华中师大一附中2018年自主招生考试数学试题(附)

华中师大一附中2018年高中招生考试
数学试题
考试时间：70分钟 卷面满分：120分
说明：所有答案一律书写在答题卡上，写在试卷上作答无效．
一、选择题 (本大题共5小题，每小题7分，共35分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的．)
1．二次函数y =x 2＋2x ＋c 的图象与x 轴的两个交点为A(x 1，0)，B(x 2，0)，且x 1＜x 2，点P(m ，n )是图象上一点，那么下列判断正确的是( ) A ．当n ＞0时，m ＜x 1 B ．当n ＞0时，m ＞x 2 C ．当n ＜0时，m ＜0
D ．当n ＜0时，x 1＜m ＜x 2
2．已知实数a 、b 、c 满足a ＜b ＜c ，并目k =，则直线y =－kx ＋k 一定经过( )
A ．第一、三、四象限
B ．第一、二、四象限
C ．第一、二、三象限
D ．第二、三、四象限
3．下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a 、b 分别为16、22，则输出的a =(a ←a －b 的含义：将a －b 的结果赋给a )( ) A ．0 B ．2 C ．4
D ．14
4．直线l ：kx －y －2k －1=0被以A(1，0)为圆心，2为半径的⊙A 所截得的最短弦长为( ) A ． B ．2 C ．2
D ．4
5．如图，△ABC 中，AB=AC=8，BC=4，BF ⊥AC 于F ，D 是AB 的中点，E 为AC 上一点，且2EF=AC ，则tan ∠DEF=( ) A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题(本大题共5小题，每小题7分，共35分)． 6．若a ＋b －2
=3
c 5，则(b c )a 的值为__________．
7．已知△ABC 的一边长为4，另外两边长恰是方程2x 212x ＋m ＋1=0的两实根，则实数m
B
A C
D
E
F
的取值范围是__________．
8．如图，D是△ABC的边AB上的一点，且AB=3AD，P是△ABC外接圆上一点，使得∠ADP=∠ACB，则=__________．
9．有十张正面分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的不透
明卡片，它们除数字不同外其余全部相同，将它们背面朝上，洗匀后
从中任取一张，以卡片上的数字作为关于x的不等式5x a≤5中的系
数a，使得该不等式的正整数解只有1和2的概率为__________．
10．若四个互不相等的正实数a，b，c，d满足(a2018c2018)(a2018d2018)=2018，(b
2018c2018)(b2018d2018)=2018，则(ab)2018(cd)2018的值为__________．
三、解答题(本大题共3小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤) 11．(本小题满分16分)如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．
(1)求证：CE=CF；
(2)在图1中，若G在AD上，且∠GCE=45°，则GE、BE、GD有什么数量关系？说明理由；
(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC(BC＞AD)，∠B=90°，AB=BC=6，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=2，求DE的长．
12．(本小题满分16分)如图1，在平面直角坐标系xOy内，已知点A(1，0)，B(1，1)，C(1，0)，D(1，1)，记线段AB为L1，线段CD为L2，点P是坐标系内一点．给出如下定义：若存在过点P的直线l与L1，L2都有公共点，则称点P是L1L2相关点，例如，点P(0，1)是L1－L2相关点．
(1)以下各点中，__________是L1－L2相关点(填出所有正确的序号)；
①(1，2)；②(5，2)；③(4，2)．
(2)直接在图1中画出所有L1－L2相关点所组成的区域，用阴影部分表示；
(3)已知点M在y轴上，以M为圆心，r为半径画圆，若⊙M上有且只有一个点为L1L2
相关点．
①当r=1时，求点M的纵坐标；
②求r的取值范围．
13．(本小题满分18分)定义：点P(x，y)为平面直角坐标系中的点，若满足x=y时，则称该点为“平衡点”，例如点(－1，－1)，(0，0)，(，)都是“平衡点”．
①当－1≤x≤3时，直线y=2x＋m上存在“平衡点”，则实数m的取值范围是__________．
(2)直线y=3mx＋n－1上存在“平衡点”吗？若存在，请求出“平衡点”的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若抛物线y=ax2＋bx＋1(a＞0)上存在两个不同的“平衡点”A(x1，x1)，B(x2，x2)，且满足0＜x1＜2，=2，令t=b2－2b＋，试求实数t的取值范围．
华中师大一附中2018年高中招生考试
数学试题参考答案
考试时间：70分钟卷面满分：120分
说明：所有答案一律书写在答题卡上，写在试卷上作答无效．
一、选择题(本大题共5小题，每小题7分，共35分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的．)
题号 1 2 3 4 5
答案 D A B C A
二、填空题(本大题共5小题，每小题7分，共35分)．
6．36 7．9<m≤17 8．9．10．－2018 三、解答题(本大题共3小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．) 11．(1)证明：在正方形ABCD中，
∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，∴△ACBE≌△CDF．
∴CE=CF．……………………………4分
(2)GE=BE＋GD．理由如下：
∵△CBE≌△CDF，∴∠BCE=∠DCF．
∴∠ECD＋∠ECB=∠ECD＋∠FCD．即∠ECF=∠BCD=90°．
又∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°．
∵CE=CF，∠GCF=∠GCE，GC=GC，∴△ECG≌△FCG．
∴EG=EF．∴GE=DF＋GD=BE＋GC．……………………………10分
(3)过C作CG⊥AD，交AD延长线于G，
在直角梯形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠A=∠B=90°，
又∠CGA=90°，AB=BC，
∴四边形ABCG为正方形．
∴AG=BC=6．
已知∠DCE=45°，根据(1)(2)可知，ED=BE＋DG，
设DE=x，则DG=x－2，
∴AD=AG－DG=8－x，AE=AB－BE=6－2=4．
在Rt△AED中
∵DE2=AD2＋AE2，即x2=(8－x)2＋42
解得x=5．
∴DE=5……………………………16分
12．(1)②，③是L1－L2相关点。

(写出一个给2分)……………………………4分
(2)所有L1－L2相关点所组成的区域为图中阴影部分(含边界)．……………………………8分
(3)①∵点M在y轴上，⊙M上只有一个点为L1－L2相关点，阴影部分关于y轴对称，
∴⊙M与直线AC相切于(0，0)，或与直线BD相切于
(0，1)，如图所示．
又∵⊙M的半径r=1，
∴点M的坐标为(0，－1)或(0，2)，
经检验：此时⊙M与直线AD，BC无交点，
⊙M上只有一个点为L1－L2相关点，符合题意．
∴点M的坐标为(0，－1)或(0，2)．
∴点M的纵坐标为－1或2．
(求出一个给1分，不检验不扣分)……………………………10分
②阴影部分关于直线y=对称，
故不妨设点M位于阴影部分下方，
∵点M在y轴上，⊙M上只有一个点为L1－L2相关点，阴影部分关于y轴对称，
∴⊙M与直线AC相切于O(0，0)，且⊙M与直线AD相离．
作ME⊥AD于E，设AD与BC的交点为F，
∴MO=r，ME＞r，F(0，)．
在Rt△AOF中，∠AOF=90°，AO=1，OF=，
∴AF==，sin∠AFO==．
在Rt△FEM中，∠FEM=90°，
FM=FO＋OM=r＋
sin∠EFM=sin∠AFO=，
∴ME=FM·sin∠EFM=，
∴＞r，
又∵r＞0，∴0＜r＜＋2．……………………………16分
13．(1)－3≤m≤1
(2)由y=3mx＋n－1，当y=x时，3mx＋n－1=x
即(3m－1)x=1－n
当3m－1=0，1－n=0，即m=，n=1时，方程有无数个解，
此时直线y=x上所有点都是“平衡点”，坐标为(x，x)，x为任意实数……………………6分当3m－1=0，1－n≠0，即m=，n≠1时，方程无解，
此时直线y=x上不存在“平衡点”，………………………………8分
当3m－1≠0，即m≠时，方程有唯一解x=，
此时直线y=x上只有一个“平衡点”，其坐标为(，)，x为任意实数…………10分(3)联立，消去y并整理得：ax2＋(b－1)x＋1=0
∵抛物线上存在两个不同的“平衡点”A(x1，x1)，B(x2，x2)
∴x1，x2是方程ax2＋(b－1)x＋1=0两个不相等的实数根
∴x1＋x2=，x1·x2=，△=(b－1)2－4a＞0……………………………12分
∵a＞0，∴x1x2=∴x1、x2同号
∵0＜x1＜2，=2，∴2＜x2＜4
∴0＜x1x2＜8，0＜∴a＞……………………………16分
t=b2－2b＋=(b－1)2＋=4a2＋4a＋=4(a＋)2＋，
∵当a＞－时，t随a的增大而增大，a＞＞－
∴t＞4()2＋=2
即t＞2……………………………18分。