⊙P与x轴相切．
9
4．解：（1）证明：连接OC，
∵直线y＝x+2与y轴相交于点E，
∴点E的坐标为（0，2），即OE＝2．
又∵点B的坐标为（0，4），
∴OB＝4，
∴BE＝OE＝2，
又∵OA是⊙P的直径，
∴∠ACO＝90°，即OC⊥AB，
∴OE＝CE（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
（2）直线CD是⊙P的切线．
①证明：连接PC、PE，由①可知：OE＝CE．
在△POE和△PCE，，
∴△POE≌△PCE，
∴∠POE＝∠PCE．
又∵x轴⊥y轴，
∴∠POE＝∠PCE＝90°，
∴PC⊥CE，即：PC⊥CD．
又∵直线CD经过半径PC的外端点C，
∴直线CD是⊙P的切线；
②∵对，当y＝0时，x＝﹣6，即OD＝6，
10 在Rt△DOE中，，
∴CD＝DE+EC＝DE+OE＝．
设⊙P的半径为r，则在Rt△PCD中，由勾股定理知PC2+CD2＝PD2，
即 r2+（）2＝（6+r）2，
解得 r＝6，即⊙P的半径长为6．
5．解：（1）直线CD与圆O相切；
理由如下：连接OD，
∵∠AED＝45°，
∴∠AOD＝2∠AED＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠CDO＝∠AOD＝90°，即OD⊥CD，
∴直线CD与圆O相切；
（2）∵AB为圆O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵∠B＝∠ADE，
∴sinB＝sin∠ADE＝，
∵圆O的半径为，
∴AB＝13，
11 又∵sinB＝＝，
∴AE＝12；
（3）过D作DG⊥EB，交EB的延长线于点G，连接DB，
∵AB是圆O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵∠AED＝45°，
∴∠BED＝∠AED＝45°，
∴ED平分∠AEB，
∵DF⊥AE，DG⊥EB，
∴DF＝DG，
∴四边形DFEB为正方形，
∴DF＝EF＝EG，
∵∠AOD＝∠BOD＝90°，
∴AD＝BD，
∴Rt△ADF≌Rt△BDG（HL），
∴AF＝BG，
∴AE+BE＝EF+EG＝2EF＝2DF，
故答案为：AE+BE＝2DF．
6．证明：（1）由圆周角定理可得∠CAG＝∠FBC，
在△CAG与△FBC中，
，
∴△CAG≌△FBC（SAS），
∴CG＝CF；
12 （2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠CEG＝∠AEB＝90°，
∴∠G+∠GCE＝90°，
∵△CAG≌△FBC，
∴∠G＝∠BCF，
∴∠BCF+∠GCE＝90°，
∴CG⊥CF．
7．解：（Ⅰ）∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°，∠OBP＝90°，
∴∠AOB＝360°﹣∠OAP﹣∠OBP﹣∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣44°＝136°，
∴∠ACB＝AOB＝68°；
（Ⅱ）连接AB，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，
∵∠P＝44°，
∴∠PAB＝∠PBA＝（180°﹣44°）＝68°，
∵∠DAB+∠C＝180°，
∴∠PAD+∠C＝∠PAB+∠DAB+∠C＝180°+68°＝248°．
8．解：（1）连接OC，
∵AB为⊙O的直径，AB＝2AC，
∴OA＝OC＝AC，
∴△AOC是等边三角形，
2021年中考数学第三轮专题冲刺复习：圆的综合(含答案)
2021年中考数学第三轮专题冲刺复习：圆的综合
1、如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，且AE⊥CD，垂足为点E．
（1）求证：直线CE是⊙O的切线．
（2）若BC=3，CD=3，求弦AD的长．
2、如图，AN是M的直径，//NBx轴，AB交M于点C．
（1）若点00,6,0,2,30ANABN，求点B的坐标；
（2）若D为线段NB的中点，求证：直线CD是M的切线．
3、如图，⊙O与Rt△ABC的直角边AC和斜边AB分别相切于点C、D，与边BC相交于点F，OA与CD相交于点E，连接FE并延长交AC边于点G．
（1）求证：DF∥AO；
（2）若AC=6，AB=10，求CG的长．
4、如图，以AB边为直径的⊙O经过点P,C是⊙O上一点，连结PC交AB于点E，
且60ACP，PDPA.
（1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若点C是弧AB的中点，已知4AB，求CPCE的值.
5、如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是⊙O外一点且∠DBC=∠A，连接OE延长与圆相交于点F，与BC相交于点C．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为6，BC=8，求弦BD的长．
6、如图，AB是⊙O的直径，点E是上的一点，∠DBC=∠BED．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）已知AD=3，CD=2，求BC的长．
7、如图，BF为⊙O的直径，直线AC交⊙O于A，B两点，点D在⊙O上，BD平分∠OBC，DE⊥AC于点E．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若 BF=10，sin∠BDE=，求DE的长．
8、如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连接DE、OE．
(1)判断DE与⊙O的位置关系并说明理由；
(2)若tanC＝，DE＝2，求AD的长．
中考数学压轴题专题复习——圆的综合的综合含答案
中考数学压轴题专题复习——圆的综合的综合含答案
一、圆的综合
1．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点D在BCuuur上，点E在弦AB上（E不与A重合），且四边形BDCE为菱形．
（1）求证：AC=CE；
（2）求证：BC2﹣AC2=AB•AC；
（3）已知⊙O的半径为3．
①若ABAC=53，求BC的长；
②当ABAC为何值时，AB•AC的值最大？
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）①BC=42；②32
【解析】
分析：（1）由菱形知∠D=∠BEC，由∠A+∠D=∠BEC+∠AEC=180°可得∠A=∠AEC，据此得证；
（2）以点C为圆心，CE长为半径作⊙C，与BC交于点F，于BC延长线交于点G，则CF=CG=AC=CE=CD，证△BEF∽△BGA得BEBGBFBA，即BF•BG=BE•AB，将BF=BC-CF=BC-AC、BG=BC+CG=BC+AC代入可得；
（3）①设AB=5k、AC=3k，由BC2-AC2=AB•AC知BC=26k，连接ED交BC于点M，Rt△DMC中由DC=AC=3k、MC=12BC=6k求得DM=22CDCM=3k，可知OM=OD-DM=3-3k，在Rt△COM中，由OM2+MC2=OC2可得答案．②设OM=d，则MD=3-d，MC2=OC2-OM2=9-d2，继而知BC2=（2MC）2=36-4d2、AC2=DC2=DM2+CM2=（3-d）2+9-d2，由（2）得AB•AC=BC2-AC2，据此得出关于d的二次函数，利用二次函数的性质可得答案．
详解：（1）∵四边形EBDC为菱形，
∴∠D=∠BEC，
∵四边形ABDC是圆的内接四边形，
∴∠A+∠D=180°，
又∠BEC+∠AEC=180°，
∴∠A=∠AEC， ∴AC=CE；
（2）以点C为圆心，CE长为半径作⊙C，与BC交于点F，于BC延长线交于点G，则CF=CG，
由（1）知AC=CE=CD，
2020-2021中考数学圆的综合-经典压轴题含答案
2020-2021中考数学圆的综合-经典压轴题含答案
一、圆的综合
1．如图1，直角梯形OABC中，BC∥OA，OA=6，BC=2，∠BAO=45°．
（1）OC的长为 ；
（2）D是OA上一点，以BD为直径作⊙M，⊙M交AB于点Q．当⊙M与y轴相切时，sin∠BOQ= ；
（3）如图2，动点P以每秒1个单位长度的速度，从点O沿线段OA向点A运动；同时动点D以相同的速度，从点B沿折线B﹣C﹣O向点O运动．当点P到达点A时，两点同时停止运动．过点P作直线PE∥OC，与折线O﹣B﹣A交于点E．设点P运动的时间为t（秒）．求当以B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时点E的坐标．
【答案】（1）4；（2）35；（3）点E的坐标为（1，2）、（53，103）、（4，2）．
【解析】
分析：（1）过点B作BH⊥OA于H，如图1（1），易证四边形OCBH是矩形，从而有OC=BH，只需在△AHB中运用三角函数求出BH即可．
（2）过点B作BH⊥OA于H，过点G作GF⊥OA于F，过点B作BR⊥OG于R，连接MN、DG，如图1（2），则有OH=2，BH=4，MN⊥OC．设圆的半径为r，则MN=MB=MD=r．在Rt△BHD中运用勾股定理可求出r=2，从而得到点D与点H重合．易证△AFG∽△ADB，从而可求出AF、GF、OF、OG、OB、AB、BG．设OR=x，利用BR2=OB2﹣OR2=BG2﹣RG2可求出x，进而可求出BR．在Rt△ORB中运用三角函数就可解决问题．
（3）由于△BDE的直角不确定，故需分情况讨论，可分三种情况（①∠BDE=90°，②∠BED=90°，③∠DBE=90°）讨论，然后运用相似三角形的性质及三角函数等知识建立关于t的方程就可解决问题．
详解：（1）过点B作BH⊥OA于H，如图1（1），则有∠BHA=90°=∠COA，∴OC∥BH．
∵BC∥OA，∴四边形OCBH是矩形，∴OC=BH，BC=OH．
2020-2021中考数学压轴题之圆的综合(中考题型整理,突破提升)附详细答案
2020-2021中考数学压轴题之圆的综合(中考题型整理,突破提升)附详细答案
一、圆的综合
1．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点D在BCuuur上，点E在弦AB上（E不与A重合），且四边形BDCE为菱形．
（1）求证：AC=CE；
（2）求证：BC2﹣AC2=AB•AC；
（3）已知⊙O的半径为3．
①若ABAC=53，求BC的长；
②当ABAC为何值时，AB•AC的值最大？
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）①BC=42；②32
【解析】
分析：（1）由菱形知∠D=∠BEC，由∠A+∠D=∠BEC+∠AEC=180°可得∠A=∠AEC，据此得证；
（2）以点C为圆心，CE长为半径作⊙C，与BC交于点F，于BC延长线交于点G，则CF=CG=AC=CE=CD，证△BEF∽△BGA得BEBGBFBA，即BF•BG=BE•AB，将BF=BC-CF=BC-AC、BG=BC+CG=BC+AC代入可得；
（3）①设AB=5k、AC=3k，由BC2-AC2=AB•AC知BC=26k，连接ED交BC于点M，Rt△DMC中由DC=AC=3k、MC=12BC=6k求得DM=22CDCM=3k，可知OM=OD-DM=3-3k，在Rt△COM中，由OM2+MC2=OC2可得答案．②设OM=d，则MD=3-d，MC2=OC2-OM2=9-d2，继而知BC2=（2MC）2=36-4d2、AC2=DC2=DM2+CM2=（3-d）2+9-d2，由（2）得AB•AC=BC2-AC2，据此得出关于d的二次函数，利用二次函数的性质可得答案．
详解：（1）∵四边形EBDC为菱形，
∴∠D=∠BEC，
∵四边形ABDC是圆的内接四边形，
∴∠A+∠D=180°，
又∠BEC+∠AEC=180°，
∴∠A=∠AEC， ∴AC=CE；
（2）以点C为圆心，CE长为半径作⊙C，与BC交于点F，于BC延长线交于点G，则CF=CG，
2020-2021备战中考数学——圆的综合的综合压轴题专题复习及答案解析
2020-2021备战中考数学——圆的综合的综合压轴题专题复习及答案解析
一、圆的综合
1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连结AC，过»BD上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连结AE交CD于点F，且EG=FG，连结CE．
（1）求证：∠G=∠CEF；
（2）求证：EG是⊙O的切线；
（3）延长AB交GE的延长线于点M，若tanG =34，AH=33，求EM的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）2538.
【解析】
试题分析：（1）由AC∥EG，推出∠G=∠ACG，由AB⊥CD推出»»ADAC，推出∠CEF=∠ACD，推出∠G=∠CEF，由此即可证明；
（2）欲证明EG是⊙O的切线只要证明EG⊥OE即可；
（3）连接OC．设⊙O的半径为r．在Rt△OCH中，利用勾股定理求出r，证明△AHC∽△MEO，可得AHHCEMOE，由此即可解决问题；
试题解析：（1）证明：如图1．∵AC∥EG，∴∠G=∠ACG，∵AB⊥CD，∴»»ADAC，∴∠CEF=∠ACD，∴∠G=∠CEF，∵∠ECF=∠ECG，∴△ECF∽△GCE．
（2）证明：如图2中，连接OE．∵GF=GE，∴∠GFE=∠GEF=∠AFH，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，∵∠AFH+∠FAH=90°，∴∠GEF+∠AEO=90°，∴∠GEO=90°，∴GE⊥OE，∴EG是⊙O的切线．
（3）解：如图3中，连接OC．设⊙O的半径为r．
在Rt△AHC中，tan∠ACH=tan∠G=AHHC=34，∵AH=33，∴HC=43，在Rt△HOC中，∵OC=r，OH=r﹣33，HC=43，∴222(33)(43)rr，∴r=2536，∵GM∥AC，∴∠CAH=∠M，∵∠OEM=∠AHC，∴△AHC∽△MEO，∴AHHCEMOE，∴33432536EM，∴EM=2538．
点睛：本题考查圆综合题、垂径定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，正确寻找相似三角形，构建方程解决问题吗，属于中考压轴题．
2020-2021中考数学与圆的综合有关的压轴题附答案
2020-2021中考数学与圆的综合有关的压轴题附答案
一、圆的综合
1．如图，点A、B、C分别是⊙O上的点， CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，AP=AC．
（1）若∠B=60°，求证：AP是⊙O的切线；
（2）若点B是弧CD的中点，AB交CD于点E，CD=4，求BE·AB的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）8．
【解析】
（1）求出∠ADC的度数，求出∠P、∠ACO、∠OAC度数，求出∠OAP=90°，根据切线判定推出即可；
（2）求出BD长，求出△DBE和△ABD相似，得出比例式，代入即可求出答案．
试题解析：连接AD，OA，
∵∠ADC=∠B，∠B=60°，
∴∠ADC=60°，
∵CD是直径，
∴∠DAC=90°，
∴∠ACO=180°-90°-60°=30°，
∵AP=AC，OA=OC，
∴∠OAC=∠ACD=30°，∠P=∠ACD=30°，
∴∠OAP=180°-30°-30°-30°=90°，
即OA⊥AP，
∵OA为半径，
∴AP是⊙O切线．
（2）连接AD，BD，
∵CD是直径，
∴∠DBC=90°，
∵CD=4，B为弧CD中点，
∴BD=BC=，
∴∠BDC=∠BCD=45°，
∴∠DAB=∠DCB=45°，
即∠BDE=∠DAB，
∵∠DBE=∠DBA，
∴△DBE∽△ABD，
∴，
∴BE•AB=BD•BD=．
考点：1．切线的判定；2．相似三角形的判定与性质．
2．如图，⊙M交x轴于B、C两点，交y轴于A，点M的纵坐标为2．B（﹣33，O），C（3，O）．
（1）求⊙M的半径；
（2）若CE⊥AB于H，交y轴于F，求证：EH=FH．
（3）在（2）的条件下求AF的长．
【答案】（1）4；（2）见解析;（3）4．
【解析】
【分析】
（1）过M作MT⊥BC于T连BM，由垂径定理可求出BT的长，再由勾股定理即可求出BM的长； （2）连接AE，由圆周角定理可得出∠AEC=∠ABC，再由AAS定理得出△AEH≌△AFH，进而可得出结论；
2020-2021备战中考数学—圆的综合的综合压轴题专题复习及详细答案
2020-2021备战中考数学—圆的综合的综合压轴题专题复习及详细答案
一、圆的综合
1．如图，点A、B、C分别是⊙O上的点， CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，AP=AC．
（1）若∠B=60°，求证：AP是⊙O的切线；
（2）若点B是弧CD的中点，AB交CD于点E，CD=4，求BE·AB的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）8．
【解析】
（1）求出∠ADC的度数，求出∠P、∠ACO、∠OAC度数，求出∠OAP=90°，根据切线判定推出即可；
（2）求出BD长，求出△DBE和△ABD相似，得出比例式，代入即可求出答案．
试题解析：连接AD，OA，
∵∠ADC=∠B，∠B=60°，
∴∠ADC=60°，
∵CD是直径，
∴∠DAC=90°，
∴∠ACO=180°-90°-60°=30°，
∵AP=AC，OA=OC，
∴∠OAC=∠ACD=30°，∠P=∠ACD=30°，
∴∠OAP=180°-30°-30°-30°=90°，
即OA⊥AP，
∵OA为半径，
∴AP是⊙O切线．
（2）连接AD，BD，
∵CD是直径，
∴∠DBC=90°，
∵CD=4，B为弧CD中点，
∴BD=BC=，
∴∠BDC=∠BCD=45°，
∴∠DAB=∠DCB=45°，
即∠BDE=∠DAB，
∵∠DBE=∠DBA，
∴△DBE∽△ABD，
∴，
∴BE•AB=BD•BD=．
考点：1．切线的判定；2．相似三角形的判定与性质．
2．如图，已知△ABC内接于⊙O，BC交直径AD于点E，过点C作AD的垂线交AB的延长线于点G，垂足为F．连接OC．
（1）若∠G=48°，求∠ACB的度数；
（2）若AB=AE，求证：∠BAD=∠COF；
（3）在（2）的条件下，连接OB，设△AOB的面积为S1，△ACF的面积为S2．若tan∠CAF=12，求12SS的值．
【答案】（1）48°（2）证明见解析（3）34 【解析】
2020-2021中考数学圆的综合-经典压轴题及答案
2020-2021中考数学圆的综合-经典压轴题及答案
一、圆的综合
1．如图，已知四边形ABCD是矩形，点P在BC边的延长线上，且PD=BC，⊙A经过点B，与AD边交于点E，连接CE .
（1）求证：直线PD是⊙A的切线；
（2）若PC=25，sin∠P=23，求图中阴影部份的面积（结果保留无理数）．
【答案】（1）见解析；（2）20-4π.
【解析】
分析：（1）过点A作AH⊥PD，垂足为H，只要证明AH为半径即可.
（2）分别算出Rt△CED的面积，扇形ABE的面积，矩形ABCD的面积即可.
详解：（1）证明：如图，过A作AH⊥PD，垂足为H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，∠PCD=∠BCD=90°，
∴∠ADH=∠P，∠AHD=∠PCD=90°，
又PD=BC，∴AD=PD，
∴△ADH≌△DPC，∴AH=CD，
∵CD=AB，且AB是⊙A的半径，
∴AH=AB,即AH是⊙A的半径，
∴PD是⊙A的切线.
（2）如图，在Rt△PDC中，∵sin∠P=23CDPD，PC=25 ，
令CD=2x，PD=3x，由由勾股定理得：（3x）2-(2x)2=(25)2，
解得：x=2，∴CD=4，PD=6，
∴AB=AE=CD=4，AD=BC=PD=6，DE=2，
∵矩形ABCD的面积为6×4=24，Rt△CED的面积为12×4×2=4， 扇形ABE的面积为12π×42=4π，
∴图中阴影部份的面积为24-4-4π=20-4π.
点睛：本题考查了全等三角形的判定，圆的切线证明，三角形的面积，扇形的面积，矩形的面积.
2．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆O的三等分点，过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E，过点D作DF⊥AB于点F，交⊙O于点H，连接DC，AC．
（1）求证：∠AEC=90°；
（2）试判断以点A，O，C，D为顶点的四边形的形状，并说明理由；
2020-2021中考数学—圆的综合的综合压轴题专题复习及答案
2020-2021中考数学—圆的综合的综合压轴题专题复习及答案
一、圆的综合
1．图 1 和图 2 中，优弧»AB纸片所在⊙O 的半径为 2，AB＝23 ，点 P为优弧»AB上一点（点 P 不与 A，B 重合），将图形沿 BP 折叠，得到点 A 的对称点 A′．
发现：
（1）点 O 到弦 AB 的距离是 ，当 BP 经过点 O 时，∠ABA′＝ ；
（2）当 BA′与⊙O 相切时，如图 2，求折痕的长．
拓展：把上图中的优弧纸片沿直径 MN 剪裁，得到半圆形纸片，点 P（不与点 M， N 重合）为半圆上一点，将圆形沿 NP 折叠，分别得到点 M，O 的对称点 A′， O′，设∠MNP＝α．
（1）当α＝15°时，过点 A′作 A′C∥MN，如图 3，判断 A′C 与半圆 O
的位置关系，并说明理由；
（2）如图 4，当α＝ °时，NA′与半圆 O 相切，当α＝ °时，点 O′落在»NP上．
（3）当线段 NO′与半圆 O 只有一个公共点 N 时，直接写出β的取值范围．
【答案】发现：（1）1，60°；（2）23；拓展：（1）相切，理由详见解析；（2）45°；30°；（3）0°＜α＜30°或 45°≤α＜90°．
【解析】
【分析】
发现：（1）利用垂径定理和勾股定理即可求出点O到AB的距离；利用锐角三角函数的定义及轴对称性就可求出∠ABA′．
（2）根据切线的性质得到∠OBA′=90°，从而得到∠ABA′=120°，就可求出∠ABP，进而求出∠OBP=30°．过点O作OG⊥BP，垂足为G，容易求出OG、BG的长，根据垂径定理就可求出折痕的长．
拓展：（1）过A'、O作A'H⊥MN于点H，OD⊥A'C于点D．用含30°角的直角三角形的性质可得OD=A'H=12A'N=12MN=2可判定A′C与半圆相切；
（2）当NA′与半圆相切时，可知ON⊥A′N，则可知α=45°，当O′在»PB时，连接MO′，则可知NO′=12MN，可求得∠MNO′=60°，可求得α=30°；
2020-2021中考数学压轴题之圆的综合(中考题型整理,突破提升)附答案解析
2020-2021中考数学压轴题之圆的综合(中考题型整理,突破提升)附答案解析
一、圆的综合
1．如图，已知△ABC内接于⊙O，BC交直径AD于点E，过点C作AD的垂线交AB的延长线于点G，垂足为F．连接OC．
（1）若∠G=48°，求∠ACB的度数；
（2）若AB=AE，求证：∠BAD=∠COF；
（3）在（2）的条件下，连接OB，设△AOB的面积为S1，△ACF的面积为S2．若tan∠CAF=12，求12SS的值．
【答案】（1）48°（2）证明见解析（3）34
【解析】
【分析】
（1）连接CD，根据圆周角定理和垂直的定义可得结论；
（2）先根据等腰三角形的性质得：∠ABE=∠AEB，再证明∠BCG=∠DAC，可得
»»»CDPBPD ，则所对的圆周角相等，根据同弧所对的圆周角和圆心角的关系可得结论；
（3）过O作OG⊥AB于G，证明△COF≌△OAG，则OG=CF=x，AG=OF，设OF=a，则OA=OC=2x-a，根据勾股定理列方程得：（2x-a）2=x2+a2，则a=34x，代入面积公式可得结论．
【详解】
（1）连接CD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
∴∠ACB+∠BCD=90°，
∵AD⊥CG，
∴∠AFG=∠G+∠BAD=90°，
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠ACB=∠G=48°； （2）∵AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB，
∵∠ABC=∠G+∠BCG，∠AEB=∠ACB+∠DAC，
由（1）得：∠G=∠ACB，
∴∠BCG=∠DAC，
∴»»CDPB，
∵AD是⊙O的直径，AD⊥PC，
∴»»CDPD，
∴»»»CDPBPD，
∴∠BAD=2∠DAC，
∵∠COF=2∠DAC，
∴∠BAD=∠COF；
（3）过O作OG⊥AB于G，设CF=x，
∵tan∠CAF=12=CFAF ，
∴AF=2x，
∵OC=OA，由（2）得：∠COF=∠OAG，