吉林省实验中学2013-2014学年高三上学期第四次阶段检测数学(理)试题Word版含答案

吉林省实验中学2013—2014年度高三上学期第四次阶段检测数学（理）试题命题人：刘乙 审题人：梁清华 黄海燕第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合2{|21},{|10}x A x B x x -=<=-≥，则A B 等于 （ ）A.{|1}x x ≤B.{|12}x x ≤<C.{|01}x x <≤D.{|01}x x <<2.已知复数z 满足2(3)(1i z i i+=+为虚数单位），则复数z 所对应的点所在象限为 （ ） A ．第一象限 B ． 第二象限 C ． 第三象限 D ．第四象限3.下列说法正确的是 （ ）A. 命题“R x ∈∃使得0322<++x x ”的否定是：“032,2>++∈∀x x R x ” B. “1>a ”是“)1,0(log )(≠>=a a x x f a 在),0(+∞上为增函数”的充要条件 C. “p q ∧为真命题”是“q p ∨为真命题”的必要不充分条件D. 命题p ：“2c o s s i n ,≤+∈∀x x R x ”，则⌝p 是真命题4．等差数列{}n a 中，564a a +=，则10122log (222)aaa⋅⋅⋅⋅= （ ） A ．10 B ．20 C ．40 D ．2+log 25 5.一个长方体截去两个三棱锥,得到的几何体如图1所示,则该几何体的三视图为（ ）6.如果)(x f '是二次函数, 且 )(x f '的图象开口向上,顶点坐标为(1,3), 那么曲线)(x f y =上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是 （ ）A ．]3,0(πB ．)2,3[ππC ．]32,2(ππD ．),3[ππ7.设函数()|sin(2)|3f x x π=+，则下列关于函数()f x 的说法中正确的是 （ ）A. ()f x 是偶函数B. ()f x 最小正周期为πC. ()f x 图象关于点(,0)6π-对称D. ()f x 在区间7[,]312ππ上是增函数8.如图，长方形的四个顶点为)2,0(),2,4(),0,4(),0,0(C B A O ，曲线x y =经过点B ．现将一质点随机投入长方形OABC 中，则质点落在图中阴影区域的概率是 （ ） A ．125 B ．21C ．32 D ．439.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条渐近线均和圆C :22650x y x +-+=相切,则该双曲线离心率等于 ( ) A.553 B. 26 C. 23 D. 55 10.若a ,b ,c 均为单位向量，a · b 21-=，c=x a + y b ),(R y x ∈，则y x +的最大值是 ( ) A ． 2B.CD. 111.高为42的四棱锥ABCD S -的底面是边长为1的正方形，点S 、A 、B 、C 、D 均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为 （ ） A ．42 B. 22 CD. 1 12.已知定义在R 上的函数()y f x =对任意的x 都满足(1)()f x f x +=-，当11x -≤＜ 时，3()f x x =，若函数()()log a g x f x x =-至少6个零点，则a 取值范围是（ ）A.10,5,5+∞ （]（）B. 10,[5,5+∞ （））C.11,]5,775 （（）D.11,[5,775 （））第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12(2)n n a S n -=≥，则n a = . 14.设ΔABC 的三边长分别为,,a b c ，ΔABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa b c++；类比这个结论可知：四面体P －ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球的半径为R ，四面体P －ABC 的体积为V ，则R ＝ .15.已知O 是坐标原点，点A (1,0)，若点M (,)x y 为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，则||OA OM +的最小值是 .16.设抛物线x y C 16:2=的焦点为F ，过点)0,4(-Q 的直线l 与抛物线C 相交于,A B 两点，若||2||QB QA =，则直线l 的斜率=k .三、解答题：本大题共6道题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分）已知向量)cos 3,cos (sin x x x m ωωω+=，)sin 2,sin (cos x x x n ωωω-=，（其中0>ω），函数n m x f ⋅=)(，若)(x f 相邻两对称轴间的距离为2π. (I)求ω的值，并求)(x f 的最大值及相应x 的集合；(Ⅱ)在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 所对的边，ABC ∆的面积35=S ，b =4， 1)(=A f ，求边a 的长.18．(本题满分12分)如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，12,AB AC AA ===E 是BC 中点. （I ）求证：1//A B 平面1AEC ；（II ）若棱1AA 上存在一点M ，满 足11B M C E ⊥，求AM 的长； （Ⅲ）求平面1AEC 与平面11ABB A 所成锐二面角的余弦值.EC 1B 1A 1CBA19．(本题满分12分)交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值，交通指数取值范围为0～10，分为五个级别，0～2 畅 通；2～4 基本畅通；4～6 轻度拥堵；6～8 中度拥堵；8～10 严重拥堵.早高峰时段，从北京市交通指挥中心随机选取了四环以内的50个交通路段，依据其交通指数数据绘制的直方图如右图． （Ⅰ）这50个路段为中度拥堵的有多少个？（Ⅱ）据此估计，早高峰四环以内的三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是多少？ （III ）某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为36分钟；中度拥堵为42分钟；严重拥堵为60分钟，求此人所用时间的数学期望．20．(本题满分12分)已知椭圆C :22221x y a b+=(0)a b >>的离心率2e =,原点到过点(,0)A a ,(0,)B b -的直线的距离是5(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若椭圆C 上一动点P ()00,y x 关于直线x y 2=的对称点为()111,y x P ,求2211x y +的取值范围；(Ⅲ)如果直线1(0)y kx k=+≠交椭圆C 于不同的两点E ,F ,且E ,F 都在以B 为圆心的圆上,求k 的值.21．(本题满分12分)已知函数f （x ）＝2ln x +ax 2－1（a ∈R ） (Ⅰ)求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若a ＝1，分别解答下面两题，（i ）若不等式f （1+x ）+f （1－x ）＜m 对任意的0＜x ＜1恒成立，求m 的取值范围； （ii ）若x 1，x 2是两个不相等的正数，且f （x 1）+f （x 2）＝0，求证x 1+x 2>2.请考生在题（22）（23）（24）中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题计分．做题时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22.(本题满分10分)选修4—1几何证明选讲:如图，圆1O 与圆2O 相交于A 、B 两点，AB 是圆2O 的直径，过A 点作圆1O 的切线交圆2O 于点E ，并与BO 1的延长线交于点P ，PB 分别与圆1O 、圆2O 交于C ，D 两点。

求证：(Ⅰ)PA ·PD =PE ·PC ； (Ⅱ)AD=AE .23.(本题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知圆锥曲线C ：⎩⎨⎧==θθsin 3cos 2y x θ(为参数）和定点)3,0(A ,21,F F 是此圆锥曲线的左、右焦点。

(Ⅰ)以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线2AF 的极坐标方程；(Ⅱ)经过点1F ，且与直线2AF 垂直的直线l 交此圆锥曲线于M 、N 两点，求||||||11NF MF -的值.24．(本题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数()|1|f x x =-。

(Ⅰ)解不等式()(4)8f x f x ++≥；(Ⅱ)若||1,||1a b <<，且0a ≠，求证：()||()b f ab a f a>.吉林省实验中学2013—2014年度高三上学期第四次阶段检测(理科)答案13．21(1)23(2)n n n -=⎧⎨⋅≥⎩ 14．12343VS S S S +++ 15．223 16．322± 三．解答题（本大题共6小题，共计70分）17 .(I) x x x x x f ωωωωcos sin 32sin cos )(22+-=x x ωωsin 32cos +=)62sin(2πω+=x ………………3分由题意可得π=T ，∴1=ω，∴)62sin(2)(π+=x x f ……………4分当1)62sin(=+πx 时，)(x f 的最大值为2， 此时x 的集合是⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,6|ππ……………6分 （Ⅱ）21)62sin(1)62sin(2)(=+∴=+=ππA A A f π<<A 03,6562πππ=∴=+∴A A …………………8分5353sin 21===c bc S ，π. …………10分由余弦定理得：a 2=16+25－2×4×5cos3π=21 21=∴a ……………12分18.(I) 连接A C 1交AC 1于点O ，连接EO因为1ACC A 1为正方形，所以O 为A C 1中点， 又E 为CB 中点，所以EO 为1A BC ∆的中位线，所以1//EO A B ………………2分 又EO ⊂平面1AEC ，1A B ⊄平面1AEC所以1//A B 平面1AEC………………4分（Ⅱ）以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴建立空间直角坐标系 所以111(0,0,0),(0,0,2),(2,0,0),(2,0,2),(0,2,0),(0,2,2),(1,1,0),A A B B C C E设(0,0,)(02)M m m ≤≤，所以11(2,0,2),(1,1,2)B M m C E =--=--，因为11B M C E ⊥，所以 110B M C E ⋅=，解得1m =，所以1AM =. ………8分（Ⅲ）因为1(1,1,0),(0,2,2)AE AC ==，设平面1AEC 的法向量为(,,)n x y z =，则有100AE n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得00x y y z +=⎧⎨+=⎩，令1,y =-则1,1x z ==，所以可以取(1,1,1)n =-， ………………10分 因为AC ⊥平面1ABB A 1,取平面1ABB A 1的法向量为 (0,2,0)AC =所以cos ,||||AC n AC n AC n ⋅<>==平面1AEC 与平面1ABB A 1………………12分 19（Ⅰ）(0.20.16)15018+⨯⨯=这50路段为中度拥堵的有18个． ……………………4分（Ⅱ）设事件A “一个路段严重拥堵”，则()0.1P A =事件B “至少一个路段严重拥堵”，则3()(1())0.729P B P A =-=()1()0.271P B P B =-=所以三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是0.271 …………8分 （III ）分布列如下表：39.96EX =此人经过该路段所用时间的数学期望是39.96分钟．……………12分20.(Ⅰ)因为c a =222a b c -=,所以 2a b =. 因为原点到直线AB :1x ya b-=的距离d ==,解得4a =,2b =. 故所求椭圆C 的方程为221164x y+=. ……………………4分(Ⅱ)因为点()00,P x y 关于直线x y 2=的对称点为()111,y x P ,所以 0101010121,2.22y y x x y y x x -⎧⨯=-⎪-⎪⎨++⎪=⨯⎪⎩ 解得 001435y x x -=,001345y x y +=.所以22221100x y x y +=+.因为点()00,P x y 在椭圆C :221164x y +=上,所以2222201100344x x y x y +=+=+. 因为044x -≤≤, 所以2211416x y ≤+≤.所以2211x y +的取值范围为[]4,16. …8分(Ⅲ)由题意221,1164y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ,整理得22(14)8120k x kx ++-=.可知0∆>.设22(,)E x y ,33(,)F x y ,EF 的中点是(,)M M M x y , 则2324214M x x k x k +-==+,21114M My kx k =+=+. 所以21M BM M y k x k+==-. 所以20M M x ky k ++=. 即224201414k k k k k -++=++. 又因为0k ≠,所以218k =.所以4k =± ………………12分21．21. (Ⅰ)f (x )的定义域为(0,)+∞，ax xx f 22)(+='， ………………1分令,0)(>'x f 0x > ，2220ax ∴+>，①当0a ≥时，/()0f x >在(0,)+∞恒成立，∴f(x)递增区间是(0,)+∞； ②当0a <时，又x >0, ()f x ∴递增区间是………4分 （Ⅱ）（ⅰ）设22()(1)(1)2ln(1)(1)12ln(1)(1)1F x f x f x x x x x =++-=+++-+-+--,化简得：2()2ln(1)2ln(1)2F x x x x =++-+, …6分01x << ，/()0F x ∴<在01x <<上恒成立，()F x ∴在(0,1)x ∈上单调递减， 所以()(0)0F x F <=，0m ∴≥,即m 的取值范围是),0[+∞ .……………8分 （ⅱ）(1)0f = ，()f x 在(0,)+∞上单调递增, ①若12,(0,1)x x ∈，则12()0,()0,f x f x <<则12()()0f x f x +<与已知0)()(21=+x f x f 矛盾,②若12,(1,)x x ∈+∞，则12()0,()0,f x f x >>则12()()0f x f x +>与已知0)()(21=+x f x f 矛盾,③若11x =，则1()0f x =，又0)()(21=+x f x f ，2()0f x ∴=得21x =与12x x ≠矛盾, ④不妨设1201x x <<<，则由（Ⅱ）知当01x <<时,(1)(1)0f x f x ++-<, 令11x x -=，则11112(2)()0(2)()()f x f x f x f x f x -+<⇔-<-=,又()f x 在(0,)+∞上单调递增，122,x x ∴-<即122x x +> . …………12分 证2：22121122()()02ln 12ln 10f x f x x x x x +=⇔+-++-=221212*********ln ()220()22ln 2x x x x x x x x x x x x ⇔++--=⇔+=-+,设12t x x =，则t>0，()22ln 2g t t t =-+，令/()0g t >，得1t >，()g t ∴在（0，1）单调递减，在(1,)+∞单调递增, min ()(1)4g t g ∴==，∴4)(221≥+x x ,又因为1=t 时,121==x x ,""=∴不成立.212()4x x ∴+>，122x x ∴+>. …………12分22. （Ⅰ）PE 、PB 分别是⊙2O 的割线，PB PD PE PA ⋅=⋅∴① …………2分又PA 、PB 分别是⊙1O 的切线与割线，PB PC PA ⋅=∴2② …………4分由①，②得PC PE PD PA ⋅=⋅∴ …………5分（Ⅱ）连接DE AC 、，设DE 与AB 相交与点FBC 是⊙1O 的直径，∴∠ 90=CABAC ∴是⊙2O 的切线. …………6分 由（Ⅰ）知，ADE CAD DE AB ED AC PDPC PE PA ∠=∠⊥∴∴=,//, …………8分 AC 是⊙2O 的切线. AED CAD ∠=∠∴ AE AD =∴ …………10分23．（Ⅰ）C ：13422=+y x ，轨迹为椭圆，其焦点)0,1(),0,1(21F F -32-=AF k )1(3:2--=x y AF即3cos 3sin :2=+θρθρAF即23)3sin(=+πθρ…………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）32-=AF k ，⊥l 2AF ,∴l 的斜率为33，倾斜角为 30，所以l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=ty tx 21231（t 为参数）代入椭圆C 的方程中，得：036312132=--t t因为M 、N 在1F 的异侧13312||||||||2111=+=-t t NF MF…………10分 24.（Ⅰ）f (x )＋f (x ＋4)＝|x －1|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，x ＜－3，4，－3≤x ≤1，2x ＋2，x ＞1．当x ＜－3时，由－2x －2≥8，解得x ≤－5；当－3≤x ≤1时，f (x )≤8不成立；当x ＞1时，由2x ＋2≥8，解得x ≥3．所以不等式f (x )≤4的解集为{x |x ≤－5，或x ≥3}．…………5分 （Ⅱ）f (ab )＞|a |f ( b a )即|ab －1|＞|a －b |．……………6分 因为|a |＜1，|b |＜1，所以|ab－1|2－|a－b|2＝(a2b2－2ab＋1)－(a2－2ab＋b2)＝(a2－1)(b2－1)＞0，所以|ab－1|＞|a－b|．故所证不等式成立．……………10分.。