2020年江西省南昌市高考数学一模试卷(理科)
（t 为参数），曲线 C
的参数方程为
（θ 为参数），以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极
轴建立极坐标系． （1）求 C 的极坐标方程； （2）设点 M （2，1），直线 l 与曲线 C 相交于点 A，B，求|MA|•|MB|的值．
）是在 1654 年发现这一规律的．我国南宋数学家杨辉
1261 年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图
所示的表，这是我国数学史上的一个伟大成就．如图
所示，在“杨辉三角”中，去除所有为 1 的项，依次
构成数列 2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此
数列前 135 项的和为（ ）
A. 218-53
9. 已知 f（x）在 R 上连续可导， 为其导函数，且 f（x）=ex+e-x- x•（ex-e-x），
则+
-
=（ ）
A. 4e2+4e-2
B. 4e2-4e-2
C. 0
D. 4e2
10. 已知平面向量 ， ， =（2cosα，2sinα）， =（cosβ，sinβ），若对任意的正实数 λ，
| -λ |的最小值为 ，则此时| - |=（ ）
小芳都准备选历史，假若他们都对后面四科没有偏好，则他们选课相同的概率为
()
A.
B.
C.
D.
8. 已知 r＞0，x，y∈R，p：“|x|+ ≤1”，q：“x2+y2≤r2”，若 p 是 q 的必要不充分条
件，则实数 r 的取值范围是（ ）
A. （0， ]
B. （0，1]
C. [ ，+∞）
D. [2，+∞）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
6. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
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A. 12
B. 14
C. 16
D. 20
7. 2021 年广东新高考将实行 3+1+2 模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二 选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有 12 种选课模式．今年高一的小明与
高考数学一模试卷（理科）
题号 得分
一
二
三Hale Waihona Puke 总分一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. 设集合 M={x|x2-4＞0}，N={x|log2x＜1}，则（∁RM）∩N=（ ）
A. ∅
B. （0，2）
C. （-2，2）
D. [-2，2）
2. 已知复数 z=
的实部等于虚部，则 a=（ ）
的部分
图象如图所示，A（0， ），C（2，0），并且 ABx∥轴 ． （Ⅰ）求 ω 和 φ 的值； （Ⅱ）求 cos∠ACB 的值．
18. 如图，四棱台 ABCD-A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是菱形，CC1⊥底面 ABCD，且∠BAD=60°，CD=CC1=2C1D1=4，E 是棱 BB1 的中点． （Ⅰ）求证：AA1⊥BD； （Ⅱ）求二面角 E-A1C1-C 的余弦值．
(1)若该商家新店面全部安装了 B 型节能灯，求一年内恰好更换了 2 只灯的概率．
(2)若只考虑灯的成本和消耗电费，你认为该商家应选择哪种型号的节能灯，请说明 理由．
20. 如图，椭圆 E：
与圆 O：x2+y2=1 相切，并且椭圆 E 上动点与圆
O 上动点间距离最大值为 ．
（Ⅰ）求椭圆 E 的方程； （Ⅱ）过点 N（1，0）作两条互相垂直的直线 l1，l2，l1 与 E 交于 A，B 两点，l2 与 圆 O 的另一交点为 M，求△ABM 面积的最大值，并求取得最大值时直线 l1 的方程．
B. 218-52
C. 217-53
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
D. 217-52
13. 设函数
，则 f （5）的值为______．
14. 侧面为等腰直角三角形的正三棱锥的侧棱与底面所成角的正弦值为______．
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15. 已知锐角 A 满足方程 3cosA-8tanA=0，则 cos2A=______． 16. 定义在封闭的平面区域 D 内任意两点的距离的最大
值称为平面区域 D 的“直径”．已知锐角三角形的三
个顶点 A，B，C，在半径为 1 的圆上，且∠BAC= ，分别
以△ABC 各边为直径向外作三个半圆，这三个半圆和 △ABC 构成平面区域 D，则平面区域 D 的“直径”的 最大值是______．
三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分）
17. 函数
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19. 市面上有某品牌 A 型和 B 型两种节能灯，假定 A 型节能灯使用寿命都超过 5000 小 时．经销商对 B 型节能灯使用寿命进行了调查统计，得到如下频率分布直方图：
某商家因原店面需重新装修，需租赁一家新店面进行周转，合约期一年．新店面 需安装该品牌节能灯 5 只(同种型号)即可正常营业．经了解，A 型 20 瓦和 B 型 55 瓦的两种节能灯照明效果相当，都适合安装．已知 A 型和 B 型节能灯每只的价格 分别为 120 元、25 元，当地商业电价为 0.75 元／千瓦时．假定该店面正常营业一 年的照明时间为 3600 小时，若正常营业期间灯坏了立即购买同型灯更换．(用频率 估计概率)
A. 1
B. 2
C.
D.
11. 已知 A（- ，0），B（ ，0），P 为圆 x2+y2=1 上的动点，
，过点 P 作与
AP 垂直的直线 l 交直线 QB 于点 M，则 M 的横坐标范围是（ ）
A. |x|≥1
B. |x|＞1
C. |x|≥2
D. |x|≥ Z
12. 杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列． 在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡（1623--1662
A. -
B.
C. -1
D. 1
3. 已知抛物线方程为 x2=2y，则其准线方程为（ ）
A. y=-1
B. x=-1
C.
D.
4. 已知{an}为等差数列，若 a2=2a3+1，a4=2a3+7，则 a5=（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 6
5. 如图所示算法框图，当输入的 x 为 1 时，输出的结果为（ ）
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21. 已知函数 f（x）=ex（-x+lnx+a）（e 为自然对数的底数，a 为常数，且 a≤1）．
（Ⅰ）判断函数 f（x）在区间 （1，e）内是否存在极值点，并说明理由；
（Ⅱ）若当 a=ln2 时，f（x）＜k（k∈Z）恒成立，求整数 k 的最小值．
22. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为
2020届江西省南昌市江西师范大学附属中学高三第一次模拟测试数学(理)试题(解析版)
2020届江西省南昌市江西师范大学附属中学高三第一次模拟测试数学（理）试题一、单选题1．若集合{|A x N x =∈=，a = ）A ．{}a A ⊆B ．a A ⊆C ．{}a A ∈D ．a A ∉【答案】D【解析】由题意{|A x N x =∈==∅，分析即得解【详解】由题意{|A x N x =∈==∅，故a A ∉，{}A a ⊆故选：D 【点睛】本题考查了元素和集合，集合和集合之间的关系，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题. 2．设1i2i 1iz -=++，则||z =A ．0B ．12C ．1D【答案】C【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，然后求解复数的模. 详解：()()()()1i 1i 1i2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+ i 2i i =-+=，则1z =，故选c.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3．已知命题p ：“a b >”是“22a b >”的充要条件；:q x ∃∈R ，|1|x x +≤，则（ ） A ．()p q ⌝∨为真命题B ．p q ∨为真命题C ．p q ∧为真命题D ．()p q ∧⌝为假命题【答案】B【解析】由2xy =的单调性，可判断p 是真命题；分类讨论打开绝对值，可得q 是假命题，依次分析即得解 【详解】由函数2xy =是R 上的增函数，知命题p 是真命题． 对于命题q ，当10x +≥，即1x ≥-时，11x x x +=+>； 当10x +<，即1x <-时，11x x +=--， 由1x x --≤，得12x =-，无解，因此命题q 是假命题．所以()p q ⌝∨为假命题，A 错误；p q ∨为真命题，B 正确；p q ∧为假命题，C 错误；()p q ∧⌝为真命题，D 错误．故选：B 【点睛】本题考查了命题的逻辑连接词，考查了学生逻辑推理，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.4．已知f （x ）=ax 2+bx 是定义在[a –1，2a]上的偶函数，那么a+b 的值是A ．13-B ．13 C ．12-D ．12【答案】B【解析】依照偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f （﹣x ）=f （x ），且定义域关于原点对称，a ﹣1=﹣2a ，即可得解. 【详解】根据偶函数的定义域关于原点对称，且f （x ）是定义在[a –1，2a]上的偶函数， 得a –1=–2a ，解得a=13，又f （–x ）=f （x ）， ∴b=0，∴a+b=13．故选B ． 【点睛】本题考查偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f （﹣x ）=f （x ）；奇函数和偶函数的定义域必然关于原点对称，定义域区间两个端点互为相反数． 5．已知函数()(0)f x x x x =->，()xg x x e =+，()()ln 0h x x x x =+>的零点分别为1x ，2x ，3x ，则（ ） A ．123x x x << B ．213x x x << C ．231x x x << D ．312x x x <<【答案】C【解析】转化函数()(0)f x x x x =->，()xg x x e =+，()()ln 0h x x x x =+>的零点为y x =与(0)y x x =>，x y e =-，()ln 0y x x =->的交点，数形结合，即得解. 【详解】 函数()(0)f x x x x =->，()xg x x e =+，()()ln 0h x x x x =+>的零点，即为y x =与(0)y x x =>，x y e =-，()ln 0y x x =->的交点，作出y x =与(0)y x x =>，x y e =-，()ln 0y x x =->的图象，如图所示，可知231x x x << 故选：C 【点睛】本题考查了数形结合法研究函数的零点，考查了学生转化划归，数形结合的能力，属于中档题. 6．函数2ln x x y x=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据函数为偶函数排除B ,当0x >时,利用导数得()f x 在1(0,)e上递减,在1(,)e+∞上递增,根据单调性分析,A C 不正确,故只能选D . 【详解】令2ln ||()||x x f x x =,则2()ln ||()()||x x f x f x x ---==-, 所以函数()f x 为偶函数,其图像关于y 轴对称,故B 不正确,当0x >时,2ln ()ln x xf x x x x==,()1ln f x x '=+,由()0f x '>,得1x e >,由()0f x '<,得10x e<<, 所以()f x 在1(0,)e上递减,在1(,)e+∞上递增, 结合图像分析,,A C 不正确. 故选:D 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性判断函数的图象,考查了利用导数研究函数的单调性,利用单调性判断函数的图象,属于中档题.7．一物体作变速直线运动，其v t -曲线如图所示，则该物体在1s~6s 2间的运动路程为（ ）m ．A ．1B ．43C ．494D ．2【答案】C【解析】由图像用分段函数表示()v t ，该物体在1s~6s 2间的运动路程可用定积分612()d s v t t =⎰表示，计算即得解【详解】 由题中图像可得，2,01()2,1311,363t t v t t t t ⎧⎪≤<⎪=≤≤⎨⎪⎪+<≤⎩由变速直线运动的路程公式，可得61311132621()d 22d 1d 3s v t t tdt t t t ⎛⎫==+++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰6132211231492(m)64tt t t ⎛⎫=+++= ⎪⎝⎭．所以物体在1s~6s 2间的运动路程是49m 4． 故选：C 【点睛】本题考查了定积分的实际应用，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题. 8．已知()()()sin cos sin cos k k A k παπααα++=+∈Z ，则A 的值构成的集合是（ ）A ．{1,1,2,2}--B ．{1,1}-C ．{2,2}-D ．{}1,1,0,2,2--【答案】C【解析】对k 分奇数、偶数进行讨论，利用诱导公式化简可得. 【详解】k 为偶数时，sin cos 2sin cos A αααα=+=；k 为奇数时，sin cos 2sin cos A αααα=--=-，则A 的值构成的集合为{}2,2-. 【点睛】本题考查三角式的化简，诱导公式，分类讨论，属于基本题.9．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（ ）A ．217B ．25C ．3D ．2【答案】B【解析】首先根据题中所给的三视图，得到点M 和点N 在圆柱上所处的位置，将圆柱的侧面展开图平铺，点M 、N 在其四分之一的矩形的对角线的端点处，根据平面上两点间直线段最短，利用勾股定理，求得结果. 【详解】根据圆柱的三视图以及其本身的特征， 将圆柱的侧面展开图平铺,可以确定点M 和点N 分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，224225+= B.点睛：该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题，在解题的过程中，需要明确两个点在几何体上所处的位置，再利用平面上两点间直线段最短，所以处理方法就是将面切开平铺，利用平面图形的相关特征求得结果. 10．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若,AB a AD b ==u u u r r u u u r r ,1AA c =u u u r r ，则与BM u u u u r相等的向量是（ ）A ．1122a b c ++r r rB ．1122a b c --+r r rC ．1122a b c -+r r rD ．1122-++r r ra b c【答案】D【解析】根据空间向量的线性运算，用,,a b c r r r 作基底表示BM u u u u r即可得解.【详解】根据空间向量的线性运算可知11BM BB B M =+u u u u r u u u r u u u u r11112AA B D =+u u u r u u u u r()1111112AA B A A D =++u u u r u u u u r u u u u r()112AA AB AD =+-+u u u r u u u r u u u r因为,AB a AD b ==u u u r r u u u r r ,1AA c =u u ur r ，则()112AA AB AD +-+u u u r u u u r u u u r1122a b c =-++r r r即1122BM a b c =-++u u u u r r r r ，故选：D. 【点睛】本题考查了空间向量的线性运算，用基底表示向量，属于基础题.11．设过点(),P x y 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于,A B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若2BP PA =u u u v u u u v ，且1OQ AB ⋅=u u u v u u u v ，则点P 的轨迹方程是（ ）A ．()223310,02x y x y +=>> B ．()223310,02x y x y -=>> C ．()223310,02x y x y -=>>D ．()223310,02x y x y +=>>【答案】A【解析】设,A B 坐标，根据向量坐标运算表示出2BP PA =u u u r u u u r，从而可利用,x y 表示出,a b ；由坐标运算表示出1OQ AB ⋅=u u u r u u u r，代入,a b 整理可得所求的轨迹方程.【详解】设(),0A a ，()0,B b ，其中0a >，0b >2BP PA=u u u r u u u r Q ()(),2,x y b a x y ∴-=--，即()22x a x y b y ⎧=-⎨-=-⎩ 30230x a b y ⎧=>⎪∴⎨⎪=>⎩ ,P Q Q 关于y 轴对称 (),Q x y ∴-()(),,1OQ AB x y a b ax by ∴⋅=-⋅-=+=u u u r u u u r ()223310,02x y x y ∴+=>>故选：A 【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解，涉及到平面向量的坐标运算、数量积运算；关键是利用动点坐标表示出变量，根据平面向量数量积的坐标运算可整理得轨迹方程. 12．若函数f (x )＝13x 3＋x 2－23在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是A ．[－5，0)B ．(－5，0)C ．[－3，0)D ．(－3，0)【答案】C【解析】求函数导数，分析函数单调性得到函数的简图，得到a 满足的不等式组，从而得解. 【详解】由题意，f ′(x )＝x 2＋2x ＝x (x ＋2)，故f (x )在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2，0)上是减函数，作出其图象如图所示．令13x 3＋x 2－23＝－23，得x ＝0或x ＝－3， 则结合图象可知，3050a a -≤<⎧⎨+>⎩解得a ∈[－3，0)，故选C. 【点睛】本题主要考查了利用函数导数研究函数的单调性，进而研究函数的最值，属于常考题型.二、填空题13．现有一块边长为a 的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x 的小正方形，然后做成一个无盖方盒，该方盒容积的最大值是________． 【答案】3227a 【解析】由题意容积()22V a x x =-，求导研究单调性，分析即得解. 【详解】由题意：容积()22V a x x =-，02a x <<， 则22(2)(2)(2)(2)(6)V a x x a x a x a x '=-⨯-+-=--， 由0V '=得6a x =或2ax =（舍去）， 令0,(0,);'0(,)662a a a V x V x '>∴∈<∴∈则6ax =为V 在定义域内唯一的极大值点也是最大值点，此时3max 227V a =. 故答案为：3227a 【点睛】本题考查了导数在实际问题中的应用，考查了学生数学建模，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.14．已知数列{}n a 满足123232nn a a a na +++⋯+=，则n a =________．【答案】12,12,2n n n a n n-=⎧⎪=⎨≥⎪⎩【解析】项和转化可得11(2)222nn n n na n --=-≥=，讨论1n =是否满足，分段表示即得解 【详解】当1n =时，由已知，可得1122a ==， ∵123232n n a a a na +++⋯+=，①故()()1123123122n n a a a n a n --+++⋯+-=≥，②由①-②得11222nn n n na --=-=，∴12n n a n-=．显然当1n =时不满足上式，∴12,12,2n n n a n n -=⎧⎪=⎨≥⎪⎩故答案为：12,12,2n n n a n n-=⎧⎪=⎨≥⎪⎩【点睛】本题考查了利用n S 求n a ，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算，分类讨论的能力，属于中档题.15．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件{A =抽到一等品}，事件{B =抽到二等品}，事件{C =抽到三等品}，且已知()0.65P A =，()0.2P B =， ()0.1P C =，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为________ 【答案】0.35【解析】根据对立事件的概率和为1，结合题意，即可求出结果来． 【详解】解：由题意知本题是一个对立事件的概率，Q 抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，()0.65P A =Q ，∴抽到不是一等品的概率是()110.650.35P P A =-=-=，故答案为：0.35． 【点睛】本题考查了求互斥事件与对立事件的概率的应用问题，属于基础题．16．已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为______． 【答案】12π【解析】设圆柱的轴截面的边长为x ，可求得x =解 【详解】设圆柱的轴截面的边长为x ，则由28x =，得x =∴222212S S S πππ=+=⨯⨯+=圆柱表侧底． 故答案为：12π 【点睛】本题考查了圆柱的轴截面和表面积，考查了学生空间想象，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.三、解答题17．已知数列{}n a 中，a 1=1，其前n 项和为n S ，且满足()(21)n n S n a n +=+∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记23n n n b a λ=-，若数列{}n b 为递增数列，求λ的取值范围．【答案】（1）()n a n n +=∈N （2）(),2-∞【解析】（1）项和转换可得()11n n na n a +=+，继而得到11111n n a a an n -====-L ，可得解；（2）代入可得23nn b n λ=-，由数列{}n b 为递增数列可得，2321nn λ⋅<+，令2321nn c n ⋅=+，可证明{}n c 为递增数列，即1c λ<，即得解 【详解】（1）∵()21n n S n a =+， ∴()1122n n S n a ++=+，∴()()11221n n n a n a n a ++=+-+， 即()11n n na n a +=+，∴11n na a n n+=+，∴11111n n a a a n n -====-L ， ∴()n a n n +=∈N ．（2）23n n b n λ=-．()()2121313n n n n b b n n λλ++-=-+--=2·3n -λ（2n+1）．∵数列{}n b 为递增数列，∴()23210nn λ⋅-+>，即2321n n λ⋅<+．令2321nn c n ⋅=+，即112321631232323n n n n c n n c n n ++⋅++=⋅=>+⋅+． ∴{}n c 为递增数列，∴12c λ<=， 即λ的取值范围为(),2-∞． 【点睛】本题考查了数列综合问题，考查了项和转换，数列的单调性，最值等知识点，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.18．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率． （1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．【答案】（1）35．（2）45．【解析】（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，求出最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数，由此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率．（2）当温度大于等于25℃时，需求量为500，求出Y＝900元；当温度在[20，25）℃时，需求量为300，求出Y＝300元；当温度低于20℃时，需求量为200，求出Y＝﹣100元，从而当温度大于等于20时，Y＞0，由此能估计估计Y大于零的概率．【详解】解：（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，得到最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数为2+16+36＝54，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶，如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶，如果最高气温低于20，需求量为200瓶，∴六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率p543 905 ==．（2）当温度大于等于25℃时，需求量为500，Y＝450×2＝900元，当温度在[20，25）℃时，需求量为300，Y＝300×2﹣（450﹣300）×2＝300元，当温度低于20℃时，需求量为200，Y＝400﹣（450﹣200）×2＝﹣100元，当温度大于等于20时，Y＞0，由前三年六月份各天的最高气温数据，得当温度大于等于20℃的天数有：90﹣（2+16）＝72，∴估计Y大于零的概率P724 905 ==．【点睛】本题考查概率的求法，考查利润的所有可能取值的求法，考查函数、古典概型等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．19．如图，ABC V 内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，四边形DCBE 为平行四边形，DC ⊥平面ABC ，4AB =，23EB =．（1）求证：DE ⊥平面ACD ；（2）设AC x =，()V x 表示三棱锥B -ACE 的体积，求函数()V x 的解析式及最大值．【答案】（1）见解析（2）23()16(04)V x x x =-<<，最大值33． 【解析】（1）先证明DC BC ⊥，BC AC ⊥，故BC ⊥平面ADC ．由//DE BC ，即得证；（2）可证明BE ⊥平面ABC ，结合条件表示出23()163V x x x =-式，即得解. 【详解】（1）证明：∵四边形DCBE 为平行四边形， ∴//CD BE ，//BC DE ．∵DC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴DC BC ⊥． ∵AB 是圆O 的直径，∴BC AC ⊥， 且DC AC C =I ，,DC AC ⊂平面ADC ， ∴BC ⊥平面ADC ．∵//DE BC ，∴DE ⊥平面ADC ． （2）解∵DC ⊥平面ABC ，//DC BE ， ∴BE ⊥平面ABC ．在Rt ABE △中，4AB =，23EB =在Rt ABC △中，∵AC x =，∴216(04)BC x x =-<<， ∴2111622ABC S AC BC x x =⋅=-V∴23()16(04)3ABC E V x V x x x -==⋅-<<三棱锥． ∵()222221616642x x x x ⎛⎫+--≤= ⎪⎝⎭， 当且仅当2216x x =-，即22x =时取等号， ∴当22x =时，体积有最大值83． 【点睛】本题考查了线面垂直的证明和三棱锥的体积，考查了学生逻辑推理，空间想象，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.20．P 是圆224x y +=上的动点，P 点在x 轴上的射影是D ，点M 满足12DM DP =u u u u v u u u v．（1）求动点M 的轨迹C 的方程，并说明轨迹是什么图形；（2）过点(3,0)N 的直线l 与动点M 的轨迹C 交于不同的两点A ，B ，求以OA ，OB 为邻边的平行四边形OAEB 的顶点E 的轨迹方程．【答案】（1）点M 的轨迹C 的方程为2214x y +=，轨迹C 是以(3,0)，(3,0)为焦点，长轴长为4的椭圆（2）22846003x y x x ⎛⎫+-=<<⎪⎝⎭【解析】（1）设(),M x y ，根据12DM DP =u u u u r u u u r可求得(),2P x y ，代入圆的方程可得所求轨迹方程；根据轨迹方程可知轨迹是以()3,0，)3,0为焦点，长轴长为4的椭圆；（2）设():3l y k x =-，与椭圆方程联立，利用>0∆求得215k <；利用韦达定理表示出12x x +与12y y +，根据平行四边形和向量的坐标运算求得OE uuu r，消去k 后得到轨迹方程；根据215k <求得x 的取值范围，进而得到最终结果. 【详解】（1）设(),M x y ，则(),0D x由12DM DP =u u u u r u u u r知：(),2P x yQ 点P 在圆224x y +=上 2244x y ∴+=∴点M 的轨迹C 的方程为：2214x y += 轨迹C 是以()3,0-，()3,0为焦点，长轴长为4的椭圆（2）设(),E x y ，由题意知l 的斜率存在设():3l y k x =-，代入2214x y +=得：()222214243640k x k x k +-+-=则()()()2222244143640k k k ∆=--+->，解得：215k <设()11,A x y ，()22,B x y ，则21222414k x x k+=+ ∴()()()31212122224633661414k ky y k x k x k x x k k k k -+=-+-=+-=-=++ Q 四边形OAEB 为平行四边形∴()2121222246,,,1414k k OE OA OB x x y y k k ⎛⎫-=+=++= ⎪++⎝⎭u u u r u u u r u u u r又(),OE x y =u u u r ∴2222414614k x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，消去k 得：22460x y x +-=215k <Q ()222226146246860,1414143k k x k k k +-⎛⎫∴===-∈ ⎪+++⎝⎭∴顶点E 的轨迹方程为22846003x y x x ⎛⎫+-=<< ⎪⎝⎭【点睛】本题考查圆锥曲线中的轨迹方程的求解问题，关键是能够利用已知中所给的等量关系建立起动点横纵坐标满足的关系式，进而通过化简整理得到结果；易错点是求得轨迹方程后，忽略x 的取值范围. 21．已知函数(R)a ∈.(Ⅰ) 求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ) 当0a >时，求函数()f x 在[1,2]上最小值.【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)当0ln 2a <<时，函数()f x 的最小值是min ()x f a =-；当ln 2a ≥时，函数()f x 的最小值是min ()ln 22f x a =-【解析】（1）求出导函数，并且解出它的零点x=，再分区间讨论导数的正负，即可得到函数f （x ）的单调区间；（2）分三种情况加以讨论，结合函数的单调性与函数值的大小比较，即可得到当0＜a ＜ln 2时，函数f （x ）的最小值是-a ；当a≥ln2时，函数f （x ）的最小值是ln2-2a ． 【详解】(1)函数()f x 的定义域 为(0,)+∞．11()'-=-=axf x a x x因为0a >，令1()0f x a x ¢=-=，可得1x a=； 当10x a <<时，1()0ax f x x '-=>；当1x a>时，1()0ax f x x '-=<， 综上所述：可知函数()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(2)()i 当101a<≤，即1a ≥时，函数()f x 在区间[1,2]上是减函数， ()f x ∴的最小值是(2)ln 22f a =-()ii 当12a≥，即102a <≤时，函数()f x 在区间[1,2]上是增函数，()f x ∴的最小值是(1)f a =-()iii 当112a<<，即112a <<时，函数()f x 在11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，在1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数．又(2)(1)ln 2f f a -=-Q ，∴当1ln 22a <<时，()f x 的最小值是(1)f a =-； 当ln 21a <<时，()f x 的最小值为(2)ln 22f a =-综上所述，结论为当0ln 2a <<时，函数()f x 的最小值是min ()x f a =-； 当ln 2a ≥时，函数()f x 的最小值是min ()ln 22f x a =-. 【点睛】求函数()f x 极值与最值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数()f x '；(3) 解方程()0,f x '=求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查()f x '在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么()f x 在0x 处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（0a b >>，ϕ为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 是圆心在极轴上，且经过极点的圆．已知曲线1C 上的点M 1,2⎛ ⎝⎭对应的参数4πϕ=，射线3πθ=与曲线2C 交于点1,3D π⎛⎫⎪⎝⎭． （1）求曲线1C ，2C 的直角坐标方程；（2）若点A ，B 为曲线1C 上的两个点且OA OB ⊥，求2211+||||OA OB 的值． 【答案】（1）2212x y +=．()2211x y -+=．（2）32【解析】（1）先求解a,b ，消去参数ϕ，即得曲线1C 的直角坐标方程；再求解R ，利用极坐标和直角坐标的互化公式，即得曲线2C 的直角坐标方程； （2）由于OA OB ⊥，可设()1,A ρθ，2,2B πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，代入曲线1C 直角坐标方程，可得12,,ρρθ的关系，转化2222121111||||OA OB ρρ+=+2222cos sin sin cos 22θθθθ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得解. 【详解】（1）将1,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭及对应的参数4πϕ=，代入cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⋅⎩得1cos 4sin 24a b ππ⎧=⎪⎪=⎪⎩，即1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以曲线1C的方程为sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩，ϕ为参数，所以曲线1C 的直角坐标方程为2212x y +=．设圆2C 的半径为R ，由题意，圆2C 的极坐标方程为2cos R ρθ=（或()222x R y R -+=），将点1,3D π⎛⎫⎪⎝⎭代入2cos R ρθ=，得12cos 3R π=，即1R =， 所以曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=， 所以曲线2C 的直角坐标方程为()2211x y -+=． （2）由于OA OB ⊥，故可设()1,A ρθ，2,2B πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭代入曲线1C 直角坐标方程，可得222211cos sin 12ρθρθ+=，222222sin cos 12ρθρθ+=，所以2222121111||||OA OB ρρ+=+2222cos sin 3sin cos 222θθθθ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题考查了极坐标和直角坐标，参数方程和一般方程的互化以及极坐标的几何意义的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 23．已知函数()|1|2||,0f x x x a a =+-->. （1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若()f x 的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）2{|2}3x x <<（Ⅱ）（2，+∞） 【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意零点分段即可确定不等式的解集为223xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭； (Ⅱ)由题意可得面积函数为为()2213a +，求解不等式()22163a +>可得实数a 的取值范围为()2,+∞ 试题解析：（I ）当1a =时，()1f x >化为12110x x +--->， 当1x ≤-时，不等式化为40x ->，无解； 当11x -<<时，不等式化为320x ->，解得213x <<； 当1x ≥时，不等式化为20x -+>，解得12x ≤<． 所以()1f x >的解集为223xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭． （II ）由题设可得，()12,1,312,1,12,,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++>⎩所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21,03a A -⎛⎫⎪⎝⎭，()21,0B a +，(),1C a a +，ABC ∆的面积为()2213a +． 由题设得()22163a +>，故2a >． 所以a 的取值范围为()2,+∞。
2020年江西省南昌市高考数学一模试卷(理科) (含答案解析)
2020年江西省南昌市高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设全集为R ，集合A ={x|y =ln(9−x 2)}，B ={x|y =√4x −x 2}，则A ∩(∁R B)=( ) A. (−3,0] B. (0,3) C. (−3,0) D. [0,3)2. 在复平面内，复数2−3i3+2i 对应的点的坐标为( )A. (0,−1)B. (0,−139)C. (1213,−1) D. (129,−139)3. 有一个正三棱柱，其三视图如图所示，则其体积等于( )A. 3cm 3B. 4cm 3C. 3√32cm 3D. 1cm 34. 已知x ∈R ，则“x <1”是“x 2<1”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件5. 已知点A(−1,3)、B(3,2)、C(−4,5)、D(−3,4)，则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为( )A. 5√22B. −5√22C. 5√1717D. −5√17176. 函数f(x)=x +|x|x 的图象为下图中的( )A. B.C. D.7.已知变量y与x的线性回归方程为ŷ=2x+5，其中x的所有可能取值为1，7，5，13，19，则y=()A. 25B. 23C. 32D. 228.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，抛物线上一点P到准线和y轴的距离之和为5，则|PF|=()A. 5B. 4C. 3D. 29.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为45∘的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是()A. [√2,+∞)B. (√2,+∞)C. (2,+∞)D. (1,+∞)10.如图所示，△ACD是边长为1的等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD交AC于点E．(1)BD2的值为；(2)线段AE的长为．A. 2−√3;√3−1B. 2+√3;√3+1C. 2+√3;√3−1D. 2−√3;√3+1E. 2;√3−1F. 2+√3;√311.如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，AA1=AC=BC=1，∠ACB=90∘，D是A1B1的中点，F是BB1上的点，AB1，DF相交于点E，且AB1⊥DF，则下列结论中不正确的是()A. CE与BC1异面且垂直B. AB1⊥C1FC. ΔC1DF是直角三角形D. DF的长为√6312.若函数f(x)=2sin(ωx+ϕ),x∈R(其中ω>0，|ϕ|<π2)的最小正周期是4π，且f(0)=√2，则()A. ω=12，ϕ=π6B. ω=12，ϕ=π4 C. ω=2，ϕ=π6D. ω=2，ϕ=π4 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 函数f(x)=x 2+lnx 在点(1,f(1))处的切线方程为______．14. 已知(1+x)10=a 0+a 1(1−x)+a 2(1−x)2+⋯+a 10(1−x)10，则a 8等于________．15. 若函数f(x)={(12)x ,0≤x <2f(x −1)+1,x ≥2，则f(log 212)=______．16. 在等差数列{a n }中，已知a 3=3，a 2+a 8=10，则a n = ______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 如图，在△ABC 中，M 是AC 的中点，∠C =π3,AM =2．(1)若∠A =5π12，求AB 的长；(2)若的面积．18. 如图，在梯形ABCD 中，AB//CD,∠BCD =2π3，四边形ACFE 为矩形，且CF ⊥平面ABCD ，AD =CD =BC =CF ．(Ⅰ)求证：EF⊥平面BCF ；(Ⅱ)点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值．19.已知函数f(x)=e x−ax2,a∈R,x∈(0,+∞).(1)若f(x)存在极小值，求实数a的取值范围；.(2)若f(x)的极大值为M，求证：1<M<e220.已知点P是圆F1：(x−1)2+y2=8上任意一点，点F2与点F1关于原点对称，线段PF2的垂直平分线分别与PF1，PF2交于M，N两点．(1)求点M的轨迹C的方程；(2)过点G(0,1)的动直线l与点M的轨迹C交于A，B两点，在y轴上是否存在定点Q，使以AB3为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．21.质检部门对某工厂甲、乙两个车间生产的12个零件质量进行检测．甲、乙两个车间的零件质量(单位：克)分布的茎叶图如图所示．零件质量不超过20克的为合格．(1)从甲、乙两车间分别随机抽取2个零件，求甲车间至少一个零件合格且乙车间至少一个零件合格的概率；(2)质检部门从甲车间8个零件中随机抽取3个零件进行检测，已知三件中有两件是合格品的条件下，另外一件是不合格品的概率．(3)若从甲、乙两车间12个零件中随机抽取2个零件，用X表示乙车间的零件个数，求X的分布列与数学期望．22.在平面直角坐标系xOy中，射线l：y=√3x(x≥0)，曲线C1的参数方程为为参数)，曲线C2的方程为x2+(y−2)2=4；以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为．(1)写出射线l的极坐标方程以及曲线C 1的普通方程；(2)已知射线l与C 2交于O，M，与C 3交于O，N，求|MN|的值．23.设a、b∈R+且a+b=3，用分析法证明：√1+a+√1+b≤√10【答案与解析】1.答案：C解析：解：A={x|−3<x<3}，B={x|0≤x≤4}；∴∁R B={x|x<0，或x>4}；∴A∩(∁R B)=(−3,0)．故选：C．可以求出集合A，B，然后进行补集、交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，以及交集、补集的运算．2.答案：A解析：本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．解：复数2−3i3+2i =(2−3i)(3−2i)(3+2i)(3−2i)=−13i13=−i对应的点的坐标为(0,−1)，故选A．3.答案：B解析：解：由三视图和题意得，正三棱柱的高是√3cm，底面正三角形的边长为2sin60°=4√33cm，∴该正三棱柱的体积V=12×4√33×2×√3=4(cm3)，故选：B．由三视图和题意求出正三棱柱的高，由直角三角形的正弦函数求出底面边长，由柱体的体积公式求出答案．本题考查由三视图求几何体的体积，直角三角形的正弦函数的应用，属于基础题．4.答案：B解析：本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． x 2<1，解得−1<x <1.即可判断出关系．解：x 2<1，解得−1<x <1．∴“x <1”是“x 2<1”的必要不充分条件．故选：B ．5.答案：A解析：本题主要考查向量坐标运算以及向量投影的应用，根据向量投影和向量数量积的关系进行转化是解决本题的关键．根据条件求出向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，再根据投影的定义即可得到答案． 解：∵A(−1,3)、B(3,2)、C(−4,5)、D(−3,4)，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,−1)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1)，则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=5√22， 故选：A ．6.答案：C解析：本题考查分段函数图象问题，依题意，f(x)=x +|x|x ={x +1,x >0x −1,x <0，根据解析式即可求得结果． 解析：解：因为函数f(x)=x +|x|x ={x +1,x >0x −1,x <0， 根据分段函数解析式即可判断C 中图象正确，故选C ．7.答案：B解析：解：由题意，x=15(1+7+5+13+19)=9，代入ŷ=2x+5，可得：y=2×9+5=23．故选：B．求出x，代入ŷ=2x+5，可得y．本题解题的关键是回归直线方程一定过样本的中心点，本题是一个基础题．8.答案：C解析：本题考查了抛物线的定义和几何性质，属于基础题．设|PF|=m，根据抛物线的性质可得点P到准线和y轴的距离分别为m，m−1，根据题意可得2m−1=5，即可求出m=3．解：设|PF|=m，由抛物线C:y2=4x，得准线方程为x=−1，则点P到准线和y轴的距离分别为m，m−1，所以2m−1=5，解得m=3，即|PF|=3．故选C．9.答案：A解析：解：双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为45°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点．则：该直线的斜率的绝对值小于或等于渐近线的斜率ba所以ba≥1e2=c2a2=a2+b2a2≥2∴e≥√2故选：A．若过点F且倾斜角为45°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围．本题考查的知识点：双曲线的性质及应用及相关的运算问题．10.答案：C解析：本题考查余弦定理、正弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．(1)在△BCD中，CD=CB=1，∠DCB=150°，∠CDB=∠CBD=15°，利用余弦定理可求BD2；(2)在△ADE中，AD=1，∠DAE=60°，∠ADE=45°，则∠AED=75°，由正弦定理可得AE的值．解：(1)在△BCD中，CD=CB=1，∠DCB=150°，∠CDB=∠CBD=15°由余弦定理可得：BD2=1+1−2×1×1×cos150°=2+√3(2)在△ADE中，AD=1，∠DAE=60°，∠ADE=45°，则∠AED=75°由正弦定理可得：AEsin45°=1sin75°∴AE=√3−1故选C．11.答案：D解析：本题主要考查空间中，线线，线面间的位置关系，空间中的距离，属于较难题．利用空间中线线，线面间的位置关系，根据选项逐个分析判断即可．解：对于A，∵BC1⊂平面B1C1CB，CE⊄平面B1C1CB，且C∈平面B1C1CB，C∉BC1，∴CE与BC1是异面直线，∵AA1//CC1，AA1⊥平面ABC，∴CC1⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴CC1⊥AC，又AC⊥BC，BC∩CC1=C，BC，CC1⊂平面B1C1CB，∴AC⊥平面B1C1CB，又BC1⊂平面B1C1CB，∴AC⊥BC1，又四边形B1C1CB是正方形，连接B1C，∴BC1⊥B1C，又B1C∩AC=C，B1C，AC⊂平面AB1C，∴BC1⊥平面AB1C，∵CE⊂平面AB1C，∴BC1⊥CE，故A正确；对于B，∵C1A1=C1B1，D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1，由AA1⊥底面A1B1C1，C1D⊂底面A1B1C1，∴AA1⊥C1D，又A1B1∩AA1=A1，A1B1，AA1⊂平面ABB1A1，∴C1D⊥平面ABB1A1，AB1⊂平面ABB1A1，∴C1D⊥AB1，又DF⊥AB1，C1D∩DF=D，C1D，DF⊂平面C1DF，∴AB1⊥平面C1DF，C1F⊂平面C1DF，∴AB1⊥C1F，故B正确；对于C，由C1D⊥平面ABB1A1，DF⊂平面ABB1A1，可得C1D⊥DF，故△C1DF是直角三角形，故C正确；对于D，∵AC=BC=AA1=1，∠ACB=90°，∴A1B1=AB=√2，AB1=√3，∴DB1=√22，∵AB1⊥DF，∴∠FDB1=∠AB1F=∠A1AB1，∴cos∠FDB1=cos∠A1AB1，即DB1DF =AA1AB1，∴√22DF=√3，解得DF=√62，故D错误．故选D．12.答案：B解析：由T=2πω=4π得ω=12.由f(0)=√2，2sinω=√2∴sinϕ=√22.∵|ϕ|<π2，∴ϕ=π4.故选B.13.答案：3x−y−2=0解析：解：f′(x)=2x+1x；故f′(1)=2+1=3；故函数f(x)=x2+lnx的图象在点A(1,1)处的切线方程为：y−1=3(x−1)；即3x −y −2=0；故答案为：3x −y −2=0．由题意求导f′(x)=2x +1x ，从而可知切线的斜率，从而写出切线方程．本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义的应用，属于基础题． 14.答案：180解析：本题考查利用二次展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．关键是将底数改写成右边的底数形式．将1+x 写成2−(1−x)；利用二项展开式的通项公式求出通项，令1−x 的指数为8，求出a 8． 解：∵(1+x)10=[2−(1−x)]10∴其展开式的通项为T r+1=C 10r 210−r [−(1−x )]r =(−1)r ·210−r ·C 10r (1−x )r ，令r =8得a 8=4C 108=180故答案为180．15.答案：73解析：解：∵函数f(x)={(12)x ,0≤x <2f(x −1)+1,x ≥2， ∴f(log 212)=f(log 212−2)+2=(12)log 212÷(12)2+2=112×4+2=73． 故答案为：73． 推导出f(log 212)=f(log 212−2)+2=(12)log 212÷(12)2+2，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 16.答案：n解析：本题考查等差数列的通项公式，考查了方程组的解法，是基础题．设出等差数列的首项和公差，由题意列方程组求出首项和公差，则答案可求．解：由a 3=3，a 2+a 8=10，得：{a 3=a 1+2d =3a 2+a 8=2a 1+8d =10， 解得：{a 1=1d =1， ∴a n =1+(n −1)=n ．故答案为：n ．17.答案：解：(1)∠ABC =π−π3−5π12=π4，在△ABC 中，由正弦定理得AC sin∠ABC =AB sin∠C ，．(2)在△BCM 中，由余弦定理得：BM 2=CM 2+BC 2−2CM ⋅BCcos π3=CM 2+BC 2−2CM ⋅BC ⋅12，∴12=4+BC 2−2BC ，解得BC =4(负值舍去)，∴S △ABC =12⋅BC ⋅CA ⋅sin π3=4√3，解析：本题主要考查解三角形的应用，结合正弦定理，余弦定理以及三角形的面积公式是解决本题的关键．(1)根据正弦定理进行求解即可．(2)根据余弦定理结合三角形的面积公式进行计算即可．18.答案：(1)证明：在梯形ABCD 中，∵AB//CD ，设AD =CD =BC =1，又∵∠BCD =2π3，∴AB =2，∴AC 2=AB 2+BC 2−2AB ⋅BC ⋅cos60°=3．∴AB 2=AC 2+BC 2.则BC ⊥AC ．∵CF ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴AC ⊥CF ，而CF ∩BC =C ，∴AC ⊥平面BCF ．∵EF//AC ，∴EF ⊥平面BCF ；(2)解：分别以直线CA ，CB ，CF 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设AD =CD =BC =CF =1，令FM =λ(0≤λ≤√3)，则C(0,0，0)，A(√3,0，0)，B(0,1，0)，M(λ,0，1)，∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,1，0)，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ,−1,1)， 设n⃗ =(x,y ，z)为平面MAB 的一个法向量， 由{n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0得{−√3x +y =0λx −y +z =0，取x =1，则n ⃗ =(1,√3,√3−λ)， ∵m ⃗⃗⃗ =(1,0，0)是平面FCB 的一个法向量，∴cos <n ⃗ ,m ⃗⃗⃗ >=n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=√1+3+(√3−λ)2×1=√(λ−√3)2+4． ∵0≤λ≤√3，∴当λ=0时，cosθ有最小值为√77，∴点M 与点F 重合时，平面MAB 与平面FCB 所成二面角最大，此时二面角的余弦值为√77．解析：本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．(1)在梯形ABCD中，设AD=CD=BC=1，由题意求得AB=2，再由余弦定理求得AC2=3，满足AB2=AC2+BC2，得则BC⊥AC.再由CF⊥平面ABCD得AC⊥CF，由线面垂直的判定可得AC⊥平面BCF.进一步得到EF⊥平面BCF；(2)分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AD=CD=BC= CF=1，令FM=λ(0≤λ≤√3)，得到C，A，B，M的坐标，求出平面MAB的一个法向量，由题意可得平面FCB的一个法向量，求出两法向量所成角的余弦值，可得当λ=0时，cosθ有最小值为√77，此时点M与点F重合．19.答案：解：(1)f(x)=e x−ax2，x∈(0,+∞)．∴f′(x)=e x−2ax=2x(e x2x−a)，设g(x)=e x2x，x∈(0,+∞)，则f′(x)=2x⋅[g(x)−a]，且g′(x)=e x(x−1)2x2，∵x∈(0,+∞)，e x>0，2x2>0，当x∈(1,+∞)时，且g′(x)>0，g(x)单调递增，当x∈(0,1)时，且g′(x)<0，g(x)单调递减，∴g(x)min=g(1)=12e，其大致图象如图所示，结合图象可知，①当a≤12e时，f′(x)≥0在(0,+∞)上单调递增，没有极值，不符合题意，②当a>12e时，直线y=a与y=g(x)有2个不同的交点，设其横坐标分别为x1，x2，且0<x1<1<x2，当0<x<x1或x>x2时，g(x)>a，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x1<x<x2时，g(x)<a，f′(x)<0，f(x)单调递减，故函数f(x)在x=x1处取得极大值，在x=x2处取得极小值，综上可得，a的范围(12e,+∞)，(2)结合(1)，若f(x)的极大值为M，则a>12e，M =f(x 1)=e x 1−ax 12， 因为a =e x 12x 1， 所以M =e x 1−x 1e x 12=e x 1(1−12x 1)， 令ℎ(x)=e x (1−12x)，x ∈(0,1)，则ℎ′(x)=12e x (1−x)<0在x ∈(0,1)时恒成立，即ℎ(x)在(0,1)上单调递减，又ℎ(0)=1，ℎ(1)=12e ，故ℎ(x)∈(1,12e)，即1<M <12e ．解析：(1)先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系讨论函数的单调性，进而可求出满足题意的a 的范围，(2)结合(1)的讨论可知M =f(x 1)=e x 1−ax 12，构造函数，结合函数的单调性可求M 的取值范围，即可证明．本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，研究极值及函数的值域的求解，属于中档试题． 20.答案：解：(1)由题意得|MF 1|+|MF 2|=|MF 1|+|MP|=|F 1P|=2√2>|F 1F 2|=2，所以点M 的轨迹C 为以F 1，F 2为焦点的椭圆，因为2a =2√2，2c =2，所以点M 的轨迹C 的方程为x 22+y 2=1．(2)直线l 的方程可设为y =kx +13，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立{y =kx +13x 22+y 2=1，可得9(1+2k 2)x 2+12kx −16=0． 由求根公式化简整理得x 1+x 2=−4k 3(1+2k 2)，x 1x 2=−169(1+2k 2)，假设在y 轴上存在定点Q(0,m)，使以AB 为直径的圆恒过这个点，则，即AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0． 因为AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x 1,m −y 1)，BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x 2,m −y 2)，AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+(m −y 1)(m −y 2) =x 1x 2+(m −kx 1−13)(m −kx 2−13) =(1+k 2)x 1x 2+k(13−m)(x 1+x 2)+m 2−2m 3+19=−16(1+k 2)9(1+2k 2)−12k 2(13−m)9(1+2k 2)+m 2−2m 3+19=(18m 2−18)k 2+(9m 2−6m −15)9(1+2k 2)=0．所以{18m 2−18=09m 2−6m −15=0，求得m =−1． 因此，在y 轴上存在定点Q(0,−1)，使以AB 为直径的圆恒过这个点．解析：本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查计算能力以及转化思想的应用．(1)判断轨迹方程是椭圆，然后求解即可．(2)直线l 的方程可设为y =kx +13，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立直线与椭圆方程，通过韦达定理，假设在y 轴上是否存在定点Q(0,m)，使以AB 为直径的圆恒过这个点，利用AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，求得m =−1.推出结果即可． 21.答案：解：(1)质检部门对某工厂甲、乙两个车间生产的12个零件质量进行检测，由茎叶图得甲车间的合格零件数为4，乙车间的合格零件数为2，∴从甲、乙两车间分别随机抽取2个零件，甲车间至少一个零件合格且乙车间至少一个零件合格的概率：P =(1−C 42C 82)(1−C 22C 42)=5584． (2)质检部门从甲车间8个零件中随机抽取3个零件进行检测，已知三件中有两件是合格品的条件下，另外一件是不合格品的概率P =C 42C 41C 42C 41+C 43=67． (3)由题意可得X 的所有可能取值为0，1，2，P(X =0)=C 82C 122=1433， P(X =1)=C 41C 81C 122=1633，P(X=2)=C42C122=111，∴随机变量X的分布列为：P 0 1 2X14331633111∴E(X)=0×1433+1×1633+2×111=23．解析：(1)利用对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式能求出从甲、乙两车间分别随机抽取2个零件，甲车间至少一个零件合格且乙车间至少一个零件合格的概率．(2)质检部门从甲车间8个零件中随机抽取3个零件进行检测，利用古典概型、排列组合能求出三件中有两件是合格品的条件下，另外一件是不合格品的概率．(3)由题意可得X的所有可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和E(X)．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．22.答案：解：(1)射线l：y= √3x(x≥0)，转换为极坐标方程为：θ= π 3(ρ≥0)．曲线C1的参数方程为为参数)，转换为直角坐标方程为x29 + y24 =1，所以曲线C1的普通方程为x29 + y24 =1；(2)曲线C2的方程为x2+(y−2)2=4，所以x2+y2−4y=0，因为x2+y2=ρ2，，所以，即ρ=4sinθ，所以曲线C2极坐标方程为：ρ=4sinθ，射线l与C2交于O，M，与C3交于O，N，所以．解析：本题考查的知识要点：参数方程，直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，极坐标方程的几何意义，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．(1)直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．(2)利用极坐标方程的几何意义列出．23.答案：证明：∵a、b∈R+且a+b=3，∴欲证√1+a+√1+b≤√10，只需证(√1+a+√1+b)2≤10，即证2+a+b+2√(1+a)⋅(1+b)≤10，即证2√(1+a)⋅(1+b)≤5，只需证4(1+a)⋅(1+b)≤25，即证4(1+a+b+ab)≤25，只需证4ab≤9，即证ab≤94，∵ab≤(a+b2)2=(32)2=94成立，∴√1+a+√1+b≤√10成立．解析：本题考查了利用分析法证明不等式，根据分析法的证明步骤证明即可，难度一般．根据已知及基本不等式，运用分析法证明．。
江西省南昌市第二中学2020届高三第一次模拟测试卷理科数学试题及答案
江西省南昌市第二中学2020届高三第一次模拟测试卷理科数学本试卷共4页,23小题,满分150分.考试时间120分钟注意事项：答卷前,考生务必将自已的姓名、准考证号填涂在答题卡上,并在相应位置贴好条形码；2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息涂黑:如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案；3.非选择题必须用黑色水笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上:如需改动,先划掉原来答案,然后再写上新答案,不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答无效；4.考生必须保证答题卡整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A＝{y|y＝|x|－1，x∈R}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是()A．－3∈A B．3∉B C．A∩B＝B D．A∪B＝B2.已知复数z1＝6－8i，z2＝－i，则z1z2等于()A.－8－6iB.－8＋6iC.8＋6iD.8－6i3.已知命题p：若a<1，则a2<1，则下列说法正确的是() A．命题p是真命题B．命题p的逆命题是真命题C．命题p的否命题是“若a<1，则a2≥1”D．命题p的逆否命题是“若a2≥1，则a<1”4.下列与角9π4的终边相同的角的表达式中正确的是()A ．2k π＋45°(k ∈Z)B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z) C ．k ·360°－315°(k ∈Z)D ．k π＋5π4(k ∈Z)5.已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A ．a >1，c >1B ．a >1,0<c <1C ．0<a <1，c >1D ．0<a <1,0<c <16.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)x ，x ≥2，⎝⎛⎭⎫12x －1，x <2，满足对任意的实数x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则实数a 的取值范围为( )．A ． ),1(+∞B ． ]813,(-∞ C ．)813,(-∞ D ． ),813(+∞ 7.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )8.《周易》历来被人们视为儒家经典之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映了中国古代的二进制计数的思想方法.我们用近代术语解释为：把阳爻“”当做数字“1”，把阴爻“”当做数字“0”，则八卦代表的数表示如下：以此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是( )A.18B.17C.16D.15 9.若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为( )A.5B.9C.6D.1210.斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )A ．2 B.455 C.4105 D.810511.若函数f (x )＝13x 3＋x 2－23在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是( )A ．[－5,0)B ．(－5,0)C ．[－3,0)D ．(－3,0)12.记M 的最大值和最小值分别为M max 和M min .若平面向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝a ·b ＝c ·(a ＋2b －2c )＝2，则( )A.|a －c |max ＝3＋72B.|a ＋c |max ＝3－72C.|a －c |min ＝3＋72 D .|a ＋c |min ＝3－72二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
江西省南昌市2020届高三下学期一模(理科)数学试卷(答案)
………6 分 ………9 分
— 高三理科数学（模拟一）答案第 3 页—
（3）下一轮得
1分并最终获胜，概率为
1 3
Pi41
；
所以
Pn
1 3
Pn1
1 3
Pn
1 3
Pn1
2Pn
Pn1
Pn1 ，（ n
2, 3, 4,5, 6, 7 ）
所以{Pn} 是等差数列，则 P4
P0
2
P8
1 2
，即决赛甲获胜的概率是
所以 f (x) 的极大值为 f (x1) ex1 x12 (ex1 2x1)x1 (1 x1)ex1 x12 ，
………9 分
因为1 x1 0 ， ex1 1 x1 ，所以 f (x1) (1 x1)(1 x1) x12 1.
即函数 f (x) 的极大值不小于1.
………12 分
………2 分
设公共点为 P ，因此 PF1 | | PF2 4 ，所以 P 点的轨迹 E 是以 F1(1, 0) ，F2 (1, 0) 为焦点的椭圆，
所以 2a 4, c 1 a 2,b 3 ，即轨迹 E 的方程为 x2 y2 1 . 43
………5 分
（Ⅱ）过 F2 点且斜率为 k 的直线方程为 y k(x 1) ，设 M (x1, y1), N (x2 , y2 )
x ln 2 时， g(x) 0 , g(x) 单调递增， g(x) (2 2 ln 2, ) ，
………5 分
由题意，方程 g(x) k 有两个不同解，所以 k (2 2 ln 2, ) ；
………6 分
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知， f (x) 在区间 (, ln 2) 上存在极大值点 x1 ，且 k ex1 2x1 ，
2020南昌市一模数学(理)试题
南昌市NCS20200607项目第一次模拟测试卷理科数学一，选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．己知全集为实数集R ，集合A={x|x 2+2x-8>0}，B={x|log 2x<1），则(C R A)∩B 等于()A.[-4,2]B ．[-4,2)C.(-4,2)D.(0,2)2．在复平面内，复数z=i 对应的点为Z ，将向量OZ 绕原点O 按逆时针方向旋转6π，所得向量对应的复数是()A.i 2321+-B.i 2123+-C.i 2321--D.i 2123--3．一个正三棱柱的正（主）视图如图，则该正三棱柱的侧面积是()A ．16B.12C ．8D ．64．由实数组成的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则“a 1>0”是“S 9>S 8”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D.既不充分也不必要条件5．已知向量a ,b ,b =(l ，3)，且a 在b 方向上的投影为21，则a ▪b 等于()A ．2B ．1C ．21 D.06．函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=1,,11ln()(cos x e x x x x f x π的图象大致是()7．根据散点图，对两个具有非线性关系的相关变量x ，y 进行回归分析，设u=lny ，v=(x-4)2，利用最小二乘法，得到线性回归方程为=-0.5v+2，则变量y 的最大值的估计值是()A.eB.e 2C.ln2D.2ln28．已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，抛物线上任意一点P ，且PQ ⊥y 轴交y 轴于点Q ，则PF PQ ⋅的最小值为()A.-41B ．-21 C.-l D ．19．已知双曲线C ：=1(a>0，b>0)的右焦点为F ，过原点O 作斜率为34的直线交C 的右支于点A ，若|OA|=|OF|，则双曲线的离心率为()A ．3B ．5C ．2D ．3+l10.台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动，也叫桌球（中国粤港澳地区的叫法）、撞球（中国台湾地区的叫法）控制撞球点、球的旋转等控制母球走位是击球的一项重要技术，一次台球技术表演节目中，在台球桌上，画出如图正方形ABCD ，在点E ，F 处各放一个目标球，表演者先将母球放在点A 处，通过击打母球，使其依次撞击点E ，F 处的目标球，最后停在点C 处，若AE=50cm ．EF=40cm ．FC=30cm ，∠AEF=∠CFE=60°，则该正方形的边长为()A ．502cmB ．402cmC.50cmD.206cm11.如图，点E 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，点F ，M 分别在线段AC ，BD 1（不包含端点）上运动，则()A ．在点F 的运动过程中，存在EF //BC 1B ．在点M 的运动过程中，不存在B 1M ⊥AEC ．四面体EMAC 的体积为定值D ．四面体FA 1C 1B 的体积不为定值12.已知函数)30,0)(sin()(πϕωϕω<<>+=x x f 满足)12(),()(ππf x f x f =+=l ，则12(π-f 等于A.-22B ．22C ．-21D ．21二.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.曲线f(x)=(x 2+x)lnx 在点(1，f(1))处的切线方程为.14.已知(2x-l)7=a o +a 1x+a 2x 2+…+a 7x 7，则a 2=.15.若函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-0,20,22)(x x x f x x，则)5(lg )2(lg )21(lg 51(lg f f f f +++的值为．16.两光滑的曲线相切，那么它们在公共点处的切线方向相同．如图所示，一列圆C n ：x 2+(y-a n )2=r n (a n >0,r n >0，n=1,2…)逐个外切，且均与曲线y=x 2相切，若r 1=l ，则a 1=，r n =．三.解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答．．（一）必考题：共60分．17.（12分）如图，D 是在△ABC 边AC 上的一点，△BCD 面积是△ABD 面积的2倍，∠CBD=2∠ABD=2θ．(I)若θ=6π,求CA sin sin 的值；(II)若BC=4，AB=22，求边AC 的长．18.（12分）如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，侧面BCC 1B 1是菱形，AC=BC=2，∠CBB 1=3π,点A 在平面BCC1B 1上的投影为棱BB 1的中点E ．(I)求证：四边形ACC 1A 1为矩形；(II)求二面角E-B 1C-A 1的平面角的余弦值．19.（12分）已知函数f(x)=e x -x 2-kx （其中e 为自然对数的底，k 为常数）有一个极大值点和一个极小值点．(I)求实数k 的取值范围；(II)证明f(x)的极大值不小于1．20.（12分）己知圆F 1：(x+1)2+y 2=r 2(l≤r≤3)，圆F 2：(x-1)2+y 2=(4-r)2．(I)证明圆F 1与圆F 2有公共点，并求公共点的轨迹E 的方程；(II)已知点Q(m ，0)(m<0)，过点F 2斜率为k(k≠0）的直线与(I)中轨迹E 相交于M ，N 两点，记直线QM 的斜率为k 1，直线QN 的斜率为k 2，是否存在实数m 使得k(k 1+k 2)为定值？若存在，求出m 的值，若不存在，说明理由．21.（12分）某工厂生产零件A ，工人甲生产一件零件A ，是一等品、二等品、三等品的概率分别为41,21,41，工人乙生产一件零件A ，是一等品、二等品、三等品的概率分别为31,31,31．己知生产一件一等品、二等品、三等品零件A 给工厂带来的效益分别为10元、5元、2元。
2020届江西省南昌市第一次模拟测试数学(理)试题(解析版)
（2）求二面角E-B1C-A1的平面角的余弦值．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】（1）通过勾股定理得出 ，又 ，进而可得 平面 ，则可得到 ，问题得证；
（2）如图，以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，求出平面 的法向量和平面 的法向量，利用空间向量的夹角公式可得答案.
【答案】
【解析】根据二项展开式的通项公式即可得结果.
【详解】
解：(2x-1)7的展开式通式为：
当 时， ，
则 .
故答案为：
【点睛】
本题考查求二项展开式指定项的系数，是基础题.
15．已知函数 ，则 的值为____
【答案】4
【解析】根据 的正负值，代入对应的函数解析式求解即可.
【详解】
解：
.
故答案为： .
【详解】
（1）因为 平面 ，所以 ，
又因为 ， ， ，所以 ，
因此 ，所以 ，
因此 平面 ，所以 ，
从而 ，又四边形 为平行四边形，
则四边形 为矩形；
（2）如图，以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，所以 ，
平面 的法向量 ，设平面 的法向量 ，
由 ，
由 ，
令 ，即 ，
所以， ，
所以，所求二面角的余弦值是 .
（2）由（1）知， 在区间 上存在极大值点 ，且 ，则可求出极大值 ，记 ，求导，求单调性，求出极值即可.
【详解】
（1） ，由 ，
记 ， ，
由 ，且 时， ， 单调递减， ，
时， ， 单调递增， ，
由题意，方程 有两个不同解，所以 ；
（2）解法一：由（1）知， 在区间 上存在极大值点 ，且 ，
2020年江西省南昌二中高考(理科)数学第一次模拟测试试卷 含解析
2020年高考（理科）数学一模试卷一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{y|y＝|x|﹣1，x∈R}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是（）A．﹣3∈A B．3∉B C．A∩B＝B D．A∪B＝B2．已知复数z1＝6﹣8i，z2＝﹣i，则＝（）A．8﹣6i B．8+6i C．﹣8+6i D．﹣8﹣6i3．已知命题p：若a＜1，则a2＜1，下列说法正确的是（）A．命题p是真命题B．命题p的逆命题是真命题C．命题p的否命题是：若a＜1，则a2≥1D．命题p的逆否命题是：若a2≥1，则a＜14．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是（）A．2kπ+45°（k∈Z）B．k•360°+π（k∈Z）C．k•360°﹣315°（k∈Z）D．kπ+（k∈Z）5．已知函数y＝log a（x+c）（a，c为常数，其中a＞0，a≠1）的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞1，c＞1B．a＞1，0＜c＜1C．0＜a＜1，c＞1D．0＜a＜1，0＜c＜16．已知函数f（x）＝满足对任意的实数x1≠x2都有＜0成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，]C．（﹣∞，2]D．[，2）7．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）A．B．C．D．8．《周易》历来被人们视为儒家经典之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映了中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当做数字“1”，把阴爻“”当做数字“0”，则八卦代表的数表示如下：卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤0000震0011坎0102兑0113以此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是（）A．18B．17C．16D．159．若x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最大值为（）A．4B．5C．6D．710．斜率为1的直线l与椭圆+y2＝1相交于A、B两点，则|AB|的最大值为（）A．2B．C．D．11．若函数f（x）＝x3+x2﹣在区间（a，a+5）内存在最小值，则实数a的取值范围是（）A．[﹣5，0）B．（﹣5，0）C．[﹣3，0）D．（﹣3，0）12．记M的最大值和最小值分别为M max和M min．若平面向量，，满足||＝||＝•＝•（+2﹣2）＝2．则（）A．||max＝B．||max＝C．||min＝D．||min＝二、填空题13．如图，某地一天从6﹣14时的温度变化曲线近似满足函数y＝A sin（ωx+φ）+b，则b ＝；该段曲线的函数解析式是．14．设a∈R，若函数y＝e x+ax，x∈R有大于零的极值点，则a的取值范围是．15．已知P（1，1）为椭圆+＝1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为．16．如图所示，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P 为半径OC上的动点，则（+）•的最小值为．三、解答题：共70分.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22-23题为选考题，考生根据要求作答．必考题：共60分17．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ）的最小正周期是π，且当x＝时，f（x）取得最大值2．（1）求f（x）的解析式；（2）作出f（x）在[0，π]上的图象（要列表）．18．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F （E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．19．已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（2）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和数学期望．20．已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的半焦距为c，原点O到经过两点（c，0），（0，b）的直线的距离为c．（Ⅰ）求椭圆E的离心率；（Ⅱ）如图，AB是圆M：（x+2）2+（y﹣1）2＝的一条直径，若椭圆E经过A、B两点，求椭圆E的方程．21．已知函数的导函数y＝f'（x）的两个零点为﹣3和0．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）的极小值为﹣e3，求f（x）在区间[﹣5，+∞）上的最大值．（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则技所做的第一题计分[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，已知曲线C1：ρcosθ﹣ρsinθ﹣1＝0，C2：ρ＝2cosθ．（1）求曲线C1，C2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状；（2）若曲线C1，C2交于A，B两点，求两交点间的距离．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x﹣p|．（I）当p＝2时，解不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|；（II）若f（x）≥1的解集为（﹣∞，0]∪[2，+∞），（m＞0，n＞1），求证：m+2n≥11．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{y|y＝|x|﹣1，x∈R}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是（）A．﹣3∈A B．3∉B C．A∩B＝B D．A∪B＝B【分析】先求出集合A，从而找出正确选项．解：∵|x|≥0，∴|x|﹣1≥﹣1；∴A＝{y|y≥﹣1}，又B＝{x|x≥2}∴A∩B＝{x|x≥2}＝B．故选：C．2．已知复数z1＝6﹣8i，z2＝﹣i，则＝（）A．8﹣6i B．8+6i C．﹣8+6i D．﹣8﹣6i【分析】把z1＝6﹣8i，z2＝﹣i代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：∵z1＝6﹣8i，z2＝﹣i，∴＝．故选：B．3．已知命题p：若a＜1，则a2＜1，下列说法正确的是（）A．命题p是真命题B．命题p的逆命题是真命题C．命题p的否命题是：若a＜1，则a2≥1D．命题p的逆否命题是：若a2≥1，则a＜1【分析】举例说明命题p为假命题，求出命题p的逆命题，否命题，逆否命题逐一判断即可得答案．解：已知命题p：若a＜1，则a2＜1，如a＝﹣2，则（﹣2）2＞1，命题p为假命题，∴A不正确；命题p的逆命题是：若a2＜1，则a＜1，为真命题，∴B正确；命题p的否命题是：若a≥1，则a2≥1，∴C不正确；命题p的逆否命题是：若a2≥1，则a＞1，∴D不正确．故选：B．4．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是（）A．2kπ+45°（k∈Z）B．k•360°+π（k∈Z）C．k•360°﹣315°（k∈Z）D．kπ+（k∈Z）【分析】题目要写出与的终边相同的角，只要在该角基础上加2π的整数倍即可，但角度值和弧度制不能混用．解：与的终边相同的角可以写成2kπ+π（k∈Z），但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确．故选：C．5．已知函数y＝log a（x+c）（a，c为常数，其中a＞0，a≠1）的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞1，c＞1B．a＞1，0＜c＜1C．0＜a＜1，c＞1D．0＜a＜1，0＜c＜1【分析】根据对数函数的图象和性质即可得到结论．解：∵函数单调递减，∴0＜a＜1，当x＝1时log a（x+c）＝log a（1+c）＜0，即1+c＞1，即c＞0，当x＝0时log a（x+c）＝log a c＞0，即c＜1，即0＜c＜1，故选：D．6．已知函数f（x）＝满足对任意的实数x1≠x2都有＜0成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，]C．（﹣∞，2]D．[，2）【分析】由已知可得函数f（x）在R上为减函数，则分段函数的每一段均为减函数，且在分界点左段函数不小于右段函数的值，进而得到实数a的取值范围．解：若对任意的实数x1≠x2都有＜0成立，则函数f（x）在R上为减函数，∵函数f（x）＝，故，解得：a∈（﹣∞，]，故选：B．7．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）A．B．C．D．【分析】直接利用空间几何体的三视图的画法，判断选项的正误即可．解：由题意可知，如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，小的长方体，是榫头，从图形看出，轮廓是长方形，内含一个长方形，并且一条边重合，另外3边是虚线，所以木构件的俯视图是A．故选：A．8．《周易》历来被人们视为儒家经典之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映了中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当做数字“1”，把阴爻“”当做数字“0”，则八卦代表的数表示如下：卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤0000震0011坎0102兑0113以此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是（）A．18B．17C．16D．15【分析】由二进制转化为十进制的方法，我们将各数位上的数字乘以其权重累加后，即可得到答案．解：由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符合“”表示二进制数的010001，转化为十进制数的计算为1×20+0×21+0×22+0×23+1×24+0×25＝17．故选：B．9．若x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最大值为（）A．4B．5C．6D．7【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．解：作出x，y满足约束条件，对于的平面区域如图：由z＝3x+2y，则y＝﹣x+，平移直线y＝﹣x+，由图象可知当直线y＝﹣x+，经过点A时，直线y＝﹣x+的截距最大，此时z最大，由，解得A（2，0），此时z max＝3×2+2×0＝6，故选：C．10．斜率为1的直线l与椭圆+y2＝1相交于A、B两点，则|AB|的最大值为（）A．2B．C．D．【分析】设出直线的方程，代入椭圆方程中消去y，根据判别式大于0求得t的范围，进而利用弦长公式求得|AB|的表达式，利用t的范围求得|AB|的最大值．解：设直线l的方程为y＝x+t，代入+y2＝1，消去y得x2+2tx+t2﹣1＝0，由题意得△＝（2t）2﹣5（t2﹣1）＞0，即t2＜5．弦长|AB|＝4×≤．故选：C．11．若函数f（x）＝x3+x2﹣在区间（a，a+5）内存在最小值，则实数a的取值范围是（）A．[﹣5，0）B．（﹣5，0）C．[﹣3，0）D．（﹣3，0）【分析】由题意，求导f′（x）＝x2+2x＝x（x+2）确定函数的单调性，从而作出函数的简图，由图象求实数a的取值范围．解：由题意，f′（x）＝x2+2x＝x（x+2），故f（x）在（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上是增函数，在（﹣2，0）上是减函数，作其图象如右图，令x3+x2﹣＝﹣得，x＝0或x＝﹣3；则结合图象可知，；解得，a∈[﹣3，0）；故选：C．12．记M的最大值和最小值分别为M max和M min．若平面向量，，满足||＝||＝•＝•（+2﹣2）＝2．则（）A．||max＝B．||max＝C．||min＝D．||min＝【分析】由条件可设＝＝（2，0），＝（1，），＝＝（x，y），由向量的坐标表示可得C在以圆心P（1，），半径r＝的圆上运动，且|﹣|表示点A与点C的距离，且|+|表示点D（﹣2，0）与点C的距离，运用最大值为d+r，最小值为d﹣r，计算可得所求．解：平面向量，，满足||＝||＝•＝•（+2﹣2）＝2，由•＝2×2cos＜，＞＝2，可得cos＜，＞＝，sin＜，＞＝，设＝＝（2，0），＝（1，），＝＝（x，y），可得（x，y）•（4﹣2x，2﹣2y）＝2，即为x（4﹣2x）+y（2﹣2y）＝2，化为x2+y2﹣2x﹣y+1＝0，则C在以圆心P（1，），半径r＝的圆上运动，且|﹣|表示点A与点C的距离，显然最大值为|AC|+r＝+＝；最小值为|AC|﹣r＝﹣＝；且|+|表示点D（﹣2，0）与点C的距离，显然最大值为|DC|+r＝+＝；最小值为|DC|﹣r＝．故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．如图，某地一天从6﹣14时的温度变化曲线近似满足函数y＝A sin（ωx+φ）+b，则b ＝20；该段曲线的函数解析式是y＝10sin（x+）+20，x∈[6，14]．．【分析】通过函数的图象，求出A，b，求出函数的周期，推出ω，利用函数经过（10，20）求出φ，得到函数的解析式．解：由题意以及函数的图象可知，A＝10，b＝20，T＝2（14﹣6）＝16，所以ω＝＝，函数经过（10，20）所以20＝10sin（×10+φ）+20，所以φ＝，所以函数的解析式：y＝10sin（x+）+20，x∈[6，14]．故答案为：20；y＝10sin（x+）+20，x∈[6，14]．14．设a∈R，若函数y＝e x+ax，x∈R有大于零的极值点，则a的取值范围是{a|a＜﹣1}．【分析】先对函数进行求导令导函数等于0，原函数有大于0的极值故导函数有大于零的根．解：∵y＝e x+ax，∴y'＝e x+a．由题意知e x+a＝0有大于0的实根，由e x＝﹣a，得a＝﹣e x，∵x＞0，∴e x＞1．∴a＜﹣1．故答案为：{a|a＜﹣1}．15．已知P（1，1）为椭圆+＝1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为x+2y﹣3＝0．【分析】设弦的两端点坐标为（x1，y1）、（x2，y2），代入椭圆方程，作差，即可求得直线的斜率，求得的直线方程；解：由于此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k，且设弦的两端点坐标为（x1，y1）、（x2，y2），则两式相减得+＝0．∵x1+x2＝2，y1+y2＝2，∴x1﹣x2+2（y1﹣y2）＝0，x+2y﹣3＝0故答案为：x+2y﹣3＝0．16．如图所示，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P 为半径OC上的动点，则（+）•的最小值为﹣．【分析】根据图形知：O是线段AB的中点，所以+＝2，再根据向量的点乘积运算分析方向与大小即可求出．【解答】解∵圆心O是直径AB的中点，∴+＝2，∴（+）•＝2•，∵||+||＝3≥2，∴||•||≤，即（+）•＝2•＝﹣2||•||≥﹣，当且仅当||＝||＝时，等号成立，故最小值为﹣．故答案为：﹣．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22.23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ）的最小正周期是π，且当x＝时，f（x）取得最大值2．（1）求f（x）的解析式；（2）作出f（x）在[0，π]上的图象（要列表）．【分析】（1）由函数的最值求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，即可求得函数解析式；（2）用五点法即可作函数y＝A sin（ωx+φ）在一个周期上的图象．解：（1）因为函数f（x）的最小正周期是π，所以ω＝2．又因为当x＝时，f（x）取得最大值2．所以A＝2，同时2×+φ＝2kπ+，k∈Z，φ＝2kπ+，k∈Z，因为﹣＜φ＜，所以φ＝，所以f（x）＝2sin（2x+）．（2）因为x∈[0，π]，所以2x+∈[，]，列表如下：2x+π2πx0πf（x）120﹣201描点、连线得图象：18．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．【分析】（1）利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论；（2）通过取线段CD上点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD，结合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG，从而可得结论．【解答】证明：（1）∵AB⊥AD，EF⊥AD，且A、B、E、F四点共面，∴AB∥EF，又∵EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，∴EF∥平面ABC；（2）在线段CD上取点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，∵BC⊥BD，FG∥BC，∴FG⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，FG⊂平面BCD，∴FG⊥平面ABD，∵AD⊂平面ABD，∴FG⊥AD，∵AD⊥EF，且EF∩FG＝F，∴AD⊥平面EFG，∵EG⊂平面EFG，∴AD⊥EG，∵EG∥AC，∴AD⊥AC．19．已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（2）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和数学期望．【分析】（1）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，利用古典概型的概率求解即可；（2）X的可能取值为：200，300，400；求出对应的概率，得到分布列，然后计算数学期望值．解：（1）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，则P（A）＝＝＝；（2）X的可能取值为200，300，400，P（X＝200）＝＝＝，P（X＝300）＝＝＝，P（X＝400）＝1﹣P（X＝200）﹣P（X＝300）＝1﹣﹣＝；所以X的分布列为：X200300 400P数学期望为EX＝200×+300×+400×＝350．20．已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的半焦距为c，原点O到经过两点（c，0），（0，b）的直线的距离为c．（Ⅰ）求椭圆E的离心率；（Ⅱ）如图，AB是圆M：（x+2）2+（y﹣1）2＝的一条直径，若椭圆E经过A、B两点，求椭圆E的方程．【分析】（Ⅰ）求出经过点（0，b）和（c，0）的直线方程，运用点到直线的距离公式，结合离心率公式计算即可得到所求值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E的方程为x2+4y2＝4b2，①设出直线AB的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合圆的直径和中点坐标公式，解方程可得b2＝3，即可得到椭圆方程．解：（Ⅰ）经过点（0，b）和（c，0）的直线方程为bx+cy﹣bc＝0，则原点到直线的距离为d＝＝c，即为a＝2b，e＝＝＝；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E的方程为x2+4y2＝4b2，①由题意可得圆心M（﹣2，1）是线段AB的中点，则|AB|＝，易知AB与x轴不垂直，记其方程为y＝k（x+2）+1，代入①可得（1+4k2）x2+8k（1+2k）x+4（1+2k）2﹣4b2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝．x1x2＝，由M为AB的中点，可得x1+x2＝﹣4，得＝﹣4，解得k＝，从而x1x2＝8﹣2b2，于是|AB|＝•|x1﹣x2|＝•＝＝，解得b2＝3，则有椭圆E的方程为+＝1．21．已知函数的导函数y＝f'（x）的两个零点为﹣3和0．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）的极小值为﹣e3，求f（x）在区间[﹣5，+∞）上的最大值．【分析】（Ⅰ）求导数f′（x），根据y＝f'（x）的两个零点﹣3和0以及a的符号，即可解得不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0，从而得到函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）及所给已知条件可求出f（x），再利用导数即可求得函数f（x）在闭区间上的最大值；解：（Ⅰ），令g（x）＝﹣ax2+（2a﹣b）x+b﹣c，因为e x＞0，所以y＝f'（x）的零点就是g（x）＝﹣ax2+（2a﹣b）x+b﹣c的零点，且f'（x）与g（x）符号相同．又因为a＞0，所以﹣3＜x＜0时，g（x）＞0，即f'（x）＞0，当x＜﹣3，或x＞0时，g（x）＜0，即f'（x）＜0，所以f（x）的单调增区间是（﹣3，0），单调减区间是（﹣∞，﹣3），（0，+∞）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，x＝﹣3是f（x）的极小值点，所以有，解得a＝1，b＝5，c＝5，所以．∵f（x）的单调增区间是（﹣3，0），单调减区间是（﹣∞，﹣3），（0，+∞），∴f（0）＝5为函数f（x）的极大值，∴f（x）在区间[﹣5，+∞）上的最大值取f（﹣5）和f（0）中的最大者．而＞5，所以函数f（x）在区间[﹣5，+∞）上的最大值是5e5．（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则技所做的第一题计分[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，已知曲线C1：ρcosθ﹣ρsinθ﹣1＝0，C2：ρ＝2cosθ．（1）求曲线C1，C2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状；（2）若曲线C1，C2交于A，B两点，求两交点间的距离．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用点到直线的距离公式的应用求出结果．解：（1）已知曲线C1：ρcosθ﹣ρsinθ﹣1＝0，转换为直角坐标方程为．所以该曲线为直线．曲线C2：ρ＝2cosθ．转换为直角坐标方程为x2+y2﹣2x＝0．所以该曲线为以（1，0）为圆心，1为半径的圆．（2）首先把x2+y2﹣2x＝0转换为（x﹣1）2+y2＝1，利用点（1，0）到直线的距离d＝，则说明圆心在直线上，所以|AB|＝2．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x﹣p|．（I）当p＝2时，解不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|；（II）若f（x）≥1的解集为（﹣∞，0]∪[2，+∞），（m＞0，n＞1），求证：m+2n≥11．【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）表示出x的范围，得到关于p的方程组，求出p的值，得到，根据乘“1”法证明即可．解：（I）当p＝2时，不等式化为|x﹣2|+|x﹣1|≥4∵∴不等式的解集为（II）根据f（x）≥1得|x﹣p|≥1⇒x≤p﹣1或x≥p+1，∵f（x）≥1的解集为（﹣∞，0]∪[2，+∞），故，所以，∵m＞0，n＞0，∴，当且仅当m＝3，n＝4时取等号，∴m+2n≥11．。
江西省南昌市高考数学一模试卷（理科）含答案解析
江西省南昌市高考数学一模试卷（理科）一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R，集合A={x|y=lgx}，集合B=，那么A∩（∁U B）=（）A．∅B．（0，1]C．（0，1）D．（1，+∞）2．若复数，其中i为虚数单位，则复数z的虚部是（）A．﹣1 B．﹣i C．1 D．i3．已知α，β为第一象限的两个角，则“α＞β”是“sinα＞sinβ”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．设某中学的高中女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，3，…，n），用最小二乘法近似得到回归直线方程为，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正线性相关关系B．回归直线过样本的中心点C．若该中学某高中女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该中学某高中女生身高为160cm，则可断定其体重必为50.29kg5．若圆锥曲线C：x2+my2=1的离心率为2，则m=（）A．B．C．D．6．执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．log210﹣1 B．2log23﹣1 C．D．67．已知函数的周期为π，若f （α）=1，则=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．28．如图，在平面直角坐标系xoy中，直线y=2x+1与圆x2+y2=4相交于A，B两点，则cos∠AOB=（）A． B．C．D．9．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：今有甲乙丙三人持钱，甲语乙丙：各将公等所持钱，半以益我，钱成九十（意思是把你们两个手上的钱各分我一半，我手上就有90钱）；乙复语甲丙，各将公等所持钱，半以益我，钱成七十；丙复语甲乙：各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六，则乙手上有（）钱．A．28 B．32 C．56 D．7010．某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（）A．B．C．16 D．3211．抛物线y2=8x的焦点为F，设A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线上的两个动点，若x1+x2+4=|，则∠AFB的最大值为（）A．B．C．D．12．定义在R上的偶函数f（x）满足f（2﹣x）=f（x），且当x∈[1，2]时，f （x）=lnx﹣x+1，若函数g（x）=f（x）+mx有7个零点，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．在多项式（1+2x）6（1+y）5的展开式中，xy3项的系数为．14．已知单位向量的夹角为，，则在上的投影是．15．如图，直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，BC=2CD=2AD=2，若将直角梯形绕BC边旋转一周，则所得几何体的表面积为．16．已知x2+y2=4，在这两个实数x，y之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为．三．解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S3+S4=S5．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=（﹣1）n﹣1a n a n，求数列{b n}的前2n项和T2n．+118．某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过300）：空气质量指数（0，50]（50，100]（100，150]（150，200]（200，250]（250，300]空气质量等级1级优2级良3级轻度污染4级中度污染5级重度污染6级严重污染该社团将该校区在100天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如图，把该直方图所得频率估计为概率．（Ⅰ）请估算（以365天计算）全年空气质量优良的天数（未满一天按一天计算）；（Ⅱ）该校6月7、8、9日将作为高考考场，若这三天中某天出现5级重度污染，需要净化空气费用10000元，出现6级严重污染，需要净化空气费用20000元，记这三天净化空气总费用为X元，求X的分布列及数学期望．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AD=DC=BC=2，AB=4，△PAD为正三角形．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAD；（Ⅱ）设AD的中点为E，求平面PEB与平面PDC所成二面角的平面角的余弦值．20．已知椭圆C ：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点B（4，0），F2为线段A1B的中点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过点B且斜率不为0的直线l与椭圆C的交于M，N两点，已知直线A1M与A2N相交于点G，试判断点G是否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明理由．21．已知函数f（x）=（2x﹣4）e x+a（x+2）2（x＞0，a∈R，e是自然对数的底）．（Ⅰ）若f（x）是（0，+∞）上的单调递增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当时，证明：函数f（x）有最小值，并求函数f（x）最小值的取值范围．请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xoy中，曲线C1过点P（a，1），其参数方程为（t为参数，a∈R）．以O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ﹣ρ=0．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线C1与曲线C2交于A、B两点，且|PA|=2|PB|，求实数a的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|x﹣1|，a∈R．（Ⅰ）若不等式f（x）≤2﹣|x﹣1|有解，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a＜2时，函数f（x）的最小值为3，求实数a的值．江西省南昌市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R，集合A={x|y=lgx}，集合B=，那么A∩（∁U B）=（）A．∅B．（0，1]C．（0，1）D．（1，+∞）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由对数函数的定义域求出A，由函数的值域求出B，由补集和交集的运算求出答案，【解答】解：由题意知，A={x|y=lgx}={x|x＞0}=（0，+∞），又，则B={y|y≥1}=[1，+∞），即C U B=（﹣∞，1），所以A∩（C U B）=（0，1），故选C．2．若复数，其中i为虚数单位，则复数z的虚部是（）A．﹣1 B．﹣i C．1 D．i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：，故选：C．3．已知α，β为第一象限的两个角，则“α＞β”是“sinα＞sinβ”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据三件函数的定义和关系式，结合充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：∵角α，β的终边在第一象限，∴当α=+2π，β=，满足α＞β，但sinα=sinβ，则sinα＞sinβ不成立，即充分性不成立，若当α=，β=+2π，满足sinα＞sinβ，但α＞β不成立，即必要性不成立，故“α＞β”是“sinα＞sinβ”的既不必要也不充分条件，故选：D．4．设某中学的高中女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，3，…，n），用最小二乘法近似得到回归直线方程为，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正线性相关关系B．回归直线过样本的中心点C．若该中学某高中女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该中学某高中女生身高为160cm，则可断定其体重必为50.29kg【考点】线性回归方程．【分析】根据回归分析与线性回归方程的意义，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．【解答】解：由于线性回归方程中x的系数为0.85，因此y与x具有正的线性相关关系，A正确；由线性回归方程必过样本中心点，因此B正确；由线性回归方程中系数的意义知，x每增加1cm，其体重约增加0.85kg，C正确；当某女生的身高为160cm时，其体重估计值是50.29kg，而不是具体值，因此D 错误．故选：D．5．若圆锥曲线C：x2+my2=1的离心率为2，则m=（）A．B．C．D．【考点】圆锥曲线的共同特征．【分析】圆锥曲线C：x2+my2=1方程可化为，利用离心率为2，求出m的值．【解答】解：因为圆锥曲线C：x2+my2=1方程可化为，所以离心率为，故选：C．6．执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．log210﹣1 B．2log23﹣1 C．D．6【考点】程序框图．【分析】由题意，模拟程序的运行过程，依次写出每次循环得到的S，i的值，即可得出跳出循环时输出S的值．【解答】解：模拟程序的运行，可得：由，当i=7时，进入循环，得，当i=8退出循环，输出，故选：B．7．已知函数的周期为π，若f （α）=1，则=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】正弦函数的图象．【分析】根据函数f（x）的周期求出ω的值，再化简f（α+）并求值．【解答】解：因为函数f（x）=Asin（ωx+φ）的周期为T==π，∴ω=2，∴f（x）=Asin（2x+φ），又f（α）=Asin（2α+φ）=1，∴f（α+）=Asin[2（α+）+φ]=Asin（2α+3π+φ）=﹣Asin（2α+φ）=﹣1．故选：B．8．如图，在平面直角坐标系xoy中，直线y=2x+1与圆x2+y2=4相交于A，B两点，则cos∠AOB=（）A． B．C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆心到直线y=2x+1的距离，由垂径定理得AB，利用余弦定理，可得结论．【解答】解：因为圆心到直线y=2x+1的距离，由垂径定理得：∴由余弦定理有，故选D．9．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：今有甲乙丙三人持钱，甲语乙丙：各将公等所持钱，半以益我，钱成九十（意思是把你们两个手上的钱各分我一半，我手上就有90钱）；乙复语甲丙，各将公等所持钱，半以益我，钱成七十；丙复语甲乙：各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六，则乙手上有（）钱．A．28 B．32 C．56 D．70【考点】函数的值；函数解析式的求解及常用方法．【分析】设甲、乙丙各有x钱，y钱，z钱，列出方程组求得甲有72钱，乙有32钱，丙有4钱．【解答】解：设甲、乙丙各有x钱，y钱，z钱，则，解得x=72，y=32，z=4．∴甲有72钱，乙有32钱，丙有4钱．故选：B．10．某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（）A．B．C．16 D．32【考点】由三视图求面积、体积．【分析】回归到正方体中，该几何体是一个底面为等腰直角三角形的三棱锥，即如图中的几何体A﹣BCD，其体积是正方体体积的，即可得出结论．【解答】解：回归到正方体中，该几何体是一个底面为等腰直角三角形的三棱锥，即如图中的几何体A﹣BCD，其体积是正方体体积的，等于，故选A．11．抛物线y2=8x的焦点为F，设A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线上的两个动点，若x1+x2+4=|，则∠AFB的最大值为（）A．B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用余弦定理，结合基本不等式，即可求出∠AFB的最大值．【解答】解：因为，|AF|+|BF|=x1+x2+4，所以．在△AFB中，由余弦定理得：=．又．所以，∴∠AFB的最大值为，故选D．12．定义在R上的偶函数f（x）满足f（2﹣x）=f（x），且当x∈[1，2]时，f （x）=lnx﹣x+1，若函数g（x）=f（x）+mx有7个零点，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】确定函数为偶函数则其周期为T=2，函数在x∈[1，2]为减函数，作出函数的图象，得出当x＜0时，要使符合题意则，根据偶函数的对称性，当x＞0时，要使符合题意则．即可得出结论．【解答】解：因为函数f（2﹣x）=f（x）可得图象关于直线x=1对称，且函数为偶函数则其周期为T=2，又因为，当x∈[1，2]时有f'（x）≤0，则函数在x∈[1，2]为减函数，作出其函数图象如图所示：其中，当x＜0时，要使符合题意则根据偶函数的对称性，当x＞0时，要使符合题意则．综上所述，实数m的取值范围为，故选A．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．在多项式（1+2x）6（1+y）5的展开式中，xy3项的系数为120．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项式展开式的通项公式即可得出．【解答】解：根据题意（1+2x）6（1+y）5=，∴xy3的系数为=120，故答案为：120．14．已知单位向量的夹角为，，则在上的投影是．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量投影的定义，利用数量积的运算求出对应的值即可．【解答】解：单位向量的夹角为，，则在上的投影是：||cos＜，＞==•=（2﹣）•=2﹣•=2﹣1×1×1×cos=．故答案为：．15．如图，直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，BC=2CD=2AD=2，若将直角梯形绕BC边旋转一周，则所得几何体的表面积为．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】由圆锥及圆柱的几何特征可得，该几何体由两个底面相待的圆锥和圆柱组合而成，其中圆柱和圆锥的高均为1，代入圆柱和圆锥的体积公式，即可得到答案．×2×【解答】解：由图中数据可得：，S圆柱侧=π1=2π，．所以几何体的表面积为．故答案为：．16．已知x2+y2=4，在这两个实数x，y之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为．【考点】等差数列的通项公式．【分析】设构成等差数列的五个数分别为x，a，b，c，y，推导出．从而等差数列后三项和为．法一：设x=2cosα，y=2sinα，利用三角函数性质能求出这个等差数列后三项和的最大值．法二：令z=x+3y，则x+3y﹣z=0，当直线x+3y﹣z=0与圆x2+y2=4相切时z将有最大值，由此能求出这个等差数列后三项和的最大值．【解答】解：设构成等差数列的五个数分别为x，a，b，c，y，则x+y=a+c=2b，∴．则等差数列后三项和为=．（另解：由等差数列的性质有x+y=a+c=2b，所以．）方法一：因为x2+y2=4，设x=2cosα，y=2sinα，所以．方法二：令z=x+3y，则x+3y﹣z=0，所以当直线x+3y﹣z=0与圆x2+y2=4相切时z将有最大值，此时，即，∴．故答案为：．三．解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S3+S4=S5．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=（﹣1）n﹣1a n a n，求数列{b n}的前2n项和T2n．+1【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，根据题意、等差数列的性质以及通项公式列出方程，求出公差d，由等差数列的通项公式求出a n；（Ⅱ）由（I）化简b n=（﹣1）n﹣1a n a n，利用并项求和法和等差数列的前n项和+1公式求出数列{b n}的前2n项和T2n．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，由S3+S4=S5可得a1+a2+a3=a5，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣即3a2=a5，则3（1+d）=1+4d，解得d=2﹣﹣﹣﹣﹣所以a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以=4[12﹣22+32﹣42+…+（2n﹣1）2﹣（2n）2]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣=﹣4（1+2+3+4+…+2n﹣1+2n）=﹣﹣﹣﹣﹣﹣18．某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过300）：空气质量指数（0，50]（50，100]（100，150]（150，200]（200，250]（250，300]空气质量等级1级优2级良3级轻度污染4级中度污染5级重度污染6级严重污染该社团将该校区在100天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如图，把该直方图所得频率估计为概率．（Ⅰ）请估算（以365天计算）全年空气质量优良的天数（未满一天按一天计算）；（Ⅱ）该校6月7、8、9日将作为高考考场，若这三天中某天出现5级重度污染，需要净化空气费用10000元，出现6级严重污染，需要净化空气费用20000元，记这三天净化空气总费用为X元，求X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）利用直方图的性质即可得出．（Ⅱ）由题可知，X的所有可能取值为：0，10000，20000，30000，40000，50000，60000，利用二项分布列的概率与数学期望计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由直方图可估算（以365天计算）全年空气质量优良的天数为：（0.1+0.2）×365=0.3×365=109.5≈110（天）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）由题可知，X的所有可能取值为：0，10000，20000，30000，40000，50000，60000，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣则：，，，，，，．∴X的分布列为X0100002000030000400005000060000P﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣=9000（元）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AD=DC=BC=2，AB=4，△PAD为正三角形．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAD；（Ⅱ）设AD的中点为E，求平面PEB与平面PDC所成二面角的平面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）在等腰梯形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，推导出AD⊥BD，由此能证明BD⊥平面PAD．（Ⅱ）以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DB所在直线为y轴，过点D平行于PE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．利用向量法能求出平面PEB与平面PDC所成二面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）在等腰梯形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，如图所示：有∴在△ABD中，有AB2=AD2+BD2，即AD⊥BD又因为平面PAD⊥平面ABCD且交线为AD，∴BD⊥平面PAD．﹣﹣﹣﹣﹣解：（Ⅱ）由平面PAD⊥平面ABCD，且△PAD为正三角形，E为AD的中点，∴PE⊥AD，得PE⊥平面ABCD．如图所示，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DB所在直线为y轴，过点D平行于PE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．由条件AD=DC=BC=2，则AE=DE=1，，．则D（0，0，0），E（1，0，0），，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣在等腰梯形ABCD中，过点C作BD的平行线交AD延长线于点F如图所示：则在Rt△CDF中，有，DF=1，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（另解：可不作辅助线，利用求点C坐标）∴，，设平面PDC的法向量则，取，则y1=1，z1=﹣1，∴面PDC的法向量．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣同理有，，设平面PBE的法向量则，取y2=1，则，z2=0，∴面PBE的法向量．﹣﹣设平面PEB与平面PDC所成二面角的平面角为θ，∴．即平面PEB与平面PDC所成二面角的余弦值为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点B（4，0），F2为线段A1B的中点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过点B且斜率不为0的直线l与椭圆C的交于M，N两点，已知直线A1M与A2N相交于点G，试判断点G是否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）设点A1（﹣a，0），F2（c，0），由题意得a=4﹣2c，由椭圆的离心率，得a=2c，求出a，b，由此能示出椭圆C的方程．（Ⅱ）法一：根据椭圆的对称性猜测点G是与y轴平行的直线x=x0上．假设当点M为椭圆的上顶点时，直线l的方程为，此时点N，联立直线和直线可得点，猜想点G在直线x=1上，对猜想给予证明，得到点G在定直线上x=1上．法二：设M（x1，y1），N（x2，y2），G（x3，y3），由B，M，N三点共线，得：2x1x2﹣5（x1+x2）+8=0，再由A1，M，G三点共线，A2，N，G三点共线，推导出点G在定直线x=1上．法三：设l的方程为y=k（x﹣4），M（x1，y1），N（x2，y2）．由得（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合A1，M，G三点共线，A2，N，G三点共线，推导出点G在定直线x=1上．【解答】解：（Ⅰ）设点A1（﹣a，0），F2（c，0），由题意可知：，即a=4﹣2c①又因为椭圆的离心率，即a=2c②联立方程①②可得：a=2，c=1，则b2=a2﹣c2=3所以椭圆C的方程为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解：（Ⅱ）解法一：根据椭圆的对称性猜测点G是与y轴平行的直线x=x0上．假设当点M为椭圆的上顶点时，直线l的方程为，此时点N，则联立直线和直线可得点据此猜想点G在直线x=1上，下面对猜想给予证明：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣设M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程可得：（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，△＞0由韦达定理可得，（*）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣因为直线，，联立两直线方程得（其中x为G点的横坐标）即证：，即3k（x1﹣4）•（x2﹣2）=﹣k（x2﹣4）•（x1+2），即证4x1x2﹣10（x1+x2）+16=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣将（*）代入上式可得此式明显成立，原命题得证．所以点G在定直线上x=1上．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解法二：设M（x1，y1），N（x2，y2），G（x3，y3），x1，x2，x3两两不等，因为B，M，N三点共线，所以，整理得：2x1x2﹣5（x1+x2）+8=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又A1，M，G三点共线，有：①又A2，N，G三点共线，有：②，将①与②两式相除得：即，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣将2x1x2﹣5（x1+x2）+8=0即代入得：解得x3=4（舍去）或x3=1，所以点G在定直线x=1上．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解法三：由题意知l与x轴不垂直，设l的方程为y=k（x﹣4），M（x1，y1），N （x2，y2）．由得（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，△＞0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣设M（x1，y1），N（x2，y2），G（x3，y3），x1，x2，x3两两不等，则，，，由A1，M，G三点共线，有：①由A2，N，G三点共线，有：②①与②两式相除得：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解得x3=4（舍去）或x3=1，所以点G在定直线x=1上．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．已知函数f（x）=（2x﹣4）e x+a（x+2）2（x＞0，a∈R，e是自然对数的底）．（Ⅰ）若f（x）是（0，+∞）上的单调递增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当时，证明：函数f（x）有最小值，并求函数f（x）最小值的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据函数的单调性求出a的范围即可；（Ⅱ）根据函数的单调性求出f（x）的最小值，从而求出最小值的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=2e x+（2x﹣4）e x+2a（x+2）=（2x﹣2）e x+2a（x+2），依题意：当x＞0时，函数f'（x）≥0恒成立，即恒成立，记，则=，所以g（x）在（0，+∞）上单调递减，所以，所以；﹣﹣﹣（Ⅱ）因为[f'（x）]'=2xe x+2a＞0，所以y=f'（x）是（0，+∞）上的增函数，又f'（0）=4a﹣2＜0，f'（1）=6a＞0，所以存在t∈（0，1）使得f'（t）=0且当a→0时t→1，当时t→0，所以t的取值范围是（0，1）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又当x∈（0，t），f'（x）＜0，当x∈（t，+∞）时，f'（x）＞0，所以当x=t时，．且有由（Ⅰ）知，在（0，+∞）上单调递减，又，g（1）=0，且，故t∈（0，1），∴，t∈（0，1）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣记h（t）=e t（﹣t2+t﹣2），则h'（t）=e t（﹣t2+t﹣2）+e t（﹣2t+1）=e t（﹣t2﹣t ﹣1）＜0，所以h（1）＜h（t）＜h（0），即最小值的取值范围是（﹣2e，﹣2）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xoy中，曲线C1过点P（a，1），其参数方程为（t为参数，a∈R）．以O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ﹣ρ=0．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线C1与曲线C2交于A、B两点，且|PA|=2|PB|，求实数a的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）利用三种方程的转化方法，求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）根据参数方程的几何意义可知|PA|=2|t1|，|PB|=2|t2|，利用|PA|=2|PB|，分类讨论，求实数a的值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1参数方程为，∴其普通方程x﹣y﹣a+1=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ﹣ρ=0，∴ρ2cos2θ+4ρcosθ﹣ρ2=0∴x2+4x﹣x2﹣y2=0，即曲线C2的直角坐标方程y2=4x．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）设A、B两点所对应参数分别为t1，t2，联解得要有两个不同的交点，则，即a＞0，由韦达定理有根据参数方程的几何意义可知|PA|=2|t1|，|PB|=2|t2|，又由|PA|=2|PB|可得2|t1|=2×2|t2|，即t1=2t2或t1=﹣2t2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴当t1=2t2时，有t1+t2=3t2=，t1t2=2t22=，∴a=＞0，符合题意．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当t1=﹣2t2时，有t1+t2=﹣t2=，t1t2=﹣2t22=，∴a=＞0，符合题意．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣综上所述，实数a的值为或．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|x﹣1|，a∈R．（Ⅰ）若不等式f（x）≤2﹣|x﹣1|有解，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a＜2时，函数f（x）的最小值为3，求实数a的值．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）由绝对值的几何意义知，由不等式f（x）≤2﹣|x﹣1|有解，可得，即可求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a＜2时，（x）在单调递减，在单调递增，利用函数f（x）的最小值为3，求实数a的值．【解答】解：（Ⅰ）由题f（x）≤2﹣|x﹣1|，即为．而由绝对值的几何意义知，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由不等式f（x）≤2﹣|x﹣1|有解，∴，即0≤a≤4．∴实数a的取值范围[0，4]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）函数f（x）=|2x﹣a|+|x﹣1|的零点为和1，当a＜2时知，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣如图可知f（x）在单调递减，在单调递增，∴，得a=﹣4＜2（合题意），即a=﹣4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣3月15日。
2019-2020学年江西省南昌市高三第一次模拟考试数学(理)模拟试题有答案
第一次模拟测试卷理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{A x N y =∈=，{}21,B x x n n Z ==+∈，则A B =I ( ) A.(],4-∞B.{}1,3C.{}1,3,5D.[]1,32.欧拉公式cos sin ix e x i x =+(i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”。
根据欧拉公式可知，3x i e 表示的复数位于复平面中的( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知角α的终边经过点()sin 47,cos 47P °°，则()sin 13α-=°( ) A.12C.12-D. 4.已知奇函数()'f x 是函数()()f x x R ∈是导函数，若0x >时()'0f x >，则( ) A.()()()320log 2log 3f f f >>- B.()()()32log 20log 3f f f >>- C.()()()23log 3log 20f f f ->>D.()()()23log 30log 2f f f ->>5.设不等式组3010350x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩表示的平面区域为M ，若直线y kx =经过区域M 内的点，则实数k 的取值范围为( ) A.1,22⎛⎤ ⎥⎝⎦B.14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦6.平面内直角三角形两直角边长分别为,a b，间中三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别为123,,S S S则三棱锥顶点到底面的距离为( )7.已知圆台和正三棱锥的组合体的正视图和俯视图如图所示，图中网格是单位正方形，那么组合体的侧视图的面积为( )A.33 64+ B.152C.63+ D.88.执行如图程序框图，则输出的n等于( )A.1B.2C.3D.49.函数()()()2sinx xe e xf x xeππ-+=-≤≤的图象大致为( )A B C D10.已知具有线性相关的五个样本点()10,0A，()22,2A，()33,2A，()44,2A，()56,4A，用最小二乘法得到回归直线方程1:l y bx a=+，过点1A，2A的直线方程2:l y mx n=+，那么下列4个命题中，①,m b a n>>；②直线1l过点3A；③()()552211i i i ii iy bx a y mx n==--≥--∑∑④5511i i i ii iy bx a y mx n==--≥--∑∑.(参考公式()()()1122211n ni i i ii in ni ii ix y nxy x x y ybx nx x x====---==--∑∑∑∑，a y bx=-)正确命题的个数有( )A.1个B.2个C.3个D.4个11.设函数()1,121,1x ax af xx a x a-⎧⎛⎫<+⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+-≥+⎩，若()f x的最大值不超过1，则实数a的取值范围为( )A.3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ B.3,2⎛⎫-+∞⎪⎝⎭C.5,04⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D.35,24⎡⎫--⎪⎢⎣⎭12.已知椭圆22:12412x yE+=，O为坐标原点，,A B是椭圆上两点，,OAOB的斜率存在并分别记为OAk、OBk，且12OA OBk k⋅=-，则11OA OB+的最小值为( )A.2B.13C.2D.2二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.()3121xx⎛⎫+-⎪⎝⎭展开式中的常数项为________________.14.平面向量()1,a m=r，()4,b m=r，若有()()20a b a b-+=r r r r r，则实数m=________________.15.在圆224x y+=上任取一点，则该点到直线220x y+-=的距离[]0,1d∈的概率为________________.16.已知台风中心位于城市A东偏北α(α为锐角)度的200公里处，若()24cos25αβ-=，则v=__________.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知等比数列{}n a的前n项和为n S，满足4421S a=-，3321S a=-.(1)求{}n a的通项公式；(2)记()21logn n nb a a+=⋅，数列{}n b的前n项和为n T，求证：121112nT T T+++<….18.某校为了推动数学教学方法的改革，学校将高一年级部分生源情况基本相同的学生分成甲、乙两个班，每班各40人，甲班按原有模式教学，乙班实施教学方法改革.经过一年的教学实验，将甲、乙两个班学生一年来的数学成绩取平均数，两个班学生的平均成绩均在[]50,100，按照区间[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100进行分组，绘制成如下频率分布直方图，规定不低于80分(百分制)为优秀.(1)完成表格，并判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”；(2)从乙班[)70,80，[)80,90，[]90,100分数段中，按分层抽样随机抽取7名学生座谈，从中选三位同学发言，记来自[)80,90发言的人数为随机变量X，求X的分布列和期望.19.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，ABCD 为直角梯形，AD BC ∥，AD AB ⊥，132AB BC AP AD ====，AC BD O =I ，过O 点作平面α平行于平面PAB ，平面α与棱BC ，AD ，PD ，PC 分别相交于点E ，F ，G ，H .(1)求GH 的长度；(2)求二面角B FH E --的余弦值.20.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过焦点F 的直线交C 于()11,A x y ，()22,B x y 两点，124y y =-.(1)求抛物线方程；(2)点B 在准线l 上的投影为E ，D 是C 上一点，且AD EF ⊥，求ABD △面积的最小值及此时直线AD 的方程.21.已知函数()()ln f x ax bx =+在点()()1,1f 处的切线是0y =. (1)求函数()f x 的极值；(2)当()()210x mx e f x x m e e-≥+<恒成立时，求实数m 的取值范围(e 为自然对数的底数).22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin 2x y θθ=⎧⎨=+⎩(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C 的极坐标方程；(2)若直线12,l l 的极坐标方程分别为()6R πθρ=∈，()2=3R πθρ∈，设直线12,l l 与曲线C 的交点为O ，M ，N ，求OMN △的面积.23.已知()223f x x a =+.(1)当0a =时，求不等式()23f x x +-≥的解集；(2)对于任意实数x ，不等式()212x f x a +-<成立，求实数a 的取值范围.第一次模拟测试卷 理科数学参考答案及评分标准一.选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二.13．4 14. 2± 15.1316.100 三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤. 17.【解析】（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，由434S S a -=得，43422a a a -=, 所以432a a =， 所以2q =. 又因为3321S a =-， 所以11112481a a a a ++=-， 所以11a =. 所以12n n a -=. （Ⅱ）由（Ⅰ）知1212log ()log (22)21n n n n n b a a n -+=⋅=⨯=-，所以21(21)2n n T n n +-==， 所以22212111111111+++1121223(1)n T T T n n nL L L +++=<++++创- 11111111222231n n n=+-+-++-=-<-L .18.（Ⅰ）依题意得2240(12202820) 3.333 2.70640403248K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯ 有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”（Ⅱ）从乙班[70,80),[80,90),[90,100]分数段中抽人数分别为2，3，2… 依题意随机变量X 的所有可能取值为0123，，，2134343377418(0),(1),3535C C C P X P X C C ======1234333377121(2),(3)3535C C C P X P X C C ====== 所以18121459()123353535357E X =???= 19. 【解析】（Ⅰ）【法一】（Ⅰ）因为//a 平面PAB ，平面a I 平面ABCD EF =，O EF Î，平面PAB I 平面ABCD AB =，所以//EF AB ，同理//,//EH BP FG AP ，因为BC ∥,6,3AD AD BC ==，所以BOC D ∽DOA D ，且12BC CO AD AO ==，所以12EO OF =，11,23CE CB BE AF ====，同理13CH EH CO PC PB CA ===，连接HO ，则有HO ∥PA ， 所以HO EO ⊥，1HO =，所以13EH PB ==，同理，223FG PA ==，过点H 作HN ∥EF 交FG 于N ，则GH ==【法二】因为//a 平面PAB ，平面a I 平面ABCD EF =，O EF Î, 平面PAB I 平面ABCD AB =，根据面面平行的性质定理，所以//EF AB ，同理//,//EH BP FG AP ， 因为//,2BC AD AD BC =,所以BOC DOA ∽D D ，且12BC CO AD OA ==, 又因为COE D ∽AOF D ，AF BE =,所以2BEEC =， 同理2AF FD =,2PG GD =，123,233EF AB EH PB FG AP ====== 如图：作//,,//,HN BC HN PB N GM AD GM PA M ==I I 所以//,HN GM HN GM =，故四边形GMNH 为矩形，即GH MN =, 在PMN D 中,所以MN ==，所以GH =（Ⅱ）建立如图所示空间直角坐标系(3,0,0),(0,2,0),(3,2,0),(2,2,1)B F E H ,(1,2,1),(2,0,1)BH FH =-=u u u r u u u r , 设平面BFH 的法向量为(,,)n x y z =r, 2020n BH x y z n FH x z ìï?-++=ïíï?+=ïîr u u u r r u u u r ,令2z =-，得3(1,,2)2n =-r , 因为平面//EFGH 平面PAB ，所以平面EFGH 的法向量(0,1,0)m =u r3cos ,||||m nm n m n ×===u r ru r r u r r ，二面角B FH E -- 20.【解析】（Ⅰ）依题意(,0)2pF ， 当直线AB 的斜率不存在时，2||4,2AB p p =-=-= 当直线AB 的斜率存在时，设:()2p AB y k x =-由22()2y pxpy k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，化简得2220p y y p k --= 由124y y =-得24p =，2p =，所以抛物线方程24y x =.（Ⅱ）设00(,)D x y ，2(,)4t B t ，则(1,)E t -，又由124y y =-，可得244(,)A t t-因为2EF t k =-，AD EF ⊥，所以2AD k t =，故直线2424:()AD y x t t t+=- 由2248240y xx ty t ⎧=⎪⎨---=⎪⎩， 化简得2216280y ty t ---=，所以10102162,8y y t y y t +==--. 所以10|||AD y y =-==设点B 到直线AD 的距离为d，则22222816|4||8|t t t d ---++== 所以1||162ABD S AD d ∆=⋅=≥，当且仅当416t =，即2t =± 2:30t AD x y =--=时，, 2:30t AD x y =-+-=时，.21. 【解析】（Ⅰ）因为()ln()f x ax bx =+，所以1()a f x b b ax x¢=+=+， 因为点(1,(1))f 处的切线是0y =，所以(1)10f b ¢=+=，且(1)ln 0f a b =+= 所以,1a e b ==-，即()ln 1f x x x =-+（(0,)x ??） 所以11()1xf x x x-¢=-=，所以在(0,1)上递增，在(1,)+?上递减 所以()f x 的极大值为(1)ln 10f e =-=，无极小值.（Ⅱ）当21()x mx ef x x ee-?(0)m <在(0,)x ??恒成立时, 由（Ⅰ）()ln 1f x x x =-+， 即ln 112x mx x e x e+?+(0)m <在(0,)x ??恒成立， 【法一】设ln 11(),()2e e x mx x g x h x x +==+-，则(1)()e x m x g x -'=，2ln ()xh x x '=-， 又因为0m <，所以当01x <<时，()0,()0g x h x ''<>；当1x >时，()0,()0g x h x ''><. 所以()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，min ()(1)emg x g ==； ()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，max 1()(1)1eh x h ==-.所以(),()g x h x 均在1x =处取得最值，所以要使()()g x h x ≥恒成立， 只需min max ()()g x h x ≥，即11e em ≥-，解得1e m ≥-，又0m <， 所以实数m 的取值范围是[10)e ，-. 【法二】设ln 11()2x x mx g x x e e +=--+（(0,)x ??），则2ln (1)()xx m x g x x e --¢=+当01x << 时，ln 0x ->，10x -<，则2ln 0x x ->，(1)0xm x e->，即()0g x ¢> 当1x > 时，ln 0x -<，10x ->，则2ln 0x x -<，(1)0xm x e-<，即()0g x ¢< 所以()g x 在(0,1)x Î上单调递增，在(1,)x ??上单调递减. 所以max 1()(1)120m g x g e e ==-+-?，即11m e e?，又0m < 所以实数m 的取值范围是[10)e ，-. 22. 【解析】（Ⅰ）由参数方程2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=+⎩2，得普通方程22(2)4x y -+=，所以极坐标方程2222cos sin 4sin 0r q r q r q +-=，即4sin r q =. （Ⅱ）直线()1π:R 6l q r =?与曲线C 的交点为,O M ，得||4sin 26M OM pr ===，又直线()22π:R 3l q r =?与曲线C 的交点为,O N ，得2||4sin 3N ON pr ===且2MON π∠=，所以11||||222OMN S OM ON D ==创. 23. 【解析】（Ⅰ）当0a =时，()|2||2||2|3f x x x x +-=+-?，0223x x x ì<ïïíï-+-?ïî 得13x ?；02223x x x ì＃ïïíï+-?ïî 得12x ＃；2223x x x ì>ïïíï+-?ïî 得2x >，所以()|2|2f x x +-?的解集为1(,][1,)3-?+?U . （Ⅱ）对于任意实数x ，不等式|21|()2x f x a +-<成立，即2|21||23|2x x a a +-+<恒成立， 又因为222|21||23||2123||31|x x a xx a a +-+?--=-，要使原不等式恒成立，则只需2|31|2a a -<，当0a <时，无解；当03a＃时，2132a a -<，解得133a <?；当3a >时，2312a a -<，解得13a <<. 所以实数a 的取值范围是1(,1)3.。
江西省南昌市第二中学2020届高三第一次模拟测试卷理科数学(解析版)
2020年高考（理科）数学一模试卷一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{y|y＝|x|﹣1，x∈R}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是（）A．﹣3∈A B．3?B C．A∩B＝B D．A∪B＝B2．已知复数z1＝6﹣8i，z2＝﹣i，则＝（）A．8﹣6i B．8+6i C．﹣8+6i D．﹣8﹣6i3．已知命题p：若a＜1，则a2＜1，下列说法正确的是（）A．命题p是真命题B．命题p的逆命题是真命题C．命题p的否命题是：若a＜1，则a2≥1D．命题p的逆否命题是：若a2≥1，则a＜14．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是（）A．2kπ+45°（k∈Z）B．k?360°+π（k∈Z）C．k?360°﹣315°（k∈Z）D．kπ+（k∈Z）5．已知函数y＝log a（x+c）（a，c为常数，其中a＞0，a≠1）的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞1，c＞1B．a＞1，0＜c＜1C．0＜a＜1，c＞1D．0＜a＜1，0＜c＜16．已知函数f（x）＝满足对任意的实数x1≠x2都有＜0成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，]C．（﹣∞，2]D．[，2）7．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）A．B．C．D．8．《周易》历来被人们视为儒家经典之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映了中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当做数字“1”，把阴爻“”当做数字“0”，则八卦代表的数表示如下：卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤0000震0011坎0102兑0113以此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是（）A．18B．17C．16D．159．若x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最大值为（）A．4B．5C．6D．710．斜率为1的直线l与椭圆+y2＝1相交于A、B两点，则|AB|的最大值为（）A．2B．C．D．11．若函数f（x）＝x3+x2﹣在区间（a，a+5）内存在最小值，则实数a的取值范围是（）A．[﹣5，0）B．（﹣5，0）C．[﹣3，0）D．（﹣3，0）12．记M的最大值和最小值分别为M max和M min．若平面向量，，满足||＝||＝?＝?（+2﹣2）＝2．则（）A．||max＝B．||max＝C．||min＝D．||min＝二、填空题13．如图，某地一天从6﹣14时的温度变化曲线近似满足函数y＝A sin（ωx+φ）+b，则b ＝；该段曲线的函数解析式是．14．设a∈R，若函数y＝e x+ax，x∈R有大于零的极值点，则a的取值范围是．15．已知P（1，1）为椭圆+＝1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为．16．如图所示，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P 为半径OC上的动点，则（+）?的最小值为．三、解答题：共70分.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22-23题为选考题，考生根据要求作答．必考题：共60分17．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ）的最小正周期是π，且当x＝时，f（x）取得最大值2．（1）求f（x）的解析式；（2）作出f（x）在[0，π]上的图象（要列表）．18．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F （E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．19．已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（2）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和数学期望．20．已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的半焦距为c，原点O到经过两点（c，0），（0，b）的直线的距离为c．（Ⅰ）求椭圆E的离心率；（Ⅱ）如图，AB是圆M：（x+2）2+（y﹣1）2＝的一条直径，若椭圆E经过A、B两点，求椭圆E的方程．21．已知函数的导函数y＝f'（x）的两个零点为﹣3和0．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）的极小值为﹣e3，求f（x）在区间[﹣5，+∞）上的最大值．（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则技所做的第一题计分[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，已知曲线C1：ρcosθ﹣ρsinθ﹣1＝0，C2：ρ＝2cosθ．（1）求曲线C1，C2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状；（2）若曲线C1，C2交于A，B两点，求两交点间的距离．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x﹣p|．（I）当p＝2时，解不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|；（II）若f（x）≥1的解集为（﹣∞，0]∪[2，+∞），（m＞0，n＞1），求证：m+2n≥11．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{y|y＝|x|﹣1，x∈R}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是（）A．﹣3∈A B．3?B C．A∩B＝B D．A∪B＝B【分析】先求出集合A，从而找出正确选项．解：∵|x|≥0，∴|x|﹣1≥﹣1；∴A＝{y|y≥﹣1}，又B＝{x|x≥2}∴A∩B＝{x|x≥2}＝B．故选：C．2．已知复数z1＝6﹣8i，z2＝﹣i，则＝（）A．8﹣6i B．8+6i C．﹣8+6i D．﹣8﹣6i【分析】把z1＝6﹣8i，z2＝﹣i代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：∵z1＝6﹣8i，z2＝﹣i，∴＝．故选：B．3．已知命题p：若a＜1，则a2＜1，下列说法正确的是（）A．命题p是真命题B．命题p的逆命题是真命题C．命题p的否命题是：若a＜1，则a2≥1D．命题p的逆否命题是：若a2≥1，则a＜1【分析】举例说明命题p为假命题，求出命题p的逆命题，否命题，逆否命题逐一判断即可得答案．解：已知命题p：若a＜1，则a2＜1，如a＝﹣2，则（﹣2）2＞1，命题p为假命题，∴A不正确；命题p的逆命题是：若a2＜1，则a＜1，为真命题，∴B正确；命题p的否命题是：若a≥1，则a2≥1，∴C不正确；命题p的逆否命题是：若a2≥1，则a＞1，∴D不正确．故选：B．4．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是（）A．2kπ+45°（k∈Z）B．k?360°+π（k∈Z）C．k?360°﹣315°（k∈Z）D．kπ+（k∈Z）【分析】题目要写出与的终边相同的角，只要在该角基础上加2π的整数倍即可，但角度值和弧度制不能混用．解：与的终边相同的角可以写成2kπ+π（k∈Z），但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确．故选：C．5．已知函数y＝log a（x+c）（a，c为常数，其中a＞0，a≠1）的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞1，c＞1B．a＞1，0＜c＜1C．0＜a＜1，c＞1D．0＜a＜1，0＜c＜1【分析】根据对数函数的图象和性质即可得到结论．解：∵函数单调递减，∴0＜a＜1，当x＝1时log a（x+c）＝log a（1+c）＜0，即1+c＞1，即c＞0，当x＝0时log a（x+c）＝log a c＞0，即c＜1，即0＜c＜1，故选：D．6．已知函数f（x）＝满足对任意的实数x1≠x2都有＜0成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，]C．（﹣∞，2]D．[，2）【分析】由已知可得函数f（x）在R上为减函数，则分段函数的每一段均为减函数，且在分界点左段函数不小于右段函数的值，进而得到实数a的取值范围．解：若对任意的实数x1≠x2都有＜0成立，则函数f（x）在R上为减函数，∵函数f（x）＝，故，解得：a∈（﹣∞，]，故选：B．7．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）A．B．C．D．【分析】直接利用空间几何体的三视图的画法，判断选项的正误即可．解：由题意可知，如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，小的长方体，是榫头，从图形看出，轮廓是长方形，内含一个长方形，并且一条边重合，另外3边是虚线，所以木构件的俯视图是A．故选：A．8．《周易》历来被人们视为儒家经典之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映了中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当做数字“1”，把阴爻“”当做数字“0”，则八卦代表的数表示如下：卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤0000震0011坎0102兑0113以此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是（）A．18B．17C．16D．15【分析】由二进制转化为十进制的方法，我们将各数位上的数字乘以其权重累加后，即可得到答案．解：由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符合“”表示二进制数的010001，转化为十进制数的计算为1×20+0×21+0×22+0×23+1×24+0×25＝17．故选：B．9．若x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最大值为（）A．4B．5C．6D．7【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．解：作出x，y满足约束条件，对于的平面区域如图：由z＝3x+2y，则y＝﹣x+，平移直线y＝﹣x+，由图象可知当直线y＝﹣x+，经过点A时，直线y＝﹣x+的截距最大，此时z最大，由，解得A（2，0），此时z max＝3×2+2×0＝6，故选：C．10．斜率为1的直线l与椭圆+y2＝1相交于A、B两点，则|AB|的最大值为（）A．2B．C．D．【分析】设出直线的方程，代入椭圆方程中消去y，根据判别式大于0求得t的范围，进而利用弦长公式求得|AB|的表达式，利用t的范围求得|AB|的最大值．解：设直线l的方程为y＝x+t，代入+y2＝1，消去y得x2+2tx+t2﹣1＝0，由题意得△＝（2t）2﹣5（t2﹣1）＞0，即t2＜5．弦长|AB|＝4×≤．故选：C．11．若函数f（x）＝x3+x2﹣在区间（a，a+5）内存在最小值，则实数a的取值范围是（）A．[﹣5，0）B．（﹣5，0）C．[﹣3，0）D．（﹣3，0）【分析】由题意，求导f′（x）＝x2+2x＝x（x+2）确定函数的单调性，从而作出函数的简图，由图象求实数a的取值范围．解：由题意，f′（x）＝x2+2x＝x（x+2），故f（x）在（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上是增函数，在（﹣2，0）上是减函数，作其图象如右图，令x3+x2﹣＝﹣得，x＝0或x＝﹣3；则结合图象可知，；解得，a∈[﹣3，0）；故选：C．12．记M的最大值和最小值分别为M max和M min．若平面向量，，满足||＝||＝?＝?（+2﹣2）＝2．则（）A．||max＝B．||max＝C．||min＝D．||min＝【分析】由条件可设＝＝（2，0），＝（1，），＝＝（x，y），由向量的坐标表示可得C在以圆心P（1，），半径r＝的圆上运动，且|﹣|表示点A与点C的距离，且|+|表示点D（﹣2，0）与点C的距离，运用最大值为d+r，最小值为d﹣r，计算可得所求．解：平面向量，，满足||＝||＝?＝?（+2﹣2）＝2，由?＝2×2cos＜，＞＝2，可得cos＜，＞＝，sin＜，＞＝，设＝＝（2，0），＝（1，），＝＝（x，y），可得（x，y）?（4﹣2x，2﹣2y）＝2，即为x（4﹣2x）+y（2﹣2y）＝2，化为x2+y2﹣2x﹣y+1＝0，则C在以圆心P（1，），半径r＝的圆上运动，且|﹣|表示点A与点C的距离，显然最大值为|AC|+r＝+＝；最小值为|AC|﹣r＝﹣＝；且|+|表示点D（﹣2，0）与点C的距离，显然最大值为|DC|+r＝+＝；最小值为|DC|﹣r＝．故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．如图，某地一天从6﹣14时的温度变化曲线近似满足函数y＝A sin（ωx+φ）+b，则b ＝20；该段曲线的函数解析式是y＝10sin（x+）+20，x∈[6，14]．．【分析】通过函数的图象，求出A，b，求出函数的周期，推出ω，利用函数经过（10，20）求出φ，得到函数的解析式．解：由题意以及函数的图象可知，A＝10，b＝20，T＝2（14﹣6）＝16，所以ω＝＝，函数经过（10，20）所以20＝10sin（×10+φ）+20，所以φ＝，所以函数的解析式：y＝10sin（x+）+20，x∈[6，14]．故答案为：20；y＝10sin（x+）+20，x∈[6，14]．14．设a∈R，若函数y＝e x+ax，x∈R有大于零的极值点，则a的取值范围是{a|a＜﹣1}．【分析】先对函数进行求导令导函数等于0，原函数有大于0的极值故导函数有大于零的根．解：∵y＝e x+ax，∴y'＝e x+a．由题意知e x+a＝0有大于0的实根，由e x＝﹣a，得a＝﹣e x，∵x＞0，∴e x＞1．∴a＜﹣1．故答案为：{a|a＜﹣1}．15．已知P（1，1）为椭圆+＝1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为x+2y﹣3＝0．【分析】设弦的两端点坐标为（x1，y1）、（x2，y2），代入椭圆方程，作差，即可求得直线的斜率，求得的直线方程；解：由于此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k，且设弦的两端点坐标为（x1，y1）、（x2，y2），则两式相减得+＝0．∵x1+x2＝2，y1+y2＝2，∴x1﹣x2+2（y1﹣y2）＝0，x+2y﹣3＝0故答案为：x+2y﹣3＝0．16．如图所示，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P 为半径OC上的动点，则（+）?的最小值为﹣．【分析】根据图形知：O是线段AB的中点，所以+＝2，再根据向量的点乘积运算分析方向与大小即可求出．【解答】解∵圆心O是直径AB的中点，∴+＝2，∴（+）?＝2?，∵||+||＝3≥2，∴||?||≤，即（+）?＝2?＝﹣2||?||≥﹣，当且仅当||＝||＝时，等号成立，故最小值为﹣．故答案为：﹣．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22.23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ）的最小正周期是π，且当x＝时，f（x）取得最大值2．（1）求f（x）的解析式；（2）作出f（x）在[0，π]上的图象（要列表）．【分析】（1）由函数的最值求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，即可求得函数解析式；（2）用五点法即可作函数y＝Asin（ωx+φ）在一个周期上的图象．解：（1）因为函数f（x）的最小正周期是π，所以ω＝2．又因为当x＝时，f（x）取得最大值2．所以A＝2，同时2×+φ＝2kπ+，k∈Z，φ＝2kπ+，k∈Z，因为﹣＜φ＜，所以φ＝，所以f（x）＝2sin（2x+）．（2）因为x∈[0，π]，所以2x+∈[，]，列表如下：2x+π2πx0πf（x）120﹣201描点、连线得图象：18．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．【分析】（1）利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论；（2）通过取线段CD上点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD，结合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG，从而可得结论．【解答】证明：（1）∵AB⊥AD，EF⊥AD，且A、B、E、F四点共面，∴AB∥EF，又∵EF?平面ABC，AB?平面ABC，∴EF∥平面ABC；（2）在线段CD上取点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，∵BC⊥BD，FG∥BC，∴FG⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，FG?平面BCD，∴FG⊥平面ABD，∵AD?平面ABD，∴FG⊥AD，∵AD⊥EF，且EF∩FG＝F，∴AD⊥平面EFG，∵EG?平面EFG，∴AD⊥EG，∵EG∥AC，∴AD⊥AC．19．已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（2）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和数学期望．【分析】（1）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，利用古典概型的概率求解即可；（2）X的可能取值为：200，300，400；求出对应的概率，得到分布列，然后计算数学期望值．解：（1）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，则P（A）＝＝＝；（2）X的可能取值为200，300，400，P（X＝200）＝＝＝，P（X＝300）＝＝＝，P（X＝400）＝1﹣P（X＝200）﹣P（X＝300）＝1﹣﹣＝；所以X的分布列为：X200300 400P数学期望为EX＝200×+300×+400×＝350．20．已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的半焦距为c，原点O到经过两点（c，0），（0，b）的直线的距离为c．（Ⅰ）求椭圆E的离心率；（Ⅱ）如图，AB是圆M：（x+2）2+（y﹣1）2＝的一条直径，若椭圆E经过A、B两点，求椭圆E的方程．【分析】（Ⅰ）求出经过点（0，b）和（c，0）的直线方程，运用点到直线的距离公式，结合离心率公式计算即可得到所求值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E的方程为x2+4y2＝4b2，①设出直线AB的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合圆的直径和中点坐标公式，解方程可得b2＝3，即可得到椭圆方程．解：（Ⅰ）经过点（0，b）和（c，0）的直线方程为bx+cy﹣bc＝0，则原点到直线的距离为d＝＝c，即为a＝2b，e＝＝＝；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E的方程为x2+4y2＝4b2，①由题意可得圆心M（﹣2，1）是线段AB的中点，则|AB|＝，易知AB与x轴不垂直，记其方程为y＝k（x+2）+1，代入①可得（1+4k2）x2+8k（1+2k）x+4（1+2k）2﹣4b2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝．x1x2＝，由M为AB的中点，可得x1+x2＝﹣4，得＝﹣4，解得k＝，从而x1x2＝8﹣2b2，于是|AB|＝?|x1﹣x2|＝?＝＝，解得b2＝3，则有椭圆E的方程为+＝1．21．已知函数的导函数y＝f'（x）的两个零点为﹣3和0．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）的极小值为﹣e3，求f（x）在区间[﹣5，+∞）上的最大值．【分析】（Ⅰ）求导数f′（x），根据y＝f'（x）的两个零点﹣3和0以及a的符号，即可解得不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0，从而得到函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）及所给已知条件可求出f（x），再利用导数即可求得函数f（x）在闭区间上的最大值；解：（Ⅰ），令g（x）＝﹣ax2+（2a﹣b）x+b﹣c，因为e x＞0，所以y＝f'（x）的零点就是g（x）＝﹣ax2+（2a﹣b）x+b﹣c的零点，且f'（x）与g（x）符号相同．又因为a＞0，所以﹣3＜x＜0时，g（x）＞0，即f'（x）＞0，当x＜﹣3，或x＞0时，g（x）＜0，即f'（x）＜0，所以f（x）的单调增区间是（﹣3，0），单调减区间是（﹣∞，﹣3），（0，+∞）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，x＝﹣3是f（x）的极小值点，所以有，解得a＝1，b＝5，c＝5，所以．∵f（x）的单调增区间是（﹣3，0），单调减区间是（﹣∞，﹣3），（0，+∞），∴f（0）＝5为函数f（x）的极大值，∴f（x）在区间[﹣5，+∞）上的最大值取f（﹣5）和f（0）中的最大者．而＞5，所以函数f（x）在区间[﹣5，+∞）上的最大值是5e5．（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则技所做的第一题计分[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，已知曲线C1：ρcosθ﹣ρsinθ﹣1＝0，C2：ρ＝2cosθ．（1）求曲线C1，C2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状；（2）若曲线C1，C2交于A，B两点，求两交点间的距离．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用点到直线的距离公式的应用求出结果．解：（1）已知曲线C1：ρcosθ﹣ρsinθ﹣1＝0，转换为直角坐标方程为．所以该曲线为直线．曲线C2：ρ＝2cosθ．转换为直角坐标方程为x2+y2﹣2x＝0．所以该曲线为以（1，0）为圆心，1为半径的圆．（2）首先把x2+y2﹣2x＝0转换为（x﹣1）2+y2＝1，利用点（1，0）到直线的距离d＝，则说明圆心在直线上，所以|AB|＝2．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x﹣p|．（I）当p＝2时，解不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|；（II）若f（x）≥1的解集为（﹣∞，0]∪[2，+∞），（m＞0，n＞1），求证：m+2n≥11．【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）表示出x的范围，得到关于p的方程组，求出p的值，得到，根据乘“1”法证明即可．解：（I）当p＝2时，不等式化为|x﹣2|+|x﹣1|≥4∵∴不等式的解集为（II）根据f（x）≥1得|x﹣p|≥1?x≤p﹣1或x≥p+1，∵f（x）≥1的解集为（﹣∞，0]∪[2，+∞），故，所以，∵m＞0，n＞0，∴，当且仅当m＝3，n＝4时取等号，∴m+2n≥11．。