华中师大一附中2017级高三年级理科数学独立作业5
湖北省华中师范大学新高考联盟2017届高三2月教学质量测评数学(理)试题 Word版含答案
华中师大2017届高三全国联考理科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合{}()(){}2|4,,|310A x x x R B x x x =<∈=+->，则()R A C B =A. ()(),31,2-∞-B. []3,1-C. ()1,2D.(]2,1-2.已知,x y 满足2024030x y x y x +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩，则32x y -的最大值为A.4-B. 8C. 11D.13 3.函数()23sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的一个单调递增区间是 A. 713,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. 7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. ,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D.5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 4.我国南宋时期的著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了秦九韶算法来计算多项式的值，在执行下列前景是算法的程序框图时，若输入的4,2n x ==，则输出V 的值为 A.15 B. 31 C. 63 D. 1275.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，向量(),,cos ,cos 22a c m n C A ⎛⎫== ⎪⎝⎭，且cos n m b B ⋅=则B 的值是A.6π B. 3π C. 2π D.23π6.偶函数()f x 在()0,+∞上递增，()2313log ,,log 232a f b f c f ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列关系式中正确的是A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D.c b a << 7.下列命题中真明题的个数是（1）“2000,2sin 5x R x x ∃∈-≥”的否定是“2,2sin 5x R x x ∀∈-<”；（2）“AOB ∠为钝角”的充要条件是“0OA OB ⋅<”;(3)函数tan 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象的对称中心是(),0.26k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭A. 0B. 1C. 2D. 38.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A.23 B. 13 C. 43 D. 839.设()[][),0,11,1,0xe xf x x x ⎧∈⎪=⎨+∈-⎪⎩，直线1,1,0,x x y y e =-===围成的区域为M ，曲线()y f x =与直线1,0x y ==围成的区域为N ，在区域M 内任取一点P,则P 点在区域N 的概率为 A.1124e - B. 1e C. 1144e + D.1210.如图，在矩形ABCD中，1AB BC ==,将ACD ∆沿折起，使得D 折起的位置为1D ，且1D 在平面ABC 的射影恰好落在AB 上，则直线1D C 与平面ABC 所成角的正弦值为A.13B. 3C. 3D. 411.点M 是抛物线()220x py p =>的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，P 在抛物线上，在PFM ∆中，sin sin PFM PMF λ∠=∠，则λ的最大值为A.212.设()()()2222x xf x x e aeg x a x -=-+=-（e 为自然对数的底数），若关于x 的方程()()f x g x =有且仅有6个不等的实根，则实数a 的取值范围是A.2,21e e ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭B. (),e +∞C. ()1,eD.21,21e e ⎛⎫ ⎪-⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若复数z 满足()115i z i -=-，则复数z 的虚部为 . 14.已知(2017201720160120162017x a x a x a x a =++++ ，则()()22022*********a a a a a a +++-+++ 的值为 .15.设()3sin2cos 22x x f x =-，将函数()y f x =的图象上所有点向右平移3π个单位得到函数()y g x =的图象，若函数()g x 的最大值为()g θ，则cos 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭为 . 16.过点()1,1P -作圆()()()22:21C x t y t t R -+-+=∈的切线，切点分别为A,B,则PA PB ⋅的最小值为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n a 与2n S 的等差中项为1. （1）求数列{}n a 的通项； （2）对任意的n N *∈，不等式212231111n n na a a a a a a λ++++≥ 恒成立，求实数λ的取值范围.18.（本题满分12分）PM2.5是衡量空气污染程度的一个指标，为了了解某市空气质量情况，从去年每天的PM2.5值的数据中随机抽取40天的数据，其频率分布直方图如下图所示.现将PM2.5的值划分为如下等级用频率估计概率.（1）估计该市在下一年的360天中空气质量为一级天气的天数；（2）在样本中，按照分层抽样的方法抽取8天的PM2.5值的数据，再从这8个数据中随机抽取5个，求一级、二级、三级、四级天气都有的概率；（3）如果该市对环境进行治理，治理后经统计，每天PM2.5值X 近似满足()2115,75X N ，则治理后的PM2.5值的均值比治理前大约下降了多少？19.（本题满分12分）已知四棱锥S ABCD -的底面为平行四边形，且SD ⊥平面ABCD ，22,60,,A B A D S D D C B M N==∠=分别为,SB SC的中点，过MN 作平面MNPQ 分别与线段,CD AB 相交于点,P Q ，且.A Q A B λ=（1）当12λ=时，证明：平面//MNPQ 平面SAD ； （2）是否存在实数λ，使得二面角M PQ B --为60？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.20.（本题满分12分）已知椭圆22:12x C y +=的左焦点为F,不垂直于x 轴且不过F 点的直线l 与椭圆C 相交于A,B 两点.（1）如果直线,FA FB 的斜率之和为0，则动直线l 是否一定经过一定点？若过一定点，则求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.（2）如果FA FB ⊥，原点到直线l 的距离为d ，求d 的取值范围.21.（本题满分12分）已知()()3sin 0.6x f x x mx x =--≥ （1）若()f x 在[)0,+∞上单调递增，求实数m 的取值范围；（2）当1a ≥时，[)0,x ∀∈+∞不等式sin cos 2axx x e -≤-是否恒成立？请说明理由.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。
2017-2018学年湖北省华中师范大学第一附属中学高三上学期期中考试数学(理)(详细答案版)
2017-2018学年湖北省华中师范大学第一附属中学高三上学期期中考试数学（理）一、选择题：共12题1．已知复数z =21−i,则下列命题中正确的个数为①|z|=√2 ②z̅=1−i ③z 的虚部为i ④z 在复平面上对应点在第一象限 A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】本题考查复数的代数形式的运算.解答本题时要注意先对复数进行除法运算,然后对命题进行判断,确定真命题的个数.因为z =21−i =1+i ,所以|z|=√2,z̅=1−i,z 的虚部为1,z 在复平面上对应点(1,1)在第一象限.所以正确命题的序号为①②④,合计有3个.故选C.2．下列函数为偶函数且在(0,＋∞)上为增函数的是A.f(x)=(∫costdt x0)2 B.f(x)=x 2+3x 2C.f(x)=12x +x 2 D.f(x)=x(e x −e −x ) 【答案】D【解析】本题考查函数的基本性质.解答本题时要注意根据所给的函数进行逐一判断,确定满足条件的函数解析式.由题可得,因为f (x )=(∫costdt x 0)2=(sinx)2是偶函数但在(0,＋∞)上不单调,所以排除A;因为f(x)=x 2+3x 2是偶函数,但在(0,＋∞)上不单调,所以排除B.因为f(x)=12x +x 2不是偶函数,所以排除C;故选D.3．已知集合A ={x|y =lg2−x x+2},集合B ={y|y =1−x 2},则集合{x|x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B}为A.[−2,1]∪(2,+∞)B.(−2,1)∪(2,+∞)C.(−∞,−2)∪[1,2)D.(−∞,−2]∪(1,2)【答案】D【解析】本题考查集合的基本运算.解答本题时要注意先求得集合A,B,然后求得并集与交集,再求得结论.因为A ={x|y =lg 2−xx+2}={x |−2<x <2}, B ={y |y =1−x 2}={y|y ≤1}.所以A ∪B =(−∞,2),A ∩B =(−2,1].所以{x|x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B}=(−∞,−2]∪(1,2).故选D.4．下列说法正确的是A.“∀x,y ∈R ,若x +y ≠0,则x ≠1且y ≠−1”是真命题B.在同一坐标系中,函数y =f(1+x)与y =f(1−x)的图象关于y 轴对称.C.命题“∃x ∈R ,使得x 2+2x +3<0”的否定是“∀x ∈R ,都有x 2+2x +3>0”D.a ∈R ,“1a <1 ”是“a >1”的充分不必要条件【答案】B【解析】本题考查常用逻辑用语.解答本题时要注意对选项进行逐一判断,排除错误说法,确定正确说法.对于选项A,取x =1,y =0,则x +y ≠0,但x ≠1且y ≠−1不成立,所以是假命题,故排除A;对于选项C,命题“∃x ∈R ,使得x 2+2x +3<0”的否定是“∀x ∈R ,都有x 2+2x +3≥0”,故排除C;对于选项D,当1a <1时有a <0或a >1,所以是必要不充分条件,故排除D.所以说法正确的是选项B.故选B.5．如图,在△ABC 中,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13NC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,P 是BN 上的一点,若AP⃗⃗⃗⃗⃗ =mAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +29AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则实数m 的值为A.19B.13C.1D.3【答案】A【解析】本题考查平面向量的线性运算.解答本题时要注意利用平面向量的基本定理及其线性运算,表示向量,通过向量相等,求得实数的值.由题可得,AP⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +nBN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−n )AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +nAN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−n )AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +n 4AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =mAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +29AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以n 4=29,解得n =89,所以m =1−n =19.故选A.6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有女子善织,日益功,疾,初日织五尺,今一月织七匹三丈(1匹=40尺,一丈=10尺),问日益几何?”其意思为:“有一女子擅长织布,每天比前一天更加用功,织布的速度也越来越快,从第二天起,每天比前一天多织相同量的布,第一天织5尺,一月织了七匹三丈,问每天增加多少尺布?”若这一个月有31天,记该女子一个月中的第n 天所织布的尺数为a n ,则a 1+a 3+⋅⋅⋅+a 29+a 31a 2+a 4+⋅⋅⋅+a 28+a 30的值为 A.2930B.1615C.13D.15【答案】B【解析】本题考查等差数列求和问题解答本题时要注意根据《九章算术》题中意思,构造等差数列,然后求和比较.由题可得,该问题可转化为等差数列求和问题.已知首项为5,设公差为d ,则31×5+31×322d =310,解得d =516.所以a 1+a 3+⋅⋅⋅+a 29+a 31a2+a 4+⋅⋅⋅+a 28+a 30=16×5+2+302×15×515×5+1+292×15×5=1615.故选B.7．若tanα−1tanα=32,α∈(π4,π2),则sin(2α+π4)的值为 A.±√210B.√25C.√210D.±√25【答案】C【解析】本题考查三角函数恒等变换.解答本题时要注意先根据条件求得tanα,再转化计算得到sinα及cosα.最后计算得到结论.因为tanα−1tanα=32,α∈(π4,π2),所以tanα=−12.所以sinα=√55,cosα=−2√55.所以sin (2α+π4)=√22sin2α+√22cos2α=√2sinαcosα+√22(2cos 2α−1)=√2×√55×(−2√55)+√22(2×25−1)=√210.故选C.8．某食品的保鲜时间y (单位:小时)与储存温度x (单位:°C )满足函数关系y =e kx+b (e =2.718⋯为自然对数的底数,k,b 为常数),若该食品在0°C 的保鲜时间是192小时,在22°C 的保鲜时间是48小时,则该食品在33°C 的保鲜时间是( )小时. A.22 B.23 C.24 D.33【答案】C【解析】本题考查函数模型的实际应用.解答本题时要注意根据条件确定函数关系式,然后求值计算.由题可得,{192=e b 48=e22k+b ,解得e 11k =12,所以当x =33时,y =e 33k+b =(e 11k )3∙e b=(12)3×192=24.故选C.9．已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如所示,为了得到y =f(x)的图象需将y =cos2x 的图象A.向右平移π3个单位长度 B.向左平移π3个单位长度 C.向右平移π6个单位长度 D.向左平移π6个单位长度【答案】A【解析】本题考查三角函数的图象与性质.解答本题时要注意先根据给出的函数的部分图象确定函数的解析式,然后考查函数图象平移问题.由图可知,T4=7π12−π3=π4,解得T =π=2πω,解得ω=2.由五点法可知,当x =π3时,2π3+φ=π2,解得φ=−π6.所以f (x )=sin (2x −π6)=cos(2x −π3).所以需将y =cos2x 的图象向右平移π3个单位长度即可得到y =f(x)的图象.故选A.10．已知定义在R 上的偶函数f(x),满足f (x +4)=f(x),且x ∈[0,2]时,f (x )=sin πx +2|sin πx |,则方程f (x )−|lg x |=0在区间[0,10]上根的个数是 A.18 B.19C.10D.9【答案】B【解析】本题考查函数与方程.解答本题时要注意利用函数的奇偶性及周期性,画出函数的图象,结合图象判断方程的根的情况.由题可得,因为f (x +4)=f(x),所以函数是周期为4的函数,因为当x ∈[0,2],f (x )=sin πx +2|sin πx |={3sinπx,0≤x ≤1−sinπx,1<x ≤2.因为函数是偶函数,所以可知函数的图象如图所示,在同一坐标系内画出函数y =|lg x |的图象.结合函数的图象可知,方程f (x )−|lg x |=0在区间[0,10]上根的个数是19个.故选B.11．在△ABC 和△AEF 中,B 是EF 的中点,AB =EF =1,BC =6,CA =√33,若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2,则EF⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角的余弦值为A.12 B.23C.34D.−13【答案】B【解析】本题考查平面向量的数量积运算.解答本题时要注意利用已知的向量数量积,化简求值,再结合数量积的定义,求得向量的夹角.因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ )+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2,即AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙BE⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2.因为AB =1,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =√33×1×2×√33×1=−1,BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以1+BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )−1=2,即BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2.设EF ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ,则有BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosθ=3cosθ=2.所以cosθ=23.故选B.12．设函数f(x)=e x (x −ae x )(其中e 为自然对数的底数)恰有两个极值点x 1,x 2(x 1<x 2),则下列说法中正确的是 A.0<a <13 B.0<x 2<1 C.−12<f(0)<0 D.f(x 1)+f(x 2)>0【答案】C【解析】本题考查导数及其应用.解答本题时要注意先对函数进行求导,然后利用函数恰有两个极值点,通过函数分解,考查函数图象的交点,判断选项的正确与否.由题可得,f ′(x )=e x (x −ae x )+e x (1−ae x )=e x (x +1−2ae x ).因为函数恰有两个极值点,所以f ′(x )=0有两个根,即x +1−2ae x =0有两个根x 1,x 2(x 1<x 2),所以函数y =x +1与y =2ae x 的图象有两个不同的交点.结合图形(图略)可知,要使满足条件,则0<2a <1,所以0<a <12.所以f (0)=−a ∈(−12,0).所以选项C 正确.故选C.二、填空题：共4题13．函数y =lg(−x 2−2x +3)的单调递增区间是________.【答案】(−3,−1]或(−3,−1)【解析】本题考查函数的单调性.解答本题时要注意根据复合函数的单调性的判断方式,求得函数的单调递增区间.由题可得,令−x 2−2x +3>0,解得−3<x <1.因为函数y =lgx 在定义域内单调递增,函数y =−x 2−2x +3在(-3,-1)上单调递增,在(-1,1)上单调递减,由复合函数的单调性判断方式可知,函数y =lg(−x 2−2x +3)的单调递增区间是(−3,−1)或(−3,−1].14．已知向量a =(6,−2),b =(1,m),且a ⊥b ,则|a −2b|= .【答案】4√5【解析】本题考查平面向量的数量积运算.解答本题时要注意先利用向量垂直,计算得到实数m的值,然后进行求模计算.因为向量a=(6,−2),b=(1,m),且a⊥b,所以6−2m= 0,解得m=3.所以a−2b=(4,-8),所以|a−2b|=√16+64=√80=4√5.15．已知数列{a n}的通项公式为a n=−n2+10n−194,当a1a2a3+a2a3a4+a3a4a5+⋯+a n a n+1a n+2取得最大值时,n的值为_________.【答案】9【解析】本题考查数列的求和.解答本题时要注意根据数列的通项公式,判断数列的项是正项的情况,然后判断使得结论取到最大值时的n的值.令a n=−n2+10n−194>0,由n∈N∗解得n≤9.且有a10<0,a11<0.因为a8a9a10+a9a10a11=−(16−194)(9−194)×19 4+(9−194)×194×(11+194)=(9−194)×194×(−5+192)>0,所以可知当n=9时,a1a2a3+a2a3a4+a3a4a5+⋯+a9a10a11取到最大值.16．若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(a−x)=2b(其中a2+b2≠0),则称函数y=f(x)为“中心对称函数”,称点(a,b)为函数f(x)的“中心点”.现有如下命题:①函数f(x)=sinx+1是“中心对称函数”;②若“中心对称函数”y=f(x)在R上的“中心点”为(a,f(a)),则函数F(x)=f(x+a)−f(a)是R上的奇函数;③函数f(x)=x3−2x2+6x−2是“中心对称函数”,且它的“中心点”一定为(1,2);④函数f(x)=2x−cos x是“中心对称函数”,且它的“中心点”一定为(π2,π).其中正确的命题是___ _____.(写出所有正确命题的序号)【答案】①②③【解析】本题考查函数的性质.解答本题时要注意根据中心对称函数的定义对命题逐一验证,得到正确的命题.由题可得,因为y=sinx图象关于点(0,0)对称,所以f(x)=sinx+1,图象关于点(0,1)对称,所以是中心对称函数,所以①正确;因为函数是中心对称函数,所以有f(a+x)+f(a−x)=2f(a),所以F(−x)=f(−x+a)−f(a)=2f(a)−f(a+x)−f(a)=f(a)−f(a+x)=−[f(a+x)−f(a)]=−F(x),所以函数是奇函数,所以②正确;因为f(1−x)+f(1+x)=(1−x)3−2(1−x)2+6(1−x)−2+(1+x)3−2(1+x)2+6(1+x)−2=1−3x+3x2−x3−2+2x−2x2+6−6x−2+1+3x+3x2+x3−2−2x−2x2+6+6x−2=4=2×2.所以可知函数f(x)=x3−2x2+6x−2是“中心对称函数”,且它的“中心点”一定为(1,2),所以③正确;因为f(π2−x)+f(π2+x)=2(π2−x)−cos(π2−x)+2(π2+x)−cos(π2+x)=2π−2sinx≠2π,所以函数不是中心对称函数,所以④错误.所以正确的命题是①②③.三、解答题：共6题17．已知向量a=(sinx,cos(π−x)),b=(2cosx,2cosx),函数f(x)=a⋅b+1.(1)求f(x)的对称中心;(2)求函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值,并求出相应x的值.【答案】(1)因为f(x)=a⋅b+1=2sin x cos x+cos(π−x)·2cos x+1=2sin x cos x−2cos2x+1=sin2x−cos2x=√2sin(2x−π4),所以f(x)的对称中心为(kπ2+π8,0)(k∈Z).(2)由(1)得,f(x)=sin2x−cos2x=√2sin(2x−π4),因为x∈[0,π2],所以2x−π4∈[−π4,3π4],所以当2x−π4=π2时,即x=3π8时,f(x)的最大值是√2;当2x−π4=π4时,即x=0时,f(x)的最小值是−1.【解析】本题考查三角函数的图象与性质.解答本题时要注意(1)利用平面向量数量积的坐标表示,结合三角恒等变换,化简函数的解析式,利用整体代换,求得函数的对称中心;(2)利用整体代换,结合函数y=sin x的图象与性质,求得函数在给定区间的最大值与最小值.18．已知函数f(x)＝log4(4x+1)＋kx(k∈R).(1)当k=−12时,若方程f(x)−m＝0有解,求实数m的取值范围;(2)试讨论f(x)的奇偶性.【答案】(1)由m＝f(x)＝log4(4x+1)−12x,∴m＝log44x+12x＝log4(2x+12x).∵2x+12x ≥2,∴m≥12.(2)依题意得定义域为R,关于原点对称∵f(x)=log4(4x+1)＋kx,f(−x)=log4(4−x+1)−kx,令f(x)=f(−x),得log44x+14−x+1＝−2kx,即log44x＝−2kx, ∴x=−2kx对一切k∈R恒成立.∴k=−12时f(x)=f(−x),此时函数f(x)是偶函数,∵f(0)=log 4(40+1)−k ×0=log 42=12,∴函数f(x)不是奇函数, 综上,当k =−12时,函数f(x)是偶函数; 当k ≠−12时,函数f(x)是非奇非偶函数.【解析】本题考查函数的性质及函数与方程.解答本题时要注意(1)利用方程有解,转化为函数值域问题,由此得到实数m 的取值范围;(2)根据实数k 的取值情况,利用函数奇偶性的定义,判断函数的奇偶性.19．已知数列{a n },{b n },S n 为数列{a n }的前n 项和,且满足a 2=4b 1,S n =2a n −2,nb n+1−(n +1)b n =n 2+n(n ∈N ∗). (1)求数列{a n }的通项公式;(2)试问{bn n}能否为等差数列,请说明理由;(3)若数列{c n }的通项公式为c n ={−a n bn 2,n 为奇数a nb n4,n 为偶数,令T n 为{c n }的前n 项的和,求T 2n .【答案】(1)当n =1时,S 1=2a 1−2⇒a 1=2,当n ≥2时,由{S n=2a n −2S n−1=2a n−1−2,得:a n =2a n −2a n−1,则a n =2a n−1, 综上,{a n }是公比为2,首项为2的等比数列,a n =2n ; (2){bn n}是等差数列,理由如下:∵a 2=4b 1,∴b 1=1,∵nb n+1−(n +1)b n =n 2+n ,∴bn+1n+1−b n n=1综上,{b nn}是公差为1,首项为1的等差数列,且bn n=1+n −1⇒b n =n 2; (3)令p n =c 2n−1+c 2n =−(2n−1)2⋅22n−12+(2n)2⋅22n4=(4n −1)⋅22n−2=(4n −1)⋅4n−1,{T 2n =3×40+7×41+11×42+⋯+(4n −1)×4n−14T 2n=3×41+7×42+11×43+⋯+(4n −5)×4n−1+(4n −1)×4n ①②①-②,得:−3T 2n =3⋅40+4⋅41+4⋅42+⋯+4⋅4n−1−(4n −1)⋅4n =3+16−4⋅4n 1−4−(4n −1)⋅4n ,所以T 2n =79+12n−79⋅4n .【解析】本题考查等比数列及其求和问题.解答本题时要注意(1)根据数列的前n 项和与通项之前的递推关系式,判断得到数列是等比数列,并由此表示得到通项公式;(2)根据递推关系式,判断得到数列{bnn}时等差数列,由此得到其通项公式;(3)通过化简得到数列的通项公式,结合错位相减法,求得数列的前n 项和.20．已知函数f(x)=e x −ax(a ∈R,e 为自然对数的底数).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若a =1,函数g(x)=(x −m)f(x)−e x +x 2+x 在(2,+∞)上为增函数,求实数m 的取值范围.【答案】(1)函数f(x)的定义域为R,f ′(x)=e x −a . 当a ≤0时,f ′(x)>0,∴f(x)在R 上为增函数; 当a >0时,由f ′(x)=0得x =lna ,当x ∈(−∞,lna)时,f ′(x)<0,∴函数f(x)在(−∞,lna)上为减函数, 当x ∈(lna,+∞)时,f ′(x)>0,∴函数f(x)在(lna,+∞)上为增函数 (2)当a =1时,g(x)=(x −m)(e x −x)−e x +x 2+x , ∵g(x)在(2,+∞)上为增函数;∴g ′(x)=xe x −me x +m +1≥0在(2,+∞)上恒成立, 即m ≤xe x +1e x −1在(2,+∞)上恒成立, 令ℎ(x)=xe x +1e x −1,x ∈(2,+∞),则ℎ′(x)=(e x )2−xe x −2e x(e −1)=e x (e x −x−2)(e −1),令L(x)=e x −x −2,L ′(x)=e x −1>0在(2,+∞)上恒成立,即L(x)=e x −x −2在(2,+∞)上为增函数,即L(x)>L(2)=e 2−4>0, ∴ℎ′(x)>0,即ℎ(x)=xe x +1e x −1在(2,+∞)上为增函数,∴ℎ(x)>ℎ(2)=2e 2+1e 2−1,∴m ≤2e 2+1e 2−1,所以实数m 的取值范围是(−∞,2e 2+1e 2−1].【解析】本题考查函数与导数的应用.解答本题时要注意(1)对函数进行求导,利用实数a 的取值情况,结合导数的正负,判断函数的单调性,求得函数的单调区间;(2)先确定函数的解析式,利用函数在给定区间的单调性,结合导数大于0恒成立,构造不等式,并参变分离,构造新的函数,求导,利用导数判断函数的单调性,求得最小值,由此计算得到实数m 的取值范围.21．如图所示,某住宅小区一侧有一块三角形空地ABO ,其中OA =3km,OB =3√3km,∠AOB =90∘.物业管理拟在中间开挖一个三角形人工湖OMN ,其中M,N 都在边AB 上(M,N 不与A,B 重合,M 在A,N 之间),且∠MON =30∘.(1)若M 在距离A 点2km 处,求点M,N 之间的距离;(2)为节省投入资金,三角形人工湖OMN 的面积要尽可能小.试确定M 的位置,使△OMN 的面积最小,并求出最小面积.【答案】(1)在△ABO 中,因为OA =3,OB =3√3,∠AOB =90∘,所以∠OAB =60∘, 在△OAM 中,由余弦定理得:OM 2=AO 2+AM 2−2AO ⋅AMcosA =7, 所以OM =√7, 所以cos∠AOM =OA 2+OM 2−AM 22AO⋅AM=2√77,在△OAN 中,sin∠ONA =sin(∠A +∠AON)=sin(∠AOM +90∘)=cos∠AOM =2√77, 在△OMN 中,由MNsin30∘=OMsin∠ONA ,得MN =√72√77×12=74;(2)设∠AOM =θ,0∘<θ<60∘ ,在△OAM 中,由OMsin∠OAB =OAsin∠OMA ,得OM =3√32sin(θ+60∘), 在△OAN 中,由ONsin∠OAB =OAsin∠ONA ,得ON =3√32sin(θ+90∘)=3√32cosθ,所以S △OMN =12OM ⋅ONsin∠MON =12⋅3√32sin(θ+60∘)⋅3√32cosθ⋅12＝2716sin(θ+60∘)cosθ＝8sinθcosθ+8√3cos 2θ＝4sin2θ+4√3cos2θ+4√3＝8sin(2θ+60∘)+4√30<θ<60∘.当2θ+60∘=90∘,即θ=15∘时,S △OMN 的最小值为27(2−√3)4.所以应设计∠AOM =15∘,可使△OMN 的面积最小,最小面积是27(2−√3)4km 2【解析】本题考查解三角形的实际应用.解答本题时要注意(1)在三角形中利用余弦定理求得OM 及cos∠AOM 的值,再利用正弦定理求得MN 的值;(2)利用正弦定理分别求得OM 和ON 的值,然后表示三角形的面积,结合三角函数的有界性,求得面积的最小值.22．已知数列{a n }满足a n =n t+1(n,t ∈N ∗,t ≥3,t 为常数,n ≤t).(1)设S n =∑1a ini=1=1a 1+1a 2+⋯+1a n,n ∈N ∗,证明:S n >(t +1)ln(n +1);(2)证明:a n <e a n −1(e 为自然对数底数);(3)设T n =∑(a k )t nk=1=(a 1)t +(a 2)t +(a 3)t +⋯(a n )t ,n ∈N ∗,试比较与T n 与1的大小关系,并说明理由.【答案】(1)即证:1(t+1)a 1+1(t+1)a 2+⋯+1(t+1)a n>ln(n +1),即证:1+12+13+⋯+1n >ln(n +1),设g(x)=x −ln(x +1),g ′(x)=1−1x+1=xx+1,∵当x >0时,g ′(x)>0,g(x)在(0,+∞)上单调递增,当−1<x <0时,g ′(x)<0,g(x)在(−1,0)上单调递减,∴g(x)=x −ln(x +1)≥g(0)=0(当且仅当x =0时等号成立),即x >0时,有x >ln(x +1),∴1+12+13+⋯+1n >ln 2+ln 32+ln 43+⋯+lnn+1n =ln(n +1), ∴1a 1+1a 2+⋯+1a n >(t +1)ln(n +1), (2)由(1)知:当x >−1且x ≠0时,有x >ln(x +1),即当x >0且x ≠1时,有x −1>lnx ,因为0<a n =n t+1≤t t+1<1,所以a n −1>lna n ,即a n <e a n −1(3)T n =∑(a k )t n k=1=(a 1)t +(a 2)t +(a 3)t +⋯+(a n )t <1,理由如下:由(2)知:(a 1)t +(a 2)t +(a 3)t +⋯+(a n )t <(e a 1−1)t +(e a 2−1)t +(e a 3−1)t +⋯+(e a n −1)t =(e t )a 1−1+(e t )a 2−1+(e t )a 3−1+⋯+(e t )a n −1=e −t 2t+1(1−e tn t+1)1−e t t+1≤e −t 2t+1(1−e t 2t+1)1−e t t+1=e −t 2t+1−11−e t t+1, 设e t t+1=q ,因为q =e t t+1≥e 34>2,∴e −t 2t+1−11−e t t+1=q −t −11−q =1−q −t q−1<1q−1<1,所以T n =∑(a k )t n k=1=(a 1)t +(a 2)t +(a 3)t +⋯+(a n )t <1.【解析】本题考查数列与不等式.解答本题时要注意(1)通过将问题转化,构造新的函数,求导,利用导数判断函数的单调性,求得最小值,通过构造,证明不等式成立;(2)根据(1)的结论,构造不等式,通过证明a n −1>lna n ,得到结论成立;(3)利用(2)的结论,结合放缩法,构造等比数列,利用等比数列求和及放缩法,比较得到T n 与1的大小关系.。
湖北省华中师范大学第一附属中学2016-2017学年高二上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案
华中师大附中2016—2017学年度上学期高二期末检测数学试题（理科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.设{}{},x Z A B ∈==奇数偶数，若命题:,2p x A x B ∀∈∈，则其否定为A. ,2x A x B ∃∈∉B. ,2x A x B ∀∉∉C. ,2x A x B ∃∉∈D. ,2x A x B ∃∈∉2.在华中师大一附中首届数学节的演讲比赛中，七位评委为某参赛教师打出的分数的茎叶图如图所示，去掉最高分和最低分后，这位老师得分的方差为A. 1.14B. 1.6C. 2.56D. 33.对于给定的样本点所建立的模型A 和模型B ，它们的残差平方和分别是212,,a a R 的值分别为12,b b ，下列说法正确的是A. 若12a a <，则12b b <，A 的拟合效果更好B.若12a a <，则12b b <，B 的拟合效果更好C. 若12a a <，则12b b >，A 的拟合效果更好D.若12a a <，则12b b >，B 的拟合效果更好4.圆229x y +=，以()2,1M 为中点的弦所在的直线方程为A. 240x y +-=B. 490x y +-=C. 230x y --=D. 250x y +-=5.如图，程序运行后输出的结果是 A. 16 B. 32 C. 64 D. 1286.如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，过点A 作平面1A BD 的垂线，垂足为点H ，给出以下命题：①H 是1A BD ∆的垂心;②AH 垂直于平面11CB D ；③AH 的延长线过点1C ；④直线AH 和1BB 所成角的大小为45 ，其中正确的命题个数为A. 1B. 2C. 3D. 47.甲乙丙三人之间相互传球，球从一个人手中随机传到另外一个人手中，若开始时球在甲手中，则经过三次传球后，球传回甲手中的概率为 A. 14 B. 13 C. 38 D.128.一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. 2π+4π+23π+ D. 43π+9.如果程序框图中输入2,0.5x h =-=，那么输出的各个数的和等于A. 3B. 3.5C. 4D. 4.510.若[]0,5A ∈，则方程22320x ax a ++-=有两个负根的概率为 A. 14 B. 34 C. 13 D. 2311.已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为A. 1B.12.已知ABC ∆的边长为,,a b c ，定义它的等腰判别式为{}{}max ,,min ,,D a b b c c a a b b c c a =---+---，则“0D =”是ABC ∆为等腰三角形的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.李明和李华同时到公交站等1路车和2路车回家，若李明的1路车8分钟一班，李华的2路车10分钟一班，则李明先李华上车的概率为 .14.在把()21111化为十进制数的程序框图（见第2页），判断框内应填入的内容为 .15.设()1,0,A B -是圆()22:116F x y -+=上的动点，AB 垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程是 .16.给出以下命题：①若方程220x x m ++=有实根，则2m ≤；②若双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线斜率为2ABC ∆中，一定sin cos A B >成立；④秦九韶算法的特点在于把求一个n 次多项式的值转化为求n 个一次多项式的值；⑤随机模拟方法的奠基人是蒙特卡罗.其中正确的命题序号为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分10分）某城市100户居民的月平均用水量（单位：吨），按[)[)[)[)[)[)[)[)0.5,1,1,1.5,1.5,2,2,2.5,2.5,3,3,3.5,3.5,4,4,4.5分组的频率分布直方图如图.（1）求月平均用水量的众数和中位数；（2）在月平均用水量为[)[)[)1.5,2,2,2.5,2.5,3的三组用户中，用分层抽样的方法抽取12户居民参加用水价格听证会，则月平均用水量在[)2,2.5的用户中应抽取多少户？18.（本题满分10分）同时投掷两个骰子，记向上的点数分别为,a b ，设函数()()2 1.f x a b x bx =-++（1）求()f x 为偶函数的概率；（2）求()f x 在1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增的概率.19.（本题满分12分）设()()1,0,2,1,A B C 是抛物线24y x =上的动点.（1）求ABC ∆周长的最小值；（2）若C 位于直线AB 左上方，求ABC ∆面积的最大值.20.（本题满分12分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，2,,AB M N =分别是1,CC AB 的中点.（1）求证：//CN 平面1AMB ；（2）若二面角1A MB C --的大小为45 ，求三棱柱111ABC A B C -的高.21.（本题满分12分）设命题()()()11:,1212n n p n N a n +*-∀∈-⋅+<+，命题:q 当()()20,,sin cos 2x x a x a a π⎛⎫∃∈--= ⎪⎝⎭. （1）当1a =-时，分别判断命题p 和q 的真假；（2）如果p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求实数a 的取值范围.22.（本题满分12分）已知圆222:O x y r +=的任意一条切线l 与椭圆22:163x y M +=都有两个不同的交点A,B.（1）求圆O 半径r 的取值范围；（2）是否存在圆O ，满足OA OB ⊥恒成立？若存在，求出圆O 的方程及OA OB ⋅ 的最大值；若不存在，说明理由.。
高三下学期独立作业30(选填专项二十)
华中师大一附中2017级高三下学期数学独立作业30高三数学选填题专项训练(二十)班级________ 学号________ 姓名________ 分数________一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.若(x 2－a )⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( ) A.13 B ．12C ．1D ．2 2．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －1≥0，x －y ＋1≥0，2x －y －2≤0表示的平面区域为M ，若直线kx －y ＋1＝0(k ∈R)平分M 的面积，则实数k 的值为( )A ．13B ．12C ．－12D ．－133．定义集合的商集运算为A B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝m n ，m ∈A ，n ∈B .已知集合A ＝{2,4,6}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 2－1，k ∈A ，则集合B A ∪B 中的元素个数为 ( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．94．在电视台举办的一次智力答题中，规定闯关者从图中任选一题开始，必须连续答对能连成一条线的3道题目，闯关才能成功，则闯关成功的答题方法有( )A ．3种B ．8种C ．30种D ．48种 5.已知(x x 12-)n 的展开式中第三项与第五项的系数之比为143，则展开式中常数项是( )A.－1B.1C.－45D.456.方程中的，且互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）A.60条B.62条C.71条D.80条7.设双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P .若以A 1A 2为直径的圆与直线PF 2相切，则双曲线C 的离心率为( )A ． 2B ． 3C ．2D ．5 22ay b x c =+,,{3,2,0,1,2,3}a b c ∈--,,a b c8．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导函数为f ′(x )．若∀x ∈R ，不等式f (x )≥f ′(x )恒成立，则b 2a 2＋2c 2的最大值为( ) A ．6＋2 B ．6－2 C ．22＋2 D ．22－29．已知函数()sin()cos()(,,,)22f x a x b x a b ππαβαβ=+++为常数，且(8)f m =，设从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为,t s ，共可得到lg lg t s -的不同值的个数是m ，则(2018)f 的值为（ ）A ．18B ．20C ．－20D ．－1810．已知向量a ，b 满足a ·(a ＋2b )＝0，|a |＝|b |＝1，且|c －a －2b |＝1，则|c |的最大值为( )A ．2B ．4C ．5＋1D ．3＋111．若函数51()cos 2(sin cos )612f x x x m x x =--+-在(,)-∞+∞上单调递减，则m 的取值范围是（ ） A ．11[,]22- B ．22[,]33- C ．33[,]33-D ．22[,]22-12．在三棱锥A BCD 中，△ABC 为等边三角形，AB ＝23，∠BDC ＝90°，二面角A BC D 的大小为150°，则三棱锥A BCD 的外接球的表面积为( )A ．7πB ．12πC ．16πD ．28π二、填空题（每小题5分，共20分）13．设2018220180122018(1)ax a a x a x a x -=++++L ，若1232018232018a a a a ++++L 2018(0)a a =≠，则实数a = .14．已知函数f (x )＝x ln x －a e x (e 为自然对数的底数)有两个极值点，则实数a 的取值范围是________15．已知函数()3292930f x x x x =-+-，实数,m n 满足()12f m =-， ()18f n =，则m n +=16.如图，将正整数排成三角形数阵,每排的数称为一个群,从上到下顺次为第1群,第2群,…,第n 群,…,第n 群恰好有n 个数,则第n 群中n 个数的和是答 案1.D2.B3.B4.D5.D6.B7.D8.B9.D 10.D 11.B 12.D13. 2 14. ⎝⎛⎭⎫0，1e 15. 6 16. 3×2n -2n-3 部分题目详细解析： 7.[解析] 如图所示，设以A 1A 2为直径的圆与直线PF 2的切点为Q ，连接OQ ，则OQ ⊥PF 2.又PF 1⊥PF 2，O 为F 1F 2的中点，所以|PF 1|＝2|OQ |＝2A ．又|PF 2|－|PF 1|＝2a ，所以|PF 2|＝4A ．在Rt △F 1PF 2中，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2⇒4a 2＋16a 2＝20a 2＝4c 2⇒e ＝c a＝ 5. 8. 解析： 由题意得f ′(x )＝2ax ＋b ，由f (x )≥f ′(x )在R 上恒成立，得ax 2＋(b －2a )x ＋c －b ≥0在R 上恒成立，则a >0且Δ≤0，可得b 2≤4ac －4a 2，则b 2a 2＋2c 2≤4ac －4a 2a 2＋2c 2＝4⎝⎛⎭⎫c a －12⎝⎛⎭⎫c a 2＋1，又4ac －4a 2≥0，∴4·c a －4≥0，∴c a －1≥0，令t ＝c a －1，则t ≥0.当t >0时，b 2a 2＋2c 2≤4t 2t 2＋4t ＋3＝42t ＋3t＋4≤426＋4＝6－2当且仅当t ＝62时等号成立，当t ＝0时，b 2a 2＋2c 2＝0<6－2，故b 2a 2＋2c 2的最大值为6－2. 10. 解析：设a ＝OA ―→，a ＋2b ＝OB ―→，c ＝OC ―→，且设点A 在x 轴上，则点B 在y 轴上，由|c －a －2b |＝1，可知|c －(a ＋2b )|＝|OC ―→－OB ―→|＝|BC ―→|＝1，所以点C 在以B 为圆心，1为半径的圆上，如图所示．法一：因为a ·(a ＋2b )＝0，所以2a ·b ＝－|a |2.又|a |＝|b |＝1，所以|a ＋2b |＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ＝4|b |2－|a |2＝3，所以|c |max ＝|OB ―→|＋1＝|a ＋2b |＋1＝3＋1.法二：连接AB ，因为OB ―→＝OA ―→＋AB ―→＝a ＋2b ， 所以AB ―→＝2b .因为|a |＝|b |＝1，所以|AB ―→|＝2，|OA ―→|＝1，所以|OB ―→|＝|AB ―→|2－|OA ―→|2＝3，所以|c |max ＝|OB ―→|＋1＝3＋1.12. 解析：满足题意的三棱锥A BCD 如图所示，设三棱锥A BCD 的外接球的球心为O ，半径为R ，△BCD ，△ABC 的外接圆的圆心分别为O 1，O 2，易知O ，O 1，O 2在同一平面内，由二面角A BC D 的大小为150°，易得∠OO 1O 2＝150°－90°＝60°.依题意，可得△BCD ，△ABC 的外接圆的半径分别为r 1＝BC 2＝232＝3，r 2＝232sin 60°＝2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ R 2＝OO 21＋r 21，R 2＝OO 22＋r 22，sin ∠OO 1O 2＝OO 2OO 1，即⎩⎪⎨⎪⎧ R 2＝OO 21＋3，R 2＝OO 22＋4，OO 2＝32OO 1，解得R ＝7，所以三棱锥A BCD 的外接球的表面积为4πR 2＝28π.14. 解析：由题易知，f ′(x )＝1＋ln x －a e x ，令f ′(x )＝0，得a ＝1＋ln x e x，函数f (x )有两个极值点，则需f ′(x )＝0有两个实数根，等价于a ＝1＋ln x e x有两个实数根，等价于直线y ＝a 与y ＝1＋ln x e x的图象有两个交点． 令g (x )＝1＋ln x e x ，则g ′(x )＝1x －1－ln x e x， 令h (x )＝1x－1－ln x (x >0)，得h (x )在(0，＋∞)上为减函数，且h (1)＝0， 所以当x ∈(0,1)时，h (x )>0，故g ′(x )>0，g (x )为增函数，当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<0，故g ′(x )<0，g (x )为减函数，所以g (x )max ＝g (1)＝1e ，又当x →＋∞时，g (x )→0，所以g (x )的图象如图所示，故0<a <1e. 16. 解析：通过观察可得每群的第1个数分别为1,2,4,8,16,…,构成以1为首项,2为公比的等比数列,所以第n 群的第1个数是2n-1,第n 群的第2个数是3×2n-2,…,第n 群的第n-1个数是(2n-3)×21,第n 群的第n 个数是(2n-1)×20,所以第n 群的所有数之和为2n-1+3×2n-2+…+(2n -3)×21+(2n-1)×20,根据错位相减法求其和为3×2n-2n-3.。
湖北省华中师范大学第一附属中学2017届高三上学期训练(七)理综物理试题
二、选择题：本大题共8小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，第14-17题只有一项是符合题目要求，第18-21题有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分。
有选错的得0分。
1. 不计空气阻力情形下将一物体以一定的初速度竖直上拋一物体，从拋出至回到拋出点的时间为2t，若在物体上升的最大高度的一半处设置一水平挡板，仍将该物体以相同的初速度竖直上抛，物体撞击挡板前后的速度大小相等、方向相反。
撞击所需时间不计，则这种情况下物体上升和下降的总时间约为A. 0.2tB. 0.3tC. 0.5tD. 0.6t【答案】D考点：竖直上抛运动【名师点睛】竖直上抛运动上升过程和下降过程具有对称性，上升过程和下降过程经过同一点时速度大小相等，方向相反。
上升过程和下降过程经过同一段高度时，所用的时间相等。
竖直上升运动，可按反方向的自由落体运动处理。
2. 如图，战机在斜坡上方进行投弹演练。
战机水平匀速飞行，每隔相等时间释放一颗炸弹，第一颗落在a点，第二颗落在b点。
斜坡上c、d两点与a、b共线，且ab=bc=cd，不计空气阻力。
第三颗炸弹将落在A. bc之间B. c点C. cd之间D. d点【答案】A【解析】试题分析:作出飞机的轨迹如图：y2>2y1，所以第三颗炸弹的轨迹不经过cC，则第三颗炸弹将落在bc之间，故A正确；故选A．考点：考查平抛运动．【名师点睛】考查平抛运动的规律，明确水平向与竖直向的运动规律．会画草图进行分析求解．考查的是数学知识．注意：过b点画水平线分析更简单，水平方向速度不变，而竖直方向速度越来越大，所以越往下，在相同时间内，水平位移越小．3. 甲、乙两球质量分别为、，从同一地点（足够高）处同时由静止释放。
两球下落过程所受空气阻力大小f仅与球的速率v成正比，与球的质量无关，即f=kv（k为正的常量）。
两球的v-t图象如图所示。
落地前，经时间两球的速度都已达到各自的稳定值v1、v2。
华中师大一附中2017年自主招生考试数学试题(word版附答案)
华中师大一附中2017年高中招生考试数学试题考试时间：80分钟卷面满分：150分说明：所有答案一律书写在答题卡上，写在试卷上作答无效．一、选择题(本大题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的．)1．实数a，b，c在数轴上对应的点如右图所示，化简代数式√a2−2a＋1＋∣b−c∣－√a2−2ab＋b2的结果为( )A．2b－c－1 B．－1 C．2a－c－1 D．b－c＋12．已知点A，B分别是双曲线y=4x和直线y=－x上任意一点，则AB的最小值为( ) A．2 B．4√2C．4 D．2√23．如图，反比例函数y=kx(k为非零常数)的图象经过二次函数y=ax2＋bx(a，b为常数，且a≠0)的图象的顶点(－12，m) (m>0)则( )A．a=b＋2k B．a=b－2kC．k＜b＜0 D．a＜k＜04．若实数a，b满足a2＋b2=4，则√a(b−4)3＋√ab−3a+2b−6=( )A．－2 B．0 C．2 D．45．已知y=f(x)满足：(1)f(1)=1(f(1)表示x=1时对应的y的值，下同) ；(2)当0<x<1时f(x)>0；(3)对任意实数x，y有f(x＋y)－f(x－y)=2 f(1－x) f(y)，则f(13)=( )A．1 B．12C．√22D．√336．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点E，F分别是AB，BC边上的两动点，且EF=2，点G为EF的中点，点H为AD边上一动点，连接CH，GH，则GH＋CH的最小值为( )A．4√5B．9C．√83D．√85二、填空题(本大题共6小题，每小题7分，共42分)7．x=b−√b2−4122(b＞21)，则x2－bx＋103=__________．8．已知关于x的方程x−1x−2−xx+1=ax+1x2−x−2无解，则a的值为__________．9．已知√x2−1+√x2+6=7，则√x2−9+√x2−6=__________．10．如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，若折痕AE=5√5，且tan∠EFC=34，连接DF．则点A到DF的距离为__________．第10题图第11题图11．如图，PA，PB分别切⊙O于点A、点B，AC是⊙O的直径，AC，PB的延长线交于点E，F为AP的中点，AB分别交OP、EF于点T、点S．若BEBP =23，则ATSB=__________．12．定义：使函数y=f(x)的函数值为零的x的值叫函数y=f(x)的幸运点(如：y=x2－2x+1 的幸运点为x=1；y=x2－2x－3的幸运点为x=3，x=－1；y=x＋1的幸运点为x=－1)．设f(x) ={(x+1)2−3(x≤1)1x(x＞1)，若g(x) =f(x)－b恰好有两个幸运点，则实数b的取值范围为__________．三、解答题(本大题共4小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤) 13．(本小题满分16分)如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，连接AC交⊙O于点E，连接BC交⊙O于点D，AD、BE交于点F，连接DE．(1)求证：点F在△ABC的AB边的高上；(2)若AB=√2DE，求∠AFB的度数．14．(本小题满分16分)(1)设k，t为常数，解关于x的方程kx2＋(3－3k)x＋2k－6=0…①(2)在(1)的条件下，若方程①只有整数根，且关于y的一元二次方程(k＋3)y2－15y＋t=0…②有两个正整数根y1，y2，则t为何值时，y21+y22有最小值？15．(本小题满分16分)已知ABCD 的对角线AC 、BD 相交于E 点，∠CAD=a ，∠BAC=β． (1)如图1，若a =2β，BD=10，AD=8，求AC 的长；(2)如图2，若a =β=45°，点M 为线段AB 上一动点，连接DM ，将DM 绕D 点逆时针旋转60°得线段DN ，连接BN ．若点M 由A →E 匀速运动，点M 到达E 点后运动停止，在点M 运动的过程中，∠CBN 的度数是否变化？若变化，求其取值范围；若不变，求其值．16．（本小题满分18分）已知抛物线y ＝x 2的图象如图1所示，A （0，a ）（a ＞0），直线l ：y ＝−14，点B 为抛物线上的任意一点且恒满足点B 到A 点距离与点B 到l 的距离相等． (1)求a 的值；(2)如图2，若直线l 1：y ＝kx ＋14交抛物线于E ，D 两点，连接DO 、OE ． ①过点E 作EC ⊥x 轴于点C ，过点D 作DF ⊥x 轴于点F ，求tan ∠OEC tan ∠DOF的值；②过点E 作EM ⊥l 于点M ，过点D 作DN ⊥l 于点N ，点G 为MN 的中点，若点G 到DE 的距离为√52，求k 值．ABCDE MA BDCEN 图1图2华中师大一附中2017年高中招生考试数学试题参考答案考试时间：80分钟 卷面满分：150分说明：所有答案一律书写在答题卡上，写在试卷上作答无效．一、选择题(本大题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的．)7．08．1，2，49．310．4√511．7412．－3<b ≤0或b =1三、解答题(本大题共4小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤) 13．（1）∵AB 为直径，∴∠ADB ＝90°，∠AEB ＝90° ∴AD 、BE 是△ABC 的两条高， ∴F 是△ABC 的AB 边上的高．（2）∵∠CDE ＝∠CAB ，∠C ＝∠C ，∴△CDE ∽△CAB ， ∴CD AC=DE AB=√22=cosC ，∴∠C=45°，∵∠C ＋∠EFD ＝180°，∴∠AFB ＝∠EFD ＝135°． 14．（1）当k ＝0时，x ＝2符合题意；当k ≠0时，则(x －2)(kx ＋3－k )＝0，∴x 1＝2，x 2＝k−3k（2）由（1）得，k ＝0时，x ＝2∴y 1＋y 2＝5，y 1·y 2＝tk+3，∴(y 1，y 2，t )＝(4，1，12)或(3，2，18)或(1，4，12)或(2，3，8) ∴y 21+y 22＝17或13 当k ≠0时，x 1＝2，x 2＝k−3k∴k ＝31−x 2，则k ＋3＝6−3x 21−x 2，y 1＋y 2＝5(1−x 2)2−x 2＝5＋5x 2−2≥2，∴x 2－2＝－5，1，5，∴x 2＝－3，3，7 ∴k ＝34，−32，12，∴y 1＋y 2＝4，10，6当y 1＋y 2＝4时，(y 1，y 2)＝(3，1)或（2，2）或（1，3），y 21+y 22＝8或10 当y 1＋y 2＝6时，y 21+y 22＝(6－y 2)2＋y 22＝2(y 2－3)2＋18≥18 当y 1＋y 2＝10时，y 21+y 22＝(10－y 2)2＋y 22＝2(y 2－5)2＋50≥50∴(y 21+y 22)min ＝8，∴y 1＝y 2＝2，k ＝34，又y 1·y 2＝tk+3，∴t ＝(k ＋3)y 1·y 2＝15 综上，当t ＝15时，y 21+y 22有最小值．15．（1）以B 为圆心，BC 为半径画弧交AC 于C ，F 两点，连接BF ，作BS ⊥AC 于S ∵a =2β，∠BCA ＝∠DAC ＝∠BFC ，∴∠ABF ＝∠BAF ∴BC ＝AD ＝BF ＝AF ＝8∴ES ＝CE －CS ＝12AC －12CF=12AF ＝4∴BS ＝√52−42＝3，∴CS ＝√82−32＝√55，∴CE ＝4＋√55 ∴AC=8+2√55或延长EC 至T ，使CT ＝BC ，连接BT ，做法与上法类似． （2）法1：以AD 为边作等边△AFD ，以DE 为边作等边△DEG （如图所示），连NG ，FG ∵a =β=45°，易证四边形ABCD 为正方形， 易证△MDE ≌△NDG ，△ADE ≌△FDG ， ∠FGD ＝∠AED ＝∠NGD ＝90°， ∴F ，N ，G 三点共线∠ABF ＝∠AFB ＝75°，∠DBF ＝30°延长BF 交直线DG 于G ′，∴∠BG ′D ＝90°， ∴BD ＝2DG ′＝2DG ，∴G 与G ′重合，∴B 、F 、N 、G 四点共线，∴∠NBD ＝30°，∠CBN ＝15°不变． 法2：作等边△DEG ，连接NG ，易证△MDE ≌△NDG ，∴∠MED ＝∠NGD ＝90°，∠EDG ＝60°，延长GN 交直线BD 于B ′，则DB ′＝2DG ， 又∵BD ＝2DG ，∴BD ＝DB ′，∴B 与B ′重合，∴∠DBG ＝30°，∴∠CBN ＝15°． 16．（1）设B(x ，y )，∴y ＝x 2，∴x 2＋(y －a )2＝(y ＋14)2，∴(12－2a )y ＋a 2－116＝0， ∴{12－2a =0a 2－116=0，∴a ＝14，或B 与O 重合，a ＝14，再证BA 与B 到直线l 的距离相等． （2）①作BC ⊥x 轴于C ，DF ⊥x 轴于F ，设ED 的解析式为y ＝kx ＋14，E(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)，{y =x 2y ＝kx ＋14，∴x 2－kx －14＝0，∴x 1＋x 2＝k ，x 1·x 2＝－14，∴y 1＝x 21，y 2＝x 22 ∴tan ∠OEC ＝−x 1y 1，tan ∠DOF ＝y 2x 2，∴tan ∠OECtan ∠DOF＝−x 1y 1·y 2x 2＝4（3）∵EA ＝EM ，DN ＝DA ，∴∠EAM ＋∠DAN ＝12（180°－∠AEM ＋180°＋∠ADM ）＝90°，∴∠MAN ＝90°∴GA ＝GM ＝GN ，∴△GME ≌△GAE ，∴∠GAE ＝∠GMA ＝90°，∴GA ⊥DE ，MN ＝∣x 1－x 2∣＝√(x 1−x 2)2−4x 1x 2＝√k 2+1＝2GA ＝√5，∴k ＝±2．。
湖北省华中师范大学第一附属中学2017届高三上学期训练
华师一附中理科综合试题6（8.28）物理部分二、选择题：本大题共8小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，第14~17题只有一项是符合题目要求，第18~21题有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分。
有选错的得0分。
14．（2016·全国新课标Ⅲ卷）如图，两个轻环a 和b 套在位于竖直面内的一段固定圆弧上；一细线穿过两轻环，其两端各系一质量为m 的小球。
在a 和b 之间的细线上悬挂一小物块。
平衡时，a 、b 间的距离恰好等于圆弧的半径。
不计所有摩擦。
小物块的质量为A ．2m BC ．mD ．2m 【答案】C【解析】根据题意设悬挂小物块的点为O '，圆弧的圆心为O ，由于ab=R ，所以三角形Oab 为等边三角形，根据几何知识可得120aO b '∠=，而一条绳子上的拉力相等，故T mg =，小物块受到两条绳子的拉力作用且两力大小相等，夹角为120°，故受到的拉力的合力等于mg ，因为小物块受到绳子的拉力和重力作用，处于静止状态，故拉力的合力等于小物块的重力，为mg ，所以小物块的质量为m ，C 正确。
15．（2016·四川卷）国务院批复，自2016年起将4月24日设立为“中国航天日”。
1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440 km ，远地点高度约为2060 km ；1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35786 km 的地球同步轨道上。
设东方红一号在远地点的加速度为a 1，东方红二号的加速度为a 2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a 3，则a 1、a 2、a 3的大小关系为A ．a 2＞a 1＞a 3B ．a 3＞a 2＞a 1C ．a 3＞a 1＞a 2D ．a 1＞a 2＞a 3 【答案】D【解析】东方红二号和固定在地球赤道上的物体转动的角速度相同，根据a=ω2r 可知，a 2＞a 3；根据2MmGma r =可知a 1＞a 2；故选D 。
2017届华南师大附中高三综合测试一理科数学参考答案
2016-2017学年度高三综合测试（一）参考答案数学（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．三. 解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算过程. 17. 解：（Ⅰ）3327x ≤≤即13333x ≤≤，13x ∴≤≤，∴{}31≤≤=x x A ，…………2分2log 1x >，即22log log 2x >，2x ∴>∴{}2B x x =>，……………3分{}|23AB x x ∴=<≤；{}2RB x x =≤{}|3RBA x x ∴=≤ ………………………………………………………5分（Ⅱ）由（1）知{}31≤≤=x x A ，当C A ⊆ ……………………………………6分当C 为空集时，1a ≤ 当C 为非空集合时，可得 31≤<a综上所述3a ≤ …………………………………………………………………10分18．解：（Ⅰ）对p ：由得，因为0a , 所以3a x a ………………………………………………2分 当时，解得1<,即为真时，实数的取值范围是1<. 又为真时实数的取值范围是………………………………………4分 若为真，则真且真，所以实数的取值范围是()2,3 . …………………………………………… 6分(Ⅱ) p 是q 的必要不充分条件，即q p ,且p q ，设{}{}(),()A x p x B x q x ==, 则 B A ……………………………………8分又，A =；所以有233a a ≤⎧⎨≤⎩解得12a ≤≤，所以实数a 的取值范围是[]1,2 ……………12分19．解：（Ⅰ）()f x 是定义在R 上的奇函数，(0)0,10,1f k k ∴=∴-=∴= …………………….2分1(1)0,0f a a>∴->，又0a >且1, 1.a a ≠∴> ……………………4分 易知()f x 在R 上单调递增，原不等式化为：2(2)(4)f x x f x +>-22430x ax a -+<(3)()0x a x a --<1a =3x <p x 3x <q x 23x <≤p q ∧p q x ⇒⇒/(2,3]B =(,3)a a224x x x ∴+>-，即2340x x +-> 14x x ∴><-或∴不等式的解集为{|14}x x x ><-或. ………………………………………6分（Ⅱ）313(1),22f a a =∴-=，……212320,22a a a a --=∴==-或（舍去）222()222(22)(22)2(22)2x x x x x x x x g x m m ----∴=+--=---+ ………9分令()22xxt f x -==-22231,(1),()22()22x t f g t t mt t m m ≥∴≥=∴=-+=-+-当32m ≥时，当t m =时，2min ()22,2g t m m =-=-∴=当32m <时，当32t =时，min 17()324g t m =-=-， 解得253122m =>，舍去. 综上可知2m =． …………………………………………………………………12分20.解：（Ⅰ）由题意知，点,M N 的坐标分别为()5,40，()20,2.5.将其分别代入2a y x b =+，得40,25 2.5.400aba b⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩解得1000,0.a b =⎧⎨=⎩ …………….4分（Ⅱ）①由（Ⅰ）知，21000y x =(520)x ，则点P 的坐标为21000(,)t t ， 设在点P 处的切线l 交,x y 轴分别于,A B 点，32000y x'=-， 则l 的方程为2310002000()y x t t t -=--，由此得3(,0)2t A ，23000(0,)B t . 故()f t ==，[]5,20t ∈. ……………….8分 ②设624410()g t t t ⨯=+，则651610()2g t t t⨯'=-.令()0g t '=.解得t = 当(t ∈时，()0g t'<，()g t 是减函数；当()t ∈时，()0g t'>，()g t 是增函数.从而，当t =()g t 有极小值，也是最小值，所以min ()300g t =，此时min ()f t =.答：当t =l 的长度最短，最短长度为………………….12分21. 解：(Ⅰ)令0x y ==，恒等式可变为(00)(0)(0)1f f f +=+-，解得(0)1f = ……1分(Ⅱ)任取12x x <，则210x x ->，由题设0x >时，()1f x >，可得21()1f x x ->∵()()()1f x y f x f y +=+-∴()()()()21211211()1f x f x x x f x f x x f x =+-=+-->⎡⎤⎣⎦所以()f x 是R 上增函数 …………………………4分 （Ⅲ）由已知条件有：()()()22221f ax f x xf ax x x -+-=-+-+故原不等式可化为：2(2)13f ax x x -+-+<,即()2122f x a x ⎡⎤-++-<⎣⎦ 而当*N n ∈时，()(1)(1)1(2)2(1)2f n f n f f n f =-+-=-+-=()(3)3(1)3(1)1f n f nf n -+-=⋅⋅⋅=--所以(6)6(1)5f f =-，所以(1)2f =, 故不等式可化为()212(1)f x a x f ⎡⎤-++-<⎣⎦由（2）可知()f x 在R 上为增函数，所以()2121x a x -++-<即()2130x a x -++>在[)1,x ∈-+∞上恒成立，令()2()13g x x a x =-++，即min ()0g x >成立即可①当112a +<-即3a <-时，()g x 在[)1,x ∈-+∞上单调递增 则()min ()(1)=1+130g x g a =-++>解得5a >-，所以53a -<<-②当112a +≥-即3a ≥-时，有()2min 111()130222a a a g x g a +++⎛⎫⎛⎫==-+⋅+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得11a -<<，而13--<-，所以31a -≤<- 综上，实数a的取值范围是()51- ………………………………………12分22.解：(Ⅰ)()1(),0x mf x ex x+'=->，因为1x =是函数()f x 的极值点， 所以1(1)10mf e+'=-=，所以1m =-，所以11()x f x e x-'=- …………………2分 当01x <<时，1101,1x ex-<<-<-，所以()0f x '<当1x >时，111,10x ex->-<-<，所以()0f x '>所以()f x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增．…………………………………5分(Ⅱ)()1(),0x mf x ex x +'=->，设1()x m g x e x +=-，则21()0x m g x e x+'=+> 所以()g x 在()0,+∞单调递增，即()f x '在()0,+∞单调递增．由于0x x =是函数()f x 的极值点，所以0x x =是()0f x '=在()0,+∞的唯一零点， 所以00001,ln x m e x m x x +=+=-．…………………………………………………6分 由于00x x <<时，0()()0f x f x ''<=；当0x x >时，0()()0f x f x ''>=， 所以函数()f x 在()00,x 单调递减，在()0,x +∞单调递增，…………………………8分 且函数()f x 在0x x =处取得最小值，所以000001()()ln x m f x f x e x x m x +≥=-=++，因为()0f x ≥恒成立，所以0010x m x ++≥．…………………………………………9分 ∴00001ln x m x x x +≥-=+，即001ln x x ≥. 又因为ln 1a a =，故可解得0x a ≤.……………………………………………………11分 所以00,ln ln x a x a -≥--≥-，所以00ln ln m x x a a =--≥--.即m 的取值范围是[)ln ,a a --+∞.……………………………………………………12分。
精品解析：2020届湖北省华中师范大学第一附属中学高三下学期月考理科数学试题(解析版)
华中师大一附中2017级高三下学期理科数学独立作业1一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.设集合{}11A x x =-<<，{}2,B y y x x A ==∈，则R A C B =I （ ）A. {}01x x ≤< B. {}10x x -<< C. {}01x x << D. {}11x x -<<【答案】B 【解析】 【分析】求解出集合B ，根据补集定义求得R C B ，利用交集定义求得结果. 【详解】当()1,1x ∈-时，[)20,1x ∈，即[)0,1B =()[),01,R C B ∴=-∞+∞U{}10R A C B x x ∴⋂=-<<本题正确选项：B【点睛】本题考查集合运算中的补集、交集运算的问题，属于基础题. 2.已知i 为虚数单位，则复数131-+ii的虚部为（ ） A. 2- B. 2i -C. 2D. 2i【答案】A 【解析】 【分析】先化简复数z ，然后由虚部定义可求．【详解】()()()()131********i i i ii i i -----===++-﹣1﹣2i ， ∴复数131ii-+的虚部是﹣2， 故选A ．【点睛】该题考查复数代数形式的运算、复数的基本概念，属基础题．3. “黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”的后一句中，“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据返回家乡的前提条件是攻破楼兰，即可判断出结果. 【详解】“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件. 故选：B.【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判定，熟记概念即可，属于基础题型.4.已知圆心为O ，半径为1的圆上有不同的三个点,,A B C ，其中0OA OB ⋅=u u u v u u u v，存在实数,λμ满足0OC OA uOB λ++=u u u v u u u v u u u v v，则实数,λμ的关系为A. 221λμ+=B.111λμ+= C. 1λμ= D. 1λμ+=【答案】A 【解析】由题意得1OA OB OC ===u u u v u u u v u u u v ，且0OA OB ⋅=u u u v u u u v.因为0OC OA uOB λ++=u u u v u u u v u u u v v ，即 OC OA uOB u u u v u u u v u u u v λ=--.平方得：221λμ+=.故选A.5.如图是一个射击靶的示意图，其中每个圆环的宽度与中心圆的半径相等.某人朝靶上任意射击一次没有脱靶，设其命中10，9，8，7环的概率分别为1P ，2P ，3P ，4P ，则下列选项正确的是（ ）A. 12P P =B. 123P P P +=C. 40.5P =D. 2432P P P +=【答案】D 【解析】 【分析】根据圆的面积公式得到各个区域的面积，再由几何概型的公式得到相应的概率值.【详解】若设中心圆的半径为r ，则由内到外的环数对应的区域面积依次为2222222123,43,945S r r r r r r S r S πππππππ=-==-==，24221697r r S r πππ=-= 22222=35716.S r r r r r πππππ+++=总()1,2,3,4ii S P i S ==总,则1116P =，2316P =，3516P =，4716P =，验证选项，可知只有选项D 正确. 故答案为D.【点睛】本题考查了几何概型概率的求法；在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的．6.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若361=3S S ，则612S S 为（ ） A.310B.13C.18D.19【答案】A 【解析】 设,根据36396129,,,S S S S S S S ---是一个首项为a,公差为a 的等差数列，各项分别为a,2a,3a,4a.6123323410S a S a a a a ==+++. 7.2018年，某地认真贯彻落实中央十九大精神和各项宏观调控政策，经济运行平稳增长，民生保障持续加强，惠民富民成效显著，城镇居民收入稳步增长，收入结构稳中趋优.据当地统计局公布的数据，现将8月份至12月份当地的人均月收入增长率如图（一）与人均月收入绘制成如图（二）所示的不完整的条形统计图.现给出如下信息：①10月份人均月收入增长率2%；②11月份人均月收入约为1442元； ③12月份人均月收入有所下降；④从上图可知该地9月份至12月份这四个月与8月份相比人均月收入均得到提高. 其中正确的信息个数为（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】结合统计图中的信息，对给出的四个结论分别进行分析、判断后可得正确信息的个数． 【详解】对于①，由图（一）可得10月份人均月收入增长率为2%，故①正确； 对于②，11月份人均月收入为()142811%1442+≈元，故②正确； 对于③，由图（一），图（二）均可得出收入下降，故③正确； 对于④，从图中易知该地人均月收入8，9月一样，故④错误． 综合可知信息①②③正确，所以正确信息的个数为3个． 故选C ．【点睛】解答本题的关键是读懂图中的信息，观察统计图时，首先要分清图标，弄清图的横轴、纵轴分别表示的含义，然后再从图中得到解题的信息和数据，考查识图和用图的能力．8.某多面体的三视图如图所示，其中正视图是一个直角边为2的等腰直角三角形，侧视图是两直角边分别为2和1的直角三角形，俯视图为一矩形，则该多面体的外接球的表面积为（ ）A. 7πB. 8πC. 9πD. 10π【答案】C 【解析】 【分析】将几何体为一个三棱锥，放在长、宽、高分别为2，1，2的长方体中，此三棱锥和长方体的外接球是同一个，长方体的外接球的球心在体对角线的中点处，进而求得半径.【详解】由三视图可得，该几何体为一个三棱锥，放在长、宽、高分别为2，1，2的长方体中，此三棱锥和长方体的外接球是同一个，长方体的外接球的球心在体对角线的中点处，易得其外接球的直径为2222213++=，从而外接球的表面积为9π.故答案为C.【点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.9.设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点为F ,直线43200x y -+=过点F 且与双曲线C 在第二象限的交点为P ,OP OF =,其中O 为原点,则双曲线C 的离心率为( ) A. 5B.52C.53D.54【答案】A 【解析】 【分析】设左焦点F 的坐标为(),0c -,点F 过直线43200x y -+=,因为430200c --⨯+=,求得5c =,因为点P 在直线43200x y -+=且在第二象限,设点的坐标为420,3t t +⎛⎫⎪⎝⎭(0)t <由OP OF =,可得232705t t ++=,结合已知,即可求得答案. 【详解】设左焦点F 的坐标为(),0c -Q 点F 过直线43200x y -+=∴430200c --⨯+=解得:5c =,Q 点P 在直线43200x y -+=且在第二象限∴设P 点的坐标为420,3t t +⎛⎫⎪⎝⎭(0)t <由OP OF =2216160400259t t t +++=整理得:232705t t ++= 解得:5t =- 或75t =-由5c -=-可得5t =-不符合题意,故舍去∴742024,535t t +=-=,即724,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭又Q 724,55P ⎛⎫-⎪⎝⎭在双曲线上, ∴()()22224957625252525a a a a -⨯-=- 化简整理得4250490a a -+= 即()()224910a a --= 又Q 5a c <=∴21,a =即1a = ∴5ce a== 故选:A.【点睛】本题主要考查了根据直线与双曲线的位置关系求双曲线的离心率,解题关键是掌握双曲线离心率的求法和掌握直线与双曲线的位置关系解题方法,考查了分析能力和计算能力,属于难题.10.函数10()2,0x f x x x -<<=≥⎪⎩，若实数a 满足()(1)f a f a =-，则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（） A. 2 B. 4C. 6D. 8【答案】D 【解析】 【分析】对实数a 按01a <<和1a ≥进行讨论，根据自变量所在的范围代入相应的解析式计算即可得到答案.【详解】由分段函数的结构知,其定义域是1,-+∞（，）所以0.a >(1)当01a <<时, ()()1f a f a =-即2a =解得1,4a =()14=8f f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭， (2)当1a ≥时, ()()1f a f a =-就是()221a a =-,不成立. 故选D.【点睛】本题考查分段函数函数值的计算，解决策略:(1)在求分段函数的值f (x 0)时，一定要判断x 0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式;(2) 求f (f (f (a )))的值时，一般要遵循由里向外逐层计算的原则. 11.若函数()sin()6f x x πω=+(0)>ω在区间(,2)ππ内没有最值,则ω的取值范围是（ ）A. 112(0,][,]1243⋃B. 112(0,][,]633⋃C. 12[,]43D. 12[,]33【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得函数()f x 在区间()2ππ，内单调，故可先求出函数的单调区间，再根据区间()2ππ，为单调区间的子集得到关于ω的不等式组，解不等式组可得所求．【详解】函数sin y x =的单调区间为322k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，，， 由3262k x k k Z ππππωπ+≤+≤+∈，， 得433k k x k Z ππππωω++≤≤∈，．∵函数()sin 6f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭(0)ω>在区间()2ππ，内没有最值， ∴函数()f x 在区间()2ππ，内单调， ∴()4332k k k Z ππππππωω⎡⎤++⎢⎥⊆∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦，，，，∴3432k k Z k πππωπππω⎧+⎪≤⎪⎪∈⎨⎪+⎪≤⎪⎩，，解得12323k k k Z ，ω+≤≤+∈． 由12323k k +<+，得23k <．当0k =时，得1233ω≤≤；当1k =-时，得2136ω-≤≤，又0ω>，故106ω<≤．综上得ω的取值范围是][1120633⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦，，．故选B ．【点睛】解答本题的关键有两个：一是对“函数()f x 在区间()2ππ，内没有最值”的理解，由此可得函数在该区间内单调；二是求出函数()f x 的单调区间后将问题转化为两个集合间的包含关系处理，并将问题再转化为不等式组求解，根据集合的包含关系得到不等式组时要注意不等号中要含有等号．12.设()()210nn f x x x x x =++++>L ,其中n N ∈,2n ≥,则函数()()2n n G x f x =-在1,12n ⎛⎫ ⎪⎝⎭内的零点个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】运用导数求得()n f x 在(0,)+∞递增,计算102n G ⎛⎫<⎪⎝⎭,可得,2n N n ∈≥,可得10,(1)02n n n G G ⎛⎫<> ⎪⎝⎭,由零点存在定理,即可得到所求零点个数,即可求得答案. 【详解】Q ()()210nn f x x x xx =++++>L导数为1()120n n f x x nx -'=++⋯+>∴()n f x 在(0,)+∞递增Q 1111122212212n n n n n G f +⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-1122220n n⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<又Q ()10n G >由函数零点存在定理可得函数()()2n n G x f x =-在1,12n ⎛⎫⎪⎝⎭内的零点个数只有1个.故选:B.【点睛】本题主要考查了求方程在某区间上的零点个数,解题关键是掌握导数求函数单调性的方法和零点存在定理,及等比数列求和公式,考查了分析能力和计算能力,属于难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若()()512x a x ++的展开式中3x 的系数为20,则常数项为________.【答案】14- 【解析】【分析】根据二项展开式的通项公式,写出3x 的系数列方程求出a 的值,即可求得答案. 【详解】Q ()()512x a x ++的展开式中3x 的系数为:2233552220C a C ⋅+⋅⋅=∴408020a +=解得:14a =-∴()()()55112124x a x x x ⎛⎫++-+ ⎪⎝⎭=Q ()512x +的二项式展开通项公式为:()5152rrr T C x -+=∴()51124x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的常数项为:()550544211x C --=-. 故答案为:14-. 【点睛】本题主要考查了展开式中的常数项,解题关键是掌握二项式通项公式,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.14.已知动点P 在椭圆2214940x y +=上,若点A 的坐标为()3,0,点M 满足1AM =u u u u r ,且0PM AM ⋅=u u u u r u u u u r ,则PM u u u u r的最小值是________.【解析】 【分析】椭圆2214940x y +=中,7,a b ==,可得3c =,根据PM AM ⋅=u u u u r u u u u r ,故PM AM ⊥u u u u r u u u u r ,2222||||||||1PM PA AM PA =-=-u u u ur u u u r u u u u r u u u r ,因为||1AM =u u u u r ,点M 的轨迹为以点A 为圆心,1为半径的圆,结合图象,即可求得答案.【详解】椭圆2214940x y +=中,7,a b ==∴3c ==0PM AM ⋅=u u u u r u u u u rQ PM AM ∴⊥u u u u r u u u u r2222||||||||1PM PA AM PA ∴=-=-u u u u r u u u r u u u u r u u u r Q ||1AM =u u u u r∴点M 的轨迹为以点A 为圆心,1为半径的圆∴||AP uuu r 越小,||PM u u u u r就越小,画出图形如图所示:结合图形知,当P 点为椭圆的右顶点时||AP uuu r取得最小值734a c -=-= ∴||PM u u u u r24115-=故答案为15【点睛】本题主要考查了椭圆中最值问题,解题关键是掌握椭圆的定义和动点问题结合图象求解的方法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.15.已知函数()11x xe f x e -=+，()()11g x f x =-+，()*12321n n a g g g g n N n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则数列{}n a 的通项公式为__________．【答案】21n a n =- 【解析】 【分析】先证明函数()f x 为奇函数，故()()11g x f x =-+的图像关于()1,1对称，故()()22g x g x +-=，由此将n a 的表达式两两组合求它们的和，然后求得n a 的表达式.【详解】由于()()1111x xx xe ef x f x e e-----===-++，所以函数()f x 为奇函数，故()()11g x f x =-+的图像关于()1,1对称，由此得到()()22g x g x +-=，所以()121222111n n n n n a g g g g g g g n n n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤---+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦L ()()()()211210121n g n f n =-+=-++=-.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和对称性，考查特殊数列求和的方法——分组求和法.属于中档题. 16.如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,点P 在线段1BC 上运动,有下列判断:①平面1PB D ⊥平面1ACD ;②1//A P 平面1ACD ;③异面直线1A P 与1AD 所成角的取值范围是0,3π⎛⎤⎥⎝⎦;④三棱锥1D APC -的体积不变.其中,正确的是________(把所有正确判断的序号都填上).【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据线面关系,逐项判断,即可求得答案.【详解】对于①,Q 在正方体中,1B D ⊥平面1ACD ,1B D ⊂平面1PB D ,∴平面1PB D ⊥平面1ACD ,故①正确;对于②,连接11,A B A C ,如图:容易证明平面11A BC //平面1ACD , 又Q 1A P ⊂平面11A BC ,∴AP ∥平面1ACD ,故②正确;对于③,Q 1BC ∥1AD ,∴异面直线1A P 与1AD 所成的角就是直线AP 与1BC 所成的角,在11A BC V 中,易知所求角的范围是,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,故③错误; 对于④,11D APC C AD P V V --=Q 点C 到平面1AD P 的距离不变,且1AD P △的面积不变,∴三棱锥1D APC -的体积不变,故④正确.综上所述,正确的是①②④. 故答案为:①②④.【点睛】本题主要考查线线、线面、面面的平行与垂直关系,异面直线所成的角,三棱锥的体积等知识,解题关键是掌握正方体的特征和数形结合,考查了分析能力和空间想象能力,属于中档题.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2222cos cos b c a ac C c A +-=+. （1）求角A 的大小； （2）若ABC ∆的面积253ABC S ∆=，且5a =，求sin sin B C +. 【答案】（Ⅰ）3A π=；3【解析】 试题分析：（Ⅰ）由余弦定理把已知条件化为22cos cos cos bc A ac C c A =+，再由正弦定理化为角的关系，最后由两角和与差的正弦公式及诱导公式可求得1cos 2A =，从而得A 角； （Ⅱ）由三角形面积公式求得25bc =，再由余弦定理可求得2250b c +=，从而得10b c +=，再由正弦定理得sin sin sin ()AB C b c a+=+⋅，计算可得结论. 试题解析：（Ⅰ）因为2222cos cos b c a ac C c A +-=+，所以由22cos cos cos bc A ac C c A =+， 即2cos cos cos b A a C c A =+，由正弦定理得2sin cos sin cos sin cos B A A C C A =+， 即()2sin cos sin B A A C =+，∵()()sin sin sin A C B B π+=-=， ∴2sin cos sin B A B =，即()sin 2cos 10B A -=， ∵0B π<<，∴sin 0B ≠，∴1cos 2A =，∵0A π<<，∴3A π=.（Ⅱ）∵1sin 2ABC S bc A ∆===，∴25bc =， ∵22222251cos 22252b c a b c A bc +-+-===⨯，2250b c +=，∴()250225100b c +=+⨯=，即10b c +=，∴sin sin sin sin A AB C b ca a+=⋅+⋅= ()sin 2105A b c a +=⋅=18.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，ABCD 是直角梯形，AB AD ⊥,//,222,AB CD AB AD CD E ===是PB 的中点．（1）求证：平面EAC ⊥平面PBC ； （2）若二面角P AC E --的余弦值为6，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为23． 【解析】(1)∵PC ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴AC ⊥PC .∵AB ＝2，AD ＝CD ＝1，∴AC ＝BC ＝2.∴AC 2＋BC 2＝AB 2.∴AC ⊥BC .又BC ∩PC ＝C ，∴AC ⊥平面PBC . ∵AC ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面PBC . (2)如图，以点C 为原点，DA u u u r ，CD uuu r ，CP u u u r分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (1,1,0)，B (1，－1,0)，设P (0,0，a )(a >0)，则E 11,,222a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，CA u uu r ＝(1,1,0)，CP u u u r ＝(0,0，a )，CE u u u r ＝11,,222a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.取m ＝(1，－1,0)，则m ·CA u u u r ＝m ·CP u u u r＝0，m 为面PAC 的法向量．设n ＝(x ，y ，z )为面EAC 的法向量，则n ·CA u u u r ＝n ·CE u u u r＝0，即0{0x y x y az +=-+=，取x ＝a ，y ＝－a ，z ＝－2，则n ＝(a ，－a ，－2)，依题意，|cos 〈m ，n 〉|＝mn m n3，则a ＝2.于是n ＝(2，－2，－2)，PA u u u r＝(1,1，－2)．设直线PA 与平面EAC 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈PA u u u r，n 〉|＝n PAn PA ⋅uu u ruu u r＝3，即直线PA 与平面EAC所成角的正弦值为319.已知过抛物线()2:20E y px p =>的焦点F ，的直线交抛物线于()()()112212,,,A x y B x y x x < 两点，且6AB =.（1）求该抛物线E 的方程；（2）过点F 任意作互相垂直的两条直线12,l l ，分别交曲线E 于点,C D 和,M N .设线段,CD MN 的中点分别为,P Q ，求证：直线PQ 恒过一个定点. 【答案】（1）24y x =（2见解析 【解析】试题分析：()1联立直线方程和抛物线方程，利用弦长公式列方程解出p ，即可得到抛物线E 的方程；()2设直线1l 的方程，联立抛物线方程得两根之和，计算点P 的坐标，同理可得点Q 的坐标，运用直线点斜式给出直线方程，讨论斜率问题即可得出定点 解析：（1）抛物线的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，∴直线AB 的方程为：2p y x ⎫=-⎪⎭联立方程组222y pxp y x ⎧=⎪⎨⎫=-⎪⎪⎭⎩，消元得：22204p x px -+=， ∴212122,4p x x p x x +==∴6AB ===，解得2p =±.∵0p >，∴抛物线E 的方程为：24y x =.（2）设,C D 两点坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则点P 的坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭..由题意可设直线1l 的方程为()()10y k x k =-≠.由()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，得()2222240k x k x k -++=. ()24224416160k k k ∆=+-=+>因为直线1l 与曲线E 于,C D 两点，所以()1212122442,2x x y y kx x k k+=++=+-=. 所以点P 的坐标为2221,k k ⎛⎫+⎪⎝⎭. 由题知，直线2l 的斜率为1k-，同理可得点Q 的坐标为()212,2k k +-. 当1k ≠±时，有222112k k +≠+，此时直线PQ 的斜率2222221112PQ kk k k k k k+==-+--. 所以，直线PQ 的方程为()222121k y k x k k+=---，整理得()230yk x k y +--=. 于是，直线PQ 恒过定点()3,0；当1k =±时，直线PQ 的方程为3x =，也过点()3,0. 综上所述，直线PQ 恒过定点()3,0.20.某学校为了了解全校学生的体重情况，从全校学生中随机抽取了100人的体重数据，结果这100人的体重全部介于45公斤到75公斤之间，现将结果按如下方式分为6组：第一组[45，50)，第二组[50，55)，…，第六组[70，75)，得到如下图(1)所示的频率分布直方图，并发现这100人中，其体重低于55公斤的有15人，这15人体重数据的茎叶图如图(2)所示，以样本的频率作为总体的概率．(I)求频率分布直方图中,,a b c 的值；(II)从全校学生中随机抽取3名学生，记X 为体重在[55，65)的人数，求X 的概率分布列和数学期望；(III)由频率分布直方图可以认为，该校学生的体重ξ近似服从正态分布()2,N μσ，其中260,25.μσ==若()220.9545P μσξμσ-≤<+>，则认为该校学生的体重是正常的．试判断该校学生的体重是否正常?并说明理由．【答案】(Ⅰ)a=0.004，b=0.026，c=0.07；(Ⅱ)详见解析；(Ⅲ)正常. 【解析】 【分析】（Ⅰ）由茎叶图中的数据，用样本的频率估计总体的频率，求得对应的概率值，再计算a 、b 、c 的值；（Ⅱ）用由题意知随机变量X 服从二项分布B （3，0.7），计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值；（Ⅲ）由题意知ξ服从正态分布N （60，25），计算P （μ﹣2σ≤ξ＜μ+2σ）的值，再判断学生的体重是否正常．【详解】解：(Ⅰ)由图（2）知，100名样本中体重低于50公斤的有2人， 用样本的频率估计总体的概率，可得体重低于50公斤的概率为20.02100=， 则0.02a 0.0045==， 在[)50,55上有13人，该组的频率为0.13，则0.13b 0.0265==， 所以120.0220.132c 0.145-⨯-⨯==，即c=0.07.(Ⅱ)用样本频率估计总体的概率，可知从全体学生中随机抽取一人，体重在[)55,65的概率为0.07×10=0.7，随机抽取3人，相当于三次独立重复试验，随机变量X 服从二项分布()B 3,0.7， 则()033P X 0C 0.70.30.027===，()1123P X 1C 0.70.30.189===，()2213P X 2C 0.70.30.441===， ()3303P X 3C 0.70.30.343===， 所以，X 的概率分布列为：E(X)=3×0.7=2.1 (Ⅲ)由N(60,25)得σ5=由图（2）知()()P μ2σξμ2σP 50ξ700.960.9545-≤<+=≤<=>. 所以可以认为该校学生的体重是正常的.【点睛】本题考查了茎叶图与频率分布直方图的应用问题，也考查了概率分布与数学期望的计算问题，熟记频率分布直方图性质，熟练计算二项分布是关键，是中档题． 21.设函数()(1)1(1)().f x x nx a x a R =+--∈ (1)当1a =时，求()f x 的单调区间；(2)若()0f x ≥对任意[1,)x ∈+∞恒成立，求实数a的取值范围；(3)当02πθ∈（，）时，试比较11(tan )2n θ与tan()4πθ-的大小，并说明理由.【答案】(1)f(x)在区间()0,∞+上单调递增，无单调递减区间.(2)(]-2.∞，(3)见解析. 【解析】分析：（1）当1a =时，()11.f x nx x +'=构造函数设()11(0)g x nx x x=+>.讨论可得()f x 在区间()0,+∞上单调递增，无单调递减区间.(2)求导可得()()1.f x g x a +'=-结合（1）的结论可知()f x '在区间[)1+∞，上单调递增，且()12.f a '=-分类讨论2a ≤和2a >两种情况可得实数a 的取值范围为(]-2.∞，(3)由（2）可知，取 2.a =结合两角和正切公式和函数的单调性比较两者的大小即可. 详解：（1）当1a =时，()()()()1111.1.f x x nx x f x nx x'=+--=+ 设()11(0)g x nx x x=+>. 则()21.x g x x-'=∴当()01x ∈，时，()g x 单调递减， 当()1x ∈+∞，时，()g x 单调递增，()()110.min g x g ==> ()()'0,f x f x ∴>在区间()0,+∞上单调递增，无单调递减区间.(2)()()1111.f x nx a g x a x∴=++-=+-' 由（1）可知()g x 在区间[)1+∞，上单调递增，则()()1 1.g x g ≥=即()f x '区间[)1+∞，上单调递增，且()12.f a '=- ①当2a ≤时，()0.f x '≥ ()f x 在区间[)1+∞，上单调递增， ()()10f x f ∴≥=满足条件.②当2a >时，设()()1111.h x nx a x x =++-≥则()22111.x h x x x x-='=- ()h x ∴在区间[)1+∞，上单调递增，且()()12010.n n h a h e e -=-=+，)01.nx e ，⎡∴∃∈⎣使得()00.h x = ∴当[)01x x ∈，时，()()0.h x f x <单调递增，即()01,x x ∈时，()()10.f x f <=不满足题意，综上所述，实数a 的取值范围为(]-2.∞，(3)由（2）可知，取 2.a =当1x >时，()()()11210.f x x nx x =+-->即11.21x lnx x ->+ 当01x <<时，11.x> 111111112211nx x x n x x x--∴>⇔<++. 又1.41tan tan tan πθθθ-⎛⎫-=⎪+⎝⎭Q ∴当04πθ<<时，()10 1.1;24tan n tan tan πθθθ⎛⎫<<<-⎪⎝⎭当4πθ=时，()11,1;24tan n tan tan πθθθ⎛⎫==-⎪⎝⎭当42ππθ<<时，1tan θ>.()1124n tan tan πθθ⎛⎫>- ⎪⎝⎭. 点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．22.在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为222txy t⎧=⎪⎨⎪=⎩（t为参数)，曲线2C的参数方程为1(1xyααα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线1C和2C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程为3πθ=，直线l与曲线1C和2C分别交于不同于原点的A，B两点，求AB的值．【答案】（1）2sin8cosρθθ=，2cos2sin0ρθθ--=；（2）133【解析】【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（2）利用极径的应用求出结果．【详解】（1）曲线C1的参数方程为222txy t⎧=⎪⎨⎪=⎩（t为参数），转换为直角坐标方程为：y2=8x，转换为极坐标方程为：ρsin2θ=8cosθ．曲线C2的参数方程为11xyαα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数），转换为直角坐标方程为：x2+y2-2x-2y=0，转换为极坐标方程为：ρ-2cosθ-2sinθ=0．（2）设A（13，πρ）B（23πρ，），所以：12816333cossinπρπ==，222133cos sinππρ=+=所以：12133ABρρ=-=【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.已知函数()2f x x m =-.（1）若不等式()6f x ≤的解集为{}24x x -≤≤,求实数m 的值;（2）在（1）的条件下,若不等式()18232f x f x a b ⎛⎫++≤+⎪⎝⎭对一切满足2a b +=的正实数,a b 恒成立,求实数x 的取值范围.【答案】（1）2（2）73,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）因为26x m -≤,可得3322m m x -≤≤+,根据不等式()6f x ≤的解集为{}24x x -≤≤,即可求得答案; （2）当2m =时,可得()32,4136,41232,1x x f x f x x x x x --≤-⎧⎪⎛⎫++=-+-<<⎨ ⎪⎝⎭⎪+≥⎩,根据2a b +=,求得82a b +的最小值,即可求解()18232f x f x a b⎛⎫++≤+ ⎪⎝⎭,即可求得答案. 【详解】（1）由26x m -≤,得626x m -≤-≤.626m x m ∴-≤≤+, 即3322m m x -≤≤+, 又Q 不等式()6f x ≤的解集为{}24x x -≤≤. 342322m m ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪-=-⎪⎩,解得:2m =.（2）2m =时,()32,4132246,41232,1x x f x f x x x x x x x --≤-⎧⎪⎛⎫++=-++=-+-<<⎨ ⎪⎝⎭⎪+≥⎩, 又Q 2a b +=,0a >,0b >,()8241459a b a b a b a b b a⎛⎫∴+=++=++≥ ⎪⎝⎭ ∴()392x f x f ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭, 可得:4329x x ≤-⎧⎨--≤⎩或4169x x -<<⎧⎨-+≤⎩或1329x x ≥⎧⎨+≤⎩解得:733x -≤≤ ∴实数x 的取值范围为73,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查了根据不等式解求参数值和讨论法求解带绝对值的不等式,解题关键是掌握带绝对值不等式的解法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.。
高考华中师大一附中第一学期高三年级检测数学(理科)
华中师大一附中2005—2006学年度高三年级第一次检测数学（理科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。
请把答案填在答题卡上。
1．与命题“若M a ∈，则M b ∉”等价的命题是 A ．若M a ∈，则M b ∈ B ．若M b ∉，则M a ∈ C ．若M a ∉，则M b ∈D ．若M b ∈，则M a ∉2．命题p 、q 为简单命题，则“p 且q ”为真是“p 或q ”为真的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数xx x x x f --+=||)2ln()(2的定义域为A ．1(-，)2B ．1(-,0()0 ,)2C ．1(-，)0D ．0(，)24．已知A 、B 、C 是三角形的三个顶点，CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2，则ABC ∆为 A ．等腰三角形B ．直角三角开C ．等腰直角三角形D ．既非等腰三角形又非直角三角形5．集合a B A {= ，}b ，a B A {= ，b ，c ，}d ，则满足上述条件的集合A 、B 有 A ．3对B ．4对C ．6对D ．8对6．m 、R n ∈，a 、b 、c 是共起点的向量，a 、b 不共线，b n a m c +=，则a 、b 、c 的终点共线的充分必要条件是 A ．1-=+n mB ．0=+n mC ．1=-n mD ．1=+n m7．关于函数21)43sin(2-+=πx y ，有以下三种说法：①图象的对称中心是点123(ππ-k ，))(0Z k ∈ ②图象的对称轴是直线)(123Z k k x ∈-=ππ ③函数的最小正周期是32π=T 其中正确的说法是： A ．①②③B ．②③C ．①③D ．③8．设)(x f 是以3为周期的周期函数，且0(∈x ，]3时x x f lg )(=，N 是)(x f y =图象上的动点，2(=MN ，)10，则以M 点的轨迹为图象的函数在1(，]4上的解析式为 A ．10)1lg()(--=x x g ，1(∈x ，]4B ．10)1lg()(+-=x x g ，1(∈x ，]4C ．10)5lg()(+-=x x g ，1(∈x ，]4D ．10)2lg()(-+=x x g ，1(∈x ，]49．已知4log )tan(32=+βα，2log 9log 115log 40log )4tan(3222⨯⨯-=+πα，则=-)4tan(πβA ．51B ．41 C ．1813 D ．2213 10．函数|log |)(3x x f =在区间a [，]b 上的值域为[0，1]，则a b -的最小值为A ．2B ．1C ．31D ．32 11．已知连续函数)(x f 是R 上的增函数，且点1(A ，)3、1(-B ，)1在它的图象上，)(1x f -为 它的反函数，则不等式1|)(log |21<-x f 的解集是A ．1(，)3B ．2(，)8C ．1(-，)1D ．2(，)912．某地2000年底，人口为500万，人均住房面积为6平方米，如果该地的人口年平均增 长率为1%，为使该地到2010年底，人均住房面积达到7平方米，那么平均每年比上一年应新增住房面积（精确到0.1万平方米，已知105.101.110=）A ．86.8万平方米B ．19.3万平方米C ．15.8万平方米D ．17.3万平方米第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。