2018年高考理科数学第一轮复习教案34 不等关系与不等式
最新2018届高考数学第一轮复习教案7
高三一轮复习 6.1不等关系与不等式【教学目标】1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系．2.了解不等式(组)的实际背景．【重点难点】1.教学重点：掌握不等式的性质及比较两个数大小的方法；2.教学难点：学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力；【教学策略与方法】自主学习、小组讨论法、师生互动法【教学过程】1．作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a >b ，a －b ＝0⇔a ＝b ，a －b <0⇔a <b .2．作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab >1⇔a >b a ∈R ，b，ab ＝1⇔a ＝b a ∈R ，b ，a b<1⇔a <b a ∈R ，b知识点2 不等式的性质(1)对称性：a >b ⇔b <a ；(双向性) (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ；(单向性)(3)可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；(双向性) a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；(单向性) (4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc ；a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；(单向性)(5)乘方法则：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)；(单向性)(6)开方法则：a >b >0⇒na >nb (n ∈N ，n ≥2)．(单向性)1．必会结论；(1)不等式的倒数性质①⎩⎨⎧a >b ，ab >0⇒1a <1b ；②a >0>b ⇒1a >1b .评分标准：65分以上为能力超强60~65分为能力强55~60分为能力较强50~55分为能力一般50分以下为能力差凡事发生，必有利我！因为凡事都是我赋予它意义，它才对我有意义。
2018版高考数学(全国、理科)一轮复习课件：第33讲 不等关系与不等式
课前双基巩固
3．[教材改编] 若 0<a<b，且 a＋b＝1，则将 a，b，2ab，a2＋b2 按从小到大的顺序排列为 ________________．
课前双基巩固
对点演练
题组一
常识题
1． [教材改编] 完成一项装修工程， 请木工需付工资 每人 50 元，请瓦工需付工资每人 40 元，现有工人 工资预算 2000 元，设请木工 x 人，请瓦工 y 人，则 工人的人数满足的关系式是________．
5x＋4y≤200， * [答案] x≥0，x∈N ， y≥0，y∈N*
化为(1－x)－(5－x)<2， 即－4<2，∴当 x<1 时原不等式 恒成立；当 1≤x≤5 时，原不等 式化为(x－1)－(5－x)<2，即 x<4，∴不等式的解集为[1，4)； 当 x>5 时，原不等式化为(x－1) －(x－5)<2，即 4<2，此时不等 式不成立． 故原不等式的解集为 (－∞，4)．
[答案] a<2ab<a2＋b2<b
[解析] ∵0<a<b，a＋b＝1， 1 1 ∴b>2，a<2. 1 3 3 令 a＝4，b＝4，则 2ab＝8， 1 9 10 5 2 2 a ＋b ＝ ＋ ＝ ＝ ， 16 16 16 8 ∴a<2ab<a2＋b2<b.
课前双基巩固
4．[教材改编] 设
π π α∈0， ，β∈0， ， 2 2
[解析] 依题意，得 50x＋ 40y≤2000，即 5x＋ 4y≤200，故满足的不等式 5x＋4y≤200， * 组为x≥0，x∈N ， y≥0，y∈N*.
课标通用2018年高考数学一轮复习不等式选讲学案理选修4_52017101421
§选修4－5不等式选讲考纲展示►1.理解绝对值三角不等式的代数证明和几何意义，能利用绝对值三角不等式证明一些简单的绝对值不等式．2．掌握|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法．3．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法，并能用它们证明一些简单不等式．考点1含绝对值不等式的解法1.绝对值三角不等式(1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b| ≤________，当且仅当________时，等号成立；(2)性质：|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|；(3)定理2：如果a，b，c是实数，则|a－c|≤________，当且仅当________时，等号成立．答案：(1)|a|＋|b|ab≥0(3)|a－b|＋|b－c|(a－b)(b－c)≥02．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解法不等式a>0 a＝0 a<0|x|<a ________ ________ _______|x|>a ________ ________ R(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c⇔____________；②|ax＋b|≥c⇔____________.(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法解法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；解法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；解法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．答案：(1){x|－a<x<a}∅∅{x|x>a，或x<－a}{x|x∈R，且x≠0}(2)①－c≤ax＋b≤c②ax＋b≥c或ax＋b≤－c[典题1]解不等式|x－1|＋|x＋2|≥5.[解]解法一：如图，设数轴上与－2,1对应的点分别是A，B，则不等式的解就是数轴上到A，B两点的距离之和不小于5的点所对应的实数．显然，区间[－2,1]不是不等式的解集．把A向左移动一个单位到点A1，此时|A1A|＋|A1B|＝1＋4＝5.把点B向右移动一个单位到点B1，此时|B1A|＋|B1B|＝5，故原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．解法二：原不等式|x－1|＋|x＋2|≥5⇔Error!或Error!或Error!解得x≥2或x≤－3，∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．解法三：将原不等式转化为|x－1|＋|x＋2|－5≥0.令f(x)＝|x－1|＋|x＋2|－5，则f(x)＝Error!作出函数的图象如图所示．由图象可知，当x∈(－∞，－3]∪[2，＋∞)时，y≥0，∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．[点石成金]形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此处设a＜b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；(2)几何法，利用|x－a|＋|x－b|＞c(c＞0)的几何意义：数轴上到点x1＝a和x2＝b的距离之和大于c的全体；(3)图象法：作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图象，结合图象求解.x 解不等式|x＋3|－|2x－1|＜＋1.2解：①当x＜－3时，x 原不等式化为－(x＋3)－(1－2x)＜＋1，2解得x＜10，∴x＜－3.1 ②当－3≤x＜时，2x 原不等式化为(x＋3)－(1－2x)＜＋1，22解得x＜－，52∴－3≤x＜－.51 ③当x≥时，2x 原不等式化为(x＋3)－(2x－1)＜＋1，2解得x＞2，∴x＞2.2 综上可知，原不等式的解集为xx<－或x>2.5考点2含参数的绝对值不等式问题[典题2]已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.(1)当a＝－2时，求不等式f(x)<g(x)的解集；2- 3 -[解](1)当a＝－2时，不等式f(x)＜g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0.设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，则y＝Error!其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x∈(0,2)时，y＜0.∴原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．a 1(2)∵a＞－1，则－＜，2 2∴f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|＝Error!a 1当x∈[－，2)时，f(x)＝a＋1，2a 1即a＋1≤x＋3在x∈[ 2)上恒成立．－，2a 4∴a＋1≤－＋3，即a≤，2 34( 3].∴a的取值范围为－1，[点石成金]不等式有解是不等式的存在性问题，只要求存在满足条件的x即可；不等式的解集为R是指不等式的恒成立，而不等式的解集∅的对立面(如f(x)＞m的解集是空集，则f(x)≤m恒成立)也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即f(x)＜a恒成立⇔a＞f(x)max，f(x)＞a恒成立⇔a＜f(x)min.- 4 -(3)不等式的解集为∅.解：解法一：因为|x＋1|－|x－3|表示数轴上的点P(x)与两定点A(－1)，B(3)距离的差，即|x＋1|－|x－3|＝|PA|－|PB|.由绝对值的几何意义知，|PA|－|PB|的最大值为|AB|＝4，最小值为－|AB|＝－4，即－4≤|x＋1|－|x－3|≤4.(1)若不等式有解，a只要比|x＋1|－|x－3|的最大值小即可，故a＜4.(2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，只要a比|x＋1|－|x－3|的最小值还小，即a＜－4.(3)若不等式的解集为∅，a只要不小于|x＋1|－|x－3|的最大值即可，即a≥4.解法二：由|x＋1|－|x－3|≤|x＋1－(x－3)|＝4，|x－3|－|x＋1|≤|(x－3)－(x＋1)|＝4，可得－4≤|x＋1|－|x－3|≤4.(1)若不等式有解，则a＜4.(2)若不等式的解集为R，则a＜－4.(3)若不等式解集为∅，则a≥4.考点3不等式的证明方法1.基本不等式定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．a＋b定理2：如果a，b为正数，则≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立．2a ＋b＋c定理3：如果a，b，c为正数，则≥3 abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．3定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1，a2，…，a n为n个正数，则a1＋a2＋…＋a n≥，当且仅当a1＝a2＝…＝a n时，等号成立．n a1a2…a nn2．不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等．①求差比较法a>b⇔a－b>0，a<b⇔a－b<0，因此要证明a>b，只要证明________即可，这种方法称为求差比较法．②求商比较法aa>b>0⇔>1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时要证明a>b，只要证明________即可，这种b方法称为求商比较法．(2)分析法从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的________，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)．这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法．(3)综合法从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，推导出所要证明的不等式成立，即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法．(4)反证法的证明步骤第一步：作出与所证不等式________的假设；第二步：从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立．a答案：(1)①a－b>0②>1(2)充分条件b(4)相反[典题3]设a，b，c＞0，且ab＋bc＋ca＝1.求证：(1)a＋b＋c≥3；a b c(2) ＋＋≥3( a＋b＋c)．bc ac ab[证明](1)要证a＋b＋c≥3，由于a，b，c＞0，因此只需证明(a＋b＋c)2≥3.即证a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，而ab＋bc＋ca＝1，故需证明a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)．即证a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.a2＋b2 b2＋c2 c2＋a2而这可以由ab＋bc＋ca≤＋＋＝a2＋b2＋c2(当且仅当a＝b＝c时等号2 2 2成立)证得．∴原不等式成立．a b c a＋b＋c(2) ＋＋＝.bc ac ab abc由于(1)中已证a＋b＋c≥3，1因此要证原不等式成立，只需证明≥a＋b＋c，abc即证a bc＋b ac＋c ab≤1，即证a bc＋b ac＋c ab≤ab＋bc＋ca.ab＋ac而a bc＝ab·ac≤，2ab＋bc bc＋acb ac≤，c ab≤，2 2∴a bc＋b ac＋c ab≤ab＋bc＋ca(当且仅当a＝b＝c＝∴原不等式成立．3时等号成立).3[点石成金] 1.分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．2．利用综合法证明不等式，关键是利用好已知条件和已经证明过的重要不等式.[2015·新课标全国卷Ⅱ]设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：(1)若ab＞cd，则a＋b＞c＋d；(2) a＋b＞c＋d是|a－b|＜|c－d|的充要条件．证明：(1)因为( a＋b)2＝a＋b＋2 ab，( c＋d)2＝c＋d＋2 cd，由题设a＋b＝c＋d，ab＞cd，得( a＋b)2＞( c＋d)2.因此a＋b＞c＋d.(2)①若|a－b|＜|c－d|，则(a－b)2＜(c－d)2，即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd.由(1)，得a＋b＞c＋d.②若a＋b＞c＋d，则( a＋b)2＞( c＋d)2，即a＋b＋2 ab＞c＋d＋2 cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd，于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因此|a－b|＜|c－d|.综上，a＋b＞c＋d是|a－b|＜|c－d|的充要条件.[方法技巧] 1.解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式(组)进行求解．含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x－a|＋|x－b|＞m或|x－a|＋|x－b|＜m(m为正常数)，利用实数绝对值的几何意义求解较简便．2．不等式的证明方法灵活，要注意体会，要根据具体情况选择证明方法．[易错防范] 1.理解绝对值不等式的几何意义．2．掌握分类讨论的标准，做到不重不漏．3．利用基本不等式必须要找准“对应点”，明确“类比对象”，使其符合几个著名不等式的特征．4．注意检验等号成立的条件，特别是多次使用不等式时，必须使等号同时成立．真题演练集训1．[2016·新课标全国卷Ⅰ]已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.(1)画出y＝f(x)的图象；(2)求不等式|f(x)|>1的解集．解：(1)f(x)＝Error!y＝f(x)的图象如图所示．(2)由f(x)的表达式及图象知，当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；1当f(x)＝－1时，可得x＝或x＝5.3故f(x)>1的解集为{x|1<x<3}；所以|f(x)|>1的解集为2．[2016·新课标全国卷Ⅲ]已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；(2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．解：(1)当a＝2时f(x)＝|2x－2|＋2.解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3.因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}．(2)当x∈R时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a.所以当x∈R时，- 9 -f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.①当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解．当a>1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.所以a的取值范围是[2，＋∞)．a a3．[2016·江苏卷]设a＞0，|x－1|＜，|y－2|＜，求证：|2x＋y－4|＜a.3 3a a证明：因为|x－1|< ，|y－2|< ，3 3所以|2x＋y－4|＝|2(x－1)＋(y－2)|a a≤2|x－1|＋|y－2|<2×＋＝a.3 31 14．[2016·新课标全国卷Ⅱ]已知函数f(x)＝x－＋x＋，M为不等式f(x)<2的解集．2 2(1)求M；(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|<|1＋ab|.(1)解：f(x)＝Error!1当x≤－时，由f(x)<2得－2x<2，解得x>－1；21 1当－<x< 时，f(x)<2；2 21当x≥时，由f(x)<2得2x<2，2解得x<1.所以f(x)<2的解集M＝{x|－1<x<1}．(2)证明：由(1)知，当a，b∈M时，－1<a<1，－1<b<1，从而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)·(1－b2)<0.因此|a＋b|<|1＋ab|.5．[2015·新课标全国卷Ⅰ]已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a＞0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)＞1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．解：(1)当a＝1时，f(x)＞1化为|x＋1|－2|x－1|－1＞0.当x≤－1时，不等式化为x－4＞0，无解；当－1＜x＜1时，不等式化为3x－2＞0，2 解得＜x＜1；3当x≥1时，不等式化为－x＋2＞0，解得1≤x＜2.- 10 -所以f(x)＞1的解集为Error!.(2)由题设可得，f(x)＝Error!2a－1所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A ( ，0)，B(2a＋1,0)，C(a，3a＋1)，2△ABC的面积为(a＋1)2.32由题设得(a＋1)2＞6，故a＞2.3所以a的取值范围为(2，＋∞)．课外拓展阅读绝对值三角不等式的应用应用绝对值三角不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|可以很方便地解决很多问题，比如求最值、证明等，但要注意在应用绝对值三角不等式的过程中，至少有一步是放大或缩小的，在放大或缩小时，若从小的一边入手，则只能放大；若从大的一边入手，则只能缩小．[典例1]求函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|的最小值．对原绝对值利用绝对值三角不等式转化不等式求最值[思路分析]→[解]|x－1|＋|x＋1|＝|1－x|＋|x＋1|≥|1－x＋x＋1|＝2，当且仅当(1－x)(x＋1)≥0，即－1≤x≤1时等号成立．故当－1≤x≤1时，函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|取得最小值2.[温馨提示](1)要注意对原绝对值不等式进行转化，使之适合用绝对值三角不等式求最值；(2)求最值时要注意等号成立的条件．1 1[典例2]已知x，y∈R，且|x＋y|≤，|x－y|≤，求证：|x＋5y|≤1.6 4[思路分析]先将x＋5y写成3(x＋y)－2(x－y)，然后利用绝对值三角不等式即可证得．[证明]∵|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|，∴由绝对值不等式的性质，得|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|≤|3(x＋y)|＋|2(x－y)|＝3|x＋y|＋2|x－y|1 1≤3×＋2×＝1.6 4即|x＋5y|≤1.[典例3]若对任意实数x，不等式|x＋1|－|x－2|>a恒成立，求a的取值范围．- 11 -[思路分析][解析]因为a<|x＋1|－|x－2|对任意实数x恒成立，所以a<(|x＋1|－|x－2|)min.因为||x＋1|－|x－2||≤|(x＋1)－(x－2)|＝3，所以－3≤|x＋1|－|x－2|≤3.所以(|x＋1|－|x－2|)min＝－3.所以a<－3，即a的取值范围为(－∞，－3)．- 12 -。
高三数学一轮复习精品教案1：7.1 不等关系与不等式教学设计
7.1 不等关系与不等式考纲传真1.了解现实世界和日常生活中的不等关系．2．了解不等式(组)的实际背景.1．实数的大小顺序与运算性质的关系a ＞b ⇔a －b ＞0，a ＝b ⇔a －b ＝0，a ＜b ⇔a －b ＜0． 2．不等式的性质(1)对称性：a >b ⇔b <a ；(双向性) (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ；(单向性) (3)可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；(双向性) a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；(单向性) (4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc ； a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；(单向性) (5)乘方法则：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)；(单向性) (6)开方法则：a >b >0⇒n a >nb (n ∈N ，n ≥2)；(单向性) (7)倒数性质：设ab ＞0，则a ＜b ⇔1a ＞1b.(双向性)1．(人教A 版教材习题改编)对于实数a ，b ，c ，“a ＞b ”是“ac 2＞bc 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 『解析』 a ＞6D /⇒ac 2＞bc 2，如c ＝0时，ac 2＝bc 2，但ac 2＞bc 2⇒a ＞b ， ∴“a ＞b ”是“ac 2＞bc 2”的必要不充分条件． 『答案』 B2．在城区限速40 km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40 km/h ，写成不等式就是( )A ．v ＜40 km/hB ．v ＞40 km/hC ．v ≠40 km/hD ．v ≤40 km/h 『答案』 D3．(2013·合肥质检)已知a ，b 为非零实数，且a ＞b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a 4＞b 4 B.1a ＜1bC ．|a |＞|b |D ．2a ＞2b『解析』 当a ＝1，b ＝－2时，A 、B 、C 均不正确，由y ＝2x 的单调性知，D 正确． 『答案』 D4．(2012·湖南高考)设a >b >1，c <0，给出下列三个结论： ①c a >cb ；②ac <b c ；③log b (a －c )>log a (b －c )． 其中所有的正确结论的序号是( )A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③ 『解析』 ∵a >b >1，∴1a <1b .又c <0，∴c a >cb，故①正确．当c ＜0时，y ＝x c 在(0，＋∞)上是减函数，又a >b >1，∴a c <b c ，故②正确． ∵a >b >1，－c >0，∴a －c >b －c >1.∵a >b >1，∴log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )， 即log b (a －c )>log a (b －c )，故③正确． 『答案』 D 5.12－1与3＋1的大小关系为________． 『解析』 12－1－(3＋1)＝(2＋1)－(3＋1)＝2－3＜0，∴12－1＜3＋1. 『答案』12－1＜3＋1利用不等式(组)表示不等关系用锤子以均匀的力敲击铁钉钉入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的1k (k ∈N *)，已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的47，请从这个实例中提炼出一个不等式组．『思路点拨』 由题意，找出题目中相应的不等式关系，特别是“一个铁钉受击3次后全部进入木板”，然后用不等式(组)将它们表示出来．『尝试解答』 依题意得，第二次钉子没有全部进入木板；第三次全部进入木板，∴⎩⎨⎧47＋47k＜1，47＋47k ＋47k 2≥1，(k ∈N *)．,1．本题常见的错误：(1)没能准确理解“一个铁钉受击3次后全部进入木板”的含义，导致遗漏不等式47＋47k＜1；(2)忽视变量k ∈N *.2．求解此类问题一定要准确将题目中文字语言转化为数学符号语言(如不等式等)，特别是注意“不超过”、“至少”、“低于”表示的不等关系，同时还应考虑变量的实际意义．某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A 型汽车和B 型汽车．根据需要，A 型汽车至少买5辆，B 型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式．『解』 设购买A 型汽车和B 型汽车分别为x 辆、y 辆，则x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧40x ＋90y ≤1 000，x ≥5，y ≥6，x ，y ∈N *.不等式性质的应用(2013·包头模拟)若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列命题：(1)ad ＞bc ；(2)a d ＋bc＜0；(3)a －c ＞b －d ；(4)a ·(d －c )＞b (d －c )中能成立的命题为________． 『思路点拨』 利用不等式的性质说明正误或举反例说明真假．『尝试解答』 ∵a ＞0＞b ，c ＜d ＜0，∴ad ＜0，bc ＞0，则ad ＜bc ，(1)错误．由a ＞0＞b ＞－a ，知a ＞－b ＞0，又－c ＞－d ＞0，因此a ·(－c )＞(－b )·(－d )，即ac ＋bd ＜0， ∴a d ＋b c ＝ac ＋bd cd ＜0，故(2)正确．显然a －c ＞b －d ，∴(3)正确． ∵a ＞b ，d －c ＞0，∴a (d －c )＞b (d －c )，∴(4)正确． 『答案』 (2)(3)(4),1．解题时，易忽视不等式性质成立的条件，或“无中生有”自造性质导致推理判定失误． 2．对于不等式的常用性质，要弄清其条件和结论，不等式性质包括 “单向性”和“双向性”两个方面，单向性主要用于证明不等式，双向性是解不等式的依据，因为解不等式要求的是同解变形．(2012·浙江高考)设a >0，b >0，( )A ．若2a ＋2a ＝2b ＋3b ，则a >bB ．若2a ＋2a ＝2b ＋3b ，则a <bC ．若2a －2a ＝2b －3b ，则a >bD ．若2a －2a ＝2b －3b ，则a <b 『解析』 当0＜a ≤b 时，显然2a ≤2b ，2a ≤2b ＜3b ，∴2a ＋2a ＜2b ＋3b ， 即2a ＋2a ≠2b ＋3b .∴它的逆否命题“若2a ＋2a ＝2b ＋3b ，则a ＞b ”成立， 因此A 正确． 『答案』 A比较大小(1)已知m ∈R ，a ＞b ＞1，f (x )＝m 2xx －1，试比较f (a )与f (b )的大小；(2)比较a a b b 与a b b a (a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1)的大小．『思路点拨』 (1)计算出f (a )与f (b )，用作差法或综合法比较大小；(2)幂式比较大小，用作商法比较大小．『尝试解答』 (1)法一 ∵f (a )＝m 2a a －1，f (b )＝m 2bb －1，∴f (a )－f (b )＝m 2a a －1－m 2b b －1＝m 2(a a －1－bb －1)＝m 2·a （b －1）－b （a －1）（a －1）（b －1）＝m 2·b －a（a －1）（b －1）， 当m ＝0时，f (a )＝f (b )；当m ≠0时，m 2＞0，又a ＞b ＞1，∴f (a )＜f (b )，即f (a )≤f (b )．法二 ∵f (x )＝m 2x x －1＝m 2(1＋1x －1)，∴f (a )＝m 2(1＋1a －1)，f (b )＝m 2(1＋1b －1)，由于a ＞b ＞1，∴a －1＞b －1＞0，∴1＋1a －1＜1＋1b －1，当m ＝0时，m 2(1＋1a －1)＝m 2(1＋1b －1)，即f (a )＝f (b )；当m ≠0时，m 2(1＋1a －1)＜m 2(1＋1b －1)，即f (a )＜f (b )，∴f (a )≤f (b )．(2)根据同底数幂的运算法则，采用作商法，a a b b a b b a ＝a a －b b b －a ＝(ab )a －b ，当a ＞b ＞0时，a b ＞1，a －b ＞0，则(a b )a －b ＞1，∴a a b b ＞a b b a ，当b ＞a ＞0时，0＜a b ＜1，a －b ＜0，则(a b)a －b ＞1，∴a a b b ＞a b b a ，当a ＝b ＞0时，(a b )a －b ＝1，∴a a b b ＝a b b a ，综上知a a b b ≥a b b a (当且仅当a ＝b 时取等号)．,1．第(1)中，若注意到m 2≥0，亦可构造函数φ(x )＝xx －1(x ＞1)，判断出φ(x )是减函数，f (a )≤f (b )．2．(1)“作差比较法”的过程可分为四步：①作差；②变形；③判断差的符号；④作出结论．其中关键一步是变形，手段可以有通分、因式分解、配方等．(2)“作商比较法”的依据是“ab ＞1，b ＞0⇒a ＞b ”，在数式结构含有幂或根式时，常采用比商法．若a ＞b ＞0，试比较a a ＋b b 与a b ＋b a 的大小．『解』 (a a ＋b b )－(a b ＋b a )＝a (a －b )＋b (b －a )＝(a －b )(a －b )＝(a －b )2(a ＋b )，∵a ＋b ＞0，(a －b )2＞0，∴(a a ＋b b )－(a b ＋b a )＞0，∴a a ＋b b ＞a b ＋b a .两点注意1.运用不等式性质，一定弄清性质成立的条件，切忌弱化或强化性质成立的条件． 2．求代数式的范围，应利用待定系数法或数形结合建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，避免扩大变量范围． 两种方法作差比较法与作商比较法是判定两个数或式大小的两种基本方法，其中变形是关键． 两条性质1.倒数性质，若ab ＞0，则a ＞b ⇔1a ＜1b.2．真分数的性质，若m ＞0，a ＞b ＞0，则b a ＜b ＋ma ＋m.从近两年的高考试题来看，不等关系、不等式的性质及应用是高考的热点，题型既有选择题，也有填空题，难度为中低档，客观题突出对不等式性质及应用的考查，主观题与其他知识交汇，考查不等式的性质及综合分析问题、解决问题的能力．在涉及求范围问题时，应特别注意不等式性质的应用，防止出错．易错辨析之十 忽视不等式的隐含条件致误(2012·陕西高考改编)设函数f (x )＝x n ＋bx ＋c (n ∈N *，b ，c ∈R )． (1)设n ≥2，b ＝1，c ＝－1，证明f (x )在区间(12，1)内存在唯一零点；(2)设n 为偶数，|f (－1)|≤1，|f (1)|≤1，求b ＋3c 的最大值和最小值．『错解』 (1)当b ＝1，c ＝－1，n ≥2时，f (x )＝x n ＋x －1，f (12)f (1)＝(12n －12)×1＜0，∴f (x )在区间(12，1)内有零点，又当x ∈(12，1)时，f ′(x )＝n ·x n －1＋1＞0，∴f (x )在(12，1)上是单调递增的，∴f (x )在(12，1)内存在唯一零点．(2)∵n 为偶数，且|f (－1)|≤1，|f (1)|≤1，∴⎩⎪⎨⎪⎧0≤b －c ≤2，－2≤b ＋c ≤0.因此－1≤b ≤1，且－2≤c ≤0.∴－7≤b ＋3c ≤1，故b ＋3c 的最大值为1，最小值为－7.错因分析：(1)忽视字母b 、c 相互制约的条件，片面将b ，c 分割开来导致字母范围发生变化．(2)多次运用同向不等式相加这一性质，不是等价变形，扩大变量的取值范围，致使最值求解错误．防范措施：(1)利用待定系数法先建立待求整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得待求整体的范围．(2)运用线性规划，根据t ＝b ＋3c 的几何意义，数形结合求t 的最值． 『正解』 (1)同上述解法．(2)法一 由n 为偶数，且|f (－1)|≤1，|f (1)|≤1，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤f （－1）≤1，－1≤f （1）≤1.即⎩⎪⎨⎪⎧0≤b －c ≤2，－2≤b ＋c ≤0.作上述不等式组表示的可行域，如图所示．令t ＝b ＋3c ，则c ＝t 3－b3.平移b ＋3c ＝0，知直线过原点O 时截距最大，过点A 时截距最小，∴t ＝b ＋3c 的最大值为0＋3×0＝0；最小值为0＋3×(－2)＝－6.法二 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝1－b ＋c ，f （1）＝1＋b ＋c ，解得b ＝f （1）－f （－1）2，c ＝f （1）＋f （－1）－22，∴b ＋3c ＝2f (1)＋f (－1)－3.又∵－1≤f (－1)≤1，－1≤f (1)≤1，∴－6≤b ＋3c ≤0. 当b ＝0，c ＝－2时，b ＋3c ＝－6；当b ＝c ＝0时，b ＋3c ＝0， ∴b ＋3c 的最小值为－6，最大值为0.1．(2013·青岛质检)设0＜x ＜π2，则“x sin 2x ＜1”是“x sin x ＜1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 『解析』 当0＜x ＜π2时，0＜sin x ＜1，∴x sin x ＜1⇒x sin 2x ＜sin x ＜1.如果x sin 2x ＜1⇒x sin x ＜1sin x ，因为1sin x ＞1，则不能保证x sin x ＜1，因此“x sin 2x ＜1”是“x sin x ＜1”的必要不充分条件． 『答案』 B2．(2013·西城模拟)已知a >b >0，给出下列四个不等式： ①a 2>b 2；②2a >2b －1；③a －b >a －b ；④a 3＋b 3>2a 2b . 其中一定成立的不等式为( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④『解析』 对于①可直接利用不等式的性质求解，也可作差，即a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )>0，知①正确；对于②由条件知a >b >b －1，结合指数函数f (x )＝2x 的单调性知2a >2b －1，②正确．也可作商，即2a 2b －1＝2a －b ＋1. ∵a >b >0，∴a －b >0，∴a －b ＋1>0，∴2a－b ＋1>1，故2a >2b －1；对于③，∵a >b >0，∴a －b >0，a －b >0，原不等式⇔a －b >a －2ab ＋b ⇔b －ab <0⇔b (b －a )<0，显然成立，故③正确； 对于④，a 3＋b 3－2a 2b ＝(a 3－a 2b )＋(b 3－a 2b )＝a 2(a －b )－b (a －b )(a ＋b )＝(a －b )(a 2－ab －b 2)＝(a －b )『(a －b 2)2－54b 2』由于(a －b 2)2－54b 2符号不定，故④不一定成立．。
高考数学一轮复习(回扣主干知识+提升学科素养)第六章 第一节 不等关系与不等式教案 文
第一节 不等关系与不等式【考纲下载】1．了解现实世界和日常生活中的不等关系． 2．了解不等式(组)的实际背景． 3．掌握不等式的性质及应用． 1．比较两个实数大小的法则 设a ，b∈R ，则： (1)a ＞b ⇔a －b ＞0； (2)a ＝b ⇔a －b ＝0； (3)a ＜b ⇔a －b ＜0.(1)倒数性质①a >b ，ab >0⇒1a <1b.②a <0<b ⇒1a <1b.③a >b >0,0<c <d ⇒a c >b d. ④0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a.(2)有关分数的性质 若a >b >0，m >0，则： ①真分数的性质 b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －m a －m (b －m >0)． ②假分数的性质 a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －m b －m(b －m >0)． 1．同向不等式相加与相乘的条件是否一致？提示：不一致．同向不等式相加，对两边字母无条件限制，而同向不等式相乘必须两边字母为正，否则不一定成立．2．(1)a >b ⇔1a <1b 成立吗？(2)a >b ⇒a n>b n(n ∈N ，且n >1)对吗？提示：(1)不成立，当a ，b 同号时成立，异号时不成立． (2)不对，若n 为奇数，成立，若n 为偶数，则不一定成立．1．已知a >b ，c >d ，且c ，d 不为0，那么下列不等式成立的是( ) A ．ad >bc B ．ac >bd C ．a －c >b －d D ．a ＋c >b ＋d解析：选D 由不等式的性质知，a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d .2．已知a ，b ，c ∈R ，则“a >b ”是“ac 2>bc 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B ac 2>bc 2⇒a >b ，但当c ＝0时，a >bD ⇒/ac 2>bc 2.故“a >b ”是“ac 2>bc 2”的必要不充分条件．3．如果a ∈R ，且a 2＋a <0，那么a ，a 2，－a ，－a 2的大小关系是( )A ．a 2>a >－a 2>－aB ．－a >a 2>－a 2>aC ．－a >a 2>a >－a 2D ．a 2>－a >a >－a 2解析：选B ∵a 2＋a <0，∴－1<a <0.不妨令a ＝－12，易知选项B 正确．4．已知a <b ，则下列不等式正确的是( ) A.1a >1bB ．a 2>b 2C ．2－a >2－bD ．2a >2b解析：选C ∵a <b ，∴－a >－b ，∴2－a >2－b .5．(教材习题改编)已知－2<a <－1，－3<b <－2，则a －b 的取值范围是________，a 2＋b 2的取值范围是________．解析：∵－2<a <－1，－3<b <－2，∴2<－b <3,1<a 2<4,4<b 2<9.∴0<a －b <2,5<a 2＋b 2<13. 答案：(0,2) (5,13) 易误警示(六)忽视不等式的隐含条件致误[典例] (2014·海门模拟)已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________(答案用区间表示)．[解题指导] 用x ＋y 和x －y 整体代换2x －3y ，进而求出z 的取值范围． [解析] 设2x －3y ＝a (x ＋y )＋b (x －y )，则由待定系数法可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，a －b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝52，所以z ＝－12(x ＋y )＋52(x －y )．又⎩⎪⎨⎪⎧－2<－12x ＋y <12，5<52x －y <152，所以两式相加可得z ∈(3,8)． [答案] (3,8)[名师点评] 1.本题易忽视题目中字母x ，y 相互制约的条件，片面地将x ，y 分割开来考虑，导致字母的范围发生变化，从而造成解题的错误．2．当利用不等式的性质和运算法则求某些代数式取值范围的问题时，若题目中出现的两个变量是相互制约的，不能分割开来，则应建立待求整体与已知变量之间的关系，然后根据不等式的性质求待求整体的范围，以免扩大范围．已知二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且1≤f (－1)≤2，3≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围．解：因为二次函数y ＝f (x )的图象过原点，所以设y ＝f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1≤f －1＝a －b ≤2，3≤f 1＝a ＋b ≤4.由题意知f (－2)＝4a －2b ，设存在实数x ，y ，使得4a －2b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )， 即4a －2b ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝4，x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，所以f (－2)＝4a －2b ＝(a ＋b )＋3(a －b )． 又3≤a ＋b ≤4,3≤3(a －b )≤6， 所以6≤(a ＋b )＋3(a －b )≤10， 即f (－2)的取值范围是[6,10]．。
最新-2018高三数学系列一轮复习 不等关系及不等式的性质课件 理 新人教B版 精品
正误题题辨
例已知－1≤a＋b≤1 ①，1≤a－2b≤3 ②，求 a＋3b 的取值 范围．
错解 2×①＋②得：－13≤a≤53 －1×②＋①得：－4≤3b≤0 故－133≤a＋3b≤53. 点击 如上解法会扩大所求代数式的取值范围，导致范围的不 准确，而正确的取值范围应为它的子集．
正解 设 a＋3b＝λ1(a＋b)＋λ2(a－2b) ＝ (λ1＋λ2)a＋(λ1－ 2λ2)b， 解得：λ1＝53，λ2＝－23. ∴－53≤53(a＋b)≤53 －2≤－23(a－2b)≤－23 ∴－131≤a＋3b≤1.
解法二：待定系数法： 设 m(a＋b)＋n(a－b) ＝f(－2)＝4a－2b，
∴mm＋ －nn＝ ＝－4，2. ∴mn＝＝31.， ∴f(－2)＝(a＋b)＋3(a－b)＝f(1)＋3f(－1)． ∵1≤f(－1)≤2,3≤f(1)≤4， ∴6≤f(－2)≤10.
变式迁移 3 已知 f(x)＝kx＋b(k≠0)，1≤f(1)≤2,2≤f(2)≤3，求 f(3)的取值 范围．
b
C．(1－a)b＞(1－a) 2 D．(1－a)a＞(1－b)b
答案 D 解析 ∵0＜a＜b＜1，∴0＜1－a＜1， ∴y＝(1－a)x 为减函数．
又∵1b＞b＞b2＞0， 故 A、C 排除． 由(1＋a)a＜(1＋b)a＜(1＋b)b 知 B 也不正确． ∵a＜b，∴(1－a)a＞(1－b)b，故选 D.
解析 (1)因 c 的正负或是否为零未知，无法判断 ac 与 bc 的大 小，所以是假命题；
(2)因 c2≥0，所以 c＝0 时，有 ac2＝bc2，故为假命题； (3)由 ac2＞bc2，知 c≠0，c2＞0，所以为真命题；
(4)由aa＜ ＜
b， 0，
一轮复习教案：第7章 第1讲 不等关系与不等式
3≤2x＋y≤9
(3)若变量 x，y 满足约束条件
，则 z＝x＋2y 的最小值为________．
6≤x－y≤9
[解析] (1)∵ab>0，bc－ad>0，
∴c－d＝bc－ad>0，∴①正确； a b ab
∵ab>0，又c－d>0，即bc－ad>0，
ab
ab
∴bc－ad>0，∴②正确；
∵bc－ad>0，又c－d>0，即bc－ad>0，
ab
ab
∴ab>0，∴③正确．故选 D.
(2)∵M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝(a1－1)(a2－1)，又∵a1，a2∈(0,1)，∴M－N>0，即 M>N， 选 B.
(3)令 z＝x＋2y＝λ(2x＋y)＋μ(x－y)＝(2λ＋μ)x＋(λ－μ)y，
2λ＋μ＝1
λ＝1
∴
，∴
，∴z＝(2x＋y)－(x－y)，
大．
[正解] 解法一：设 f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n 为待定系数)，则 4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋
b)，
即 4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b.
m＋n＝4，
m＝3，
于是得
解得
n－m＝－2，
n＝1，
∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．
又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，
2．若 a>b>0，c<d<0，则一定有( )
A.a>b cd
C.a>b dc
B.a<b cd
D.a<b dc
答案 D
解析 ∵c<d<0，∴－c>－d>0，
高三数学第一轮复习导学案：34.不等式与不等关系
【学习目标】1．了解现实世界和日常生活中的不等关系．2．了解不等式(组)的实际背景． 预 习 案1．两个实数的大小比较：(1)a >b ⇔ . (2)a ＝b ⇔ . (3)a <b ⇔ .2．不等式的性质(1)对称性：a >b ⇔ . (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c .(3)可加性：a >b ⇔a ＋c b ＋c ； a >b ，c >d ⇒ .(4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac bc ； a >b ，c <0⇒ac bc ；a >b >0，c >d >0⇒ac bd .(5)可方性：a >b >0，n ∈N ＋⇒a n b n ； a >b >0，n ∈N ＋(6)倒数性质：a >b ，ab >0⇒1a 1b ； 1a <1b ，ab >0⇒a b .【预习自测】1．已知a ＜b ＜0，c ＞0，在下列空白处填上恰当的不等号：①若ad ＞bd ，则d ________0； ②(a －2)c ________(b －2)c ；③|a |________|b |； ④c a ________c b.2．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是 ( )A ．a 2>b 2B ．a |c |>b |c | C.1a <1b D.a c 2＋1>b c 2＋13．设a ，b ∈R ，则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．如果a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中不一定成立的是 ( )A ．ab >acB ．c (b －a )>0C ．cb 2<ab 2D ．ac (c －a )>05．已知a <0，－1<b <0，则a ，ab ，ab 2的大小关系是_______ _．探 究 案题型一：不等式的性质例1.对于实数a ，b ，c ，判断下列命题的真假．(1)若a >b ，则ac >bc ； (2)若a >b ，则ac 2>bc 2；(3)若a <b <0，则a 2>ab >b 2； (4)若a <b <0，则1a >1b ； (5)若a <b <0，则b a >a b.拓展1.适当增加不等式条件使得下列命题成立：(1)若a >b ，则ac ≤bc ；(2)若ac 2>bc 2，则a 2>b 2；(3)若a >b ，则lg(a ＋1)>lg(b ＋1)．题型二：比较大小例2.(1)比较a ＋mb ＋m 与a b (其中实数b >a >0，实数m >0)的大小．(2)已知a >0，b >0，且a ≠b ，试比较a a b b 与(ab )a ＋b 2的大小．拓展2.(1)若0<a 1<a 2,0<b 1<b 2，且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式中值最大的是( ) A ．a 1b 1＋a 2b 2 B ．a 1a 2＋b 1b 2 C ．a 1b 2＋a 2b 1 D.12(2)设x <y <0，试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)(x ＋y )的大小．题型三：综合应用例3.已知－1＜x ＋y ＜4且2＜x －y ＜3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________．(答案用区间表示)拓展3.设f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围．当堂检测：1．设a ∈R ，则a >1是1a<1的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．设a >b >0，下列各数小于1的是 ( )A ．2a －b B ． C ．(a b )a －b D ．(b a )a －b3．设a ，b 为实数，则“0<ab <1”是“b <1a”的 ( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4.已知一个三边分别为15,19,23个单位长度的三角形，若把它的三边分别缩短x 个单位长度且构成钝 角三角形，试用不等式写出x 满足的不等关系____ ____．5.设a ，b 为正实数．现有下列命题：①若a 2－b 2＝1，则a －b <1； ②若1b －1a＝1，则a －b <1； ③若|a －b |＝1，则|a －b |<1； ④若|a 3－b 3|＝1，则|a －b |<1.其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号)我的学习总结：（1）我对知识的总结 .（2）我对数学思想及方法的总结。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一节不等关系与不等式不等式的概念和性质了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景．知识点一实数的大小顺序与运算性质的关系(1)a>b⇔a－b>0；(2)a＝b⇔a－b＝0；(3)a<b⇔a－b<0.必备方法比较大小的常用方法：(1)作差法一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．(2)作商法一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论(注意所比较的两个数的符号)．[自测练习]1．已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N 的大小关系是()A．M<N B．M>NC．M＝N D．不确定解析：M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)，又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，∴a1－1<0，a2－1<0.∴(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0.∴M>N.答案：B知识点二不等式性质易误提醒1．在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如a ≤b ，b <c ⇒a <c . 2．在乘法法则中，要特别注意“乘数c 的符号”，例如当c ≠0时，有a >b ⇒ac 2>bc 2；若无c ≠0这个条件，a >b ⇒ac 2>bc 2就是错误结论(当c ＝0时，取“＝”)．[自测练习]2．设a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则( ) A ．ac >bc B.1a <1b C ．a 2>b 2D ．a 3>b 3解析：当c <0时，ac >bc 不成立，故A 不正确，当a ＝1，b ＝－3时，B 、C 均不正确，故选D.答案：D3．若a >b >0，则下列不等式中恒成立的是( ) A.b a >b ＋1a ＋1B ．a ＋1a >b ＋1b C ．a ＋1b >b ＋1aD.2a ＋b a ＋2b >a b解析：由a >b >0⇒0<1a <1b ⇒a ＋1b >b ＋1a ，故选C. 答案：C4．已知a <0，－1<b <0，那么a ，ab ，ab 2的大小关系是________． 解析：⎭⎬⎫－1<b <0⇒0<b 2<1a <0⇒a <ab 2<0，又ab >0，∴ab >ab 2>a . 答案：ab >ab 2>a考点一 利用不等式(组)表示不等关系|1．将一个三边长度分别为5,12,13的三角形的各边都缩短x ，构成一个钝角三角形，试用不等式(组)表示x 应满足的不等关系．解：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧5－x >0，(5－x )＋(12－x )>13－x ，(5－x )2＋(12－x )2<(13－x )2.2．某厂拟生产甲、乙两种适销产品，甲、乙产品都需要在A ，B 两台设备上加工，在A ，B 设备上加工一件甲产品所需工时分别为1小时、2小时，加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时，A ，B 两台设备每月有效使用时数分别为400和500.写出满足上述所有不等关系的不等式．解：设甲、乙两种产品的产量分别为x 件，y 件，由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤400，2x ＋y ≤500，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N .利用不等式(组)表示不等关系的一个注意点及一个关键点： 关键点：准确将题目中的文字语言转化为数学符号语言． 注意点：要注意“不超过”，“至少”，“低于”表示的不等关系，同时还应考虑变量的实际意义．考点二 不等式性质及应用|1．(2016·大庆质检)若a <b <0，则下列不等式不能成立的是( ) A.1a －b >1a B.1a >1b C ．|a |>|b |D ．a 2>b 2解析：由a <b <0，可用特殊值法加以验证，取a ＝－2，b ＝－1，则1a －b >1a不成立，选A. 答案：A2．(2016·武汉调研)若实数a ，b ∈(0,1)，且满足(1－a )b >14，则a ，b 的大小关系是( )A ．a <bB ．a ≤bC ．a >bD ．a ≥b解析：∵a ，b ∈(0,1)，∴1－a >0，又(1－a )b >14， ∴14<⎝⎛⎭⎪⎫1－a ＋b 22，12<1－a ＋b2，即b －a >0，故选A. 答案：A3．设a ，b 是实数，则“a >b >1”是“a ＋1a >b ＋1b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：法一：因为a ＋1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝(a －b )(ab －1)ab ，所以若a >b >1，显然a ＋1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝(a －b )(ab －1)ab >0，则充分性成立；当a ＝12，b ＝23时，显然不等式a ＋1a >b ＋1b 成立，但a >b >1不成立，所以必要性不成立，故选A.法二：令函数f (x )＝x ＋1x ，则f ′(x )＝1－1x 2＝x 2－1x 2，可知f (x )在(－∞，－1)，(1，＋∞)上为增函数，在(－1,1)上为减函数，所以“a >b >1”是“a ＋1a >b ＋1b ”的充分不必要条件，选A.答案：A运用不等式性质求解问题的两个注意点1．解题时，易忽视不等式性质成立的条件，或“无中生有”自造性质导致推理判定失误．2．对于不等式的常用性质，要注意弄清其条件和结论，不等式性质包括“单向性”和“双向性”两个方面，单向性主要用于证明不等式，双向性是解不等式的依据．考点三 比较大小|(1)若实数a ≠1，比较a ＋2与31－a 的大小；(2)比较a a b b 与a b b a (a >0且a ≠1，b >0且b ≠1)的大小． [解] (1)a ＋2－31－a ＝－(a 2＋a ＋1)1－a，∵a 2＋a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋34>0，∴－(a 2＋a ＋1)<0，∴当1－a >0，即a <1时，－(a 2＋a ＋1)1－a <0，则有a ＋2<31－a .当1－a <0即a >1时，－(a 2＋a ＋1)1－a >0，则有a ＋2>31－a .综上知，当a <1时，a ＋2<31－a，当a >1时，a ＋2>31－a .(2)a a b b a b b a ＝a a －b b b －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b ，当a >b >0时，ab >1，a －b >0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b>1，∴a a b b >a b b a ； 当b >a >0时，0<ab <1，a －b <0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b>1，∴a a b b >a b b a ； 当a ＝b >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b＝1，∴a a b b ＝a b b a ，综上知a a b b ≥a b b a (当且仅当a ＝b 时取等号)．比较两个数(式)大小的两种方法(1)比较大小时，要把各种可能的情况都考虑进去，对不确定的因素需进行分类讨论，每一步运算都要准确，每一步推理都要有充分的依据．(2)用作商法比较代数式的大小一般适用于分式、指数式、对数式，作商只是思路，关键是化简变形，从而使结果能够与1比较大小．已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c ≥b >aB ．a >c ≥bC ．c >b >aD ．a >c >b解析：c －b ＝4－4a ＋a 2＝(2－a )2≥0，∴c ≥b .将题中两式作差得2b ＝2＋2a 2，即b ＝1＋a 2. ∵1＋a 2－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34>0，∴1＋a 2>a ， ∴b ＝1＋a 2>a .∴c ≥b >a . 答案：A10.不等式变形中不等价致误【典例】 设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是________．[解析] 法一：设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )，即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b ，于是得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)．又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，即5≤f (－2)≤10.法二：由⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b 得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f (－1)＋f (1)]，b ＝12[f (1)－f (－1)].∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.法三：由⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4，确定的平面区域如图阴影部分，当f (－2)＝4a －2b 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12时，取得最小值4×32－2×12＝5， 当f (－2)＝4a －2b 过点B (3,1)时，取得最大值4×3－2×1＝10，∴5≤f (－2)≤10. [答案] [5,10][易误点评] 解题中多次使用同向不等式的可加性，先求出a ，b 的范围，再求f (－2)＝4a －2b 的范围，导致变量范围扩大．[防范措施] (1)此类问题的一般解法：先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得整体范围；(2)求范围问题如果多次利用不等式有可能扩大变量取值范围．[跟踪练习] 若α，β满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤α＋β≤1，1≤α＋2β≤3，试求α＋3β的取值范围．解：设α＋3β＝x (α＋β)＋y (α＋2β)＝(x ＋y )α＋(x ＋2y )β.则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，x ＋2y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.∵－1≤－(α＋β)≤1,2≤2(α＋2β)≤6， 两式相加，得1≤α＋3β≤7. ∴α＋3β的取值范围为[1,7]．A 组 考点能力演练1．已知1a <1b <0，则下列结论错误的是( ) A ．a 2<b 2B.b a ＋ab >2C ．ab >b 2D ．lg a 2<lg ab解析：∵1a <1b <0，∴1b －1a ＝a －bab >0，∴a －b >0， ∴ab －b 2＝(a －b )b <0，∴ab <b 2，故选C. 答案：C2．已知实数a ，b ∈(0,1)，且满足cos πa <cos πb ，则下列关系式成立的是( )A ．ln a <ln bB ．sin a <sin b C.1a <1bD ．a 3<b 3解析：因为a ，b ∈(0,1)，则πa ，πb ∈(0，π)，而函数y ＝cos x 在(0，π)上单调递减，又cos πa <cos πb ，所以πa >πb ，即a >b ，由函数y ＝ln x ，y ＝sin x ，y ＝1x ，y ＝x 3的单调性知C 正确．答案：C3．(2016·资阳一诊)已知a ，b ∈R ，下列命题正确的是( )A ．若a >b ，则|a |>|b |B ．若a >b ，则1a <1bC ．若|a |>b ，则a 2>b 2D ．若a >|b |，则a 2>b 2解析：当a ＝1，b ＝－2时，A 不正确；当a ＝1，b ＝－2时，B 不正确；当a ＝1，b ＝－2时，C 不正确；对于D ，a >|b |≥0，则a 2>b 2，故选D.答案：D4．已知ab >0，则“b <1a ”是“a <1b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由b <1a ，ab >0得ab 2<b ，又b 2>0，所以a <1b ，同理由a <1b 可得b <1a ，故选C.答案：C5．(2016·贵阳期末)下列命题中，正确的是( )A ．若a >b ，c >d ，则ac >bdB ．若ac >bc ，则a >bC ．若a c 2<b c 2，则a <bD ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －d解析：A 项，取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，可知A 错误；B项，当c <0时，ac >bc ⇒a <b ，∴B 错误；C 项，∵a c 2<b c 2，∴c ≠0，又c 2>0，∴a <b ，C 正确；D 项，取a ＝c ＝2，b ＝d ＝1，可知D 错误；故选C.答案：C6．若m <n ，p <q ，且(p －m )(p －n )<0，(q －m )(q －n )<0，则m ，n ，p ，q 的大小顺序是________．解析：把p ，q 看成变量，则m <p <n ，m <q <n ，即得m <p <q <n . 答案：m <p <q <n7．(2015·安庆二模)若x >y ，a >b ，则在①a －x >b －y ，②a ＋x >b＋y ，③ax >by ，④a y >b x 这四个式子中，恒成立的不等式有________(写出所有恒成立的不等式的序号)．解析：令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2，符合题设条件x >y ，a >b ，∵a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5，∴a －x ＝b －y ，因此①不成立．又ax ＝－6，by ＝－6，∴ax ＝by ，因此③也不成立．又a y ＝3－3＝－1，b x ＝2－2＝－1，∴a y ＝b x ，因此④不成立．由不等式的性质可推出②成立．答案：②8．如果0<a <b <c <d <e ，S ＝a b ＋c d ＋1e ，则把变量________的值增加1会使S 的值增加最大(填入a ，b ，c ，d ，e 中的某个字母)．解析：显然变量a 或c 的值增加1会使S 的值增加，∵0<a <b <c <d <e ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1b＋c d ＋1e －⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋c ＋1d ＋1e ＝1b －1d ＝d －b bd >0，∴a ＋1b ＋c d ＋1e >a b ＋c ＋1d ＋1e ，即当变量a 的值增加1会使S 的值增加最大．答案：a9．若a >b >0，c <d <0，e <0.求证：e (a －c )2>e (b －d )2. 证明：∵c <d <0，∴－c >－d >0.又∵a >b >0，∴a －c >b －d >0.∴(a －c )2>(b －d )2>0.∴0<1(a －c )2<1(b －d )2. 又∵e <0，∴e (a －c )2>e (b －d )2. 10．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．解：设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元，则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34xn ，y 2＝45nx .所以y 1－y 2＝14x ＋34xn －45nx ＝14x －120nx ＝14x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n 5. 当n ＝5时，y 1＝y 2；当n >5时，y 1<y 2；当n<5时，y1>y2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，甲车队更优惠；少于5人时，乙车队更优惠．B组高考题型专练1．(2013·高考天津卷)设a，b∈R，则“(a－b)·a2<0”是“a<b”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：(a－b)·a2<0，则必有a－b<0，即a<b；而a<b时，不能推出(a－b)·a2<0，如a＝0，b＝1，所以“(a－b)·a2<0”是“a<b”的充分而不必要条件．答案：A2．(2012·高考湖南卷)设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：①ca>cb；②ac<b c；③logb(a－c)>log a(b－c)．其中所有的正确结论的序号是() A．①B．①②C．②③D．①②③解析：∵a>b>1，∴1a<1b.又c<0，∴ca>cb，故①正确．当c<0时，y＝x c在(0，＋∞)上是减函数，又a>b>1，∴a c<b c，故②正确．∵a>b>1，－c>0，∴a－c>b－c>1.∵a>b>1，∴log b(a－c)>log a(a－c)>log a(b－c)，即log b(a－c)>log a(b－c)，故③正确．答案：D3．(2014·高考山东卷)已知实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( )A.1x 2＋1>1y 2＋1B ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1)C ．sin x >sin yD ．x 3>y 3解析：根据指数函数的性质得x >y ，此时x 2，y 2的大小不确定，故选项A ，B 中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质，选项C 中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项D 中的不等式恒成立．答案：D4．(2014·高考四川卷)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a c ＞b dB.a c ＜b dC.a d ＞b cD.a d ＜b c解析：依题意取a ＝2，b ＝1，c ＝－2，d ＝－1，代入验证得A ，B ，C 均错，只有D 正确．答案：D。