2017-2018年湖北省武汉市华中师大一附中高一(上)期中数学试卷及参考答案

2017-2018学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3，4}，B={3，4，5}，则∁U（A∩B）=（）A．{1，2}B．{3，4}C．{1，2，3，4}D．{1，2，5，6}2．（5分）下列对应不是映射的是（）A． B． C． D．3．（5分）已知函数，则=（）A．B．C．D．4．（5分）函数g（x）=2x+5x的零点x0所在的一个区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，2）5．（5分）函数的定义域为（）A．（﹣2，0）B．（﹣1，0）C．（﹣1，2）D．（﹣1，0）∪（0，2）6．（5分）函数y=的图象是（）A．B．C．D．7．（5分）若关于x的不等式|x﹣3|﹣|x﹣4|＜a无解，则实数a的取值范围是（）A．a≤﹣1 B．a＜﹣1 C．a≥﹣1 D．a＞﹣18．（5分）已知a=，b=，c=，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞a＞b9．（5分）若定义在R上的函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈R，都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），且当x＞0时，f（x）＜0，则（）A．f（x）是奇函数，且在R上是增函数B．f（x）是奇函数，且在R上是减函数C．f（x）是奇函数，但在R上不是单调函数D．无法确定f（x）的单调性和奇偶性10．（5分）已知定义域为R的函数f（x）满足f（3﹣x）=f（x+1），当x≥2时f （x）单调递减且f（a）≥f（0），则实数a的取值范围是（）A．[2，+∞）B．[0，4]C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，0）∪[4，+∞）11．（5分）已知函数，g（x）=kx+2，若对任意的x1∈[﹣1，2]，总存在x2]，使得g（x1）＞f（x2），则实数k的取值范围是（）A．（﹣，1）B．（）C．（）D．以上都不对12．（5分）函数f（x）的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2），则称函数f（x）在D上为非减函数．设函数f（x）在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f（0）=0；②f（）=；③f（1﹣x）=1﹣f（x），则f（）等于（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）函数y=a x+3（a＞0且a≠1）的图象恒过定点．14．（5分）若是奇函数，则a=．15．（5分）某同学在研究函数f（x）=（x∈R）时，分别给出下面几个结论：①f（﹣x）+f（x）=0在x∈R时恒成立；②函数f（x）的值域为（﹣1，1）；③若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）；④函数g（x）=f（x）﹣x在R上有三个零点．其中正确结论的序号有．16．（5分）设定义域为R的函数，若关于x的函数f（x）=，若关于x的函数y=2f2（x）+2bf（x）+1有8个不同的零点，则实数b的取值范围是．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）计算：（1）×．18．（12分）设函数f（x）=，函数g（x）=ax+5﹣2a（a＞0）．（1）求函数f（x）=的值域；（2）若对于任意的x1∈R，总存在x2∈[0，1]，使得g（x2）=f（x1）成立，求实数a的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）=log a（ax2﹣x）．（1）若a=，求f（x）的单调区间；（2）若f（x）在区间[2，4]上是增函数，求实数a的取值范围．20．（12分）一片森林原面积为a．计划从某年开始，每年砍伐一些树林，且每年砍伐面积的百分比相等．并计划砍伐到原面积的一半时，所用时间是10年．为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的．已知到今年为止，森林剩余面积为原面积的．（1）求每年砍伐面积的百分比；（2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？（3）为保护生态环境，今后最多还能砍伐多少年？21．（12分）已知函数f（x）=，且f（1）=3．（1）求函数f（x）在（﹣∞，0）上的单调区间，并给出证明；（2）设关于x的方程f（x）=x+b的两根为x1，x2，试问是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1≥|x1﹣x2|对任意的及t∈[﹣1，1]恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．22．（12分）已知幂函数f（x）=（p2﹣3p+3）x满足f（2）＜f（4）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数g（x）=f2（x）+mf（x），x∈[1，9]，是否存在实数m使得g（x）的最小值为0？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．（3）若函数h（x）=n﹣f（x+3），是否存在实数a，b（a＜b），使函数h（x）在[a，b]上的值域为[a，b]？若存在，求出实数n的取值范围；若不存在，说明理由．2017-2018学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3，4}，B={3，4，5}，则∁U（A∩B）=（）A．{1，2}B．{3，4}C．{1，2，3，4}D．{1，2，5，6}【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3，4}，B={3，4，5}，∴A∩B={3，4}，∴∁U（A∩B）={1，2，5，6}．故选：D．2．（5分）下列对应不是映射的是（）A． B． C． D．【解答】解：对于A，M中的元素与N中的元素一一对应，该对应为映射；对于B，M中的元素都对应c，该对应为映射；对于C，M中的元素都对应集合N中的一个元素，该对应为映射；对于D，M中的1对应N中的两个元素，该对应不为映射．故选：D．3．（5分）已知函数，则=（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数，∴f（）=﹣+3=∴=f（）=+1=，故选：D．4．（5分）函数g（x）=2x+5x的零点x0所在的一个区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，2）【解答】解：函数g（x）单调连续增函数，∵g（﹣1）=2﹣1﹣5＜0，g（0）=1＞0，∴g（﹣1）g（0）＜0，即函数g（x）在（﹣1，0）内存在唯一的零点，故选：B．5．（5分）函数的定义域为（）A．（﹣2，0）B．（﹣1，0）C．（﹣1，2）D．（﹣1，0）∪（0，2）【解答】解：由，解得，即﹣1＜x＜0．∴函数的定义域为（﹣1，0）．故选：B．6．（5分）函数y=的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：函数y==．所以函数的图象是C．故选：C．7．（5分）若关于x的不等式|x﹣3|﹣|x﹣4|＜a无解，则实数a的取值范围是（）A．a≤﹣1 B．a＜﹣1 C．a≥﹣1 D．a＞﹣1【解答】解：令f（x）=|x﹣3|﹣|x﹣4|，①x＜3，f（x）=3﹣x﹣（4﹣x）=﹣1；②3≤x≤4，f（x）=x﹣3﹣（4﹣x）=2x﹣7，∴﹣1≤f（x）≤1；③x＞4，f（x）=x﹣3﹣（x﹣4）=1，∴f（x）=1，综上f（x）≥﹣1，∵关于x的不等式|x﹣3|﹣|x﹣4|＜a无解，∴|x﹣3|﹣|x﹣4|≥a，故a≤﹣1，故选：A．8．（5分）已知a=，b=，c=，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞a＞b【解答】解：∵c==，a=，b=，∵log 43.6=log 3.61=log23.6∴结合图象y=log2x可知，log23.4＞log23.6，∴结合y=log2x和y=log3x可知，log23.4＞log3＞log23.6，∵函数y=5x是增函数，∴a＞c＞b故选：D．9．（5分）若定义在R上的函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈R，都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），且当x＞0时，f（x）＜0，则（）A．f（x）是奇函数，且在R上是增函数B．f（x）是奇函数，且在R上是减函数C．f（x）是奇函数，但在R上不是单调函数D．无法确定f（x）的单调性和奇偶性【解答】解：（1）证明：f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），①令x=y=0，代入①式，得f（0+0）=f（0）+f（0），即f（0）=0．令y=﹣x，代入①式，得f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x），又f（0）=0，则有0=f（x）+f（﹣x）．即f（﹣x）=﹣f（x）对任意x∈R成立，则f（x）是奇函数．设x1，x2∈R，且x1＞x2，则x1﹣x2＞0，从而f（x1﹣x2）＜0，又f（x1）﹣f（x2）=f（x1）+f（﹣x2）=f[x1+（﹣x2）]=f（x1﹣x2）．∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．∴函数f（x）为R上的减函数，故选：B．10．（5分）已知定义域为R的函数f（x）满足f（3﹣x）=f（x+1），当x≥2时f （x）单调递减且f（a）≥f（0），则实数a的取值范围是（）A．[2，+∞）B．[0，4]C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，0）∪[4，+∞）【解答】解：定义域为R的函数f（x）满足f（3﹣x）=f（x+1），可得f（x）的图象关于直线x=2对称，当x≥2时f（x）单调递减，可得x≤2时f（x）单调递增，即有f（2）为最大值，则f（a）≥f（0），又f（0）=f（4），可得0≤a≤2或2≤a≤4，即为0≤a≤4．故选：B．11．（5分）已知函数，g（x）=kx+2，若对任意的x1∈[﹣1，2]，总存在x2]，使得g（x1）＞f（x2），则实数k的取值范围是（）A．（﹣，1）B．（）C．（）D．以上都不对【解答】解：对任意的x1∈[﹣1，2]，总存在x2]，使得g（x1）＞f（x2），∴g（x1）min＞f（x2）min，∵f（x）=x2+﹣3≥2﹣3=4﹣3=1，当且仅当x=时取等号，∴f（x2）min=1，当k＞0时，g（x）=kx+2，在x∈[﹣1，2]为增函数，∴g（x）min=f（﹣1）=2﹣k，∴2﹣k＞1，解得0＜k＜1当k＜0时，g（x）=kx+2，在x∈[﹣1，2]为减函数，∴g（x）min=f（2）=2k+2，∴2k+2＞1，解得﹣＜k＜0，当k=0时，g（x）=2，2＞1成立，综上所述k的取值范围为（﹣，1）故选：A．12．（5分）函数f（x）的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2），则称函数f（x）在D上为非减函数．设函数f（x）在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f（0）=0；②f（）=；③f（1﹣x）=1﹣f（x），则f（）等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）在[0，1]上为非减函数，①f（0）=0；③f（1﹣x）+f （x）=1，∴f（1）=1，令x=，有f（）=，又∵②f（）=f（x），令x=1，有f（）=f（1）=，令x=，有f（）=f（）=，∴f（）=f（）=，f（）==，f（）==，f（）==，f（）=f（）=，又f（）==，∴，f（）==，f（）=，f（）==，f（）==，∵当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2），，∴f（）≤f（）≤f（），∴f（）=．故选：D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）函数y=a x+3（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（0，4）．【解答】解：对于函数y=a x+3（a＞0且a≠1），令x=0，可得y=4，故它的图象恒过定点（0，4），故答案为：（0，4）．14．（5分）若是奇函数，则a=﹣1．【解答】解：∵∴∵是奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x）=∴恒成立即恒成立∴2+a=1⇒a=﹣1故答案为：﹣115．（5分）某同学在研究函数f（x）=（x∈R）时，分别给出下面几个结论：①f（﹣x）+f（x）=0在x∈R时恒成立；②函数f（x）的值域为（﹣1，1）；③若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）；④函数g（x）=f（x）﹣x在R上有三个零点．其中正确结论的序号有①②③．【解答】解：①∴正确②当x＞0时，f（x）=∈（0，1）由①知当x＜0时，f（x）∈（﹣1，0）x=0时，f（x）=0∴f（x）∈（﹣1，1）正确；③则当x＞0时，f（x）=反比例函数的单调性可知，f（x）在（0，+∞）上是增函数再由①知f（x）在（﹣∞，0）上也是增函数，正确④由③知f（x）的图象与y=x只有（0，0）这一个交点．不正确．故答案为：①②③16．（5分）设定义域为R的函数，若关于x的函数f（x）=，若关于x的函数y=2f2（x）+2bf（x）+1有8个不同的零点，则实数b的取值范围是﹣＜b．【解答】解：令t=f（x），则原函数等价为y=2t2+2bt+1．做出函数f（x）的图象如图，图象可知当由0＜t＜1时，函数t=f（x）有四个交点．要使关于x的函数y=2f2（x）+2bf（x）+1有8个不同的零点，则函数y=2t2+2bt+1有两个根t1，t2，且0＜t1＜1，0＜t2＜1．令g（t）=2t2+2bt+1，则由根的分布可得，解得，即，故实数b的取值范围是﹣＜b．故答案为：﹣＜b三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）计算：（1）×．【解答】解：1）×=﹣4﹣1+0.5×4=﹣3=lg5+lg2﹣lg0.1﹣2=1+﹣2=﹣．18．（12分）设函数f（x）=，函数g（x）=ax+5﹣2a（a＞0）．（1）求函数f（x）=的值域；（2）若对于任意的x1∈R，总存在x2∈[0，1]，使得g（x2）=f（x1）成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当x=0时，f（x）=0，当x≠0时，f（x）==，若x＞0，则f（x）=（当且仅当x=1时取“=”），若x＜0，则f（x）=（当且仅当x=﹣1时取“=”）．∴函数f（x）=的值域为{y|﹣1≤y≤1}；（2）由（1）得：A={f（x）|x∈R}=[﹣1，1]，又B={g（x）|x∈[0，1]}=[5﹣2a，5﹣a]．依题意A⊆B，即，解得：3≤a≤4，∴实数a的取值范围是[3，4]．19．（12分）已知函数f（x）=log a（ax2﹣x）．（1）若a=，求f（x）的单调区间；（2）若f（x）在区间[2，4]上是增函数，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵a=，函数f（x）=log a（ax2﹣x）=g（t）=log a t=（x2﹣x），令t=x2﹣x＞0，求得x＜0，或x＞2，故函数的定义域为（﹣∞，0）∪（2，+∞），且函数f（x）=g（t）=．由于t的减区间为（﹣∞，0），故函数f（x）的增区间为（﹣∞，0）；由于t的增区间为（2，+∞），故函数f（x）的减区间为（2，+∞）．（2）若f（x）在区间[2，4]上是增函数，则，或．求得a＞1，或0＜a≤，即实数a的取值范围为{a|a＞1，或0＜a≤}．20．（12分）一片森林原面积为a．计划从某年开始，每年砍伐一些树林，且每年砍伐面积的百分比相等．并计划砍伐到原面积的一半时，所用时间是10年．为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的．已知到今年为止，森林剩余面积为原面积的．（1）求每年砍伐面积的百分比；（2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？（3）为保护生态环境，今后最多还能砍伐多少年？【解答】解：（1）设每年降低百分比为x（0＜x＜1）．则a（1﹣x）10=a，即（1﹣x）10=，解得x=1﹣（），（2）设经过n年剩余面积为原来的则a（1﹣x）n=a，即（）=（），=，n=5到今年为止，已砍伐了5年（3）设从今年开始，以后砍伐了n年，则n年后剩余面积为a（1﹣x）n，令a（1﹣x）n≥a，即，，，n≤15．故今后最多还能砍伐15年．21．（12分）已知函数f（x）=，且f（1）=3．（1）求函数f（x）在（﹣∞，0）上的单调区间，并给出证明；（2）设关于x的方程f（x）=x+b的两根为x1，x2，试问是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1≥|x1﹣x2|对任意的及t∈[﹣1，1]恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵f（1）=3，∴a=1，∴则．证明：任取x1，x2∈（﹣∞，0），且x1＜x2＜0则1°当时，，∴，又x2﹣x1＞0∴f（x2）﹣f（x1）＞0，∴f（x2）＞f（x1），∴f（x）在上单调递增2°当时，，∴，又x2﹣x1＞0∴f（x2）﹣f（x1）＜0，∴f（x2）＜f（x1），∴f（x）在上单调递减，∴f（x）在（﹣∞，0）上的单调递增区间为，单调递减区间为（2）∵f（x）=x+b，∴x2﹣bx+1=0，那么：，又，∴0≤|x1﹣x2|≤3．故只须当t∈[﹣1，1]，使m2+mt+1≥3恒成立，记g（t）=mt+m2﹣2只须：，∴∴∴m≤﹣2或m≥2，故存在实数m符合题意，其取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．22．（12分）已知幂函数f（x）=（p2﹣3p+3）x满足f（2）＜f（4）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数g（x）=f2（x）+mf（x），x∈[1，9]，是否存在实数m使得g（x）的最小值为0？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．（3）若函数h（x）=n﹣f（x+3），是否存在实数a，b（a＜b），使函数h（x）在[a，b]上的值域为[a，b]？若存在，求出实数n的取值范围；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵f（x）是幂函数，∴得p2﹣3p+3=1，解得：p=1或p=2当p=1时，f（x）=，不满足f（2）＜f（4）．当p=2时，f（x）=，满足f（2）＜f（4）．∴故得p=2，函数f（x）的解析式为f（x）=；（2）由函数g（x）=f2（x）+mf（x），即g（x）=，令t=，∵x∈[1，9]，∴t∈[1，3]，记k（x）=t2+mt，其对称在t=，①当≤1，即m≥﹣2时，则k（x）min═k（1）=1+m=0，解得：m=﹣1；②当13时，即﹣6＜m＜﹣2，则k（x）min═k（）==0，解得：m=0，不满足，舍去；③当时，即m≤﹣6时，则k（x）min═k（3）=3m+9=0，解得：m=﹣3，不满足，舍去；综上所述，存在m=﹣1使得g（x）的最小值为0；（3）由函数h（x）=n﹣f（x+3）=n﹣在定义域内为单调递减函数，若存在实数存在实数a，b（a＜b），使函数h（x）在[a，b]上的值域为[a，b]则h（x）=两式相减：可得：=（a+3）﹣（a+3）．∴③将③代入②得，n=a+=a+1令，∵a＜b，∴0≤t，得：n=t2﹣t﹣2=（t﹣）2﹣故得实数n的取值范围（，﹣2]．。